SKRIPSI
ROLAND SEBLYANRY
070803017
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
ROLAND SEBLYANRY 070803017
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : KAJIAN TENTANG RUANG TOPOLOGI
FUZZY
Kategori : SKRIPSI
Nama : ROLAND SEBLYANRY
Nomor Induk Mahasiswa : 070803017
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di
Medan, Januari 2012
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Drs. Pangeran Sianipar, MS Dra. Mardiningsih, M.Si NIP. 19470208 1974031 001 NIP. 19630405 1988112 001
Diketahui/ Disetujui oleh:
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
PERNYATAAN
KAJIAN TENTANG RUANG TOPOLOGI FUZZY
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Januari 2012
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah Bapa, Yesus Kristus dan Roh Kudus, atas segala kasih dan kekuatan yang ajaib yang senantiasa menyertai penulis, sehingga penulis dapat mengerjakan dan menyelesaikan skripsi ini.
Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:
1. Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si dan Bapak Drs. Pangeran Sianipar, MS selaku dosen pembimbing penulis, yang telah menyediakan waktunya untuk membimbing dan memberikan pengarahan kepada penulis.
2. Ibu Asima Manurung, S.Si, M.Si dan Bapak Drs. Liling Perangin-angin, M.Si selaku dosen penguji penulis, atas setiap saran dan masukannya.
3. Bapak Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., Ph.D, M.Sc dan Ibu Dra. Mardiningsih M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
4. Dekan, Bapak dan Ibu dosen, semua Staf Administrasi di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah menyertai penulis selama perkuliahan.
5. Orang tua penulis, H. Hutagalung dan R. br. Hutabarat, yang senantiasa memberikan doa, motivasi dan kasih sayang yang tak terhingga dalam hidup penulis. Adik-adik penulis, Albert, Yosua, Rainhard, Sandy, dan Angel, yang selalu memberikan semangat dan penghiburan. Keluarga besar penulis, terkhusus opung dan uda Kunek alias Sahat Jansen Hutagalung, yang telah memberikan dukungan doa dan dana dalam perkuliahan penulis.
ABSTRAK
THE STUDY OF F UZZY TOPOLOGICAL SPACES
ABSTRACT
This study is shown that every concepts, properties, theorems, and operations on topological spaces ( ,�), where is the real numbers sets, can be apllied on fuzzy
topological spaces ( ,�), where now is the fuzzy sets which in closed interval
[0,1]. And at the end is shown that these topological spaces is a isomorfic
DAFTAR ISI
2.1.3 Operasi pada Himpunan Fuzzy 10
2.1.3.1 Penjumlahan 10
2.2 Topologi dan Ruang Topologi 14
2.2.1 Pengertian Topologi dan Ruang Topologi 15
2.2.1.1 Persekitaran 15
2.2.1.2 Pengertian Topologi dan Ruang Topologi 15
2.2.3 Penutup Himpunan 17
2.2.4 Basis dari Topologi 18
2.2.5 Subbasis dari Topologi 20
2.2.6 Titik Limit 21
2.2.7 Titik Interior, Titik Ekstertior, dan Batas 24
2.2.8 Kekontinuan pada Topologi 28
Bab 3 Pembahasan
3.1 Pengertian Ruang Topologi Fuzzy 30
3.2 Himpunan Tertutup Fuzzy 31
3.3 Penutup Himpunan Fuzzy 32
3.4 Basis dari Topologi Fuzzy 33
3.5 Subbasis dari Topologi Fuzzy 35
3.6 Titik Limit Fuzzy 36
3.7 Titik Interior Fuzzy, Titik Ekstertior Fuzzy, dan Batas Fuzzy 40
3.8 Kekontinuan pada Topologi Fuzzy 45
3.9 Hubungan antara Ruang Topologi ( ,�) dan Ruang Topologi Fuzzy
( ,�) 46
Bab 4 Kesimpulan dan Saran
4.1 Kesimpulan 49
4.2 Saran 49
ABSTRAK
THE STUDY OF F UZZY TOPOLOGICAL SPACES
ABSTRACT
This study is shown that every concepts, properties, theorems, and operations on topological spaces ( ,�), where is the real numbers sets, can be apllied on fuzzy
topological spaces ( ,�), where now is the fuzzy sets which in closed interval
[0,1]. And at the end is shown that these topological spaces is a isomorfic
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Akhir-akhir ini, konsep tentang logika himpunan fuzzy begitu banyak dipelajari dan dipergunakan. Ini disebabkan karena himpunan fuzzy tidak diekspresikan dalam istilah binary (0 atau 1, hitam atau putih, panas atau dingin), melainkan dinyatakan secara fleksibel antara 0 dan 1, antara hitam dan putih, antara panas
dan dingin. Sebagai contoh, gradasi warna di bidang fotografi dan perfilman.
Dahulu foto dan film hanya berupa gambar hitam-putih. Namun dengan konsep
tentang logika himpunan fuzzy, gradasi warna dapat diciptakan, sehingga kini foto dan film dapat beraneka warna.
Fuzzy secara bahasa dapat diartikan sebagai “kabur” atau “samar-samar”. Himpunan fuzzy adalah himpunan yang keanggotaannya memiliki nilai kekaburan/kesamaran antara salah dan benar. Konsep tentang himpunan fuzzy
pertama kali diperkenalkan oleh Profesor Lotfi A. Zadeh, seorang ilmuwan
Amerika Serikat berkebangsaan Iran, dari Universitas California di Barkeley,
melalui tulisannya “Fuzzy Sets” pada tahun 1965. L.A. Zadeh mendefinisikan
suatu himpunan fuzzy dalam semesta pembicaraan = { 1, 2,…, } sebagai secara umum sebagai himpunan pasangan berurutan
Sementara itu, kata „topologi‟ berasal dari bahasa Yunani, yaitu „topos‟
yang berarti tempat dan „logos‟ yang berarti ilmu. Dengan demikian, topologi
adalah ilmu yang berhubungan dengan tempat/tata ruang. Topologi dapat
diartikan sebagai cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang yang
tidak berubah dalam deformasi dwikontinu, yaitu ruang yang dapat ditekuk,
dilipat, disusut, direntangkan, dan dipilin, tetapi tidak diperkenankan untuk
dipotong, dirobek, ditusuk, atau dilekatkan.
Kajian topologi bermula dari permasalahan geometri oleh Leonard Euler
pada tahun 1736 dalam tulisan “Seven Bridges of Königsberg”, yang merupakan awal sejarah berkembangnya teori graf. Konsep topologinya sendiri diperkenalkan
oleh Johann Benedict Listing dalam tulisan “Vorstudien zur Topologie” pada
tahun 1847 di Jerman. Konsep topologi muncul melalui pengembangan konsep
dari geometri dan teori himpunan, seperti ruang, dimensi, bentuk, dan
Ruang topologi adalah struktur yang diperkenankan untuk memformalkan
konsep seperti konvergensi, keterhubungan, dan kontinuitas. Ruang topologi dapat
dibentuk pada grup, semigrup, aljabar, dan himpunan lainnya, seperti himpunan
fuzzy. Ruang topologi pada himpunan fuzzy disebut ruang topologi fuzzy.
Berdasarkan uraian di atas, penulis mencoba mempelajari tentang konsep
1.2 Perumusan Masalah
Permasalahan yang diangkat dalam tulisan ini adalah tentang bagaimana sifat-sifat
dan teorema dalam ruang topologi ( ,�), dengan adalah himpunan bilangan riil
ℝ, dapat diberlakukan pada ruang topologi fuzzy ( ,�), yang mana sekarang merupakan himpunan fuzzy yang nilainya berada dalam selang tertutup [0,1].
1.3 Batasan Masalah
Dalam penulisan ini, penulis hanya memakai contoh himpunan fuzzy yang diskrit dengan nilai 1 angka di belakang koma. Dan sifat yang dikaji hanya dibatasi
sampai kepada sifat kekontinuan dalam ruang topologi dan ruang topologi fuzzy.
1.4 Tinjauan Pustaka
Zadeh (1965) mengatakan bahwa himpunan fuzzy adalah suatu kumpulan objek yang dinyatakan dengan derajat keanggotaan. Himpunan ini disajikan dengan
fungsi karakteristik yang derajat keanggotaannya bernilai antara 0 dan 1.
Carlson (2010) mengatakan bahwa himpunan fuzzy di suatu himpunan didefinisikan sebagai fungsi �: →[0,1]. Disini �( ) mempresentasikan derajat keanggotaan dari di himpunan fuzzy .
Diberikan contoh: “Himpunan fuzzydari bilangan riil yang lebih besar dari 10”
Munir (2007) mengatakan bahwa operasi-operasi pada himpunan fuzzy
Croom (1989) menambahkan bahwa dengan memakai kata himpunan buka, maka koleksi subhimpunan dari adalah suatu topologi untuk yang memenuhi:
(i) Himpunan dan ∅ adalah himpunan buka.
(ii) Gabungan dari koleksi-koleksi himpunan buka adalah juga
(iii) Irisan dari koleksi-koleksi hingga himpunan buka adalah juga
suatu himpunan buka.
Vilela dan Bautista (2011) dalam jurnalnya mengatakan bahwa suatu
topologi fuzzy pada himpunan tak-kosong adalah kumpulan � dari himpunan
fuzzy di yang memenuhi:
(i) untuk setiap [0,1], himpunan fuzzy � didefinisikan dengan � = ,∀ , ada di dalam �,
(ii) jika , �, maka �, yang mana = min{ , }, dan
(iii) jika � untuk ⊆ , maka �, yang mana
= sup{ } .
Pasangan ( ,�) disebut sebagai suatu ruang topologi fuzzy dan anggota-anggota di � adalah himpunan buka fuzzy.
1.5 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengkaji tentang konsep, sifat-sifat, teorema,
dan operasi-operasi yang terdapat di dalam ruang topologi ( ,�), apakah dapat diberlakukan di dalam ruang topologi fuzzy ( ,�) atau tidak, serta mencari keterhubungan antara dua ruang topologi tersebut.
1.6 Kontribusi Penelitian
Manfaat dari penulisan ini adalah sebagai berikut:
2. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan
untuk mahasiswa matematika, terlebih bagi mahasiswa yang hendak
melakukan penelitian serupa.
1.7 Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Mempelajari literatur tentang sifat-sifat yang berlaku dalam himpunan
fuzzy dan ruang topologi dari media buku dan media internet berupa jurnal dan artikel.
2. Menjelaskan tentang konsep, sifat-sifat, teorema, dan operasi-operasi
yang terdapat di dalam ruang topologi ( ,�) dan bagaimana bila diaplikasikan ke ruang topologi fuzzy( ,�).
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Himpunan F uzzy
Fuzzy berarti “kabur” atau “samar-samar”. Himpunan fuzzy adalah himpunan yang keanggotaannya memiliki nilai kekaburan/kesamaran antara salah dan benar.
Konsep tentang himpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Profesor Lotfi A. Zadeh, seorang ilmuwan Amerika Serikat berkebangsaan Iran, dari Universitas
California di Barkeley, melalui tulisannya “Fuzzy Sets” pada tahun 1965.
2.1.1 Pengertian Himpunan F uzzy
Sebelum teori tentang himpunan fuzzy muncul, dikenal sebuah himpunan klasik yang seringkali disebut himpunan tegas (crisp set) yang keanggotaannya memiliki nilai salah atau benar secara tegas. Sebaliknya, anggota himpunan fuzzy memiliki nilai kekaburan antara salah dan benar. Himpunan tegas hanya mengenal dingin
atau panas, sedangkan himpunan fuzzy dapat mengenal dingin, sejuk, hangat, dan panas.
Perbedaan antara dua jenis himpunan tersebut adalah himpunan tegas
hanya memiliki dua kemungkinan nilai keanggotaan, yaitu 0 atau 1. Artinya, untuk sebarang himpunan tegas , jika sebuah unsur adalah bukan anggota
himpunan , maka nilai yang berhubungan dengan adalah 0. Dan jika unsur tersebut merupakan anggota himpunan , nilai yang berhubungan dengan
adalah 1.
interval [0,1] dan ditentukan dengan fungsi keanggotaan � : →[0,1]. Artinya, untuk sebarang himpunan fuzzy , sebuah unsur adalah bukan anggota himpunan jika � = 0, unsur adalah anggota penuh himpunan jika
� = 1, dan unsur tersebut adalah anggota himpunan dengan derajat keanggotaan sebesar � jika � =�, dengan 0 < �< 1.
Dengan demikian dapat dipeoleh suatu definisi untuk himpunan fuzzy, yakni:
Definisi 2.1.1.1. Himpunan fuzzy dalam suatu himpunan sebarang adalah himpunan yang anggota-anggotanya dinyatakan dengan derajat keanggotaan, yang
nilainya terletak dalam interval [0,1] dan ditentukan dengan fungsi keanggotaan
� : →[0,1].
2.1.2 Fungsi Keanggotaan
Setiap himpunan fuzzy dapat dinyatakan dengan suatu fungsi keanggotaan. Ada beberapa cara untuk menyatakan himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaannya. Untuk semesta hingga diskrit biasanya dipakai cara daftar, yaitu daftar anggota dengan derajat keanggotaannya yang dibentuk sebagai himpunan pasangan
berurutan
= {( 1,� 1 , ( 2,� 2 , … , ( ,� }.
Contoh 2.1.2.1: Misal adalah himpunan fuzzy“bilangan real yang dekat dengan 2”. Himpunan fuzzy dapat disajikan dengan menggunakan fungsi keanggotaan sebagai berikut:
� = −
1 untuk 1 2
3− untuk 2 3
Dengan fungsi keanggotaan ini, diperoleh: � 1 = 0, � 1.5 = 0.5, � 1.7 =
0.7, � 2 = 1, � 2.5 = 0.5, � 2.7 = 0.3, dan � 3 = 0. Maka, dapat
ditulis sebagai himpunan pasangan berurutan:
= { 1, 0 , 1.5, 0.5 , 1.7, 0.7 , 2, 1 , 2.5, 0.5 , 2.7, 0.3 , (3, 0)}.
Kebanyakan himpunan fuzzy berada dalam semesta himpunan semua bilangan riil ℝ dengan fungsi keanggotaan yang dinyatakan dalam bentuk suatu
formula matematis. Formula matematis fungsi keanggotaan dalam himpunan fuzzy
tersebut diantaranya adalah fungsi keanggotaan segitiga, fungsi keanggotaan trapesium, fungsi keanggotaan Gauss, fungsi keanggotaan Cauchy, fungsi keanggotaan sigmoid, dan fungsi keanggotaan kiri-kanan.
2.1.2.1 Fungsi Keanggotaan Segitiga
Definisi 2.1.2.1.1. Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan segitiga jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu , , ℝ
Fungsi keanggotaan tersebut dapat juga dinyatakan sebagai berikut:
; , , = ( −
− , −
− , 0).
2.1.2.2 Fungsi Keanggotaan Trapesium
ℝ dengan < < < , dinyatakan dengan ( ; , , , ) dengan
Fungsi keanggotaan tersebut dapat juga dinyatakan sebagai berikut:
; , , , = ( −
− , 1, −
− , 0).
2.1.2.3 Fungsi Keanggotaan Gauss
Definisi 2.1.2.3.1. Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan Gauss jika mempunyai dua buah parameter, yaitu , ℝ, dinyatakan dengan ( ; , ) sebagai berikut:
; , = −( − )2.
2.1.2.4 Fungsi Keanggotaan Cauchy
Definisi 2.1.2.4.1. Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan Cauchy jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu , , ℝ, dinyatakan dengan ( ; , , ) sebagai berikut:
; , , = 1
2.1.2.5 Fungsi Keanggotaan Sigmoid
Definisi 2.1.2.5.1. Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan Sigmoid jika mempunyai dua buah parameter, yaitu , ℝ, dinyatakan dengan ( ; , ) sebagai berikut:
; , = 1
1+ − ( − ) .
2.1.2.6 Fungsi Keanggotaan Kiri-Kanan
Definisi 2.1.2.6.1. Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan kiri-kanan jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu , , ℝ,
Tentu saja masih banyak fungsi-fungsi keanggotaan lainnya yang dapat
dibuat untuk memenuhi keperluan aplikasi-aplikasi tertentu. Yang jelas fungsi
keanggotaan memainkan peranan sentral dalam teori himpunan fuzzy yang harus dikontruksikan untuk menyatakan istilah linguistik yang dipergunakan.
2.1.3 Operasi pada Himpunan F uzzy
Terhadap dua buah himpunan fuzzy atau lebih, dapat dilakukan operasi-operasi untuk menghasilkan himpunan fuzzy yang lain. Operasi-operasi tersebut diantaranya adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian,
2.1.3.1 Penjumlahan
Definisi 2.1.3.1.1. Penjumlahan dua buah himpunan fuzzy dan adalah himpunan fuzzy + , yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan
� + = sup + = min{� , � }.
Contoh 2.1.3.1.1: Misalkan dalam semesta = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} diketahui himpunan-himpunan fuzzy
= { 1, 0.4 , 2, 1 , 3, 0.6 , 4, 0.1 }.
= { 2, 0.2 , 3, 0.7 , 4, 1 , 5, 0.6 }.
Maka diperoleh
+ = { 3, 0.2 , 4, 0.4 , 5, 0.7 , 6, 1 , 7, 0.6 , 8, 0.6 , (9, 0.1)}.
Definisi 2.1.3.1.2. Jika himpunan fuzzy dijumlahkan dengan suatu bilangan real
ℝ, maka penjumlahan tersebut dapat didefinisikan dengan fungsi keanggotaan
� + = sup + = min{� , 1} =� ( − ).
Contoh 2.1.3.1.2: Misalkan dalam semesta = {−3,−2,−1, 0, 1, 2} diketahui himpunan fuzzy
= { −3, 0 , −2, 0.3 , −1, 0.5 , 0, 0.7 , (1, 1)}.
Maka diperoleh
2.1.3.2 Pengurangan
Definisi 2.1.3.2.1. Pengurangan dua buah himpunan fuzzy dan adalah himpunan fuzzy − , yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan
� − = sup − = min{� , � }.
Contoh 2.1.3.2.1: Misalkan dalam semesta = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} diketahui himpunan-himpunan fuzzy
= { 6, 0.4 , 7, 1 , 8, 0.6 , 9, 0.1 }.
= { 2, 0.2 , 3, 0.7 , 4, 1 , 5, 0.6 }.
Maka diperoleh
− = { 1, 0.4 , 2, 0.6 , 3, 1 , 4, 0.7 , 5, 0.6 , 6, 0.6 , (7, 0.1)}.
2.1.3.3 Perkalian
Definisi 2.1.3.3.1. Perkalian dua buah himpunan fuzzy dan adalah himpunan
fuzzy ∙ , yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan
� ∙ = sup ∙ = min{� , � }.
Contoh 2.1.3.3.1: Misalkan dalam semesta = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} diketahui himpunan-himpunan fuzzy
= { 1, 0.4 , 2, 1 , 3, 0.6 , 4, 0.1 }.
= { 0, 0.2 , 1, 1 , 2, 0.6 }.
Maka diperoleh
Definisi 2.1.3.3.2. Jika himpunan fuzzy dikalikan dengan suatu bilangan real
ℝ, maka perkalian tersebut dapat didefinisikan dengan fungsi keanggotaan
� ∙ = sup ∙ = min{� , 1} =� ( / ).
Contoh 2.1.3.3.2: Misal dalam semesta = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} diketahui himpunan fuzzy
= { 0, 0 , 1, 0.3 , 2, 0.5 , 3, 0.7 , (4, 1)}.
Maka diperoleh
∙2 = { 0, 0 , 2, 0.3 , 4, 0.5 , 6, 0.7 , (8, 1)}.
2.1.3.4 Pembagian
Definisi 2.1.3.4.1. Pembagian dua buah himpunan fuzzy dan adalah himpunan
fuzzy / , yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan
� / = sup / = min{� , � }.
Contoh 2.1.3.4.1: Misalkan dalam semesta = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} diketahui himpunan-himpunan fuzzy
= { 0, 0.4 , 4, 1 , 8, 0.6 }.
= { 1, 0.3 , 2, 1 , 4, 0.7 }.
Maka diperoleh
2.1.3.5 Komplemen
Definisi 2.1.3.5.1. Komplemen dari suatu himpunan fuzzy adalah himpunan
fuzzy −, diartikan sebagai “ tidak dekat ”, dengan fungsi keanggotaan
� − = 1− � ( ), untuk setiap .
Contoh 2.1.3.5.1: Misalkan dalam semesta = {−4,−3,−2,−1, 0} diketahui himpunan fuzzy
= { −4, 0 , −3, 0.3 , −2, 0.5 , −1, 0.7 , (0, 1)}.
Maka diperoleh
−= { −4, 1 , −3, 0.7 , −2, 0.5 , −1, 0.3 , (0, 0)}.
2.1.3.6 Gabungan
Definisi 2.1.3.6.1. Gabungan dua buah himpunan fuzzy dan adalah himpunan
fuzzy , diartikan sebagai “ dekat atau dekat ”, dengan fungsi keanggotaan
� =� � = max(� , � ), untuk setiap .
Contoh 2.1.3.6.1: Misalkan dalam semesta = {−3,−2,−1, 0, 1, 2} diketahui himpunan-himpunan fuzzy
= { −3, 0.3 , −2, 0.7 , −1, 1 , 0, 0.5 , 1, 0.2 , (2, 0)}.
= { −3, 0 , −2, 0.1 , −1, 0.4 , 0, 0.6 , 1, 0.8 , (2, 1)}.
Maka diperoleh
2.1.3.7 Irisan
Definisi 2.1.3.7.1. Irisan dua buah himpunan fuzzy dan adalah himpunan fuzzy , diartikan sebagai “ dekat dan dekat ”, dengan fungsi keanggotaan
� =� � = min(� , � ), untuk setiap .
Contoh 2.1.3.7.1: Misalkan dalam semesta = {−3,−2,−1, 0, 1, 2} diketahui himpunan-himpunan fuzzy
= { −3, 0.3 , −2, 0.7 , −1, 1 , 0, 0.5 , 1, 0.2 , (2, 0)}.
= { −3, 0 , −2, 0.1 , −1, 0.4 , 0, 0.6 , 1, 0.8 , (2, 1)}.
Maka diperoleh
= { −3, 0 , −2, 0.1 , −1, 0.4 , 0, 0.5 , 1, 0.2 , (2, 0)}.
Dua buah himpunan fuzzy dikatakan beririsan apabila irisan kedua himpunan
fuzzy tersebut tidak sama dengan himpunan kosong. Apabila irisan dua buah himpunan fuzzy sama dengan himpunan kosong, maka kedua himpunan fuzzy
tersebut dikatakan lepas.
2.2 Topologi dan Ruang Topologi
Kata „topologi‟ berasal dari bahasa Yunani, yaitu „topos‟ yang berarti tempat dan
„logos‟ yang berarti ilmu. Dengan demikian, topologi adalah ilmu yang berhubungan dengan tempat/tata ruang. Topologi dapat diartikan sebagai cabang
matematika yang bersangkutan dengan tata ruang yang tidak berubah dalam
deformasi dwikontinu, yaitu ruang yang dapat ditekuk, dilipat, disusut,
direntangkan, dan dipilin, tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek,
Kajian topologi bermula dari permasalahan geometri oleh Leonard Euler
pada tahun 1736 dalam tulisan “Seven Bridges of Königsberg”, yang merupakan awal sejarah berkembangnya teori graf. Konsep topologinya sendiri diperkenalkan
oleh Johann Benedict Listing dalam tulisan “Vorstudien zur Topologie” pada
tahun 1847 di Jerman. Konsep topologi muncul melalui pengembangan konsep
dari geometri dan teori himpunan, seperti ruang, dimensi, bentuk, dan
transformasi.
2.2.1 Pengertian Topologi dan Ruang Topologi
2.2.1.1 Persekitaran
Definisi 2.2.1.1.1. Misal adalah himpunan bagian dari suatu himpunan sebarang . adalah persekitaran dari , jika dan hanya jika terdapat suatu himpunan
sedemikian sehingga ⊆ .
Teorema 2.2.1.1.1. Suatu himpunan adalah terbuka jika dan hanya jika merupakan persekitaran dari setiap titik yang didalamnya.
Bukti 2.2.1.1.1: Pertama, akan dibuktikan bahwa himpunan adalah terbuka jika merupakan persekitaran dari setiap titik yang didalamnya. Misalkan adalah
himpunan terbuka, maka setiap titik menjadi anggota pada himpunan
terbuka yang termuat dalam , yang berarti ⊆ . Jadi, adalah
persekitaran dari setiap titik yang didalamnya.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa suatu himpunan merupakan persekitaran
dari setiap titik yang didalamnya jika adalah terbuka. Misalkan merupakan
suatu persekitaran dari setiap titik yang didalamnya. Sehingga untuk setiap ,
terdapat suatu himpunan terbuka sedemikian sehingga ⊆ . Dari sini
∎
2.2.1.2 Pengertian Topologi dan Ruang Topologi
Definisi 2.2.1.2.1. Misal suatu himpunan sebarang dan ℱ = { : ⊆ ; = 1,2,…, }. � dikatakan suatu topologi pada jika dan hanya jika � adalah kumpulan himpunan bagian dari yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:
(iv) ∅, �, merupakan kumpulan himpunan bagian dari dan � memenuhi aksioma:
∅ 1,2 = 1,2 , {1} {1} = {1}, 1,2 1,2 =
topologi diskrit. Topologi ini adalah topologi terbesar yang dapat dibentuk.
Dan bila terdapat suatu topologi pada yang anggotanya hanya terdiri dari
himpunan kosong ∅ dan himpunan itu sendiri, maka topologi tersebut disebut
topologi indiskrit. Topologi ini adalah topologi terkecil yang dapat dibentuk.
2.2.2 Himpunan Tertutup
Definisi 2.2.2.1. Misalkan adalah suatu ruang topologi. Suatu himpunan bagian dari disebut himpunan tertutup jika dan hanya jika komplemen dari merupakan himpunan buka. Komplemen dari ditulis .
Contoh 2.2.2.1: Misalkan = {1, 2, 3, 4} dan � = {∅, , {1}, {3}, 1,3 } adalah suatu topologi pada . Maka himpunan tertutup dari adalah
{ ,∅, 2,3,4 , 1,2,4 , 2,4 } yang merupakan komplemen dari setiap himpunan
bagian buka pada topologi .
Teorema 2.2.2.1. Diberikan adalah suatu ruang topologi. Irisan sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup. Selanjutnya, gabungan
sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup.
�. Karena � terbuka, maka ⋂ adalah tertutup, sebab = Dapat diperlihatkan bahwa irisan sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah
juga himpunan tertutup, misalnya , , , , , = { , }. Dan selanjutnya, gabungan sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup,
misalnya , = { , , }.
2.2.3 Penutup Himpunan
Definisi 2.2.3.1. Misalkan adalah suatu himpunan bagian dari ruang topologi .
Bukti 2.2.3.1: Pertama, akan dibuktikan bahwa jika adalah tertutup, maka = . Karena adalah himpunan tertutup, maka himpunan tertutup terkecil yang
memuat adalah itu sendiri. Dengan demikian, = .
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa jika = , maka adalah tertutup. Menurut
Definisi 2.2.3.1., adalah irisan dari semua himpunan tertutup. Dan Teorema 2.2.2.1. mengatakan bahwa irisan setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup. Dengan demikian, adalah himpunan tertutup. Kemudian, karena =
, maka jelas bahwa adalah himpunan tertutup. Jadi, teorema telah terbukti.
∎ yang merupakan himpunan bagian buka dari , dinotasikan ℬ �. Didefinisikan
ℬ adalah basis dari topologi � jika dan hanya jika setiap himpunan buka � adalah gabungan anggota-anggota ℬ. Atau, kelas ℬ � adalah suatu basis dari
topologi � jika dan hanya jika untuk setiap anggota himpunan buka , ada
terdapat ℬ dengan .
Contoh 2.2.4.1: Misalkan = { , , } dan � = {∅, , , , , , , } adalah suatu topologi pada . Maka dapat dibentuk suatu basis:
ℬ = {∅, , , , },
yang gabungan anggota-anggotanya membentuk setiap himpunan buka �,
i.) ∅ ∅= ∅,
adalah juga merupakan basis bagi topologi �.
Bukti 2.2.4.1: Misalkan adalah himpunan bagian terbuka dari . Karena ℬ1
Dari sini jelas terlihat bahwa ℬ1 ℬ2, tetapi �1 =�2. Dengan demikian, ℬ1 dan
ℬ2 merupakan basis-basis dari topologi yang sama.
2.2.5 Subbasis dari Topologi
Definisi 2.2.5.1. Misal adalah suatu ruang topologi. Dibentuk suatu kelas � yang merupakan himpunan bagian buka dari , dinotasikan � �. Didefinisikan
� adalah subbasis dari topologi � jika dan hanya jika setiap irisan hingga dari anggota � membentuk suatu basis dari topologi �.
Contoh 2.2.5.1: Misalkan = { , , } dan � = {∅, , , , , , , } adalah suatu topologi pada . Maka dapat dibentuk suatu basis:
ℬ = {∅, , , , },
yang gabungan anggota-anggotanya membentuk setiap himpunan buka �.
Dari basis tersebut, maka dapat dibentuk suatu subbasis:
� = { , , , , , , },
yang irisan hingga anggota-anggotanya membentuk basis ℬ, yaitu:
a.) = , =∅, b.) , , = ,
c.) , = , , = { }, dan d.) , , , = , .
Dengan demikian, � merupakan suatu subbasis dari topologi �.
Teorema 2.2.5.1. Jika �1 merupakan suatu subbasis dari topologi � pada dan �2 merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada , yang mana �1 �2, maka �2
Bukti 2.2.5.1: Misalkan ℬ merupakan basis dari topologi � pada . Karena �1 merupakan suatu subbasis dari topologi �, maka ℬ merupakan irisan hingga dari
anggota-anggota �1. Ini berarti bahwa ℬ =⋂� ; = 1,2,…, , yang mana �
�1.
Tetapi karena �1 �2, maka berlaku untuk setiap � �1 juga merupakan
anggota dari �2. Ini berarti bahwa ℬ juga merupakan irisan hingga dari
anggota-anggota �2. Dengan demikian, �2 merupakan subbasis dari topologi � pada
juga.
∎
Berdasarkan Teorema 2.2.5.1. tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa subbasis dari suatu topologi adalah tidak tunggal.
hanya jika setiap himpunan buka yang memuat titik , juga memuat suatu titik
pada yang berbeda dengan titik tersebut. Atau juga dapat ditulis:
“ titik limit, jika , buka, sedemikian ( − ) ≠ ∅.”
Contoh 2.2.6.1: Misalkan = {1, 2, 3, 4, 5} dan � = {∅, , 1,2 , 3,4 , {1,2,3,4}} adalah suatu topologi pada . Diberikan = {1,2,3} merupakan himpunan bagian dari . Maka:
merupakan himpunan bagian dari , yang mana .
Maka untuk himpunan bagian diperoleh:
c.) , ⟶ , − , = ∅.=> bukan titik limit.
d.) { , } ⟶ { , }− , = ∅.=> bukan titik
limit.
Jadi, himpunan titik limit dari adalah ′= { }.
Sedangkan untuk himpunan bagian diperoleh:
w.) { }⟶ − , , =∅.
′. Jadi, bila ditentukan suatu himpunan bagian , akan diperoleh titik limit
′ ′.
Maka untuk topologi �1 diperoleh:
i.) { , , }⟶ , , − , =∅.
ii.) ⟶ − , = { }.
Sedangkan untuk topologi �2 diperoleh:
a.) { }⟶ − , = ∅.
Definisi 2.2.7.1. Misal adalah himpunan bagian dari ruang topologi . Suatu titik disebut titik interior , yang dinotasikan dengan int( ) atau �, jika ada dalam himpunan buka yang termuat di , atau dapat ditulis:
“ titik interior, jika , dimana adalah himpunan buka.”
Definisi 2.2.7.2. Misal adalah himpunan bagian dari ruang topologi dan adalah komplemen . Suatu titik disebut titik eksterior , yang dinotasikan dengan ext( ), jika merupakan titik interior dari , atau dapat ditulis:
“ext = int .”
Definisi 2.2.7.3. Misal adalah himpunan bagian dari ruang topologi . Batas
dari , yang dinotasikan dengan b( ), adalah himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior maupun titik eksterior , atau dapat ditulis:
Dan juga diperoleh batas dari , yang merupakan himpunan titik-titik yang tidak
termasuk titik interior maupun titik eksterior , yaitu: b = (int( )
ext ) = ( 3, 4 1 ) = ( 1, 3, 4 ) = {2, 5}.
Teorema 2.2.7.1. Jika diberikan adalah suatu ruang topologi pada dan merupakan himpunan bagian dari . Maka berlaku:
Berdasarkan Teorema 2.2.7.1. tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa titik interior, titik eksterior, dan batas dari suatu topologi adalah saling asing atau
saling lepas. Dan dari Contoh 2.2.7.1 dapat diperhatikan bahwa:
“int( )≠ext ≠b .”
merupakan himpunan bagian dari , yang mana .
Maka untuk himpunan bagian diperoleh:
a.) . => bukan titik interior.
b.) { , } . => bukan titik interior.
Jadi, himpunan titik interior dari adalah int( ) =∅.
Sedangkan untuk himpunan bagian diperoleh:
Contoh 2.2.7.3: Misal �1 = {∅, , , , } dan �2 = ∅, , , , , , , adalah masing-masing suatu topologi pada = { , , , , }, yang mana �1 �2. Lalu diberikan = { , } merupakan himpunan bagian dari .
Maka untuk topologi �1 diperoleh:
i.) { , , } . => bukan titik interior.
Sedangkan untuk topologi �2 diperoleh:
Dan juga diperoleh batas dari untuk �2, yang merupakan himpunan titik-titik setiap himpunan bagian buka topologi � di merupakan himpunan bagian buka
topologi � di , atau dapat ditulis:
Maka invers dari setiap himpunan bagian buka topologi � di adalah:
i.) −1 ∅ =∅, ii.) −1 = , iii.) −1 =∅,
v.) −1 , = { },
vi.) −1 , , = { , , },
yang semuanya merupakan himpunan bagian buka topologi � di . Dengan
demikian, fungsi disebut kontinu.
Contoh 2.2.8.2: Misal diberikan = {1, 2, 3, 4} dan = { , , , } serta dibentuk
� = {∅, , 1 , 1,2 , 1,2,3 } dan � = {∅, , , , , , , , } adalah
masing-masing suatu topologi pada dan . Kemudian ditentukan suatu fungsi
: → = { 1, , 2, , 3, , 4, }.
Maka invers dari setiap himpunan bagian buka topologi � di adalah:
a.) −1 ∅ =∅, b.) −1 = ,
c.) −1 = {1,2},
d.) −1 =∅, e.) −1 , = 1,2,
f.) −1 , , = {3,4}.
Dari invers di atas, terdapat satu invers himpunan bagian buka topologi � di
yang bukan merupakan himpunan bagian buka topologi � di , yaitu:
BAB 3
PEMBAHASAN
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengkaji apakah konsep-konsep,
teorema-teorema, dan sifat-sifat tentang ruang topologi yang diberikan pada Bab 2 dapat
diterapkan dalam ruang topologi fuzzy.
2.2 Pengertian Ruang Topologi F uzzy topologi fuzzy dan anggota-anggota di � merupakan suatu himpunan buka fuzzy.
Contoh 3.1.1: Misalkan = {2, 3, 4}, dan himpunan bagian-himpunan bagian
fuzzy di dinyatakan dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut:
suatu topologi fuzzy di , yaitu � = {0,1, 3, 0.4 , 4, 0.6 , 3, 0.4 , 4, 0.6 }, sebab anggota-anggota � merupakan kumpulan himpunan bagian fuzzy di dan � memenuhi aksioma:
Bila terdapat suatu topologi fuzzy pada yang anggotanya memuat semua himpunan fuzzy dari , maka topologi tersebut disebut topologi fuzzy diskrit. Topologi fuzzy ini adalah topologi fuzzy terbesar yang dapat dibentuk.
Dan bila terdapat suatu topologi fuzzy pada yang anggotanya hanya terdiri dari himpunan kosong 0 dan himpunan 1, maka topologi tersebut disebut
topologi fuzzy indiskrit. Topologi fuzzy ini adalah topologi fuzzy terkecil yang dapat dibentuk.
Definisi 3.2.1. Misal ( ,�) adalah sebuah ruang topologi fuzzy. Suatu fuzzy himpunan bagian dari disebut himpunan tertutup fuzzy jika dan hanya jika −, komplemen dari himpunan fuzzy , merupakan himpunan buka fuzzy.
Contoh 3.2.1: Misal �= {0, 1, , 0.3 , , 0.5 , , 0.6 , , 0.9 } adalah suatu topologi fuzzy pada = { , , }. Maka himpunan tertutup fuzzy dari adalah
{1, 0, , 0.7 , , 0.5 , , 0.4 , , 0.1 } yang merupakan komplemen
himpunan bagian-himpunan bagian buka fuzzy dari topologi fuzzy .
Teorema 3.2.1. Diberikan ( ,�) suatu ruang topologi fuzzy. Irisan sebarang dari setiap himpunan tertutup fuzzy adalah juga himpunan tertutup fuzzy. Selanjutnya, gabungan sebarang dari setiap himpunan tertutup fuzzy adalah juga himpunan tertutup fuzzy. Dapat diperlihatkan bahwa irisan sebarang dari setiap himpunan tertutup fuzzy
misalnya , 0.7 , 0.7 , , 0.5 , ( , 0.2) = , 0.7 . Dan selanjutnya, gabungan sebarang dari setiap himpunan tertutup fuzzy adalah juga himpunan tertutup fuzzy, misalnya , 0.7 , 0.7 , , 0.5 = , 0.7 , , 0.5 .
3.3 Penutup Himpunan F uzzy
Definisi 3.3.1. Misalkan adalah suatu himpunan bagian fuzzy dari ruang topologi fuzzy( ,�). Penutup himpunan fuzzy didefinisikan sebagai irisan dari semua himpunan tertutup fuzzy , yang memuat . Penutup himpunan fuzzy = . Karena adalah himpunan tertutup fuzzy, maka himpunan tertutup fuzzy
terkecil yang memuat adalah itu sendiri. Dengan demikian, = .
Teorema 3.2.1. mengatakan bahwa irisan setiap himpunan tertutup fuzzy adalah
3.4 Basis dari Topologi Fuzzy
Definisi 3.4.1. Misalkan ( ,�) adalah suatu ruang topologi fuzzy. Dibentuk suatu kelas ℬ yang merupakan himpunan bagian buka fuzzy dari , dinotasikan ℬ �.
i.) 0 0 = 0, maka ℬ2 adalah juga merupakan basis bagi topologi fuzzy�.
Bukti 3.4.1: Misalkan adalah himpunan bagian terbuka fuzzy dari . Karena ℬ1 adalah suatu basis dari topologi fuzzy� pada , maka merupakan gabungan dari anggota-anggota ℬ1. Ini berarti bahwa = ℬ ; = 1,2,…, , yang mana
Berdasarkan Teorema 3.4.1. tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa basis dari suatu topologi fuzzy adalah tidak tunggal.
�2 = {0, 1, , 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.7 } adalah suatu topologi fuzzy pada .
Dari sini jelas terlihat bahwa ℬ1 ℬ2, tetapi �1 = �2. Dengan demikian, ℬ1 dan
ℬ2 merupakan basis-basis dari topologi fuzzy yang sama.
3.5 Subbasis dari Topologi F uzzy
Definisi 3.5.1. Misalkan ( ,�) adalah suatu ruang topologi fuzzy. Dibentuk suatu kelas � yang merupakan himpunan bagian buka fuzzy dari , dinotasikan � �. Didefinisikan � adalah subbasis dari topologi fuzzy � jika dan hanya jika setiap irisan hingga dari anggota � membentuk suatu basis dari topologi fuzzy�.
Contoh 3.5.1: Misalkan dibentuk suatu topologi fuzzy pada = { , , }, yaitu
�= {0, 1, , 0.4 }, {( , 0.6) , , 0.4 , , 0.6 , , 0.4 , , 0.6 , ( , 0.8) }.
Maka dapat dibentuk suatu basis:
ℬ = {0, 1, , 0.4 }, {( , 0.6) , , 0.4 , , 0.6 , ( , 0.8) },
yang gabungan anggota-anggotanya membentuk setiap himpunan buka fuzzy
�.
Dari basis tersebut, maka dapat dibentuk suatu subbasis:
� = {1, , 0.4 }, {( , 0.6) , , 0.4 , , 0.6 , ( , 0.8) },
yang irisan hingga anggota-anggotanya membentuk basis ℬ, yaitu:
g.) { , 0.6 } , 0.4 , , 0.6 , ( , 0.8) = 0.
Dengan demikian, � merupakan suatu subbasis dari topologi fuzzy�.
Teorema 3.5.1. Jika �1 merupakan suatu subbasis dari topologi fuzzy� pada dan
�2 merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada , yang mana �1 �2, maka
�2 adalah juga merupakan subbasis bagi topologi fuzzy�.
Bukti 3.5.1: Misalkan ℬ merupakan basis dari topologi fuzzy� pada . Karena �1 merupakan suatu subbasis dari topologi fuzzy�, maka ℬ merupakan irisan hingga dari anggota-anggota �1. Ini berarti bahwa ℬ =⋂� ; = 1,2,…, , yang mana
� �1.
Tetapi karena �1 �2, maka berlaku untuk setiap � �1 juga merupakan
anggota dari �2. Ini berarti bahwa ℬ juga merupakan irisan hingga dari
anggota-anggota �2. Dengan demikian, �2 merupakan subbasis dari topologi fuzzy� pada juga.
∎
Berdasarkan Teorema 3.5.1. tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa subbasis dari suatu topologi fuzzy� adalah tidak tunggal.
3.6 Titik Limit F uzzy
Definisi 3.6.1. Misal ( ,�) adalah suatu ruang topologi fuzzy dan adalah suatu himpunan fuzzy pada ( ,�). Suatu titik disebut titik limit fuzzy dari , jika dan hanya jika setiap himpunan buka yang memuat beserta fungsi
keanggotaannya, memuat suatu titik dan fungsi keanggotaan pada himpunan fuzzy
yang berbeda dengan . Dapat ditulis:
“ titik limit fuzzy, jika , buka, sedemikian �( − ) �( )≠0.”
Misal � = {0, 1, 2, 0.3 , 3, 0.6 , 2, 0.4 , 3, 0.8 } topologi fuzzy dalam
= {1, 2, 3}. Lalu diberikan = { 2, 0.4 } dan = { 1, 0.1 , (2, 0.4)}
masing-masing merupakan himpunan bagian fuzzy dari , yang mana . Maka untuk himpunan bagian fuzzy diperoleh:
a.) 1 1 = { 1, 1 , 2, 1 , 3, 1 }
⟶ 2, 0.3 , 3, 0.6 − 3 } { 1, 0.1 , (2, 0.4)}
= 0 { 1, 0.1 , (2, 0.4)} = 0.
=> 3 bukan titik limit fuzzy. Jadi, himpunan titik limit fuzzy dari adalah ′= {1, 2}.
Dengan demikian, diperoleh titik limit fuzzy ′= {1} dan ′= {1,2}, sehingga
′ ′. Jadi, bila ditentukan suatu himpunan bagian fuzzy , akan diperoleh titik limit fuzzy ′ ′.
Sifat 3.6.2. Bila ditentukan suatu topologi fuzzy�1 �2, diperoleh titik limit fuzzy
′1 ′2.
Maka untuk topologi �1 diperoleh:
= { 1, 0.8 } { 1, 0.3 , (2, 0.5)} = { 1, 0.3 }.
Sedangkan untuk topologi �2 diperoleh:
Dengan demikian, diperoleh titik limit fuzzy ′1 = {1, 2, 3} dan ′2 = {1}, yang termuat di , atau dapat ditulis:
“ titik interior fuzzy, jika , dimana himpunan buka fuzzy.” himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior fuzzy maupun titik eksterior
=> , 0.6 bukan titik interior fuzzy. merupakan himpunan bagian fuzzy dari . Maka berlaku:
= 0 (ext( ))−
Berdasarkan Teorema 3.7.1. tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa titik interior fuzzy, titik eksterior fuzzy, dan batas fuzzy dari suatu topologi fuzzy adalah saling asing atau saling lepas. Dan dari Contoh 3.7.1 dapat diperhatikan bahwa:
“int( )≠ext ≠b .”
∎
Sifat 3.7.1. Bila ditentukan himpunan bagian fuzzy , diperoleh titik interior
fuzzyint( ) int( ).
Sedangkan untuk himpunan bagian fuzzy diperoleh:
a.) , 0.2 , 0.2 .
b.) , 0.4 { , 0.4 } .
himpunan bagian , akan diperoleh titik interior fuzzyint( ) int( ).
=> (2, 0.5) bukan titik eksterior fuzzy.
Sedangkan untuk �2 diperoleh:
=> 4, 1 bukan titik eksterior
3.8 Kekontinuan pada Topologi F uzzy
Ditentukan suatu fungsi
: → = { , 0.3 , ( , 0.2) , , 0.6 , ( , 0.5) , , 0.9 , ( , 0.8) }.
Maka invers dari setiap himpunan bagian buka topologi fuzzy� di adalah:
a.) −1 0 = {0},
b.) −1{1} = {1},
c.) −1 ( , 0.2) = ( , 0.3) ,
d.) −1 , 0.2 , ( , 0.5) = , 0.3 , ( , 0.6) ,
e.) −1 , 0.2 , , 0.5 , ( , 0.8) = , 0.3 , , 0.6 , ( , 0.9) ,
yang semuanya merupakan himpunan bagian buka topologi fuzzy� di . Dengan demikian, fungsi disebut kontinu.
Contoh 3.8.2:
Misalkan diberikan = { , , } dan = { , , } serta dibentuk �=
{0, 1, ( , 0.2) , , 0.2 , ( , 0.7) } dan � = {0, 1, ( , 0.3) , , 0.3 , ( , 0.8) }
adalah masing-masing suatu topologi fuzzy pada dan . Ditentukan suatu fungsi
: → = { , 0.2 , ( , 0.3) , , 0.5 , ( , 0.8) , , 0.7 , ( , 0.8) }.
Maka invers dari setiap himpunan bagian buka topologi fuzzy� di adalah:
i.) −1 0 = {0},
ii.) −1{1} = {1},
iii.) −1 ( , 0.3) = ( , 0.2) ,
iv.) −1 , 0.3 , ( , 0.8) = , 0.3 , , 0.5 , ( , 0.7) .
Dari invers di atas, terdapat satu invers himpunan bagian buka topologi fuzzy� di yang bukan merupakan himpunan bagian buka topologi fuzzy � di , yaitu:
3.9 Hubungan antara Ruang Topologi �,� dan Ruang Topologi F uzzy (�,�)
Hubungan antara ruang topologi ,� dan ruang topologi fuzzy ( ,�) yang diperlihatkan adalah hubungan isomorfik antara dua ruang topologi tersebut.
Dengan cara demikian, maka nantinya diketahui bahwa ternyata ruang topologi
,� dan ruang topologi fuzzy( ,�) memiliki struktur yang sama.
Definisi 3.9.1.
Misalkan suatu ruang topologi ,� dan ruang topologi fuzzy ,� dengan
= , , ,… dan � = ∅, , , ,…, , , , ,…, , , ,… serta
�= {0, 1, ,� , ,� ,…, ,� , ,� ,
,� , ,� ,… , ,� , ,� , ,� ,…}.
Kemudian ditentukan suatu fungsi
: ,� →( ,�) = { ∅, 0 , , 1 , , ,� ,
, ,� ,… , , , ,� , ,� ,
, , ,� , ,� ,… , , , , ,� , ,� , ,� ,…}
Fungsi dikatakan isomorfisma jika fungsi merupakan homomorfisma dan
bijektif.
(i) Fungsi dikatakan homomorfisma jika berlaku sifat:
{ } = { } ({ }), untuk setiap , { } ,� .
Oleh karena dalam ruang topologi maupun ruang topologi fuzzy berlaku dua operasi yang sama, yaitu operasi irisan dan gabungan, maka fungsi
homomorfismanya adalah:
= ,� { ,� } = ({ }).
ii. { } = { ,� } = ,� { ,� } = ({ }).
Jadi, fungsi adalah suatu homomorfisma.
(ii)Fungsi dikatakan bijektif jika fungsi injektif dan surjektif. Fungsi : ,� →( ,�) dikatakan injektif jika dan hanya jika { } = ({ }), maka berlaku { } = { }, untuk setiap , { } ,� .
{ }) = ({ } → ,� = ,� .
Oleh karena dalam konsep himpunan diketahui bahwa bila , = { , } jika dan hanya jika = dan = , maka ,� = ,�
Oleh karena fungsi adalah injektif dan surjektif, maka adalah bijektif.
Dengan demikian, oleh karena fungsi merupakan suatu homomorfismadan juga
ruang topologi ,� dan ruang topologi fuzzy ( ,�) memiliki struktur yang sama.
∎
Contoh 3.9.1:
Misal diberikan = { , , } serta dibentuk � = {∅, , , , , } adalah suatu topologi pada . Kemudian juga dibentuk suatu topologi fuzzy pada , yaitu
�= {0, 1, , 0.2 , , 0.5 , , 0.2 , , 0.5 }.
Ditentukan suatu fungsi
: ,� → ( ,�) = { ∅, 0 , , 1 , , , 0.2 , , , 0.5 ,
, , , 0.2 , , 0.5 }
Akan ditunjukkan bahwa fungsi adalah suatu homomorfisma, misal
{ } = ∅ = 0, maka = , 0.2 , 0.5 = 0. Dan
{ } = { , } = , 0.2 , , 0.5 , maka =
, 0.2 , 0.5 = , 0.2 , , 0.5 .
Juga jelas bahwa fungsi adalah fungsi injektif, karena setiap anggota ruang
topologi ,� ditempatkan tepat satu ke anggota ruang topologi fuzzy ( ,�). Juga jelas bahwa fungsi adalah fungsi surjektif, karena setiap anggota ruang
topologi fuzzy ( ,�) memiliki pasangan terhadap setiap anggota ruang topologi ,� . Dengan demikian, fungsi adalah fungsi bijektif.
Dengan demikian, oleh karena fungsi merupakan suatu homomorfismadan juga
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
1.8 Kesimpulan
Dari studi literatur ini dapat disimpulkan bahwa setiap konsep, sifat-sifat, teorema, dan operasi-operasi yang terdapat dan berlaku di dalam ruang topologi ,� , ternyata juga dapat diberlakukan dalam ruang topologi fuzzy( ,�). Dan
hubungan yang diperoleh antara dua ruang topologi tersebut adalah bahwa ruang topologi ,� isomorfik dengan ruang topologi fuzzy( ,�).
4.2 Saran
Kajian ini dapat diperluas lagi dengan memakai contoh himpunan fuzzy yang kontinu dan juga menggunakan konsep, sifat-sifat, dan teorema yang lainnya, yang tidak dibatasi hanya sampai ke sifat kekontinuan dalam ruang topologi saja. Sebab ruang topologi itu sendiri mencakup banyak hal selain kekontinuan, seperti misalnya kekompakan dan keterhitungan.
DAFTAR PUSTAKA
Carlson, Steve. 2010. Fuzzy Sets and Fuzzy Topologies: Early Ideas and Obstacles. New York: Rose-Hulman Institue of Technology.
Chon, Inheung. 2000. Properties of Fuzzy Topological Groups and Semigroups. Kangweon-Kyungki Math. Journal 8(2): hal. 103–110.
Croom, Fred H. 1989. Principles of Topology. Florida: Saunders College Publishing.
Davis, Sheldon W. 2005. Topology. New York: McGraw-Hill Companies.
Dib, K. A. 1999. The Fuzzy Topological Spaces on A Fuzzy Space. Fuzzy Sets and Systems 108: hal. 103–110.
Jeon, Jaeseok. 1982. Some Properties of Fuzzy Topological Spaces. Bull. Korean Math. Soc. 19(1).
Kartono dan Nurwiyati, F. W. 1995. Pengantar Topologi. Yogyakarta: Penerbit Andi Offset Yogyakarta.
Michálek, Jiří. 1975. Fuzzy Topologies. Kybernetika 11(5): hal. 345–354.
Munir, Rinaldi. 2007. Matematika Diskrit (Edisi Ketiga). Bandung: Penerbit Informatika Bandung.
Setiawan, Adi. 2011. Aljabar Abstrak (Teori Grup dan Teori Ring). Diktat kuliah Aljabar Abstrak Program Studi Matematika Fakultas Sains dan
Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Salatiga.
Shi, Wenzhong. dan Liu, Kimfung. 2007. A Fuzzy Topology for Computing The
Interior, Boundary, and Exterior of Spatial Objects Quantitatively in GIS.
Computers & Geosciences 33: hal. 898–915. Suryadi, H. S. Topologi. Jakarta: Penerbit STI&K Jakarta.
Vilela, Jocelyn P. dan Bautista, Luzviminda R. 2011. On Fuzzy Topology on
KS-semigroups. International Mathematical Forum 6(39): hal. 1921-1932. Warren, R. H. 1978. Neighborhoods, Bases and Continuity in Fuzzy Topology
Spaces. Rocky Mountain Journal of Mathematics 8(3).
Yosida, Kôsaku. 1980. Functional Analysis (Sixth Edition). New York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
Zadeh, L.A. 1965. Fuzzy Sets. Information and Control 8: hal. 338-353.
http://www.doc.ic.ac.uk/~nd/surprise_96/journal/vol4/sbaa/report.fuzzysets.html.
Diakses tanggal 30 Juni, 2011.
http://www.myreaders.info/html/soft_computing.html. Diakses tanggal 30 Juni,
2011.
http://en.wikipedia.org/wiki/Fuzzy_set. Diakses tanggal 30 Juni, 2011.
http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_fuzzy. Diakses tanggal 30 Juni, 2011.
http://en.wikipedia.org/wiki/Topology. Diakses tanggal 30 Juni, 2011.
