4.1 Skema Embedding untuk Tree (An Embedding Scheme For Trees)
Dalam bagian ini dipresentasikan Algoritma 1, yang embeds tree dalam graph yang cocok. Algoritma ini mengambil keuntungan dari sifat ekspansi lossless dari host graph sewaktu membangun embedding tree. Domingos Dellamonica (2009) walaupun banyak teknik dan ide yang terlibat dalam algoritma ini telah dibahas secara sepintas dalam Bagian 3.1, namun banyak rincian baru yang dibahas secara tersendiri dalam bagian ini.
Analisa formal algoritma dilakukan melalui beberapa invarian yang harus be-nar di awal setiap iterasi. Begitu invarian diketahui berlaku di awal setiap ite-rasi, harus dibuktikan bahwa algoritma tidak dibatalkan. Jika algoritma tidak dibatalkan maka algoritma berhasil dalam embedding tree, yang merupakan tujuan yang ingin dicapai.
Invariant 4.1. Di awal setiap iterasi Algoritma 1 (baris 1.10), berlaku yang berikut:
I. (Kardinalitas dari Z), diperoleh Z ∩U ≤fM(T)∩U +D+C(α2−rCD
1)
dan
Z ∩W ≤fM(T)∩W +U(α22−rC−rUD
0D1);
II. (Vertex nonkritis/tak-berbahaya) untuk setiap u ∈U\D, w ∈W\C , dipero-leh
DegG(u, W\Z)≥ αD0
2 dan degG(w, U\Z)≥
αD1
2 ;
III. (Vertex berbahaya) diperolehD < ε3N
0 dan, untuk setiapu∈ D ⊆U, DegG(u, Z∩W)≥ fracαD02
27
IV. (Vertex kritis) untuk setiap w∈ C ⊆W diperoleh DegG(w, Z∩U)≥fracαD12 ,
dan himpunanSw ∈S mempunyaiα2−rCD
1 elemen yang dicanangkan secara
eksklusif untuk embedding children dari w; selain itu, jika w6∈ U, maka Sw\D = #{u∈Sw :textdegG(u, W\Z)≥αD0/2} ≥Sw/2 =α2−1−rCD1;
(4.1) V. (Vertex ultra-kritis) untuk setiap w∈ U ⊆ C,
#{u∈Sw : degG(u, W\Z)≥αD0/2} > Sw/2 =α2−1−rCD1; (4.2)
selain itu, juga diperoleh S”w ∈ SU dengan S”w = ∆1 dan famili himpunan
−∆0{Zw,u}u∈S”w ⊆ W, di mana S”w dicanangkan untuk children dari w dan
Zw,u dicanangkan untuk children dari u(grandchildren dari w).
Algoritma 1: Embedding trees
Input : Tree T dengan akar r∈V1(T); Graph G = (U,W;E).
Output : Embeddding T ke dalam G yang digambarkan dengan matching M.
1.1 M ← {(r,min(W))};// inisialisasi embedding 1.2 Q← {min(W)};// antrian vertex-vertex aktif 1.3 C ←φ;// vertex-vertex kritis
1.4 D ←φ;// vertex-vertex berbahaya dari U
1.5 S ← φ;// neighborhood dicanangkan (famili himpunan bagian U, S = {Sv}v∈C)
1.6 U ← φ ; // vertex-vertex ultra-kritis
1.7 SU ←φ;// neighborhood dicanangkan untuk children dari vertex ultra-kritis
28
1.9 Z ← {1};//himpunan vertex yang digunakan, dicanangkan atau berba-haya
1.10 SementaraQ6=φ kerjakan
1.11 p←pop(Q);// dapatkan suatu vektor aktif 1.12 Jika p∈U maka 1.13 (M, S”p,{Zp,u}u∈S′ p)←embed-descendants (M, p, S′ p, ,{Zp,u}u∈S′ p;//S ′ p ∈ SU dan Zp,u ∈W 1.14 Antrian (Q,S u∈S”pZ ′ p,u) ;
1.15 Pergi ke 1.10 ; // lompat ke iterasi berikutnya 1.16 Cp ← {v1, . . . , vl:vi adalah child dari fM−1(p)} ; 1.17 Jika p6∈C maka
1.18 Sp ←ΓG(p)\Z ; // jikap∈ C maka Sp∈S sudah didefinisikan 1.19 Tentukan himpunan bagian S′
p = {u1, . . . , ul} ⊆ Sp dan famili yang
saling lepas
{Zi ⊆ΓG(ui)\Z}ui∈S′
p, dengan Zi = #{children darivi}; jika tidak mungkin, batalkan;
1.20 Perluas M: cocokkan vi dengan ui dan {children dari vi}dengan Zi
secara sewenang-wenang untuk semuai; 1.21 Antrian (Q,Sl i=1Zi) ; 1.22 Z ←Z∪S′ p∪Sl i=−1Zi ; 1.23 Pulihkan-invariant;
Prosedur embed-descendants (M, p, Sp,{Zp,u}u∈Sp)
Input : M - embedding saat ini, f = fM adalah fungsi yang bersesuaian;
P - suatu vertex dalam graph host yang sudah digunakan dalam embedding; Sp - children dari p harus dipetakan ke dalam himpunan ini;
{Zp,u}u∈Sp - jika suatu childv dari f−
1(p) dipetakan ke u∈S
p, children dari
v akan dipetakan keZp,u.
29
S′
p ⊆ Sp - vertex yang digunakan untuk children dari f−1(p);
{Z′
p,u ⊆Zp,u}u∈S′
p - vertex yang digunakan untuk grandchildren dari f −1(p).
2.1 PilihS′
p ⊆Sp secara sebarang dengan Sp′ = degT(f−1(p));
2.2 Cocokkan setiap v ∈ ΓT(f−1(p)) dengan suatu vertex dalam S′
p dan update
M;
2.3 Untuk setiap u∈S′
p, ambil secara sebarang suatu Zp,u′ ⊆Zp,u dengan
Z′
p,u = degT(f−1(u)); 2.4 Untuk setiap u ∈ S′
p dan setiap w ∈ ΓT(f−1(u)), cocokkan w dengan suatu
vertex dalam Z′
p,u dan update M;
Prosedur pulihkan-invariant
3.1 R ←φ ;
3.2 D ← {x∈U : degG(x, W\Z)< αD0/2} ; 3.3 Z′←φ;
3.4 Ulangi
3.5 (C′, S′) ← tentukan vertex kritis (Z, C, D) ; // konsolidasikan vertex-vertex kritis 3.6 C ← C ∪ C′, S←S∪S′, Z ←Z∪ ∪ S∈S′S; // promosi ke ultra-kritis 3.7 U′← {w∈ C\U :S w\D < sw/2 =α2−1−rCD1} ; 3.8 U ←U ∪U′ ; 3.9 Jika U >ε N1/(D0D1) maka 3.10 batalkan Algoritma 1 ; 3.11 Tentukan himpunan S′
w ⊆ Sw dengan Sw′ = Sw/4, untuk w ∈ U′, dan famili (tidak perlu saling lepas) α2−rU himpunan −D
30 3.12 Z′←Z′∪S w∈R,u∈S′ wYw,u ; 3.13 R ←R∪U′ 3.14 D ← {x∈U : degG(x, W\(Z∪Z′))< αD 0/2} 3.15 Hingga U′=φ ; 3.16 Tentukan himpunan S”w ⊆ S′
w dengan S”w = ∆1, untuk w ∈ R, dan famili saling-lepas himpunan−∆0{Zw,u⊆ Yw,u)w∈R,u∈S”w; jika tidak mungkin, batalkan Algoritma 1 ;
3.17 D ←D, Z ←Z ∪Z′∪De ; 3.18 SU ←SU ∪ {S”w}w∈R ;
3.19 W ←W ∪ {Zw,u}w∈R,u∈S”w ;
Prosedur menentukan vertex kritis (Z,C,D)
Input : Z - himpunan vertex yang digunakan/dicanangkan/berbahaya; C - koleksi vertex kritis saat ini;
D- himpunan vertex yang akan ditandai berbahaya. Output : C′ - himpunan vertex kritis yang ditemukan;
{Sw ⊆ΓG(w)\Z}w∈C′ - famili saling lepas dari himpunanα2−rCD
1
4.1 C′←vod 4.2 X ←φ
4.3 Sementara terdapatv∈W\(C∪C′) dengan deg
G(v, U\(Z∪X∪D)) <α D1/2 Kerjakan 4.4 C′←C′+v 4.5 Jika C′+C > ε N0/(4D1) maka 4.6 Batalkan Algoritma 1 ;
31
4.7 Tentukan famili saling-lepas dari himpunan−α2−rCD1{Sw ⊆ΓG(w)\Z}w∈C′
yang mencakup X; jika tidak mungkin, batalkan Algoritma 1 ; 4.8 X ← ∪w ∈C′S
w ;
4.9 Kembali (C′,{S
w}w∈C′)
Algoritma tidak batal pada tentukan-vertex-kritis. Andaikan bahwa algoritma batal pada baris 4.6. Ini berarti bahwa terdapat suatu himpunan C ∪ C′ sedemikian sehingga setiap vertex v ∈ C ∪C′ mengirimkan paling sedikit αD
1/2 ke dalam
(Z∪D)∩U, yang mempunyai ukuran yang dibatasi oleh
Teorema 4.2. Misalkan n0, n1,∆0,∆1 diberikan. Andaikan bahwa G′ = (U, W;E)
adalah suatu graph yang memenuhi Sifat (3.4) untuk suatu ε >0, N0 =Cn0, N1 =
Cn1 (dengan C cukup besar) dan p = max{∆0/n1,∆1/n0} < ε/8. Misalkan W′ ⊂ W ditentukan oleh Sifat (3.4), D0 =pN1 dan D1 =pN0.
Terdapat suatu konstanta absolut c > 0 sedemikian sehingga berlaku yang berikut. Misalkan α = c√ε dan G ⊆ G′[U, W′] sedemikian sehingga d
G(u)≥ αD0
untuk semua u∈U∪V(G) dandG(w)≥αD1 untuk semuaw∈W′∪V(G). Maka,
Algoritma 1 embedding setiap tree−(n0,∆0, n1,∆1)T ke dalam G.
Bukti. Akan digunakan notasi dan himpunanU ←U∪V(G) danW ←W′∩V(G). Karena G mempunyai kelas U dan W. Selain itu, akan diasumsikan bahwa W = {1,2, . . . , W}. Bukti dibagi menjadi dua bagian:
1. Invariant I-V berlaku di awal setiap iterasi;
2. Algoritma 1 tidak batal bila input terdiri dari tree-(n0,∆0, n1,∆1)T (dengan akar sebarang r ∈V1(T)) dan Gseperti di atas.
Untuk kasus dasar, kita peroleh Z = {1} = Z∩W = fM(T) dan tidak ada vertex kritis atau berbahaya. Maka tidak sulit memeriksa bahwa semua invarian berlaku.
32
{Zp,u}u∈S”p ⊆ W digunakan untuk grandchildren p. Karenanya, dalam kasus ini, invarian tetap dipertahankan dan algoritma tidak batal.
Andaikan bahwa semua invarian berlaku di awal suatu iterasi dan bahwa p 6∈ U. Akan dibuktikan bahwa semua invarian berlaku di awal iterasi berikutnya (jika algoritma tidak batal).
Bukti dari Invarian I. Dengan memeriksa tahap-tahap di mana Z di-update (li-hat baris 1.9, 1.22, 3.17), tampak jelas bahwa, di akhir iterasi, Z ∩ U terdiri dari vertex-vertex yang digunakan dengan embedding (fM(T)∩U), vertex-vertex berbahaya (yaitu,D) dan vertex-vertex dicadangkan (∪w∈CSw) yang menghasilkan
C(α2−rCD
1) vertex. Juga tampak jelas bahwa Z∩W mengandung vertex yang di-gunakan dalam embedding (fM(T)∩W) dan vertex ditambahkan padaZ′ dengan baris 3.12, yang dibatasi di atas oleh P
w∈USwα2−rUD0. Invarian dipenuhi.
Bukti Invarian II. Dianalisa Prosedur pulihkan-invarian. Melalui konstruksi (lihat baris 4.3), segera setelah Prosedur tentukan vertex krisis kembali (baris 3.5) dan vertex kritis dikonsolidasikan (khususnya, Z sekarang mengandung neighborhood yang baru dicadangkan), tidak ada vertex w ∈ W\C memenuhi degG(w, U\(Z ∪ D))≤αD1/2.
JikaU kosong di awal suatu iterasi loop dalam, loop akan lengkap pada iterasi tersebut tanpa mengubah D atau Z lebih lanjut. Khususnya, syarat degree untuk vertex non-kritis (W\C) dijamin di akhir iterasi dan bagian Invarian II ini berlaku pada iterasi berikutnya.
Kasus u ∈ U\D lebih mudah: setiap vertex yang tidak memenuhi syarat degree di akhir iterasi sudah berbahaya atau menjadi berbahaya (lihat baris 3.2 dan 3.14).
Bukti Invarian III. Bagian degree dari Invarian III segera diperoleh dari update yang dilakukan untuk D (baris 3.2 dan 3.14) dan fakta bahwa Z tidak pernah kehilangan elemen. Fakta bahwa D ⊂Z mudah diperoleh dari baris 3.17.
Masih harus ditentukan batas atas untuk jumlah vertex berbahaya. Amati bahwa Z∩W hanya mengandung neighbor dicadangkan dan vertex embedded dan kardinalitasnya ditentukan oleh Invarian I (yang sudah terbukti berlaku pada iterasi
33
berikutnya). Catat juga bahwa vertex berbahaya v haruslah mempunyai, di akhir iterasi, degG(v, Z ∩W) ≥ αD0/2. Sekarang kita gunakan Sifat (3.4).(v), untuk
memperoleh batas atas D. Diperoleh
Z∩W ≤n1+ 2Dε0ND11α22−rC−rUD0D1 ≤εN1. Di lain pihak, e′ G(D, Z∩W)≥ D(αD0/2) =pD α2N1 . Karenanya, jikaD ≥ε3N
0 makaZ∩W mestilah mempunyai paling sedikitαN1/4>
εN1 vertex, suatu kontradiksi.
Bukti Invarian IV. Hanya ada satu tempat dalam algoritma di mana himpunan vertex kritis bertumbuh hanya setelah memanggil Prosedur tentukan vertex kri-tis (1 3.5) vertex krikri-tis ini dikonsolidasikan. Rincian subtil namun sangat pen-ting dari tentukan-vertex-kritis terdiri dari mengharuskan agar famili yang dipe-roleh dalam baris 4.7 mencakup himpunan X (yang merupakan gabungan dari himpunan-himpunan dicadangkan dari iterasi sebelumnya). Karenanya, suatu ver-tex yang mempunyai sejumlah kecil neighbor bebas hanya bisa mempunyai lebih sedikit neighbor dalam iterasi berikutnya.
Juga perlu dicatat bahwa begitu suatu elemen ditambahkan padaD, itu tetap di dalamD(dan selanjutnya ditambahkan padaD). Segera kemudian bahwa jumlah edge yang dikirim vertex kritis ke dalamZtidak bisa menjadi lebih kecil dariαD1/2.
Neighborhood dicadangkan didefinisikan untuk mempunyaiα2−rCD
1 elemen
masing-masing dan, begitu neighborhood dicanangkan akhirnya ditentukan (setelah Prosedur tentukan-vertex-kritis kembali), itu dikonsolidasikan dengan digabungkan ke dalam Z. Karena neighborhood dicanangkan saling lepas, dan neighborhood dicadangkan baru harus dipilih di luar Z, tidak ada vertex lain yang bisa children embedded di dalam neighborhood dicadangkan.
Selain itu, jika vertexw∈ C tidak memenuhi persamaan (4.1) di akhir iterasi, baris 3.7, bersama-sama dengan syarat loop dalam (bahwa U′ = φ), menjamin bahwa w∈ U akan berlaku bila iterasi berakhir.
34
Bukti Invarian V. Jika tidak ada vertex ultra-kritis baru ditemukan pada iterasi, in-varian dicadangkan. Karenanya, diasumsikan bahwa ditemukan suatu vertex ultra-kritis.
Menyusul konstruksi dari U′ (lihat baris 3.7), pada saat vertex w menjadi ultra-kritis, persamaan (4.2) berlaku. Karena himpunan Z naik monoton, per-samaan ini haruslah tetap berlaku selanjutnya.
Famili himpunan dicadangkan dari Invarian V diperoleh pada baris 3.16. Vertex dicadangkan tersebut tidak akan digunakan untuk menanamkan children / grandchildren vertex lainnya karena himpunan dicadangkan digabungkan ke da-lamZ dan tidak ada vertex lain yang bisa mencadangkan atau menggunakan vertex dalam Z untuk embed children/grandchildren.
Dalam analisa berikut akan dinotasikan dengan ˜Z himpunanZ di awal iterasi Algoritma 1. Juga kita misalkan ˜Z menotasikan himpunan Z persis setelah baris 1.22.
Algoritma tidak batal pada tentukan-vertex-kritis. Andaikan bahwa algoritma batal pada baris 4.6. Ini berarti bahwa terdapat suatu himpunan C ∪ C′ sedemikian sehingga setiap vertex v ∈ C ∪C′ mengirimkan paling sedikit αD
1/2 ke dalam
(Z∪D)∩U, yang mempunyai ukuran yang dibatasi oleh fM(T)∩U+D+ (C+C′)α2−rCD
1 ≤n0+ε3N0+4εND01α2−rCD1 < αεN4 0.
Karena dalam G′ sifat (3.4).(ii) menjamin bahwa setiap himpunan bagian W yang mempunyai paling banyakεN0/(4D1) elemen mengalami ekspansi setidaknya
hingga (1−ε)D1, dengan menggunakan Lemma 3.6, harus diperoleh (Z∪D)∩U ≥ (α/2−2ε)D1(εN0/D1)> αεN0/4, suatu kontradiksi.
Sekarang akan ditunjukkan bahwa prosedur tidak batal pada baris 4.7. De-ngan pernyataan di atas, himpunan C′ mempunyai kardinalitas paling banyak εN0/(4D1). Selain itu, diperoleh bahwa (ˆZ\Z)˜ ∩U mengandung paling banyak ∆1 elemen.
35
Amati bahwa setiap memanggil tentukan-vertex-kritis dilakukan denganZ =ˆZ. Karena vertex dalam C′ tidak kritis, Invarian II mengimplikasikan bahwa setiap w∈C′ mempunyai degree paling kecilαD
1/2−∆1 atas ˆZ.
Catat bahwa, walaupun dianggap degree dari vertexw∈W\Catas himpunan Z∪D∪X dalam tentukan-vertex-kritis memenuhi mengklasifikasikan suatu vertex sebagai kritis, namun neighborhood dicadangkan dari vertex kritis baru bisa men-cakup vertex berbahaya terakhir (dalam D\Z). Alasannya adalah bahwa vertex yang baru saja diklasifikasikan sebagai berbahaya tetap mempunyai degree cukup besar di luar Z.
Untuk membuktikan bahwa famili saling-lepas yang diinginkan bisa diten-tukan, digunakan Lemma 2.5 untuk menunjukkan bahwa setiap himpunan bagian C′ harus mempunyai paling sedikit ∼
O(ε) αD1/2 neighbor di luar Z (dalam G)
dan kemudian aplikasikan Lemma 3.11 untuk memperoleh famili yang mencakup himpunan X sebelumnya. (Bisa ditetapkan rC ≥2).
Algoritma tidak batal pada baris 1.19. Jika p /∈C, maka ΓG(p)\Z ≥αD1/2 karena
Invarian II. Dalam kasus tersisa, p ∈ C\U, karena Invarian IV diperolah bahwa Sp\D ≥ Sp/2 = α2−1−rCD1. Dalam kedua kasus, p mempunyai paling sedikit
α2−1−rCD
1u dengan ΓG(u)\Z ≥αD0/2.
Jika εN1 ≥ D0D1, aplikasikan Lemma 3.12 pada S ← {p}, dengan α13 ← α2−1−rC, A
p ⊆ sp\D dengan Ap = α13D1 dan Bx ⊆ ΓG(x)\Z dengan Bx = α13D0
untuk semua x ∈ Ap. Tingkatkan famili yang diperoleh dari Lemma 3.12 dengan
cara sedemikian rupa sehingga kardinalitas yang bersesuaian cocok dengan degree dalam tree. Ini akan menghasilakn himpunan S′
p dan famili saling-lepas {Zu}u∈S′p
dari baris 1.19.
Andaikan bahwa εN1 < D0D1. Bisa ditetapkan bahwa setiap vertex
da-lam Sp mempunyai degree paling besar (1 + ε)D0 mungkin dengan menghapus
paling banyak εD1 vertex dari Sp (lihat Sifat (3.4).(i)). Gunakan Sifat (3.4).(iv)
yang diaplikasikan pada Sp\D ⊂ ΓG(p) untuk memperoleh himpunan saling-lepas
T1, . . . , Tr⊂Sp\D. Perlu ditentukans′
p ={u1, . . . , ul} ⊂Sp dan famili saling-lepas
{Zi ⊆Γ(ui)\Z}l i=1.
36
Diberikan himpunan sebarang X sedemikian sehingga X ≤ min{n1,∆0,∆1}, harus dibuktikan bahwa jumlah vertex u ∈ Ti(i = 1, . . . , r) yang mempunyai
ΓG(u)\(Z ∪ X) < αD0/4 paling banyak Ti/2. Tentu saja, karena Ti ⊆ Sp\D, diperoleh ΓG(u)\Z ≥ αD0/2 untuk semua u ∈ Ti. Misalkan Ti′ = {u ∈ Ti :
ΓG(u)\(Z ∪X) < αD0/4}. Catat bahwa setiap vertex u ∈ T′
i harus mengirimkan
sebanyak
ΓG(u)∩X ≥ΓG(u)\Z −ΓG(u)\(Z⋒X) ≥αD0/4
edge ke dalam X. Karena T′
i adalah suatu himpunan LE (menurut Sifat (3.4).(iv)), bisa
diap-likasikan Lemma 3.6 untuk menunjukkan bahwa min{∆0∆1, n1} ≥X ≥ αD0Ti′/8.
UntukC yang cukup besar, berlakulah bahwa T′ i ≤ 8 αD0n1 = 8 αCD0N1 = εN1 8D0 dan T′ i ≤ αD80∆0∆1 = αC82D1 = εD161,
dengan demikianTi ≤ min{εD1/8, εN1/(4D0)}=T. Sekarang dibentukS′
p dan famili saling-lepasnya yang bersesuaian secara
be-rangkai. Andaikan bahwa u1, . . . , uk dipilih dari Sri=1Ti bersama-sama dengan
famili saling-lepas {Zi}k
i=1. Tetapkan X =
Sk
i=1Zi (mula-mula X = Ø) dan catat
bahwa X ≤ ∆0∆1 karena k ≤ ∆1 dan Zi ≤ ∆0 untuk semua i. Juga tampak
jelas bahwa X ≤n1 karena setiap vertex dalam X bersesuaian dengan suatu vertex
dalam v1(T).
Berdasarkan pernyataan di atas, setidaknya setengah elemen dalam Sr i=1Ti
mempunyai degree besar di luarZ\X. Ambil sebaranguk+1(berbeda dariu1, . . . , uk)
yang mempunyai degree paling kecil αD0/4. Tetapkan Zk+1 berupa himpunan
se-barang dari ΓG(uk+1)\(Z∪X) yang mempunyai jumlah elemen yang sama dengan jumlah anak dari uk (yang paling banyak ∆0 < αD0/4). Karenaℓ≤∆1 <1/8Sp <
Sr
i=1, selalu dimungkinkan memperluas seleksi dan famili saling-lepas yang
37
Algoritma tidak batal pada baris 3.10. Andaikan untuk kontradiksi bahwa algo-ritma batal karena U tumbuh lebih besar daripada εN1/(D0D1). Dimulai
de-ngan kasus εN1 ≥ D0D1. Ini berarti bahwa bisa ditentukan suatu himpunan
S dari εN1/(D0D1) elemen bersama-sama dengan suatu famili saling-lepas dari
himpunan-α2−1−rCD
1{Xw ⊆ ΓG(w)}w∈S di mana setiap u ∈ Xw mempunyai
de-gree paling besar (1 +ε)D0 dalam G′ mungkin dengan menghapus paling banyak
εD1 < α2−2−eCD1 vertex dariXw (lihat Sifat (3.4).(i)).
Dari Invarian I diketahui bahwa Z∩W ≥fM(T)∩W + εN1
D0D1(α
22−rC−4UD
0D1).
Di lain pihak, Sifat (3.4).(iii) mengindikasikan bahwa, jika diambil himpunan T =∪w∈SXw, maka T =α2−2−rCD1s >√εD1S dan
dG′(T)≥(1−O(√ε))D0Sα2−2−rCD1 = (1−O(√ε)εα2−2−rCN
1.
Karena degree dari vertex-vertex T (dalam G′) dibatasi di atas oleh (1 + ε)D0,Γ′G(T)≤(1 +ε)D0T. Dengan mengaplikasikan Lemma 3 pada graph [T, Z∩ W]⊂G′, diperoleh Z∩w≥TαD0 2 + 2{(1−O( √ε))D 0T −(1 +ε)D0T} = (α/2−O(√ε))D0T ≥α22−3−rCN 1,
suatu kontradiksi bila rU ≥4 dan C cukup besar.
Untuk kasusεN1 < D0D1, misalkan w adalah vertex ultra-kritis pertama yang
dibatasi. Aplikasikan Sifat (3.4).(iv) pada Sw. Misalkan T1, . . . , Tr ⊂ Sw adalah
himpunan-himpunan saling-lepas yang diperoleh dari sifat. Berdasarkan asumsi, terdapat suatu himpunan B ⊆ Sw dengan paling sedikit Sw/2 elemen u ∈ Sw
dengan degG(u, Z ∩ W) ≥ αD0/2. Karena Pir=1|Ti| = Sw, terdapat Ti dengan
Ti∩B ≥ Ti/4. Karena Ti ∩B adalah suatu himpunan LE, maka dari Lemma 3 diperoleh Z∩W ≥ αD0Ti/16. Ini kontradiksi jika diambil C cukup besar karena
38
Klaim 4.3. Untuk setiap w∈W, jumlah vertex u∈ΓG(w) dengan degG(u)∼ε D0
dan degG(u,(ˆZ\Z)˜ ∩W)≥αD0/4 paling banyak √εD1.
Bukti Klaim 4.3. Diberikan suatu w ∈ W, dibatasi jumlah Nw vertex u ∈ ΓG(w)
sedemikian sehingga degG(ˆZ\Z)˜ ∩W) ≥ αD0/4. Karena (ˆZ\Z)˜ ∩W = Tk i=1Zi
(lihat baris 1.22), tampak jelas bahwa (ˆZ\Z)˜ ∩ W ≤ ∆0∆1. Jika N2 ≥ √εD1,
menurut Sifat (3.4).(iii) dan Lemma 3.6, haruslah diperoleh (ˆZ\Z)˜ ∩W ≥ (α/4− O(√ε))√εD0D1, suatu kontradiksi.
Algoritma tidak batal pada baris 3.11. Catat bahwaZ∩W = ˆZ∩W sepanjang loop dalam. Misalkan w ∈ U′. Karena w tidak ultra-kritis sebelumnya, maka menurut Invarian IV dan persamaan (8), setidaknya setengah elemen u ∈ Sw ∈ C adalah sedemikian rupa sehingga degG(u, W\Z)˜ ≥αD0/2. (Ada kemungkinan bahwa
ver-tex menjadi kritis dan dipromosikan menjadi ultra-kritis selama eksekusi pulihkan-invarian; klaim di atas tetap berlaku dalam kasus tersebut karena neighborhood dicadangkan untuk vertex sedemikian hanya akan memuat vertex di luar D ⊆Z).˜
Karena banyak εD1 vertex u ∈ Sw yang tidak memenuhi deg′G(u) ∼ε D0,
maka menurut Klaim 16, lebih kecil dari 2√εD1 neigbor dariw∈ U′yang mungkin mempunyai lebih dariαD0/4 edge yang masuk ke dalam ˆZ\— Z. Karena itu, jumlah u ∈ Sw sedemikian sehingga DegG(u, W\Z) = degG(u, W\Z)˜ − degG(u,Zˆ\Z)˜ ≥ αD0/4> α2−rUD0 lebih besar dari pada Sw/4. Karena {Yw,u ⊆Γ(u)\Z}w∈U′,u∈S′w
tidak perlu saling-lepas, maka terbuktilah yang dinyatakan di atas.
Algoritma tidak batal pada baris 3.16. Akan diaplikasikan Lemma 3.12 dengan S ← R, α13 ← α2−rU, A
w ⊂ S′
w dengan Aw = α13D1 untuk semua w ∈ S dan Bx ⊂Yw,x dengan Bx =α13D0 untuk semua w ∈S, x∈Aw. Famili yang diperoleh
melalui Lemma 13 persis merupakan famili yang diharuskan pada baris 3.16. Telah dibahas semua invarian dan semua tempat di mana algoritma bisa di-batalkan. Perhatikan bahwa akar dariT telah embedded dan bahwa, dengan setiap vertex yang embeddedv∈V1(T), children dan grandchilren dari vakan embedded di suatu titik. Ini menunjukkan bahwa tree T secara keseluruhan bisa embedded ke dalam G.
39
Dimungkinkan mengaplikasikan Teorema 15 pada setiap subgraph yang cukup padat dari suatu graph yang memenuhi Sifat (3.4) dengan mem-praproses graph dengan cara sederhana.
Teorema 4.4. Misalkan n0, n1,∆0,∆1 diberikan. Andaikan bahwaG adalah suatu
graph yang memenuhi Sifat (3.4) untuk suatu ε >0, N0 =Cn0, N1 =Cn1 (dengan
C cukup besar) dan p= max{∆0/n1,∆−1/n0}< ε/8.
Terdapat suatu konstanta absolut c > 0 sedemikian sehingga setiap subgraph
G′ ⊆ G dengan e(G′) ≥ c√ε(G) mengandung setiap tree-(n
0,∆0, n1,∆1). Bukti.
Misalkan D0 = pN1 dan D1 = pN0. Perhatikan bahwa, menurut asumsi, e(G) 2 pN0N1 = D0N0 = D1N1.
Misalkan W′ ⊆ W(G) himpunan yang ditetapkan menurut Sifat (3.4) dan misalkan α = 8α15, di mana α15 didefinisikan atas Teorema 4.3. Andaikan bahwa
e(G′)≥2αe(G). Menurut sifat (3.4).(v), bisa diasumsikan bahwaG′ tidak memuat edge yang incident dengan W(G)\W′ dengan menghapus edge-edge dari G′ se-hingga e(G′) ≥ 3/2αe(G) (jumlah edge yang dihapus di atas dibatasi oleh (1 + ε2)pN
0(2εN1)<3εe(G).
Walaupun terdapat suatu vertex dalam U(T′) yang mempunyai degree lebih kecil dari αD0/8 atau suatu vertex dalam W(G′) ⊆ W′ yang mempunyai degree lebih kecil dari αD1/8, hapus vertex ini dari G′ bersama-sama dengan semua edge
yang incident ke vertex yang dihapus. Jumlah edge yang incident ke vertex yang dihapus di atas dibatasi oleh N0(αD0/8) +N1(αD1/8) ≥ αe(G). Karenanya, G′ yang tersisa tidak kosong dan bisa diaplikasikan Teorema 4.3.
4.2 Bilangan Ukuran-Ramsey dari Tree. Dari Teorema 4.4 bisa dibuktikan perkiraan Beck.
Akibat 4.5 (Perkiraan Beck). Bilangan Ukuran-Ramsey dari suatu tree T adalah
O(β(T)), dengan β(T) = n0∆0 + n1δ1, dimana n0, n1 adalah kardinalitas dari
kelas-kelas vertex dari T sebagai bipartite graph dan ∆0,∆1 adalah maksimum
40
Bukti. Diberikan konstanta cdari Teorema 4.4 misalkan ε >0 sedemikian sehingga c√ε < . Tanpa kehilangan keumuman, asumsikan bahwa ε = 2−a untuk suatu
a >0. Misalkan n0,∆0, n1,∆1 adalah parameter-parameter dari T. Dengan mem-besarkan nilai tersebut, bisa diasumsikan bahwa masing-masing nilai tersebut sama dengan pangkat dari 2. Karena untuk setiap bilangan bulat a terdapat suatu n sedemikian sehingga 2n≤a <2n+1, dalam kasus terburuk, mungkin harus
melipat-duakan setiap parameter. Dapat juga diasumsikan bahwa n0∆0 = n1∆1 dengan
membesarkan ∆1. Perubahan ini hanya bisa mempengaruhi n0∆0+n1∆1 dengan
suatu konstanta pergandaan. Algoritma embedding tidak terpengaruh karena pa-rameter hanya digunakan sebagai batas atas dari kardinalitas kelas dan degree-nya masing-masing.
Misalkan p = ∆1/n0 = ∆0/n1. Jika p ≥ ε/8 maka digunakan complete bipartite graph sebagai Ramsey graph yang digunakan (lihat Lemma 3.6).
Jika p < ε/8, dimisalkan C = C(ε) suatu konstanta yang cukup besar dan digunakan Teorema 3.5 untuk memperoleh graph G yang memenuhi Sifat (3.4) untukε, N0=Cn0, N1 =Cn1danp. Menurut pilihanε, dari Teorema 4.4 diperoleh
bahwa setiap subgraph G′⊆G dengan paling sedikite(G) edge mengandung T. Karena dalam setiap dua-pewarnaan edge-edge dari G akan ada satu warna yang memuat setidaknya setengah edge-nya, graph dihasilkan oleh warna paling sering yang mengandung T. Selain itu, diperoleh
E(G)≥2pN0N1 = 2C2pn0n1 =C2(pn1)n0+C2(pn0)n1 =C2(∆0n0 + ∆1n1).
BAB 5 KESIMPULAN
Adapun yang menjadi kesimpulan dalam tesis ini adalah sebagai berikut :
Untuk suatu graph G bilangan ukuran-Ramsey ˆr(G) adalah bilangan mini-mum m untuk mana terdapat suatu graph F atas m edge sedemikian sehingga setiap dua-pewarnaan edge-edge dariF memenuhi pewarnaan monokhromatik dari G.
Untuk graph G dan H, bilangan ukuran-Ramsey dari ˆr(G, H) adalah bila-ngan terkecilm sedemikian sehingga terdapat suatu graph F atas m edge dengan sifat bahwa, dalam setiap pewarnaan merah-biru atas edge-edge dari F, terdapat pewarnaan merah dari G atau pewarnaan biru dari H.
Bilangan ukuran-Ramsey dari tree ˆr(T) = O(β(T)) dengan β(T) = n0∆0 +
n1∆1, dimana n0, n1 adalah kardinalitas dari kelas-kelas vertex dari T sebagai bi-partite graph dan ∆0,∆1 adalah maksimum dari degree dari vertex dalam
DAFTAR PUSTAKA
Domingos Dellamonica Jr., Yoshiharu Kohayakawa, Vojtech Rodl, and Andrzej Rucinski. 2008. Universality of randomgraphs, SODA (Shang-Hua Teng, ed.), SIAM, pp. 782-788.
Domingos Dellamonica Jr.2009.The size-Ramsey number of trees. Mathematics and Computer Science, Emory University
Joel Friedman and Nicholas Pippenger. 1987. Expanding graphs contain all small trees, Combinatorica 7 no. 1,71-76.
Jozsef Beck. 1983 .On size Ramsey number of paths, trees, and circuits. I, J. Graph Theory 7 no. 1, 115-129.
Jozsef Beck. 1990. On size Ramsey number of paths, trees and circuits. II, Math-ematics of Ramsey theory, Algorithms Combin., vol. 5, Springer, Berlin, pp. 34-45.
Narsingh Deo. 1986. GRAPH THEORY with Aplications to Engineering and Com-puter Science, Prentice Hall of India, New Delhi.
Paul Erd”os, Ralph J. Faudree, Cecil C. Rousseau, and Richard H. Schelp. 1978.
The size Ramsey number, Period.Math. Hungar. 9 no. 1-2, 145-161.
Penny E. Haxell and Yoshiharu Kohayakawa. 1995.The size-Ramsey number of trees, Israel J. Math. 89, no. 1-3, 261-274.MR MR1324465 (96c:05128)
Robin J. Wlson and John J. Watkins. 1990.Graph An Introductory Approach, Wiley, New York.
Xin Ke. 1993.The size Ramsey number of trees with bounded degree, Random Struc-tures Algorithms 4 no. 1, 85-97.