ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI PARETO DENGAN
METODE KUADRAT TERKECIL, MAXIMUM PRODUCT
OF SPACING DAN REGRESI RIDGE
SKRIPSI
MEILISA MALIK
070803005
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI PARETO DENGAN
METODE KUADRAT TERKECIL, MAXIMUM PRODUCT
OF SPACING DAN REGRESI RIDGE
SKRIPSI
Diajukan untuk memenuhi syarat mendapat gelar Sarjana Sains
MEILISA MALIK
070803005
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI PARETO DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL,
MAXIMUM PRODUCT OF SPACING, DAN REGRESI RIDGE
Kategori : SKRIPSI
Nama : MEILISA MALIK
Nomor Induk Mahasiswa : 070803005
Program Studi : SARJANA (SI) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di Medan, Juni 2011
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si. Drs, Marwan Harahap, M.Eng NIP. 195003211980031001 NIP. 194612251974031001
Diketahui/Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
PERNYATAAN
ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI PARETO DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL, MAXIMUM PRODUCT OF SPACING, DAN REGRESI
RIDGE
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juni 2011
PENGHARGAAN
Bismillahirrahmanirrahim
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang, atas limpahan rahmat dan karunia-Nya penulis bisa menyelesaikan skripsi ini. Shalawat dan salam penulis ucapkan kepada Nabi Muhammad SAW yang telah membawa umatnya ke jalan kebenaran.
Skripsi ini merupakan salah satu syarat yang harus dipenuhi dan diselesaikan oleh seluruh mahasiswa Fakultas FMIPA Departemen Matematika. Pada skripsi ini penulis mengambil judul skripsi tentang ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI PARETO DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL, MAXIMUM PRODUCT OF SPACING, DAN REGRESI RIDGE.
Penulis menyadari bahwa dalam menyelesaikan skripsi ini melibatkan banyak pihak yang telah membantu. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Drs. Marwan Harahap, M.Eng sebagai dosen pembimbing I yang telah memberikan bimbingan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan skripsi ini.
2. Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si sebagai dosen pembimbing II atas bimbingan dan penjelasan yang diberikan demi selesainya skripsi ini.
3. Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si dan Bapak Drs. Rachmad Sitepu, M.Si sebagai komisi penguji yang telah banyak memberikan saran demi perbaikan skripsi ini.
4. Bapak Prof.Dr.Tulus.Vordipl.Math.,M.Si.,Ph.D dan ibu Dra.Mardiningsih,M.Si selaku ketua dan sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU.
5. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU.
6. Bapak Drs. Pangeran Sianipar, M.S selaku dosen Penasehat Akademik.
7. Bapak dan Ibu dosen pengajar Departemen Matematika FMIPA USU yang telah memberikan banyak ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
8. Staf pegawai Departemen Matematika FMIPA USU.
9. Ayahanda Edi Wijaya dan Ibunda Sri Lestari yang saya sayangi dan telah membesarkan mendidik saya dengan penuh kasih sayang dari kecil hingga saat ini memberi dukungan moril dan materil yang tak ternilai dengan apapun.
10.Adik-adik tersayang: D’Wawan, Tegar, Nova dan seluruh keluarga yang selama ini selalu memberikan semangat dalam menyelesaikan skripsi ini.
11.Untuk Rizqi terima kasih telah memberi bantuan dan motivasi yang sangat besar sehingga saya lebih bersemangat mengerjakan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dari pembaca demi perbaikan skripsi ini. Semoga segala bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan dari Allah SWT.
Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat kepada pembaca.
ABSTRAK
ESTIMATION PARAMETERS FOR PARETO DISTRIBUTION BY LEAST SQUARES, MAXIMUM PRODUCT OF SPACING, AND RIDGE
REGRESSION METHODS
ABSTRACT
Bab 3 Pembahasan………...20
3.1 Estimasi Parameter Distribusi Pareto dengan Metode Kuadrat Terkecil..20
3.2 Estimasi Parameter Distribusi Pareto dengan Metode Regresi Ridge…..22
3.3 Estimasi Parameter Distribusi Pareto dengan Metode Maximum Product of Spacing...…... ………...…23
3.4 Contoh Kasus……….25
3.4.1 Penyelesaian dengan Metode Kuadrat Terkecil………29
3.4.2 Penyelesaian dengan Metode Regresi Ridge………31
3.4.3 Penyelesaian dengan Metode Maximum Product of Spacing ……..34
Bab 4 Kesimpulan dan Saran……….………50
4.1 Kesimpulan………...50
4.2 Saran………..51
DAFTAR TABEL
Halaman Tabel 2.1 Taksiran Regresi Ridge…...………....………18
Tabel 3.1 Perhitungan untuk taksiran kuadrat terkecil dan regresi
ridge ( , )……….……… 24 Tabel 3.2 Perhitungan untuk taksiran kuadrat terkecil dan regresi
ridge ( , )………. 25 Tabel 3.3 Perhitungan untuk taksiran kuadrat terkecil dan regresi
ridge ( , )………..26 Tabel 3.4 Perhitungan untuk taksiran kuadrat terkecil dan regresi
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 2.1 Probability Density Function Distribusi Pareto untuk berbagai
nilai k………..12
Gambar 2.2 Probability Density Function Distribusi Pareto untuk berbagai
nilai ……….………12
Gambar 2.3 Cumulative Distribution Function Distribusi Pareto untuk
berbagai nilai ……..…….……….………..13 Gambar 2.4 Cumulative Distribution Function Distribusi Pareto untuk
ABSTRAK
ESTIMATION PARAMETERS FOR PARETO DISTRIBUTION BY LEAST SQUARES, MAXIMUM PRODUCT OF SPACING, AND RIDGE
REGRESSION METHODS
ABSTRACT
Bab 1
PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang
Para peneliti maupun administrator dalam bidang bisnis, pendidikan, pemerintahan, ekonomi, maupun bidang lain, semuanya berkepentingan dalam masalah estimasi atau penaksiran. Misalnya dalam menaksir banyaknya siswa yang memasuki perguruan tinggi periode mendatang, atau proporsi pemilih yang akan memilih salah satu diantara tiga calon presiden dalam pemilihan umum mendatang. Estimasi ini biasanya dilakukan pada parameter suatu populasi. Untuk mengambil kesimpulan dari masalah-masalah tersebut maka perlu melakukan estimasi parameter-parameter yang belum diketahui harga sebenarnya.
Dalam mengestimasi parameter-parameter populasi, ada banyak metode yang dapat digunakan. Tiga diantaranya yaitu metode kuadrat terkecil,
maximum product of spacing, dan regresi ridge. Metode kuadrat terkecil dan regresi ridge biasanya digunakan dalam penaksiran regresi. Sedangkan
maximum product of spacing biasanya digunakan untuk mengestimasi parameter-parameter dalam model statistika univariat.
Distribusi pareto merupakan model probabilitas dengan variabel
continuous. Distribusi pareto memiliki dua parameter yang biasa disebut
Untuk kepentingan-kepentingan tertentu dalam bidang-bidang di atas, sering kali perlu dilakukan penaksiran terhadap parameter-parameter distribusi pareto agar dapat diambil kesimpulan yang tepat. Untuk mengetahui taksiran parameter-parameternya maka perlu dilakukan estimasi. Parameter-parameter ini dapat diestimasi dengan banyak metode, diantaranya tiga metode di atas yaitu metode kuadrat terkecil, maximum product of spacing, dan regresi ridge.
Dari uraian di atas serta dengan mempertimbangkan kemampuan penulis, maka penulis ingin melakukan penelitian dengan judul “ Estimasi Parameter Distribusi Pareto dengan Metode Kuadrat Terkecil, Maximum product of spacing, dan Regresi Ridge”.
1.2.Perumusan Masalah
Dalam penulisan ini yang menjadi permasalahannya adalah menentukan parameter-parameter distribusi pareto yang akan ditaksir, kemudian memperlihatkan bagaimana cara menaksir parameter-parameter tersebut dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maximum product of spacing
dan regresi ridge.
1.3.Tinjauan Pustaka
(Walpole, 1995) sembarang nilai yang menjelaskan ciri suatu sampel disebut statistik. Sedangkan sembarang nilai yang menjelaskan ciri suatu populasi disebut parameter. Nilai parameter yang sebenarnya tetapi belum diketahui dapat ditaksir berdasarkan statistik sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan.
yang sedang dicari harus sekecil mungkin. Untuk fenomena yang terdiri dari sebuah variabel bebas X dan sebuah variabel tak bebas Y dimana model regresi linier untuk populasi
dapat ditaksir parameter-parameternya. Harga parameter dan ditaksir oleh a dan b sehingga diperoleh persamaan regresi dengan menggunakan data sampel :
̂
Walpole dan Myers (1986, hal: 374), metode kuadrat terkecil menghasilkan penaksir tak bias untuk koefisien regresi, tapi penaksir mungkin mempunyai variansi yang besar. Variansi yang besar ini menimbulkan dua kesulitan, dalam praktek, pada penaksir kuadrat terkecil bila terdapat kolinieritas ganda yang parah:
1. penaksir mungkin sekali amat tidak stabil, maksudnya peka terhadap perubahan kecil pada data yang kelihatannya tidak penting;
2. penaksir cenderung menghasilkan koefisien yang terlalu besar, positif maupun negatif
ini disebabkan kenyataan bahwa mungkin mempunyai bias positif yang besar akibat kolinearitas kendatipun tak bias. Karena korelasi antara peubah bebas sering merupakan gejala yang wajar, kesulitan karena kolinearitas ini tidak selalu dapat dihindari dengan mengubah rencana percobaan atau dengan mencari tambahan data. Suatu cara menghadapi masalah ini adalah meninggalkan metode kuadrat terkecil dan menggunakan cara penaksiran yang bias.
dinyatakan dengan , , … , dan disebut taksiran regresi ridge.
(Wikipedia, 2010), dalam statistika, Maximum Spacing Estimation
(MSE) atau Maximum product of spacing (MPS) adalah metode untuk mengestimasi parameter dari model statistika univariat. Metode ini membutuhkan rata-rata geometrik maximum dari jarak data tersebut, yang berbeda antara nilai cdf dari titik data. Metode MPS memilih nilai parameter untuk membuat observasi data seseragam mungkin, berdasarkan spesifikasi ukuran kuantitatif dari keseragaman.
Andaikan ,…, adalah sampel acak berukuran n dari distribusi univariat dengan cdf , dimana adalah parameter yang belum diketahui dan akan ditaksir, dan andaikan { ,…, } kecocokan sample , itu merupakan hasil dari pemilihan semua observasi dari yang terkecil hingga terbesar.
Definisikan spacing sebagai “celah” antara nilai fungsi distribusi pada titik perintah yang berdekatan :
, dimana .
Maka penaksir maximum spacing dari didefinisikan sebagai nilai maximum logaritma rata-rata geometrik dari spacing sampel :
̂ .
Dimana,
∑
(Yossef, 2005), distibusi pareto atau disebut juga dengan distibusi power law adalah suatu model probabilitas untuk variabel continuous untuk variable acak X didefinisikan sebagai :
(
dimana x adalah nilai dalam range yang didefinisikan untuk X, adalah salah satu parameter yang disebut location parameter dan adalah parameter lain yang disebut slope parameter.
Fungsi padat peluang (PDF) distribusi pareto yaitu:
PDF tersebut mempunyai rata-rata yang infinit pada dan varians yang infinit pada
1.4.Tujuan Penelitian
1.5.Kontribusi Penelitian
Selain sebagai tambahan literatur dan pengetahuan pembaca yang ingin mempelajari tentang estimasi parameter dan distribusi pareto, semoga penelitian ini dapat bermanfaat bagi peneliti lain yang ingin meneliti masalah yang berhubungan dengan estimasi parameter distribusi pareto agar dapat mengambil kesimpulan yang tepat.
1.6.Metodologi Penelitian
Penelitian ini dilakukan dalam bentuk studi literatur yang diambil dari berbagai buku teks dan jurnal, dimana penyajiannya menggunakan metode menguraikan dan menjelaskan konsep-konsep dasar dan pembahasan yang berhubungan dengan studi ini. Adapun kerangka pemikiran dalam studi ini menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Mempelajari tentang cara-cara mengestimasi atau menaksir dan metode-metode yang digunakan dalam menaksir.
2. Menjelaskan tentang beberapa teori dan definisi yang akan digunakan dalam studi ini.
3. Membuat persamaan regresi linier sederhana dari fungsi probabilitas distribusi pareto.
4. Mencari taksiran parameter distribusi pareto dengan metode kuadrat terkecil dari persamaan regresi yang diperoleh.
5. Menentukan kendala tunggal dari persamaan regresi linier.
6. Dengan metode multiple Langrange akan dicari taksiran parameter distribusi pareto dengan metode regresi ridge.
7. Menentukan spacing atau jarak antara fungsi probabilitas distribusi pareto. 8. Menentukan logaritma rata-rata geometrik dari jarak fungsi tersebut. 9. Meminimumkan rata-rata geometrik dan mencari taksiran parameter
10.Dari contoh kasus yang diberikan, akan dibandingkan mana metode yang terbaik diantara ketiga metode ini dengan MSE.
Bab 2
LANDASAN TEORI
2.1. Penaksiran Parameter
Jika adalah nilai parameter populasi yang belum diketahui harganya , maka dapat ditaksir oleh nilai statistik ̂, dan ̂ disebut sebagai penaksir atau fungsi keputusan. Dalam menaksir sangat dikehendaki ̂ , tetapi ini merupakan keinginan yang bersifat ideal. Kenyataannya yang bisa terjadi adalah:
a. ̂
b. ̂
Keduanya ini jelas tidak dikehendaki. Oleh karena itu diinginkan penaksir yang baik.
2.1.1. Metode Penaksiran Klasik
Metode penaksiran klasik mendasarkan kesimpulannya semata-mata pada informasi yang diperoleh dari suatu contoh acak yang ditarik dari populasi tersebut. Metode ini sering digunakan untuk menaksir rata-rata, proporsi, simpangan baku, dan lain-lain.
dengan parameter yang ditaksir, yaitu ( ̂ . Penaksir yang memiliki sifat ini disebut dengan penaksir tak bias.
Definisi:
1. Penaksir ̂ dikatakan penaksir tak bias jika rata-rata semua harga ̂ yang mungkin, akan sama dengan , yaitu: ( ̂ .Apabila ̂ dan ̂ merupakan penaksir tak bias bagi parameter populasi yang sama, maka akan dipilih penaksir yang sebaran penarikan sampelnya mempunyai varians terkecil. Bila varians ̂ lebih kecil dari varians ̂ , maka ̂ merupakan penaksir yang lebih efisien dari pada ̂ .
2. Diantara semua penaksir tak bias yang mungkin bagi parameter , yang mempunyai varians terkecil adalah penaksir paling efisien bagi dan disebut dengan penaksir bervarians minimum.
3. Penaksir yang tak bias dan bervarians minimum dinamakan penaksir terbaik.
2.2.2. Metode Penaksiran Bayes
2.2.3. Cara-cara Menaksir
Penaksir terbaik yaitu penaksir tak bias dan bervarians minimum belum tentu memperoleh nilai taksiran parameter yang benar-benar tepat. Keakuratan penaksiran dapat ditingkatkan dengan memperbesar sampel, tetapi ini tidak menjamin bahwa nilai taksiran yang berasal dari suatu sampel akan sama dengan parameter yang ditaksir. Untuk itu harus dicari interval taksiran yang di dalamnya diharapkan terdapat nilai parameter yang sebenarnya.
Suatu interval taksiran dari parameter adalah interval yang berbentuk ̂ ̂ . Karena sampel yang berbeda akan menghasilkan nilai ̂ yang berbeda, demikian pula dengan ̂ dan ̂ ,maka kedua titik itu dapat dipandang sebagai nilai bagi peubah padanannya ̂ dan ̂ . Dari sebaran penarikan sampel untuk ̂ dapat ditentukan ̂ dan ̂ sehingga ( ̂ ̂ dimana , maka akan dihasilkan suatu interval yang mengandung . Interval ̂ ̂ disebut selang kepercayaan, disebut koefisien kepercayaan, dan ̂ dan ̂ masing-masing disebut batas kepercayaan sebelah atas dan sebelah bawah.
2.2. Distribusi Pareto
Definisi:
1. Jika X adalah variabel acak berdistribusi pareto, maka probabilitas bahwa X lebih besar dari beberapa nilai x diberikan oleh :
{ (
dimana dan adalah parameternya.
2. Jika X adalah variabel acak berdistribusi pareto, maka Cumulative Distribution Function (CDF) dari variabel acak Pareto dengan parameter dan adalah :
{ (
dimana dan adalah parameternya.
3. Jika X adalah variabel acak berdistribusi pareto, maka P robability Density Function (PDF) dari variabel acak pareto dengan parameter dan adalah :
{
(
Gambar 2.1 Probability Density Function Distribusi Pareto untuk berbagai nilai k
Gambar 2.2 Probability Density Function Distribusi Pareto untuk berbagai nilai
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200
0 2 4 6 8 10 12
k = 1
k = 3
k = 5
-1.000 0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000
0 5 10 15
Gambar 2.3 Cumulative Distribution Function Distribusi Pareto untuk berbagai nilai
Teorema:
1. Andaikan X adalah variabel acak berdistribusi pareto, maka:
Dimana
2. andaikan X adalah variabel acak berdistribusi pareto, maka:
(
Dimana
2.3. Metode Kuadrat Terkecil
Metode kuadrat terkecil merupakan teknik yang sangat terkenal dalam statistika. Metode kuadrat terkecil digunakan untuk menghitung taksiran parameter. Metode ini merupakan salah satu teknik statistika modern yang pertama kali dipublikasikan pada tahun 1805 oleh matematikawan asal Prancis yaitu Legendre dalam sebuah riwayat klasik. Namun, metode ini telah ada sebelum Legendre mempublikasikannya. Setelah riwayat Legendre dipublikasikan, matematikawan terkenal asal Jerman, yaitu Gauss mempublikasikan riwayat lain pada tahun 1809 yang menyebutkan bahwa dia sudah menemukan metode ini sebelumnya, dan telah menggunakannya sekitar tahun 1795. Ini menimbulkan perselisihan, namun tidak mengurangi ketenaran dari teknik ini.
Metode kuadrat terkecil terdiri dari beberapa macam. Metode kuadrat terkecil yang paling sederhana adalah Ordina ry Least Square (OLS). Metode yang lebih rumit lagi yaitu Weighted Least Square (WLS). Metode WLS lebih baik dari pada metode OLS karena WLS bisa mengatur pentingnya setiap observasi dalam menentukan solusi akhir. Selain OLS dan WLS, ada juga Alternating Least Square (ALS) dan
Partial Least Square (PLS).
Metode kuadrat terkecil yang sering digunakan adalah OLS. OLS biasanya digunakan dalam regresi linier untuk menentukan persamaan garis atau kurva yang tepat untuk sekumpulan data. Dalam rumus standard, suatu himpunan n pasangan dari observasi { } digunakan untuk menemukan suatu fungsi yang memberikan nilai variabel terikat Y dari nilai variabel bebas X. Dengan 1 variabel bebas dan fungsi linier, diberikan persamaan regresi :
̂ .
Persamaan ini memiliki 2 parameter yaitu a dan b dari garis regresi. Metode kuadrat terkecil mendefinisikan taksiran parameter-parameter ini sebagai nilai minimum jumlah kuadrat dari selisih antara ukuran dan model taksiran:
∑( ̂
∑ [ ]
dimana adalah error yang harus diminimalkan dan n adalah jumlah sampel. Ini dapat diperoleh dengan menggunakan teknik kalkulus yaitu dengan sifat fungsi kuadratis yang mencapai nilai minimum ketika turunannya nol. Turunan terhadap a
dan
OLS bisa diperpanjang untuk lebih dari 1 variabel bebas dengan menggunakan aljabar matriks dan metode ini juga dapat digunakan untuk fungsi nonlinier.
2.4.Regresi Ridge
Regresi ridge merupakan metode yang baik digunakan untuk menyusutkan nilai parameter-parameter regresi mendekati nol, dengan cara demikian menjamin eksistensi penaksiran. Regresi ridge sudah diperkenalkan oleh Hoerl dan Kennard pada tahun 1970 untuk menanggulangi masalah Ordinary Least Squa re (OLS) dan persamaan regresi linier di atas dibuat dalam bentuk:
maka taksiran regresi ridge dapat ditulis dalam persamaan:
dimana:
)
Regresi ridge merupakan salah satu dari beberapa cara penaksiran yang biasa dilakukan dalam penaksiran bias dengan tujuan memperkecil variansi penaksir koefisien regresi, walaupun penaksir yang diperoleh bias. Biasanya takiran regresi
ridge diperoleh dengan meminimumkan jumlah kuadrat error untuk persamaan:
dengan kendala tunggal ∑ , bila konstanta positif yang berhingga. Menurut metode multiple Langrange, maka harus dicari turunan :
∑
∑
terhadap , , …, . Bila turunan ini disamakan dengan nol, maka diperoleh suatu sistem persamaan :
.
Dari persamaan ini dapat dicari taksiran untuk regresi ridge, dinyatakan dalam pengali Langrange d.
Definisi:
Taksiran regresi ridge adalah :
,
dimana
Dalam definisi di atas, taksiran regresi ridge dihitung untuk beberapa nilai d
grafik nilai-nilai koefisien dengan nilai-nilai d padanannya, maka akan diperoleh suatu kurva yang disebut runut ridge.
Tabel 2.1 Taksiran Regresi Ridge
0.000 3.2803 9.0361 9.7245 -0.2647 0.004 5.4449 7.1270 9.0451 -0.2790 0.012 6.3413 6.3189 8.6327 -0.1789 0.020 6.5993 6.0695 8.4053 -0.0634 0.100 6.7426 5.6694 7.1994 0.8067 0.200 6.5000 5.4970 6.3675 1.3844 0.300 6.2533 5.3273 5.8221 1.7013 0.400 6.0225 5.1583 5.4220 1.8870
2.5. Maximum Product of Spacing (MPS)
Metode maximum product of spacing (MPS) digunakan untuk menaksir parameter-parameter distribusi univariat continuous. Metode MPS diusulkan oleh Russel Cheng dan Nik Amin tahun 1983 dan diperkenalkan oleh Bo Ranneby pada tahun 1984. Mereka menjelaskan bahwa integral probabilitas mengubah parameter-parameter yang sebenarnya, jarak antara setiap observasi akan didistribusikan secara seragam (uniform). Ini berakibat bahwa perbedaan antara nilai CDF pada observasi yang berderet akan sama. Ini adalah kasus memaksimumkan rata-rata geometrik yang akan menghasilkan keputusan terbaik. Ranneby membenarkan metode ini dengan mendemonstrasikan bahwa penaksir ini mirip dengan Maximum Likelihood Estimation.
Definisi :
maka didefinisikan spacing sebagai “celah” antara nilai fungsi distribusi pada titik
perintah yang berdekatan :
, dimana .
Maka penaksir maximum spacing dari didefinisikan sebagai nilai maximum logaritma rata-rata geometrik dari jarak sampel :
̂ .
Dimana
∑
.
Bab 3
PEMBAHASAN
3.1. Estimasi Parameter Distribusi Pareto dengan Metode Kuadrat Terkecil Dengan aturan logaritma, maka persamaan fungsi probabilitas distribusi pareto
(1)
dapat dibuat dalam bentuk :
(
(2)
Dengan membagi persamaan (2) dengan , maka diperoleh:
atau
. (3)
Misalkan :
, , , dan (4)
Dengan :
= variabel terikat = variabel bebas
Metode kuadrat terkecil mendefinisikan taksiran parameter a dan b ini sebagai nilai minimum jumlah kuadrat galat :
∑ (5)
Dimana adalah error dan n adalah banyaknya sampel. Untuk meminimumkan error, dapat diperoleh dengan menurunkan terhadap a dan b, dimana turunannya sama dengan nol.
∑ ∑ (6)
dan
∑ ∑ ∑ (7)
Persamaan (6) dan (7) ini memberikan nilai untuk a dan b yaitu :
∑ ∑ (8)
dan
∑ ∑ ∑
∑ (∑ (9)
Dengan mensubstitusikan persamaan (4) ke persamaan (8) dan (9), maka diperoleh taksiran untuk k dan :
̂ ∑ ∑
dan
̂ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
Dimana:
̂ ̂ adalah taksiran untuk parameter k
̂ ̂ adalah taksiran untuk parameter
= variabel acak berdistribusi pareto = fungsi probabilitas distribusi pareto
3.2. Estimasi Parameter Distribusi Pareto dengan Metode Regresi Ridge
Dengan regresi ridge, taksiran untuk a dan b dari model regresi linier dapat diperoleh dengan meminimumkan model ̂ dengan kendala tunggal . Dimana adalah konstanta positif berhingga. Menurut metode multiple Langrange, maka cari turunan
∑
terhadap a dan b. Bila turunannya disamakan dengan nol, maka diperoleh:
∑ ∑ (10)
dan
∑ ∑ ∑ (11)
Persamaan (10) dan (11) ini memberikan nilai a dan b yaitu :
∑ ∑ (12)
∑ ∑ ∑ ∑ (∑ (13)
Dengan mensubstitusikan persamaan 4 ke persamaan (12) dan (13), maka akan diperoleh taksiran untuk k dan :
̂ ∑ ∑
Dan
̂ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
Dimana:
̂ ̂ adalah taksiran untuk parameter k
̂ ̂ adalah taksiran untuk parameter
= variabel acak berdistribusi pareto = fungsi probabilitas distribusi pareto
3.3. Estimasi Parameter Distribusi Pareto dengan Metode Maximum Product of Spacing
Misalkan merupakan jarak antara fungsi distribusi pareto. Maka :
∑
∑ (
∑ (
(14)
∑ ( ( ( ( ( (
(15)
∑
(
(
(16)
Untuk memperoleh taksiran dan k, maka persamaan (15) dan (16) dapat diselesaikan dengan metode Newton Raphson, yaitu:
̂
Dan
̂
Dimana:
̂= taksiran untuk parameter
̂= taksiran untuk parameter k
= rata-rata geometric dari jarak titik sampel = turunan terhadap
3.4. Contoh Kasus
Andaikan X merupakan variabel acak yang mewakili penghasilan masyarakat Indonesia (dalam juta rupiah), dan X berdistribusi pareto. Diberikan sampel sebanyak 30 yaitu gaji Rp. 1.000.000 hingga Rp. 30.000.000 dan beberapa pasangan parameter , yaitu (1,1), (1,2), (2,1), dan (3,3).
Penyelesaian :
3.4.1. Penyelesaian dengan Metode Kuadrat Terkecil
Untuk =1 dan
̂ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
̂
̂
Karena ̂
̂ maka diperoleh ̂
̂ ∑ ∑
̂
̂ 0
Karena ̂ ̂, maka diperoleh ̂ .
Untuk =1 dan
̂ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
̂
̂
Karena ̂
̂ maka diperoleh ̂
̂ ∑ ∑
̂
Karena ̂ ̂, maka diperoleh ̂
Untuk =2 dan
̂ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
̂
̂
Karena ̂
̂ maka diperoleh ̂
̂ ∑ ∑
̂
̂
Karena ̂ ̂, maka diperoleh ̂
Untuk =3 dan
̂ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
̂
̂
Karena ̂
̂ ∑ ∑
̂
̂ ,367067
Karena ̂ ̂, maka diperoleh ̂
Tabel 3.5 Estimasi parameter dengan metode kuadrat terkecil
̂ k ̂
1 1 0 1 1 0
1 0,93451 0,004289 2 1,72049 0,078126
2 2 0 1 1 0
3 2,62893 0,137693 3 2,32845 0,450979
MSE 0,035495 MSE 0,132276
3.4.2. Penyelesaian dengan Metode Regresi Ridge Untuk =1, dan d=0,4
̂ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
̂
̂
Karena ̂
̂ maka diperoleh ̂
̂ ∑ ∑
̂
Karena ̂ ̂, maka diperoleh ̂ .
Untuk =1, , dan d=0,4
̂ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
̂
̂
Karena ̂
̂ maka diperoleh ̂
̂ ∑ ∑
̂
̂
Karena ̂ ̂, maka diperoleh ̂
Untuk =2, dan d=0,4
̂ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
̂
̂
Karena ̂
̂ maka diperoleh ̂
̂
̂ ,023612
Karena ̂ ̂, maka diperoleh ̂
Untuk =3, dan d=0,4
̂ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
̂
̂
Karena ̂
̂ maka diperoleh ̂
̂ ∑ ∑
̂
̂ ,354275
Karena ̂ ̂, maka diperoleh ̂
Tabel 3.6 Estimasi parameter dengan metode regresi ridge
̂ k ̂
1 1,09056 0,008201 1 1,22622 0,051175 1 1,01803 0,000325 2 1,99972 0,000000 2 2,04528 0,002050 1 1,05587 0,003121 3 2,59954 0,160368 3 2,26087 0,546313
∑
Menurut metode Newton Raphson, maka:
̂
̂
Menurut metode Newton Raphson, maka:
̂
̂
∑
Menurut metode Newton Raphson, maka:
̂
̂
∑(
Menurut metode Newton Raphson, maka:
̂
̂
∑
Menurut metode Newton Raphson, maka:
̂
̂
Menurut metode Newton Raphson, maka:
̂
̂
∑
Menurut metode Newton Raphson, maka:
̂
̂
Menurut metode Newton Raphson, maka:
̂
̂
̂
Tabel 3.15 Estimasi parameter dengan metode MPS
̂ k ̂
1 0.89813 0.010377 1 1.06748 0.004554 1 0.84347 0.024502 2 2.11616 0.013493 2 1.89259 0.011537 1 1.04643 0.002156 3 2.83327 0.027799 3 3.07827 0.006126
Bab 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya dalam menaksir parameter distribusi pareto dengan metode kuadrat terkecil, maximum product of spacing dan regresi
ridge, kesimpulan yang dapat diambil adalah :
1. penaksir kuadrat terkecil untuk parameter distribusi pareto dan adalah: ̂ ∑ ∑
2. penaksir regresi ridge untuk parameter distribusi pareto dan adalah: ̂ ∑ ∑
3. penaksir MPS untuk parameter distribusi pareto dan adalah:
∑ (
(
∑
4. Metode kuadrat terkecil lebih mudah dikerjakan dan waktu pengerjaannya relatif lebih singkat. Metode regresi ridge dan MPS memerlukan waktu pengerjaan yang lebih lama dibanding dengan metode kuadrat terkecil. Dari contoh kasus yang penulis kerjakan, MSE dari MPS lebih kecil di bandingkan MSE dari metode kuadrat terkecil dan regresi ridge. Namun pada contoh kasus lain, mungkin saja MSE metode kuadrat terkecil dan regresi ridge lebih kecil dari MSE metode MPS
4.2. Saran
1. untuk meminimalkan waktu dan mempermudah pekerjaan dalam mengestimasi parameter, sebaiknya digunakan metode kuadrat terkecil
DAFTAR PUSTAKA
Abdi, Herve. Diakses tanggal 28 Februari 2011. Least Squares. The University of Texas at Dallas. www.google.com
Afify, E. Eldesoky. Diakses tanggal 29 Oktober 2010. Estimation of Parameters For Pareto Distribution.www.google.com
Bjorkstrom, Anders. 2001. Ridge Regression and Inverse Problem. Stockholm University. Sweden.
Miller, J. Stevven. The Method of Least Squares. Mathematics Department Brown University Providence :RI 02912
Rytgaard, Mette. “Estimation in the pareto distribution”.Nordisk Reinsurance Company A/S, Copenhagen, Denmark: hal .201-216
Shao, Yongzhao. 2001. Consistency of the maximum product of spacings method and estimation of a unimodal distribution. Statistica Sinica. 11: hal. 1125-1140.
Stoutenborough, J.W. dan Johnson, Paul. 29 oktober 2010. Pareto Distribution. www.google.com
The Newton-Raphson Method. Diakses tanggal 29 Oktober 2010. www.google.com
Tutz,Gerhard dan Binder, Harald. 2005. Boosting Ridge Regression. Ludwig – Maximilians-Universitat Munchen, Universitat Regensburg. Jerman.
Walpole, E. Ronald. 1995. Penganta r Statistika. Edisi 3. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama.
Walpole, E. Ronald dan Myers, H. Raymond. 1986. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan.Edisi 2. Bandung : ITB Bandung.
www.wikipedia.com/html/Least-Squares Method - Wikiversity.htm. Diakses tanggal 28 Februari 2011.
www.wikipedia.com/html/maximum_spacing_stimation.htm. Diakses tanggal 29 Oktober, 2010.
www.wikipedia.com/html/Pareto-distribution - Wikipedia.htm. Diakses tanggal 28 Februari 2011.
Yossef, Zif Bar. Diakses tanggal 29 Oktober 2010. Power La ws and Small World Phenomenon. www.google.com.
