DEWI SENJA RAHMAHWATI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Pertumbuhan Hepatosit yang Bersifat Logistik. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan JAHARUDDIN.
Pada karya ilmiah ini dibahas model matematika untuk menggambarkan dinamika populasi hepatosit dan virus hepatitis B yang dikembangkan oleh Eikenberry et al. (2010). Model yang digunakan adalah model infeksi virus hepatitis B dengan pertumbuhan hepatosit yang bersifat logistik. Kestabilan titik tetap dari model dipengaruhi oleh bilangan reproduksi dasar . Nilai dari bilangan reproduksi dasar dipengaruhi oleh laju interaksi hepatosit sehat dengan virus, laju pertumbuhan virus, laju kematian hepatosit yang terinfeksi serta laju kematian virus. Dari hasil analisis dapat ditunjukkan bahwa ketika populasi hepatosit sehat semakin meningkat mencapai ukuran maksimal hati sedangkan populasi hepatosit yang terinfeksi dan virus semakin menurun, artinya hati berada pada kondisi yang sehat. Ketika populasi hepatosit sehat berkurang sedangkan populasi hepatosit yang terinfeksi dan virus bertambah menuju ke suatu titik tertentu. Dalam model ini juga didapatkan kondisi bifurkasi Hopf yang mengakibatkan sistem akan memiliki limit cycle.
Logistic Hepatocytes Growth. Supervised by ALI KUSNANTO and JAHARUDDIN.
This manuscript discussed a mathematical model to describe the dynamics of population of hepatocytes and hepatitis B virus developed by Eikenberry et al. (2010). This model uses a logistic hepatocytes growth model of hepatitis B virus infection. The stability of the fixed points of the model is determined by basic reproduction number . The value of the basic reproduction number is influenced by the growth and death rate of the virus and the death rate of infected hepatocytes. The results of the analysis show that when healthy hepatocytes population increases to a maximum capacity of the liver. On the other hand, the population of infected hepatocytes as well as virus decreases, which means that the heart is in healthy condition. When population of healthy hepatocytes decreases, while population of infected hepatocytes and virus increase up to some certain points. Hopf bifurcation conditions are satisfied by this model, which means that the system has a limit cycle.
DEWI SENJA RAHMAHWATI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
NIM
: G54080068
Disetujui
Tanggal Lulus:
Pembimbing I
Drs. Ali Kusnanto, M.Si.
NIP. 19650820 199003 1 001
Pembimbing II
Dr. Jaharuddin, MS.
NIP. 19651102 199302 1 001
Diketahui
Ketua Departemen Matematika
sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Drs. Ali Kusnanto, M.Si selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini),
2. Dr. Jaharuddin, MS selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, saran, dan motivasinya),
3. Dr. Paian Sianturi selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya), 4. semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan), 5. staf Departemen Matematika: Pak Yono, Bu Susi, Bu Ade, Mas Heri dan Mas Deni (terima
kasih atas bantuan dan motivasinya),
6. keluargaku tercinta: mama, ayah, abang (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan, dan kasih sayangnya),
7. Mas Heru Susilo (terima kasih atas doa, dukungan, kasih sayang, dan kebersamaannya), 8. sahabat terdekat: Mya, Isna, Ijah, Gina, Haya, Fina, Ade, Agustin, Anggun, Annisaa (terima
kasih atas semangat, doa, dan dukungannya),
9. teman-teman Math 45: Maya, Erik, Pite, Pute, Wulan, Ari, Tika, Vivi, dan lainnya (terima kasih atas dukungan, bantuan, doa, dan kebersamaannya),
10. kakak-kakak Math42, 43 dan 44: Kak Yuni, Kak Cici, Kak Kiki, Kak Selvi, Kak Rachma, Kak Fajar, dan lainnya (terima kasih atas ilmu, bantuan, doa, dan dukungannya),
11. teman-teman Madep: Kak Desi, Fitri, Sinjo, Wida, Lora, dan lainnya (terima kasih atas semangat, doa, dan dukungannya),
12. teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Oktober 2012
bersaudara, anak dari pasangan Mufrodi dan Sri Yatmi.
Tahun 2002 penulis lulus dari SDN 001 Rintis Pekanbaru. Tahun 2005 penulis lulus dari MTs. Ma’had Al-Zaytun Indramayu. Tahun 2008 penulis lulus dari SMAN 1 Pekanbaru dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN). Penulis memilih Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
DAFTAR TABEL ... ix
DAFTAR GAMBAR ... ix
DAFTAR LAMPIRAN ... ix
I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan ... 1
1.3 Sistematika Penulisan ... 1
II LANDASAN TEORI ... 2
2.1 Sistem Persamaan Diferensial ... 2
2.2 Titik Tetap... 2
2.3 Pelinearan... 2
2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 2
2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap ... 3
2.6 Kriteria Kestabilan ... 3
2.7 Bilangan Reproduksi Dasar ... 3
2.8 Bifurkasi... 4
2.9 Siklus Limit ... 4
III PEMBAHASAN ... 5
3.1 Model Matematika ... 5
3.2 Penentuan Titik Tetap ... 5
3.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap ... 6
3.4 Dinamika Pertumbuhan Populasi Hepatosit ... 10
IV SIMPULAN ... 15
DAFTAR PUSTAKA ... 16
1 Kondisi kestabilan titik tetap ... 10
2 Kondisi kestabilan titik tetap untuk ... 13
3 Kondisi kestabilan titik tetap untuk ... 13
DAFTAR GAMBAR
Halaman 1 Skema diagram BVIM (Basic Virus Infection Model) ... 52 Dinamika populasi hepatosit terhadap ... 11
3 Dinamika populasi dan terhadap dengan dan ... 11
4 Dinamika populasi dan terhadap dengan dan ... 12
5 Dinamika populasi dan terhadap dengan dan ... 12
6 Dinamika populasi dan terhadap dengan dan ... 13
7 Bidang fase untuk kondisi ... 14
8 Bidang fase untuk kondisi ... 14
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Pembuktian Teorema 2 ... 182 Penentuan Titik Tetap Model Infeksi Virus Hepatitis B ... 19
3 Penentuan Nilai Eigen Persamaan (3.7) ... 21
4 Hasil Transformasi ... 25
5 Syntax Program untuk Gambar 2 ... 28
6 Syntax Program untuk Gambar 3 ... 29
7 Syntax Program untuk Gambar 4 ... 30
8 Syntax Program untuk Gambar 5 ... 31
9 Syntax Program untuk Gambar 6 ... 32
10 Syntax Program untuk Gambar 7 ... 33
I PENDAHULUAN
1.1 Latar BelakangHepatitis merupakan pembengkakan atau radang pada hati sehingga menyebabkan hati tidak dapat berfungsi dengan baik. Hepatitis dapat disebabkan oleh virus, alkohol, atau obat-obatan. Penyebab yang sering dijumpai pada berbagai kasus hepatitis adalah virus. Hepatitis B adalah salah satu jenis hepatitis yang disebabkan oleh virus. Adanya infeksi Hepatitis B Virus (HBV) yang menyerang hati, dapat menyebabkan penyakit akut dan kronis. HBV dikatakan akut, jika telah terjadi radang pada hati selama beberapa minggu kemudian pulih. Jika tidak pulih, maka disebut HBV kronis dan dapat berkembang menjadi sirosis hati atau kanker hati.
HBV ditularkan melalui kontak dengan darah atau cairan tubuh lain dari orang yang terinfeksi. Pencegahan HBV dapat dilakukan dengan pemberian vaksin. Meskipun vaksin telah tersedia sejak tahun 1982 dan didistribusikan lebih dari 116 negara, 8-10% dari negara berkembang saat ini masih terinfeksi HBV. Virus ini 50-100 kali lebih cepat menular dibandingkan HIV. Dari mereka yang tertular HBV, 17,5% akan mengalami infeksi HBV kronis bahkan tidak menutup kemungkinan dapat meninggal akibat sirosis hati atau kanker hati. Anak-anak, terutama bayi yang terinfeksi HBV mengalami risiko tertinggi terkena infeksi HBV kronis. Mereka dengan penyakit akut akan mengalami gejala berat sampai satu tahun, termasuk sakit kuning, kelelahan ekstrim, mual, muntah, dan nyeri perut (Arguin et al. 2007).
Meskipun HBV dapat diobati dengan menggunakan interferon atau lamivudine therapy, pengobatan dengan cara ini membutuhkan biaya yang sangat besar. Jadi, pemahaman yang lebih baik mengenai HBV dan dinamikanya sangat diperlukan untuk mengembangkan vaksin dan pengobatan yang lebih murah.
Kebanyakan model matematika yang menjelaskan perilaku HBV tidak dikembangkan secara khusus untuk menggambarkan dinamika HBV, tetapi lebih kepada adaptasi dari model matematika yang menjelaskan perilaku HIV terhadap HBV. Salah satu model awal telah dipelajari oleh Nowak et al. (1996) dan kemudian dikembangkan oleh Nowak dan May (2000). Model matematika tersebut dinamakan Basic Virus Infection Model (BVIM). BVIM ini menjelaskan dinamika jumlah atau massa
sel-sel sehat terutama sel-sel hepatosit sehat, hepatosit yang terinfeksi, dan virus. Hepatosit adalah sel parenkim pada hati yang menempati sekitar 80% dari volume hati.
Eikenberry et al. (2010) telah mengembangkan model BVIM tetapi dengan beberapa perubahan. Perubahan ini dimaksudkan agar lebih sesuai dengan kehidupan yang sebenarnya, terutama pada pertumbuhan hepatosit yang menggunakan fungsi logistik. Pada tulisan ini akan direkonstruksi pembentukan model HBV yang dimodelkan oleh Eikenberry et al. Selanjutnya dilakukan analisis kestabilan di sekitar titik tetap modelnya. Pertama, ditentukan titik tetap dari model, kemudian dilakukan pelinearan terhadap model tersebut. Selanjutnya ditentukan nilai eigen untuk menganalisis kestabilan titik tetapnya. Untuk titik tetap yang tidak dapat dicari solusinya dengan menggunakan pelinearan, maka dicari dengan menggunakan metode kuantitatif dengan menganalisis dinamika di sekitar titik asal menggunakan transformasi tertentu.
1.2 Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah: 1. Merekonstruksi ulang pembentukan
model BVIM yang dikembangkan oleh Eikenberry et al. (2010) dan analisis dinamikanya.
2. Menjelaskan dinamika solusi model dengan memilih parameter model untuk mengetahui suatu infeksi virus dapat menghilang atau tidak.
3. Menunjukkan terjadinya bifurkasi Hopf pada model infeksi virus Hepatitis B dengan pertumbuhan hepatosit yang bersifat logistik.
1.3 Sistematika Penulisan
II LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan DiferensialDefinisi 2.1.1
Sistem Persamaan Diferensial Linear Misalkan suatu sistem persamaaan diferensial biasa dinyatakan sebagai
̇
dengan adalah matriks koefisien berukuran
dan adalah vektor konstan. Sistem persamaan (2.1) dinamakan sistem persamaan diferensial biasa linear orde satu. Jika , maka sistem persamaan (2.1) dikatakan homogen, dan jika , maka sistem persamaan (2.1) dikatakan takhomogen.
(Tu 1994) Definisi 2.1.2
Sistem Persamaan Diferensial Mandiri Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai
̇ (2.2) dengan merupakan fungsi kontinu bernilai real dari dan mempunyai turunan parsial kontinu. Sistem persamaan (2.2) disebut sistem persamaan diferensial biasa mandiri (autonomous) karena fungsi tidak memuat secara eksplisit.
(Tu 1994) 2.2 Titik Tetap
Tinjau persamaan diferensial (2.2). Jika titik memenuhi , maka titik 2.2.2 Titik Tetap Tak Stabil
Misalkan adalah titik tetap SPD 2.2.3 Titik Tetap Stabil Lokal Asimtotik
Titik tetap dikatakan titik tetap stabil lokal asimtotik jika titik tetap stabil dan terdapat sedemikian sehingga jika
| | , maka . (Szidarovsky & Bahill 1998) 2.2.4 Titik Tetap Stabil Global Asimtotik
Titik tetap dikatakan titik tetap stabil global asimtotik jika titik tetap stabil dan
, maka .
(Szidarovsky & Bahill 1998) 2.3 Pelinearan
Misalkan diberikan SPD taklinear sebagai berikut:
Persamaan (2.4) merupakan SPD taklinear dengan matriks Jacobi yang dinyatakan
persamaan (2.3) disebut pelinearan dari sistem persamaan (2.3). Jadi, sistem linear dari persamaan (2.3) adalah
̇ .
(Tu 1994) 2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
dengan adalah matriks identitas. Persamaan (2.6) mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika:
| | (2.7) Persamaan (2.7) disebut persamaan karakteristik dari matriks .
(Anton 1995) 2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Misalkan diberikan matriks berukuran
sebagai berikut:
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks sebagai berikut:
√
Berikut akan ditinjau tiga kasus untuk nilai : Kasus .
Jika kedua nilai eigen real berbeda tanda,
maka titik tetap bersifat “sadel”. nodes dan degenerate terletak pada parabola ini. Jika kedua nilai eigen
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, untuk suatu nilai disebutkan bahwa titik tetap stabil jika dan hanya jika
2.7 Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar adalah rata-rata banyaknya individu yang rentan terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang telah terinfeksi bila individu yang telah terinfeksi tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih rentan. Bilangan reproduksi dasar dilambangkan dengan .
Beberapa kondisi yang akan timbul, yaitu 1. Jika maka penyakit akan
menghilang.
3. Jika maka penyakit akan meningkat menjadi wabah.
(Giesecke 1994) 2.8 Bifurkasi
Bifurkasi adalah suatu kondisi dimana terjadinya perubahan pada sistem, bisa berupa perubahan banyaknya titik tetap atau perubahan kestabilan titik tetap. Titik yang mengalami kondisi ini disebut titik bifurkasi.
Pada bifurkasi satu-dimensi ditemukan kasus-kasus untuk bifurkasi saddle-node, bifurkasi transcritical, dan bifurkasi pitchfork. Sedangkan pada kasus dua-dimensi ditemukan kasus bifurkasi Hopf.
(Strogatz 1994) Teorema Bifurkasi Hopf
Perhatikan sistem persamaan diferensial orde-2 berikut: 2.9 Siklus Limit (Limit Cycle)
Siklus limit adalah orbit tertutup yang terisolasi, yaitu bahwa orbit di sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus limit. Siklus limit dikatakan stabil jika dikelilingi oleh orbit yang menuju ke siklus limit tersebut, jika menjauhi, maka siklus limit tak stabil.
III PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas mengenaimodel infeksi virus hepatitis B berdasarkan model awal. Kemudian dilakukan analisis model dan menggambarkannya dalam bentuk simulasi.
3.1 Model Matematika
Model yang akan dianalisis pada tulisan ini dibuat berdasarkan Basic Virus Infection Model (BVIM) yang dikembangkan oleh Eikenberry et al. Dalam model ini disusun sistem persamaan diferensial yang menjelaskan dinamika jumlah atau massa sel-sel sehat dalam hal ini hepatosit, hepatosit yang terinfeksi dan virus . Skema dari BVIM dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1 Skema diagram BVIM (Basic Virus Infection Model).
Pada Gambar 1 dijelaskan bahwa hepatosit sehat berkembang pada laju konstan dan mati pada laju per kapita . Infeksi hepatosit terjadi melalui proses interaksi sel hepatosit dan virus pada laju . Hepatosit yang terinfeksi kemudian mati pada laju per kapita . Setiap hepatosit yang terinfeksi menunjukkan pertumbuhan virus pada laju per kapita , yang mati pada laju per kapita . Masalah ini dapat dimodelkan sebagai berikut:
laju interaksi hepatosit sehat dengan virus,
laju kematian hepatosit yang terinfeksi,
laju pertumbuhan virus yang dilihat dari hepatosit yang terinfeksi, laju kematian virus.
Model yang akan dianalisis pada karya ilmiah ini merupakan model yang dibuat berdasarkan model (3.1) dengan beberapa perubahan. Pada pertumbuhan hepatosit sehat digunakan fungsi logistik, ini bertujuan agar lebih realistis dalam menggambarkan pertumbuhan populasi hepatosit. Hepatosit merupakan sel yang berumur panjang dengan waktu paruh lebih dari 6 bulan, sehingga laju kematian hepatosit dihilangkan. Aktivitas proliferasi pada hepatosit hanya terjadi ketika massa hati berkurang dan tidak terjadi terus menerus melainkan hanya sampai pada ukuran maksimal hati (ukuran homeostastik hati). Masalah ini dapat dimodelkan sebagai berikut:
parameter pada persamaan (3.2) adalah positif.
Dalam karya ilmiah ini, diasumsikan bahwa pada kondisi awal telah terjadi infeksi pada hati sehingga nilai awal untuk sistem persamaan (3.2) dimisalkan dalam bentuk
Penyelesaian sistem persamaan (3.4)-(3.6) menghasilkan tiga titik tetap, yaitu:
Penurunan dapat dilihat pada lampiran 2. 3.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Berdasarkan persamaan (3.2), maka dapat dinotasikan
( )
Dengan melakukan pelinearan pada fungsi maka diperoleh matriks Jacobi
3.3.1 Analisis Kestabilan untuk
Titik tetap menyatakan kondisi hati
Nilai eigen diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
. Nilai eigen untuk
Proposisi-proposisi berikut ini menyatakan bahwa kestabilan dari bergantung pada .
Proposisi 1
Jika maka stabil lokal asimtotik. Bukti:
Dengan memperhatikan nilai eigen yang didapat pada persamaan (3.9) dan (3.10) serta asumsi bahwa semua parameter bernilai positif, maka . Karena
Berdasarkan nilai eigen yang diperoleh pada persamaan (3.9) dan (3.10) serta asumsi bahwa semua parameter bernilai positif, maka
. Karena maka
√
Setidaknya satu nilai eigen menjadi positif ketika , sehingga titik tetap menjadi tak stabil.
Berdasarkan Proposisi 1 dan 2, maka adalah bilangan reproduksi dasar. Jadi,
. menunjukkan bahwa titik tetap yang diperoleh berupa titik tetap tak terisolasi.
Berdasarkan proposisi-proposisi di atas diperoleh bahwa kondisi bebas penyakit yang dinyatakan oleh , stabil lokal dan global ketika dan tak stabil ketika . Kestabilan tergantung hanya pada laju interaksi hepatosit sehat dengan virus ( , laju produksi virus ( , laju kematian sel yang terinfeksi , dan laju kematian virus . Laju proliferasi maksimum per kapita dari sel sehat dan ukuran homeostatik hati tidak mempengaruhi kestabilan. Hal ini dapat dilihat pada nilai eigen yang tidak memuat parameter dan .
3.3.2 Analisis Kestabilan untuk
Titik tetap menyatakan terjadinya infeksi HBV kronis. Titik tetap diberikan
Penurunan persamaan (3.13)-(3.15) dapat dilihat pada lampiran 2.
Matriks Jacobi untuk titik tetap adalah
dengan menyelesaikan persamaan karakteristik berikut:
dengan
( ) ( ) sehingga memungkinkan terjadinya bifurkasi Hopf pada kondisi
3.3.3 Transformasi dan hasil untuk Kestabilan tidak dapat diperoleh dengan menggunakan cara sebelumnya. Untuk mengatasi kesulitan ini, digunakan transformasi yang dilakukan oleh Hwang dan Kuang (2003), Hsu et al. (2001), dan Berezovsky et al. (2005).
Transformasi yang digunakan bertujuan agar diperoleh kestabilan global pada daerah yang ada di sekitar . Dengan mendefinisikan variabel
maka transformasi akan mengubah variabel
ke Transformasi ini
Titik tetap sistem persamaan (3.16)-(3.18) adalah
( sistem persamaan (3.16)-(3.18). Karena tak stabil, maka tidak ada titik tetap stabil pada dan suku keempat pada ruas kanan persamaan (3.18) positif, maka
Satu-satunya titik tetap sistem (3.19)-(3.20) adalah titik dan stabil pada disubstitusikan ke dalam persamaan di atas, maka diperoleh
Maka menurut definisi limit di ketakhinggaan, diperoleh bahwa untuk yang diberikan, terdapat dengan sehingga
Jika pertaksamaan (3.23) disubstitusikan ke dalam (3.22), maka untuk
( )
Jika bentuk di atas diintegralkan terhadap , maka diperoleh
Teorema 4 dan Lemma 2 membuktikan bahwa pada sistem persamaan (3.2) stabil secara global, ketika dan .
Hal ini membuktikan bahwa infeksi virus yang cukup dapat mengakibatkan kegagalan hati yang berakibat fatal.
Berikut ini adalah tabel kondisi kestabilan ketiga titik tetap yang diperoleh. Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa kondisi kestabilan dari titik tetap yang diperoleh tidak mungkin stabil secara bersamaan.
Tabel 1 Kondisi kestabilan titik tetap
Kasus Kondisi
3.4 Dinamika Pertumbuhan Populasi Hepatosit
Pengaruh pertumbuhan populasi sel hepatosit dapat diamati melalui kurva bidang solusi yang menunjukkan hubungan banyaknya populasi dengan variabel waktu.
3.4.1 Dinamika Populasi Hepatosit Sehat Gambar di bawah ini menunjukkan hubungan populasi hepatosit sehat pada tiga titik tetap yaitu ketika
terhadap peningkatan . Garis putus-putus pada gambar menunjukkan kondisi sadel, sedangkan garis yang tidak putus-putus menunjukkan kondisi stabil. Pada proses penggambaran ini diambil nilai parameter yaitu
.
Gambar 2 Dinamika populasi hepatosit terhadap . menunjukkan kondisi stabil sedangkan garis dan menunjukkan kondisi sadel. Perubahan kestabilan pada saat dan ini menunjukkan bahwa terjadi bifurkasi. Bifurkasi yang terjadi pada kasus ini yaitu bifurkasi transkritis.
3.4.2 Dinamika Populasi Pertumbuhan Hepatosit untuk Kasus 1.
Pada proses penggambaran ini diambil nilai parameter yaitu Populasi sel hepatosit sehat mula-mula
meningkat secara perlahan, namun pada saat tertentu sel hepatosit mengalami peningkatan secara cepat. Hal ini disebabkan karena penururan sel hepatosit yang terinfeksi dan populasi virus. Pada awalnya virus menyerang sel hepatosit sehat yang menghasilkan sel hepatosit terinfeksi pada kondisi awal. Pada saat mencapai titik maksimum, populasi virus mengalami penurunan yang menyebabkan populasi sel hepatosit yang terinfeksi juga mengalami penurunan menuju nilai nol. Sehingga populasi sel hepatosit sehat meningkat tanpa adanya infeksi virus hingga
menuju suatu nilai maksimum . Pada kondisi ini dapat dilihat bahwa kestabilan menuju ke titik .
3.4.3 Dinamika Populasi Pertumbuhan Hepatosit untuk Kasus 2.
Gambar 4 Dinamika populasi dan terhadap dengan dan . Populasi sel hepatosit sehat mula-mula
meningkat secara cepat, namun pada saat tertentu sel hepatosit sehat mengalami penurunan akibat meningkatnya populasi virus. Peningkatan pada populasi virus akan menyebabkan terjadinya peningkatan pada populasi sel hepatosit yang terinfeksi. Pada jangka panjang populasi sel hepatosit sehat, populasi sel yang terinfeksi dan populasi virus berisolasi secara periodik. Ini berarti terdapat populasi virus yang dapat menginfeksi secara kontinu. Setiap terjadi penurunan populasi sel hepatosit sehat, maka populasi virus akan meningkat secara bersamaan dengan meningkatnya populasi sel yang terinfeksi. Begitu juga sebaliknya, pada saat populasi sel hepatosit sehat meningkat, maka akan terjadi penurunan pada populasi virus dan populasi sel hepatosit yang terinfeksi. Meningkatnya populasi sel hepatosit sehat, populasi sel yang
terinfeksi dan populasi virus semakin bertambahnya waktu semakin kecil dan stabil menuju titik tertentu. Pada kondisi ini dapat
3.4.3 Dinamika Populasi Pertumbuhan Hepatosit untuk Kasus 3.
Pada proses penggambaran ini diambil nilai parameter yaitu Populasi sel hepatosit sehat mula-mula
meningkat sangat cepat sampai pada saat tertentu populasi sel hepatosit sehat ini mencapai jumlah yang sangat besar yaitu ukuran maksimal hati. Kemudian populasi sel hepatosit sehat ini menurun dengan cepat pula akibat pertumbuhan virus yang cepat. Virus yang menyerang sel hepatosit sehat ini menyebabkan peningkatan pada populasi hepatosit yang terinfeksi. Pada jangka panjang
populasi sel hepatosit sehat, populasi sel hepatosit yang terinfeksi dan populasi virus berisolasi secara periodik. Ini berarti terdapat populasi virus yang dapat menginfeksi secara kontinu. Setiap terjadi penurunan populasi sel hepatosit sehat, maka populasi virus akan meningkat secara bersamaan dengan meningkatnya populasi sel yang terinfeksi. Begitu juga sebaliknya, jika populasi sel hepatosit sehat meningkat, maka kondisi ini
menunjukkan bahwa terjadi penurunan pada populasi virus dan populasi sel hepatosit yang terinfeksi. Hal ini terjadi terus menerus tanpa menuju ke suatu titik tertentu, hanya saja semakin bertambahnya waktu, maka peningkatan dan penurunan populasi berada di sekitar titik tertentu tanpa menuju ke titik tersebut. Ini menggambarkan kondisi hepatitis yang kronis.
3.4.5 Dinamika Populasi Pertumbuhan Hepatosit untuk Kasus 4.
Pada proses penggambaran ini diambil nilai parameter yaitu Sel hepatosit sehat mula-mula mengalami
peningkatan secara cepat, namun seiring berjalannya waktu populasi sel hepatosit sehat menurun akibat meningkatnya populasi virus yang diiringi dengan meningkatnya populasi sel yang terinfeksi. Pada jangka panjang populasi sel hepatosit sehat menurun karena tingginya laju infeksi virus sehingga populasi sel hepatosit sehat menuju nilai nol. Menurunnya populasi sel sehat hingga menuju nilai nol menyebabkan penurunan pada populasi sel yang terinfeksi dan juga
penurunan pada populasi virus hingga menuju nilai nol karena sudah tidak ada lagi sel hepatosit yang dapat diinfeksi. Pada kondisi ini dapat dilihat bahwa kestabilan menuju ke titik .
3.4.6 Dinamika Populasi Hepatosit di Sekitar Titik Bifurkasi.
Berikut ini disajikan Tabel 2 dan Tabel 3 untuk mengetahui pengaruh dari perubahan nilai parameter terhadap kestabilan titik tetap sehingga terjadi bifurkasi Hopf.
Tabel 2 Kondisi kestabilan titik tetap untuk
- -1 -0.0104821724 + 0.1622342423 i - 0.3183143826 -0.0104821724 - 0.1622342423 i - -1.080614383 -0.8030384020
Kestabilan - Sadel Spiral stabil
Tabel 3 Kondisi kestabilan titik tetap untuk
- -1 0.01293417483 + 0.1302891 i - 0.4032290044 0.01293417483 - 0.1302891 i - -1.16552900 -0.8180054645
Kestabilan - Sadel Spirak tak stabil
Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa dengan perubahan nilai parameter dapat menyebabkan terjadinya perubahan nilai eigen pada . Hal ini mengakibatkan perubahan pada kestabilan dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil dengan meningkatkan nilai sampai pada nilai tertentu sehingga terjadi bifurkasi Hopf.
Pada Gambar 7 ditampilkan kondisi kestabilan dengan bentuk spiral stabil. Pada proses penggambaran ini diambil nilai parameter
dan .
Pemilihan parameter ini memberikan kondisi
.
Pada gambar di bawah ini terlihat hubungan antara hepatosit sehat, hepatosit yang terinfeksi dan virus. Kondisi ini menunjukkan kondisi hati yang kronis. Infeksi virus terjadi secara terus menerus hingga mencapai nilai tertentu dalam jangka panjang. Ini menunjukkan adanya kestabilan menuju ke suatu titik tertentu.
Gambar 7 Bidang fase untuk kondisi . Pada Gambar 8 ditampilkan suatu kondisi
dengan nilai parameter
dan
. Pemilihan parameter ini
memberikan kondisi .
Gambar 8 Bidang fase untuk kondisi . Pada gambar terlihat hubungan antara
hepatosit sehat, hepatosit yang terinfeksi dan virus. Hubungan ini menunjukkan bahwa populasi tidak menuju ke suatu titik tertentu,
IV SIMPULAN
Dari hasil analisis terhadap model infeksivirus hepatitis B diperoleh tiga titik tetap yaitu
, , dan . Titik tetap dan dianalisis dengan menggunakan pelinearan dan matriks Jacobi. Sedangkan untuk titik tetap dianalisis dengan melakukan transformasi ke bentuk persamaan diferensial baru.
Dengan memilih nilai parameter model, terdapat suatu kondisi yang menyebabkan perubahan kestabilan dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil yaitu pada saat menurunkan laju kematian virus. Setelah dilakukan simulasi terhadap model terdapat limit cycle, ini menunjukkan bahwa terjadi bifurkasi Hopf.
Dari hasil simulasi yang diperoleh, dengan memilih nilai parameter yang berbeda dapat terlihat hilang atau tidaknya suatu infeksi virus. Misalkan pada simulasi pertama dengan laju pertumbuhan virus yang kecil, hasil simulasi menunjukkan bahwa populasi hepatosit sehat menuju ke suatu nilai yang sangat besar yaitu ukuran maksimal hati.
Sedangkan populasi hepatosit yang terinfeksi dan populasi virus berkurang hingga pada akhirnya habis. Pada simulasi kedua dan ketiga dengan meningkatkan laju pertumbuhan virus, hasil simulasi menunjukkan bahwa hati dalam keadaan kronis karena infeksi virus terjadi secara kontinu. Hasil simulasi keempat dengan meningkatkan laju interaksi hepatosit dengan virus menunjukkan terjadinya kegagalan hati. Hal ini ditunjukkan dengan melihat dinamika populasi hepatosit sehat, hepatosit yang terinfeksi dan virus dalam jangka panjang ketiganya habis.
DAFTAR PUSTAKA
Anton H. 1995. Aljabar Linear Elementer. Edke-5. Terjemahan Pantur Silaban dan I Nyoman Susila. Jakarta: Erlangga. Arguin PM, Kozarsky PE, Reed C. 2007.
CDC Health Information for International Travel 2008. Philadelphia: Elsevier. Viral Infection Model with Logistic Hepatocyte Growth. Math Biol Eng 60:573-590.
Fisher SD. 1990. Complex Variables. Second Edition. California: Wadsworth & Brooks/Cole.
Giesecke J. 1994. Modern Infectious Disease Epidemilogy. Oxford: Oxford University Press.
Hsu SB, Hwang TW, Kuang Y. 2001. Global Analysis of The Michaelis-Menten-Type-Ratio-Dependent Predator-Prey System. J Math Biol 42:489-506.
Hwang TW, Kuang Y. 2003. Deterministic Extinction Effect of Parasites on Host Populations. J Math Biol 46:17-30. Murray JD. 1993. Mathematical Biology.
Second Corrected Edition. Heidelberg: Springer-Verlag.
Nowak MA, May RM. 2000. Virus Dynamics. Oxford: Oxford University Press. Nowak MA, Bonhoeffer S, Hill AM, Boehme
R, Thomas HC, McDade H. 1996. Viral Dynamics in Hepatitis B Virus Infection. Proc Natl Acad Sci USA 93: 4398-4402.
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos: wiith Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Canada: Addison-Wesley Publishing Company.
Szidarovsky F & Bahill AT. 1998. Linear System Theory. Florida: CRC Press.
Tu PNV. 1994. Dynamic System:, An Introduction with Application in Economics and Biology. Heidelberg: Springer-Verlag.
Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2 Teorema 2
Misalkan bilangan-bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik
adalah negatif jika dan hanya jika positif dan . Bukti:
Misalkan bilangan-bilangan real yang memenuhi persamaan karakteristik
Dari persamaan maka dan
jika . Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, maka bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik negatif jika dan hanya jika positif, dimana:
Karena , maka .
Lampiran 2 Penentuan Titik Tetap Model Infeksi Virus Hepatitis B. Titik tetap diperoleh dengan menetapkan
Persamaan dapat dinyatakan sebagai
sehingga diperoleh nilai sebagai berikut: atau
Persamaan dapat dinyatakan sebagai
atau
Persamaan kuadrat di atas memenuhi akar-akar dan sebagai berikut:
atau
Persamaan dapat dinyatakan sebagai
atau
Dari persamaan diperoleh nilai sebagai berikut:
Persamaan dapat dinyatakan sebagai
Jika disubstitusikan ke persamaan untuk , maka diperoleh Karena
dan , maka diperoleh Sehingga diperoleh titik tetap
Jika dan disubstitusikan ke persamaan untuk , maka diperoleh . Sehingga diperoleh titik tetap
Untuk memperoleh titik tetap , substitusikan
Sehingga diperoleh titik tetap dengan
Titik tetap dapat dinyatakan sebagai
Titik tetap dapat dinyatakan sebagai
Dari didapat sebagai berikut:
atau
Lampiran 3 Penentuan Nilai Eigen Persamaan (3.7) Misalkan persamaan (3.7) dituliskan sebagai
Matriks Jacobi diperoleh sebagai berikut:
Pada titik tetap diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
Nilai eigen dari matriks Jacobi diperoleh dari
atau
Sehingga nilai eigen diperoleh sebagai berikut:
Jadi, matriks Jacobi untuk titik tetap adalah sebagai berikut:
dengan
>
Hasil yang diperoleh memberikan koefisien dari adalah 1.
Untuk mendapatkan koefisien , yaitu diselesaikan sebagai berikut:
Dari hasil yang diperoleh, maka persamaan karakteristik menjadi
Sehingga
Pelinearan titik tetap dengan mensubstitusikan nilai parameter untuk simulasi yaitu dan , maka akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
Lampiran 4 Hasil Transformasi
Transformasi ini dilakukan untuk mengubah variabel menjadi variabel dengan dan . Sehingga diperoleh
Titik tetap diperoleh dengan menggunakan perintah
Titik tetap pertama dinyatakan dengan Titik tetap kedua dinyatakan dengan
Titik tetap ketiga dinyatakan dengan dengan dan dapat dituliskan sebagai berikut:
Sedangkan dapat dituliskan sebagai
Titik tetap keempat dinyatakan dengan yang diperoleh dari
Matriks Jacobi untuk transformasi adalah
dengan
