Model Optimisasi Portofolio Dengan Metode Shortfall Sebagai Ukuran Risiko

MODEL OPTIMISASI PORTOFOLIO DENGAN METODE

SHORTFALL SEBAGAI UKURAN RISIKO

TESIS

Oleh

B E N A R

087021013/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

MODEL OPTIMISASI PORTOFOLIO DENGAN METODE

SHORTFALL SEBAGAI UKURAN RISIKO

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

B E N A R

087021013/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Judul Tesis : MODEL OPTIMISASI PORTOFOLIO DENGAN METODE SHORTFALL SEBAGAI UKURAN RISIKO

Nama Mahasiswa : B e n a r Nomor Pokok : 087021013 Program Studi : Matematika

Menyetujui,

Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Opim Salim S. M.Sc.) (Prof. Dr. Tulus, M.Si.)

Ketua Anggota

Ketua Program Studi, Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 17 Pebruari 2011

Telah diuji pada

Tanggal 17 Pebruari 2011

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S. M.Sc

Anggota : 1. Prof. Dr. Tulus, M.Si

2. Prof. Dr. Herman Mawengkang

ABSTRAK

Metode shortfall adalah sebuah model stokastik tahap ganda yang dapat digunakan untuk menjelaskan ukuran risiko. Ukuran risiko dengan shortfall erat kaitannya de-ngan standar deviasi, VaR dan ukuran risiko lain yang sejenis. Dalam kajian ini, permasalahan optimisasi yang akan ditentukan penyelesaiannya adalah ukuran mean-shortfall. Penyelesaian permasalahan optimisasi portofolio ini disederhanakan dengan menggunakan optimisasi linier programming yang selanjutnya menjelaskan mengenai alokasi asset serta permasalahan perhitungan asset yang terbatas dengan pendekatan metode shortfall yang memiliki kelebihan lain yaitu mean-variance sehingga lebih memudahkan penyelesaian optimisasi yang diinginkan.

Kata kunci : optimisasi portofolio , stokastik dominans, rata-rata shortfall

i

ABSTRACT

Shortfall method is a second-order stochastic dominance that we can use to a risk measure. Shortfall method as a risk measures have a relationship to such commonly used risk measures as standard deviation,VaR. We show that the mean- shortfall opti-mization problem, unlike mean-VaR , can be solved efficiently as a convex optiopti-mization problem, while the sample mean-shortfall portofolio optimization problem can be solved very efficiently as a linier optimization problem. To know the answered of optimiza-tion portofolio model with shortfall method as a risk measures, we provide empirical evidence in assets allocation and in a problem of tracking an index using only a limited number of assets that the mean-shortfall approach might have advantages and get the optimal solution.

KATA PENGANTAR

Dengan rendah hati penulis ucapkan segala puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan studi Program Magister Matematika pada FMIPA USU. Tesis ini merupakan salah satu syarat penyelesaian studi pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H. M.Sc. (CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang memberi kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan di Universitas Sumatera Utara.

Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Penge-tahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

Bapak Prof. Dr. Ir. A. Rahim Matondang, MSIE selaku Direktur Pascasar-jana Universitas Sumatera Utara.

Bapak Prof. Dr Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magis-ter Matematika FMIPA Universitas SumaMagis-tera Utara yang juga menjadi Pembanding dalam tesis ini.

Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Mate-matika FMIPA Universitas Sumatera Utara.

Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc. sebagai Pembimbing I yang telah banyak memberi masukan-masukan yang bermanfaat dalam penulisan tesis ini.

Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si sebagai Pembimbing II yang penuh kesabaran membimbing dan mengarahkan penulis sehingga tesis ini dapat selesai.

Bapak Drs. Marwan Harahap, M.Eng. sebagai Pembanding yang juga banyak memberikan masukan dan arahan sehingga sempurnanya tesis ini.

Bapak/Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah membekali ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan hingga selesai.

iii

Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan administrasi selama mengikuti pen-didikan.

Tak lupa rekan-rekan mahasiswa program studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2008. Khususnya rekan-rekan dari Politeknik Negeri Medan dan Jurusan Matematika FMIPA USU antara lainBapak Ardianta, Bapak Makmur Tarigan, Bapak Satriawan Taruna, Bapak Baihotma Sitompul, Bapak Gim Tarigan, Bapak Djakaria Sebayang, Ibu Rusmini Dewi, dan Ibu Sinek Malem Br. Pinem, semoga persahabatan kita tak lekang oleh waktu.

Ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis ucapkan kepada Istri tercinta dan tersayangElisa Damehati Br. Sembiring Melialadan keluarga besar terkhu-sus AyahandaAlm Selamat Surbaktiyang lebih dahulu menghadap Bapa disurga beserta Ibunda Rakut Br Sembiring Meliala dan Ibu mertua Dhina Br Gin-ting begitu juga abang, kakak, dan adik-adik yang turut mendoakan, mendukung, dan memberi semangat kepada penulis, selama mengikuti perkuliahan di Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Istimewa untuk anak-anakku tercinta dan tersayangKiki Meyvi Gratia Br.

Sur-bakti, Bella Joretta Br. Surbakti, dan Suranta Eben Haezer Surbakti. Kiranya Allah Bapa di Surga selalu memberkati kita semua.

Akhir kata penulis ucapkan, kiranya kekurangan yang ada pada penulisan tesis ini dapat disempurnakan bagi pihak yang memerlukan karena penulis sebagai manusia yang tidak sempurna memiliki keterbatasan dalam menyelesaikan tesis ini seperti kata pepatah tak ada gading yang tak retak.

Medan, 17 Pebruari 2011

Penulis,

RIWAYAT HIDUP

Benar Surbakti anak kedua dari enam bersaudara dari pasangan Selamat Sur-bakti(Alm) & Rakut br Sembiring Meliala, dilahirkan di Berastagi Tanah Karo Si-malem pada tanggal 2 April 1965.Menamatkan Sekolah Dasar (SD) di SD GBKP Bersubsidi Medan pada tahun 1977,Sekolah Menengah Pertama(SMP) di SMP Negeri X Medan pada tahun 1981,Sekolah Menengah Atas(SMA) di SMA Tunas Kartika I Jurusan IPA(A-2) Medan pada tahun 1984.Sejak Agustus 1984 penulis tercatat sebagai mahasiswa FMIPA USU Jurusan Matematika dan lulus tahun 1989.Mulai tahun 1988-1992 penulis mulai mengajar di STM TDPF Medan,tahun 1992-2000 di SMA Dharma Bakti Medan ,tahun 1999-2005 di Universitas Karo Kabanjahe. Sejak tahun 1990 sampai sekarang penulis menjadi Dosen di Politeknik Negeri Medan.Pada tahun 1991 penulis menikah dengan Elisa Damehati br Sembiring Meliala. Tahun 2009 penulis mengikuti pendidikan Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Selama kurun waktu dua tahun belajar di Pascasarjana USU, penulis banyak mendapatkan pengalaman belajar yang sangat berharga. Berkat doa dan dukungan keluarga tercinta, akhirnya penulis dapat menye-lesaikan pendidikan S-2 pada Program Studi Magister Matematika Universitas Suma-tera Utara di tahun 2011, dan memperoleh gelar Magister Sains Matematika (M.Si) dengan judul Tesis : ”Model Optimisasi Portofolio Dengan Metode Shortfall Sebagai Ukuran Risiko”.

v

DAFTAR ISI

Halaman

ABSTRAK i

ABSTRACT ii

KATA PENGANTAR iii

RIWAYAT HIDUP v

DAFTAR ISI vi

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tujuan Penelitian 2

1.4 Kontribusi Penelitian 2

1.5 Metodologi Penelitian 2

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 4

2.1 Portofolio dan Perkembangan Pasar 4

2.2 Saham Sebagai Portofolio 5

2.3 Metode Shortfall 6

2.4 Ukuran Risiko 8

2.5 Model Loyalitas 10

2.6 Proses Markov 12

BAB 3 SHORTFALL 14

3.1 Pengertian Shortfall 14

3.3 Alternatif Nilai dari Shortfall 16

BAB 4 OPTIMISASI SHORTFALL 20

4.1 Optimisasi Shortfall 20

4.2 Portofolio Dengan Ukuran Risiko 22

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 24

5.1 Kesimpulan 24

5.2 Saran 24

DAFTAR PUSTAKA 25

vii

ABSTRAK

Metode shortfall adalah sebuah model stokastik tahap ganda yang dapat digunakan untuk menjelaskan ukuran risiko. Ukuran risiko dengan shortfall erat kaitannya de-ngan standar deviasi, VaR dan ukuran risiko lain yang sejenis. Dalam kajian ini, permasalahan optimisasi yang akan ditentukan penyelesaiannya adalah ukuran mean-shortfall. Penyelesaian permasalahan optimisasi portofolio ini disederhanakan dengan menggunakan optimisasi linier programming yang selanjutnya menjelaskan mengenai alokasi asset serta permasalahan perhitungan asset yang terbatas dengan pendekatan metode shortfall yang memiliki kelebihan lain yaitu mean-variance sehingga lebih memudahkan penyelesaian optimisasi yang diinginkan.

ABSTRACT

Shortfall method is a second-order stochastic dominance that we can use to a risk measure. Shortfall method as a risk measures have a relationship to such commonly used risk measures as standard deviation,VaR. We show that the mean- shortfall opti-mization problem, unlike mean-VaR , can be solved efficiently as a convex optiopti-mization problem, while the sample mean-shortfall portofolio optimization problem can be solved very efficiently as a linier optimization problem. To know the answered of optimiza-tion portofolio model with shortfall method as a risk measures, we provide empirical evidence in assets allocation and in a problem of tracking an index using only a limited number of assets that the mean-shortfall approach might have advantages and get the optimal solution.

Keywords : portofolio optimization, stochastic dominance, mean shortfall

ii

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Risiko adalah pengaruh positif ataupun negatif dari ketidakpastian pada su-atu sasaran (objektif).Risiko bisa berasal dari ketidakpastian pada pergerakan harga pasar, nilai tukar, suku bunga dan lain-lain.Banyak metode pengukuran risiko yang muncul dan diujicobakan oleh para pelaku pasar(Bessel,1998), diantaranya Value at Risk ( VaR ) yang dipopulerkan oleh J.P.Morgan dan dianggap sebagai metode standar dalam mengukur risiko pasar. Akan tetapi konsep VaR hanya efektif dalam kondisi pasar yang normal,sehingga tidak dapat digunakan untuk memprediksi kejadian yang dapat menyebabkan runtuhnya pasar.

Metode pengukuran risiko lainnya adalah metodeStress Testing dan Mean Va-rians.MetodeStress Testing dirancang sebagai pendekatan subyektif terhadap risiko terbesarnya dan tergantung pada pertimbangan pelakunyahuman judgement .Sedang-kan metodeMean Varians yang dikembangkan oleh Markowitz adalah dalam konteks pemilihan Portofolio saham bersama dan diterapkan juga dalam alokasi asset. Pen-dekatanMean Variansmerupakan penyederhanaan terhadap sejumlah permasalahan optimisasi dengan penyeimbang risiko.

Dalam hal kredit berisiko, ada dua model yang populer. Kedua model tersebut adalah model pendekatan struktural atau disebut juga model nilai perusahaan dan model pendekatan tereduksi. Model pendekatan struktural mengemukakan bahwa nilai asset perusahaan mengikuti proses difusi. Model ini didasari oleh metode opsi harga dengan mengasumsikan utang perusahaan terdiri dari bond tanpa bunga.

2

Penelitian ini akan membahas tentang model optimisasi portofolio dengan metode shortfall sebagai ukuran risiko. Dalam konteks menentukan ukuran risiko dari porto-folio fungsi utilitas menunjukkan preferensi seorang investor terhadap berbagai pili-han investasi dengan masing-masing risiko dan keuntungan yang diharapkan. Metode shortfall dapat menentukan ukuran risiko dari portofolio yan dimiliki oleh perusahaan.

1.2 Perumusan Masalah

Penelitian ini membangun model optimisasi portofolio dengan metode shortfall sebagai ukuran risiko. Masalah yang dihadapi dalam penelitian ini adalah:

a. Menjelaskan pengertian standar deviasi, portofolio, serta ukuran risiko dalam perilaku pasar.

b. Menjelaskan metode shortfall dan ukuran risiko.

c. Menentukan model optimisasi portofolio dengan metode shortfall sebagai uku-ran risiko.

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan sebuah model portofolio optimisasi dengan pendekatan metode shortfall sebagai ukuran risiko.

1.4 Kontribusi Penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat pada beragam masalah yang berhubungan dengan risiko dalam bidang investasi terutama yang berhubungan dengan metode shortfall sebagai ukuran risiko.

1.5 Metodologi Penelitian

Penelitian ini bersifat studi literatur dan dilakukan dengan mengumpulkan in-formasi dari beberapa referensi jurnal. Jurnal yang dipergunakan adalah jurnal yang bersifat internasional dan sesuai dengan perkembangan ilmu optimisasi dan penera-pannya dalam bidang matematika. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

3

a. Mempelajari permasalahan yang berhubungan dengan shortfall sebagai ukuran risiko.

b. Mengumpulkan bahan-bahan kajian pustaka yang dapat mendukung pendekatan model portofolio optimisasi.

c. Menjelaskan difinisi tentang shortfall, optimisasi dan ukuran risiko.

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Portofolio dan Perkembangan Pasar

Portofolio merupakan surat-surat berharga sebagai investasi perusahaan yang terus dikembangkan. Salah satu surat berharga tersebut dikenal dengan istilah sa-ham. Saham (stock/share) adalah surat bukti atas kepemilikan suatu perusahaan. Pemegang saham adalah pemilik perusahaan, atau orang yang menanamkan uangnya sebagai modal ke dalam perusahaan tersebut. Pemegang saham sebagai pemilik pe-rusahaan berhak atas deviden, yaitu bagian keuntungan pepe-rusahaan yang dibagikan kepada para pemegang saham, di samping berhak ikut serta dalam RUPS (Rapat Umum Pemegang Saham) serta memiliki hak suara sesuai dengan proporsi jumlah lembar saham yang dimilikinya.

Ada dua macam permainan saham, yaitu perdagangan saham (trading) dan investasi saham (investment). Perdagangan saham bertujuan mendapatkan keun-tungan dari selisih harga jual dan harga beli saham /capital gain, sedangkan investasi saham lebih dimaksudkan untuk memiliki perusahaan dengan tujuan untuk men-dapatkan bagian keuntungan/deviden. Para investor saham menggunakan analisis fundamental (fundamental analysis) untuk dasar pengambilan keputusan pembelian saham, sedangkan para trader menggunakan analisis teknikal (technical analysis) un-tuk dasar pengambilan keputusan melakukan jual atau beli saham. Analisis funda-mental berdasarkan pada faktor-faktor fundafunda-mental, yaitu kondisi lingkungan bisnis yang berpengaruh pada suatu industri tertentu dan juga kondisi internal perusahaan yang sahamnya akan dibeli. Analisis teknikal lebih mendasarkan pada fluktuasi harga dan kecenderungan (trend) harga saham bersangkutan di bursa.

Perdagangan saham (trading) bersifat jangka pendek, yaitu saat pembelian sa-ham dan penjualan kembali sasa-ham bersangkutan, tidak lebih dari 1 tahun. Oleh karena itu, kita mengenal adanya perdagangan harian (daily trading), transaksi pem-belian dan penjualan saham tertentu dilakukan pada hari yang sama (misalnya: beli pada sesi pagi, jual pada sesi siang/ sore); atau perdagangan mingguan (weekly tra-ding), trader melakukan transaksi pembelian dan penjualan saham dalam minggu

5

yang sama; atau perdagangan bulanan (monthly trading), transaksi dalam bulan yang sama; atau perdagangan triwulanan (quarterly trading), transaksi dalam triwulan yang sama; atau perdagangan semesteran, transaksi dalam semester yang sama; atau perdagangan tahunan dalam tahun yang sama. Pada prinsipnya, perdagangan ( tra-ding) adalah dengan memegang saham kurang dari 1 tahun, atau saham bersangkutan sudah dilepas atau dijual kembali kurang dari 1 tahun sejak dibeli. Apabila suatu perusahaan melakukan trading saham, maka surat berharga tersebut akan tercatat atau dibukukan di Neraca Perusahaan dalam Aktiva Lancar, yaitu pada rekening

Marketable Securities (sekuritas yang diperjualbelikan atau diperdagangkan).

Peluang keuntungan yang dapat diperoleh dari bermain saham umumnya de-ngan memanfaatkan pola fluktuasi harga saham yang membentuk gelombang dan sedang dalam kondisi kecenderungan gelombang naik (bullish).

Di samping peluang keuntungancapital gain yang dapat diperoleh dari bermain saham, ada juga risiko dari bermain saham, yaitu mengalami kerugian (capital loss) karena harga jual saham di bawah harga beli yang dapat terjadi seandainya kita mem-butuhkan uang dan terpaksa harus menjual saham, sementara harga saham sedang turun dan berada di bawah harga belinya.

2.2 Saham Sebagai Portofolio

Saham sebagai surat berharga adalah salah satu yang termasuk investasi dalam bentuk portofolio. Portofolio berupa pembelian saham berhubungan dengan pen-jualan dan tingkat persaingan harga serta jumlah uang yang beredar sehingga dike-tahui ukuran risiko dari investasi portofolio yang akan dibeli tersebut. Perbedaan persaingan harga yang tinggi dan disesuaikan dengan jumlah uang yang beredar maka diperoleh beberapa parameter yang bergerak walupun sementara beberapa variabel lain tetap konstan. Untuk setiap parameter, diperkirakan harga loyalitas dinamis akan ditemukan sebagai sebuah fungsi (Leeflang dan Wittink, 1996). Model ini sudah sering digunakan untuk menganalisis harga promosi dan membandingkan perkiraan parameter dengan studi terbaru dari ( Kopalle, et al 1999).

6

Para penulis menemukan koefisien campuran positif, negatif dan tidak signifikan, yang mungkin tidak tampak mengejutkan karena model yang ditunjukkan adalah harga koefisien reaksi bisa positif atau negatif. Untuk menghubungkan temuan model lo-yalitas dinamis dengan (Kopalle, et al 1999) maka perlu diklasifikasikan enam cairan pencuci piring ke dalam dua kelompok berdasarkan-pada pangsa pasar. ”Pengor-ganisasian koefisien reaksi harga dengan cara ini mengarah pada pola hasil yang serupa dengan model loyalitas dinamika dirancang. Ketika merek memiliki pangsa pasar yang serupa dan secara statistik seluruh koefisien reaksi harga signifikan adalah negatif. Model loyalitas dinamis menawarkan prediksi yang sama, jika pangsa pasar dari dua perusahaan serupa maka harga koefisien reaksi negatif. Jika merek pangsa yang tinggi bersaing dengan merek pangsa rendah, (Kopalle, et al 1999) menemukan bahwa reaksi harga lebih cenderung menjadi positif. Model persaingan harga dan loyalitas dinamis akan menawarkan model prediksi yang sama: jika pangsa pasar dari dua perusahaan yang asimetris terjadi maka harga koefisien reaksi positif. Bukti empiris ini konsisten dengan hasil yang diperoleh dan menawarkan dukungan awal un-tuk model loyalitas dinamis yang terbenun-tuk berdasarkan hasil penjualan ketiga jenis produk . Namun, pengujian empiris yang lebih kuat diperlukan untuk memperkecil kendala-kendala yang timbul dalam proses persaingan harga hingga penetapan harga produk perusahaan agar mampu bersaing secara loyal dinamis. Persaingan harga dan jumlah uang yang beredar akan menentukan ukuran risiko daripada portofolio yang akan dibeli sebagai investasi perusahaan.

2.3 Metode Shortfall

Standar deviasi σ dari portofolio merupakan ukuran yang sering digunakan dalam menghitung risiko dari persoalan keuangan. Untuk menghitung variansiσ2 _dari portofolio dalam persoalan ekonomi dihitung dengan memakai optimisasi kuadratik seperti yang dijelaskan oleh Markowitz (1959), dalam perhitungan standar sebuah pe-rusahaan yang memiliki portofolio dalam bidang industri. Selanjutnya ( Huang dan Litzenberger, 1988 atau Ingersoll, 1987) mengajukan mean variansi portofolio berupa persoalan memaksimumkan nilai peluang dari para investor jika fungsi utilitasnya merupakan fungsi kuadratik, fungsi normal, atau fungsi distribusi yang elips simetris. Ada beberapa konsep yang harus dimengerti jika menggunakan ukuran standar devi-asi dalam mengukur risiko portofolio dalam persoalan ekonomi , yaitu :

7

a. Gambaran utilitas kuadratik merupakan ukuran yang sulit dijabarkan secara rinci terutama dalam hal menjabarkan naik atau turunnya fungsi risiko porto-folio yang akan diukur.

b. Asumsi dari distribusi elips yang simetris merupakan persoalan distribusi yang problematik karena ada kemungkinan distribusi risiko yang diminta berada diluar dari asset yang dimiliki oleh perusahaan dalam kenyataan yang terjadi di-lapangan.Secara umum dari sebuah fungsi ellips persoalan ukuran risiko adalah persoalan yang dipengaruhi asset dari perusahaan serta nilai marketing yang dimiliki oleh perusahaan sehingga mempengaruhi pergerakan perkembangan dari perusahaan ( King dan Wadhani,1990 ). Distribusi yang asimetris akan membuat standar deviasi lebih sulit mengukur ukuran risiko yang harus dise-imbangkan dengan nilai asset serta penjualan yang diperoleh oleh perusahaan tersebut.

Sejalan dengan kesulitan-kesulitan yang ditemukan dalam hal mengukur risiko portofolio dari perusahaan maka dibutuhkan alternatif yang dapat membuat proporsi dan analisis dari persoalan portofolio di perusahaan. Pendekatan standar deviasi seba-gai ukuran risiko dari portofolio tertentu adalah kurang tepat karena teknik komputasi sulit untuk digunakan secara realitas serta sulit untuk menentukan hasil perhitungan risiko akhir jika menggunakan standar portofolio.

8

Model Gaussian adalah salah satu model yang dikenal dalam bidang risiko ekonomi untuk memprediksi ketidakpastian tentang risiko yang akan terjadi dimasa mendatang, (Taamouti, 2009). Penggunaan model Gaussian cukup akurat karena model Gaussian melibatkan semua faktor-faktor yang penting jika terjadi fluktuasi serta pengelompokan dalam penjualan portofolio. Proses analisis portofolio meng-gunakan shortfall sebagai ukuran risiko akan lebih baik jika dibandingkan Value at Risk (VaR) karena model shortfall mengekspektasikan kondisi portofolio secara lebih mendetail.

Fungsi ekspektasi shortfall adalah sebuah pedekatan nonparametrik untuk meng-estimasi model portofolio, (Zongwu, 2008). Estimasi nonparametrik dengan ekspek-tasi shortfall digunakan untuk membangun model portofolio menggunakan time series data. Distribusi linear digunakan sebagai model estimasi yang menguntungkan secara berkesinambungan dengan proses seleksi. Secara umum model shortfall memberikan ilustrasi empiris akurat dan efisien jika dijadikan estimasi dalam persoalan portofolio optimisasi.

2.4 Ukuran Risiko

Teorema Bayes dapat digunakan untuk mengekspektasikan perolehan yang di-nyatakan dalam satuan moneter dan merupakan pengukuran yang tepat untuk kon-sekuensi pengambilan tindakan, walaupun dalam situasi tertentu pengambilan kepu-tusan dengan teori Bayes memiliki beberapa kelemahan. Hal ini dimungkinkan misal-nya walaupun suatu perusahaan tidak menginvestasikan sumberdayamisal-nya untuk suatu produk baru, bahkan walaupun profit yang diharapkan cukup besar, jika ada risiko kehilangan investasi atau bahkan menimbulkan kebangkrutan. Orang membeli suatu asuransi meskipun hal tersebut mungkin suatu hal yang buruk, jika dilihat dari sudut pandang ekspektasi perolehannya. Contoh-contoh tersebut bisa menyatakan bahwa teori Bayes memiliki kelemahan. Untuk menutupi kelemahan tersebut, ada tahapan yang harus dilakukan yaitu mentransformasikan nilai moneter menjadi suatu skala yang tepat untuk menggambarkan preperensi dari pengambil keputusan.

Dalam perkembangan ilmu ekonomi dikenal istilah utilitas marginal uang turun. Utilitas marginal uang turun dapat didifinisikan sebagai kemiringan fungsi akibat peningkatan jumlah uang. Hal ini sering disebut dengan istilah penghindar risiko.

9

Meskipun demikian tidak semua individu mempunyai utilitas marginal uang turun. Beberapa individu disebut sebagai pencari risiko, kebalikan dari penghindar risiko, dan mereka selalu berupaya untuk mencari skor tinggi. Kemiringan fungsi utilitas naik seiring dengan peningkatan jumlah uang yang dilibatkan. Meskipun beberapa orang terlihat netral dalam mengambil risiko, yang menghargai uang sesuai dengan nilai uang tersebut. Utilitas uang individu tersebut sebanding dengan banyaknya uang yang dilibatkan.

Seseorang juga sangat mungkin untuk memilih setiap risiko yang akan dihada-pinya jika berhubungan dengan jumlah peningkatan atau penurunan jumlah uang. Seseorang mungkin menjadi netral dalam mengambil risiko pada saat jumlah uang yang dilibatkan sedikit, kemudian menjadi pencari risiko pada saat jumlah uang yang dilibatkan cukup banyak dan kemudian kembali lagi menjadi penghindar risiko jika uang yang dilibatkan sangat banyak. Perilaku tersebut dapat berubah tergantung pada keadaan yang sedang dihadapi. Perilaku individu terhadap risiko juga berbeda saat seseorang dihadapkan pada berbagai jenis situasi dan keadaan, misalnya hal yang berhubungan dengan masalah keuangan pribadi ataupun masalah keuangan organi-sasi. Manager perusahaan harus mempertimbangkan keadaan perusahaannya dan filosofi manajemen puncaknya pada saat mengambil keputusan yang berkaitan de-ngan organisasi. Kenyataan bahwa orang yang berbeda akan mempunyai fungsi utili-tas yang berbeda terhadap uang mempunyai implikasi yang penting pada pembuatan keputusan dalam kondisi ketidakpastian.

Pada saat fungsi utilitas untuk uang digunakan dalam pendekatan analisis kepu-tusan, fungsi utilitas ini harus dibangun agar sesuai dengan selera dan nilai pengambil keputusan. Pengambil keputusan dapat saja merupakan seorang individu atau orga-nisasi. Sifat dasar fungsi utilitas dapat merupakan kunci untuk membangun fungsi utilitas. Maka fungsi utilitas untuk uang dari seseorang pengambil keputusan mem-punyai sifat menilai tidak ada berbeda di antara dua alternatif tindakan, jika alternatif tersebut memiliki ekspektasi utilitas yang sama. ( Pennings, 2003)

10

tasi utilitas. Fungsi utilitas tidak hanya berhubungan dengan alternatif yang bersifat uang, walaupun kebanyakan ukuran risiko selalu berhubungan dengan investasi yang berharga seperti portofolio.

2.5 Model Loyalitas

Beberapa model loyalitas dinamis telah dikembangkan untuk menentukan se-berapa besar harga rata-rata dari pembelian yang dilakukan oleh konsumen untuk dijadikan sebagai data dalam membuat model persaingan harga dari perusahaan agar mampu bersaing, (Seetharaman,et al 1999). Permasalahan dalam model loyalitas dinamis dimana yang selama ini ada adalah model loyalitas yang dibangun hanya digunakan untuk menghitung nilai loyalitas. Pada penelitian ini penulis mencoba membangun model loyalitas dinamis dengan model rantai Markov.

Seringkali dianggap bahwa suatu perusahaan yang memiliki konsumen setia yang lebih banyak akan menetapkan harga rata-rata yang lebih tinggi dan melakukan pro-mosi lebih sedikit dibanding perusahaan pesaing. Ini merupakan prediksi dalam model promosi yang sesuai dengan fakta bahwa konsumen yang setia lebih tertutup meng-hadapi perubahan biaya. Model dimulai dengan asumsi beberapa konsumen adalah konsumen yang sudah dimiliki, akan tetapi sebagian besar loyalitas konsumen dicip-takan melalui pengalaman terhadap produk disebut sebagai loyalitas dinamis. Saat mengembangkan kebijakan penetapan harga pada situasi yang demikian, seseorang harus seimbang dalam menawarkan harga rendah untuk menguji dan membangun loyalitas ketimbang menawarkan harga tinggi untuk memperoleh laba dari konsumen yang setia melakukan pembelian berulang. Analisa pasar yang dinamis perlu di-lakukan untuk menunjukkan bahwa suatu perusahaan dengan konsumen yang setia akan lebih banyak membebankan harga rata-rata yang lebih rendah.

Model promosi dinamis pada loyalitas konsumen menjelaskan konsumen loyal statis selalu lebih menyukai satu perusahaan dan tidak pernah membeli dari perusa-haan pesaing. Konsumen loyal dinamis pada awalnya indiferen tetapi dapat menjadi loyal setelah melakukan pembelian. Perbedaan harga dalam perusahaan serta kemam-puan berbeda akan menghasilkan loyalitas dinamis. Analogi terhadap literatur yang ada menunjukkan bahwa suatu perusahaan dengan kemampuan menghasilkan kon-sumen loyal dinamis yang lebih besar menjadi kuat dan pesaingnya menjadi lemah.

11

Perusahaan kuat memiliki insentif lebih besar untuk menawarkan harga lebih ren-dah untuk menghasilkan harga yang bersaing tetapi akan menaikkan harga begitu dasar keloyalan konsumen terbentuk. Hal ini tampak pada siklus penetapan harga tinggi-rendah untuk menghasilkan harga yang bersaing dan mencapai laba pada pem-belian berulang. Sebaliknya, perusahaan lemah menciptakan umpanbalik positif lebih sedikit dari suatu pengalaman membeli dan memiliki konsumen loyal dinamis lebih sedikit. Hal ini akan mengurangi insentif yang ditawarkan pada harga-harga lebih rendah untuk menghasilkan harga bersaing, akhirnya menaikkan harga rata-rata pe-rusahaan. Pada bagian ini dijelaskan mengapa suatu perusahaan kuat menawarkan harga rata-rata lebih rendah dibanding perusahaan yang lemah.

Pengembangan model loyalitas dinamis dilakukan dengan cara menganalisis di mana konsumen dianggap tetap selama tiga periode. Hal ini mengakibatkan kemung-kinan menyatakan bahwa kita memberi label k = 0, 1, 2, dan 3. Dalam keadaan 0 terdapat 20 konsumen loyal dinamis pada perusahaan yang kuat dan nol untuk perusahaan lemah. Dalam keadaan 3 terdapat 2θs konsumen loyal dinamis untuk

perusahaan yang kuat dan nol untuk perusahaan lemah. Dalam keadaan 1 dan 2 terdapat konsumen loyal dinamisθs+θw yang bertahan untuk satu atau dua periode

tambahan. Hal ini menyatakan bahwa konsumen lama akan memiliki satu periode yang tersisa dan konsumen yang baru akan memiliki dua periode yang tersisa. Dalam keadaan 1, terdapatθs konsumen lama dan θw konsumen muda. Dalam keadaan 2,

terdapat θs konsumen muda dan θw konsumen tua.

Analisis model analog yang tersedia dari model akan ditentukan oleh fungsi Vjk

dan pk. Nilai ekuilibrium untuk Vjk dan pk memerlukan persamaan dan beberapa di

antaranya diketahui dari Fjk(pk) = 0. Ada beberapa kemungkinan keadaan dan di

12

Analisis model menunjukkan bahwa hasil yang diperoleh semakin kaya dengan model yang lebih kompleks. Asumsi bahwa konsumen bertahan selama dua periode menghasilkan model loyalitas dinamis dan hasil yang diperoleh terus berlaku selama konsumen bertahan lebih dari dua periode. Untuk menggambarkan kesamaan model selanjutnya dapat dilakukan plot harga yang diharapkan. Hal ini mempertimbangkan dua keadaan yang berbeda (keadaan 1 dan 3) di mana satu perusahaan memiliki 2θj

konsumen loyal dinamis dan perusahaan lain adalah nol.

Secara keseluruhan hal ini menjelaskan bahwa perusahaan akan menawarkan harga tinggi dalam beberapa periode untuk mengambil keuntungan pada basis kon-sumen yang loyal. Ketika basis konkon-sumen yang loyal cukup rendah, perusahaan akan menawarkan serangkaian promosi yang mendalam untuk membangun dasar loyalitas konsumen. Begitu basis loyalitas konsumen ditetapkan, maka siklus akan berulang.

2.6 Proses Markov

Sebuah proses Markov Xtdikatakan sebagai proses stokastik jika terdapat nilai

Xt, dan nilai Xs untuk s > t dan terdapat nilai lain yaitu Xu untuk u < t. Hal ini

menjelaskan bahwa peluang proses selanjutnya dapat diketahui berdasarkan kondisi kenyataan saat ini. Waktu diskrit rantai Markov adalah proses dimana setiap tahap dari Markov merupakan tahap yang dapat dihitung (finite) dalam waktu t = (0,1,2) dengan model Markovnya :

= Pr _{ Xn+1 =j|Xo =jo, ...Xn₋1=in₋1, Xn = 1}

= Pr _{Xn+1 =j|Xn =i}

Perusahaan dalam menjalankan aktifitasnya selalu berhubungan dengan per-saingan harga sebelum memasarkan produknya. Perusahaan-perusahaan yang ber-saing harga dan memiliki produk sama akan berber-saing lebih ketat dalam hal menen-tukan harga dari produk-produk perusahaan agar laku dibeli oleh konsumen, sehingga perusahaan lebih mampu bersaing.

Pemasaran merupakan penjualan produk oleh produsen kepada konsumen de-ngan memperhatikan faktor-faktor berhubude-ngan dede-ngan waktu penjualan, harga pasar,

13

dan tingkat persaingan harga. Persaingan harga merupakan proses penjualan oleh produsen mendapatkan daya beli dari konsumen. Dalam menentukan harga produk perusahaan harus memiliki data akurat dan keputusan tepat agar produk perusahan benar-benar laku dipasaran dan mampu bersaing di pasar bebas dengan memper-hatikan data dari daya beli konsumen berdasarkan priode penjualan tertentu.

Menentukan model persaingan harga produk perusahaan maka perusahaan harus memiliki model supaya harga yang ditetapkan sesuai dengan kebutuhan daya beli kon-sumen. Model tersebut tentunya harus dibangun dengan asumsi-asumsi dasar sebagai teori dasar menyatukan kebutuhan yang dimiliki para konsumen, termasuk jenis pro-duk yang dipasarkan, ukuran propro-duk, daya beli, kemasan, strategi penjualan akhirnya menjadi model penjualan berdasarkan analisis kebutuhan pasar.

BAB 3

SHORTFALL

3.1 Pengertian Shortfall

Indikator-indikator untuk menentukan VaR adalah pergerakan harga pasar, nilai tukar rupiah, suku bunga adalah hal-hal yang lazim digunakan untuk mengukur risiko. Portofolio menurut Markowitz adalah perhitungan ukuran rsiko secara umum dengan memuat indikator-indikator yang mempengaruhi ukuran risiko dari sebuah investasi yang dimiliki oleh perusahaan.

Untuk menentukan nilai ekspektasi dari proses stokastik perlu dijabarkan penger-tian tentang metode shortfall. Model investasi pada umumnya berdasar pada nilai utilitas maksimum yang didifinisikan dengan fungsi u(.) Hal ini menunjukkan inves-tasi dengan nilai peluang X lebih condong didasarkan pada nilai variabel Y dimana X dan Y merupakan variabel- variabel dengan kepadatan yang kontinu (Levy dan Kroll,1978;Levy,1992) ,diperoleh:

a. E[u(X)]_≥ E[u(Y)] untuk setiap uεU1 jika dan hanya jikaqα(X)≥qα(Y),∀αε(0,1)

dan nilai penyeimbang persamaan yang dimaksud adalah α.

b. E[u(X)] _≥ E[u(Y)] untuk setiap nilai uεU2 jika dan hanya jika E[X | X ≤

qα(X)] ≥ E[Y | Y ≤ qα(Y)],∀αε(0,1) dan nilai penyeimbang persamaan yang

dimaksud adalah α .

Keterangan :

R : Peluang ekspektasi keseluruhan investasi sα : Nilai minimum risiko metode shortfall

α : Ukuran risiko

qα : Nilai penyeimbang ukuran risiko

X,Y: Nilai kepadatan variabel kontinu E : Nilai ekspektasi

15

Jika nilai fungsi utility dari investor adalah u εU2, jika dan hanya jika fungsi tersebut membentuk fungsi konveks. Maka diperoleh nilai rata-rata portofolionya adalah nilai minimum dari risiko metode shortfall yang dijabarkan sebagai berikut:

sα(x) =µ

′

x₋E[R′x_|R′x_≤qα(R

′

x)],_∀αε(0,1) (1)

Himpunan (0,1) merupakan elemen bilangan integer, dan (0,1) memiliki arti : 0 untuk investasi portofolio yang gagal atau risiko rendah serta 1 untuk investasi yang berhasil ataupun risiko tinggi. Nilai dari sα(x) adalah ukuran kehilangan nilai investasi dari

peluang total investasi portofolio yang dimiliki perusahaan.

3.2 Ukuran Shortfall

Model distribusi shortfall membentuk ellips simetris yang memiliki nilai propor-sional dengan standar deviasi, dimana standar deviasi yang dimaksud adalah ukuran dari risiko. Kemudian distribusi variansi dari risiko tersebut dapat dituliskan dalam bentuk model sebagai berikut :

sα(x) = µ−[X |X ≤qα(X)] =µ− _ασ√1_2π

Metode shortfall memiliki hubungan relasi dengan VaR yaitu :

a. Shortfall dari levelαadalah rata-rata VaR untuk setiap nilai x, sehingga diper-oleh sα(x) = 1′α

b. sα(x)≥ VaRα(x)

c. Kedua nilai sα (x) dan VaRα (x) adalah fungsi turun untuk setiap nilai α

Karena sα(x) = 1/α

R∞

16

Kemudian selanjutnya diperoleh model Markowitz dari sebuah ukuran portofolio adalah sebagai berikut :

LP Ma(τ;X) :=

Z τ

−∞

(τ₋t)a_dF

X(t), a≥0 (4)

Ukuran risiko yang koheren selanjutnya berbentuk ρ(X) yang merupakan nilai investasi acak dari X adalah variabel dari fungsi ukuran risiko yang dimaksud dengan beberapa aksioma yang dipenuhi:

a. Translasi untuk setiap nilaiaεR, ρ(X +a) =ρ(X)₋a

b. Nilai investasi dari X dan Y, ρ(X +Y)_≤ρ(X) +ρ(Y)

c. Memiliki nilai homogen untuk setiap t _≥ 0,ρ(tX) =tρ(X)

d. Selalu bernilai positip untuk X _≥0, ρ(X)_≤0

3.3 Alternatif Nilai dari Shortfall

Nilai alternatif dari shortfall adalah merupakan fungsi konveks dari ukuran sam-pel rata-rata metode shortfall yang merupakan model optimisasi dengan fungsi sebagai berikut :

Ekspresi shortfall dari suatu portofolio x adalah:

17

Selanjutnya diperoleh distribusi metode shortfallnya yaitu :

∇xsα(x) =µ−E[R |R

′

x_≤qα(R

′

x)] (7)

Selanjutnya substitusi nilai X _≤ qα(R

′

x) diperoleh model :

sα(x) = E[X]−E

R∝

0 VaR u(x) du [X |X ≤q∝(X)]

= (1_{− ∝})_{E[X _|X > q_∝(X)]₋E[X _|X _≤q_∝(X)]_{} ≥}0 (8)

Selanjutnya ditentukan nilai dari _∇xsα(x), dimana:

∂S∝(x)

Dengan mengingat sifat distribusi berikut ini

18

dengan nilaiα adalah:

∝=R R

Nilai estimasi non parametrik sα(x) adalah:

ˆ

Kemudian diperoleh nilai rata-rata portofolio adalah sebagai berikut :

s_∝(rp) =s_∝(x_∝(rp))≤s_∝(λx1 + (1−λ)x2)≤λs∝(x1) + (1−λ)s∝(x2)

=λs_∝(rp1) + (1−λ)s∝(rp2) (12)

Diperoleh model nilai variansi minimumnya adalah :

19

Solusi optimal ditentukan dengan model :

µj −rf =βj,_∝(x_∝)(rp −rf), j = 1, . . . , n (17)

Dengan mengalikan persamaan (16) dengan x dan gunakan persamaan (16) yang kedua maka diperoleh nilaiγ,yaitu:

BAB 4

OPTIMISASI SHORTFALL

4.1 Optimisasi Shortfall

Banyak persoalan perencanaan dan manajemen yang mengandung risiko dan ketidakpastian dibahas dan diselesaikan dengan program stokastik dua tahap (tahap ganda). Persoalan stokastik dengan kompensasi dari divergensi pada sistem dengan kendala mempunyai aplikasi yang lebih banyak dari pada model program yang lain. Penyelesaian persoalan program stokastik dua tahap berisi vektor acak dan vektor deterministik. Pada tahap pertama, penyelesaian persoalan rencana awal secara deterministik akan dibuat. Pembentukan rencana awal deterministik dilakukan se-belum kondisi acak dari persoalan ditentukan. Sebuah vektor acak pada penyelesaian persoalan yang sesuai digunakan untuk merencanakan kompensasi divergensi, spesi-fikasi parameter dari persoalan akan muncul pada tahap kedua. Tujuan dari manager pada persoalan di atas adalah meminimumkan nilai rata-rata biaya, yang mana tidak hanya termasuk pengeluaran pada tahap perencanaan pendahuluan tetapi juga pada tahap kedua yang diperlukan untuk mengkompensasi pada divergensi di dalam sis-tem kendala persoalan. Jika persoalan program stokastik dengan model dua tahap dapat diselesaikan maka pemilihan dari rencana awal deterministik akan menjamin keberadaan (eksistensi) vektor acak di dalam kompensasi untuk sistem yang divergen.

Optimisasi shortfall dapat dihitung dengan menggunakan dua tahapan yaitu algoritma yang dilakukan dengan pendekatan distribusi dari R dengan data yang dimiliki oleh model investasi. Model rata-rata sampel untuk risiko shortfall ditentukan dengan model optimisasi yaitu :

Zsample =minimizex x

Selanjutnya model disubstitusikan dengan variabel x menjadi :

21

Model Linier Optimisasi dari metode shortfall adalah:

Zsample=minimizex,t,z x

Model optimisasi yang memuat vectorv adalah:

minimize

Diperoleh model dualitas yang merupakan solusi optimal:

maximize

Model (2) dapat disederhanakan kembali menjadi :

Zsample=minimizex x

22

Model standar deviasi diperoleh:

ZQP = minimize (x

Nilai standar deviasi diperoleh:

(x′Σˆx)1′2= α

Model standar deviasi tersebut dibuat oleh (Dimitris Bertsimas ,et al 2003) dalam Journal of Economic Dynamics & Control yang berjudul ”Shortfall as a risk measure: properties, optimization and applications”.

4.2 Portofolio Dengan Ukuran Risiko

Para manajer professional dari portofolio biasanya menggunakan model kom-puter berbasis pemrograman nonlinier untuk memandu pekerjaan mereka, oleh karena investor harus memperhatikan baik investasi pendapatan maupun risiko investasi, pemrograman nonlinier digunakan untuk menentukan portofolio maupun sebagai uku-ran risiko investasi. Pemrograman nonlinier digunakan untuk menentukan portofolio

23

yang pada asumsi tertentu dapat menghasilkan keseimbangan optimal antara kedua faktor tersebut. Pendekatan ini sebagian besar merupakan hasil riset dalam bidang ekonomi.

Model pemrograman nolinier dapat dijabarkan misalnya n adalah jenis saham / sekuritas yang sedang dipertimbangkan untuk masuk dalam portofolio dan variabel keputusan xj(j = 1,2,3, . . . , n) adalah jumlah share dari saham j yang masuk dalam

portofolio. µj danσij adalah rata-rata dan variansi masing-masing untuk pendapatan

setiap share antara saham i dan saham j. Oleh karena sulit mengestimasi seluruh nilai

σjj pendekatan yang biasa dilakukan adalah membuat asumsi tentang perilaku pasar

sehingga memungkinkan untuk menentukanσij dari persamaan yang mengandungσii

dan σjj.

Kemudian nilai ekspektasi R(x) dan Variansi V(x) dari total seluruh pendapatan portofolio:

Nilai ekspektasi : R(x) = Σµjxj

Nilai variansi : V(x) = ΣΣσijxixj

Keterangan:

R(x) = Nilai Ekspektasi Risiko Portofolio V(x) = Nilai Variansi Risiko Portofolio x = Variabel Keputusan Portofolio j = Ukuran Sampel Portofolio

µ = Jenis Portofolio

σ = Perilaku Pasar

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Pembelian dan penjualan sebuah portofolio dapat memiliki risiko yaitu berupa kerugian. Untuk menentukan ukuran risiko, dapat digunakan model optimisasi porto-folio dengan metode shortfall sebagai ukuran risiko. Metode shortfall sebagai ukuran risiko dapat digunakan untuk menghitung seberapa besar ukuran risiko dari sebuah portofolio yang diperoleh dari beberapa sampel yang berasal dari asset seluruh pe-rusahaan. Pada penelitian ini diperoleh kesimpulan bahwa untuk menentukan uku-ran risiko dari portofolio dapat digunakan model optimisasi yaitu metode shortfall sebagai ukuran risiko. Penggunaan stokastik tahap ganda digunakan dalam model optimisasi portofolio yaitu pembentukan rencana awal secara deterministik kemudian diselesaikan dengan optimisasi dengan metode shortfall sebagai ukuran risiko.

Kelebihan metode shortfall adalah lebih memperhitungkan risiko secara lebih spesifik karena menggunakan stokastik tahap ganda sehingga ukuran risiko lebih dapat dihitung dengan cermat. Jika menggunakan metode optimisasi saja maka ukuran risiko dalam masalah yang kompleks dengan kendala yang besar sulit diperoleh ukuran risiko yang lebih akurat.

5.2 Saran

Banyak metode pengukuran risiko yang muncul dan diujicobakan oleh para pelaku pasar, diantaranya Value at Risk. Metode VaR dianggap sebagai metode stan-dar dalam mengukur risiko pasar.Sebaiknya disarankan dalam menentukan risiko stan-dari sebuah portofolio ditunjukkan beberapa metode yang dapat digunakan sebagai alat untuk menentukan ukuran risiko.Pada penelitian ini ukuran risiko yang digunakan adalah metode shortfall yaitu dengan menunjukkan model optimisasi portofolio.

DAFTAR PUSTAKA

Acerbi.C.Tasche ( 2002), On the coherence of expected shortfall, Journal of banking finance, 1487-1503.

Bessel (1998), ”Capturing dynamic brand choice processes in turbulent consumer goods markets,”Marketing science, 15(1),1-20.

Bucklin, R.E. and J.M. Lattin (1991), ”A Two-Keadaan Model of Purchase Incidence and Brand Choice,”Marketing Science, 10 (1), 24-39

Chen, Y.,G. Iyer and V, Padmanaban (2002), ”Referral Infomediaries,” Marketing Science, V21, n4, pp. 412-434.

Chen, Y.C., Narasimhan, Z. John Zhang (2001), ”Individual Marketing with Imperfect Targetability.”Marketing Science, v20, n1, pp. 23-41.

Dimitris Bertsimas, Geoffrey J. Lauprete,Alexander Samarov ( 2003), Shortfall at risk measure : properties, optimization and applications,University of Massachusetts, Lowel ,USA

Guadagni, P.M. and J.D.C. Little (1983), ”A Logit Model of Brand Choice Calibrated on Scanner Data,” Marketing Science, 1 (2), 203-38

Heckman, J.J. (1991), ” Identifying the Hand of Past: Distinguishing Keadaan Depen-dence from Heterogeneity.”American Economic Review, 81 (2).

Huang, C.F., Litzenberger, R.H., (1988).Foundations for Financial Economics. Pren-tice Hall, Englewood Cliffs, NJ.

Ingersoll Jr., J., (1987). Theory of Financial Decision Making.Rowman and Littlefield Publishers, New York.

K.Boudt, B.G Peterson, P.Carl (2003) ,”Hedge fund portofolio selection with modified expected shortfall, Guidance Capital Management, Chicago

King and Whadhani, (1990), Modeling Purchase-Timing and Brand-Switching Be-haviour,”Journal of Marketing Research, 28(1),29-41.

Kopalle, Praveen K., Carl F. Mela, and Lawrence Marsh (1999), ”The Dynamic Effect of Discounting on Sales: Empirical Analysis and Normative Pricing Implica-tions,” Marketing Science, 18 (3), 317-332

Kopalle, Praveen K., Aradhana Krishna, and Joao L. Assuncao (1999), ”The Role of Market Expansion on Equilibrium Bundling Strategies, ”Managerial and Deci-sion Economics, 20, 365-377

Leeflang, P.S.H. and D.R. Wittink (1992), ”Diagnosing Competitive Reactions Using (aggregated) Scanner Data,” International Journal of Research in Marketing, 9 (1), 1992, 39-57.

Mar-26

Levy,H.,(1992).”Stochastic dominance and expected utility: survey and analy-sis”.Management Science 38(4), 555-593.

Levy,H.,Kroll,Y.,(1978).”Ordering uncertain options with borrowing and lending.”The Journal of Finance 31 (2) 553-574.

Markowitz, H.M., (1959). Portfolio Selection. Wiley,New York.

Morgan, J.P (1991) Value at Risk in Marketing Science,”Marketing Science ,12(2),271-290.

Pennings, JME (2003), The shape of utility function and organizational behavior, Management science, 1251-1263

Seetharaman, P.B., A. Ainslie and P.K. Chintagunta (1999), ”Investigating household keadaan dependence effects across categories,”Journal of Marketing Science, 36 (4), 488-500.

Taamouti Abderrahim ( 2009 ), Analytical Value at Risk and expected Shortfall under regime switching, Departemento de Economia, Universidad Carlos III de Madrid, Madrid.

Wiitink, (1996), A Model of Balanced Choice Behaviour,”Marketing Science,6 (1) 48-65.

Yamai Yasuhiro , ( 2004 ), ”Value at Risk versus expected shortfall : A practical perpective”, Institute for monetary and economics studies, Tokyo

Zongwu Cai (2008), Nonparametric methods for estimating conditional VaR and ex-pected shortfall, University of North Carolina at Charlotte, 2005.