Bilangan Ukuran Ramsey Dari Pohon

BILANGAN UKURAN RAMSEY DARI POHON

TESIS

Oleh

BISTOK PURBA

097021055/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

BILANGAN UKURAN RAMSEY DARI POHON

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

BISTOK PURBA

097021055/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Judul Tesis : BILANGAN UKURAN RAMSEY DARI POHON

Nama Mahasiswa : Bistok Purba Nomor Pokok : 097021055

Program Studi : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr. Saib Suwilo, M.Sc) (Prof. Dr. Opim Salim S, MSc)

Ketua Anggota

Ketua Program Studi, Dekan,

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)

Telah diuji pada Tanggal 15 Juni 2011

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Dr. Saib Suwilo, M.Sc

Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc 2. Prof. Dr. Tulus, M.Si

PERNYATAAN

BILANGAN UKURAN RAMSEY DARI POHON

TESIS

Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya

Medan, 15 Juni 2011 Penulis,

ABSTRAK

Diberikan suatu graph G, bilangan Ukuran-Ramsey ˆr(G) adalah bilangan mini-mum m dimana terdapat suatu graph F atas m edge sedemikian sehingga setiap dua-pewarnaan edge-edge dari F memenuhi pewarnaan monokhromatik dari G. Pada Tesis ini dibicarakan/diperkenalkan invariant β(_T) untuk pohon dan ditun-jukkan bahwa ˆr(_T) = Ω(β(_T)). Selain itu diperkirakan bahwa ˆr(_T) = O(β(_T)). Perkiraan ini diselesaikan dengan memberikan suatu famili graph dan skema em-bedding untuk pohon.

ABSTRACT

Given a graph G, the size-Ramsey numbers r(G)ˆ is the minimum number m for which there exists a graph F on m edges such that every two-coloring edges of F

admits a monokhromatik copy of G.

In this thesis, it is talked/interoduced invariant β(_T) for trees and showed that

ˆ

r(_T) = Ω(β(_T)). Beside that, it is thought that r(ˆ_T) =O(β(_T)). These estimates are solved by providing a family of graphs and an embedding scheme for trees.

KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur penulis ucapkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa karena berkat kasih dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan perkuliahaan dan Tesis ini tepat pada waktunya. Tesis ini berjudul ” Bilangan Ukuran Ramsey Dari Pohon” sebuah kajian yang meneliti tentang bilangan ukuran Ramsey dari Pohon sebagai salah satu syarat atau tugas akhir yang harus diselesaikan untuk memperoleh gelar Magister Sains (M.Si) pada Program Studi Magister Matema-tika Fakultas MatemaMatema-tika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara (USU). Dari awal perkuliahaan sampai penyusunan Tesis ini penulis banyak men-dapat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang tak terhingga kepada:

Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu DTM&H, MSc(CTM), SpA(K), selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.

Prof. Dr. Ir. Rahim Matondang, MSIE, selaku Direktur Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti program belajar pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.

Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika Dan Ilmu Penge-tahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

Bapak Prof. Dr. Herman Mewengkang, selaku Ketua Program Studi Magister Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara.

Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, dan Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc selaku Dosen Pembimbing yang telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dari awal hingga selesainya tesis ini.

Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, dan Drs. Marwan Harahap, M.Eng selaku pemban-ding dan penguji atas segala saran , masukan dan petunjuk yang diberikan.

Bapak H. T. Erry Nurady, M.Si selaku Bupati Serdang Bedagai dan Bapak Drs.Rifai Bakri Tanjung, M.AP selaku Kepala Dinas Pendidikan Serdang Bedagai yang telah memberikan Ijin perkuliahaan dan bantuan dana.

Bapak Drs. Ruslin Nasution selaku Kepala SMA Negeri 1 Dolok Masihul yang telah memberikan dorongan, motivasi dan rekomendasi.

Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika Fakultas MIPA Uni-versitas Sumatera Utara yang telah penuh ihklas mentransferkan ilmunya sehingga sangat membantu penulis untuk memperkaya wawasan dan cakrawala pengetahuan yang sangat berguna dalam menyelesaikan tesis ini.

Rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU angka-tan tahun 2009 yang telah banyak membantu penulis dalam perkuliahan maupun dalam penulisan tesis ini dan tidak lupa penulis ucapkan terimakasih untuk Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis yang berhubungan dengan administrasi selama penulis mengikuti pendidikan.

Keluarga besar SMAN 1 Dolok Masihul yang terus mendo’akan dan memotivasi penulis selama mengikuti pendidikan di Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.

Ayahanda dan Ibunda tercinta atas segala bantuannya baik doa maupun nasehat yang sangat bermanfaat bagi penulis guna terselesaikannya tesis ini. Seluruh kelu-argaku, Istri tercinta (Betty Rondang Sihombing, S.Pd) yang memberikan dorongan dan semangat.

Penulis menyadari sebagai manusia biasa mempunyai banyak kekurangan khu-susnya dalam penulisan tesis ini. Untuk itu semuanya diserahkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa. Amin.

Medan, Juni 2011

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama Bistok Purba dilahirkan di Panombean pada tanggal 2 Mei 1970 anak ke-empat dari delapan orang bersaudara. Nama ayah J. Purba dan Ibu E. Butar-butar. Tamat dari SD Inpres Panombean tahun 1984, melanjut ke SMP Negeri 1 Rajabuluh dan tamat tahun 1987, kemudian melanjutkan ke SMA swasta Bersama Berastagi dan tamat tahun 1991. Pada tahun 1992 kuliah di FPMIPA IKIP Negeri Medan Jurusan Matematika tamat tahun 1997.

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR iv

RIWAYAT HIDUP vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR GAMBAR ix

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tujuan Penelitian 2

1.4 Manfaat Penelitian 3

1.5 Metodologi Penelitian 3

BAB 2 BEBERAPA ISTILAH DARI GRAPH 4

2.1 Graph 4

2.2 Jenis Graph 6

2.3 Beberapa Notasi dan Defenisi 9

BAB 3 LANDASAN TEORITIS 12

3.3 Sifat-sifat dari Bipartite Graph Acak 15

BAB 4 HASIL UTAMA 26

4.1 Skema Embedding untuk Tree (An Embedding Scheme For Trees) 26 4.2 Bilangan Ukuran-Ramsey dari Tree. 39

BAB 5 KESIMPULAN 41

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

2.1 Presentasi grafis dari G(6,9) 5

2.2 Nullgraph berorder 4 6

2.3 Komplit graph berorder 3 7

2.4 Komplit bigraph berorder 5 7

2.5 Pohon berorder 9 8

2.6 Graph path 8

ABSTRAK

Diberikan suatu graph G, bilangan Ukuran-Ramsey ˆr(G) adalah bilangan mini-mum m dimana terdapat suatu graph F atas m edge sedemikian sehingga setiap dua-pewarnaan edge-edge dari F memenuhi pewarnaan monokhromatik dari G. Pada Tesis ini dibicarakan/diperkenalkan invariant β(_T) untuk pohon dan ditun-jukkan bahwa ˆr(_T) = Ω(β(_T)). Selain itu diperkirakan bahwa ˆr(_T) = O(β(_T)). Perkiraan ini diselesaikan dengan memberikan suatu famili graph dan skema em-bedding untuk pohon.

ABSTRACT

Given a graph G, the size-Ramsey numbers r(G)ˆ is the minimum number m for which there exists a graph F on m edges such that every two-coloring edges of F

admits a monokhromatik copy of G.

In this thesis, it is talked/interoduced invariant β(_T) for trees and showed that

ˆ

r(_T) = Ω(β(_T)). Beside that, it is thought that r(ˆ_T) =O(β(_T)). These estimates are solved by providing a family of graphs and an embedding scheme for trees.

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Untuk graph G dan H, bilangan Ukuran-Ramsey ˆr(G, H), merupakan bila-ngan terkecil m sedemikian sehingga terdapat suatu graph F atas m edge dengan sifat bahwa, dalam setiap pewarnaan merah-biru atas edge-edge dari F, terdapat pewarnaan merah dari G atau pewarnaan biru dari H. (Erdos et al., 1978).

Untuk suatu bilangan riilα_∈[0,1] dan graph F, G dapat ditulisF _→α Gjika

setiap subgraph F′_{⊆F dengan e(F}′_{)≥αe(F) memuat suatu copy dari G sebagai} subgraph. Perhatikan bahwa jika F _→1/2 Gmaka ˆr(G) = ˆr(G, G)≤e(F).

Telah diketahui dengan jelas bahwa ˆr(Kn) tumbuh secara eksponensial sesuai

dengann. Sebaliknya, Beck (1983), dalam menjawab pertanyaan-pertanyaan Erdos, menunjukkan bahwa untuk Pt, path atas t vertex, diperoleh

ˆ

r(Pt) = ˆr(Pt, Pt)≤900t

Ternyata, Beck membuktikan bahwa untuk setiap α _∈ [0,1] terdapat c = c(α) sedemikian sehingga a.a.s. (asymtotically almost surely), hampir pasti secara asymptotik graph acak G=Gn,c/n memenuhiG→α P_⌊n/c⌋.

Friedman dan Pippenger (1987) meningkatkan hasil ini dengan menunjukkan bahwa setiap pohon (tree) dengan degree maksimum ∆ dan t vertex mempunyai bilangan ukuran-Ramseyc(∆)t, di manac(∆) = O(∆4). Ini kemudian ditingkatkan menjadi c(∆) =O(∆2) oleh Ke (1993) dan menjadi c(∆) =O(∆) oleh Haxell dan Kohayakawa (1995).

Walaupun pohon (tree) tertentu _T mempunyai ukuran-Ramsey dengan orde ∆ (_T)_{|T |}, jelas bahwa ukuran-Ramsey dari star K1,t tidak dengan orde t2. Tentu

saja,K1,α−_1t→_α K_1,t untuk setiapα∈[0,1]. Karenanya, batas ∆ (T)|T |bisa jauh

2

Beck (1983) memperkenalkan invariant (tree)β(_T) yang didefinisikan sebagai berikut. Misalkan V (_T) =V0(T)∪V1(T) merupakan partisi yang ditentukan oleh

dua-pewarnaan unik yang tepat dari himpunan vertex dari _T. Tetapkan ∆i =

∆i(T) = max{dT(v) : v ∈ Vi(T)} dan ni = ni(T) = Vi(T) untuk i = 0,1

dan misalkan β(_T) = n0∆0+n1∆1. Dengan meningkatkan hasil yang dicapainya

sebelumnya, Beck (1983) membuktikan bahwa untuk setiap (tree)_T, β(_T)/4_≤rˆ(_T)_≤ O β(_T) (log_{|T |})12

dan memperkirakan bahwa ˆr(_T) =O(β(_T)). Haxell dan Kohayakawa (1995) meningkatkan secara signifikan batas atas untuk ˆr(_T) =O(β(_T) log ∆ (_T))

Perkiraan ini diselesaikan dengan menunjukkan bahwa untuk setiap (n0,∆0, n1,

∆1) danα∈[0,1] terdapatN0, N1danp∈[0,1] denganpN0N1 =Oα(n0∆0+n1∆1)

sedemikian sehingga a.a.s. bipartite graph acak G=GN0,N1;p memenuhi G→α T untuk setiap (tree) _T dengan ∆i(T)≤∆i dan ni(T)≤ni, untuki= 0,1. Karena

a.a.s. G mempunyai O(pN0N1) edge, maka bilangan ukuran-Ramsey dari setiap

pohon (tree)_T adalah berorde β(_T).

Embedding _T ke dalam G dilakukan dengan algoritma. Diyakini bahwa metode algoritma ini memang menarik dan bisa berguna dalam konteks serupa lain-nya. Ternyata, dalam penelitian bersama dengan Kohayakawa, Rodl dan Rucinski (2008), digunakan teknik analog dalam algoritma yang mengembed graph berde-gree terbatas ke dalam graph acak yang tidak padat.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah diatas, yang merupakan perumusan ma-salah dalam tesis ini adalah bagaimana menentukan bilangan ukuran Ramsey dari pohon (tree).

1.3 Tujuan Penelitian

3

1.4 Manfaat Penelitian

Untuk mengembangkan teori graph terutama tentang bilangan ukuran Ram-sey dari pohon (tree).

1.5 Metodologi Penelitian

Metode dalam penelitian ini adalah studi literatur dari berbagai referensi yang relevan dengan bilangan ukuran Ramsey dari pohon. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut :

1. Menjelaskan tentang pohon (tree).

2. Menjelaskan algoritma embedding pohon (tree).

BAB 2

BEBERAPA ISTILAH DARI GRAPH

Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dan terminologi dalam graph yang akan dipergunakan sebagai landasan berpikir dalam melakukan penelitian ini. Juga akan dibahas beberapa jenis graph yang akan dipergunakan sebagai objek peneli-tian ini. Semua konsep, terminologi dan jenis graph tersebut akan dipergunakan pada bab pembahasan.

2.1 Graph

Berdasarkan teori graph (Robin dan John, 1990) suatu graphGadalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (minimal tunggal) bersama-sama dengan suatu himpunan yang anggotanya adalah pasangan yang tak berurut dan verteks yang berbeda pada G yang disebut edge (mungkin kosong), dan dinotasikan dengan G_{V(G), E(G)_}. Himpunan verteks dari G dino-tasikan dengan V(G) dan himpunan edge dinotasikan dengan E(G). Banyaknya anggota dari himpunan verteks pada G disebut order G dan dinotasikan dengan p(G), atau dengan singkat ditulis p.

Edge e = _{u, v_} atau juga dapat ditulis e = uv adalah sebuah edge dalam G, yaitu u dan v adalah titik-titik ujung darie, maka u dan v dikatakan adjacent

(berelasi) dimana u dan e adalah incedent (terhubung), begitu juga dengan v dan e. Banyaknya edge yang incedent dengan verteks u disebut degree/valensi/derajat

dari u, dengan kata lain degree u adalah banyaknya edge yang memuat u sebagai titik ujung. Degree u dinotasikan dengan deg(u).

Berikut ini diberikan beberapa terminologi pada graph, yaitu:

1. Suatuwalkadalah barisan berhingga dan verteks dan edge secara bergantian, yang diawali dari verteks dan diakhiri dengan verteks. Bentuk umum dari walk

5

dalam hal ini v0 merupakan verteks awal dan vn merupakan verteks akhir.

Jika verteks awal dan verteks akhir dari suatu walk adalah sama, maka walk disebut close walk (walk tertutup).

2. Suatu trail adalah suatu walk dengan setiap edgenya berlainan.

3. Suatu path adalah suatu walk dengan setiap verteksnya berbeda.

4. Suatu cycle adalah suatu path yang memiliki verteks awal sama dengan ver-teks akhir.

5. Length (panjang) adalah bilangan yang menyatakan banyaknya edge yang muncul dalam suatu walk.

6. Edge e adalah sebuah jembatan untuk G jika G₋e tidak terhubung. Secara umum, edge e adalah jembatan untuk suatu graph G jika G₋e mempunyai komponen terhubung lebih dari G.

Suatu graph biasanya dipresentasikan secara grafis, dengan setiap verteks dipresentasikan sebagai titik atau lingkaran kecil, dan setiap edge e=uv dipresen-tasikan dengan sebuah garis atau kurva yang menghubungkan titik-titik yang ber-sesuaian dengan u dan v.

6

Berdasarkan gambar 2.1 maka dapat ditentukan :

1. Order graph Gadalah 6.

2. Degree verteksv1, v2, v3, v4, v5, danv6 masing-masing adalah 2, 4, 3, 2, 4, dan

3.

3. Barisan v1, e1, v2, e7, v6, e5, v5, e8, v2, e2, v3 adalah suatu walk dengan panjang

5.

4. Barisanv3, e9, v5, e8, v2, e7, v6 adalah suatu path dengan panjang 3.

5. Barisanv2, e7, v6, e5, v6, e9, v3, e2, v2 adalah suatu cycle dengan panjang 4.

2.2 Jenis Graph

Dibawah ini akan dibahas beberapa jenis graph yaitu:

1. Nullgraph adalah suatu graph yang memiliki degree 0 (nol) dan dinotasikan dengan N, dengan p adalah order N.

Contoh 2.2.1

v4 v3

• •

• •

v1 v2

Gambar 2.2 Nullgraph berorder 4

2. Graph komplit adalah suatu graph yang lengkap dengan setiap dua verteks yang berbeda harus adjacent. Graph komplit dinotasikan denganKp, dengan

p adalah order K.

7

Bukti : Untuk membuat sebuah edge memerlukan dua verteks. Karena banyaknya cara untuk rnemilih dua verteks dari n verteks adalah C(n,2). Maka banyaknya edge adalah C(n,2) = 1

2(n−1) buah.

Contoh 2.2.2

Gambar 2.3 Komplit graph berorder 3

3. Graph bipartisi (bipartite) adalah suatu graph yang memiliki himpunan ver-teks yang dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian yang saling asing (disjoint), yaitu :

V1(G) ={v1, v2. . . , vi}

V2(G) ={vi+1, vi+2, . . . , vn}

sedemikian sehingga setiap edge dari G menghubungkan sebuah verteks dari V1(G) kesebuah verteks dan V2(G). Sebuah graphbipartisi lengkap, diartikan

bahwa setiap verteks V1(G) dihubungkan ke setiap verteks di V2(G). Graph

bipartisi dinotasikan denganKm, ndenganmadalah jumlah verteks diV1(G)

dannadalah jumlah verteks diV2(G), dan standardisasi, diasumsikanm≤n.

Contoh 2.2.3

8

4. Pohon (Tree) adalah suatu graph yang tidak memuat loop dan edge paralel

(simple Graph)juga tidak memuat cycle, dan dinotasikan dengan T.

Menurut Narsingh Deo (1986) misalkan G adalah suatu graph sederhana, G disebut tree apabila G suatu graph terhubung dan tidak memuat sirkuit. Daun (leaf / terminal verteks) adalah verteks dalam tree yang berderejat 1. Verteks dalam tree yang berderejat >1 disebut verteks cabang.

Contoh 2.2.4

Gambar 2.5 Pohon berorder 9

5. Graph path (path graph)

Graph path dengantverteks dinotasikan dengan P t, yaitu graph yang terdiri dari path tunggal. P t memilikit₋1 edge.

Contoh 2.2.5

Gambar 2.6 Graph path

6. Graph sikel(Cycle graph)

Graph sikel adalah graph sederhana yang setiap verteksnya berderajat dua. Graph sikel dengant verteks dilambangkan denganCt, t≥3 adalah graph

de-ngantverteks yaituv1, v2, . . . , vtdan edge-edge (v1, v2),(v2, v3), . . . ,(vt−1, vt),

9

Contoh 2.2.6

Gambar 2.7 Graph sikel

2.3 Beberapa Notasi dan Defenisi

Untuk suatu graph G, bilangan ukuran-Ramsey ˆr(G) adalah bilangan mini-mum m untuk mana terdapat suatu graph F atas m edge sedemikian sehingga setiap dua-pewarnaan edge-edge dari F memenuhi copy monokhromatik dari G (Erdoset.al. 1978).

Beck (1983) memperkenalkan invariant tree β(_T) yang didefinisikan sebagai berikut. Misalkan V (_T) =V0(T)∪V1(T) merupakan partisi yang ditentukan oleh

dua-pewarnaan unik yang tepat dari himpunan vertex dari _T. Tetapkan ∆i =

∆i(T) = max{dT(v) : v ∈ Vi(T)} dan ni = ni(T) = |Vi(T)| untuk i = 0,1

dan misalkan β(_T) = n0∆0+n1∆1. Dengan meningkatkan hasil yang dicapainya

sebelumnya, Beck (1983) membuktikan bahwa untuk setiap tree _T,

β(_T)/4ˆr(_T)O β(_T) (log_{|T |})12

dan memperkirakan bahwa ˆr(_T) =O(β(_T)). Haxell dan Kohayakawa (1995) meningkatkan secara signifikan batas atas untuk ˆr(_T) =O(β(_T) log ∆ (_T)).

Embedding _T ke dalam G dilakukan dengan alagoritma. Diyakini bahwa metode algoritma ini memang menarik dan bisa berguna dalam konteks serupa lain-nya. Ternyata, dalam penelitian bersama dengan Kohayakawa, Rodl dan Rucinski (2008), digunakan teknik analog dalam algoritma yang menanamkan graph ber-degree terbatas ke dalam graph acak yang tidak padat.

10

Neighborhood dari suatu vertex v _∈V dinotasikan dengan ΓG(v)dn neighborhood

dari himpunan S _⊆V dinotasikan dengan ΓG(S) = ∪v∈SΓG(v).

Definisi 2.3. Diberikan suatu graph G = (V, E), untuk setiap himpunan S _⊂V, didefinisikan

ΓG∗(S) ={v∈V :eG({v}, S) = 1}

sebagai himpunan neigbor unik dari S.

Jika x, t _∈ R_{, ε >0 adalah sedemikian sehingga x∈ [(1−ε)t,(1 +ε)t] maka}

ditulis x _∼t. Juga akan digunakan notasi standar Ωγ(f(n)), Oγ(f(n)) untuk kelas

semua fungsi dengan batas bawah/atas c(γ)f(n), di manac=c(γ)adalah konstanta yang hanya tergantung pada γ. Dalam banyak perhitungan digunakan secara im-plisit ketaksamaan yang sudah diketahui dengan jelas seperti

1 +x6exdana

Ketaksamaan Chernoff juga digunakan secara ekstensif: untuk ε > 0 dan setiap variabel acak Binomial X dengan parametern dan pdiperoleh

P [_|X ₋np_|>εep]6ex_{−Ωε(np)} (2.2)

Definisi 2.4 (Himpunan LE). Dikatakan bahwa suatu himpunan vertex-vertex S dalam suatu graph Gadalah ε-lossles expanding jika _|Γ (S)_\S_{| ∼}ε e(S, V (G)\S),

yaitu, hampir setiap edge dalamS-cut bersesuaian dengan suatu neighbor unik dari S. S disebut dengan singkatan himpunan LE.

Ciri yang berguna dari himpunan LE adalah kekuatannya: sekalipun sebagian besar edge yang incident pada himpunan LE dihapus, sifat LE tetap bertahan. Ini dinyatakan secara formal dalam lemma sederhana berikut.

Lemma 2.5. Misalkan G adalah suatu graph dan S _⊆ V = V (G). Untuk setiap

G′_{⊆G diperoleh}

|ΓG(S)\S|>eG(S, V\S) + 2{|ΓG(S)\S| −eG(S, V\S)}

Bukti. Misalkan N menotasikan jumlah edge e = uv dalam eG(S, V\S)

11

|ΓG(S)\S|6{eG(S, V\S)−N}+n/2 karena setiap edge yang tidak dihitung oleh

N bersesuaian tepat dengan satu neighbor unik dari S dan semua edge yang di-hitung N bisa memberi kontribusi dengan paling banyak n_{/2 neighbor. Diperoleh} −N > 2_{|ΓG(S)\S| −eG(S, V\S)}. Pernyataan terbukti karena |ΓG(S)\S| >

eG(S, V\S)−N.

Definisi 2.6. Misalkan _T adalah suatu pohon (tree) dan V (_T) =V0(T)∪V1(T)

adalah bi-partisi kanonik dari_T. Tetapkan ni =|Vi(T)|dan ∆i = max{dT(v) :v∈ Vi(T)}, untuki= 0,1. Parameterβ(T) didefinisikan sebagaiβ(T) =n0∆0+n1∆1.

BAB 3

LANDASAN TEORITIS

3.1 Garis-garis Besar Kasus yang Lebih Sederhana

Domigos Dellamonica (2009) telah mengkaji kasus spesifik yang lebih seder-hana dimana dapat mengaplikasikan versi teknik yang lebih sederseder-hana dimana da-pat mengaplikasikan versi teknik yang lebih muda dalam membuktikan. Asum-sikan bahwa ni dan ∆i tetap dan memenuhi n0∆0 = n1∆1. Asumsi tak-realistis

ini adalah eksistensi suatu bipartite graph G yang mempunyai kelasV0, V1 dengan

100ni ≤ |Vi|=Ni =O(ni), i= 0,1, sedemikian sehingga semua vertex di dalamVi

mempunyai degreeDi =O(∆i) dan sedemikian sehingga untuk setiapi dan setiap

himpunan S _⊆ Vi, dengan |S| ≤ |Vi−1|/Di diperoleh |ΓG(S)| ≥ (1−ε)Di untuk

suatu bilangan kecilε_≥0. Khususnya,Gadalah suatu bipartite graph untuk mana diperoleh ekspansi lossless pada pokoknya untuk semua himpunan (yang jelas, jika S terlalu besar, itu tidak bisa diekspansikan secara lossless).

Selanjutnya diberikan garis-garis besar bagaimana bisa menentukan copy dari (n0,∆0, n1,∆1)-tree T dalam suatu subgraph G yang cukup padat. Andaikan

bahwa G′ _{⊆ G adalah sedemikian rupa e(G}′_{) ≥ e(G)/2. Dengan menghapuskan} secara berangkai vertex-vertex ber-degree rendah, bisa dipastikan bahwa setiap v_∈V′

i =Vi∩V(G′) mempunyai degree paling kecilDi/4 dan bahwae(G′)≥e(G)/4.

Andaikan bahwaf adalah embedding parsial_T ke dalamG′_{. Suatu vertexv∈} V′ _=V(G′_{) adalah nonaktif terhadap f jika terdapat vertexu ∈V(T) sedemikian} sehingga v = f(u) dan, selain itu, semua neighbor dari u sudah diembed oleh f (yaitu, f−1_(V′_{)⊃ T}

T.

13

Vertex kritis

Unsur pokok dalam skema embedding adalah bagaimana menangani vertex-vertex aktif dalam G′ _{yang mempunyai sedikit neighbor bebas. Vertex-vertex ini} akan disebut vertex kritis. Dikaitkan dengan setiap vertex kritis vsuatu himpunan bagian Rv dari neighborhood bebasnya yang akan dicadangkan secara eksklusif

untuk neighbor terembed dari f−1_{(v) (jika v pernah digunakan dalam embedding,}

untuk lainnya v akan tetap tidak digunakan). Khususnya, vertex-vertex di dalam Rv tidak lagi bebas.

Misalkan c _∈ (0,1) adalah suatu konstanta tetap yang akan didefinisikan kemudian. Suatu vertex dari kelas V′

i(i = 0,1) diklasifikasikan sebagai kritis jika

mempunyai lebih kecil dari cDi neighbor.

Pada dasarnya ada dua kesulitan dalam menangani vertex kritis karena himpu-nan-himpunan bagian yang dicadangkan harus eksklusif, himpuhimpu-nan-himpunan ba-gian tersebut harus saling lepas dari satu dengan lainnya. Selain itu, setelah men-cadangkan vertex, bisa menghasilkan lebih banyak vertex kritis, karena vertex yang dicadangkan tidak lagi bebas. Karena itu, penting dipastikan bahwa jumlah vertex kritis selalu dibatasi.

Untuk menjamin agar tidak terlalu banyak vertex kritis, himpunan vertex yang dicadangkan untuk setiap vertex kritis relatip kecil-berukuran ∆0 atau ∆1

tergantung pada ke dalam kelas mana vertex kritis termasuk. Karena itu, untuk setiap vertex kritis baru, dicadangkan sejumlah kecil vertex (yang kemudian men-jadikan tak-bebas). Di lain pihak, setiap vertex kritis harus mengirimkan sebagian yang berarti dari edge-edge-nya ke dalam himpunan vertex tak-bebas. Dengan sifat LE dan Lemma 2.4, himpunan vertex-vertex kritis haruslah kecil, jika tidak maka ekspansi himpunan LE dari vertex-vertex kritis akan kontradiksi dengan fakta bahwa himpunan vertex tak-bebas tidak besar.

Secara lebih formal, misalkan Ci adalah himpunan vertex kritis dalam kelas

Vi. Jumlah vertex tak-bebas dalamV1−i paling banyakn1−i+|Ci|∆i. Akan tetapi,

setiap vertex v _∈ Ci mengirimkan paling sedikit d′G(v)−cDi ≥ (1/4−c)Di edge

14

saja, himpunan vertex tak-bebas haruslah lebih besar dari pada_|Ci|Di/8≥(8n1−i/

Di+|Ci|/2)Di/8 =n1−i+|Ci|Di/16> n1−i+|Ci|∆i jika dipilihccukup kecil dan

Di/∆i cukup besar.

3.2 Skema Embedding (Embedding Scheme)

berikut adalah Skema Embedding pohon (Domigos, 2009)dengan langkah-langkah sebagai berikut: Ambil akar sebarang v1 ∈V1(T) dan petakan itu ke suatu

vertex sebarang dalam V′

1. Di setiap langkah diambil suatu vertex yang sudah

em-bedded dan embed semua children sekaligus. Andaikan bahwa diperoleh embedding parsial f dari _T ke dalam G′_{. Misalkan C adalah koleksi dari vertex-vertex} kri-tis dan _R = _{Rv}v∈C adalah famili dari himpunan-himpunan yang dicadangkan.

Misalkan u _∈V (_T) adalah vertex yang embedded dan w=f(u).

Jika w kritis maka Rw ∈ R memuat vertex yang cukup untuk embed setiap

child dariu. Tidak ada vertex kritis lainnya yang bisa diciptakan setelah embedding ini terjadi (karena tidak ada vertex bebas digunakan). Jika w _∈ V′

i tidak kritis,

maka jumlah neighbor bebas dari w paling sedikit sama dengan cDi ≫ ∆i, yang

lebih dari cukup untuk embed setiap child dari u. Setelah embedding children dari u (dengan memilih secara sewenang-wenang vertex-vertex dari antara neighbor-neighbor bebas dari w), bisa diciptakan vertex kritis baru.

Vertex kritis baru mempunyaicDi neighbor bebas sebelum perluasan

embed-ding di atas. Karena perluasan hanya bisa menjadikan ∆i vertex tak-bebas dan cDi ≫ ∆i, vertex kritis baru ini tetap mempunyai banyak neighbor bebas persis

setelah perluasan.

Ambil salah satu vertex kritis baru (yang mungkin banyak) dan pilih him-punan bagian-∆i sebarang dari neighborhood bebasnya. Bentuk

15

Andaikan bahwaCj _⊂V_i′adalah koleksi darij vertex kritis pertama dalamV_i′ yang dibentuk dengan perluasan embedding. Misalkan _{Rv}v∈Cj adalah kelompok himpunan bagian-∆i-himpunan bagian-∆i yang saling lepas sedemikian sehingga

Rv mungkin hanya memuat neighbor bebas dari v. Tetapkan Xj =S_v∈CjRv.

Jika terdapat suatu vertex (non-kritis)wyang mempunyai lebih kecil daricDi

neighbor bebas di luar dari Xj _{ditetapkan C}j+1 _=Cj _{∪ {w} dan diperoleh}

kelom-pok baru dari himpunan-∆i-himpunan-∆i yang saling lepas {Rv}v∈Cj+1 seperti di atas. Juga ditetapkan batasan tambahan untuk kelompok ini: Xj _{⊂ X}j+1_{, yaitu}

begitu suatu vertex dipilih untuk dicadangkan menjadi vertex kritis, vertex tersebut akan dicadangkan untuk suatu vertex kritis (tetapi tidak selalu untuk vertex yang memang awalnya dipasangkan kepadanya). Batasan ini penting karena digunakan fakta bahwa himpunan vertex-vertex tak-bebas adalah naik monoton. Khususnya, begitu suatu vertex diklasifikasikan sebagai kritis, vertex tersebut selalu mempunyai lebih kecil dari cDi neighbor bebas.

Setelah prosedur di atas selesai, setiap vertex tak-kritis dariV′

i(i= 0,1)

mem-punyai setidaknya cDi neighbor bebas dan setiap vertex kritis mempunyai suatu

himpunan eksklusif dari vertex-vertex yang dicadangkan. Karena itu, dimungkinkan melanjutkan embedding sampai tree keseluruhan embedded.

Yang jelas, perlu ditunjukkan bahwa dimungkinkan memperoleh kelompok himpunan-himpunan dicadangkan di atas. Setiap vertex kritis baru mempunyai paling sedikit cDi−∆i neighbor yang bebas atau dicadangkan untuk sementara ke

vertex kritis baru lainnya. Dengan menggunakan sifat LE dari graph dan pernya-taan tipe-Hall, tidak sulit memperoleh kelompok baru dari himpunan-himpunan dicadangkan sepanjang j =_|Cj_{| tidak terlalu besar. Akan tetapi, karena}

mempun-yai batas atas global untuk jumlah vertex kritis, strategi ini selalu berhasil.

3.3 Sifat-sifat dari Bipartite Graph Acak

16

tuk mengatasi hal ini ditunjukkan bahwa terdapat banyak himpunan LE di ”tempat yang berguna”, yaitu sebagian besar neighborhood dari vertex kaya akan himpunan LE.

punan bagian T _{⊆ T}(w) dengan _|T_{| ≥}v arepsilonD1 diperoleh

himpunan-himpunan yang saling lepas T1, . . . , Tr, masing-masing dengan kardinalitas

min_{εD1/8,εN1/(4D0)}, sedemikian sehingga

Dengan menggunakan metode probabilistik ditunjukkan bahwa ada graph yang memenuhi Sifat (3.4).

Teorema 3.5. Andaikan bahwa n0 ≥ n1 dan n0∆0 = n1∆1. Misalkan 0 < ε <

1/100 diberikan. Terdapat C = C(ε) sedemikian sehingga, dengan probabilitas pa-ling kecil 1₋ε, bipartite graph acak GN0,N1;p = (U, W;E), dengan N0 =Cn0, N1 = Cn1 dan p= ∆0/n1 = ∆1/n0 < ε/8 memenuhi Sifat (3.4).

17

Lemma 3.6. Misalkanα _∈ (0,1] dan _T adalah tree dengan (bipartite) kelas yang mempunyai kardinalitas n0 dan n1. Diperoleh G=K4n0/α,4n1/α→αT.

Bukti. Mula-mula perhatikan bahwaG mempunyai 16n0n1/α2 edge. Bilap≥∈/8,

harus diperoleh β(_T)_≥pn0n1≥ εn0n1/8 dan karenanya e(G) =O(β(T)).

Misalkan G′ _{⊆ G adalah suatu subgraph dengan e(G}′_{) ≥αe(G). Sementara} terdapat suatu vertexvdalam kelas kiri (atau vertexwdalam kelas kanan) dengan edg G′_{(v) < n}

1 (atau edgG′(w) < n0) hapus v (atau w) dari G′ bersama-sama

dengan semua edge yang incident ke vertex yang dihapus. Jumlah total edge yang dihapus dibatasi di atas oleh (4n0/α)n1+ (4n1/α)n0 =α/2e(G). Karena itu, graph

tersisa G′ _{tidak kosong dan mempunyai degree minimum di kiri paling keciln}

1 dan

degree minimum di kanan paling kecil n0.

Sekarang bisa embed secara induksi setiap tree _T dengan kelas yang mem-punyai kardinalitas n0 dan n1. Ambil suatu akar sebarang v1 ∈V1(T) dan tetapkan

f :v1→w1 di mana w1 adalah vertex sebarang pada kelas kanan dari G′.

Andaikan bahwa diperoleh embedding parsial f dari _T ke dalam G. Ambil suatu vertex v _∈ Vi(T), i = 0,1, yang telah embedded bersama-sama dengan

su-atu w _∈ Γ_T(v) yang belum embedded. Karena degree dari f(v) dalam G′ _paling kecil sama besarnya dengan _|V1−i(T)|, harus ada suatu w′ ∈ TG(f(v)) sedemikian

sehingga w′_6∈(V

1−i(T)). Perluas f dengan memetakan w kew′. Bukti. Bukti Teorema 3.5 dibagi menjadi beberapa klaim.

Klaim 3.7. Misalkan G = Gn0,N1;p = (V0, V1;E) adalah bipartite graph acak dan S _⊆ Vi adalah suatu himpunan dengan s vertex. Maka d ∗(S) adalah variabel binomial dengan parameter N1−i dan sp(1−p)s−1. Selain itu, jika sp ≤ ε maka

E[d_∗(S)]_≥(1₋2ε)spN1−i.

Bukti. Nyatakan d_∗(S) sebagai penjumlahan dari variabel-variabel indikator Iv =

I[eG(v, S) = 1], v ∈V1−i. Karena Iv adalah saling bebas dan masing-masing

18

karena (1₋p)_≥ e−p−p2 _≥e−2p (karena pleqε/s_≤1_/2).

Klaim 3.8. Dengan probabilitas paling kecil 1₋3ε/4 terdapat W′ _{⊆ W dengan} |W′_{| ≥ (1−ε)N}

1 untuk mana (i) dan (ii) berlaku.

Bukti. Perhatikan bahwa untuk setiap vertexv, diperoleh E[deg(v)] =Di, di mana

i = 0 jika v _∈ U dan i = 1 jika v _∈ W. Dengan ketaksamaan Chernoff, untuk setiap vertex tetap v,

P[_|deg(v)₋Di| ≥εDi]≤exp{−Omegaε(Di)} ≤ε4/4).

untuk C yang cukup besar.

Catat bahwa degree-degree dalmW adalah variabel-variabel acak saling bebas (karena graph adalah bipartite). Dengan diketahui suatu vertex tetap w _∈ W, Ditaksir probabilitas bahwa lebih dari εD1 neigbor-nya mempunyai degree 6∼ε D0

yang disyaratkan berdasarkan deg(w)_∼εD1. Untuk setiapu∈ T(w), degree dariu

satu lebih besar dari jumlah neighbor-nya dalam W ₋w, yang merupakan variabel binomial yang tak tergantung pada vertex lainnya dalam _T(w) dan pada w itu sendiri. Karenanya, probabilitas mempunyai εDi neighbor yang gagal mempunyai

degree ”yang tepat” dibatasi oleh

Misalkanε0menotasikan kejadian di mana himpunan vertex-vertex yang

mem-punyai degree pengecualian atau memmem-punyai banyak neighbor ber-degree penge-cualian mempunyai paling banyak εN1/2 elemen. Karena perkiraan jumlah vertex

sedemikian lebih kecil daripada ε2_N

1/4, menurut ketaksamaan Markov, maka

di-peroleh P[ε0]≥1−ε/2.

Selanjutnya, dibuktikan bahwa kejadian ε1 = {untuk semua S ⊆ W dengan

s = _|S_{| ∈} h ε

19

Dengan ketaksamaan Chernoff, probabilitas bahwa satu himpunan tetap S dalam ε1 mempunyaid∗(S) < (1−ε)sD1 paling banyak exp{−Ωε(sD1)}. Batas

gabungan sederhana memberikan batas atas untuk probabilitas bahwa suatu him-punan S mempunyaid_∗(S) kecil, yaitu

ε/(4p)

D0/ε < ε/64. Khususnya, penjumlahan yang terakhir paling besar sama dengan

P∞

s=1(ε/8)

n

< ε/4.

Untuk membuktikan (ii) asumsikan bahwa ε1 berlaku. Andaikan bahwa

ter-dapat himpunan-himpunan yang saling lepas S1, S2, . . . , Sk sedemikian sehingga

|Si| ≤ε/(8p)−1 dan d∗(Si)<(1−ε)D1|Si|. Disebut himpunan-himpunanSi

se-demikian non-expanding. Andaikan bahwa S =Sk′

i=1Si(k′6k) adalah sedemikian

rupa sehinggaε/(8p)_{≤ |}S_{| ≤}2(ε/(8p)₋1) _≤ε/(4p). Makad_∗(S)_≤Sk′

i=1d∗(Si)<

(1 ₋ε)D1|S| yang kontradiksi dengan ε1. Karena itulah dengan menghilangkan

himpunan-himpunan non-expanding dari W secara berangkai akhirnya dibuang se-muanya sambil menghapus paling banyak ε/(4p) =εN1/(4D0) vertex.

Secara keseluruhan, jika ε0 dan ε1 berlaku, perlu menghapuskan lebih kecil

dariεN1vertex dariW untuk memperoleh (i) dan (ii). KarenaP[ε0∧ε1]≥1−3ε/4

klaim terbukti.

Tetapkan s0 = εN1/(D0D1). Asumsikan bahwa s0 ≥1 karena untuk lainnya

(iii) adalah trivial. Ditaksir probabilitas bahwa S tetap _⊆ W dengan s = _|S_{| ∈} [s0,3s0] dan |T(S)| ∼εD1|S| adalah sedemikian sehingga terdapat T ⊆ T(S)

de-nganεsD1 ≤ |T|yang mempunyaid∗(T)<(1−10ε)D0|T|.(S, T) sedemikian akan

disebut pasangan buruk. Aplikasikan Klaim 3.7 pada subgraph acak G[U, W_\S] dan himpunan T (perhatikan bahwa telah dipaparkan edge-edge yang incident ke S tetapi tidak edge Glainnya, karenanya g[U, W_\S] adalah graph acak yang tidak tergantung pada apa yang telah dipaparkan). Catat bahwa p_|T_{| ≤} (1 +ε)D1sp ≤

3(1 +ε)εN1

20

Dengan mengaplikasikan ketaksamaan Chernoff, diperoleh bahwa probabilitas bahwa pilihan tetap atas (S, T) menjadi pasangan buruk bisa dibatasi di atas oleh exp_{−Ωε(D0|T|)}. Batas gabungan untuk semua pilihan S dan semua pilihan

T memberikan batas atas berikut untuk probabilitas suatu pasangan buruk yang terjadi dalam G:

Dengan mengganti kemunculans dan t dalam penyebut dengan batas bawah (masing-masings0 danεs0D1) dan kemunculannya dalam pembilang atau eksponen

dengan batas atas (masing-masing 3s0 dan 6s0D1) diperoleh

21

Menurut persamaan (3.2), ε2 berlaku dengan probabilitas paling kecil sama dengan

1₋ε/16.

Klaim 3.9. Dengan bersyaratkan ε0, ε1 dan ε2, terdapat W′ ⊆W yang memenuhi

(i), (ii), (iii).

Bukti. Mula-mula, misalkan W′ _{adalah himpunan yang diperoleh dengan Klaim} 3.8 (di sini digunakan ε0 dan ε1). Andaikan bahwa terdapat S1 ⊆ W′ dengan

S1 ≤s0−1 dan ΓG(S1 ∼εD1S1 sedemikian sehingga terdapat T1 ⊆ΓG(S1) dengan

√

εD1S1 ≤T1dan d∗(T1)<(1−5√ε)D0T1. Hapus S1 dariW′. Ulangi prosedur ini

sampai tidak ada lagi himpunan buruk atau sampai gabunganS =_∪iSimempunyai

paling sedikits0elemen. Jika terdapat tahap (pertama)k di manaS =Pk_i=1|Si| ≥

s0, juga diperolehS ≤2s0 karena selalu ditambahkan himpunan-himpunan dengan

lebih kecil daris0 elemen. Selanjutnya ditunjukkan bahwaS tidak bisa mempunyai

lebih dari s0 elemen.

Andaikan bahwa s0 ≥ S ≥ 2s0 dan misalkan T = Pk_i=1Ti ⊆ΓG(S). Dengan

mengeksploitasi sifat LE dariW′_{akan ditunjukkan bahwaT mendekati =}Pk

i=1|Ti|

εD1S. Di lain pihak, karena W′ mula-mula diperoleh dari

Klaim 3.7, maka setiap vertex dari W′ _{mempunyai degree paling besar (1 +ε)D}

22

<(1₋10ε)D0|T|,

kontradiksi dengan ε2. Karenanya, dengan menghapuskan kurang dari s0 elemen

dari W′ _{bisa dijamin bahwa (iii) berlaku bersama-sama dengan (i) dan (ii).}

Klaim 3.10. Jika εN1 < D0D1 maka a.a.s. setiap w∈W untuk mana deg(w)∼ε

D1 dan setiap T ⊆Γ(w) dengan T ≥ε D1 memenuhi syarat-syarat dari Sifat (3.4).

(iv).

Bukti. Andaikan bahwa Jika εN1 < D0D1. Misalkan w ∈ W adalah tetap dan

asumsikan bahwa deg(w) _∼ε D1 (karena untuk lainnya w 6∈ W′). Misalkan T =

{t1, t2, . . . , tm} ⊆Γ(w) adalah himpunan sebarang dengan m ≥ε D1. Dalam graph

acak g[U, W_\{w_}], vertext1 mempunyai perkiraan p(N1−1) ∼ε/2 D0. Karenanya,

dengan ketaksamaan Chernoff,

P[deg(t1)∼εD0]≥1−exp{Ωε(D0}}.

Akan diusahakan membentuk suatu himpunanT1 dengank = min{εD1/8, εN1

/(4D0)} elemen yang memenuhi syarat (iv). Misalkan X ={w}. dikatakan bahwa

ti berhasil jika Γ(ti)\X ∼ε D0 dan deg(ti) ∼ε D0, untuk lainnya ti gagal. Jika ti

berhasil, ditambahkan t1 pada T1 dan Γ(ti) pada X. Jikati gagal, baikX maupun

T1tetap tidak berubah. JikaT1memuatkelemen maka diperolehT1akhir. Dengan

konstruksi, setiap T′

1 ⊆T1 adalah sedemikian sehingga d∗(T1′)∼εD0T1′.

Andaikan bahwatℓ adalah elemen terakhir yang ditambahkan pada T1. Maka

dimulai membangun T2 ⊂ {tℓ+1, . . . , tm} dengan cara yang sama dengan

memba-ngunT1” tetapkanX ={w}dan tambahkan secara berangkai vertex-vertexti yang

berhasil pada T2 dan neighborhood-nya Γ(ti) pada X. Ulangi prosedur untuk Ti

lainnya sampai dibangun Tr atau sampai vertex tm dicapai. Catat bahwa selalu

dipunyai X _≤ εN1

4D0(1 +ε)D0 + 1≤ε N1/2. Karena itu, dengan ketaksamaan Cher-noff, probabilitas bahwa ti tetap gagal paling besar sama dengan exp{−Ωε(D0)}

untuk setiap i.

Jika tidak dapat dibangun koleksi T1, . . . , Tr yang diinginkan maka paling

sedikit m/8 elemen dari T gagal. Tentu saja, diperlukan rk elemen berhasil, di mana 3m/4_≤rk _≤3m/4 +kleq3m/4 +εD1/8≤7m/8. Sekalipun barisan variabel

23

variabel-variabel Bernoulli yang saling bebas. Karena itu, probabilitas bahwa barisan tetap dari (m/8) _≥ε D1/8 vertex gagal paling besar exp{−Ωε(mD0/8)} =

exp_{−Ωε(D0D1)}. Perhatikan batas gabungan untuk (1) semua pilihan w ∈ W

yang mempunyai deg(w) _∼ε D1; (2) semua himpunan bagian T ⊆ Γ(w) dengan

T _≥ε D1; (3) semua himpunan bagian−(m/8) yang mungkin dari vertex-vertex T

yang gagal. Probabilitas bahwa gagal dibangun koleksi yang diinginkan untuk suatu vertex paling besar sama dengan

N122D122D1exp{−Ωε(D0D1)} →0apabilaD0D1 → ∞, (3.5)

karena D0D1 >ε N1. (Catat bahwa bisa dijadikan D0D1 sebesar yang

dibu-tuhkan dengan mengambilC yang cukup besar). Dengan demikian, klaim terbukti. Adalah fakta yang sudah diketahui dengan jelas bahwa jumlah edge di an-tara himpunan-himpunan berukuran linier dalam suatu graph acak adalah a.a.s. sangat mendekati nilai yang diperkirakan. Tentu saja, misalnya ε3 adalah

keja-dian yang bersesuaian dengan sifat (3.4).(v) dan misalkan ε4 menotasikan kejadian

yang diuraikan oleh Klaim 3.9. Catat bahwa kejadian-kejadian ε0, . . . , ε4 berlaku

bersama-sama dengan probabilitas yang paling kecil sama dengan 1₋ε. Dengan bersyaratkan semua kejadian tersebut, (v) dipenuhi (dengan ε3), Klaim 3.8

men-jamin (i)-(iii) dan ε4 bersama-sama dengan (i) mengimplikasikan (iv).

Dalam bagian ini dibuktikan lemma yang akan digunakan untuk menjamin agar langkah-langkah tertentu dalam skema embedding tree bisa dilaksanakan.

Lemma 3.11. Misalkan S1, . . . Sm adalah koleksi himpuna dan b ∈ Nm adalah sedemikian rupa sehingga, untuk setiap I _⊆[m], diperoleh _∪i∈ISi ≥

P

i∈Ibi−.

Bukti. Direduksi masalah ini menjadi masalah pencocokan. Perhatikan suatu bi-partite graph H dengan kelas vertexA=_∪m

i=1{i}[bi] danB =∪mi=1Si dan edge-edge

yang diberikan oleh _{(i, j), u_}untuk semua i_∈[m], j _∈[bi] dan u∈Si. Perhatikan

bahwa menambahkan bi copy suatu vertex i yang mempunyai neighborhood si

un-tuk semua i.

Diberikan himpunanA′_{⊆A, misalkanI =I(A}′_{) adalah proyeksi dariA}′_pada koordinat pertama. Diperoleh A′_≤ P

24

M terhadapA. DariM diperoleh himpunan-himpunanS_i′_⊆Si dengan memisalkan

S′

i adalah himpunan elemen-elemen yang dicocokkan dengan (i,1), . . . ,(i, bi).

Andaikan bahwa terdapat famili yang saling lepas _{S”i ⊆ Si}ki=1, k ≤ m,

dengan S”i = bi. Dengan melaksanakan perubahan-perubahan lokal kecil pada

famili _{S′

Khususnya, karena bilangan ini selalu non-negatip, dengan paling banyakPk

i=1|Si′∆Si′|

tahap bisa diperoleh famili yang diinginkan.

Lemma 3.12. Misalkan G = (U, W;E) adalah graph dengan W′ _{⊆ W yang}

memenuhi Sifat (3.4). Misalkan α_≥α0(ε) = Ω(√ε).

Andaikan bahwa S _⊆ W′_{, dengan S ≤}

ε N1/(D0D1), adalah sedemikian rupa

sehingga terdapat famili yang saling lepas _{Av ⊂ Γ(v)}v∈S dan famili (tidak perlu saling lepas) _{Bx ⊂ Γ(x)}x∈Sv∈SAv dengan Av = αD1 untuk setiap v ∈ S dan Bx =αD0 untuk setiap x∈ ∪v∈SAv.

Maka terdapat famili yang saling lepas dari himpunan₋∆1{Xv′ ⊆Av}v∈S dan famili yang saling lepas himpunan ₋∆0{Yv,x ⊆Bx}v∈S,x∈Xv.

Bukti. Akan diasumsikan bahwaD0D1 ≤ε N1karena untuk lainnyaS =φdan tidak

ada yang perlu dibuktikan. Famili-famili yang diinginkan akan diperoleh dengan tiga tahap.

Dalam tahap satudiperoleh famili yang saling lepas_{X′

v ⊆Av}v∈S

sedemi-kian sehingga, untuk setiap v_∈S, diperoleh bahwaX′

v =m = (α−O(

√

ε))D1 dan

setiap u _∈ X′

v mempunyai deg(u)∼ε D0. Ini dilakukan dengan menghapus paling

25

Dalam tahap dua diperoleh famili yang saling lepas (

ε)D0XS′. Dengan menggunakan hipotesa degree atas elemne-elemen

dari himpunan X′

v dan dengan mengaplikasikan Lemma 3.6 disimpulkan bahwa

Dengan menggunakan Lemma 3.11 bisa diperoleh kelompok himpunan-himpunan saling lepas yang diinginkan Y′

v ⊆Yv dengan Yv′= (α−O(√ε))D0m untuk semua

v_∈S.

Dalam tahap tiga diperoleh kelompok yang dijelaskan dalam pernyataan lemma ini.

Pasangan (X′

v, Yv′) untuk suatu v ∈S. Himpunan−∆1Xv ⊂Xv′ dengan cara

berikut. Pertama, himpunan Xv ← φ. Andaikan bahwa diperoleh famili yang

saling lepas himpunan₋∆0{Yv,x ⊂ Yv′}x ∈ Xv. Sementara Xv < ∆1 dan terdapat

BAB 4

HASIL UTAMA

4.1 Skema Embedding untuk Tree (An Embedding Scheme For Trees)

Dalam bagian ini dipresentasikan Algoritma 1, yang embeds tree dalam graph yang cocok. Algoritma ini mengambil keuntungan dari sifat ekspansi lossless dari host graph sewaktu membangun embedding tree. Domingos Dellamonica (2009) walaupun banyak teknik dan ide yang terlibat dalam algoritma ini telah dibahas secara sepintas dalam Bagian 3.1, namun banyak rincian baru yang dibahas secara tersendiri dalam bagian ini.

Analisa formal algoritma dilakukan melalui beberapa invarian yang harus be-nar di awal setiap iterasi. Begitu invarian diketahui berlaku di awal setiap ite-rasi, harus dibuktikan bahwa algoritma tidak dibatalkan. Jika algoritma tidak dibatalkan maka algoritma berhasil dalam embedding tree, yang merupakan tujuan yang ingin dicapai.

Invariant 4.1. Di awal setiap iterasi Algoritma 1 (baris 1.10), berlaku yang berikut:

I. (Kardinalitas dari Z), diperoleh

Z _∩U _≤fM(T)∩U +D+C(α2−rCD1)

dan

Z _∩W _≤fM(T)∩W +U(α22−rC−rUD0D1);

II. (Vertex nonkritis/tak-berbahaya) untuk setiap u _∈U_\D, w _∈W_\C , dipero-leh

DegG(u, W\Z)≥ αD₂0 dan degG(w, U\Z)≥ αD₂1 ;

III. (Vertex berbahaya) diperoleh_D < ε3_N

0 dan, untuk setiapu∈ D ⊆U,

27

IV. (Vertex kritis) untuk setiap w_{∈ C ⊆}W diperoleh DegG(w, Z∩U)≥fracαD12 ,

dan himpunanSw ∈S mempunyaiα2−rCD1 elemen yang dicanangkan secara

eksklusif untuk embedding children dari w; selain itu, jika w_{6∈ U}, maka Sw\D = #{u∈Sw :textdegG(u, W\Z)≥αD0/2} ≥Sw/2 =α2−1−rCD1;

(4.1)

V. (Vertex ultra-kritis) untuk setiap w_{∈ U ⊆ C},

#_{u_∈Sw : degG(u, W\Z)≥αD0/2} > Sw/2 =α2−1−rCD1; (4.2)

selain itu, juga diperoleh S”w ∈ SU dengan S”w = ∆1 dan famili himpunan

−∆0{Zw,u}u∈S”w ⊆ W, di mana S”w dicanangkan untuk children dari w dan Zw,u dicanangkan untuk children dari u(grandchildren dari w).

Algoritma 1: Embedding trees

Input : Tree _T dengan akar r_∈V1(T);

Graph G = (U,W;E).

Output : Embeddding _T ke dalam G yang digambarkan dengan matching M.

1.1 M _{← {}(r,min(W))_};// inisialisasi embedding 1.2 Q_{← {}min(W)_};// antrian vertex-vertex aktif 1.3 C _←φ;// vertex-vertex kritis

1.4 _{D ←}φ;// vertex-vertex berbahaya dari U

1.5 S _← φ;// neighborhood dicanangkan (famili himpunan bagian U, S = {Sv}v∈C)

1.6 U _← φ ; // vertex-vertex ultra-kritis

1.7 SU ←φ;// neighborhood dicanangkan untuk children dari vertex

ultra-kritis

28

1.9 Z _{← {}1_};//himpunan vertex yang digunakan, dicanangkan atau berba-haya

1.10 SementaraQ₆=φ kerjakan

1.11 p_←pop(Q);// dapatkan suatu vektor aktif 1.12 Jika p_∈U maka

1.15 Pergi ke 1.10 ; // lompat ke iterasi berikutnya 1.16 Cp ← {v1, . . . , vl:vi adalah child dari fM−1(p)} ;

1.17 Jika p_6∈C maka

1.18 Sp ←ΓG(p)\Z ; // jikap∈ C maka Sp∈S sudah didefinisikan

1.19 Tentukan himpunan bagian S′

p = {u1, . . . , ul} ⊆ Sp dan famili yang

Input : M - embedding saat ini, f = fM adalah fungsi yang bersesuaian;

P - suatu vertex dalam graph host yang sudah digunakan dalam embedding; Sp - children dari p harus dipetakan ke dalam himpunan ini;

{Zp,u}u∈Sp - jika suatu childv dari f−

1_{(p) dipetakan ke u∈S}

p, children dari

v akan dipetakan keZp,u.

29

S′

p ⊆ Sp - vertex yang digunakan untuk children dari f−1(p);

{Z′

p,u ⊆Zp,u}u∈S′

p - vertex yang digunakan untuk grandchildren dari f −1_(p).

(tidak perlu saling lepas) α2−rU _{himpunan −D}

0{Yw,u ⊆ ΓG(u)\Z}w∈U′_,u

30

3.12 Z′_←Z′_∪S

w∈R,u∈S′

wYw,u ; 3.13 R _←R_∪U′

3.14 D _{← {}x_∈U : deg_G(x, W_\(Z_∪Z′_{))< αD}

0/2}

3.15 Hingga U′_{=φ ;}

3.16 Tentukan himpunan S”w ⊆ Sw′ dengan S”w = ∆1, untuk w ∈ R, dan

famili saling-lepas himpunan₋∆0{Zw,u⊆ Yw,u)w∈R,u∈S”w; jika tidak mungkin, batalkan Algoritma 1 ;

3.17 _{D ←}D, Z _←Z _∪Z′_{∪De ;} 3.18 SU ←SU ∪ {S”w}w∈R ;

3.19 W _←W _{∪ {}Zw,u}w∈R,u∈S”w ;

Prosedur menentukan vertex kritis (Z,C,D)

Input : Z - himpunan vertex yang digunakan/dicanangkan/berbahaya; C - koleksi vertex kritis saat ini;

D- himpunan vertex yang akan ditandai berbahaya. Output : C′ _{- himpunan vertex kritis yang ditemukan;}

{Sw ⊆ΓG(w)\Z}w∈C′ - famili saling lepas dari himpunanα2−rCD₁

4.1 C′_←vod 4.2 X _←φ

4.3 Sementara terdapatv_∈W_\(C_∪C′_{) dengan deg}

G(v, U\(Z∪X∪D)) <α D1/2

Kerjakan 4.4 C′_←C′_+v 4.5 Jika C′_{+C >}

ε N0/(4D1) maka

31

4.7 Tentukan famili saling-lepas dari himpunan₋α2−rCD1{Sw ⊆ΓG(w)\Z}w∈C′

yang mencakup X; jika tidak mungkin, batalkan Algoritma 1 ; 4.8 X _{← ∪}w ∈C′Sw ;

4.9 Kembali (C′_,{S

w}w∈C′)

Algoritma tidak batal pada tentukan-vertex-kritis. Andaikan bahwa algoritma batal pada baris 4.6. Ini berarti bahwa terdapat suatu himpunan _{C ∪} C′ _sedemikian sehingga setiap vertex v _∈ C _∪C′ _{mengirimkan paling sedikit αD}

1/2 ke dalam

(Z_∪D)_∩U, yang mempunyai ukuran yang dibatasi oleh

Teorema 4.2. Misalkan n0, n1,∆0,∆1 diberikan. Andaikan bahwa G′ = (U, W;E)

adalah suatu graph yang memenuhi Sifat (3.4) untuk suatu ε >0, N0 =Cn0, N1 =

Cn1 (dengan C cukup besar) dan p = max{∆0/n1,∆1/n0} < ε/8. Misalkan W′ ⊂

W ditentukan oleh Sifat (3.4), D0 =pN1 dan D1 =pN0.

Terdapat suatu konstanta absolut c > 0 sedemikian sehingga berlaku yang berikut. Misalkan α = c√ε dan G _⊆ G′_{[U, W}′_{] sedemikian sehingga d}

G(u)≥ αD0

untuk semua u_∈U_∪V(G) dandG(w)≥αD1 untuk semuaw∈W′∪V(G). Maka,

Algoritma 1 embedding setiap tree₋(n0,∆0, n1,∆1)T ke dalam G.

Bukti. Akan digunakan notasi dan himpunanU _←U_∪V(G) danW _←W′_∩V(G). Karena G mempunyai kelas U dan W. Selain itu, akan diasumsikan bahwa W = {1,2, . . . , W_}. Bukti dibagi menjadi dua bagian:

1. Invariant I-V berlaku di awal setiap iterasi;

2. Algoritma 1 tidak batal bila input terdiri dari tree-(n0,∆0, n1,∆1)T (dengan

akar sebarang r _∈V1(T)) dan Gseperti di atas.

Untuk kasus dasar, kita peroleh Z = _{1_} = Z_∩W = fM(T) dan tidak ada

vertex kritis atau berbahaya. Maka tidak sulit memeriksa bahwa semua invarian berlaku.

32

{Zp,u}u∈S”p ⊆ W digunakan untuk grandchildren p. Karenanya, dalam kasus ini,

invarian tetap dipertahankan dan algoritma tidak batal.

Andaikan bahwa semua invarian berlaku di awal suatu iterasi dan bahwa p _6∈ U. Akan dibuktikan bahwa semua invarian berlaku di awal iterasi berikutnya (jika algoritma tidak batal).

Bukti dari Invarian I. Dengan memeriksa tahap-tahap di mana Z di-update (li-hat baris 1.9, 1.22, 3.17), tampak jelas bahwa, di akhir iterasi, Z _∩ U terdiri dari vertex-vertex yang digunakan dengan embedding (fM(T)∩U), vertex-vertex

berbahaya (yaitu,_D) dan vertex-vertex dicadangkan (_∪w∈CSw) yang menghasilkan

C(α2−rC_D

1) vertex. Juga tampak jelas bahwa Z∩W mengandung vertex yang

di-gunakan dalam embedding (fM(T)∩W) dan vertex ditambahkan padaZ′ dengan

baris 3.12, yang dibatasi di atas oleh P

w∈USwα2−rUD0. Invarian dipenuhi.

Bukti Invarian II. Dianalisa Prosedur pulihkan-invarian. Melalui konstruksi (lihat baris 4.3), segera setelah Prosedur tentukan vertex krisis kembali (baris 3.5) dan vertex kritis dikonsolidasikan (khususnya, Z sekarang mengandung neighborhood yang baru dicadangkan), tidak ada vertex w _∈ W_\C memenuhi degG(w, U\(Z ∪

D))_≤αD1/2.

Jika_U kosong di awal suatu iterasi loop dalam, loop akan lengkap pada iterasi tersebut tanpa mengubah D atau Z lebih lanjut. Khususnya, syarat degree untuk vertex non-kritis (W_\C) dijamin di akhir iterasi dan bagian Invarian II ini berlaku pada iterasi berikutnya.

Kasus u _∈ U_\D lebih mudah: setiap vertex yang tidak memenuhi syarat degree di akhir iterasi sudah berbahaya atau menjadi berbahaya (lihat baris 3.2 dan 3.14).

Bukti Invarian III. Bagian degree dari Invarian III segera diperoleh dari update yang dilakukan untuk _D (baris 3.2 dan 3.14) dan fakta bahwa Z tidak pernah kehilangan elemen. Fakta bahwa _{D ⊂}Z mudah diperoleh dari baris 3.17.

33

berikutnya). Catat juga bahwa vertex berbahaya v haruslah mempunyai, di akhir iterasi, degG(v, Z ∩W) ≥ αD0/2. Sekarang kita gunakan Sifat (3.4).(v), untuk

memperoleh batas atas _D. Diperoleh

Z_∩W _≤n1+ 2_Dε₀N_D1₁α22−rC−rUD0D1 ≤εN1.

Di lain pihak, e′

G(D, Z∩W)≥ D(αD0/2) =pD α₂N1

. Karenanya, jika_{D ≥}ε3_N

0 makaZ∩W mestilah mempunyai paling sedikitαN1/4>

εN1 vertex, suatu kontradiksi.

Bukti Invarian IV. Hanya ada satu tempat dalam algoritma di mana himpunan vertex kritis bertumbuh hanya setelah memanggil Prosedur tentukan vertex kri-tis (1 3.5) vertex krikri-tis ini dikonsolidasikan. Rincian subtil namun sangat pen-ting dari tentukan-vertex-kritis terdiri dari mengharuskan agar famili yang dipe-roleh dalam baris 4.7 mencakup himpunan X (yang merupakan gabungan dari himpunan-himpunan dicadangkan dari iterasi sebelumnya). Karenanya, suatu ver-tex yang mempunyai sejumlah kecil neighbor bebas hanya bisa mempunyai lebih sedikit neighbor dalam iterasi berikutnya.

Juga perlu dicatat bahwa begitu suatu elemen ditambahkan padaD, itu tetap di dalamD(dan selanjutnya ditambahkan pada_D). Segera kemudian bahwa jumlah edge yang dikirim vertex kritis ke dalamZtidak bisa menjadi lebih kecil dariαD1/2.

Neighborhood dicadangkan didefinisikan untuk mempunyaiα2−rC_D

1 elemen

masing-masing dan, begitu neighborhood dicanangkan akhirnya ditentukan (setelah Prosedur tentukan-vertex-kritis kembali), itu dikonsolidasikan dengan digabungkan ke dalam Z. Karena neighborhood dicanangkan saling lepas, dan neighborhood dicadangkan baru harus dipilih di luar Z, tidak ada vertex lain yang bisa children embedded di dalam neighborhood dicadangkan.

34

Bukti Invarian V. Jika tidak ada vertex ultra-kritis baru ditemukan pada iterasi, in-varian dicadangkan. Karenanya, diasumsikan bahwa ditemukan suatu vertex ultra-kritis.

Menyusul konstruksi dari _U′ _{(lihat baris 3.7), pada saat vertex w menjadi} ultra-kritis, persamaan (4.2) berlaku. Karena himpunan Z naik monoton, per-samaan ini haruslah tetap berlaku selanjutnya.

Famili himpunan dicadangkan dari Invarian V diperoleh pada baris 3.16. Vertex dicadangkan tersebut tidak akan digunakan untuk menanamkan children / grandchildren vertex lainnya karena himpunan dicadangkan digabungkan ke da-lamZ dan tidak ada vertex lain yang bisa mencadangkan atau menggunakan vertex dalam Z untuk embed children/grandchildren.

Dalam analisa berikut akan dinotasikan dengan ˜Z himpunanZ di awal iterasi Algoritma 1. Juga kita misalkan ˜Z menotasikan himpunan Z persis setelah baris 1.22.

Algoritma tidak batal pada tentukan-vertex-kritis. Andaikan bahwa algoritma batal pada baris 4.6. Ini berarti bahwa terdapat suatu himpunan _{C ∪} C′ _sedemikian sehingga setiap vertex v _∈ C _∪C′ _{mengirimkan paling sedikit αD}

1/2 ke dalam

(Z_∪D)_∩U, yang mempunyai ukuran yang dibatasi oleh

fM(T)∩U+D+ (C+C′)α2−rCD1 ≤n0+ε3N0+₄εN_D0₁α2−rCD1 < αεN₄ 0.

Karena dalam G′ _{sifat (3.4).(ii) menjamin bahwa setiap himpunan bagian W} yang mempunyai paling banyakεN0/(4D1) elemen mengalami ekspansi setidaknya

hingga (1₋ε)D1, dengan menggunakan Lemma 3.6, harus diperoleh (Z∪D)∩U ≥

(α/2₋2ε)D1(εN0/D1)> αεN0/4, suatu kontradiksi.

Sekarang akan ditunjukkan bahwa prosedur tidak batal pada baris 4.7. De-ngan pernyataan di atas, himpunan C′ _{mempunyai kardinalitas paling banyak} εN0/(4D1). Selain itu, diperoleh bahwa (ˆZ\Z)˜ ∩U mengandung paling banyak

35

Amati bahwa setiap memanggil tentukan-vertex-kritis dilakukan denganZ =ˆZ. Karena vertex dalam C′ _{tidak kritis, Invarian II mengimplikasikan bahwa setiap} w_∈C′ _{mempunyai degree paling kecilαD}

1/2−∆1 atas ˆZ.

Catat bahwa, walaupun dianggap degree dari vertexw_∈W_\Catas himpunan Z_∪D_∪X dalam tentukan-vertex-kritis memenuhi mengklasifikasikan suatu vertex sebagai kritis, namun neighborhood dicadangkan dari vertex kritis baru bisa men-cakup vertex berbahaya terakhir (dalam D_\Z). Alasannya adalah bahwa vertex yang baru saja diklasifikasikan sebagai berbahaya tetap mempunyai degree cukup besar di luar Z.

Untuk membuktikan bahwa famili saling-lepas yang diinginkan bisa diten-tukan, digunakan Lemma 2.5 untuk menunjukkan bahwa setiap himpunan bagian C′ _{harus mempunyai paling sedikit ∼}

O(ε) αD1/2 neighbor di luar Z (dalam G)

dan kemudian aplikasikan Lemma 3.11 untuk memperoleh famili yang mencakup himpunan X sebelumnya. (Bisa ditetapkan rC ≥2).

Algoritma tidak batal pada baris 1.19. Jika p /_∈C, maka ΓG(p)\Z ≥αD1/2 karena

Invarian II. Dalam kasus tersisa, p _{∈ C\U}, karena Invarian IV diperolah bahwa Sp\D ≥ Sp/2 = α2−1−rCD1. Dalam kedua kasus, p mempunyai paling sedikit

untuk semua x _∈ Ap. Tingkatkan famili yang diperoleh dari Lemma 3.12 dengan

cara sedemikian rupa sehingga kardinalitas yang bersesuaian cocok dengan degree dalam tree. Ini akan menghasilakn himpunan S′

p dan famili saling-lepas {Zu}u∈S′_p

dari baris 1.19.

Andaikan bahwa εN1 < D0D1. Bisa ditetapkan bahwa setiap vertex

da-lam Sp mempunyai degree paling besar (1 + ε)D0 mungkin dengan menghapus

paling banyak εD1 vertex dari Sp (lihat Sifat (3.4).(i)). Gunakan Sifat (3.4).(iv)

yang diaplikasikan pada Sp\D ⊂ ΓG(p) untuk memperoleh himpunan saling-lepas

T1, . . . , Tr⊂Sp\D. Perlu ditentukansp′ ={u1, . . . , ul} ⊂Sp dan famili saling-lepas

36

i adalah suatu himpunan LE (menurut Sifat (3.4).(iv)), bisa

diap-likasikan Lemma 3.6 untuk menunjukkan bahwa min_{∆0∆1, n1} ≥X ≥ αD0Ti′/8.

UntukC yang cukup besar, berlakulah bahwa T′

p dan famili saling-lepasnya yang bersesuaian secara

be-rangkai. Andaikan bahwa u1, . . . , uk dipilih dari Sr_i=1Ti bersama-sama dengan

famili saling-lepas _{Zi}ki=1. Tetapkan X =

Sk

i=1Zi (mula-mula X = Ø) dan catat

bahwa X _≤ ∆0∆1 karena k ≤ ∆1 dan Zi ≤ ∆0 untuk semua i. Juga tampak

jelas bahwa X _≤n1 karena setiap vertex dalam X bersesuaian dengan suatu vertex

dalam v1(T).

Berdasarkan pernyataan di atas, setidaknya setengah elemen dalam Sr

i=1Ti

mempunyai degree besar di luarZ_\X. Ambil sebaranguk+1(berbeda dariu1, . . . , uk)

yang mempunyai degree paling kecil αD0/4. Tetapkan Zk+1 berupa himpunan

se-barang dari ΓG(uk+1)\(Z∪X) yang mempunyai jumlah elemen yang sama dengan

jumlah anak dari uk (yang paling banyak ∆0 < αD0/4). Karenaℓ≤∆1 <1/8Sp <

Sr

i=1, selalu dimungkinkan memperluas seleksi dan famili saling-lepas yang

37

Algoritma tidak batal pada baris 3.10. Andaikan untuk kontradiksi bahwa algo-ritma batal karena _U tumbuh lebih besar daripada εN1/(D0D1). Dimulai

de-ngan kasus εN1 ≥ D0D1. Ini berarti bahwa bisa ditentukan suatu himpunan

S dari εN1/(D0D1) elemen bersama-sama dengan suatu famili saling-lepas dari

himpunan-α2−1−rC_D

1{Xw ⊆ ΓG(w)}w∈S di mana setiap u ∈ Xw mempunyai

de-gree paling besar (1 +ε)D0 dalam G′ mungkin dengan menghapus paling banyak

εD1 < α2−2−eCD1 vertex dariXw (lihat Sifat (3.4).(i)).

Dari Invarian I diketahui bahwa

Z_∩W _≥fM(T)∩W +_DεN_0D1₁(α22−rC−4UD0D1).

Di lain pihak, Sifat (3.4).(iii) mengindikasikan bahwa, jika diambil himpunan T =_∪w∈SXw, maka T =α2−2−rCD1s >√εD1S dan

dG′(T)≥(1−O(√ε))D₀Sα2−2−rCD₁ = (1−O(√ε)εα2−2−rCN₁.

Karena degree dari vertex-vertex T (dalam G′_{) dibatasi di atas oleh (1 +} ε)D0,Γ′G(T)≤(1 +ε)D0T. Dengan mengaplikasikan Lemma 3 pada graph [T, Z∩

W]_⊂G′_{, diperoleh} Z_∩w_≥TαD0

2 + 2{(1−O(

√_ε))D

0T −(1 +ε)D0T}

= (α/2₋O(√ε))D0T

≥α2₂−3−rC_N

1,

suatu kontradiksi bila rU ≥4 dan C cukup besar.

Untuk kasusεN1 < D0D1, misalkan w adalah vertex ultra-kritis pertama yang

dibatasi. Aplikasikan Sifat (3.4).(iv) pada Sw. Misalkan T1, . . . , Tr ⊂ Sw adalah

himpunan-himpunan saling-lepas yang diperoleh dari sifat. Berdasarkan asumsi, terdapat suatu himpunan B _⊆ Sw dengan paling sedikit Sw/2 elemen u ∈ Sw

dengan degG(u, Z ∩ W) ≥ αD0/2. Karena Pir=1|Ti| = Sw, terdapat Ti dengan

Ti∩B ≥ Ti/4. Karena Ti ∩B adalah suatu himpunan LE, maka dari Lemma 3

diperoleh Z_∩W _≥ αD0Ti/16. Ini kontradiksi jika diambil C cukup besar karena

38

Klaim 4.3. Untuk setiap w_∈W, jumlah vertex u_∈ΓG(w) dengan degG(u)∼ε D0

dan degG(u,(ˆZ\Z)˜ ∩W)≥αD0/4 paling banyak √εD1.

Bukti Klaim 4.3. Diberikan suatu w _∈ W, dibatasi jumlah Nw vertex u ∈ ΓG(w)

sedemikian sehingga degG(ˆZ\Z)˜ ∩W) ≥ αD0/4. Karena (ˆZ\Z)˜ ∩W = Tk_i=1Zi

(lihat baris 1.22), tampak jelas bahwa (ˆZ_\Z)˜ _∩ W _≤ ∆0∆1. Jika N2 ≥ √εD1,

menurut Sifat (3.4).(iii) dan Lemma 3.6, haruslah diperoleh (ˆZ_\Z)˜ _∩W _≥ (α/4₋ O(√ε))√εD0D1, suatu kontradiksi.

Algoritma tidak batal pada baris 3.11. Catat bahwaZ_∩W = ˆZ_∩W sepanjang loop dalam. Misalkan w _{∈ U}′_{. Karena w tidak ultra-kritis sebelumnya, maka menurut} Invarian IV dan persamaan (8), setidaknya setengah elemen u _∈ Sw ∈ C adalah

sedemikian rupa sehingga degG(u, W\Z)˜ ≥αD0/2. (Ada kemungkinan bahwa

ver-tex menjadi kritis dan dipromosikan menjadi ultra-kritis selama eksekusi pulihkan-invarian; klaim di atas tetap berlaku dalam kasus tersebut karena neighborhood dicadangkan untuk vertex sedemikian hanya akan memuat vertex di luar _{D ⊆}Z).˜

Karena banyak εD1 vertex u ∈ Sw yang tidak memenuhi deg′G(u) ∼ε D0,

maka menurut Klaim 16, lebih kecil dari 2√εD1 neigbor dariw∈ U′yang mungkin

mempunyai lebih dariαD0/4 edge yang masuk ke dalam ˆZ\— Z. Karena itu, jumlah

u _∈ Sw sedemikian sehingga DegG(u, W\Z) = degG(u, W\Z)˜ − degG(u,Zˆ\Z)˜ ≥

αD0/4> α2−rUD0 lebih besar dari pada Sw/4. Karena {Yw,u ⊆Γ(u)\Z}w∈U′_,u∈S′_w

tidak perlu saling-lepas, maka terbuktilah yang dinyatakan di atas.

Algoritma tidak batal pada baris 3.16. Akan diaplikasikan Lemma 3.12 dengan S _← R, α13 ← α2−rU, Aw ⊂ Sw′ dengan Aw = α13D1 untuk semua w ∈ S dan

Bx ⊂Yw,x dengan Bx =α13D0 untuk semua w ∈S, x∈Aw. Famili yang diperoleh

melalui Lemma 13 persis merupakan famili yang diharuskan pada baris 3.16.

Telah dibahas semua invarian dan semua tempat di mana algoritma bisa di-batalkan. Perhatikan bahwa akar dari_T telah embedded dan bahwa, dengan setiap vertex yang embeddedv_∈V1(T), children dan grandchilren dari vakan embedded