Metode Time Invariant Fuzzy Time Series Untuk Peramalan Pendaftaran Calon Mahasiswa

(1)

SKRIPSI

YUNITA HERNASARY 030803048

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

METODE TIME INVARIANT FUZZY TIME SERIES UNTUK PERAMALAN PENDAFTARAN CALON MAHASISWA

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana

Sains

YUNITA HERNASARY 030803048

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

PERSETUJUAN

Judul : METODE TIME INVARIANT FUZZY TIME

SE-RIES UNTUK PERAMALAN PENDAFTARAN CALON MAHASISWA

Kategori : SKRIPSI

Nama : YUNITA HERNASARY

Nomor Induk Mahasiswa : 030803048

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Medan, December 2007

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Drs. Pangeran Sianipar, M.S Drs.Djakaria Sebayang

NIP. 130422437 NIP. 131474685

Diketahui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

(4)

ii

PERNYATAAN

PERAMALAN PENDAFTARAN DENGAN METODE TIME-INVARIANT FUZZY TIME SERIES

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Desember 2007

(5)

PENGHARGAAN

Puji Syukur kepada Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menyertai saya dan memberikan segala rahmatnya di setiap waktu dan dalam pengerjaan skripsi ini sehingga , saya dapat menyelesaikannya dengan baik.

Skripsi ini merupakan salah satu mata kuliah wajib yang harus disele-saikan oleh seluruh mahasiswa/mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.

Dalam kesempatan ini saya ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Bapak Drs.Pangeran Sianipar, MS. selaku Pembimbing I dan Bapak Drs.Djakaria Sebayang selaku Pembimbing II yang telah membimbing dan mengarahkan saya, serta kebaikannya untuk meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran sehingga skripsi saya dapat selesai tepat pada waktunya.

Ucapan terimakasih yang sebesar-besarnya juga ingin saya sampaikan kepada Bapak Pembanding, Bapak Prof.Dr.Herman Mawengkang dan Bapak Drs.Suwarno Ariswoyo, M.si. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Bapak Dr.Eddy Marlianto, M.Sc. Ketua Departemen Matematika, Ba-pak Dr.Saib Suwilo, M.Sc. Sekertaris Departemen Matematika, BaBa-pak Drs.Henri Rani Sitepu, M.Si. Kepala Subbagian Registrasi dan Statistik BAN USU , Bapak Danda Sasmita, SE, M.si. Seluruh staf pengajar Departemen Matematika, Fakul-tas MIPA ,UniversiFakul-tas Sumatera Utara dan beserta pegawai administrasinya.

Orangtua saya tercinta, Bapak ” Herpulus Debataraja ” dan Ibu ” Togiana Sinurat” atas segala doa, kepercayaan, serta dukungannya baik moril maupun materil. Adik-adik saya tercinta, Stefanus Sinar Firdaus, Paulus Kevin Clinton, dan little angel ”ulelet”, Elisabeth Claudia Dixie atas segala canda, tawa, telpon, dan semangatnya. Sahabat sejati saya dan ” ♥ ”, Adhi Sebayang atas segala dukungan dan pengertiannya.

(6)

iv

Sebagai seorang mahasiswa saya menyadari bahwa masih banyak terdapat kekurangan dalam menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan demi perbaikan tulisan ini.

. .

Penulis,

(7)

ABSTRAK

(8)

v

ABSTRACT

(9)

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK iv

ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

1. PENDAHULUAN 1

1.1. Latar Belakang 1

1.2. Identifikasi Masalah 2

1.3. Pembatasan Masalah 2

1.4. Tujuan Penelitian 2

1.5. Manfaat Penelitian 2

1.6. Tinjauan Pustaka 3

1.7. Metode Penelitian 4

2. LANDASAN TEORI 5

2.1. Himpunan Fuzzy 5

2.2. Notasi fuzzy 5

2.3. Normalisasi 6

(10)

2.7. Relasi Fuzzy 8

2.8. Vektor Fuzzy 11

2.9. Model Peramalan 11

2.10. Fuzzy Time Series 12

2.11. Variabel Linguistik 12

2.12. Relasi Fuzzy Logic 12

2.13. Grup Relasi Fuzzy Logic 13

2.14. Operator Komposisi Pada Time Invariant Fuzzy Time

Series 13

2.15. Time Invariant Fuzzy Time Series 13

2.16. Defuzzifikasi 14

3. PEMBAHASAN 15

3.1. Metode Time Invariant Fuzzy Time Series 15

3.2. Peramalan Pendaftaran Dengan Menggunakan 6

Him-punan Fuzzy 17

3.3. Peramalan Pendaftaran dengan Menggunakan 7

Him-punan Fuzzy 24

4. KESIMPULAN DAN SARAN 31

4.1. Kesimpulan 31

4.2. Saran 32

DAFTAR PUSTAKA 33

(11)

Sebagai seorang mahasiswa saya menyadari bahwa masih banyak terdapat kekurangan dalam menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan demi perbaikan tulisan ini.

. .

Penulis,

(12)

iv

ABSTRAK

(13)

ABSTRACT

(14)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Peramalan mempunyai peranan penting dalam kehidupan sehari-hari. Prakiraan

cuaca , penjadualan staff, dan perencanaan produksi adalah beberapa contoh dari

aplikasi peramalan, yang banyak orang ingin meramalkannya dengan hasil yang

akurat. Meskipun telah banyak dikenal metode peramalan tetapi apabila data

historisnya (data masa lalu) tersedia dalam bentuk nilai-nilai linguistik, metode

time series klasik belum dapat menyelesaikannya sehingga muncul suatu metode

fuzzy time series untuk mengisi kekurangan dari fungsi metode time series klasik.

Adapun definisi dari fuzzy time series yaitu dengan mengasumsikan Y(t) ⊂ ℜ (garis real), t =...,0,1,2,... menjadi semesta pembicaraan yang dinyatakan oleh himpunan fuzzy fi(t). F(t) terdiri dari fi(t), t =...,0,1,2,... didefinisikan sebagai fuzzy time series padaY(t). Pada saat ituF(t)dapat dimengerti sebagai variabel linguistik, untukfi(t), i =1,2,... adalah nilai linguistik dari F(t).

(15)

1.2 Identifikasi Masalah

Pemasalahan yang akan dibahas pada penelitian ini adalah meramalkan

pendaf-taran pada tahun yang akan datang, dengan memanfaatkan model orde pertama

dari metode Time Invariant Fuzzy Time Series dan menguji sejumlah nilai

him-punan fuzzy yang berbeda untuk mengetahui apakah jumlah nilai fuzzy

mem-pengaruhi kesalahan peramalan.

1.3 Pembatasan Masalah

Untuk menguji kesalahan peramalan, penulis hanya menggunakan dua buah nilai

himpunan fuzzy yang berbeda.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menunjukkan metode yang dapat

menyele-saikan suatu masalah peramalan, apabila data historisnya tersedia dalam bentuk

nilai linguistik, serta menunjukkan bahwa himpunan fuzzy dapat diaplikasikan

ke dalam suatu masalah peramalan.

1.5 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah untuk mengetahui ide dan

langkah-langkah yang dilakukan metode time-invariant fuzzy time series, dalam

menye-lesaikan masalah peramalan serta mengetahui kebaikan dan kekurangan metode

(16)

3

1.6 Tinjauan Pustaka

Imam Rohandi (2006)dalam bukunya Desain Sistem Tenaga Modern, optimisasi,Logika Fuzzy, dan Algoritma Geneticamenyatakan bahwa , Himpunan fuzzy adalah bentuk umum dari himpunan biasa yang memiliki tingkat

keang-gotaan [ 0,1 ]. Oleh karena itu fungsi keangkeang-gotaan fuzzy memetakan setiap

elemen dari semesta dalam batas ruang unit interval. Satu perbedaan dasar

dari himpunan non fuzzy selalu memiliki fungsi keanggotaan yang terbatas.

Hal ini memungkinkan fuzzy dapat diatur secara maksimum dalam situasi yang

diberikan.

L.A. Zadeh (1987) dalam buku Fuzzy Sets and Application menyata-kan bahwa variabel linguistik diartimenyata-kan sebagai variabel yang nilainya dalam

bentuk kata atau kalimat dalam bahasa sebenarnya atau dalam bahasa yang

dibuat-buat, sebagai contoh : Age adalah variabel linguistik jika nilainya adalah

linguistik daripada numerik, misalnya : young, not young, very young, quite

young, old, not very old, and not very young daripada 20, 21,...,...,nilai umur

sebenarnya.

Timothy Ross (1997)dalam bukunyaFuzzy Logic for Engineering Appli-cationsmenyatakan bahwa, Relasi fuzzy ˜R dan ˜S pada ruang cartesianX × Y. Maka operasi berikut berlaku untuk nilai keanggotaan pada operasi himpunan

(17)

Union

µ_R˜∪_S˜(x, y) = max (µ_R˜(x, y),µ_S˜(x, y))

Intersection

µ_R˜∩_S˜(x, y) = min (µ_R˜(x, y),µ_S˜(x, y))

Complement

µ_R_˜(x, y) = 1- µ_R˜(x, y)

Containment

˜

R ⊂ S˜⇒ µ_R˜(x, y) ≤ µ_S˜(x, y)

1.7 Metode Penelitian

Metode penelitian yang akan digunakan adalah penelitian literatur dan studi

kasus yaitu:

1. Mengkaji secara teoritis Himpunan Fuzzy dan Fuzzy Time Series.

2. Mengkaji secara toeritis metode time-invariant fuzzy time series beserta

langkah-langkahnya.

3. Menyelesaikan suatu masalah peramalan pendaftaran sebagai suatu

apli-kasi.

(18)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Himpunan Fuzzy

Himpunan fuzzy adalah bentuk umum himpunan biasa yang memiliki tingkat

keanggotaan dari tiap-tiap elemen yang dibatasi dengan interval [ 0, 1 ]. Oleh

karena itu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy memetakan setiap elemen dari

semesta dalam batas ruang yang diasumsikan sebagai unit interval.

Definisi 2.1.1.

Anggap X ruang titik-titik, dengan setiap elemen X secara umum dinya-takan dengan x , sehingga X = x . Himpunan Fuzzy A dalam X dinyatakan dengan fungsi keanggotaanµ_A˜(x) yang menghubungkan setiap titik bilangan

re-al pada [ 0,1 ] , dengan nilaiµ_A˜(x) padaxmenyatakan derajat keanggotaan dari

x dalam A. Nilai terdekat dari µ_A˜ pada 1 adalah derajat keanggotaan terbesar

xdalam A.

Himpunan fuzzy dinyatakan sebagai berikut:

˜

A = {(x,µ_A˜) | x∈ X }

2.2 Notasi fuzzy

Notasi yang berlaku untuk Himpunan Fuzzy ketika semesta pembicaraan X

(19)

˜

A =

{

µA˜_x(x1)

1

+

µ_A˜(x2)

x2

+

· · · }

=

{

P

µ_A˜(xi)

xi

}

˜

A =

{

µA˜_x(x1)

1

,

µ_A˜(x2)

x2

,

· · · }

Ketika semesta pembicaraan X adalah kontinu dan tidak terbatas, himpunan

fuzzy dinyatakan dengan:

˜

A =

R

µA˜_x(x)

2.3 Normalisasi

Suatu normalisasi fuzzy adalah suatu fungsi keanggotaan yang memiliki

seti-daknya 1 elemen x pada semesta X, dengan nilai keanggotaannya adalah 1

dinya-takan dengan :

µN ORM(x) = µA(x)/max(µA(x))x∈X

2.4 Intensifikasi

Operasi ini membawa himpunan fuzzy yang ternormalisasi mendekati tegas

de-ngan meningkatkan nilai keanggotaan diatas 0,5 dan mengurangi keanggotaan

elemen yang mempunyai keanggotaan dibawah 0,5.

2.5 Operasi Himpunan Fuzzy

Dinyatakan tiga buah himpunan ˜A, ˜B, ˜C pada semesta, untuk setiap elemen

x dari semesta. Operasi fungsi untuk himpunan operasi gabungan, irisan,

(20)

7

Union µ_A˜∪_B˜(x) = µ_A˜(x)∨ µ_B˜(x)

Intersection µ_A˜∩_B˜(x) = µ_A˜(x) ∧ µ_B˜(x)

Complement µ_A˜ = 1- µ_A˜

Sebarang himpunan fuzzyµ_A˜didefinisikan pada semesta X adalah

subhim-punan dari semesta. Nilai keanggotaan dari sebarang element x pada himsubhim-punan

nullφadalah 0 dan nilai keanggotaan dari sebarang elemen x pada himpunan X

adalah 1, dinyatakan sebagai berikut:

˜

A ⊆ X ⇒ µ_A˜₍_x₎≤µ_X˜₍_x₎

Untuk semua x ∈X,µ_φ˜₍_x₎= 0

Untuk semua x ∈X, µ_X˜₍_x₎= 1

Hukum De Morgan untuk himpunan crisp juga berlaku untuk himpunan fuzzy:

˜

A∩B˜ = ˜A ∪ B˜ ˜

A∪B˜ = ˜A ∩ B˜

Hukum Excluded middle (A ∪A = X) dan hukum kebalikan (A ∩A = φ)

tidak berlaku untuk himpunan fuzzy maka:

˜

A ∪ A˜ 6=X ˜

(21)

2.6 Sifat-Sifat dari Himpunan Fuzzy

Himpunan fuzzy memiliki sifat yang sama seperti himpunan crisp (non fuzzy):

Komutatif

˜

A ∪ B˜ = ˜B ∪ A˜ ˜

A ∩ B˜ = ˜B ∩ A˜

Assosiatif

˜

A ∪ ( ˜B∪C) = ( ˜˜ A∪B˜)∪ C˜ ˜

A∩ ( ˜B∩C) =( ˜˜ A∩B˜)∩ C˜

Distributif

˜

A ∪ ( ˜B∩C) = ( ˜˜ A∪B)˜ ∩ ( ˜A∪C)˜ ˜

A ∩ ( ˜B∩C) =( ˜˜ A∩B)˜ ∪ ( ˜A∩C)˜

Idempotent

˜

A∪ A˜= Ã dan Ã ∩A˜= Ã

Identitas

˜

A ∪ φ = Ã dan Ã ∩ X = Ã ˜

A ∩ φ = φ dan ˜A ∪ X =X

Transitif Jika ˜A ⊆B˜ ⊆C, maka ˜˜ A ⊆ C˜

Involution A˜= ˜A

2.7 Relasi Fuzzy

Relasi fuzzy ˜R adalah suatu pemetaan ruang cartesian pada [ 0, 1 ], dengan

(22)

9

2.7.1 Operasi Pada Relasi fuzzy.

Anggap suatu relasi fuzzy ˜R dan ˜S pada ruang cartesian X × Y. Maka operasi berikut berlaku untuk nilai keanggotaan pada operasi himpunan yang berbeda:

Union

µ_R˜∪_S˜(x, y) = max (µ_R˜(x, y),µ_S˜(x, y))

Intersection

µ_R˜∩_S˜(x, y) = min (µ_R˜(x, y),µ_S˜(x, y))

Complement

µ_R_˜(x, y) = 1- µ_R˜(x, y)

Containment

˜

R ⊂ S˜⇒ µ_R˜(x, y) ≤ µ_S˜(x, y)

2.7.2 Sifat-Sifat Relasi Fuzzy.

Pada relasi fuzzy memenuhi sifat komutatif, asosiatif, distributif, involusi, dan

idempotent, demikian juga hukum De Morgan, relasi null 0 dan relasi

kelengka-pan E. Hukum yang tidak memenuhi pada relasi fuzzy adalah hukum excluded

middle. Karena relasi fuzzy juga merupakan himpunan fuzzy, maka ada

perbe-daan antara relasi dan complementnya, yaitu:

˜

R ∪ R˜ 6= E ˜

(23)

2.7.3 Fuzzy Cartesian Product dan Composisi.

Secara umum relasi fuzzy merupakan himpunan fuzzy, sehingga cartesian

pro-duct merupakan relasi antara dua atau lebih himpunan fuzzy. Anggap ˜A suatu

himpunan fuzzy pada semesta X dan ˜B menjadi suatu himpunan fuzzy pada semesta Y, maka Cartesian Product antara himpunan ˜A dan ˜B adalah relasi fuzzy ˜R yang berada dalam ruang cartesian product, yaitu:

˜

A × B˜ = ˜R ⊂ X× Y

dengan fungsi keanggotaan dari relasi ˜R, yaitu:

µ_R˜(x, y) = µ_A˜×_B˜(x, y) = min(µ_A˜(x), µ_B˜(y))

Cartesian Product ˜A × B˜ dapat dinyatakan dengan bentuk yang sama

seper-ti perkalian 2 vektor. Maka seseper-tiap himpunan fuzzy dapat dinyatakan sebagai

suatu vektor yang terdiri dari nilai keanggotaan yang merupakan elemen dari

himpunan tersebut.

Anggap ˜R adalah relasi fuzzy pada ruang cartesian X ×Y, ˜S adalah relasi

fuzzy pada Y ×Z, dan ˜T adalah relasi fuzzy pada X ×Z, maka komposisi max

- min fuzzynya dinyatakan sebagai berikut:

˜

T = ˜R ◦ S˜

(24)

11

2.8 Vektor Fuzzy

Suatu vektor ˜a= (a1,a2,· · ·,an) dikatakan suatu vektor fuzzy jika untuk sebarang

elemen 0≤ai≤1 ,untuki= 1, 2,· · ·,n. Dengan cara yang sama transpose

vek-tor fuzzy ˜a yang dinotasikan dengan ˜at_{adalah suatu vektor kolom jika ˜}_a _adalah

suatu vektor baris, yaitu :

˜ at₌



 

a1

a2

... an



 

2.9 Model Peramalan

Terdapat dua jenis model peramalan yang utama, yaitu :

1. Model Time Series (Deret Berkala)

Pada model ini pendugaan masa depan dilakukan berdasarkan nilai data

masa lalu. Tujuan metode ini adalah menemukan pola dalam deret

da-ta historis dan memanfaatkan pola deret tersebut untuk peramalan masa

depan, keuntungan dari model ini adalah dapat meramalkan dengan cara

yang lebih singkat dibandingkan model regresi.

2. Model Regresi (Kausal)

Model ini merupakan suatu model yang mengasumsikan faktor yang

dira-malkan menunjukkan suatu hubungan sebab akibat dalam satu atau lebih

variabel bebas dan menggunakannya untuk meramalkan nilai mendatang

dari suatu variabel tak bebas. Keuntungan dari model ini adalah memiliki

keberhasilan yang lebih besar untuk pengambilan keputusan yang

(25)

2.10 Fuzzy Time Series

Definisi 2.1.2

Diasumsikan Y(t) ⊂ ℜ (garis real),t = · · ·, 0, 1, 2, · · · menjadi semesta pembicaraan yang dinyatakan oleh himpunan fuzzy fi(t). F(t) terdiri dari fi(t), t =· · ·, 0, 1, 2,· · · didefinisikan sebagai fuzzy time series pada Y(t). Pada saat itu F(t) dapat dimengerti sebagai variabel linguistik, untuk fi(t), i = 1, 2, · · · adalah nilai linguistik dari F(t).

2.11 Variabel Linguistik

Variabel linguistik diartikan sebagai variabel yang nilainya dalam bentuk

ka-ta aka-tau kalimat, dalam bahasa sebenarnya aka-tau dalam bahasa yang dibuat-buat,

sebagai contoh: Age adalah variabel linguistik jika nilainya adalah linguistik

daripada numerik, misalnya: young, not young, very young, quite young, old,

not very old, and not very young daripada 20,21,...,yang merupakan nilai umur

sebenarnya.

2.12 Relasi Fuzzy Logic

Definisi 2.1.3

Jika ada relasi fuzzy R(t,t-1) sehingga F(t) = F(t-1) × R(t, t-1) dengan simbol×adalah suatu operator makaF(t) disebabkan olehF(t−1). Relasi yang

(26)

13

2.13 Grup Relasi Fuzzy Logic

Definisi 2.1.4

Relasi fuzzy logic dengan sisi kanan yang sama, menjadi suatu grup yang sama

yaitu relasi grup fuzzy logic.

Contoh:

Untuk sisi kananAi yang sama, grupnya dinyatakan sbb:

Ai → Aj1

Ai → Aj2

· · · ·

)

⇒ Ai →Aj1, Aj2

2.14 Operator Komposisi Pada Time Invariant Fuzzy Time Series

Definisi 2.1.5

Jika F(t) disebabkan oleh F(t−1) dinotasikan dengan F(t−1) → F(t)

maka relasinya dinyatakan dengan F(t) = F(t − 1) ◦ R(t, t −1) simbol ”◦”

merupakan Max-Min operator komposisi, R(t, t−1) disebut sebagai model orde

pertama dari F(t) .

2.15 Time Invariant Fuzzy Time Series

Time Invariant Fuzzy Time Series merupakan suatu metode peramalan yang

relasinya tidak bergantung pada waktut, dengan memanfaatkan himpunan data

fuzzy yang berbentuk diskrit sebagai data historisnya.

Definisi 2.1.6

Anggap F(t) merupakan suatu fuzzy time series dan anggap R(t, t−1)

(27)

2.16 Defuzzifikasi

Defuzzifikasi adalah cara untuk memperoleh nilai tegas (crisp) dari himpunan

fuzzy, adapun prosesnya yaitu:

1. Jika nilai keanggotaan outputnya adalah 0, maka z = 0

2. Jika nilai keanggotaan outputnya memiliki 1 maximum, maka titik tengah

interval dimana nilai ini dicapai adalah z.

3. Jika nilai keanggotaan dari outputnya memiliki lebih dari 2 maximum yang

berurutan, maka titik tengah interval dimana nilai ini dicapai adalah z.

Contoh:

Jikau1 = [ 0, 20 ], u2 = [ 20, 40 ],u3 = [ 40, 60 ] dan misalkan outputnya

adalah [ 1 1 0,5 ].

Penyelesaian:

Karena nilai maximumnya adalah 1 dan berada pada interval

u1 = [ 0, 20 ] dan u2 = [ 20, 40 ] ,maka:

y = 40−0

2

= 20

sehingga z = 0 +y = 20

4. Jika outputnya selain dari hal diatas maka digunakan Metode Centroid,

yaitu :

z

=

P_xA_ˆ

P_A _,

(28)

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Metode Time Invariant Fuzzy Time Series

Metode Time Invariant Fuzzy Time Series merupakan suatu metode yang

memi-liki 2 aspek penting, yaitu:

(a) Menggunakan variasi data historisnya daripada karakteristik pendaftaran

sebenarnya.

(b) Menghitung relasi R(t, t−1) yang akan digunakan untuk memprediksi

pe-ramalan masa depan.

Langkah-langkah proses peramalan pada metode ini, yaitu:

1. Mendefinisikan semesta pembicaraan ( himpunan semesta U ) dari variasi

data historisnya.

2. Mempartisi U menjadi panjang interval yang sama.

3. Mendefinisikan himpunan fuzzyAi.

4. Memfuzzykan variasi dari data historis peramalan.

5. Menyatakan relasi fuzzy logicAi → Aj

6. Menjadikan relasi fuzzy orde pertama, menjadi suatu grup relasi fuzzy logic

(29)

7. Meramalkan output peramalannya dan mendeffuzifikasikannya.

8. Menghitung ramalan pendaftarannya.

Untuk memperoleh gambaran yang jelas mengenai metode Time-Invariant Fuzzy

Time Series ini, penulis mengambil contoh kasus peramalan pendaftaran calon

mahasiswa melalui jalur SPMB, pada Departemen Matematika Universitas

Su-matera Utara.

Tabel.3.1.1

Banyaknya Calon Mahasiswa Yang Mendaftar Melalui Jalur SPMB Pada Departemen Matematika Universitas Sumatera Utara

Antara Tahun 1994 s/d 2007

No. Tahun Jumlah Pendaftaran

1. 1994 533

2. 1995 364

3. 1996 383

4. 1997 369

5. 1998 328

6. 1999 405

7. 2000 390

8. 2001 523

9. 2002 432

10. 2003 412

11. 2004 484

12. 2005 479

13. 2006 466

(30)

17

Pada penelitian ini penulis menggunakan 6 dan 7 himpunan fuzzy untuk menguji

kesalahan peramalan . Pemilihan 6 dan 7 himpunan fuzzy merupakan pemilihan

secara sebarang.

3.2 Peramalan Pendaftaran Dengan Menggunakan 6 Himpunan Fuzzy

1. Himpunan semesta U dinyatakan dari variasi pendaftaran tahun-tahun

se-belumnya. Data pendaftaran dan variasinya dinyatakan pada tabel dibawah

ini:

Tabel.3.2.1

Data Pendaftaran dan Variasi dari Data Historis

No. Tahun Jumlah Pendaftaran Variasi

1. 1994 533

2. 1995 364 -169

3. 1996 383 19

4. 1997 369 -14

5. 1998 328 -41

6. 1999 405 77

7. 2000 390 -15

8. 2001 523 133

9. 2002 432 -91

10. 2003 412 -20

11. 2004 484 72

12. 2005 479 -5

13. 2006 466 -13

(31)

Dari tabel diketahui bahwa Vmin = -169 dan Vmax = 133. Agar U

da-pat dengan mudah dipartisi menjadi panjang interval yang sama , maka

anggap U = [ Vmin - V1, Vmax + V2 ]. Dengan V1 dan V2 bilangan positif

sebarang, maka penulis mengambilV1 = 11 dan V2 = 47 sehingga :

U = [-169 - 11 , 133 + 47 ]= [ -180, 180 ].

2. Dengan menggunakan 6 Himpunan Fuzzy, maka U dipartisi menjadi 6

in-terval yang sama panjang ui, i = 1,6, yaitu:

u1 = [ -180, -120 ], u2 = [ -120, -60 ],u3 = [ -60 , 0 ], u4 = [ 0 , 60 ],

u5 = [ 60 , 120 ], u6 = [ 120 , 180 ].

3. Diasumsikan nilai fuzzy berasal dari variabel linguistik variasi data

pendaf-tarannya, yaitu : A1 (semakin menurun), A2 (menurun), A3 (tetap), A4

(meningkat),A5 (semakin meningkat),A6 (sangat meningkat).

Untuk 6 interval yang ada, setiap ui, i = 1,6 ∈ Aj,j = 1,6 dinyatakan

dengan nilai real pada range [0,1]:

A1 = {1/u1, 0,5/u2, 0/u3, 0/u4, 0/u5, 0/u6}

A2 = {0,5/u1, 1/u2, 0,5/u3, 0/u4, 0/u5, 0/u6}

A3 = {0/u1, 0,5/u2, 1/u3, 0,5/u4, 0/u5, 0/u6}

A4 = {0/u1, 0/u2, 0,5/u3, 1/u4, 0,5/u5, 0/u6}

A5 = {0/u1, 0/u2, 0/u3, 0,5/u4, 1/u5, 0,5/u6}

A6 = {0/u1, 0/u2, 0/u3, 0/u4, 0,5/u5, 1/u6}

dengan ui ⊂ U adalah elemen dari himpunan semesta dan bilangan yang

(32)

ter-19

4. Jika variasi pada tahun t adalah p, dan p ∈ ui dan jika nilai yang

dinya-takan oleh himpunan fuzzy Aj dengan nilai keanggotaan maximum jatuh

padaui, makap dinyatakan fuzzified pada Aj.

Hasil Variasi dari data pendaftaran yang difuzzified dinyatakan pada tabel

di bawah ini:

Tabel.3.2.2

Fuzzified Data Historis Pendaftaran Berdasarkan Variasi Yang Diketahui

No. Tahun Variasi Fuzzified Variasi

1. 1994

2. 1995 -169 A1

3. 1996 19 A4

4. 1997 -14 A3

5. 1998 -41 A3

6. 1999 77 A5

7. 2000 -15 A3

8. 2001 133 A6

9. 2002 -91 A2

10. 2003 -20 A3

11. 2004 72 A5

12. 2005 -5 A3

14. 2006 -13 A3

(33)

5. Menyatakan relasi orde-pertama dari variasi fuzzy.

Tabel.3.2.3

Relasi Variasi Fuzzy Logic

A1 →A4 A3 → A6

A4 →A3 A6 → A2

A3 →A3 A2 → A3

A3 →A5

A5 →A3

6. Mengkombinasikan relasi fuzzy menjadi grup relasi fuzzy, jika memiliki sisi

kanan yang sama

Tabel.3.2.4

Grup Relasi Fuzzy Logic

A1 → A4

A2 → A3

A3 → A3 , A5, A6

A4 → A3

A5 → A3

A6 → A2

(34)

21

R1 =AT1 × A4

R2 =AT2 × A3

R3 =AT3 × A3 ∪ AT3 × A5 ∪ AT3 × A6

R4 =AT4 × A3

R5 =AT5 × A3

R6 =AT6 × A2

dengan ∪ merupakan operator gabungan.

7. Menyatakan grup relasi fuzzy logic berdasarkan variasi yang diketahui dari

tahun sebelumnya, yaitu :

Jika Ai−₁ =Aj dan Ri=Rj, untuk j =1,6.

Sehingga dari definisi komposisi:

Ai =Aj ◦ Rj

dengan Ai adalah variasi peramalan pada tahun i, sehingga output

pera-malannya yaitu:

F(1996) = A1◦R1 = [ 0 0 0,5 1 0,5 0 ]

F(1997) = A4◦R4 = [ 0 0,5 1 0,5 0 0 ]

F(1998) = A3◦R3 = [ 0 0,5 1 0,5 1 1 ]

F(1999) = A3◦R3 = [ 0 0,5 1 0,5 1 1 ]

F(2000) = A5◦R5 = [ 0 0,5 1 0,5 0 0 ]

F(2001) = A3◦R3 = [ 0 0,5 1 0,5 1 1 ]

F(2002) = A6◦R6 = [ 0 0,5 1 0,5 0 0 ]

F(2003) = A2◦R2 = [ 0 0,5 1 0,5 0 0 ]

F(2004) = A3◦R3 = [ 0 0,5 1 0,5 1 1 ]

(35)

F(2007) = A3◦R3 = [ 0 0,5 1 0,5 1 1 ]

F(2008) = A3◦R3 = [ 0 0,5 1 0,5 1 1 ]

8. Setelah hasil output diketahui, maka dilakukanlah proses defuzifikasi, yaitu:

(a) Jika semua nilai outputnya nol maka variasi peramalannya adalah 0

(b) Jika nilai keanggotaan dari ouputnya memiliki satu maximum, maka

titik tengah interval dimana nilai ini dicapai adalah variasi peramalan.

(c) Jika keanggotaan dari outputnya memiliki dua atau lebih maximum,

maka titik tengah intervalnya digunakan sebagai variasi peramalan.

(d) Selain itu dengan menggunakan metode centroid, yaitu :

z

=

P_xA_ˆ P_A

dengan A = suatu luasan yang memiliki titik berat ˆx

Sehingga disimpulkan ada 6 jenis output dengan z , yaitu :

A1◦R1 = [ 0 0 0,5 1 0,5 0 ], z = 30

A2◦R2 = [ 0 0,5 1 0,5 0 0 ], z =−30

A3◦R3 = [ 0 0,5 1 0,5 1 1 ], z = 45

A4◦R4 = [ 0 0,5 1 0,5 0 0 ], z=−30

A5◦R5 = [ 0 0,5 1 0,5 0 0 ], z=−30

A6◦R6 = [ 0 0,5 1 0,5 0 0 ], z=−30

9. Error peramalan diketahui dengan menggunakan rumus :

Error Peramalan =

Σ| Pendaftaran Sebenarnya - Peramalan Pendaftaran |

(36)

23

Tabel.3.2.5

Output Peramalan dan Peramalan Pendaftaran 1996 s/d 2008 No. Tahun Pendaftaran Fuzzy Output Peramalan |a-b|

Sebenarnya(a) Pendaftaran(b)

1. 1996 383 0 0 0,5 1 0,5 0 394 11

2. 1997 369 0 0,5 1 0,5 0 0 353 16

3. 1998 328 0 0,5 1 0,5 1 1 414 86

4. 1999 405 0 0,5 1 0,5 1 1 373 32

5. 2000 390 0 0,5 1 0,5 0 0 375 15

6. 2001 523 0 0,5 1 0,5 1 1 415 108

7. 2002 432 0 0,5 1 0,5 0 0 490 58

8. 2003 412 0 0,5 1 0,5 0 0 402 10

9. 2004 484 0 0,5 1 0,5 1 1 457 27

10. 2005 479 0 0,5 1 0,5 0 0 454 25

11. 2006 466 0 0,5 1 0,5 1 1 514 48

12. 2007 464 0 0,5 1 0,5 1 1 511 47

13. 2008 0 0,5 1 0,5 1 1 509

Jumlah 5135 483

Sehingga dari tabel diketahui bahwa:

Peramalan pendaftaran untuk tahun 2008 dengan menggunakan 6

him-punan fuzzy adalah 509 calon dan :

(37)

3.3 Peramalan Pendaftaran dengan Menggunakan 7 Himpunan Fuzzy

1. Dari tabel diketahui bahwa Vmin = -169 dan Vmax = 133. Agar U dapat

dengan mudah dipartisi menjadi panjang interval yang sama, maka anggap

U = [Vmin -V1,Vmax +V2 ]. Dengan V1 danV2 bilangan positif sebarang,

maka penulis mengambilV1 = 11 dan V2 = 37 sehingga:

U = [-169 - 11 , 133 + 37 ]= [ -180, 170 ].

2. Dengan menggunakan 7 Himpunan Fuzzy, U dipartisi menjadi 7 interval

yang sama panjang, yaitu : ui,i = 1,7, yaitu :

u1 = [-180, -130 ],u2 = [-130, -80 ], u3 = [ -80 , -30 ],u4 = [ -30 , 20 ],

u5 = [ 20 ,70 ], u6 = [ 70 , 120 ],u7 = [ 120 , 170 ]

3. Diasumsikan nilai fuzzy dari variabel linguistik variasi data

pendaftaran-nya, yaitu : A1 (sangat menurun), A2 (semakin menurun), A3

(menu-run), A4 (tetap), A5(meningkat), A6 (semakin meningkat), A7 ( sangat

meningkat ).

Untuk 7 interval yang ada, setiapui, i = 1,7 menjadi bagian dari

Aj,j = 1,7 dinyatakan dengan nilai real pada range [0,1] :

A1 = {1/u1, 0,5/u2, 0/u3, 0/u4, 0/u5, 0/u6, 0/u7}

A2 = {0,5/u1, 1/u2, 0,5/u3, 0/u4, 0/u5, 0/u6, 0/u7}

A3 = {0/u1, 0,5/u2, 1/u3, 0,5/u4, 0/u5, 0/u6, 0/u7}

A4 = {0/u1, 0/u2, 0,5/u3, 1/u4, 0,5/u5, 0/u6, 0/u7}

A5 = {0/u1, 0/u2, 0/u3, 0,5/u4, 1/u5, 0,5/u6, 0/u7}

A6 = {0/u1, 0/u2, 0/u3, 0/u4, 0,5/u5, 1/u6, 0,5/u7}

(38)

25

dengan ui ⊂ U adalah elemen dari himpunan semesta dan bilangan yang

diberi simbol ”/” menyatakan nilai keanggotaan terhadap µ(ui) terhadap

Aj,j = 1,7.

4. Jika variasi pada tahuntadalahpdanp∈ui dan jika nilai yang dinyatakan

oleh himpunan fuzzy Aj dengan nilai keanggotaan maximum jatuh pada

ui maka pdinyatakan fuzzified pada Aj.

Tabel.3.3.1

Fuzzified Data Historis Pendaftaran Berdasarkan Variasi Yang Diketahui.

No. Tahun Variasi Fuzzified Variasi

1. 1994

2. 1995 -169 A1

3. 1996 19 A4

4. 1997 -14 A4

5. 1998 -41 A3

6. 1999 77 A6

7. 2000 -15 A4

8. 2001 133 A7

9. 2002 -91 A2

10. 2003 -20 A4

11. 2004 72 A6

12. 2005 -5 A4

13. 2006 -13 A4

(39)

5. Menyatakan relasi orde-pertama dari variasi fuzzy, dinyatakan pada tabel

dibawah ini:

Tabel.3.3.2

Relasi Variasi Fuzzy Logic

A1 →A4 A4 → A7

A4 →A4 A7 → A2

A4 →A3 A2 → A4

A3 →A6 A4 → A6

A6 →A4

6. Mengkombinasikan orde pertama relasi fuzzy menjadi grup relasi fuzzy,

ji-ka memiliki sisi ji-kanan yang sama, dinyataji-kan pada tabel dibawah ini:

Tabel.3.3.3

Grup Relasi Fuzzy Logic

A1 → A4

A2 → A4

A3 → A6

A4 → A3,A4,A6,A7

A6 → A4

(40)

27

menghitung Ri, i = 1,7 sebagai gabungan relasi logic dalam setiap grup

sehingga :

R1 =AT1 × A4

R2 =AT2 × A4

R3 =AT3 × A6

R4 =AT4 × A3 ∪ AT4 × A4 ∪ AT4 × A6 ∪AT4 × A7

R6 =AT6 × A4

R7 =AT7 × A2

dengan ∪ merupakan operator gabungan.

7. Menyatakan grup relasi fuzzy logic berdasarkan variasi yang diketahui dari

tahun sebelumnya, yaitu :

Jika Ai−₁ =Aj dan Ri=Rj, untuk j =1,7.

Sehingga dari definisi komposisi:

Ai = Aj ◦ Rj,

dengan Ai adalah variasi peramalan pada tahun i, sehingga output

pera-malannya yaitu:

F(1996) =A1 ◦R1 = [ 0 0 0,5 0,5 1 0,5 0 ]

F(1997) = A4◦R4 = [ 0 0,5 1 1 1 0,5 1 ]

F(1998) = A4◦R4 = [ 0 0,5 1 1 1 0,5 1 ]

F(1999) = A3◦R3 = [ 0 0 0 0 0,5 1 0,5 ]

F(2000) = A6◦R6 = [ 0 0 0,5 1 0,5 0 0 ]

F(2001) = A4◦R4 = [ 0 0,5 1 1 1 0,5 1 ]

(41)

F(2004) = A4◦R4 = [ 0 0,5 1 1 1 0,5 1 ]

F(2005) = A6◦R6 = [ 0 0 0,5 1 0,5 0 0 ]

F(2006) = A4◦R4 = [ 0 0,5 1 1 1 0,5 1 ]

F(2007) = A4◦R4 = [ 0 0,5 1 1 1 0,5 1 ]

F(2008) = A4◦R4 = [ 0 0,5 1 1 1 0,5 1 ]

8. Setelah hasil output diketahui, maka dilakukanlah proses defuzifikasi

seper-ti pada peramalan dengan menggunakan 6 himpunan fuzzy, yaitu :

(a) Jika semua nilai outputnya nol maka variasi peramalannya adalah 0

(b) Jika nilai keanggotaan dari ouputnya memiliki satu maximum, maka

titik tengah interval dimana nilai ini dicapai adalah variasi peramalan.

(c) Jika keanggotaan dari outputnya memiliki dua atau lebih maximum,

maka titik tengah intervalnya digunakan sebagai variasi peramalan.

(d) Selain itu dengan menggunakan metode centroid, yaitu :

z

=

P_xA_ˆ P_A

dengan A = suatu luasan yang memiliki titik berat ˆx

Sehingga disimpulkan ada 6 jenis output dengan z , yaitu :

A1◦R1 = [ 0 0 0,5 0,5 1 0,5 0 ], z = 45

A2◦R2 = [ 0 0 0,5 1 0,5 0 0 ], z=−5

A3◦R3 = [ 0 0 0 0 0,5 1 0,5 ], z = 95

A4◦R4 = [ 0 0,5 1 1 1 0,5 1 ], z = 25

A6◦R6 = [ 0 0 0,5 1 0,5 0 0 ], z=−5

(42)

29

9. Error peramalan diketahui dengan menggunakan rumus :

Error Peramalan =

Σ| Pendaftaran Sebenarnya - Peramalan Pendaftaran |

ΣPendaftaran Sebenarnya × 100 %

Dari tabel diketahui bahwa :

Tabel.3.3.4

Output Peramalan dan Peramalan Pendaftaran 1996 s/d 2008 No. Tahun Pendaftaran Fuzzy Output Peramalan |a-b|

Sebenarnya(a) Pendaftaran(b)

1. 1996 383 0 0 0,5 0,5 1 0,5 0 409 26

2. 1997 369 0 0,5 1 1 1 0,5 1 408 39

3. 1998 328 0 0,5 1 1 1 0,5 1 394 66

4. 1999 405 0 0 0 0 0,5 1 0,5 423 18

5. 2000 390 0 0 0,5 1 0,5 0 0 400 10

6. 2001 523 0 0,5 1 1 1 0,5 1 415 108

7. 2002 432 0,5 1 0,5 0 0 0 0 418 14

8. 2003 412 0 0 0,5 1 0,5 0 0 427 15

9. 2004 484 0 0,5 1 1 1 0,5 1 437 47

10. 2005 479 0 0 0,5 1 0,5 0 0 479 0

11. 2006 466 0 0,5 1 1 1 0,5 1 504 38

12. 2007 464 0 0,5 1 1 1 0,5 1 491 27

13. 2008 0 0,5 1 1 1 0,5 1 489

Jumlah 5135 408

Sehingga dari tabel diketahui bahwa:

Peramalan pendaftaran untuk tahun 2008 dengan menggunakan 7

him-punan fuzzy adalah 489 calon dan :

(43)

(44)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

1. Pada peramalan pendaftaran dengan 6 himpunan fuzzy, pada tahun 2008

diramalkan calon mahasiswa yang mendaftar melalui jalur SPMB pada

De-partemen Matematika, Fakultas MIPA,Universitas Sumatera Utara adalah

sebesar 509 calon mahasiswa, dengan error ramalan 9,4 %.

2. Pada peramalan pendaftaran dengan 7 himpunan fuzzy, pada tahun 2008

diramalkan calon mahasiswa yang mendaftar pada Departemen

Matemati-ka, Fakultas MIPA, Universitas Sumatera Utara adalah sebesar 489 calon

mahasiswa, dengan error ramalan 7,9 %.

3. Jumlah Himpunan fuzzy mempengaruhi error peramalan.

4. Kebaikan metode ini, yaitu :

Error dapat diperkecil dan semakin banyak himpunan fuzzy yang

digu-nakan maka error semakin kecil.

5. Kelemahan metode ini, yaitu:

Jika kita telah menentukan nilai linguistik sebelum error diketahui, maka

ketika nilai errornya telah diketahui dan ternyata nilainya besar, dan akan

(45)

4.2 Saran

(a) Sebaiknya dalam menggunakan metode Time-Invariant Fuzzy Time

Series , kita lebih baik menemukan hasil ramalan dengan error terkecil,

barulah mengasumsikan nilai linguistiknya.

(b) Untuk penerapan penelitian selanjutnya penulis mengusulkan melakukan

peramalan mendatang dengan mengasumsikan faktor-faktor yang

dira-malkan memiliki hubungan sebab akibat, dengan memanfaatkan

(46)

DAFTAR PUSTAKA

[1] Chen, Shyi-Ming, and Ching, Chia. A New Method To Forecasting Enroll-ments Using Fuzzy Time Series.International Journal Science and Engi-neering 2,3

[2] Makridakis,S., Wheelright, C.Steven, dan Mcgee, Victor. 1993.Aplikasi Peramalan. Edisi ke-4. Terjemahan Untung Sus Andriyanti dan Abdul Ba-suki.Jakarta : Erlangga.

[3] Rohandi,Imam. 2006. Desain Sistem Tenaga Modern, Optimisasi, Logika Fuzzy, dan Algoritma Genetica. Yogyakarta : Andi Yogyakarta.

[4] Ross,Timothy. 1997.Fuzzy Logic With Engineering Applications.University New Mexico: Mc Graw Hill.

[5] Sah, Melike, and Degtiarev, Konstantin.2004.Forecasting Enrollments Model Based on First - Order Fuzzy Time Series.Enformatika Society

[6] Sri Kusuma,Dewi. 2002.Analisis Desain Sistem Fuzzy menggunakan Tool Box Matlab. Yogyakarta : Graha Ilmu.

[7] Sri Widodo,Thomas.2005.Sistem Neuro Fuzzy untuk Pengolahan Informasi, Pemodelan, dan Kendali.Yogyakarta : Graha Ilmu.

(47)

LAMPIRAN PERHITUNGAN

Peramalan Pendaftaran Dengan 6 Himpunan Fuzzy

Relasi orde pertama

(48)

(49)

Menyatakan grup relasi fuzzy logic berdasarkan variasi dari tahun - tahun

se-belumnya, dengan menggunakan maximum - minimum operator komposisi

(50)

37

A6◦R6 = [ 0 0 0 0 0,5 1 ]◦ 

    

0 0 0 0 0 0

0 0,5 0,5 0,5 0 0 0 0,5 1 0,5 0 0



    

= [ 0 0,5 1 0,5 0 0 ]

Defuzzifikasi Pada 6 Himpunan Fuzzy

A1◦R1 = [ 0 0 0,5 1 0,5 0 ]

Karena nilai maksimumnya berada pada intervalu4 = [ 0,60 ]

y =60−0

2

=

30, maka z = 0 + 30 = 30

A2 ◦R2 = [ 0 0,5 1 0,5 0 0 ]

Karena nilai maksimumnya berada pada intervalu3 = [ -60,0 ] y =

0+60

2

=

30,

maka z = -60 + 30 = -30

(51)

Total Luas = 240

Luas I = 30, titik tengah intervalnya : -90

Luas II = 60, titik tengah intervalnya : -30

Luas III = 30, titik tengah intervalnya : 30

Luas IV = 60, titik tengah intervalnya : 90

Luas V = 60, titik tengah intervalnya : 150

dengan menggunakan metode centroid:

z

=

P_ˆ_xA P_A

sehingga:

z

=

(30)(−90) + (60)(−30)+ (30)(30)+ (60)(90)+ (60)(150)

240

=

45

A4◦R4 = [ 0 0,5 1 0,5 0 0 ]

Karena nilai maksimumnya berada pada intervalu3 = [ -60,0 ]

y =0+60₂

=

_{30, maka z = -60 + 30 = -30}

A5◦R5 = [ 0 0,5 1 0,5 0 0 ], z=−30

y =0+60₂

=

_{30, maka z = -60 + 30 = -30}

A6◦R6 = [ 0 0,5 1 0,5 0 0 ], z=−30

(52)

39

Peramalan Pendaftaran Dengan 7 Himpunan Fuzzy

(53)

(54)

41

Menyatakan grup relasi fuzzy logic berdasarkan variasi dari tahun - tahun

se-belumnya, dengan menggunakan maximum - minimum operator komposisi

(55)

(56)

(57)

Defuzzifikasi Pada 7 Himpunan Fuzzy

A1◦R1 = [ 0 0 0,5 0,5 1 0,5 0 ]

y =70 − 20

2

=

25, maka z = 20 + 25 = 45

A2◦R2 = [ 0 0 0,5 1 0,5 0 ]

y =20 + 30₂

=

_{25, maka z = -30 + 25 = -5}

A3◦R3 = [ 0 0 0 0 0,5 1 0,5 ]

y =120 −70

2

=

25, maka z = 70 + 25 = 95

(58)

45

Total Luas = 250

Luas I = 25, titik tengah intervalnya : -105

Luas II = 50, titik tengah intervalnya : -55

Luas III = 50, titik tengah intervalnya : -5

Luas IV = 50, titik tengah intervalnya : 45

Luas V = 25, titik tengah intervalnya : 95

Luas VI = 50, titik tengah intervalnya : 145

dengan menggunakan metode centroid :

z

=

P_xA_ˆ P_A

sehingga:

z

=

(25)(−105) + (50)(−55)+ (50)(−5)+ (50)(45)+ (25)(95)+ (50)(145)

250

=

6250₂₅₀

=

25

A6◦R6= [ 0 0 0,5 1 0,5 0 0 ]

Karena nilai maksimumnya berada pada intervalu4 = [ -30, 20 ]

y =20 +30₂

=

_{25, maka z = -30 + 25 = -5}

A7◦R7 = [ 0,5 1 0,5 0 0 0 0 ]

Karena nilai maksimumnya berada pada intervalu2 = [ -130, -80 ]

y =−80 +130