Judul Skripsi : PERBANDINGAN UJI HOMOGENITAS
RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE KONVENSIONAL DENGAN METODE
ANOMV Nama Mahasiswa : Tika Wahyuni Nomor Pokok Mahasiswa : 0817031057 Jurusan : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MENYETUJUI
1. Komisi Pembimbing
Netti Herawati, Ph.D. Eri Setiawan, M.Si
NIP. 19650125 198003 2 001 NIP. 19581101 198803 1 002 2. Mengetahui
Ketua Jurusan Matematika
Tiryono Ruby, Ph.D.
MENGESAHKAN
1. Tim Penguji
Ketua : Netti Herawati, Ph.D.….………
Sekretaris : Eri Setiawan, M.Si. …………....………
Penguji
Bukan Pembimbing : Mustofa Usman, Ph.D.…..………...
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Prof. Suharso, Ph.D.
NIP. 19690530 199512 1 001
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan pada 24 Desember 1990 di Kediri, dan adalah anak kedua dari empat bersaudara, dari pasangan Bapak Sugiono dan Ibu Kasiyan.
Penulis memulai pendidikan dari sekolah dasar yang diselesaikan di SD Negeri 1 Kediri pada tahun 2002, sekolah lanjutan tingkat menengah di SMP Negeri 1 Gadingrejo pada tahun 2005, dan sekolah lanjutan tingkat atas di SMA Negeri 1 Gadingrejo pada tahun 2008.
MOTTO
Siapa yang berjalan di jalan untuk menuntut ilmu, maka Allah akan
memudahkan jalannya ke syurga (HR. Muslim).
Wahai golongan jin dan manusia! Jika kamu sanggup menembus
(melintasi) penjuru langit dan bumi, maka tembuslah. Kamu tidak akan
mampu menembusnya kecuali dengan kekuatan (dari ALLah)
(Ar-Rahman : 33).
Sukses itu 1% inspirasi, 99% tetesan keringat.
Orang-orang yang sukses menganggap setiap tantangan sebagai
loncatan kemajuan. Orang-orang sukses tidak malu meminta
pertolangan orang lain. Orang-orang sukses terus berusaha walaupun
gagal. Orang-orang sukses berdisiplin diri. Orang-orang sukses berpikir
dulu baru bertindak. Orang-orang sukses lebih mengutamakan
berdiskusi dari pada berdebat. Orang-orang sukses menghormati jasa
PERSEMBAHAN
Satu persembahan kecil untuk kedua orang tua, Bapak Sugiono dan Ibu
Kasiyan, mbak Rinawati, adek Dian Alqoma, dan Yusuf yang mampu
diselesaikan atas izin Allah SWT, semoga memberi manfaat yang tidak
SANWACANA
Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas
izin ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi ini. Shalawat juga salam atas Nabi Muhammad SAW, tuntunan, dan tauladan utama.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Ibu Netti Herawati, Ph.D., selaku dosen pembimbing utama yang telah meluangkan waktu dari padatnya kesibukan beliau untuk membimbing dan mengoreksi, hingga skripsi ini selesai.
2. Bapak Eri Setiawan, M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang telah banyak membantu dan memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Mustofa Usman, Ph.D selaku dosen penguji bukan pembimbing yang memberi penulis masukan dan saran.
4. Ibu Wamiliana, Ph.D., selaku pembimbing akademik.
5. Bapak Tiryono Ruby, Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
x 7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
8. Bapak, Ibu, Mbak Rina, Dian, dan Yusuf yang telah memberikan dukungan secara finansial dan moril, mengirimkan doa, nasihat, dan semangat yang sangat membantu selama penyusunan skripsi.
9. Ayah Mychell yang telah memberikan dukungan, saran, semangat, sebagai sarana belajar dan mawas diri.
10. Ma’ruf dan kun teman seperjuangan di KPP Pratama Lampung, Bunda Mila, Diyah, ice ike, Lita teman – teman pertama di Unila, Ririn, Wo Lisa, Mami
Lina, Bundo Mira, Ichi, Uni Isna, Ma’ruf, Nuy, Ivip, Rechan, Jihan, Eflin,
Tiyas, dan teman – teman Exoters lainnya, terimakasih atas saran, dukungan dan semangat kebersamaannya.
11. Teman – teman Jurusan Matematika yang telah sama – sama tersesat di jalan yang benar, dan pengurus Natural FMIPA, UKMF ROIS FMIPA dan HIMATIKA FMIPA atas ukhuwah yang terjalin.
12. Semua pihak yang telah membantu selama ini yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Bandar Lampung, Januari 2013 Penulis
ABSTRACT
COMPARISON TEST OF HOMOGENEITY VARIANCE ONE WAY CLASSIFICATION METHOD OF CONVENTIONAL
WITH THE ANOMV METHOD
By
TIKA WAHYUNI
To compare the means of several different treatments we commonly use the analysis of variance (ANOVA). One of the assumptions underlying the ANOVA is homogeneity of variances. Heterogeneity of variances can lead to unstable response of several treatment and effect the hypotesis testing. This research aimed to see the difference of Bartlett’s test and Levene’s test with the ANOMV method in testing the homogeneity of variances.The research shows that ANOMV method give similar result with Bartlett’s test and Levene’s test and more easily to
interpretate since it gives graphical form.
ABSTRAK
PERBANDINGAN UJI HOMOGENITAS RAGAM KLASIFIKASI SATU
ARAH METODE KONVENSIONAL DENGAN METODE ANOMV
Oleh
TIKA WAHYUNI
Untuk menguji kesamaan dari beberapa nilai tengah sekaligus diperlukan sebuah teknik analisis yang disebut analisis ragam. Salah satu asumsi yang mendasari analisis ragam adalah ragam galat yang homogen. Keheterogenan ragam galat dapat mengakibatkan respons yang tidak stabil dari beberapa perlakuan tertentu yang mengakibatkan keragaman galat dan berdampak serius terhadap kepekaan hasil pengujian analisis. Penelitian ini bertujuan membandingkan uji homogenitas ragam menggunakan Uji Bartlett’s dan Uji Levene’s dengan metode ANOMV. Dari hasil penelitian diperoleh bahwa metode ANOMV memberikan hasil sama dengan Uji Bartlett’s dan Uji Levene’s tetapi lebih mudah interpretasi karena disajikan dalam bentuk grafik.
1
I.PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang dan Masalah
Teknik analisis ragam merupakan salah satu cara analisis untuk melihat kuadrat tengah perlakuan. Teknik analisis ini didasarkan pada beberapa asumsi yang harus dipenuhi yaitu pengaruh perlakuan dan lingkungan bersifat aditif, galat percobaan memiliki ragam yang homogen, tidak ada korelasi antar galat,serta galat percobaan menyebar normal. Keheterogenan ragam galat dapat
mengakibatkan respon yang tidak stabil dari beberapa perlakuan tertentu, hal ini terjadi bila nilai tengah satu atau dua perlakuan lebih tinggi dari yang lainnya. Jika hubungan fungsional diketahui, maka transformasi dapat ditentukan sehingga akan membuat galat tersebut mempunyai ragam homogen. Dengan demikian analisis ragam dapat dilakukan pada data tranformasi.
2
Umumnya rasio F yang diperoleh dari prosedur analisis ragam tidak peka terhadap penyimpangan dari asumsi kehomogenanragam bagi k populasi normal bila ukuran sampel sama, sedangkan homogenitas ragam sangat mempengaruhi uji nyata. Oleh karena itu pada penelitian ini akan dilakukan perbandingan analisis ragam klasifikasi satu arah dengan menggunakan metode konvensional yaitu Uji Barlett’s dan Uji Levene’s terhadap metode ANOMV.
1.2 Tujuan Penelitian
3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1Analisis Ragam (Anara)
Untuk menguji kesamaan dari beberapa nilai tengah secara sekaligus diperlukan sebuah teknik yang baru yang disebut analisis ragam. Anara adalah suatu metode untuk menguraikan keragaman total data menjadi komponen-komponen yang mengukur berbagai komponen keragaman.
Asumsi-asumsi yang mendasari Anara adalah:
1) Pengaruh perlakuan dan pengaruh lingkungan yang bersifat aditif
Yang dimaksud dengan bersifat aditif artinya dapat dijumlahkan sesuai dengan model. Adanya ketidakaditifan dalam model akan mengakibatkan keheterogenan ragam galat. Model aditif linier adalah sebuah model yang umumnya digunakan untuk menjelaskan komponen sebuah pengamatan yang tersusun atas nilai tengah dan galat. Komponen nilai tengah terdiri dari satu atau lebih parameter (µ). Model yang paling umum adalah sebagai berikut:
= � + � (1)
4
diperoleh sedikit tidak efisien untuk selang kepercayaan pengaruh perlakuan dan dapat memberikan tingkat nyata yang palsu untuk perbandingan nilai tengah perlakuan tertentu.
2) Galat percobaan memiliki ragam yang homogen
Dalam racangan percobaan, komponen galat yang berasal dari perlakuan harus menduga ragam populasi yang sama. Keheterogenan ragam galat dapat mengakibatkan respon yang tidak stabil dari beberapa perlakuan tertentu. Bila nilai tengah satu atau dua perlakuan lebih tinggi dari yang lainnya dan keragamannya juga lebih tinggi dari yang lainnya, maka akan mengakibatkan keragaman galat yang tidak homogen.
3) Galat percobaan yang saling bebas
Asumsi mengenai faktor � untuk Anara adalah � ~� , �� . Peluang bahwa galat dari salah satu pengamatan yang mempunyai nilai tertentu haruslah tidak bergantung dari nilai-nilai galat untuk pengamatan yang lain. Atau dapat dikatakan bahwa tidak ada korelasi antar galat. Jika galat percobaan tidak saling bebas maka dapat mengakibatkan hasil dari pengujian tidak valid. Salah satu cara untuk mencapai sifat saling bebas adalah dengan melakukan pengacakan terhadap objek pengamatan.
4) Galat percobaan menyebar normal
5
fungsional diketahui, maka transformasi dapat ditentukan sehingga akan membuat galat tersebut menyebar mendekati sebaran normal. Dengan demikian analisis ragam dapat dilakukan pada data tranformasi (Mattjik dan Sumertajaya, 2000).
2.1.1 Analisis Ragam Klasifikasi Satu Arah
Analisis ragam dengan klasifikasi satu arah tanpa interaksi adalah analisis yang klasifikasi pengamatannya didasarkan pada satu kriteria.
Model nilai tengah
= � + � dengan � = � + �
sehingga diperoleh model pengaruhnya: = � + � + �
dimana : = nilai pengamatan pada perlakuan ke-i dan ulangan ke-j = , , … ,
= , , … ,
�= rata-rata keseluruhan (overall mean)
� = pengaruh perlakuan ke-i (treatment effect)
� ~i.i.d N(0,� )
�= nilai tengah dari populasi yang dipengaruhi oleh perlakuan ke-i
6
Analisis ragam dengan klasifikasi satu arah dapat ditulis dalam bentuk tabel sebagai berikut:
Tabel 1. Analisis ragam klasifikasi satu arah
Sumber keragaman
Derajat bebas Jumlah kuadrat
Untuk mencari jumlah kuadratnya maka hitung nilai dari faktor koreksi (C) yaitu
= ..⁄ (2)
Jumlah kuadrat yang berasal dari peubah klasifikasi yaitu jumlah kuadrat
perlakuan dan diperoleh � =
�∑ − (3)
Jumlah kuadrat antar individu yang diperlakukan sama disebut jumlah kuadrat galat dan diperoleh melalui pengurangan jumlah kuadrat perlakuan dari jumlah
kuadrar total atau = ∑ ∑ −�.
� (4)
= ∑ ∑ − (5)
Kuadrat Tengah didapat dengan membagi jumlah kuadrat dengan derajat bebas masing-masing.
� = �⁄ − (6)
= ⁄ − (7)
(Steel dan Torrie, 1995)
7
Dalam analisis ragam, komponen galat yang berasal dari perlakuan harus menduga ragam populasi yang sama. Keheterogenan ragam galat dapat mengakibatkan respons yang tidak stabil dari beberapa perlakuan tertentu. Kadang-kadang bila nilai tengah satu atau dua perlakuan lebih tinggi dari yang lainnya dan keragamannya juga lebih tinggi dari yang lainnya. Akan mengakibatkan keragaman galat yang tidak homogen.
Menurut Montgomery (1976), asumsi kehomogenan ragam mengharuskan bahwa perbedaan perlakuan yang diaplikasikan setiap unit tidak merubah keragaman hasil, tetapi merubah rataannya. Oleh karena itu asumsi tersebut merupakan suatu hal yang perlu diuji hipotesisnya. Asumsi tersebut diperlukan untuk mengasumsikan bahwa ragam dari semua kelompok percobaan adalah sama yaitu
: � = � = ⋯ = � (8)
: Paling sedikit satu ragam yang tidak sama
2.3Beberapa Uji Umum untuk Homogenitas Ragam
1. Uji Bartlett’s
Prosedur pada uji Bartlett’s diperoleh dengan menggunakan pendekatan sebaran khi kuadrat dengan (k-1) derajat bebas. Untuk menguji hipotesis:
: � = � = ⋯ = � (9)
: Paling sedikit satu ragam yang tidak sama
8
= banyaknya ulangan tiap perlakuan
� = nilai sampel dari perlakuan tiap ulangan �
̅ = rata-rata perlakuan tiap ulangan
i = 0, 1, 2,...n
= jumlah ragam tiap perlakuan v = banyaknya perlakuan
Hal tersebut dapat ditunjukan bahwa ~ dengan derajat bebas v-1, jika ragam dari μ kelompok adalah sama dan normal (Steel dan Torrie, 1995).
2. Uji Levene’s
Nilai F hitung dari uji Levene’s diperoleh dari hasil transformasi selisih kuadrat dari masing-masing sampel data dengan nilai rata-rata setiap perlakuan. Bila kita ingin menguji hipotesis:
: � = � = ⋯ = � (12)
: Paling sedikit satu ragam yang tidak sama
Untuk tiap pengamatan dari �ℎulangan menggunakan transformasi berikut ini:
�= | �− ̅|� (13)
9
�= nilai sampel tiap perlakuan �
̅= rata-rat sampel tiap perlakuan
pada analisis ragam :
JKT= JKK+JKG sama dengan
∑ ∑ �− ̅
dengan membagi kedua ruas dengan � maka diperoleh : ∑�= ∑��= �− ̅
Dari persamaan di atas statistik F didefinisikan sebagai berikut:
=
̅= rata-rata data tiap perlakuan yang ditransformasi
̅
= rata-rata dari semua rata-rata tiap perlakuan
Dengan − dan − derajat bebas (Phill,1999)
10
Metode ini dilakukan dengan mengubah ANOM menjadi uji skala dengan
mentransformasi pengamatan kedalam persamaan dibawah :
= − ̂ � (15) sampel. Karena tidak ada kesesuaian ukuran antara ragam sampel dengan rata-rata k ragam yang sangat besar maka kita membutuhkan penduga dari � , standar deviasi dari . Untuk populasi normal :
11
karena − ̅̅̅ merupakan penduga tak bias dari � , didapat persamaan:
12
(terjadi jika ragam sampel relatif besar dibandingkan rata-rata k ragam) setara dengan proposi ragam total yang disumbangkan dari i ragam sampel lebih besar 1/k, proporsi yang diduga ketika hipotesis homogenitas ragam adalah benar. Pengamatan serupa dapat membuat nilai kecil. Karena adalah fungsi linier dari �, maka untuk setiap batas keputusan setara dengan batas keputusan dari �. Kita sebut dengan analisis rata-rata untuk ragam (ANOMV). Nilai kritisnya
disimbolkan dengan α, k, dan v (derajat bebas) yang membangun garis keputusan. = �, ,� ̅̅̅
= ̅̅̅
= �, ,� ̅̅̅ (22)
terhadap garis dari ragam sampel . Hipotesis homogenitas ragam di tolak jika
ada ragam sampel berada di luar garis keputusan.(Wludyka and Nelson,1997).
2.5Menentukan Titik Kritis untuk ANOMV
1. Tepat Titik Kritis
Dari hipotesis sebelumnya di dapat:
� =∑ � � = =
− � /�
∑= − � /� (23)
13
14
� �ax � > = � � < (30)
atau
� � > = � � < = , … , (31)
(Wludyka and Nelson,1997).
2. Pendekatan Titik Kritis
Untuk nilai k> 3 kita menggunakan pendekatan titik kritis. Misal = { ≤ � ≤ } dan � merupakan komplemen dari A. Maka,
� ⋃ �
=
Adalah peluang untuk menolak hipotesis HOV dengan batas atas dan batas bawahnya:
interval luar (L,U) yang relevan dengan peluang gabungan dari distribusi [ : − ]. Karena � � ∩ � adalah peluang dari 2 rasio
15
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Metode penelitian
Penelitian ini dilaksanakan dengan studi pustaka, yaitu dengan pengkajian secara teoritis dan praktik komputasi. Analisis menggunakan software Statistial Analysis System (SAS) versi 9.0.
Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah :
1. Memeriksa kehomogenan ragam dari data real dan data simulasi dengan menggunakan uji Barlett’s dan uji Levene’s.
2. Menguji homogenitas ragam dengan metode ANOMV.
3. Membandingkan hasil uji pada langkah 1 dengan langkah 2.
3.2 Data Penelitian
16
Tabel 2. Data Jumlah Buah Tomat Pertanaman di Bawah Pengaruh Lama Pemaparan Medan Magnet
Ulangan Perlakuan
A B C D E
1 14 16 26 20 10
2 9 15 18 19 11
3 17 16 19 18 6
4 11 5 21 22 6
5 16 19 19 22 17
Sumber: Pratiwi (2011)
Tabel 3. Data Mentah Awal Terbentuknya Bunga (hari) Tanaman Tomat di Bawah Pengaruh Lama Pemaparan Medan Magnet
Ulangan Perlakuan
A B C D E
1 56 50 56 54 53
2 56 54 56 54 54
3 57 65 58 56 55
4 55 52 66 65 53
5 52 69 58 56 54
24
V. KESIMPULAN
PERBANDINGAN UJI HOMOGENITAS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE KONVENSIONAL DENGAN METODE ANOMV
(Skripsi)
Oleh
Tika Wahyuni
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
PERBANDINGAN UJI HOMOGENITAS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE KONVENSIONAL DENGAN METODE ANOMV
Oleh
Tika Wahyuni 0817031057
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
