DAFTAR PUSTAKA
Aminuddin. 2005. Prinsip-Prinsip Riset Operasi. Erlangga. Jakarta.
Dantzig, G. and Thapa, M.N. 1997. Linear Programming, 1: Introduction.
Springer. New York.
Hiller, F.S, and Lieberman, G.J (1990). Introdustion to Operation Research. McGraw-Hill, Inc. Singapore.
Kusumadewi, S, H. 2008. Penyelesaian Masalah Optimisasi Dengan Teknik Heuristik. Graha Ilmu. Yogyakarta.
Siagian, P. 2006. Penelitian Operasional: Teori dan Praktek. Universitas Indonesia. Jakarta
Siswanto. 2006. Operations Research. Erlangga, Jakarta.
Sitorus, P. 1997. Program Linier. Universitas Trisakti. Jakarta
Supranto, M .A. J.,1983. Linear Programming. Universitas Indonesia. Jakarta
Syahputra, M.R. 2012. Metode Branch and Bound Untuk Menyelesaikan
Multi-Objective Integer Programming. Medan: Universitas Sumatera Utara.
Taylor, B.W. 2001. Sains Manajemen: Pendekatan Matematika untuk Bisnis.
Salemba Empat. Jakarta.
Wirdasari. Dian. 2009. Metode Simpleks Dalam Program Linier. Jurnal
53
Wijaya, Andi. 2012. Pengantar Riset Operasi. Penerbit Mitra Wacana Media.
BAB 3
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1Permasalahan Program Linier
Program linier sangat penting dalam berbagai bidang studi. Program linier paling
banyak digunakan dalam bidang bisnis dan ekonomi. Fungsi tujuan dapat
berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber daya yang ada untuk
mendapatkan keuntungan yang maksimal, atau biaya minimal, sedangkan fungsi
kendala mengambarkan batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang dialokasikan
secara optimal ke berbagai kegiatan.
Industri yang memanfaatkan program linier diantaranya ialah industri
transportasi, energi, manufaktur dan telekomunikasi. Program linier juga berguna
dalam membuat model berbagai macam masalah yang berkaitan dengan
perencanaan, perancangan rute, penjadwalan, pemberian tugas dan desain. Tujuan
dari program linier adalah menentukan nilai-nilai dari variabel-variabel keputusan
yang memaksimalkan atau meminimalkan sebuah fungsi objektif linier dimana
variabel-variabel keputusannya tunduk kepada kendala linier. Secara umum,
sebuah program linier adalah sebuah kasus paling sederhana dari masalah optimasi
dengan kendala.
3.2Aplikasi Masalah Program Linier
Sebuah perusahaan kecil memproduksi 4 jenis produk yang berbeda yang
masing-masing membutuhkan 3 macam bahan baku, yaitu A, B, dan C. Produk tersebut
dikerjakan melalui 2 proses pengerjaan manual, yaitu Proses I, dan Proses II.
Setiap unit produk I membutuhkan 10 ons bahan baku A, 6 ons bahan baku B, dan
12 ons bahan baku C. Setiap unit produk II membutuhkan 8 ons bahan baku A, 10
ons bahan baku B, dan 12 ons bahan baku C. Setiap unit produk III membutuhkan
32
produk IV membutuhkan 14 ons bahan baku A, 12 ons bahan baku B, dan 13 ons
bahan baku C. Akibat keterbatasan gudang bahan baku dan dana yang ada, bahan
baku yang disediakan tiap minggu adalah sebesar 240 kg bahan baku A, 18 kg
bahan baku B, dan 25 kg bahan baku C.
Setiap unit Produk I membutuhkan waktu 4 jam pada proses I, dan 2 jam
pada proses II. Setiap unit produk II membutuhkan waktu 3 jam pada proses I dan
4 jam pada proses II. Setiap unit produk III membutuhkan waktu 5 jam pada
proses I dan 3 jam pada proses II. Setiap unit produk IV membutuhkan 6 jam pada
proses I dan 5 jam pada proses II. Jumlah karyawan pada proses I sebanyak 18
orang, sedangkan pada proses II sebanyak 20 orang. Perusahaan bekerja dengan 1
shift, mulai pukul 08.00 sampai pukul 16.00 dengan istirahat selama 1 jam mulai
pukul 12.00 hingga 13.00, selama 6 hari kerja dalam 1 minggu.
Keuntungan per unit untuk produk I adalah sebesar Rp 4.000,-, keuntungan
per unit produk II adalah sebesar Rp 6.000,-, keuntungan per unit produk III
sebesar Rp 5.500,- dan keuntungan per unit produk IV adalah sebesar Rp 7.000,-.
Informasi bagian pemasaran menyatakan bahwa berapa pun jumlah produk yang
dibuat perusahaan, akan terserap seluruhnya oleh pasar. Berdasarkan kondisi
tersebut, berapakah keuntungan maksimum yang bisa diperoleh oleh perusahaan ?
(Kusumadewi, 2008 dengan modifikasi).
Dalam penyelesaian kasus ini, selanjutnya satuan bahan baku dinyatakan dalam
ons. Jam kerja karyawan per minggu dapat dihitung:
Pada proses I ditetapkan karyawan sejumlah 18 orang, dengan jam kerja selama 7 jam selama 6 hari per minggu. Maka jam kerja per minggu pada
proses I adalah : .
Pada proses II ditetapkan karyawan sejumlah 20 orang, dengan jam kerja selama 7 jam selama 6 hari minggu. Maka jam kerja per minggu pada
3.2.1 Penyelesaian Menggunakan Metode Simpleks Kasus ini dapat ditabulasikan sebagai berikut:
Tabel 3.1 Bentuk Tabulasi Permasalahan
Sumber Produk Kapasitas ( ons)
I II III IV Maksimum Toleransi
Untuk meyelesaikan permasalahn di atas, langkah yang dilakukan adalah
merumuskan karakteristik pada program linier biasa, yaitu:
1. Menentukasn variabel keputusan
Fungsi tujuan dari permasalahan ini adalah memaksimalkan keuntungan dari
tiap produk yang akan diproduksi, yakni produk I, produk II, produk III dan
produk IV sehingga dapat dirumuskan menjadi:
3. Merumuskan fungsi kendala
a. Fungsi kendala pada bahan baku A
34
c. Fungsi kendala pada bahan baku C
d. Fungsi kendala berdasarkan jam kerja karyawan per minggu pada proses I
e. Fungsi kendala berdasarkan jam kerja karyawan per minggu pada proses II
Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut:
Maksimumkan:
Dengan kendala :
Dengan menambahkan variabel slack maka persamaan menjadi:
Maksimumkan:
Dengan kendala:
4. Membuat tabel simpleks awal
Tabel 3.2 Tabel Awal Metode Simpleks
Basis
4.000 6.000 5.500 7.000 0 0 0 0 0
0 10 8 12 14 1 0 0 0 0 2.400
0 6 10 8 12 0 1 0 0 0 1.800
0 12 12 15 13 0 0 1 0 0 2.500
0 4 3 5 6 0 0 0 1 0 756
0 2 4 3 5 0 0 0 0 1 840
-4.000 -6.000 -5.500 -7.000 0 0 0 0 0 0
Keterangan:
Pada baris -7.000 paling minimum, maka masuk dalam basis.
Kunci Baru dikalikan
Baris yang baru:
Baris yang baru: )
Baris yang baru:
36
Pada baris -2500 paling minimum, maka masuk dalam basis.
6.000 -0,5 1 -0,5 0 0 0,25 0 -0,5 0 72
Kunci Baru dikalikan
38
Kunci Baru dikalikan
Karena baris , maka persoalan diatas telah optimal dengan
untuk dan .
Keuntungan maksimum akan diperoleh jika produk II diproduksi sebanyak
129,6296 unit, produk III diproduksi sebanyak 62,963 unit dan tidak memproduksi
produk I dan produk IV dengan keuntungan yang diperoleh sebesar Rp
1.124.074,00. Dengan kondisi di atas diperoleh dari kendala berdasarkan bahan
baku bahwa:
1. Pada bahan baku A dibutuhkan sebanyak:
dengan
dan .
ons.
2. Pada bahan baku B dibutuhkan sebanyak:
dengan
dan .
ons.
3. Pada bahan baku C dibutuhkan sebanyak:
dengan
dan .
Dengan kondisi di atas diperoleh dari kendala berdasarkan waktu proses bahwa:
1. Lama waktu pada proses I selama:
dengan dan
.
menit.
2. Lama waktu pada proses I selama:
dengan dan
40
menit.
3.2.2 Penyelesaian Menggunakan Algoritma Titik Interior Maksimumkan:
Dengan kendala:
Dengan menambahkan variabel slack, persamaan menjadi:
Maksimumkan:
; ;
Proses iterasi akan berhenti apabila nilai
Diambil titik awal penyelesaian adalah
Diperoleh nilai
Iterasi 1
1. D =
42
3.
5.
44
7.
8.
Diperoleh nilai .
Karena nilai maka dilakukan iterasi selanjutnya.
Iterasi 2
1. D =
3.
4.
5.
46
7.
8.
Diperoleh nilai 1,115.655,48
Karena nilai maka dilakukan iterasi selanjutnya.
Iterasi 3
1. D =
=
3.
4.
5.
48
7.
8.
Diperoleh nilai 1.121.680,359
Karena nilai maka dilakukan iterasi selanjutnya.
Iterasi 4
Diperoleh nilai 1.122.31440
Karena nilai maka dilakukan iterasi selanjutnya.
Diperoleh nilai 1.124.074,725
Karena nilai maka dilakukan iterasi selanjutnya.
Iterasi 6
Diperoleh nilai 1.124.074,17
Karena nilai maka dilakukan iterasi berhenti. Diperoleh hasil
1.124.074,17, dengan nilai dan
. Sehingga keuntungan maksimum yang diperoleh oleh perusahaan
adalah Rp.1.124.074,101. Dengan kondisi di atas diperoleh dari kendala
berdasarkan bahan baku bahwa:
1. Pada bahan baku A dibutuhkan sebanyak:
dengan
dan .
ons.
50
dengan
dan .
ons.
3. Pada bahan baku C dibutuhkan sebanyak:
dengan
dan .
ons
Dengan kondisi di atas diperoleh dari kendala berdasarkan waktu proses bahwa:
1. Lama waktu pada proses I selama:
dengan
dan .
menit.
2. Lama waktu pada proses I selama:
dengan
dan .
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya, penulis menyimpulkan
bahwa:
1. Metode simpleks dan algoritma titik interior di dalam contoh kasus
program linier dengan 4 variabel mempunyai kompleksitas yang sama
dengan nilai fungsi tujuan .
2. Karena metode simpleks dan algoritma titik interior di dalam masalah
program linier mempunyai kompleksitas yang sama, maka dapat dilihat
running time kedua algoritma yaitu:
a) Running time metode simpleks memiliki 4 iterasi.
b) Running time algortima titik interior memiliki 6 iterasi.
3. Metode simpleks lebih efisien dibandingkan algoritma titik interior dalam
menyelesaikan masalah program linier.
4.2 Saran
1. Penelitian yang penulis lakukan hanya sebatas permasalahan dengan
sedikit variabel, penulis berharap ada penelitian lebih lanjut dengan
menggunakan banyak variabel pada permasalahan program linier.
2. Penelitian yang diterapkan hanya fokus dalam penggunaan metode
simpleks pada program linier, penulis berharap ada penelitian lebih lanjut
tentang cara menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Matriks
2.1.1 Definisi Matriks
Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka (elemen-elemen) yang disusun
menurut baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang, di mana
panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan baris-baris.
Matriks pada dasarnya merupakan alat yang ampuh di dalam pemecahan
persoalan-persoalan yang terdiri dari lebih dari dua persamaan dengan beberapa
variabel dan memudahkan di dalam pembuatan analisis-analisis yang mencakup
hubungan antara variabel-variabel.
Pada awalnya matriks ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh
seorang ilmuan yang berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley
(1821-1895) yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan
transformasi linier awal dari semua ini matriks dianggap sebagai sebuah
permainan karena matriks dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1925
matriks digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matriks
digunakan dalam berbagai bidang. Di dalam memecahkan persoalan operation
research atau linier programming, matriks memegang peranan penting terutama
sebagai landasan yang kuat untuk memahami pengertian-pengertian pemecahan
dasar, metode simpleks dan lain sebagainya.
Sebuah matriks dinotasikan dengan simbol huruf besar seperti atau
dan sebagainya. Apabila suatu matriks A terdiri dari m baris dan n kolom, maka
Keterangan :
A = , i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n.
merupakan elemen matriks A dari baris i dan kolom j, i dan j dinamakan
indeks (subcript), yaitu petunjuk letak (posisi) bagi setiap elemen.
Elemen-elemen: , , ..., , ..., disebut diagonal pokok (main diagonal).
Matriks tereduksi adalah matriks yang tiap kolom dan tiap barisnya
mengandung atau memiliki paling sedikit satu buah angka 0 dan elemen-elemen
lainnya bernilai non-negatif. Untuk mendapatkan matriks tereduksi, maka tiap
baris atau kolom yang belum mengandung angka 0 dikurangi dengan nilai terkecil
pada baris atau kolom tersebut.
2.1.2 Jenis-jenis Matriks
Beberapa jenis matriks sebagai berikut:
1. Matriks kuadrat
Matriks kuadrat adalah matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama
banyak. Dalam suatu matriks kuadrat, elemen-elemen disebut
10
2. Matriks diagonal
Matriks kuadrat dinamakan matriks diagonal jika semua elemen di
luar diagonal utama adalah nol, untuk dan paling tidak satu
elemen pada diagonal pokok untuk . Jumlah elemen-elemen
diagonal utama suatu matriks kuadrat disebut trace ditulis .
3. Matriks Identitas
Matriks disebut matriks identitas dan biasa diberi symbol
4. Matriks singular
Matriks kuadrat dikatakan singular jika semua elemen pada salah
satu baris atau kolom adalah nol atau jika semua kofaktor dari elemen suatu
baris atau kolom sama dengan nol. Untuk melihat kesingularan suatu matriks
adalah dengan menghitung determinan matriks tersebut. Apabila
determinannya sama dengan nol maka matriks tersebut singular.
5. Matriks orthogonal
Matriks kuadrat dikatakan dapat didiagonalisasi secara orthogonal
jika terdapat matriks orthogonal sehingga berlaku . Matriks
orthogonal didefinisikan sebagai matriks kuadrat yang inversnya sama dengan
transposenya, sehingga dan adalah matriks orthogonal.
Ada beberapa operasi dalam matriks, yaitu :
1. Perkalian matriks dengan skalar
Jika adalah matriks dan adalah suatu skalar, maka hasil kali
dengan adalah matriks
dengan .
2. Perkalian matriks dengan matriks
Jika adalah matriks dan adalah matriks maka
hasil kali dari matriks dan matriks ditulis dengan adalah matriks
.
3. Penjumlahan matriks
Jika adalah matriks dan adalah matriks maka
penjumlahan matriks dan matriks yang ditulis dengan dengan:
(2.1)
4. Transpose matriks
Jika adalah matriks maka matriks dengan dan
disebut dengan transpose dari matriks
Matriks yang umum dapat ditulis:
12
a. Jika matriks non singular, maka adalah non singular dan
b. Jika dan adalah matriks non singular, maka adalah non singular dan
c. Jika adalah matriks non singular, maka .
2.2 Program Linier
Pemrograman linier adalah salah satu model yang umum digunakan dalam
masalah pengalokasian sumber daya secara optimal. Pemrograman linier meliputi
kegiatan untuk mencapai hasil yang optimal dari antara alternatif-alternatif yang
mungkin menggunakan model matematis berbentuk fungsi linier. Program linier
disusun oleh George B. Dantzig tahun 1947 pada saat memimpin Air Force
Statistical Control’s Combat Analysis Branch di Pentagon. Saat Dantzig menganalisis masalah perencanaan Air Force dia menyadari dapat merumuskan
sistem ketidaksamaan linier. Hal di atas merupakan awal pemberian nama untuk teknik “program dan struktur linier” yang belakangan ini disederhanakan menjadi program linier (Taylor, 2001).
Program linier merupakan model matematika untuk mendapatkan alternatif
penggunaan terbaik atas sumber-sumber organisasi. Kata sifat linier digunakan
untuk menunjukkan fungsi-fungsi matematika yang digunakan dalam bentuk linier
dalam arti hubungan langsung dan proporsional. Program menyatakan
penggunaan teknik matematika tertentu. Jadi, program linier adalah suatu teknik
perencanaan yang bersifat analitis menggunakan model matematis dengan tujuan
menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan optimum terhadap
persoalan (Aminuddin, 2005).
Program linier adalah suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu
problema keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu fungsi tujuan
(memaksimalkan atau meminimalkan) dan kendala-kendala yang ada ke dalam
model matematik persamaan linier. Program linier sering digunakan dalam
penyelesaian problema-problema alokasi sumber daya, seperti dalam bidang
manufacturing, pemasaran, keuangan, personalia, administrasi, dan lain
sebagainya (Parlin Sitorus, 1997).
Program linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan
pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang
bersaing, dengan cara terbaik yang mungkin dilakukan. Pokok pikiran utama
dalam menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dengan jelas
dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah
terumuskan dengan baik, maka langkah berikut ialah menerjemahkan masalah ke
dalam bentuk model matematika (P. Siagian, 2006).
Program linier berkaitan dengan maksimalisasi atau minimalisasi fungsi
tujuan linier dengan beberapa variabel yang memiliki kesamaan dan ketaksamaan
fungsi kendala. Program linier menggunakan model matematis untuk menjelaskan persoalan yang dihadapinya. Sifat “linier” memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model merupakan fungsi yang linier, demikian kata program
merupakan sinonim untuk perencanaan. Dengan demikian program linier adalah
perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimum,
yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik di antara alternatif yang layak
14
2.2.1 Persyaratan Penyelesaian Program Linier
Syarat-syarat yang harus dipenuhi dalam merumuskan suatu problema keputusan
ke dalam model matematik persamaan linier adalah sebagai berikut (Parlin
Sitorus, 1997):
1. Tujuan
Apa yang menjadi tujuan permsasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan
dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi
tujuan.
2. Alternatif Perbandingan
Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan,
misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu
terlambat dan biaya terendah.
3. Sumber Daya
Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas.
4. Perumusan Kuantitatif
Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif sesuai
dengan yang disebut dalam model matematika.
5. Keterkaitan Peubah
Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus
2.2.2 Model Umum Matematik Program Linier
Model umum program linier dapat dirumuskan ke dalam bentuk matematik
sebagai berikut (Parlin Sitorus, 1997):
Dengan kendala:
dan
Keterangan:
= Fungsi tujuan
= Variabel keputusan
= Nilai kontribusi dari variabel keputusan
= Koefisien teknologi dari variabel keputusan dalam kendala ke-
= Sumber daya yang tersedia dalam kendala ke-
2.2.3 Karakteristik Program Linier
Karakteristik-karakteristik dalam program linier yang biasa digunakan untuk
memodelkan suatu masalah dan memformulasikannya secara matematik, yaitu
(Siswanto, 2006):
1. Variabel Keputusan
16
Variabel keputusan adalah variabel yang secara lengkap menguraikan
keputusan-keputusan yang akan dibuat.
2. Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan merupakan suatu hubungan linier dari variabel keputusan yang
berupa fungsi maksimum atau minimum.
3. Fungsi Kendala
Fungsi kendala merupakan batasan-batasan dalam penyelesaian program linier
yang harus diperhatikan. Kendala diekspresikan dalam persamaan dan
pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan
yang mencerminkan keterbatasan sumber daya dalam suatu masalah.
2.2.4 Asumsi dalam Program Linier
Dalam membangun model dari formulasi suatu persoalan akan digunakan
karakteristik-karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan program linier,
yaitu (Syahputra, 2012):
1. Linieritas (Linierity)
Fungsi tujuan (objective function) dan fungsi kendala (constraint) dibuat dalam
fungsi linier. Sifat linieritas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan
beberapa cara, misalnya dengan menggunakan grafik.
2. Kesetaraan (Propotionality)
a. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan.
b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.
3. Penambahan (Addivity)
Sifat penambahan mengasumsikan bahwa tidak terdapat bentuk perkalian silang pada model, baik bagi fungsi tujuan maupun fungsi kendala.
4. Pembagian (Divisibility)
Nilai variabel keputusan harus lebih besar atau sama dengan nol.
6. Kepastian (Certainty)
Koefisien pada fungsi tujuan ataupun fungsi kendala merupakan suatu nilai
pasti, bukan merupakan suatu nilai dengan peluang tertentu.
Asumsi-asumsi tersebut harus dipenuhi apabila ingin menyelesaikan
masalah model program linier. Jika asumsi-asumsi tersebut tidak dapat
terpenuhi, persoalan dapat diselesaikan dengan program matematika lain
seperti integer programming nonlinier programming, goal programming dan
dynamic programming.
Suatu masalah dapat mempunyai banyak algoritma penyelesaian.
Algoritma yang digunakan tidak saja harus benar tetapi harus efisien. Efisiensi
suatu algoritma dari waktu eksekusi algoritma dan kebutuhan ruang memori.
Algoritma yang efisien adalah algoritma yang meminimumkan kebutuhan waktu
dan ruang. Dengan menganalisis beberapa algoritma untuk suatu masalah, dapat
diidentifikasi satu algoritma yang paling efisien. Besaran yang digunakan untuk
menjelaskan model pengukuran waktu dan ruang ini adalah kompleksitas
algoritma.
Kompleksitas dari suatu algoritma merupakan ukuran seberapa banyak
komputasi yang dibutuhkan algoritma tersebut untuk menyelesaikan masalah.
Secara informal, algoritma yang dapat menyelesaikan suatu permasalahan dalam
waktu yang singkat memiliki kompleksitas yang rendah, sementara algoritma yang
membutuhkan waktu yang lama untuk menyelesaikan masalahnya mempunyai
kompleksitas yang tinggi. Kompleksitas algoritma terdiri dari dua macam yaitu
kompleksitas waktu dan kompleksitas ruang. Beberapa metode yang dipakai untuk
mengurangi tingkat kompleksitas adalah metode algoritma titik interior yang
dikembangkan oleh N. Karmarkar pada tahun 1984. Algoritma titik interior
memiliki tingkat komplekitas yang sama dengan metode simpleks, maka masalah
18
2.3 Metode Grafik
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk
memecahkan permasalahan program linier. Metode ini menggunakan pendekatan
grafik dalam pengambilan keputusan dengan seluruh fungsi kendala dibuat dalam
satu bagian gambar kemudian diambil keputusan melalui grafik tersebut untuk
menentukan nilai variabel keputusan yang optimum. Metode ini hanya dapat
menyelesaikan dua variabel keputusan, apabila memiliki lebih dari dua variabel
keputusan maka metode ini tidak dapat digunakan (Parlin Sitorus, 1997).
Langkah-langkah metode grafik (Andi wijaya 2012):
1. Mengidentifikasi variabel keputusan dan memformulasikan dalam simbol
matematis.
2. Mengidentifikasikan tujuan yang akan dicapai dan kendala-kendala.
3. Memformulasikan tujuan dan kendala ke dalam fungsi matematik.
4. Membuat grafik untuk kendala-kendala yang ada dalam satu bagian. Untuk
membuat grafik fungsi kendala yang berbentuk pertidaksamaan ( dan
diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk persamaan (
5. Menentukan daerah layak pada grafik. Daerah layak dapat dilihat dari
pertidaksamaan pada kendala. Apabila kendala berbentuk maka daerah
arsiran terjadi pada bagian kiri atau bawah atau kiri bawah, tetapi apabila
kendala berbentuk , maka daerah arsiran dilakukan di kanan atau kanan atas.
Apabila berbentuk persamaan ( maka daerah layak terjadi di sepanjang
grafik atau garis.
6. Menentukan titik-titik variabel keputusan pada daerah layak.
Contoh 2.1
Sebuah perusahaan memiliki pabrik yang akan memproduksi dua jenis produk
yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan
bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum
keuntungan. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja
dapat dilihat dalam tabel berikut:
Tabel 2.1 Kebutuhan Bahan Baku, Waktu Tenaga Kerja dan Maksimum
Langkah-langkah dalam pengerjaan metode grafik:
20
,
b.
c.
,
Gambar 2.1 Fungsi Kendala
5. Menentukan daerah layak pada grafik.
Gambar 2.3 Himpunan Penyelesaian
a. Titik A:
b. Titik B:
c. Titik C:
d. Titik D:
22
e. Titik E:
Hasil perhitungan disajikan dalam Tabel 2.2 sebagai berikut:
Tabel 2.2 Hasil Perhitungan
Jadi berdasarkan hasil perhitungan pada tabel 2.2 diperoleh nilai
berada pada titik C dengan dan
2.4 Metode Simpleks
Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang secara
sistematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yang fisibel ke pemecahan dasar
fisibel lainnnya, dilakukan secara berulang-ulang sehingga tercapai suatu
pemecahan dasar yang optimum dan setiap langkah menghasilkan suatu nilai dari
fungsi tujuan yang selalu lebih besar atau sama dari iterasi sebelumnya (Parlin
Sitorus, 1997).
Cara yang paling sederhana untuk menyelesaikan permasalahan program
linier adalah dengan pendekatan grafikal. Cara tersebut hanya bisa diterapkan
untuk program linier dengan dua variabel keputusan. Pada kenyataannya sebagian
besar permasalahan program linier mempunyai lebih dari dua variabel keputusan.
mengajukan suatu metode yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan program
linier yang disebut metode simpleks. Metode simpleks merupakan prosedur
aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari
titik ekstrim pada daerah feasible (ruang sousi) menuju titik ekstrem yang
optimum (Aminuddin 2005).
Dalam menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode
simpleks, bentuk dasar yang digunakan haruslah merupakan bentuk standar, yaitu
bentuk formulasi yang memenuhi ketentuan berikut ini (Mustafa dan Parkhan,
1999).
1. Seluruh pembatas linier harus berbentuk persamaan dengan ruas kanan yang
nonnegatif.
2. Seluruh peubah keputusan harus merupakan peubah nonnegatif.
3. Fungsi tujuannya dapat berupa maksimasi atau minimasi.
Beberapa hal yang dapat dilakukan untuk mengubah bentuk permasalahan
program linier yang belum standar ke dalam bentuk standar permasalahan
program linier sesuai dengan ketentuan Pembatas linier (linier constraint) yang
terdiri dari:
a. Pembatas linier bertanda ”≤” dapat dijadikan suatu persamaan ”=”
dengan cara menambahkan ruas kiri dari pembatas linier itu dengan slack
variable (peubah penambah). Slack variabel pada umumnya digunakan
untuk mewakili jumlah kelebihan ruas kanan pembatas linier
dibandingkan dengan ruas kirinya. Pada pembatas linier bertanda ”≤”, ruas
kanan umumnya mewakili batas ketersediaan sumber daya sedangkan ruas
kiri umumnya mewakili penggunaan sumber daya tersebut yang dibatasi oleh
berbagai kegiatan yang berbeda (peubah) dari suatu model program linier
sehingga slack variable dapat diartikan untuk mewakili jumlah sumber daya
yang tidak dipergunakan.
b. Pembatas linier bertanda ”≥” dapat dijadikan suatu persamaan ”=”
dengan cara mengurangkan ruas kiri dari pembatas linier itu dengan surplus
24
ruas kanan umumnya mewakili penetapan persyaratan spesifikasi minimum,
sehingga surplus variabel dapat diartikan untuk mewakili jumlah kelebihan
sesuatu dibandingkan spesifikasi minimumnya.
c. Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan nonnegatif dengan
cara mengalikan kedua ruas dengan -1.
d. Arah pertidaksamaan berubah apabila kedua ruas dikalikan dengan -1.
e. Pembatas linier dengan pertidaksamaan yang ruas kirinya berada dalam tanda
mutlak dapat diubah menjadi dua pertidaksamaan.
Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program
linier dengan metode simpleks (Handayani, 2014):
1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.
Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian daerah
kelayakan (feasible) maka semua pertidaksamaan diubah menjadi persamaan
dengan cara menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan
(artifisial variabel) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol pada
setiap koefisien tujuannya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut:
a. Untuk batasan bernotasi diubah ke dalam bentuk persamaan dengan
menambahkan variabel slack.
b. Untuk batasan bernotasi atau diselesaikan dengan menambahkan
variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel buatan
ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat
suatu bilangan penalty M (M bilangan positif yang sangan besar) sebagai
harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Untuk kasus
maksimasi maka dibuat –M sebagai harga dari variabel buatan dan untuk
kasus minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara
pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M method).
Tabel 2.3 Bentuk Tabel Simpleks
positif untuk kasus maksimasi atau yang memiliki nilai yang paling
negatif untuk kasus minimasi.
4. Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah
perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci,
5. Tentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan
b. Baris Z baru dan baris-baris lainnya ditentukan dengan cara:
Baris lama – (nilai kolom kunci baris yang sesuai × baris kunci baru)
c. Letakkan nilai-nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel.
7. Lakukan uji optimalisasi. Jika semua koefisien pada baris sudah
26
ada lagi yang bernilai negatif (untuk kasus minimasi) berarti sudah optimal.
Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah 3.
2.5 Algoritma Titik Interior
Titik interior merupakan titik-titik yang beradadi dalam daerah layak. ada dua
langkah yang diperlukan dari metode titik interior, yaitu mencarik arah layak yang
memperbaiki nilai fungsi sasaran pada titik tertentu dari setiap iterasi dan
menentukan besar langkah yang menghasilkan titik baru yang berada pada daerah
layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran. Algoritma titik interior di bagi
dalam empat kelas utama yaitu, affine scaling methods, metode proyektif atau
dikenal dengan metode Karmarkar, path following methods dan potential
reduction methods.
Algoritma titik interior pertama kali diperkenalkan oleh Narendra
Karmarkar (1984) dari Laboratorium AT & T mengenai algoritma baru untuk
menyelesaikan masalah-masalah pemrograman linier yang besar. Algoritma titik
interior merupakan metode untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier
yang memotong atau menembus interior dari daerah fisibel untuk mencapai suatu
solusi optimal. Titik interior merupakan titik-titik yang berada di dalam daerah
fisibel (Hillier & Lieberman, 1990). Dasar teori algoritma ini menggunakan
konsep gradien dan proyeksi.
Algoritma titik interior dalam menyelesaikan persoalan program linier
secara fundamental berbeda dari metode simpleks. Langkah awal dalam algoritma
titik interior yaitu menentukan titik awal pemecahan masalah. Titik awal algoritma
titik interior dari dalam himpunan fisibel dan bergerak menuju verteks optimal.
Algoritma titik interior berhenti menemukan solusi yang memiliki nilai fungsi
tujuan lebih kecil atau sama dengan nilai berhenti yang telah ditentukan pertama
kali. Gagasan dasar dari algoritma titik interior dapat dilihat dalam permasalahan
program linier berikut:
Maksimumkan
Agar masalah program linier menjadi bentuk standar, maka ditambahkan variabel
pengetat pada masalah program linier di atas, sehingga menjadi:
Maksimumkan
dengan kendala
dengan adalah variabel slack.
Gambar 3.1 Permasalahan untuk Memaksimalkan Nilai
Gambar 3.1 menggambarkan permasalahan untuk memaksimalkan nilai .
Ruang pemecahan diketahui dengan ruas dan arah kenaikan adalah arah
postif . Iterasi dimulai dari titik interior C dalam ruang penyelesaian (garis AB).
gradien fungsi tujuan ( di C adalah arah yang membuat fungsi tujan
meningkat dengan cepat. Jika satu titik sembarang ditempatkan di sepanjang
gradien itu dan kemudian memproyeksikannya secara tegak lurus terhadap ruang
penyelesaian (garis ), maka diperoleh titik baru . Dari sudut pandang nilai ,
titik yang baru ini lebih baik dari titik awal .
Perbaikan seperti ini diperoleh dengan bergerak dalam arah yang
merupakan gradien garis hasil proyeksi atau disebut sebagai gradien terproyeksi.
28
yang lebih dekat dengan titik optimum. Dapat diperkirakan jika bergerak
dengan sangat hati-hati dalam arah gradien terproyeksikan, maka akan dicapai
titik optimum . Langkah-langkah yang dihasilkan di sepanjang gradien
terproyeksi tidak akan meleset dari titik optimum di dan dalam kasus dimensi
pada umumnya. Arah yang diciptakan oleh gradien terproyeksi tidak akan
menyebabkan terjebaknya algoritma tersebut di titik yang bukan optimum.
Prosedur gradien yang diproyeksikan akan menjauh dari titik ke arah optimum
di (
Penggunaan algoritma titik interior untuk menyelesaikan masalah program
linier harus diubah terlebih dahulu kedalam bentuk kanonik karmarkar dan
memenuhi beberapa asumsi metode karmarkar (Bazaraa, 2010). Bentuk kanonik
dari karmarkar adalah:
= koefisien variabel fungsi tujuan
= vector kolom berukuran m dari 0
Semua batasan kendala merupakan persamaan homogen kecuali untuk
kendala 1 yang merupakan kendala untuk mendefinisikan sebuah
simpleks n dimensi. Algoritma titik interior memiliki konsep atau pemikiran dasar
sebagai berikut:
1. Bergerak melalui daerah fisibel menuju suatu penyelesaian optimal.
3. Mengubah daerah layak tersebut untuk menempatkan penyelesaian percobaan
yang sedekat mungkin pada titik pusatnya dan dengan demikian
memungkunkan peningkatan yang besar bilamana melaksanakan konsep yang
pertama.
2.6Langkah-langkah Algoritma Titik Interior Langkah–langkah pengerjaan algoritma titik interior:
1. Mengidentifikasi variabel keputusan, fungsi tujuan, dan fungsi kendala.
2. Memformulasikan variabel keputusan, fungsi tujuan, dan fungsi kendala ke
dalam bentuk program linier.
3. Diubah dalam bentuk maximize (diperluas) dengan menambahkan variabel
slack pada fungsi kendala.
4. Jika program linier sudah dalam bentuk minimize (diperluas), maka
permasalahan dapat diselesaikan dengan algoritma titik interior dengan langkah
sebagai berikut:
30
Langkah 7: Hitung ,
Langkah 8: Hitung , jika penyelesaian percobaan ini tidak berubah
dari percobaan sebelumnya maka algoritma telah memuat suatu
penyelesaian optimal.
Keterangan:
= Matriks koefisien kendala
= Perkalian antara matriks kofisien kendala dan matriks diagonal dari
percobaan awal
= Vektor kolom dari koefisien fungsi tujuan
= Tingkat kemiringan
= Matriks proyeksi
= Tingkat kemiringan yang diproyeksikan
= Penyelesaian percobaan awal baru
Kenaikan dalam nilai adalah proporsional terhadap , nilai
mengukur proporsi jarak yang dapat ditempuh sebelum meninggalkan daerah
layak. Suatu nilai yang mendekati batas atas 1 adalah baik sebagai langkah berarti
ke arah optimalitas dalam proses iterasi. Narendra Karmarkar mengemukakan
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, ilmu mengenai operasi riset banyak digunakan dan
diterapkan oleh manusia, terutama diterapkan pada bidang ekonomi yaitu pada
dunia usaha. Setiap pelaku usaha atau pelaku ekonomi pasti melakukan apa yang
disebut dengan prinsip ekonomi, yaitu dengan usaha atau modal yang sedikit
mampu menghasilkan keuntungan yang banyak, sehingga muncul masalah
optimisasi. Masalah optimisasi tersebut meliputi meminimumkan biaya atau
memaksimumkan keuntungan dengan kapasitas sumber daya yang ada agar
mampu mendapatkan hasil yang optimal.
Program linier pertama kali diperkenalkan oleh George Dantzig (1947)
yang pada awalnya banyak dipakai pada bidang perencanaan militer, khususnya
dalam perang dunia II oleh angkatan bersenjata Amerika Serikat dan Inggris.
Metode pengerjaan program linier umumnya menggunakan metode grafik dan
metode simpleks. Program linier merupakan sebagai instrumen pengambilan
keputusan yang berkaitan dengan pengalokasian sumber daya dalam mencapai
tujuan tertentu. Sumber daya berupa uang, tenaga kerja, material, mesin, fasilitas,
ilmu pengetahuan, teknologi, keahlian, waktu dan ruang. Sumber daya ini sifatnya
terbatas.
Program linier merupakan suatu cara yang lazim digunakan dalam
pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal.
Persoalan pengalokasian akan muncul apabila seseorang diharuskan untuk
memilih atau menentukan tingkat aktivitas yang akan dilakukannya, di mana
masing-masing aktivitas membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya
terbatas (Mustafa & Parkhan, 1999).
Program linier berperan sebagai alat untuk membantu dalam pengambilan
keputusan manajemen dengan cara mengidentifikasi kombinasi sumber daya yang
2
diperkenalkan di akhir dasawarsa pada tahun 1940 program linier telah
terbukti merupakan salah satu alat operasi riset yang efektif. Keberhasilannya
berakar dari keluasannya dalam menjabarkan berbagai situasi kehidupan nyata
seperti di bidang militer, industri dan bidang yang lain.
Dalam pengambilan suatu keputusan, permasalahan dalam dunia nyata
memiliki lebih dari satu tujuan. Hal ini menandakan bahwa program linier standar
yang hanya mengoptimalkan satu tujuan atau satu kriteria tidak selalu efektif
dalam pengambilan suatu keputusan. Berdasarkan uraian di atas maka penulis
memilih judul tugas akhir “Perbandingan Metode Simpleks dengan Algoritma
Titik Interior dalam Penyelesaian Program Linier”.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana
menyelesaikan program linier dengan menggunakan algoritma titik interior dan metode simpleks.
Dalam hal ini, penulis ingin membandingkan antara kedua metode tersebut, metode apakah yang
paling efisien dalam menyelesaikan program linier.
1.3Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, penulis menggunakan batasan masalah sebagai berikut:
1. Banyaknya variabel yang digunakan adalah sebanyak 4 variabel.
2. Efisiensi hanya diukur berdasarkan banyaknya iterasi dalam penyelesaian contoh kasus dengan
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai dalam tulisan ini adalah untuk menentukan metode
apakah yang paling efisien di antara metode simpleks dan algoritma titik interior
dalam menyelesaikan masalah program linier.
1.5 Kontribusi Penelitian
Tulisan ini diharapkan dapat bermanfaat sebagai:
1. Referensi utama atau sebagai bahan rujukan untuk melakukan penelitian
tentang program linier.
2. Bahan pertimbangan dalam mengambil keputusan yang berkaitan dengan
program linier.
1.6 Tinjauan Pustaka
Sebagai sumber pendukung teori dalam penulisan ini, penulis mengambil
beberapa pustaka yang memberikan kontribusi dalam penyelesaian penulisan ini.
Andi Wijaya (2012) menyatakan bahwa dalam program linier terdapat dua
fungsi yaitu fungsi tujuan dan fungsi kendala. Fungsi tujuan menggambarkan apa
yang ingin di capai dengan menggunakan sumber daya yang ada. Fungsi tujuan
digambarkan dalam bentuk maksimasi dan minimasi. Fungsi kendala
menggambarkan kendala-kendala yang dihadapi perusahaan untuk mencapai
tujuan optimal.
J. Supranto M. A. (1983) menyatakan persoalan program linier adalah
suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variabel
sedemikian rupa sehingga nilai fungsi tujuan atau fungsi objektif yang linier
menjadi optimum (maksimun atau minimum) dengan memperhatikan
4
P. Siagian (2006) menyatakan persoalan dalam program linier
diterjemahkan ke dalam bentuk model matematika. Bentuk umum program linier
dapat ditulis sebagai:
Dengan kendala:
dan
Keterangan:
= Fungsi tujuan = Variabel keputusan j
= Nilai kontribusi dari variabel keputusan j
= koefisien dari variabel keputusan j dalam kendala ke-i = Jumlah sumber daya yang tersedia dalam kendala ke-i m = Jumlah sumber daya yang tersedia
n = Jumlah kegiatan
Program linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan
pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang
bersaing, dengan cara terbaik yang mungkin dilakukan. Pokok pikiran utama
dalam menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dengan jelas (1.1)
terumuskan dengan baik, maka langkah berikut ialah menerjemahkan
masalah ke dalam bentuk model matematika (P. Siagian, 2006).
Parlin Sitorus (1994) menyatakan metode simpleks di mulai dari titik awal
dan bergerak ke titik ekstrem yang memiliki nilai penyelesaian optimal. Langkah
untuk menyelesaikan masalah program linier dengan menggunakan metode
simpleks adalah sebagai berikut:
1. Merumuskan masalah ke dalam metode simpleks.
2. Menyusun tabel simpleks awal.
3. Mencari nilai optimal tabel simpleks.
4. Mangidentifikasi variabel yang akan masuk ke dalam tabel simpleks.
5. Mengidentifikasi variabel yang akan keluar dari tabel simpleks.
6. Menyusun tabel simpleks baru.
7. Mencari nilai optimal tabel simpleks yang baru.
J. Supranto M.A. (1983) menyatakan metode simpleks adalah suatu
metode yang secara sistematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yang fisibel ke
pemecahan dasar fisibel lainnya yang dilakukan secara berulang-ulang (dengan
jumlah ulangan yang terbatas) sehingga akhirnya tercapai suatu pemecahan dasar
yang optimum dan pada setiap iterasi menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan
yang selalu lebih besar atau sama dari iterasi sebelumnya.
Dian (2009) menyatakan metode simpleks merupakan salah satu teknik
penyelesaian dalam program linier yang digunakan sebagai teknik pengambilan
keputusan dalam permasalahan yang berhubungan dengan pengalokasian sumber
daya secara optimal. Metode simpleks digunakan untuk mencari nilai optimal dari
program linier yang melibatkan banyak pembatas dan lebih dari dua variabel.
Pada tahun 1984, seorang matematikawan bernama Narendra Karmarkar
berhasil mengemukakan suatu algoritma baru untuk menyelesaikan masalah
program linier yang besar dalam waktu yang cukup singkat yaitu algoritma titik
interior. Metode Karnarkar untuk menyelesaikan masalah program linier pada
6
yaitu bentuk kanonik Karmarkar. Algoritma titik interior merupakan
algoritma yang dibangun dengan beberapa iterasi dengan menentukan titik-titik
interior yang masuk dalam daerah solusi penyelesaian yang diperoleh sebagai
daerah layak.
Algoritma titik interior membutuhkan perhitungan yang relatif lebih besar
untuk persoalan program linier yang berukuran kecil dan lebih cepat diselesaikan
dengan metode simpleks, sedangkan untuk kendala yang lebih besar algoritma
titik interior lebih efisien dibandingkan metode simpleks.
Hamdy A. Taha (1992) dalam bukunya „Pengantar Operasi Riset‟
menyatakan proses formulasi masalah program linier umum ke dalam bentuk titik
interior adalah:
1. Mengubah masalah program linier umum ke dalam bentuk yang diperluas.
2. Menentukan arah pergerakan mula-mula dari titik interior.
3. Memproyeksikan titik yang berada di luar daerah layak dan pemusatan
4. Mengubah kembali menjadi koordinat semula.
Algoritma titik interior yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi
terlebih dahulu disederhanakan dengan menghilangkan faktor-faktor ataupun
kendala yang dapat di kerjakan dengan proses iterasi.
1.7 Metodologi Penelitian
Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Studi Literatur
Penelitian ini diawali dengan mempelajari dan mengenal lebih dalam tentang
metode simpleks, algoritma titik interior dan program linier. Penulis membaca
dan mempelajari beberapa buku dan jurnal yang berkaitan persoalan program
2. Menjelaskan definisi program linier, metode simpleks dan algoritma titik
interior.
3. Menjelaskan permasalahan program linier, metode simpleks dan algoritma titik
interior.
4. Mejelaskan contoh penyelesaian program linier, metode simpleks dan
algoritma titik interior.
PERBANDINGAN METODE SIMPLEKS DENGAN ALGORITMA TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN
MASALAH PROGRAM LINIER
ABSTRAK
Program linier adalah suatu model yang melibatkan fungsi-fungsi linier yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber secara optimal. Pokok pikiran menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dari informasi yang tersedia dan menerjemahkan ke dalam model matematika. Metode simpleks merupakan metode yang efisien untuk menyelesaikan permasalahan program linier. Algoritma titik interior adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier. Titik awal algoritma titik interior dari dalam himpunan fisibel dan bergerak menuju verteks optimal. Tujuan dari penulisan ini adalah menyelesaikan masalah program linier yang memuat n variabel dan m kendala dengan menggunakan kedua metode tersebut. Keefisienan kedua metode di ukur berdasarkan banyaknya iterasi yang diperoleh dalam menyelesaikan permasalahan program linier. Pada penelitian ini, permasalahan program linier dengan metode simpleks akan diperoleh hasil apabila dan pada algoritma titik interior diperoleh hasil apabila nilai Z sama
dengan nilai sebelumnya atau lebih kecil.
PROGRAMMING PROBLEMS
ABSTRACT
Linear programming is a program which involved function and can be used in solving problem of limited source allocation optimally. The main ideas used in linear program is defining problem of information provided and transforming into mathematical model. Simpleks method is one of effisient algorithm for solving problem of linear programming. Interior point algorithm is a new means which can be used to solve these great problems. The objective of this paper is solving linear programming problem which contain n variables and m constaints using those two methods, then comparing how efficient method are, by counting the number of iteration for each methods. Based on the result, linear programming problem by the simpleks method will result if and the interior point
algorithm results obtained when the value of is equal to the previous value or
smaller.
PERBANDINGAN METODE SIMPLEKS DENGAN ALGORITMA
TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN
MASALAH PROGRAM LINIER
SKRIPSI
AGUSTINA ANGGREINI SITORUS
120803060
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERBANDINGAN METODE SIMPLEKS DENGAN ALGORITMA
TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN
MASALAH PROGRAM LINIER
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains
AGUSTINA ANGGREINI SITORUS
120803060
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : Perbandingan Metode Simpleks Dengan Algoritma Titik Interior Dalam Penyelesaian Masalah Program Linier
Kategori : Skripsi
Nama : Agustina Anggreini Sitorus Nomor Induk Mahasiswa : 120803060
Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara
Disetujui di Medan, Juni 2016
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2, Pembimbing 1,
Drs. Partano Siagian, M.Sc. Drs. Agus Salim Harahap, M.Si. NIP.19511227 198003 1 001 NIP. 19540828 198103 1 004
Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua
Prof. Dr. Tulus, M.Si.
PERNYATAAN
PERBANDINGAN METODE SIMPLEKS DENGAN ALGORITMA TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN
MASALAH PROGRAM LINIER
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juni 2016
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa dan Maha
Penyayang, dengan limpahan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan
penyusunan skripsi ini dengan judul Perbandingan Metode Simpleks Dengan
Algoritma Titik Interior Dalam Penyelesaian Program Linier.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Drs. Agus Salim Harahap,
M.Si selaku pembimbing 1 dan Bapak Drs. Partano Siagian, M.Sc selaku
pembimbing 2 yang telah memberikan bimbingan selama penulisan skripsi ini.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Faigiziduhu Bu‟ulolo, M.Si
dan Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si selaku dosen pembanding yang telah
memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini.
Terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D dan Ibu Dr. Mardiningsih,
M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA-USU Medan.
Terima kasih kepada Bapak Dr. Kerista Sebayang, M.S selaku Dekan
FMIPA-USU serta seluruh civitas akademika di lingkungan FMIPA-FMIPA-USU Medan.
Akhirnya yang teristimewa kepada Ayahanda Tipak Sitorus dan Ibunda Erida
Samosir serta saudara-saudari penulis yang selalu mendoakan, memberi semangat
dan bantuan baik secara moril maupun material kepada penulis. Semoga segala
bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang
lebih baik dari Tuhan Yesus Kristus.
Penulis,
ABSTRAK
Program linier adalah suatu model yang melibatkan fungsi-fungsi linier yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber secara optimal. Pokok pikiran menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dari informasi yang tersedia dan menerjemahkan ke dalam model matematika. Metode simpleks merupakan metode yang efisien untuk menyelesaikan permasalahan program linier. Algoritma titik interior adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier. Titik awal algoritma titik interior dari dalam himpunan fisibel dan bergerak menuju verteks optimal. Tujuan dari penulisan ini adalah menyelesaikan masalah program linier yang memuat n variabel dan m kendala dengan menggunakan kedua metode tersebut. Keefisienan kedua metode di ukur berdasarkan banyaknya iterasi yang diperoleh dalam menyelesaikan permasalahan program linier. Pada penelitian ini, permasalahan program linier dengan metode simpleks akan diperoleh hasil apabila dan pada algoritma titik interior diperoleh hasil apabila nilai Z sama
dengan nilai sebelumnya atau lebih kecil.
COMPARISON SIMPLEX METHOD AND INTERIOR POINT ALGORITHMS IN SOLVING LINEAR
PROGRAMMING PROBLEMS
ABSTRACT
Linear programming is a program which involved function and can be used in solving problem of limited source allocation optimally. The main ideas used in linear program is defining problem of information provided and transforming into mathematical model. Simpleks method is one of effisient algorithm for solving problem of linear programming. Interior point algorithm is a new means which can be used to solve these great problems. The objective of this paper is solving linear programming problem which contain n variables and m constaints using those two methods, then comparing how efficient method are, by counting the number of iteration for each methods. Based on the result, linear programming problem by the simpleks method will result if and the interior point
algorithm results obtained when the value of is equal to the previous value or
smaller.
DAFTAR ISI
1.2 Perumusan Masalah 2
1.3 Batasan Masalah 2
1.4 Tinjauan Pustaka 2
1.5 Tujuan Penelitian 6
1.6 Kontribusi Penelitian 6
1.7 Metodologi Penelitian 6
Bab 2 LANDASAN TEORI 8
2.4 Metode Simpleks 22
2.5 Algoritma Titik Interior 25
2.6 Langkah-langkah Algoritma Titik Interior 28
Bab 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 30
3.1 Permasalahan Program Linier 30
3.2 Aplikasi Kasus Masalah Program Linier 30 3.2.1 Penyelesaian Kasus 2 dengan Metode Simpleks 32 3.2.2 Penyelesaian Kasus 2 dengan Algoritma Titik Interior 38
Bab 4 KESIMPULAN DAN SARAN 48
4.2 Saran 48
Nomor Judul Halaman Tabel
2.1 Kebutuhan Bahan Baku, Waktu Tenaga Kerja 18
2.2 Hasil Perhitungan 21
2.3 Bentuk Tabel Simpleks 24
3.1 Bentuk Tabulasi Permasalahan 33
3.2 Tabel Awal Metode Simpleks 35
3.3 Iterasi 1 36
3.4 Iterasi 2 36
3.5 Iterasi 3 37
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
Gambar
2.1 Grafik Fungsi Kendala 19
2.2 Grafik daerah layak 20
2.3 Grafik Himpunan Penyelesaian 20
