PENDUGA KURVA REGRESI NONPARAMETRIK LINEAR DAN NONLINEAR DENGAN METODE FOURIER DAN METODE NADARAYA-WATSON

(1)

PENDUGA KURVA REGRESI NONPARAMETRIK LINEAR DAN

NONLINEAR DENGAN METODE FOURIER DAN METODE

NADARAYA-WATSON

(Skripsi)

Oleh

JOKO RUDIANTO

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(2)

ABSTRAK

PENDUGA KURVA REGRESI NONPARAMETRIK LINEAR DAN NONLINEAR DENGAN METODE FOURIER DAN METODE

NADARAYA-WATSON

Oleh Joko Rudianto

Jika x adalah variabel penjelas dan y adalah variabel respon dari model regresi y = f (x)+ � dimana f disebut sebagai kurva regresi atau fungsi regresi yang belum diketahui bentuknya dan � adalah peubah acak yang saling bebas dengan mean 0 and varian σ_,2 maka fungsi f dapat diestimasi dengan pendekatan parametrik dan pendekatan nonparametrik. Dalam tulisan ini digunakan pendekatan nonparametrik. Estimasi fungsi regresi nonparametrik dilakukan berdasarkan data pengamatan dengan menggunakan teknik pemulusan (smoothing).

Penelitian ini bertujuan untuk menduga kurva regresi menggunakan metode Fourier dan metode Nadaraya-Watson pada fungsi regresi linear dan nonlinear berdasarkan nilai kuadrat tengah galat dan bandwidth optimal.

Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa metode Fourier dan metode Nadaraya-Watson dapat digunakan dalam mengestimasi fungsi regresi linear. Sedangkan pada fungsi regresi nonlinear, metode Fourier lebih baik daripada metode Nadaraya-Watson.

(3)

ABSTRACT

THE ESTIMATOR OF LINEAR AND NONLINEAR NONPARAMETRIC REGRESSION CURVE BY FOURIER SERIES METHOD AND

NADARAYA-WATSON METHOD

By Joko Rudianto

If x is a predictor variable and y is a response variable of the regression model y = f (x) + � with f is a regression curve or a regression function which not yet been known and � is independent random variable with mean 0 and variance σ_,2 hence function f can be estimated by parametric and nonparametric approach. In this paper function f is estimated by nonparametric approach. The estimation of curve regression is done by smoothing technique based on observation data.

This study aimed to estimated regression curve using Fourier and Nadaraya-Watson method for linear and nonlinear function based on the value of mean square error and optimal bandwidth.

The result showed that Fourier and Nadaraya-Watson method can be used to estimate linear regression. However for nonlinear function, Fourier method is better than Nadaraya-Watson method.

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Tanjung Karang Barat, Bandar Lampung pada tanggal 13

Februari 1993 sebagai anak keempat dari empat bersaudara dari Bapak Sunoto

dan Ibu Pami.

Pendidikan Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SDN 2 Gunung Terang, Bandar

Lampung pada tahun 2005. Kemudian, penulis menyelesaikan Sekolah Menengah

Pertama (SMP) di SMPN 10 Bandar Lampung pada tahun 2008. Pada tahun 2011,

penulis menyelesaikan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMAN 9 Bandar

Lampung.

Tahun 2011, penulis terdaftar sebagai sebagai mahasiswa Jurusan Matematika

FMIPA Unila melalui jalur SNMPTN. Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif

di Unit Kegiatan Mahasiswa Fakultas (UKMF) Natural dan Himpunan Mahasiswa

Jurusan Matematika (HIMATIKA). Selain itu, penulis juga pernah menjadi

asisten praktikum Algoritma Pemrograman, Pengantar Analisis Numerik, dan

Statistika Industri. Pada awal tahun 2012, penulis melakukan kegiatan Kuliah

(9)

KATA INSPIRASI

“Innalloha ma’asshobirin”

(Sesungguhnya Allah SWT bersama orang-orang yang sabar)

Kemarin hanyalah sebuah mimpi dan besok adalah butiran harapan

Tetapi, hari ini adalah kenyataan yang menentukan masa depan

(Joko Rudianto)

Janganlah berhenti saat kau menemui kegagalan, karena kegagalan adalah cara

Tuhan mengajarimu tentang arti kesungguhan

(10)

i

PERSEMBAHAN

Dengan mengucap Alhamdulillah atas berkat dan rahmat

Allah SWT Kupersembahkan karya kecilku ini untuk :

Ayah dan Ibuku Tercinta yang telah mencurahkan seluruh

hidupnya untuk kebahagiaanku dan tak berhenti untuk selalu

mendoakanku.Puteramu ini akan selalu berusaha

membahagiakanmu Ayah , Ibu.

Ketiga kakakku, orang terdekatku, sahabat-sahabatku, dan

(11)

ii SANWACANA

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya kepada

penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan sebaik-baiknya. Shalawat dan salam

semoga selalu tercurah kepada nabi Muhammad SAW sebagai suri tauladan bagi kita.

Skripsi dengan judul “Penduga Kurva Regresi Nonparametrik Linear dan Nonlinear dengan Metode Fourier dan Metode Nadaraya-Watson” adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Matematika di Universitas Lampung.

Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Ibu Ir. Netti Herawati, Ph.D., selaku Pembimbing Utama atas kesediaannya untuk

memberikan bimbingan, saran, dan kritik dalam proses penyelesaian skripsi ini;

2. Bapak Drs. Rudi Ruswandi, M.Si., selaku Pembimbing Kedua atas kesediaannya untuk

memberikan bimbingan, saran, dan kritik dalam proses penyelesaian skripsi ini;

3. Bapak Drs. Tiryono Ruby, Ph.D., selaku Penguji pada ujian skripsi. Terima kasih untuk

masukan dan saran-saran pada seminar proposal terdahulu;

4. Bapak Warsono, Ph.D., selaku Dosen Pembimbing Akademik yang banyak membantu dan

selalu membimbing penulis dalam menyelesaikan masalah perkuliahan;

5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika;

(12)

iii 7. Bapak Tamrin dan Ibu Lusiana sebagai staf administrasi Jurusan Matematika FMIPA

Unila;

8. Orang tua tercinta yang telah mencurahkan seluruh hidupnya dan menjadi semangat

tersendiri bagi penulis;

9. Riyama Ambarwati yang telah mendukung dan mendoakan penulis dalam meraih impian

dan cita-citanya;

10. Keluarga Math 11 yang sangat solid dan kompak; 11. Teman-teman Matematika angkatan 2012 dan 2013;

12. Keluarga Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA);

13. Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu persatu, atas

peran dan dukungannya dalam menyusun laporan ini.

Akhir kata, Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, akan tetapi

sedikit harapan semoga skripsi yang sederhana ini dapat berguna dan bermanfaat bagi kita

semua. Amiin.

Bandar Lampung, 18 Februari 2015

Penulis

(13)

vi DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

4.1 Nilai Generalized Cross Validation (GCV) untuk bandwidth h

dan bandwidth j pada fungsi = 2 + � ... 23

4.2 Daftar nilai ukuran kebaikan kedua metode untuk bandwidth

optimal pada fungsi = 2 + � ... 24

dan bandwidth j pada fungsi = e + � ... 27

optimal pada fungsi = e + � ... 28

dan bandwidth j pada fungsi = cos 4 + � ... 32

optimal pada fungsi = cos 4 + � ... 33

4.7 Data X~Uniform (0,4) Sebanyak 500 Data ... 40

(14)

vii DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

4.1 Scatterplot data ~ � 0,4 dengan fungsi = 2 + � ... 16

4.2 Scatterplot data ~ � 0,4 dengan fungsi = e + � ... 16

4.3 Scatterplot data ~ � 0,4 dengan fungsi = cos 4 + � ... 17

4.4 Perbandingan dugaan kurva linear dengan kedua metode untuk

nilai bandwidth yang terlalu kecil (h=0.05 dan j=1)... 25 4.5 Perbandingan dugaan kurva linear dengan kedua metode untuk

nilai bandwidth yang optimal (h=0.179 dan j=2) ... 26

4.6 Perbandingan dugaan kurva linear dengan kedua metode untuk

nilai bandwidth yang terlalu besar (h=1 dan j=10) ... 26

4.7 Perbandingan dugaan kurva eksponensial dengan kedua metode

untuk nilai bandwidth yang terlalu kecil (h=0.05 dan j=1) ... 29

untuk nilai bandwidth yang optimal (h=0.211 dan j=3) ... 30

untuk nilai bandwidth yang terlalu besar (h=1 dan j=10) ... 30

(15)

viii 4.11 Perbandingan dugaan kurva gelombang Cosinus dengan kedua metode

untuk nilai bandwidth yang optimal (h=0.068 dan j=3) ... 34

(16)

iv..

4.3 Generalized Cross Validation pada Metode Nadaraya Watson ... 19

4.4 Penduga Deret Fourier ... 19

(17)

v..

4.6 Penentuan Kurva Regresi Nonparametrik pada Fungsi regresi

Linear ... 23

4.6.1 Pemilihan Bandwidth h dan Bandwidth j Optimal ... 23

4.6.2 Perbandingan Hasil Dugaan dengan Metode Fourier dan Metode Nadaraya Watson pada Fungsi Linear ... 25

4.7 Penentuan Kurva Regresi Nonparametrik pada Fungsi regresi Nonlinear Eksponensial ... 27

4.7.2 Perbandingan Hasil Dugaan dengan Metode Fourier dan Metode Nadaraya Watson pada Fungsi Eksponensial ... 29

4.8 Penentuan Kurva Regresi Nonparametrik pada Fungsi regresi Nonlinear Cosinus ... 31

(18)

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Analisis regresi merupakan salah satu teknik statistika yang digunakan untuk

mengetahui hubungan antara satu variabel respon dan satu atau lebih variabel

prediktor. Selain itu regresi juga dapat digunakan untuk melakukan

prediksi-prediksi secara matematis. Model regresi secara umum untuk data pengamatan

independen berupa , _� adalah:

� = � + �� ; i=1,2,…, n

Dengan yi adalah variabel respon, xi adalah variabel prediktor dan �_� merupakan

eror atau galat yang memiliki mean 0 dan ragam konstan . f(xi) dikenal sebagai

fungsi regresi atau kurva regresi.

Jika bentuk fungsi f diketahui maka untuk mengestimasi fungsi f dapat digunakan pendekatan parametrik, akan tetapi jika bentuk fungsi f tersebut tidak diketahui maka digunakan pendekatan nonparametrik. Dalam pendekatan parametrik,

bentuk hubungan antara variabel respon dengan variabel prediktor diketahui atau

diperkirakan dari bentuk kurva regresi, misalnya diasumsikan membentuk pola

(19)

2

Regresi parametrik harus memenuhi asumsi yang ketat yaitu sisaan berdistribusi

normal dan memiliki ragam yang konstan. Untuk mengatasi penyimpangan

asumsi tersebut dapat dilakukan transformasi terhadap data sehingga diperoleh

model regresi yang sesuai bagi data yang telah ditransformasi. Transformasi

dipilih melalui teknik trial and error (coba-coba) sehingga tidak mudah menemukan transformasi yang cocok.

Pendekatan kedua yaitu pendekatan nonparametrik. Estimasi fungsi regresi

nonparametrik dilakukan berdasarkan data pengamatan dengan menggunakan

teknik smoothing. Terdapat beberapa teknik smoothing dalam model regresi nonparametrik antara lain histogram, penduga kernel, deret ortogonal, penduga

spline, k-NN, deret fourier, dan wavelet.

Suparti dan Sudargo (2005) telah meneliti kebaikan estimator kernel dan deret

fourier dengan mengkaji laju Integral Mean Square Error (IMSE). Alifia (2008) telah menerapkan metode Nadaraya-Watson pada data out faithful geyser. Sukarsa dan Srinadi (2012) juga telah meneliti tentang estimator kernel dengan fungsi

kernel yang berbeda. Sedangkan Prahutama (2013) telah meneliti metode

pendekatan deret fourier pada data pegangguran terbuka di Jawa Timur. Dalam

penelitian ini, akan dibandingkan bentuk kurva regresi nonparametrik

menggunakan metode Fourier dan metode Nadaraya-Watson pada fungsi regresi

linear dan nonlinear dengan pemilihan bandwidth menggunakan metode

(20)

3

1.2 Tujuan

Tujuan dalam penulisan skripsi ini adalah menjelaskan penduga kurva regresi

nonparametrik menggunakan metode Fourier dan metode Nadaraya-Watson pada

fungsi regresi linear dan nonlinear.

1.3 Manfaat

Manfaat dari penulisan ini adalah :

1. Menambah referensi tentang penduga kurva regresi nonparametrik

menggunakan metode Fourier dan metode Nadaraya-Watson.

(21)

5

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Analisis Regresi

Analisis regresi adalah suatu metode analisis data yang menggambarkan

hubungan antara variabel respon dengan satu atau beberapa variabel prediktor.

Misalkan X adalah variabel prediktor dan Y adalah variabel respon untuk n data

pengamatan berpasangan , _�, maka hubungan antara variabel prediktor

dan variabel respon tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:

yi = f(xi) + �� ; i=1,2,3,…,n (2.1) Dengan �_� adalah galat yang diasumsikan independen dengan mean 0 dan

variansi (konstan). f(xi) disebut sebagai fungsi regresi atau kurva regresi (Hardle,1994).

2.2 Regresi Nonparametrik

Menurut Eubank (1998), regresi nonparametrik merupakan pendekatan metode

regresi dimana bentuk kurva dari fungsi regresinya tidak diketahui. Kurva fungsi

diasumsikan termuat dalam ruang fungsi tertentu. Model regresi nonparametrik

adalah sebagai berikut:

(22)

5

(xi) merupakan kurva fungsi regresi yang tidak diketahui bentuknya dengan xi merupakan variabel independen. �_� adalah galat yang diasumsikan independen

dengan mean 0 dan variansi (konstan).

Estimasi fungsi regresi nonparametrik dilakukan berdasarkan data pengamatan

dengan menggunakan teknik smoothing. Terdapat beberapa teknik smoothing

dalam model regresi nonparametrik antara lain penduga kernel, deret orthogonal,

penduga spline, deret fourier, dan wavelet (Eubank, 1998).

2.3 Penduga Densitas Kernel

Menurut Hardle (1994), Penduga densitas kernel merupakan pengembangan dari

estimator histogram. Penduga kernel diperkenalkan oleh Rosenblatt (1956) dan

Parzen (1962) sehingga disebut penduga densitas kernel Rosenblatt-Parzen.

Secara umum kernel K dengan parameter pemulus (bandwidth) h dideﬁnisikan sebagai:

Kh(x) = untuk − dan h>0 (2.3) Serta memenuhi :

(i) K(x) 0, untuk semua x

(ii) ∫ = 1

(iii)∫ = 0

(23)

6

Beberapa jenis fungsi kernel antara lain:

1. Kernel Uniform : K(x) = ;|x| 1 , 0 selainnya

Estimator densitas kernel dari untuk fungsi densitas f(x) didefinisikan sebagai:

= ∑_� − _� =

ukuran bobotnya ditentukan oleh parameter pemulus h yang disebut bandwidth.

2.4 Metode Nadaraya-Watson

Menurut Hardle (1991), jika terdapat n data pengamatan {(Xi ,Yi) _� yang

memenuhi persamaan (2) dimana _� dan _� , maka penduga m(x) adalah:

̂ = | = = ∫ , (2.5)

Penyebut diduga dengan menggunakan penduga densitas kernel

(24)

7

Fungsi densitas peluang bersama diduga dengan perkalian kernel, yaitu :

́ , , = ∑� − � − �

Sehingga, pembilang dari penduga nadaraya menjadi :

Bentuk penduga Nadaraya-Watson dapat ditulis :

̂

�

=

Matriks W disebut juga dengan Hat Matrix dari penduga m(x). Persamaan (2.6) ditemukan oleh Nadaraya dan Watson (1964), sehingga disebut estimator

Nadaraya-Watson.

Pengaruh fungsi kernel kurang signifkan dibandingkan dengan pengaruh

(25)

8

 Jika 0, maka untuk x=xi, _�

� = �

Jadi bandwidth h sangat kecil, estimator akan menuju ke data  Jika maka 0 , akibatnya

Jadi bandwidth (h) sangat besar, estimator akan sangat mulus dan menuju rata-rata dari variabel respon.

Semakin kecil nilai bandwidth h, maka grafik akan semakin kurang mulus namun memiliki bias yang kecil. Sebaliknya semakin besar nilai bandwidth h, maka grafik akan sangat mulus tetapi memiliki bias yang besar. Karena tujuan estimasi

kernel adalah memperoleh kurva yang mulus namun memiliki nilai MSE yang

tidak terlalu besar, perlu dipilih nilai h optimal untuk mendapatkan grafik optimal.

Salah satu cara memilih parameter pemulus optimal adalah dengan menggunakan

metode Generalized Cross Validation (GCV).

2.5 Pemilihan Bandwidth h optimal

Menurut Hardle (1991), Bandwidth h adalah parameter pemulus yang berfungsi untuk mengontrol kemulusan dari kurva yang diestimasi. Bandwidth yang terlalu kecil akan menghasilkan kurva yang under-smoothing yaitu sangat kasar dan

(26)

9

Oleh karena itu perlu dipilih bandwidth yang optimal. Metode untuk mendapatkan h optimal dapat diperoleh dengan menggunakan kriteria Generalized Cross Validation (GCV),yang dideﬁnisikan sebagai berikut:

= (2.8)

Dengan MSE (h) = ∑ _� _�− _� dan adalah hat matriks berukuran

nxn yang memenuhi [ , , , =

Nilai bandwidth h optimal akan diperoleh jika nilai akan menghasilkan nilai

Generalized Cross Validation minimal (Craven dan Wahba, 1979). .

2.6 Fungsi Periodik

Menurut Tolstov (1962), suatu fungsi f(x) dikatakan periodik jika terdapat

konstanta T>0, sehingga memenuhi f(x+T)=f(x) untuk setiap x anggota domain

f(x). Selanjutnya T disebut dengan periode dari fungsi f(x). Jika T adalah periode

dari suatu fungsi f(x), maka ...,-2T, -T,2T,3T ... juga merupakan periode dari

fungsi f(x).

Salah satu contoh fungsi periodik adalah f(x)=sin (x) dengan periode 2 , karena

sin(x+2 ) = sin(x).

2.7 Deret Fourier

Menurut Tolstov (1962), jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval [− , ] dan

(27)

10

periodik dengan periode 2L. dapat direpresentasikan dengan deret perluasan

fourier sebagai berikut :

= + ∑ cos + s (2.9)

= + ∑ cos + s

dengan

= ∫

= ,2, , .

Nilai (dengan T adalah periode f(x)) merupakan faktor pengali agar x dalam

satuan radian.

2.8 Estimator Fourier

Diberikan n data pengamatan {(xi ,yi) _� yang memenuhi persamaan (2). Jika

� − , dan � , dan diasumsikan periode m(x) adalah = 2 , maka

penduga m(x) dapat didekati oleh deret fourier yang didefinisikan sebagai berikut:

̂ = + ∑ cos + s (2.10)

Dengan a0 , dan adalah koefisien Fourier (Bowman dan Azzalini, 1997).

Tingkat kemulusan estimator deret Fourier ditentukan oleh pemilihan parameter

(28)

11

semakin besar parameter pemulus J, semakin kurang mulus estimasi dari f. Oleh karena itu, perlu dipilih J yang optimal.

2.9 Pemilihan Parameter Pemulus (J) Optimal

Pada pemodelan regresi nonparametrik dengan menggunakan deret Fourier, hal

yang perlu diperhatikan adalah menentukan nilai J. Salah satu metode yang dapat

digunakan adalah metode Generalized Cross Validation (GCV). Penentuan J optimal akan menghasilkan nilai koefisien determinasi (R2) yang tinggi.

Generalized Cross Validation(GCV) didefiniskan sebagai berikut:

=

(2.11)

dengan MSE(J) = ∑ _� _� − ̂ _� dan adalah matriks berukuran nxn

yang memenuhi ̂ = dan disebut juga Hat Matrixs. Nilai GCV terkecil akan menghasilkan nilai J yang optimal (Craven dan wahba, 1979).

2.10 Ukuran Kebaikan Bandwidth_Optimal

Kebaikan suatu penduga dapat dilihat dari tingkat kesalahannya. Semakin kecil

tingkat kesalahan suatu pendugaan maka semakin baik estimasinya. Menurut

Chatterjee (2007), kriteria untuk mentukan estimator terbaik dalam model regresi

antara lain nilai Mean Square Error (MSE) dan nilai koefisien determinasi R-Square (R2).

(29)

12

= ∑ � � − ̂� . (2.12)

Sedangkan koefisen determinasi didefinisikan sebagi berikut :

= = ∑ ̂ ̅

∑ ̅ (2.13)

� adalah data variabel respon ke-i, ̅ adalah mean data variabel respon,

sedangkan ̂ adalah nilai hasil estimasi variabel respon ke-i. Sum of Square Regression (SSR) adalah jumlah kuadrat simpangan hasil dugaan terhadap rata-rata variabel respon. Sedangkan Sum of Square Total (SST ) adalah jumlah kuadrat simpangan variabel respon. SSR berfungsi untuk mengukur kualitas

variabel prediktor sebagai prediktor variabel respon. Sehingga, koefisien

determinasi dapat diartikan sebagai proporsi keragaman total variabel respon yang

(30)

13

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2014-2015 dan

bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam Universitas Lampung.

3.2 Sumber Data

Data yang digunakan merupakan data bangkitan menggunakan software Matlab R2010b yang berdistribusi Uniform 0,4 sebanyak 500 data dan dipetakan oleh

fungsi linear, eksponensial, dan gelombang periodik cosinus sebagai berikut:

1. Linear : = 2 + �

2. Eksponensial : = exp − + �

3. Cosinus : y = cos 4x + ε

Dengan �_� merupakan noise variabel random independen berdistribusi Normal, � ~� 0; 0, , � ~� 0; 0,2 dan � ~� 0; 0,2 . Akan dibandingkan hasil

estimasi menggunakan metode Fourier dan metode Nadaraya-Watson dengan

(31)

14

3.3 Metode

Dalam penelitian ini model regresi nonparametrik diduga menggunakan penduga

Nadaraya-Watson dan penduga Deret Fourier. Pada metode Nadaraya-Watson

digunakan kernel Gaussian dan penentuan parameter pemulus (bandwidth) h optimal menggunakan metode Generalized Cross Validation (GCV). Pada metode Deret Fourier, pemilihan parameter pemulus (J) optimal juga ditentukan

menggunakan metode GCV. Data diolah menggunakan software Matlab R2010b. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Menentukan fungsi regresi linear dan nonlinear yang akan diduga

2. Menentukan nilai bandwidth h dan bandwidth j optimal menggunakan metode GCV

3. Menentukan garis duga regresi berdasarkan nilai bandwidth optimal dengan

metode Nadaraya-Watson dan metode Deret Fourier.

4. Membandingkan hasil dugaan antara penduga Nadaraya-Watson dan

(32)

37

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Setelah dilakukan pembahasan pada kedua metode dalam mengestimasi fungsi

regresi linear dan nonlinear, diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

1. Metode Fourier dan metode Nadaraya-Watson dapat digunakan untuk

mengestimasi fungsi regresi linear dan nonlinear.

2. Metode Fourier lebih baik daripada metode Nadaraya-Watson dalam

mengestimasi fungsi regresi berbentuk eksponensial dan gelombang

periodik (transversal).

3. Semakin kecil nilai bandwidth h pada metode Nadaraya-Watson, maka kurva dugaan akan semakin kasar (rouge) atau sebaliknya.

(33)

37

5.2 Saran

Pada tulisan ini telah dijelaskan kebaikan metode Fourier dan Metode Nadaraya

Watson dalam mengestimasi fungsi regresi yang berbentuk linear, ekponensial

maupun gelombang periodik. Perlu dikembangkan untuk metode regresi

nonparameterik yang lain seperti wavelet dan sebagainya. Selain itu, penelitian ini

(34)

DAFTAR PUSTAKA

Alifia, S. 2008. Penentuan Kurva Regresi Nonparametrik dengan Menggunakan Metode Nadaraya Watson. Skripsi. Jurusan Matematika FMIPA

Universitas Lampung, Bandar Lampung.

Chaterjee, S. 2006. Regression Analysis by Example. 4th Edition. Jhon Wiley and Sons, Inc., New Jersey.

Craven, P. dan Wahba, G. 1979. Smoothing Noisy Data with Spline Functions: Estimating the Correct Degree of Smoothing by the Method of Generalized Cross-Validation. Numer Math University of Wisconsin. 31, 377- 403.

Eubank, R.L. 1998. Spline Smoothing and Nonparametric Regression. 2nd Edition. Marcel Dekker, New York.

Golub, G., Heath, M., dan Wahba, G. 1979. Generalized Cross-Validation as a Method for Choosing a Good Ridge Parameter. Technometrics American Statitical Association. 21, 215-223.

Hardle, W. 1991. Smoothing Techniques with Implementation in S. Cambridge University Press, New York.

Hardle, W. 1994. Applied Nonparametric Regression. Cambridge University Press, New York.

Prahutama, A. 2013. Model Regresi Nonparametrik dengan Pendekatan Deret Fourier pada Kasus Tingkat Penggangguran Terbuka di Jawa Timur. Prosiding Seminar Nasional Statistika Universitas Diponegoro.

(35)

Suparti dan Sudargo. (2005, 4, Desember). Estimasi Fungsi Regresi

Menggunakan Deret Fourier. Majalah Ilmiah Lontar [Cetak], 19 (4), 1-6.

Sukarsa, I.K.G. dan Srinadi, I.G.A.M. 2012. Estimator Kernel dalam Model Regresi Nonparametrik. Jurnal Matematika. 2 (1), 19-30.