BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Akhir-akhir ini, konsep tentang logika himpunan fuzzy begitu banyak dipelajari dan dipergunakan. Ini disebabkan karena himpunan fuzzy tidak diekspresikan dalam istilah binary (0 atau 1, hitam atau putih, panas atau dingin), melainkan dinyatakan secara fleksibel antara 0 dan 1, antara hitam dan putih, antara panas dan dingin. Sebagai contoh, gradasi warna di bidang fotografi dan perfilman.
Dahulu foto dan film hanya berupa gambar hitam-putih. Namun dengan konsep tentang logika himpunan fuzzy, gradasi warna dapat diciptakan, sehingga kini foto dan film dapat beraneka warna.
Fuzzy secara bahasa dapat diartikan sebagai “kabur” atau “samar-samar”.
Himpunan fuzzy adalah himpunan yang keanggotaannya memiliki nilai kekaburan/kesamaran antara salah dan benar. Konsep tentang himpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Profesor Lotfi A. Zadeh, seorang ilmuwan Amerika Serikat berkebangsaan Iran, dari Universitas California di Barkeley, melalui tulisannya “Fuzzy Sets” pada tahun 1965. L.A. Zadeh mendefinisikan suatu himpunan fuzzy 𝐴 dalam semesta pembicaraan 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} sebagai fungsi 𝜇: 𝑋 → [0,1], yang mana 𝜇(𝑥) mempresentasikan derajat keanggotaan 𝑥𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Artinya, 𝑥 bukan anggota himpunan fuzzy 𝐴 jika 𝜇𝐴(𝑥) = 0; 𝑥 adalah anggota penuh himpunan fuzzy 𝐴 jika 𝜇𝐴(𝑥) = 1; dan 𝑥 adalah anggota himpunan fuzzy 𝐴 dengan derajat keanggotaan sebesar 𝜇 jika 𝜇𝐴 𝑥 = 𝜇, yang mana 0 < 𝜇 < 1. Dengan kata lain, suatu himpunan fuzzy 𝐴 dapat didefinisikan
secara umum sebagai himpunan pasangan berurutan
𝐴 = { 𝑥 , 𝜇 𝑥 , 𝑥 , 𝜇 𝑥 , … , 𝑥 , 𝜇 𝑥 }.
Sementara itu, kata „topologi‟ berasal dari bahasa Yunani, yaitu „topos‟
yang berarti tempat dan „logos‟ yang berarti ilmu. Dengan demikian, topologi adalah ilmu yang berhubungan dengan tempat/tata ruang. Topologi dapat diartikan sebagai cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang yang tidak berubah dalam deformasi dwikontinu, yaitu ruang yang dapat ditekuk, dilipat, disusut, direntangkan, dan dipilin, tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek, ditusuk, atau dilekatkan.
Kajian topologi bermula dari permasalahan geometri oleh Leonard Euler pada tahun 1736 dalam tulisan “Seven Bridges of Königsberg”, yang merupakan awal sejarah berkembangnya teori graf. Konsep topologinya sendiri diperkenalkan oleh Johann Benedict Listing dalam tulisan “Vorstudien zur Topologie” pada tahun 1847 di Jerman. Konsep topologi muncul melalui pengembangan konsep dari geometri dan teori himpunan, seperti ruang, dimensi, bentuk, dan transformasi.
Suatu topologi 𝜏 pada himpunan sebarang 𝑋 adalah kumpulan dari himpunan bagian-himpunan bagian 𝑋, yang mana 𝜏 mengandung himpunan kosong ∅, himpunan 𝑋 itu sendiri, gabungan dari setiap himpunan bagian, dan irisan dari setiap himpunan bagian tersebut. Pasangan (𝑋, 𝜏) ini disebut sebagai ruang topologi.
Ruang topologi adalah struktur yang diperkenankan untuk memformalkan konsep seperti konvergensi, keterhubungan, dan kontinuitas. Ruang topologi dapat dibentuk pada grup, semigrup, aljabar, dan himpunan lainnya, seperti himpunan fuzzy. Ruang topologi pada himpunan fuzzy disebut ruang topologi fuzzy.
Berdasarkan uraian di atas, penulis mencoba mempelajari tentang konsep ruang topologi fuzzy beserta sifat-sifat yang ada. Oleh karena itu, penulis memilih judul Tugas Akhir ini: “KAJIAN TENTANG RUANG TOPOLOGI FUZZY”.
1.2 Perumusan Masalah
Permasalahan yang diangkat dalam tulisan ini adalah tentang bagaimana sifat-sifat dan teorema dalam ruang topologi (𝑋, 𝜏), dengan 𝑋 adalah himpunan bilangan riil ℝ, dapat diberlakukan pada ruang topologi fuzzy (𝑋, 𝜏), yang mana 𝑋 sekarang merupakan himpunan fuzzy yang nilainya berada dalam selang tertutup [0,1].
1.3 Batasan Masalah
Dalam penulisan ini, penulis hanya memakai contoh himpunan fuzzy yang diskrit dengan nilai 1 angka di belakang koma. Dan sifat yang dikaji hanya dibatasi sampai kepada sifat kekontinuan dalam ruang topologi dan ruang topologi fuzzy.
1.4 Tinjauan Pustaka
Zadeh (1965) mengatakan bahwa himpunan fuzzy adalah suatu kumpulan objek yang dinyatakan dengan derajat keanggotaan. Himpunan ini disajikan dengan fungsi karakteristik yang derajat keanggotaannya bernilai antara 0 dan 1.
Carlson (2010) mengatakan bahwa himpunan fuzzy 𝐴 di suatu himpunan 𝑋 didefinisikan sebagai fungsi 𝜇: 𝑋 → [0,1]. Disini 𝜇(𝑥) mempresentasikan derajat keanggotaan dari 𝑥 di himpunan fuzzy 𝐴.
Diberikan contoh: “Himpunan fuzzy dari bilangan riil yang lebih besar dari 10”
adalah suatu himpunan fuzzy di ℝ yang dapat dituliskan menjadi fungsi kontinu 𝜇: ℝ → [0,1] yang dibentuk sebagai
𝜇 𝑥 =
𝑥−100
901
; 𝑥 ≤ 10 ; 10 < 𝑥 < 100
; 𝑥 ≥ 100
Munir (2007) mengatakan bahwa operasi-operasi pada himpunan fuzzy didefinisikan sebagai berikut:
(i) Gabungan (𝐴 ∪ 𝐵) diartikan sebagai “𝑥 dekat 𝐴 atau 𝑥 dekat 𝐵”.
𝜇𝐴∪𝐵 = 𝜇𝐴 𝑥 ∨ 𝜇𝐵 𝑥 = max(𝜇𝐴 𝑥 , 𝜇𝐵 𝑥 )
(ii) Irisan (𝐴 ∩ 𝐵) diartikan sebagai “𝑥 dekat 𝐴 dan 𝑥 dekat 𝐵”.
𝜇𝐴∩𝐵 = 𝜇𝐴 𝑥 ∧ 𝜇𝐵 𝑥 = min(𝜇𝐴 𝑥 , 𝜇𝐵 𝑥 ) (iii) Komplemen (𝐴 ) diartikan sebagai “𝑥 tidak dekat 𝐴”.
𝜇𝐴 = 1 − 𝜇𝐴(𝑥)
Davis (2005) mengatakan bahwa jika dimisalkan 𝑋 adalah suatu himpunan. Topologi di 𝑋 adalah koleksi 𝜏 subhimpunan dari 𝑋 yang memenuhi kondisi berikut:
(i) ∅, 𝑋 ∈ 𝜏.
(ii) Jika 𝑈𝑖∈ 𝜏 untuk semua 𝑖 ∈ 𝐼, maka ⋂𝑖∈𝐼 𝑈𝑖∈ 𝜏.
(iii) Jika 𝑈𝑖 ∈ 𝜏 untuk semua 𝑖 ∈ 𝐼, maka 𝑖∈𝐼 𝑈𝑖 ∈ 𝜏.
Pasangan (𝑋, 𝜏) disebut sebagai ruang topologi dan anggota-anggota di 𝜏 merupakan suatu himpunan buka. Dalam beberapa penulisan dan buku, ruang topologi “(𝑋, 𝜏)” biasanya sering ditulis sebagai ruang topologi “𝑋” saja.
Croom (1989) menambahkan bahwa dengan memakai kata himpunan buka, maka koleksi subhimpunan dari 𝑋 adalah suatu topologi untuk 𝑋 yang memenuhi:
(i) Himpunan 𝑋 dan ∅ adalah himpunan buka.
(ii) Gabungan dari koleksi-koleksi himpunan buka adalah juga suatu himpunan buka.
(iii) Irisan dari koleksi-koleksi hingga himpunan buka adalah juga suatu himpunan buka.
Vilela dan Bautista (2011) dalam jurnalnya mengatakan bahwa suatu topologi fuzzy pada himpunan tak-kosong 𝑋 adalah kumpulan 𝛿 dari himpunan fuzzy di 𝑋 yang memenuhi:
(i) untuk setiap 𝑐 ∈ [0,1], himpunan fuzzy 𝜇𝑐 didefinisikan dengan 𝜇𝑐 𝑥 = 𝑐, ∀𝑥 ∈ 𝑋, ada di dalam 𝛿,
(ii) jika 𝐴, 𝐵 ∈ 𝛿, maka 𝐴 ∩ 𝐵 ∈ 𝛿, yang mana 𝐴 ∩ 𝐵 𝑥 = min{𝐴 𝑥 , 𝐵 𝑥 }, dan
(iii) jika 𝐴𝑗∈ 𝜏 untuk 𝑗 ∈ 𝐽 ⊆ 𝑋, maka 𝑗∈𝐽𝐴𝑗 ∈ 𝛿, yang mana 𝐴𝑗 𝑥 = sup{𝐴𝑗 𝑥 }𝑗∈𝐽
𝑗∈𝐽 .
Pasangan (𝑋, 𝛿) disebut sebagai suatu ruang topologi fuzzy dan anggota-anggota di 𝛿 adalah himpunan buka fuzzy.
1.5 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengkaji tentang konsep, sifat-sifat, teorema, dan operasi-operasi yang terdapat di dalam ruang topologi (𝑋, 𝜏), apakah dapat diberlakukan di dalam ruang topologi fuzzy (𝑋, 𝛿) atau tidak, serta mencari keterhubungan antara dua ruang topologi tersebut.
1.6 Kontribusi Penelitian
Manfaat dari penulisan ini adalah sebagai berikut:
1. Menambah wawasan penulis tentang himpunan fuzzy, ruang topologi
2. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan untuk mahasiswa matematika, terlebih bagi mahasiswa yang hendak melakukan penelitian serupa.
1.7 Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Mempelajari literatur tentang sifat-sifat yang berlaku dalam himpunan fuzzy dan ruang topologi dari media buku dan media internet berupa jurnal dan artikel.
2. Menjelaskan tentang konsep, sifat-sifat, teorema, dan operasi-operasi yang terdapat di dalam ruang topologi (𝑋, 𝜏) dan bagaimana bila diaplikasikan ke ruang topologi fuzzy (𝑋, 𝛿).
3. Mencari keterhubungan antara ruang topologi (𝑋, 𝜏) dengan ruang topologi fuzzy (𝑋, 𝛿), yakni keisomorfisannya.
