BAB: PENERAPAN INTEGRAL
Topik: Luas Daerah Di antara Dua Kurva
Kompetensi yang diukur adalah kemampuan mahasiswa menentukan luas daerah di antara dua kurva dengan menggunakan integral tentu.
1. UAS Kalkulus/1, Semester Pendek 2004 no. 4 (kriteria: mu-dah)
Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y=x+ 2dan kurvay =x2
. Jawab:
Gambar daerah yang dibatasi kurva y=x+ 2 dan y=x2
adalah Luas daerahnya adalah
L =
Z 2
1
x+ 2 x2 dx
= 1
2x
2
+ 2x 1
3x
3 2
1
= 2 + 4 8
3
1
2 2 +
1 3
= 9
2
Misalkan tidak diketahui gambarnya, maka ditentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva dengan cara sebagai berikut:
x2 = x+ 2
x2
x 2 = 0
(x 2) (x+ 1) = 0
x = 2 atau x= 1
Kemudian untuk menentukan kurva yang di atas atau kurva yang di bawah, misalkan
f(x) =x2
dan g(x) = x+ 2 ,
kemudian periksa nilaif(x) g(x)pada selang yang ditentukan. Untuk kasus ini, f(x) g(x) =x2
(x+ 2) dan pada selang [ 1;2]
f(x) g(x)
1 2
Jadi kurva f di bawah kurvag pada selang [ 1;2]:
2. UAS Kalkulus (1) 2004 no. 5
Hitung luas bidang datar yang dibatasi oleh kurvay= sinxdan sumbu x pada selang [0;2 ].
Jawab:
Daerah yang dibatasi oleh kurva y = sinx dan sumbu-x pada selang
[0;2 ]
Jadi luas daerahnya adalah
L =
Z
0
(sinx 0) dx+
Z 2
(0 sinx) dx
= [ cosx]0 + [cosx] 2
= ( cos + cos 0) + (cos 2 cos )
= ( ( 1) + 1) + (1 ( 1)) = 4:
3. UAS Kalkulus (1) tahun 2003 no. 4 (kriteria: mudah) Hitung luas bidang datar yang dibatasi oleh parabolax=y2
dan kurva x= 2 y:
Jawab:
Cara 1 (y sebagai variabel pengintegralan)! lebih dianjurkan
Cara 2 (xsebagai variabel pengintegralan)
L =
4. UAS Kalkulus (1) tahun 2002 no. 3a (kriteria mudah)
DiketahuiRadalah bidang datar yang dibatasi kurvay=xdany =x2
: Tentukan luas daerahR:
Jawab:
Titik potong kurva y =x dan y=x2
diperoleh dari
x=x2
=)x(x 1) = 0 =)x= 0,x= 1:
(a) Luas daerah R adalah
Z 1
5. UAS Kalkulus tahun 2001 no. 2. Daerah D dibatasi gra…k fungsi y = x2
Jawab:
Titik potong kedua kurva dicari dengan cara sebagai berikut:
x2 = 2 x
x2+x 2 = 0
(x+ 2) (x 1) = 0
x = 2; x= 1
Luas daerah yang dimaksud Z 1
2
2 x x2
dx = 2x 1
2x
2 1
3x
3 1
2
= 2 1
2 1
3 4
1 2+
8 3
= 9
2:
6. UAS Kalkulus 1 tahun 2001 no. 8.
Diberikan daerahD yang dibatasi oleh gra…k fungsi f dan g dengan
f(x) = (x 1)2
g(x) = x+ 1 ; x <1
x+ 3 ; x 1
(b) Tentukan luas daerahD:
Jawab:
(a) Sketsa daerahD adalah :
(b) Dengan menggunakanxsebagai variabel pengintegralan diperoleh luas daerah Dadalah :
L =
7. UAS Kalkulus 1 tahun 2000 no. 4.
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=ex,y = 1
2x+ 1 dan
garis tegak x= 2.
Jawab:
Luas daerah R adalah Z 2
0
ex 1
2x+ 1 dx =
Z 2
0
ex+ 1
2x 1 dx
= ex+1
4x
2
x
2
0
= e2
+ 1 2 e0
+ 0 0
= e2
1 e0
=e2
1 1
= e2
2:
8. UAS Kalkulus1 tahun 1999 no. 4
Hitunglah luas bidang yang dibatasi oleh kurvay= 4 x2
dan sumbux.
Jawab:
Kurva memotong sumbu-x di x= 2 dan x = 2: Jadi luas daerahnya adalah
L =
Z 2
2
4 x2
dx
= 4x 1
3x
3 2
2
= 8 8
3 8 +
8 3
= 16 16
3 =
9. UAS Kalkulus 1 tahun 1998 no. 6
Diketahui daerahA yang dibatasi oleh kurva-kurvay2
+x 2 = 0 dan y=x:
(a) Gambarlah daerah A:
(b) Hitung luas daerah A:
Jawab:
(a) Sketsa daerahA adalah : (b) Luas daerah A adalah
i. Cara 1 : y sebagai variabel pengintegralan :
L =
Z 1
2
y2+ 2 y dy
= 2y y
2
2
y3
3
1
2
= 9
ii. Cara 2 : x sebagai variabel pengintegralan (lebih rumit) :
Dengan menggunakanysebagai peubah bebas, tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva berikut: y = p3
x 1; y = p4 Luas daerah yang dibatasi kurva y = p3
x 1; y = p4
y= 0; dan garis y= 2 adalah:
5 satuan luas.
11. UAS tahun 1996 no. 5
Tentukan luas daerah yang dibatasi kurvax= 4 y2
dan garisy=x 2: Jawab:
Titik potong antara kurva x = 4 y2
dengan x =y+ 2 dapat dicari dengan cara sbb:
4 y2 = y+ 2 )y2+y 2 = 0
) (y+ 2) (y 1) = 0 ) y= 2 atau y= 1:
Untuk 2 y 1; maka 4 y2
y + 2: Jadi luas daerah yang ditanyakan adalah
L =
2 satuan luas:
12. UAS tahun 1995 no. 5.
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = ex dan y = e x serta garis-garis x= 1dan x= 2:
Luas daerah yang dibatasi kurva y = ex, y = e x; garis x = 1 dan garis x= 2 adalah
L =
Z 0
1
e x ex dx+
Z 2
0
ex e x dx
= e x ex 01+ ex+e x 20
= e0 e0 e1 e 1 + e2+e 2 e0+e0
= 2 +e+ 1
e +e
2
+ 1
e2 2
= e2+e+1
e +
1
