ALGORITMA INTERIOR POINT UNTUK
MENYELESAIKAN PROGRAM
INTEGER
TESIS
Oleh
SATRIAWAN TARUNA 087021019/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2011
ALGORITMA INTERIOR POINT UNTUK
MENYELESAIKAN PROGRAM
INTEGER
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
SATRIAWAN TARUNA 087021019/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Judul Tesis : ALGORITMA INTERIOR POINT UNTUK MENYELESAIKAN PROGRAM INTEGER Nama Mahasiswa : Satriawan Taruna
Nomor Pokok : 087021019 Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) (Prof. Dr. Tulus, M.Si)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi, Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 17 Pebruari 2011
Telah diuji pada
Tanggal 17 Pebruari 2011
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Tulus, M.Si
ABSTRAK
Metode branch and bound dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan pro-gram integer dengan menyederhanakan persamaan propro-gram linier yang terdapat dalam permasalahan tersebut. Penyelesaiannya dilakukan dengan proses relaksasi program linier dari persoalan program integer tersebut.
Penelitian algoritma interior point untuk menyelesaikan permasalahan pro-gram integer telah banyak dilakukan. Tesis ini menjelaskan bagaimana metode branch dan bound serta metode cutting plane, merupakan metode yang sangat baik dalam penyelesaian masalah program integer yang akan dijelaskan secara tegas. Kesulitan yang utama dalam penggunaan metode interior point dengan menggunakan metode branch dan bound adalah teknik memodelkan persoalan program integer dengan kendala yang dimiliki. Algoritma interior point menggam-barkan beberapa kendala yang muncul sehingga teknik komputasi akhirnya dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan program integer yang dimaksud.
Kata kunci : Program Integer, branch and bound, interior point.
i
ABSTRACT
TBranch-and-bound is a method of solving an program integer problem by solving a sequence of linear programming problems. The subproblems can be regarded as forming a tree, rooted at the linear programming relaxation of the integer program-ming problem.
Research on using interior point algorithms to solve integer programming problems is surveyed. This thesis concentrates on branch and bound and cutting plane methods, a potential function method is also briefly mentioned. The princi-pal difficulty with using an interior point algorithm in a branch and cut method to solve integer programming problems is in warm starting the algorithm efficiently. Methods for overcoming this difficulty are described and other features of the al-gorithms are given. This thesis focuses on the techniques necessary to obtain an efficient computational implementation.
KATA PENGANTAR
Puji dan Syukur kehadirat Allah SWT, atas segala Rahmat dan Karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan Tesis ini. Shalawat dan salam semoga dilimpahkan kepada Rasulullah SAW.
Tesis ini ditulis dan diajukan sebagai pemenuhan salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains dalam Program Study Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara di Medan.
Penulis menyadari bahwa baik isi maupun cara penulisan Tesis ini masih jauh dari sempurna, akibat kekurangmampuan penulis, oleh karena itu penulis mengharapkan koreksi dan saran dari pembaca demi kesempurnaan Tesis ini.
Dalam rangka penyelesaian Tesis ini penulis telah banyak dibantu oleh berba-gai pihak, dan pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H. M.Sc. (CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang memberi kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan di Universitas Sumatera Utara. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Ir. A. Rahim Matondang,MSIE selaku Direktur Pas-casarjana Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Ma-gister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc. selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc. sebagai Pembimbing I yang telah banyak memberi masukan-masukan yang bermanfaat dalam penulisan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. sebagai Pembimbing II yang penuh kesabaran membimbing dan mengarahkan penulis sehingga tesis ini dapat selesai.
Bapak Dr. Marwan Ramli, M.Si. sebagai Penguji yang juga banyak
mem-iii
berikan masukan dan arahan sehingga selesainya tesis ini.
Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si. sebagai Penguji yang juga banyak memberikan masukan dan arahan sehingga selesainya tesis ini.
Bapak/Ibu DosenProgram Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah membekali ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan hingga selesai. Ibu Misiani, S.Si. selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matemati-ka FMIPA USU yang telah memberiMatemati-kan pelayanan administrasi selama mengikuti pendidikan.
Seluruh rekan-rekan mahasiswa program studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2008. Khususnya Bapak Ardianta, Bapak Makmur Tarigan, Bapak Benar Surbakti, Bapak Baihotma Sitompul, Bapak Gim Tarigan, Ba-pak Djakaria Sebayang, Ibu Rusmini Dewi, dan Ibu Sinek Malem Br. Pinem, yang telah memberikan saran dan dorongan kepada penulis sehingga Tesis ini dapat diselesaikan.
Istri tercintaDini Sartikadan anak-anak tersayangGaluh Atika Nabila dan Puan Abidah Nitisara, yang dengan penuh pengertian dan sabar memberikan motivasi dan dorongan sehingga Tesis ini dapat diselesaikan.
Semua pihak yang tidak dapat disebut satu persatu yang telah memberikan ban-tuan baik moril maupun materil kepada penulis sehingga Tesis ini dapat selesai.
Akhirnya kepada Allah SWT penulis mohon ampun dan petunjuk, kiranya Tesis yang tidak sempurna ini dapat bermanfaat bagi kita semua.
Medan, 17 Pebruari 2011
Penulis,
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Patumbak pada tanggal 19 Mei 1960, sebagai anak kedua dari tujuh bersaudara dari orang tua, Salim Arief dan Rosani Simbolon. Penulis menamatkan Sekolah Dasar di SD Negeri N0. 2 Batang Kuis ,lulus tahun 1972. Sekolah Menengah Pertama di SMP Ampera Bersubsidi Batang Kuis, lu-lus tahun 1975. Sekolah Menengah Atas di SMA Negeri 3 Medan, lulu-lus tahun 1979. Pada tahun 1979 Penulis melanjutkan pendidikan sarjana di Universitas Sumatera Utara pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam juru-san Matematika dan lulus pada tahun 1986. Dari tahun 1993 sampai sekarang Penulis bertugas sebagai staff pengajar pada Politeknik Negeri Medan. Tahun 2008 penulis berkesempatan untuk melanjutkan program master pada Program Studi Magister Matematika Sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara Medan.
v
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK i
ABSTRACT ii
KATA PENGANTAR iii
RIWAYAT HIDUP v
DAFTAR ISI vi
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 2
1.3 Tujuan Penelitian 2
1.4 Kontribusi Penelitian 3
1.5 Metodologi Penelitian 3
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA 4
2.1 Program Linier 4
2.2 Program Integer 6
2.3 Interior Point 6
2.4 Optimisasi dengan Algoritma Interior Point 8
BAB 3 ALGORITMA INTERIOR POINT 12
3.2 Relaksasi Program Integer 15
BAB 4 INTERIOR POINT DENGAN BRANCH DAN BOUND 18
4.1 Metode Branch dan Bound 18
4.2 Algoritma dengan Iterasi Positif 20
4.3 Penentuan Solusi Layak 22
BAB 5 KESIMPULAN 24
DAFTAR PUSTAKA 25
vii
ABSTRAK
Metode branch and bound dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan pro-gram integer dengan menyederhanakan persamaan propro-gram linier yang terdapat dalam permasalahan tersebut. Penyelesaiannya dilakukan dengan proses relaksasi program linier dari persoalan program integer tersebut.
Penelitian algoritma interior point untuk menyelesaikan permasalahan pro-gram integer telah banyak dilakukan. Tesis ini menjelaskan bagaimana metode branch dan bound serta metode cutting plane, merupakan metode yang sangat baik dalam penyelesaian masalah program integer yang akan dijelaskan secara tegas. Kesulitan yang utama dalam penggunaan metode interior point dengan menggunakan metode branch dan bound adalah teknik memodelkan persoalan program integer dengan kendala yang dimiliki. Algoritma interior point menggam-barkan beberapa kendala yang muncul sehingga teknik komputasi akhirnya dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan program integer yang dimaksud.
ABSTRACT
TBranch-and-bound is a method of solving an program integer problem by solving a sequence of linear programming problems. The subproblems can be regarded as forming a tree, rooted at the linear programming relaxation of the integer program-ming problem.
Research on using interior point algorithms to solve integer programming problems is surveyed. This thesis concentrates on branch and bound and cutting plane methods, a potential function method is also briefly mentioned. The princi-pal difficulty with using an interior point algorithm in a branch and cut method to solve integer programming problems is in warm starting the algorithm efficiently. Methods for overcoming this difficulty are described and other features of the al-gorithms are given. This thesis focuses on the techniques necessary to obtain an efficient computational implementation.
Keywords : Integer programming, branch and bound, interior point.
ii
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perkembangan baru yang paling dramatis dalam permasalahan optimisasi adalah pendekatan titik interior untuk menyelesaikan permasalahan program li-nier. Penemuan interior point berhasil mengembangkan algoritma baru untuk program linier. Algoritma interior point digunakan untuk menyelesaikan masa-lah program linier yang kompleks, yaitu yang memiliki kendala fungsional dan variabel keputusan, yang jumlahnya sangat besar. Karena, algoritma ini mem-butuhkan jumlah iterasi yang sedikit, sehingga dengan mempertimbangkan wak-tu hiwak-tungan rata-rata per-iterasi, maka wakwak-tu hiwak-tungan yang dibuwak-tuhkan unwak-tuk menyelesaikan masalah tersebut sering kali lebih cepat dibandingkan dengan me-tode simplex, untuk masalah dengan ukuran yang sama (Mitchel, 1998). Saat ini algoritma interior point terus dikembangkan dengan memasukkan model metode simpleks dan variannya sehingga menyempurnakan metode interior point yang dimaksud. Solusi penyelesaian dengan menggunakan algoritma interior point adalah dengan menemukan solusi kunci dengan menentukan karakteristik yang sama yaitu secara algoritma iteratif. Algoritma ini dimulai dengan mengidenti-fikasi solusi percobaan yang layak disetiap iterasi yang dilakukan, sehingga terjadi perpindahan dari solusi percobaan saat ini menuju solusi percobaan lain yang lebih baik dalam daerah layak. Kemudian proses ini berlanjut hingga mencapai solusi
percobaan yang optimal.
Program Linier dan program integer banyak ditemukan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Persoalan yang berhubungan dengan program linier memi-liki permasalahan yang lebih kompleks karena solusi yang digunakan ataupun data yang digunakan lebih majemuk yaitu satuannya dapat berupa bilangan bulat, bi-langan pecahan, ataupun bibi-langan rasional.
2
lebih sederhana karena satuan penyelesaian yang ditemukan dalam bentuk bi-langan bulat yang lebih mudah.
Metode branch and bound dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan program linier dengan cara melakukan relaksasi terhadap persoalan yang ber-hubungan dengan program linier sampai diperoleh penyelesaian persoalan yang optimal serta solusi yang layak. Dalam beberapa persoalan program linier, pen-dekatan algoritma interior point akan diperoleh penyelesaian program linier yang lebih baik dibandingkan dengan menggunakan metode simpleks (Mitchel, 1998).
Metode Branch and Cut untuk persoalan program linier merupakan gabu-ngan antarametode cutting plane dengan metode branch and bound. Metode cut-ting plane dalam menyelesaikan persoalan program linier dengan menggunakan relaksasi program linier sebagai solusi penyelesaian masalah. Jika solusi optimal dari program linier terpenuhi dari persoalan program integer maka penyelesai-an program integer terselesaikpenyelesai-an dengpenyelesai-an baik. Penyelesaipenyelesai-an program linier da-pat diselesaikan dengan menggunakan penambahan kolom sebagai kendala untuk memperoleh solusi optimal sebagai solusi yang layak (Goffin & Vial, 1990)
1.2 Perumusan Masalah
Permasalahan yang dihadapi adalah kapan digunakan algoritma interior point, dan saat yang bagaimana metode interior point biasanya digunakan untuk menyelesaikan program integer. Penyelesaian program integer dengan algoritma interior point dimulai dengan memodelkan persoalan dalam bentuk integer pro-gramming menggunakan metode branch and bound dan dikombinasikan dengan metode cutting plane untuk memperoleh solusi optimal.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah menunjukkan penggunaan algoritma interior point dalam bentuk model optimisasi untuk menyelesaikan persoalan program integer sehingga diperoleh solusi optimal. Dengan penggunaan algoritma
3
rior point maka permasalahan program integer dapat diselesaikan dengan model optimisasi yang memuat fungsi tujuan dan kendala yang dimiliki.
1.4 Kontribusi Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat pada masalah yang berhubungan dengan program integer terutama dengan menggunakan algoritma interior point untuk menentukan solusi optimal dari persoalan optimisasi.
1.5 Metodologi Penelitian
Penelitian ini bersifat studi literatur ataupun studi kepustakaan dengan mengacu pada jurnal-jurnal internasional yang berhubungan dengan program in-teger serta penggunaan algoritma interior point dengan langkah-langkah metode penelitian adalah :
1. Menjelaskan tentang program integer dan aplikasinya.
2. Mengumpulkan bahan-bahan kajian pustaka yang berhubungan dengan al-goritma interior point serta hubungannya dengan program integer.
3. Menjelaskan penggunaan algoritma interior point dengan menggunakan me-tode Branch and Bound.
BAB 2
KAJIAN PUSTAKA
2.1 Program Linier
Penyelesaian program linear dengan algoritma interior point dapat meru-pakan sebuah penyelesaian persoalan yang kompleks. Permasalahan dalam pro-gram linier mungkin saja persoalan tersebut memiliki banyak kendala. Penggu-naan metode interior point dilakukan melalui proses relaksasi sampai pada taha-pan persoalan program linier memiliki solusi yang baik dan layak serta merupakan solusi optimal.
Permasalahan program linier yang kompleks, untuk menemukan solusi opti-mal yang merupakan daerah jawab dapat diselesaikan dengan melakukan kombi-nasi antara metode simpleks dengan algoritma interior point, (Bixby & Gregory, 1992).
Model interior point erat kaitannya dengan metode branch dan bound teruta-ma yang berhubungan dengan perteruta-masalahan mencari solusi optiteruta-mal dari persoalan optimisasi. Permasalahan yang dihadapi dalam menyelesaikan permasalahan pro-gram linier adalah menentukan sistem penyelesaian dengan menggunakan algorit-ma interior point untuk memperoleh solusi yang optialgorit-mal.
Kesulitan yang lain adalah bagaimana menggambarkan keseluruhan model dengan sebuah algoritma interior point. Model algoritma interior point yang dimaksud berfokus pada bagaimana teknik komputasi dilakukan dengan menggu-nakan beberapa referensi ataupun teori dasar yang berlaku.
Persoalan program integer dengan menggunakan algoritma interior point yaitu branch dan cut method adalah pendekatan yang dilakukan dengan mema-dukan metode branch and bound dan cutting plane sebagai pendekatan model program integer yang dimaksud.
4
5
Kedua pendekatan tersebut adalah sebuah kombinasi yang baik untuk dapat digunakan sebagai penyelesaian dalam persoalan program integer.
Model deterministik adalah salah satu model yang telah digunakan untuk penyelesaian program integer. Model deterministik dapat didefinisikan sebagai sebuah formula yang berdasarkan pada penentuan sebuah solusi terbaik dari per-masalahan yang memiliki konfigurasi atau karakteristik tertentu. Model deter-ministik dapat dipakai untuk menentukan maksimum atau minimum jarak dari suatu titik ke titik lain. Untuk menentukan maksimum atau minimum dari se-buah fungsi yang mempunyai kendalaxdalam himpunan kendala X maka model deterministiknya dapat ditulis sebagai sebuah model maksimum atau minimum.
Model deterministik dapat digunakan sebagai salah satu model pendekatan untuk persoalan program integer dengan teknik membagi-bagi data kedalam kelom-pok yang sama. Sehingga diperoleh suatu nilai bulat yang dipilih mewakili masing-masing kelompok. Data yang bulat diinput terdiri dari parameter ρij yang
me-nunjukkan kesamaan dari setiap pasang data integer (i, j) untuk setiap kelompok program integer yang dimodelkan kepada bentuk interior point dengan algorit-manya. Model deterministik yang diperoleh akan lebih mudah digunakan karena memuat koefisien-koefisien korelasi sebagai parameter yang sama untuk setiap kelompok, tetapi masih terdapat kemungkinan faktor lain yang mempengaruhi pemodelan program integer pada masing-masing kelompok. Pendekatan dengan model deterministik tidak memberikan jaminan akan menghasilkan model serta penyelesaian yang efisien, tetapi pada dasarnya menghasilkan indeks lebih baik sebagai solusi optimal yang diinginkan untuk dicapai.
6
2.2 Program Integer
Program integer banyak ditemukan dalam persoalan-persoalan yang berhu-bungan dengan keadaan yang sebenarnya yang terjadi dialam. Program integer menggunakan data yang bulat sesuai satuan data yang tidak dapat dipecah-pecah menjadi data yang lebih kecil lagi. Program integer banyak dipakai didunia pem-rograman komputer untuk menentukan nilai maksimum ataupun minimum dari suatu proses yang akan dihitung.
Program integer tergolong pemrograman yang sederhana jika ditinjau dari penggunaan satuan data yang digunakan. Hal ini membuat program integer men-jadi program yang paling sering dimen-jadikan program dasar untuk lebih memudahkan perhitungan dengan bentuk data yang bulat atau tidak adanya pembulatan se-hingga dipastikan keseluruhan data dapat diolah sedemikian rupa menjadi lebih mudah.
Penyelesaian persoalan program integer salah satunya dengan menggunakan algoritma interior point untuk menghitung nilai optimal dari sebuah persoalan op-timisasi. Metode yang digunakan yaitu branch dan cut method yang merupakan sebuah pendekatan yang dilakukan dengan memadukan metodebranch and bound
dancutting planesebagai pendekatan model program integer yang dimaksud. Ke-dua pendekatan tersebut adalah sebuah kombinasi yang baik untuk dapat digu-nakan sebagai penyelesaian dalam persoalan program integer.
2.3 Interior Point
Interior point pada dasarnya adalah penggunaan metode cutting plane dan metode branch and bound untuk menyelesaikan persoalan optimisasi yang bersi-fat program integer. Beberapa permasalahan program linier diselesaikan dengan mengidentifikasi permasalahan menjadi zero variabel ataupun sampai tidak memi-liki kendala lagi dalam penyelesaian persoalan program linier dengan menggu-nakan interior point, (El-Bakry et al, 1991). Algoritma interior point yang di-gunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi terlebih dahulu disederhanakan
7
dengan menghilangkan faktor-faktor ataupun kendala yang dapat dihilangkan de-ngan melakukan proses relaksasi dede-ngan iterasi.
Pendekatan metode cutting plane dan metode branch and bound dapat dikombinasikan menjadi sebuah algoritma yang disebut algoritma branch dan cut dengan menggunakan tahapan tertentu sehingga menghasilkan metode inte-rior point. Algoritma branch and cut tersebut kemudian dinamakan algoritma interior point.
Model awal dari program integer dinyatakan dengan :
Min cTx (2.1)
Kendala Ax≥ b
x∈Z
dimanax dan cadalah vektor berbasis n dan badalah vector berbasis m dimana A adalah matriks m ×n, dan solusi penyelesaian diperoleh dari variable yang bersifat biner. Untuk memperoleh penyelesaian yang layak dari persoalan diatas dapat diselesaikan dengan mencari solusi persoalan program linier dari sebuah polyhedron Qdengan min{cTx, x∈Q}.
Model iterasi program linier dengan primal dual untuk menentukan sebuah titik sebagai solusi penyelesaian dapat ditentukan dengan pendekatan primal dual sebagai alat koreksi untuk menentukan daerah jawab yang optimal sebagai jawab akhir dari problema interior point (Lustig & Mehrota, 1992)
Dari penyelesaian tersebut diatas akan diperoleh beberapa solusi optimal yang penyelesaiannya dapat menggunakan algoritma interior point. Kesulitan daripada penggunaan model yang diekspresikan dengan polyhedron Q adalah menjabarkannya menjadi metode cutting plane dengan menggunakan model
re-laksasi dengan program linier.
Model relaksasi program linier dapat ditulis :
Min cTx (2.2)
Kendala Ax≥b
8
dimana e adalah sebuah vector dari salah satu solusi persoalan yang merupakan solusi layak model optimisasi tersebut. Kemudian daerah penyelesaian yang lain dapat ditentukan dengan :
QLP P ={x∈Rn:Ax ≥b,0≤ x≤e} (2.3)
Sehingga diperoleh model :
Max bTy−eTw
Kendala ATy−w≤c
y, w≥0
(2.4)
Dimana y adalah merupakan bagian darim yaitu vektor baris dan w bagian dari n yaitu vektor kolom.Selanjutnya diperoleh variable s=Ax−byang merupakan variabel slack dari primal program linier danx=c−ATy+w dan x merupakan
bagian vektor n dengan diagonal matriks n ×n dari Xii = xi. Matriks
diago-nal Y, W, Z dan S kemudian dapat diperoleh dengan melakukan iterasi terhadap model :
XZe−µe= 0, SY e−µe= 0,(I−X)W e−µe= 0 (2.5)
Pendekatan yang digunakan dengan memakaiµ sebagai dasar dari proses iterasi yang dilakukan dengan menggunakan vector dan variable µ sebagai scalar.
2.4 Optimisasi dengan Algoritma Interior Point
Persoalan optimisasi program integer dapat diselesaikan dengan menggu-nakan algoritma cutting plane yaitu relaksasi program linier dengan menentukan solusi optimal xyang ditentukan dengan model cutting plane adalah :
aT0x=b0 (2.6)
dimana a0 adalah n vector dan b0 adalah sebuah scalar. Penentuan solusi layak ditentukan dengan variable ˆx dari
aT
0x < b0ˆ
9
selanjutnya nilai ˆx yang memenuhi daerah jawab adalah
aT
0xˆ≥b0
Kendala aT
0xˆ ≥ b0 dimuat dalam model program linear dengan menggunakan relaksasi program linear adalah :
Min cTx (2.7)
Kendala Axˆ≥b
aT0xˆ≥b0
0≤xˆ≤e
Dengan menggunakan metode dual problem model optmisasi (2.7) dapat ditulis menjadi :
Max bTy+b0y0−eTw
Kendala ATy+a0y0−w≤c
y, y0, w≥0
dimanay0 adalah sebuah scalar dan proses iterasi dilakukan sehingga diperoleh ˆx sebagai jawab solusi awal.
Pengembangan model cutting plane sebagai bagian dari algoritma interior point dapat menggunakan metode analisis solusi daerah penyelesaian tertentu yaitu menentukan daerah jawab berdasarkan persoalan optimisasi yang disele-saikan secara relaksasi. (Atkinson & Vaidya, 1992)
10
Solusi layak dari persoalan interior point dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan optimisasi program linier dengan melakukan primal atau dual iterasi. Metode interior point diselesaikan dengan cara terlebih dahulu menentukan primal dan dual slack.
Persoalan yang kompleks untuk optimisasi program linier diselesaikan de-ngan melakukan iterasi secara primal atau dual. Dede-ngan melakukan proses iterasi primal dan dual maka diperoleh solusi yang layak berupa daerah jawab sebagai solusi yang merupakan nilai optimal yang disebut dengan titik optimal sebagai jawab untuk interior point yang diinginkan dari persoalan optmisasi program in-teger.
Dalam beberapa kasus persoalan optimisasi program integer yang kompleks, jika penyelesaian optimisasi dengan melakukan iterasi tidak memperoleh solusi optimal, maka dapat digunakan metode cutting plane pada daerah jawab yang mungkin belum memiliki solusi optimal. Jika solusi optimal belum diperoleh ma-ka tahapan iterasi program integer dengan menggunama-kan konsep interior point dari algoritma cutting plane dilakukan dengan tahapan sebagai berikut: Lakukan proses inisialisasi, tentukan variable slack dan model primal dual yang akan di-lakukan, selanjutnya lakukan proses relaksasi, dimana solusi yang layak diperoleh dengan beberapa kali melakukan iterasi dengan menggunakan algoritma interior point. Jika proses iterasi dilakukan sudah pada tahapan yang maksimal maka so-lusi yang akurat dan diinginkan sudah diperoleh sehingga proses iterasi berhenti.
Implementasi selanjutnya adalah dengan menggunakan metode cutting plane, perhatikan beberapa kendala yang mungkin belum dipenuhi ketika sudah diper-oleh solusi optimal, jika memang terdapat kendala yang belum terpenuhi maka tahapan penggunaan metode cutting plane harus dilakukan. Proses penyelesaian akhir yang dilakukan adalah proses relaksasi kembali seperti tahapan dua jika per-soalan optimisasi program integer belum mempunyai daerah jawab sebagai solusi optimal.
11
Tahapan yang paling baik untuk menyelesaikan persoalan optimisasi pro-gram integer adalah dengan menggunakan primal dual yang dilakukan dengan tahapan relaksasi melalui iterasi-iterasi dengan algoritma cutting plane. Bebe-rapa persoalan algoritma interior point menggunakan iterasi primal dual seperti yang dilakukan dalam penyelesaian optimisasi dengan menggunakan algoritma cutting plane. Algoritma cutting plane dimulai dengan melakukan pemisahan se-cara bertahap dengan menyederhanakan variable-variabel yang kompleks menjadi penyelesaian yang sederhana untuk mendapatkan hasil yang optimal.
BAB 3
ALGORITMA INTERIOR POINT
3.1 Algoritma Interior Point
Algoritma interior point adalah algoritma yang dibangun dengan beberapa iterasi dengan menentukan titik-titik interior yang masuk kedalam daerah solusi penyelesaian jawaban yang diperoleh sebagai daerah layak. Algoritma interior point berbeda dengan metode simpleks, dimana dalam metode simpleks iterasinya menggunakan titik ekstrem untuk menentukan solusi daerah jawab.
Penyelesaian teknik komputasi dengan metode interior point umumnya meng-gunakan waktu penyelesaian yang lebih sederhana jika dibandingkan dengan me-tode branch dan bound yang penyelesaiannya lebih baik dibandingkan dengan metode simpleks, terutama jika dipakai dalam penyelesaian permasalahan yang kompleks serta memiliki banyak variabel sehingga memiliki banyak kendala yang harus diselesaikan akan memiliki solusi optimal yang berada pada daerah penye-lesaian.
Dalam penyelesaian masalah yang sebenarnya dengan menggunakan interior point, perlu dimodifikasi serta ditentukan batasan penyelesaian masalah sehingga diperoleh model program linier adalah :
Min cTx (3.1)
Kendala Ax=b
x≥0
Jikacdanxmerupakannvektor , danbadalahmvektor makaAdapat dikatakan menjadi fungsi barrier dengan model :
13
Kendala Ax=b
x≥0
Dengan µ adalah suatu konstanta positip
Sehingga diperoleh nilai optimalnya sebagai berikut :
Ax=b (3.3)
ATy+z =c (3.4)
XZe =µe (3.5)
Dimana e adalah vektor gabungan dari seluruh vektor yang terdapat pada model dan y adalah bagian dari vektorm serta z adalah vektor non negatif dari vektor n.
Iterasi dari algoritma interior dalam penyelesaian persoalan program integer terdiri dari tiga bagian yaitu :
a. Tahapan newton yaitu mencari solusi dari persoalan program linier dengan mengkalkulasikan setiap nilai yang ingin diperoleh solusi optimalnya. Tahap ini dikenal dengan nama tahap prediksi nilai solusi optimal yang layak.
b. Selanjutnya gunakan hasil perhitungan tersebut untuk memperoleh nilai µ yang baru sesuai solusi yang diperoleh dari daerah jawab.
c. Tahapan selanjutnya adalah tahapan koreksi terhadap nilai yang diperoleh serta ditentukan titik interior sebagai daerah jawab dari persoalan program integer yang diselesaikan.
14
Salah satu metode lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan per-soalan program integer adalah dengan model :
A△Px= 0 (3.6)
AT△py+△pz = 0 (3.7)
Z△px+X△pz =−XZe (3.8)
Tahapan diatas merupakan tahapan tahapan yang dilakukan untuk menentukan solusi optimal dari daerah jawab, selanjutnya model disederhanakan dengan :
AZ−1
XAT△py=−AXe (3.9)
Dengan menyederhanakan model tersebut, selanjutnya diperoleh nilaiµ yang di-inginkan dari persoalan program integer yaitu :
µ+
= gp/xTz 2
gp/n (3.10)
Selanjutnya dilakukan iterasi-iterasi sampai diperoleh solusi yang layak serta me-menuhi daerah jawab yaitu :
A△x= 0 (3.11)
AT△y+△z = 0 (3.12)
Z△x+X△z =µ+
−XZe−vp (3.13)
Kemudian dihitung nilai x, y dan z dengan menggunakan metode primal dual sebagai kelanjutan dari tahapan iterasi yang telah dilakukan untuk memperoleh solusi optimal yang layak, sehingga nilai masing - masing ditentukan dengan model :
Setelah dilakukan beberapa iterasi maka disempurnakan dengan melakukan aproksi-masi tahap kedua, sehingga diperoleh titik interior point yang diharapkan serta memenuhi daerah jawab :
Z△x+X△z+v= µ+
−XZ
e
15
dimana vadalah vektor yang ditentukan dengan vi =△xi△zi.
3.2 Relaksasi Program Integer
Untuk menggunakan algoritma interior point dengan relaksasi program in-teger, pertama diasumsikan bahwa persoalan program integer memiliki korespon-densi dual problem. Untuk menentukan titik interior x yang memenuhi daerah jawab Axˆ≥b dengan daerah batas penyelesaian adalah aT
0xˆ≥b0.
Selanjutnya untuk menentukan solusi optimal x yang ditentukan dengan model cutting plane adalah :
aT
0x=b0
dimana a0 adalah n vektor dan b0 adalah sebuah scalar. Penentuan solusi layak ditentukan dengan variable ˆx dari
aT
0x < b0ˆ
selanjutnya nilai ˆx yang memenuhi daerah jawab adalah
aT0xˆ≥b0
Kendala aT
0xˆ ≥ b0 dimuat dalam model program linear dengan menggunakan relaksasi program integer adalah :
Min cTx
Kendala Ax≥b
aT0xˆ≥b0
0≤xˆ≤e
Dengan menggunakan metode dual problem model optimisasi tersebut dapat di-tulis menjadi :
Max bTy+b0y0−eTw
Kendala ATy+a0y0−w≤c
16
dimana y0 adalah sebuah scalar dan proses iterasi dilakukan sehingga diperoleh x sebagai jawab solusi awal. Model iterasi program integer dengan primal du-al untuk menentukan sebuah titik sebagai solusi penyelesaian dapat ditentukan dengan pendekatan primal dual sebagai alat koreksi untuk menentukan daerah jawab yang optimal sebagai jawab akhir dari problema interior point (Lustig & Mehrota, 1992)
Sedangkan persoalan program integer yang kompleks, untuk menemukan so-lusi optimal yang merupakan daerah jawab dapat diselesaikan dengan melakukan kombinasi antara metode simpleks dengan algoritma interior point, (Bixby et al, 1992). Interior point digunakan sebagai salah satu teknik untuk menemukan so-lusi yang terbaik dari persoalan program integer yang tergolong kompleks ataupun persoalan yang memiliki banyak kendala dan harus diselesaikan dengan menggu-nakan banyak relaksasi yang menggumenggu-nakan iterasi sebagai proses penyederhanaan permasalahan yang diinginkan dengan menggunakan algoritma interior point.
Dalam beberapa kasus persoalan optimisasi program integer yang kompleks, jika penyelesaian optimisasi dengan melakukan iterasi tidak memperoleh solusi optimal , maka dapat digunakan metode cutting plane pada daerah jawab yang mungkin belum memiliki solusi optimal. Jika solusi optimal belum diperoleh maka tahapan iterasi program integer dengan menggunakan konsep interior point dan algoritma cutting plane dilakukan dengan tahapan sebagai berikut :
1. Lakukan proses inisialisasi, tentukan variable slack dan model primal dual yang akan dilakukan.
2. Lakukan proses relaksasi, dimana solusi yang layak diperoleh dengan bebe-rapa kali melakukan iterasi dengan menggunakan algoritma interior point.
Jika proses iterasi dilakukan sudah pada tahapan yang maksimal maka solusi yang akurat dan diinginkan sudah diperoleh sehingga proses iterasi berhenti.
3. Gunakan metode cutting plane, perhatikan beberapa kendala yang mungkin belum dipenuhi ketika sudah diperoleh solusi optimal, jika memang terdapat
17
kendala yang belum terpenuhi maka tahapan penggunaan metode cutting plane harus dilakukan.
4. Lakukan proses relaksasi kembali seperti tahapan dua jika persoalan misasi program linier belum mempunyai daerah jawab sebagai solusi opti-mal.
BAB 4
INTERIOR POINT DENGAN BRANCH DAN BOUND
4.1 Metode Branch dan Bound
Metode Branch dan bound adalah metode penyelesaian persoalan program integer yang juga merupakan bahagian persoalan dari program linier. Permasala-han pada metode branch dan bound adalah menentukan model pohon dari relak-sasi program linier yang lebih spesifik seperti yang terjadi pada persoalan program integer.Variabel-variabel integer memiliki pergerakan nilai jika dengan menggu-nakan teknik interior point.
Ketika digunakan metode branch dan bound, satu dari empat kemungkinan yang terjadi adalah adanya beberapa node dari pohon. Permasalahan tersebut mungkin saja tidak memiliki daerah batas, tetapi ketika menggunakan metode interior point permasalahan ini dapat dideteksi artinya solusi daerah jawab yang tidak terbatas tersebut selanjutnya akan memiliki solusi jika digunakan metode interior point.
Metode branch dan bound dengan menggunakan algoritma interior point, diselesaikan dengan tahapan sebagai berikut :
1. Melakukan proses inisialisasi, yaitu melakukan relaksasi awal terhadap per-soalan program integer yang akan dicari solusi daerah penyelesaiannya. Hal tersebut dilakukan dengan cara memilih iterasi primal dual yang menggu-nakan tahapan inisialisasi awal saja dari persoalan yang ingin ditentukan solusinya.
2. Pilih salah satu node dari pohon penyelesaian yang diperoleh setelah mela-kukan inisialisasi tahap awal dari persoalan program integer yang dimaksud.
3. Menentukan model penyelesaian dari metode interior point yang dimaksud,
18
19
dengan cara melanjutkan iterasi sehingga diperoleh solusi optimal dari per-soalan program integer yang dimaksud.
4. Memeriksa solusi yang diperoleh, pastikan solusi yang diperoleh merupakan solusi yang praktis sesuai dengan yang diharapkan.
5. Melakukan pemisahan sehingga diperoleh dua buah node, dengan
menggu-nakan metode primal dual.
Selanjutnya jika xk
i menyatakan komponen ke- i dari tahapan iterasi k dapat
ditentukan dengan :
Kemudian ditentukan model optimisasi dari model program linier yang memuat variabel x0 pada interval 0 dan 1 dengan model optimisasi :
min cTx+c0x0
kendala Ax+a0x0 ≥b
0≤x, x0 ≤e
JikaAadalah ukuranm×nmatriks ,a0 danbadalah mvektor ,c0 danx0 adalah scalar, maka model optimisasinya berubah menjadi :
min cTx
kendala Ax≥¯b
0≤ x≤e
Dimana ¯b = b jika x0 tetap pada nol, dan ¯b = b− a0, jika x0 tetap pada satu Selanjutnya diperoleh nilai dual problem menjadi:
max bTy−eTw−w0
kendala ATy−w≤c
aT
0 −w0 ≤c0
20
Dan
min ¯bTy−eTw
kendala ATy−w≤c
y, w≥0
Saat ini algoritma interior point terus dikembangkan dengan memasukkan model metode simpleks dan variannya sehingga menyempurnakan metode inte-rior point yang dimaksud. Solusi penyelesaian dengan menggunakan algoritma interior point adalah dengan menemukan solusi kunci dengan menentukan karak-teristik yang sama yaitu secara algoritma iteratif. Algoritma ini dimulai dengan mengidentifikasi solusi percobaan yang layak disetiap iterasi yang dilakukan, se-hingga terjadi perpindahan solusi percobaan menuju solusi percobaan lain yang lebih baik dan masih dalam penyelesaian optimisasi yang layak. Akhirnya setelah selesai melakukan seluruh rangkaian iterasi maka diperoleh solusi optimal yang layak sebagai jawaban dari persoalan optimisasi.
Perbedaan yang besar antara metode simpleks dan metode interior point adalah pada sifat-sifat solusi percobaan yang ingin dicari jawab optimalnya. Dalam
metode simpleks solusi percobaan terus ditambahkan sehingga secara gerakan berlangsung disepanjang batas daerah layak. Dalam algoritma interior point so-lusi percobaannya adalah titik interior yaitu titik-titik yang berada pada daerah layak karena melibatkan variannya maka algoritma ini dikenal dengan nama goritma interior point. Algoritma interior point juga sering disebut sebagai al-goritma pembatas, karena perspektif pencarian memiliki solusi percobaan berupa titik-titik interior yang merupakan batas kendala yang memenuhi solusi penyele-saian optimisasi yang akan ditentukan daerah layaknya.
4.2 Algoritma dengan Iterasi Positif
Algoritma primal dual dengan cutting plane, setelah menggunakan iterasi maka diperoleh titik interior yang berada pada daerah jawab berdasarkan iterasi-iterasi yang dilakukan secara bertahap. Solusi optimal dari persoalan tersebut
21
adalah menentukan nilai optimal dari solusi yang berada pada daerah jawab de-ngan melakukan adaptasi dari setiap fungsi yang akan dilakukan iterasi dari per-soalan program integer yang diinginkan.
Algoritma interior point dengan penyelesaian primal dual dilakukan dengan menyederhanakan permasalahan program linier dengan melakukan iterasi secara bertahap. Dari iterasi yang dilakukan akan diperoleh daerah jawab yang layak dengan menggunakan iterasi secara bertahap sampai diperoleh solusi optimal.
Dari beberapa hasil penelitian yang dilakukan dengan menggunakan algo-ritma interior point persoalan yang kompleks untuk optimisasi program linier diselesaikan dengan melakukan iterasi secara primal atau dual. Proses iterasi pri-mal dual yang digunakan sebagai algoritma interior point akan diperoleh solusi yang layak berupa daerah jawab sebagai solusi yang merupakan nilai optimal yang disebut dengan titik optimal sebagai jawab untuk interior point yang diinginkan dari persoalan optimisasi program linier . Jika penyelesaian optimisasi dengan melakukan iterasi tidak memperoleh solusi optimal , maka dapat digunakan al-goritma interior point pada daerah jawab yang mungkin belum memiliki solusi optimal. Jika solusi optimal belum diperoleh maka tahapan iterasi program li-nier dengan menggunakan konsep algoritma dilakukan dengan tahapan sebagai berikut : Lakukan proses inisialisasi, tentukan variable slack dan model primal dual yang akan dilakukan, selanjutnya lakukan proses relaksasi, dimana solusi yang layak diperoleh dengan beberapa kali melakukan iterasi dengan menggu-nakan algoritma interior point. Jika proses iterasi dilakukan sudah pada tahapan yang maksimal maka solusi yang akurat dan diinginkan sudah diperoleh sehingga proses iterasi berhenti.
22
solusi optimal. Metode interior point dengan beberapa model implementasi lain yang menggunakan metode yang memakai slack pada algoritma cutting plane. Tahapan yang paling baik untuk menyelesaikan persoalan optimisasi program li-nier adalah dengan menggunakan primal dual yang dilakukan dengan tahapan relaksasi melalui iterasi-iterasi dengan algoritma cutting plane. Beberapa per-soalan algoritma interior point menggunakan iterasi primal dual seperti yang di-lakukan dalam penyelesaian optimisasi dengan menggunakan algoritma interior point. Dengan menggunakan algoritma interior point maka penggunaan meto-de cutting plane akan direduksi secara dual problem meto-dengan melakukan relaksasi secara iterasi sampai diperoleh solusi optimal yang layak.
4.3 Penentuan Solusi Layak
Banyak perbedaan antara metode interior point dengan beberapa model im-plementasi lain yang menggunakan metode yang memakai slack pada algoritma in-terior point. Tahapan yang paling baik untuk menyelesaikan persoalan optimisasi program integer adalah dengan menggunakan primal dual yang dilakukan dengan tahapan relaksasi melalui iterasi-iterasi dengan algoritma interior point. Bebe-rapa persoalan algoritma interior point menggunakan iterasi primal dual seperti yang dilakukan dalam penyelesaian optimisasi harus diselesaikan dengan beberapa tahap sampai diperoleh solusi optimal.
Algoritma interior point dimulai dengan melakukan pemisahan secara berta-hap dengan menyederhanakan variable-variabel yang kompleks menjadi saian yang sederhana untuk mendapatkan hasil yang optimal. Teknik penyele-saiannya dengan menggunakan beberapa kali proses iterasi dengan menyelesaikan permasalahan satu persatu secara relaksasi dan selanjutnya diperoleh iterasi yang paling akhir sebagai model untuk memperoleh daerah jawab.
Tahapan yang paling penting adalah memperhatikan kendala-kendala yang muncul pada tahapan relaksasi dengan melakukan iterasi untuk memperoleh solusi optimal.
23
Solusi yang diperoleh mungkin saja tidak menemukan titik interior point, walaupun secara teknis diupayakan menemukan titik cutting plane sebagai jawab layak dari permasalahan yang timbul.
BAB 5 KESIMPULAN
Algoritma interior point dapat digunakan untuk menyelesaikan program in-teger, yaitu dengan cara menggunakan metode Branch and Bound, dan Cutting plane, yang dilakukan dengan tahapan sebagai berikut:
1. Melakukan proses inisialisasi, yaitu melakukan relaksasi awal terhadap per-soalan program integer yang akan dicari solusi daerah penyelesaiannya. Hal tersebut dilakukan dengan cara memilih iterasi primal dual yang menggu-nakan tahapan inisialisasi awal saja dari persoalan yang ingin ditentukan solusinya.
2. Menentukan model penyelesaian dari metode interior point yang dimaksud, dengan cara melanjutkan iterasi sehingga diperoleh solusi optimal dari per-soalan program integer yang dimaksud.
3. Memeriksa solusi yang diperoleh, pastikan solusi yang diperoleh merupakan solusi yang layak sesuai dengan yang diharapkan.
24
DAFTAR PUSTAKA
Atkinson, D.S., & Vaidya, P.M., (1992), An analytic center based cutting plane algorithm for convex programming. Technical Report, Departement of Ma-thematics , University of Illinois at Urbana-Champaign,
Bixby, R.E., Gregory, J.W., Lustig,I.J., Marsten, R.E., & Shanno, D.F., (1992). Very large-scale linear programming: A Case study in combining interior point and simplex methods 40:885-897
El-Bakry, A.S., Tapia, R.A., & Zhang, Y., (1992) : A Study of indicators for identifying zero variables in interior point methods. Technical Report TR-91-15, Dept. of Mathematical Sciences, Rice University, Houston
Goffin, J.L., & Vial, J.P., (1990), Cutting planes and column generation techniques with the projective algorithm.Journal of Optimization Theory and Applica-tions, 65:409-429
Kamath, A.P., Karmarkar, N.K., Ramakrishnan, K.G., & Resende, M.G.C., (1992). A Continuous Approach to Inductive inference. Mathematical Pro-gramming, 57: 215-238
Lustig, I.J., Marsten, R.E., & Shanno, D.F., (1992). On implementing Mehro-tras predictor-corrector interior point method for linear programming, SIAM Journal on Optimization, 2:435-449.
Mehrotra, S., & Sun, J., (1992). On implementation of a (primal- dual) interior point method. SIAM Journal on optimization, 2(4):575-601.
Mitchell, J.E., (1994), Interior point Algorithms for Integer Programming , De-partment of Mathematical Sciences Rensselaer Polytechnic Institute Troy, New York :1-37
