Kajian Perbandingan Respon Dinamik Linier Dengan Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis) Mengunakan Modal Analisis (Mode Superposition Method) Dan Integrasi Langsung (Direct Time Integration Method)

(1)

KAJIAN PERBANDINGAN RESPON DINAMIK LINIER

DENGAN ANALISIS RIWAYAT WAKTU (TIME HISTORY

ANALYSIS) MENGUNAKAN MODAL ANALISIS (MODE

SUPERPOSITION METHOD) DAN INTEGRASI LANGSUNG

(DIRECT TIME INTEGRATION METHOD)

TUGAS AKHIR

Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil

disusun oleh :

09 0404 138

KEVIN

BIDANG STUDI STRUKTUR

DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

(2)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur saya ucapkan kepada Allah SWT, karena atas rahmat karunia-Nya, serta dukungan dari berbagai pihak, sehingga saya dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan baik. Sholawat dan Salam tidak lupa pula saya curahkan kepada Rasulullah Muhammad SAW, yang telah membawa kita menuju alam yang terang benderang akan ilmu pengetahuan seperti saat ini.

Tugas Akhir ini berjudul “KAJIAN PERBANDINGAN RESPON DINAMIK LINIER DENGAN ANALISIS RIWAYAT WAKTU (TIME HISTORY ANALYSIS) MENGUNAKAN MODAL ANALISIS (MODE SUPERPOSITION METHOD) DAN INTEGRASI LANGSUNG (DIRECT TIME INTEGRATION METHOD)”. Tugas akhir ini disusun sebagai salah satu syarat menempuh jenjang pendidikan Strata Satu (S-1) pada Departemen Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara.

Untuk dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini, tentunya tidak dapat terlepas dari segala hambatan dan rintangan, namun berkat bantuan moril maupun materil dari berbagai pihak serta dukungan dan saran dari berbagai pihak, akhirnya Tugas Akhir ini dapat diselesaikan dengan baik. Untuk tidak berlebihan kiranya dalam kesempatan ini saya mengucapkan terima kasih kepada :

(3)

2. Bapak Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan, selaku Ketua Departemen Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara

3. Bapak Ir. Syahrizal, MT, selaku Sekretaris Departemen Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara.

4. Bapak/Ibu Dosen Departemen Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan banyak sekali ilmu yang bermanfaat selama saya menempuh pendidikan di Departemen Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara.

5. Bapak/Ibu Staf TU Departemen Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan bantuan dalam proses administrasi selama saya menempuh pendidikan di Departemen Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara.

6. Kedua orang tua saya yang tidak pernah lelah berdoa, memberikan semua yang terbaik, kasih sayang yang tak terhingga dan untuk abang dan adik yang selalu mendukung terima kasih banyak.

7. Teman mahasiswa seperjuangan 2009, terutama buat Agus Budiman Sikumbang dan Muhammad Multazam, buat Mia, Firdha, Dewi, Waida, Aya, Evi, Putri, Ryan, Ridho, Rahman, Aul, Irwan, Deko, Toni, Khairun, Benny, Lanacing, Asa, Ersha makasih ya dan buat stambuk 2009 yang tidak bisa di sebut satu-satu.

(4)

9. Adik-adik mahasiswa stambuk 2010, 2011, 2012, 2013 yang telah banyak membantu memberikan dukungan untuk menyelesaikan Tugas Akhir ini. Saya menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih jauh dari sempurna, sehingga saya mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk menambah pengetahuan dan wawasan saya di masa depan.

Akhirnya saya berharap semoga laporan ini dapat bermanfaat bagi saya dan rekan-rekan serta adik-adik di Departemen Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara.

Medan, 2014

(5)

ABSTRAK

Indonesia adalah negara yang dilalui 2 jalur seismik. Hal ini menyebabkan gempa bumi sering terjadi di negara ini. Bagi seorang insinyur teknik sipil khususnya struktur, beban gempa menjadi aspek penting yang perlu diperhitungkan dalam mendesain bangunan terutama dari segi struktural.

Oleh karena itu diperlukan usaha-usaha penyederhanaan agar model analisis pengaruh gempa terhadap respon struktur dapat diperhitungkan oleh kebanyakan insinyur. Gempa bumi umumnya direkam di permukaan tanah bebas (free field record) sedangkan fondasi bangunan terpendam di dalam tanah. Penyederhanaan yang dipakai adalah bahwa rekaman dari free field dianggap sebagai rekaman di bawah fondasi bangunan (foundatian input motion). Terdapat beberapa penyederhanaan untuk memperhitungkan efek gempa terhadap analisis struktur bangunan yaitu menggunakan Beban Ekivalen Statik, Spektrum Respon dan dengan Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis, THA)

Untuk memperhitungkan efek gempa terhadap analisis struktur bangunan yang digunakan pada tugas akhir saya ialah Model Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis) adalah dasar struktur bangunan digetar oleh gempa yang pada umumnya memakai rekaman gempa tertentu.

Untuk menganalisis masalah dinamik linier riwayat waktu (time history) terdapat dua metode, yaitu Modal Analisis (Mode Superposition Method) dan Integrasi Langsung (Direct Time Integration Method).

Pada tugas akhir ini dianjurkan untuk menggunakani Metode Modal Analisis, karena hasilnya lebih akurat walaupun pengerjaannya memerlukan waktu yang lama dibandingkan dengan Metode Integrasi langung baik menggunakan Metode Newmark maupun Metode Wilson yang hasilnya kurang akurat namun waktu pengerjaan yang lebih cepat.

(6)

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.……... i

ABSTRAK.……... iv

DAFTAR ISI.……... v

DAFTAR NOTASI.……... ix

DAFTAR TABEL.……... xii

DAFTAR GAMBAR.……... xiii

DAFTAR LAMPIRAN.……... xvii

BAB I Pendahuluan 1. 1. Latar Belakang Masalah..……... 1

1. 2. Perumusan Masalah………. 9

1. 3. Maksud dan Tujuan……….. 9

1. 4. Pembatasan Masalah……… 10

1. 5. Metodologi Penulisan………... 11

BAB II Tinjauan Pustaka 2. 1. Umum……….. 12

2. 2. Komponen Struktur………. 13

2. 3. Tinjauan Perencanaan Struktur Bangunan……….. 13

2. 3. 1. Metode Analisa Statik……… .……….…….. 13

(7)

2. 3. 3 Pembebanan……….…..….. 14

2. 4. Karakteristik Struktur Bangunan.……….…….…….. 16

2. 4. 1 Massa………...…….. 17

2. 4. 1. 1. Model lumped mass……….…….. 17

2. 4. 1. 2. Model consistent mass matrix.……….…….…….. 18

2. 4. 2. Kekakuan.……….…...….…….. 19

2. 4. 3. Redaman.………...…….…….…….. 19

2. 5. Simpangan (Drift) Akibat gaya Gempa.………..….…….. 20

2. 6. Derajat Kebebasan (Degree of Freedom, DOF) .………..…….. 21

2. 6. 1. Persamaan Differensial Struktur SDOF.……….. 22

2. 6. 2. Persamaan differensial struktur SDOF akibat base motion... 23

2. 6. 3. Persamaan differensial struktur MDOF.……….…….. 25

2. 6. 3. 1. Matriks massa, matriks kekakuan dan matriks redaman... 25

2. 6. 4 Getaran bebas pada struktur MDOF.……….…...….. 28

2. 6. 4. 1. Nilai karakteristik (eigenproblem) .……….…….. 28

2. 6. 4. 2. Frekuensi sudut (�) dan normal modes...…….……... 30

2. 6. 5. Getaran Bebas pada struktur MDOF.……….……... 33

2. 6. 5. 1. Modal Analisis (Mode Superposition Method) .……...…….. 33

2. 6. 5. 1. 1. Analisis Dinamis dan Respon Sistem Linier.……….. 34

2. 6. 5. 1. 1. 1. Persamaan Modal untuk Sistem tidak teredam.…..……. 34

2. 6. 5. 1. 1. 2. Persamaan Modal untuk sistem teredam…...…….…….. 37

2. 6. 5. 1. 1. 3. Respon perpindahan.………...….…….…….. 39

2. 6. 5. 1.1. 4. Gaya elemen .………...….…….…….. 40

2. 6. 5. 1. 2. Analisis Gempa Pada Sistem Linier.………..….. 41

2. 6. 5. 1. 2. 1. Analisis Modal (Response History Analysis).…….…... 41

(8)

2. 6. 5. 1. 2. 3. Ekspansi Modal dari perpindahan dan gaya .…….…….. 42

2. 6. 5. 1. 2. 4. Persamaan Modal .………...….…….……. 43

2. 6. 5. 1. 2. 5. Modal Response.……….…….…...….. 44

2. 6. 5. 1. 2. 6. Response Total.……….…….…... 45

2. 6. 5. 1. 2. 7. Intepretasi Analisis Modal.………....…….…….. 46

2. 6. 5. 1. 2. 8. Analysis of Response to Base Rotation.………….…….. 49

2. 6. 5. 1. 3 Persamaan Differensial Independen.………....…….. 49

2. 6. 5. 1. 4. Respon Struktur.……….…….……... 54

2. 6. 5. 1. 4. 1. Upperbound Response.……….…….……... 54

2. 6. 5. 1. 4. 2. Reasonable Response.……….……...…….. 57

2. 6. 5. 1. 5. Getaran bebas tanpa Redaman.……….…….….... 58

2. 6. 5. 1. 6. Getaran bebas dengan Redaman .………..…….…….…….. 59

2. 6. 5. 2. Persamaan differensial pada integrasi numerik.………..…….. 61

2. 6. 5. 2. 1. Penyelesaian Persamaan Differensial Gerakan.………..….. 62

2. 6. 5. 2. 2. Metode Time-stepping.……….…….…...…... 62

2. 6. 5. 2. 3. Analisis sistem linear dengan redaman nonclassical..……... 64

2. 6. 5. 2. 4. Metode �- Newmark.………...….…….…….. 67

2. 6. 5. 2. 5. Metode �- Wilson.………...………….…….……... 69

BAB III. Metodologi dan Analisa 3. 1. Perencanaan Struktur Gedung………... 72

3. 2. Langkah-langkah Perhitungan…..……….……... 73

3. 3. Metodologi Analisa...………....………....……... 85

(9)

4. 1. 1. Perhitungan Pembebanan Lantai.……….….…….……. 91 4. 1. 2. Perhitungan Kekakuan Kolom.………....….…….……. 92 4. 1. 3. Perhitungan Massa.………...….…...….……. 93

4. 1. 4 Perhitungan Time History perpindahan, percepatan, interstory drift setiap lantai serta base shear total dengan metode analisis superposisi (Modal Analysis) .………... 94 4. 1. 5. Perhitungan Time History perpindahan, percepatan, interstory drift

setiap lantai serta base shear total dengan metode Integrasi Langsung (Direct Integration) .………... 107 4. 1. 5. 1. Metode Integrasi Langsung ( Newmark- �) .…..……... 107

4. 1. 5. 1. 1. Metode Integrasi Langsung dengan Constant Average

Acceleration Method ( Newmark- �) .……...…... 108 4. 1. 5. 1. 2. Metode Integrasi Langsung dengan Linear Acceleration

Method (Newmark- �) ...….……...……... 120 4.1.5.2 Metode Integrasi Langsung ( Wilson- �) .……..….…….…….. 130 4.1.5.2.1 Metode Integrasi Langsung dengan � = 1 (Wilson-�)…..….. 131 4.1.5.2.2 Metode Integrasi Langsung dengan � = 1,42 (Wilson-�) ... 145 4.2 Perencanaan Struktur 5 Lantai Dengan Program SAP 2000... 159 4.2.1 Pembebanan Perlantai.……..….…….……... 161

4. 2. 2 Perhitungan Perpindahan, Kecepatan, Percepatan dan Base Shear dengan Metode Modal Analisis dengan Program SAP... 164 4. 2. 3 Perhitungan Perpindahan, Kecepatan, Percepatan dan Base Shear

dengan Metode Intregrasi Langsung (Newmark-�) dengan Program SAP 2000.……...…... 171 4. 2. 3. 1 Metode Integrasi Langsung (Newmark- (�= 1

2) .…...…... 171

4. 2. 3. 2 Metode Integrasi Langsung (Newmark- (�= 1

6) .…...…... 180

(10)

4. 2. 4. 2 Metode Integrasi Langsung (Wilson- (� = 1,42) .…...…... 198

BAB V Kesimpulan dan Saran……… 207

5.1. Kesimpulan………... 208

5.2. Saran…….……….... 209

(11)

DAFTAR NOTASI

a percepatan

An(t) response pseudo-acceleration

c redaman struktur

[�] matriks redaman Dn(t) respons defornasi

E modulus elastisitas f frekuensi getaran struktur fy tegangan leleh baja

Fn ` gaya gempa yang terjadi pada lantai ke-n

Fn(t) gaya statik ekuivalen

g percepatan grafitasi h tinggi struktur bangunan I faktor keutamaan gedung

I inersia

k kekakuan kolom

[�] matriks kekakuan k, a dan b konstanta

Ln bentang bersih terpanjang m massa dari struktur SDOF

(12)

M momen

p gaya

P(t) gaya yang bekerja pada struktur yang berubah terhadap waktu Peff(t) gaya beban efektif

rn(t) respons mode ke-n

sn distribusi gaya efektivitas

t tebal pelat lantai atau pelat atap T waktu getar alami yang diperkirakan Ta waktu getar alami fundamental

Tcomputed nilai periode yang diperoleh dari eigen value

�(�) perpindahan yang berubah terhadap waktu

�̇(�) kecepatan yang berubah terhadap waktu

�̈(�) percepatan yang berubah terhadap waktu

�̈�(�) percepatan tanah akibat gempa Vstatik gaya dasar nominal statik ekivalen

Vb base shear

WD Beban Mati

Wl Beban Hidup

Wn berat struktur pada lantai ke-n

Wtotal berat total struktur

Wu Beban Terfaktor

� perpindahan

�̇ kecepatan

�̈ percepatan

(13)

Z modal amplitudo Det determinan matriks

ω frekuensi natural struktur

ξ redaman struktur

Γ ragam partisipasi getaran

φn ragam getaran mode ke-n Δ simpangan antar lantai (drift)

Δt beda waktu

Δp perubahan intensitas pembebanan pada interval yang ditinjau

Δui perubahan simpangan ke-i Δ�̇i perubahan kecepatan ke-i Δ�̈i perubahan percepatan ke-i Δyi perubahan simpangan ke-i Δ�̇i perubahan kecepatan ke-i Δ�̈i perubahan percepatan ke-i ρ berat jenis beton

β perbandingan antara bentang bersih terpanjang dan bentang bersih terpendek

δ lendutan

δmax lendutan maksimum

(14)

DAFTAR TABEL

BAB I BAB II BAB III BAB IV

Tabel 4.1 Tabel Hasil Amplitudo akibat Gempa Kobe... 100 Tabel 4.2 Respon Struktur MDOF dengan Metode Modal Analisis... 102 Tabel 4.3 Respon Struktur MDOF dengan Metode Integrasi langsung

(Newmark) dengan Constant Acceleration Metho... 115 Tabel 4.4 Respon Struktur MDOF dengan Metode Integrasi langsung

(Newmark) dengan Linear Acceleration... 127 Tabel 4.5 Respon Struktur MDOF dengan Metode Integrasi langsung (Wilson

θ=1 ) ... 140 Tabel 4.6 Respon Struktur MDOF dengan Metode Integrasi langsung (Wilson

(15)

DAFTAR GAMBAR

BAB I BAB II

Gambar 2.1 Pemodelan struktur MDOF... 22

Gambar 2.2 Struktur SDOF akibat base motion... 24

Gambar 2.3 Keseimbangan Gaya Dinamik dengan Fs, Fd dan F... 27

Gambar 2.4 Bangunan 2-DOF dan model matematika... 30

Gambar 2.5 Sistem SDOF umum pada mode ke-n alami... 35

Gambar 2.6 Sistem SDOF umum pada mode ke-n alami... 39

Gambar 2.7 Konsep Modal Analysis... 48

Gambar 2.8 Prinsip Metode Superposisi... 51

Gambar 2.9 Kontribusi setiap mode pada simpngan pada masa ke-3... 56

Gambar 2.10 Prinsip Integrasi Wilson-θ... 70

BAB III Gambar 3.1 Perencanaan Struktur Gedung 2 lantai... 72

Gambar 3.2 Perencanaan Struktur Gedung 5 lantai... 72

Gambar 3.3 Grafik Average Acceleration... 78

Gambar 3.2 Grafik Linear Acceleration... 79

(16)

BAB IV

Gambar 4.1 Struktur Bangunan 2 Lantai (2dimensi)... 86

Gambar 4.6 Pendimensian Struktur Pada Program SAP 2000... 164

Gambar 4.7 Perletakan Struktur Pada Program SAP 2000... 165

Gambar 4.8 Penentuan Material Struktur Pada Program SAP 2000... 165

Gambar 4.9 Pendimensian Balok dan Kolom Pada Program SAP 2000. 166 Gambar 4.10 Pemasukkan Beban Hidup Dan Beban Mati Pada Program SAP 2000... 167

Gambar 4.11 Pemasukkan Akselerogram Gempa Kobe Pada Program SAP 2000... 168

Gambar 4.12 Pemasukkan Beban Gempa Pada Program SAP 200... 169

Gambar 4.16 Pendimensian Balok dan Kolom Pada Program SAP 2000 ... 173

Gambar 4.17 Pemasukkan Beban Hidup Dan Beban Mati Pada Program SAP 2000... 174

Gambar 4.19 Pemasukkan Tipe Load Time History Linear Direct Integration pada Program SAP 2000... 176

Gambar 4.20 Pemasukkan nilai �= 1 2 dan � = 1 4 pada Program SAP 2000 ... 177 Gambar 4.21 Pemasukkan Proposional redaman massa dan kekakuan

(17)

Vibration Properties of Millikan Library Building (sumber:

Chopra, 1995) ... 178

Gambar 4.25 Pendimensian Balok dan Kolom Pada Program SAP 2000. 182 Gambar 4.26 Pemasukkan Beban Hidup Dan Beban Mati Pada Program SAP 2000... 183

Gambar 4.29 Gambar IV.19 Pemasukkan nilai � =1 6 dan � = 1 4 pada Program SAP 2000... 186

Gambar 4.30 Pemasukkan Proposional redaman massa dan kekakuan berdasarkan dari Eksperimental data Modal damping ratio Vibration Properties of Millikan Library Building (sumber: Chopra, 1995... 187

Gambar 4.34 Pendimensian Balok dan Kolom Pada Program SAP2000.. 191

Gambar 4.38 Pemasukkan nilai � = 1 pada Program SAP 2000... 195

(18)

Vibration Properties of Millikan Library Building (sumber:

Chopra, 1995) ... 196

Gambar 4.43 Pendimensian Balok dan Kolom Pada Program SAP2000.. 200

Gambar 4.47 Pemasukkan nilai �= 1,42 pada Program SAP 2000... 204

(19)

DAFTAR LAMPIRAN

(20)

ABSTRAK

Indonesia adalah negara yang dilalui 2 jalur seismik. Hal ini menyebabkan gempa bumi sering terjadi di negara ini. Bagi seorang insinyur teknik sipil khususnya struktur, beban gempa menjadi aspek penting yang perlu diperhitungkan dalam mendesain bangunan terutama dari segi struktural.

Oleh karena itu diperlukan usaha-usaha penyederhanaan agar model analisis pengaruh gempa terhadap respon struktur dapat diperhitungkan oleh kebanyakan insinyur. Gempa bumi umumnya direkam di permukaan tanah bebas (free field record) sedangkan fondasi bangunan terpendam di dalam tanah. Penyederhanaan yang dipakai adalah bahwa rekaman dari free field dianggap sebagai rekaman di bawah fondasi bangunan (foundatian input motion). Terdapat beberapa penyederhanaan untuk memperhitungkan efek gempa terhadap analisis struktur bangunan yaitu menggunakan Beban Ekivalen Statik, Spektrum Respon dan dengan Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis, THA)

Untuk memperhitungkan efek gempa terhadap analisis struktur bangunan yang digunakan pada tugas akhir saya ialah Model Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis) adalah dasar struktur bangunan digetar oleh gempa yang pada umumnya memakai rekaman gempa tertentu.

Pada tugas akhir ini dianjurkan untuk menggunakani Metode Modal Analisis, karena hasilnya lebih akurat walaupun pengerjaannya memerlukan waktu yang lama dibandingkan dengan Metode Integrasi langung baik menggunakan Metode Newmark maupun Metode Wilson yang hasilnya kurang akurat namun waktu pengerjaan yang lebih cepat.

(21)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

(22)

menggunakan Beban Ekivalen Statik, Spektrum Respon dan dengan Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis, THA).(Widodo, 2001)

Model Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis) adalah dasar struktur bangunan digetar oleh gempa yang pada umumnya memakai rekaman gempa tertentu. Sebagaimana sifat beban dinamik maka penyelesaian/hitungan respon struktur tidak hanya dilakukan sekali tetapi dapat ratusan kali bahkan sampai ribuan kali. Untuk Keperluan itu, maka penyelesaian problem dinamik dengan memakai kalkulator tangan (hand calculator) dirasa tidak praktis bahkan dapat dikatakan rasa tidak mungkin. Peralatan komputer dan penguasaan integrasi numerik merupakan prasyarat untuk menyelesaikan problem dinamik dengan model analisis Time History Analysis (THA). (Widodo, 2001)

(23)

Analisis dinamis Time History linier adalah suatu cara untuk menentu memerlukan solusi dari respons dinamis struktur yang berperilaku elastis penuh (linier) terhadap beban dinamis. Persamaan keseimbangan dinamis :

[�][�]̈ + [�] [�]̇ + [�][�] =�(�) ��. (�.�)

Dengan M, C dan K berurut- turut adalah matriks massa, matriks redaman dan matriks kekakuan. �,�̇ �� ̈ berturut-turut adalah matriks percepatan, matriks kecepatan dan matriks perpindahan dan P(t) adalah beban dinamik.

Ada satu perbedaan mendasar antara solusi persamaan dinamis ekuilibrium dengan integrasi langsung dan dengan modal analisis. Dalam integrasi langsung, persamaan dinamis ekuilibrium yang terintegrasi langsung di dasar elemen hingga asli sedangkan sebelum memecahkan persamaan kesetimbangan, metode modal analisis membutuhkan transformasi ke dasar yang baru. Sebuah proporsi upaya komputasi dalam pendekatan modal analis diarahkan derivasi dari suatu himpunan vektor yang bersama-sama membentuk cocok dasar transformasi. Umumnya, eigen adalah vektor yang paling cocok , namun seperti dibahas secara rinci kemudian, serangkaian alternatif vektor terkadang komputasi lebih efisien.

(24)

dinamik dengan beberapa syarat-syarat tertentu. Syarat itu adalah bahwa respon struktur masih elastik dan struktur mempunyai standar mode shapes. Respon elastik berarti bahwa tegangan bahan belum mencapai tegangan leleh dan implikasinya kekakuan struktur tidak mengalami perubahan selama pembebanan. Disamping ini juga tidak mengalami perubahan massa dan koefisien redaman. Struktur yang mempunyai standar mode shapes adalah struktur elastik dan struktur yang tidak memperhitungkan interaksi antara tanah dan fondasi struktur. Ini berarti bahwa bangunan dianggap dijepit pada dasarnya.

Clough dan Penzien (1993) mengatakan bahwa metode modal analisis ini juga memiliki kelemahan yaitu terletak pada penyelesaian Eigenproblem untuk mencari nilai koordinat mode shapes. Hal ini terjadi karena untuk struktur yang mempunyai banyak derajat kebebasan , bagian inilah yang memerlukan banyak usaha. Setelah nilai-nilai mode shapes diperoleh, maka proses transformasi dari coupled menjadi uncoupled dapat dilakukan. Karena persamaan menjadi uncoupled, maka tidak diperlukan matriks massa, redaman dan matriks kekakuan. Pada metode ini umumnya dipakai konsep ekivalen redaman yang nilainya sama untuk setiap mode. Lebih lanjut juga dikatakan bahwa persamaan diferensial dapat menjadi uncoupled apabila tipe dampingnnya proporsional.

(25)

konsep hal ini konsep ekivalen damping rasio tidak lagi dapat digunakan. Untuk dapat menyusun matriks redaman, maka masih diperlukan frekuensi sudut untuk tiap-tiap mode.

Pada metode integarsi langsung ini, walaupun mode-shape tidak diperlukan namun demikian mencari nilai frekuensi sudut � sudah hampir sama dengan menghitung mode shapes. Dapat diartikan seperti itu karena mode-shapes/eigenvector nilai-nilainya akan bergantung pada eigenvalue yaitu nilai-nilai frekuensi sudut �. Karena diperlukan damping matriks, maka macam-macam jenis/tipe redaman dapat diakomodasi pada metode ini.

Metode Analisis Linier time history integrasi Langsung untuk menyelesaikan persamaan (1) , terdapat beberapa metode yaitu Metode �-Newmark dan Metode � -Wilson.

Banyak metode numerik saat ini tersedia untuk memecahkan persamaan (1) dengan integrasi langsung, sehingga bahwa masalah utama yang harus ditangani oleh peneliti adalah pemilihan skema yang efisien. Pilihan ini pada dasarnya didasarkan pada pertimbangan yang berkaitan dengan stabilitas, akurasi dan upaya komputasi. Pentingnya sifat algoritmik, bagaimanapun, sangat tergantung pada masalah khusus dipertimbangkan, karena prosedur solusi yang efisien harus benar mensimulasikan fitur utama dari masalah.

(26)

prinsip modal superposisi ditemui umumnya dalam analisis elastis, respon struktur menghasilkan diperkirakan hampir secara universal oleh integrasi langsung dari persamaan gerak linier. Dibahas juga prinsip modal superposisi yang diperluas ke dalam domain pasca-elastis. Di antara keuntungan yang diperoleh dari transformasi berbasis modal adalah potensial pengurangan jumlah dinamis derajat kebebasan yang ditelah diselesaikan, dan wawasan baru ke dalam respons struktur disediakan oleh sifat dinamis sesaat struktur. Dibahas juga prinsip modal superposisi, yang ditemui umumnya dalam menanggapi elastis time history, diperluas ke domain pasca-elastis. Peneliti sebelumnya cenderung mengabaikan pendekatan secara praktis, namun hal ini disampaikan bahwa dengan beberapa pemulihan dari mengkoordinasikan transformasi mendasar untuk pendekatan, modal superposisi dapat berhasil melampaui batas elastis dan skema yang dihasilkan adalah kompetitif dengan integrasi langsung. Sebuah keuntungan tambahan dari metode superposisi yang disediakan oleh time history sifat dinamis dari sistem yang dihasilkan dalam skema ini. Mengakses dengan frekuensi sesaat dan modus Bentuk struktur memberikan catatan sensitivitas dinamis untuk rekaman gempa tertentu.

(27)

metode Houbolt dan Wilson. Hal baru tanpa syarat stabil time-step algoritma untuk dinamika struktur telah dikembangkan yang memiliki perbaikan sifat-sifat redaman algoritmik yang dapat dikendalikan berkelanjutan. Secara khusus adalah mungkin untuk mencapai nol redaman. Hal ini menunjukkan bahwa ada hal baru yang lebih akurat dalam metode yang lebih rendah daripada metode wilson, namun lebih kuat disipatif dalam mode yang lebih tinggi. Metode baru melibatkan penyimpanan sepadan bila dibandingkan dengan metode Newmark dan Wilson, dan tidak lebih sulit untuk diimplementasikan.. .

L. Brusa dan L. Nigro (1980)[3] mengkaji tentang evaluasi metode numerik untuk integrasi langsung pada persamaan struktural dinamis. Pemilihan prosedur integrasi langsung yang efisien untuk persamaan dinamika struktur gerak linier yang akan dibahas. Hal ini menunjukkan bahwa sebagai parameter akurasi kesalahan pemotongan pada istilah eksponensial terkandung dalam kontribusi modal dari solusi yang tepat diasumsikan. Kesalahan ini tidak selalu bertepatan dengan kesalahan pemotongan lokal. Pertimbangan ini digunakan untuk merancang sebuah tanpa syarat stabil metode time-step yang akurasi adalah O(h4). Perbandingan numerik dengan beberapa integrasi pada skema menunjukkan efisiensi metode yang diusulkan.

(28)

dua derivatif menunjuk keluar untuk masalah linier. Untuk metode yang lalu, kesalahan pemotongan lokal memiliki perintah yang sama sebagai kesalahan pada eksponensial, tetapi juga diketahui bahwa sebuah skema stabil tatanan yang lebih tinggi dari dua tidak dapat diperoleh. Metode dari kelas yang terakhir mungkin memiliki tatanan yang lebih tinggi dari dua, tapi ini tidak menjamin akurasi yang lebih baik seperti yang ditunjukkan pada metode Houboult dan �Wilson. Pertimbangan ini diterapkan dalam desain metode numerik yang mencoba mengatasi kekurangan yang disebutkan di atas. Efisiensi Metode telah dievaluasi oleh perbandingan numerik dengan beberapa prosedur integrasi banyak digunakan.

(29)

1.2. Perumusan Masalah

Dalam tugas akhir ini, Penulis akan membandingkan dua metode dalam menganalisis respon dinamik linier riwayat waktu (time history) . Model analisis berupa portal 2D akan dianalisis menggunakan metode modal analisis dan metode integrasi langsung untuk memperoleh perpindahan, kecepatan dan percepatan dari struktur bangunan. Perpindahan, kecepatan dan percepatan atau disebut time history dari struktur bangunan akan dihitung melalui modal analisis dan integrasi langsung secara manual dan menggunakan bantuan program SAP2000.

1.3. Maksud dan Tujuan

(30)

1.4. Pembatasan Masalah

Dengan banyaknya masalah dalam respon dinamik linier dengan analisis riwayat waktu, maka pembatasan masalah yang diambil dalam penulisan tugas akhir ini, yakni :

a. Peraturan pembebanan yang digunakan mengacu pada

b. Struktur bangunan yang dianalisis merupakan portal beton bertulang pemikul momen dua dimensi.

c. Rekaman Gempa yang digunakan dalam penelitian ini adalah dari akselerogram gempa Kobe di Jepang.

d. Menghitung Manual 2 Lantai

e. Model struktur bangunan yang akan di pakai adalah :

5 x 4 m

(31)

1.5. Metodologi Penulisan

(32)

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Umum

(33)

dipakai adalah bahwa rekaman dari free field dianggap sebagai rekaman di bawah fondasi bangunan (foundatian input motion). Terdapat beberapa penyederhanaan untuk memperhitungkan efek gempa terhadap analisis struktur bangunan yaitu menggunakan Beban Ekivalen Statik, Spektrum Respon dan dengan Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis, THA).(Widodo, 2001)

2.2 Konsep Perencanaan Struktur

Konsep perencanaan struktur diperlukan sebagai dasar teori bagi perencanaan dan perhitungan struktur. Konsep ini meliputi pemodelan struktur, pembebanan, pengaruh gempa pada struktur, pemodelan tanah sebagai tumpuan dasar, evaluasi parameter dan daya dukung tanah.

2.3 Tinjauan perencanaan struktur tahan gempa

Tinjauan ini diperlukan untuk mengetahui metode analisis yang akan digunakan untuk perencanaan struktur terhadap pengaruh gempa. Metode analisis yang dapat digunakan untuk memperhitungkan pengaruh gempa. Metode analisis yang dapat digunakan untuk memperhitungkan pengauh beban gempa terhadap struktur adalah sebagai berikut :

2.3.1 Metode analisis statik

(34)

struktur akibat pergerakan tanah dan gaya-gaya statis yang ekivalen, dengan tujuan peyederhanaan dan ke,udahan dalam perhitungan. Metode ini diasumsikan bahwa gaya horizontal akibat beban gempa yang bekerja pada suatu elemen struktur, besarnya ditentukan berdasarkan hasil perkalian antara suatu konstanta berat atau massadaari elemen struktur tersebut.

2.3.2 Metode analisis dinamis

(35)

2.3.3 Pembebanan

Besar dan macam beban yang bekerja pada struktur sangat tergantung dengan jenis struktur. Berkut ini akan disajikan jenis-jenis beban, data beban serta faktor-faktor dan kombinasi pembebanan sebagai dasar acuan bagi perhitungan struktur. Jenis-jenis beban yang biasa diperhitungkan dalam perencanaan struktur bangunan gedung adalah sebagai berikut :

1. Beban mati (Dead Load)

Beban mati merupakan beban yang bekerja akibat gravitasi yang bekerja tetap pada posisinya secara terus menerus dengan arah ke bumi tempat struktur didirikan. Yang termasuk beban mati adalah berat struktur sendiri dan juga semua benda yang tetap posisinya selama struktur berdiri

2. Beban hidup (Live Load)

Beban hidup merupakan beban yang terjadi akibat penghunian atau penggunaan suatu gedung dan barang-barang yang dapat berpindah, seperti mesin dan peralatan lain yang dapat digantikan selama umur gedung.

3. Beban gempa

(36)

gedung yang menirukan pengaruh dari gerakan tanah akibat gempa itu. Dalam hal pengaruh gempa pada struktur gedung ditentukan berdasarkan suatu analisa dinamik, maka yang diartikan dengan beban gempa disini adalah gaya-gaya di dalam struktur tersebut yang terjadi oleh gerakan tanah akibat gempa itu.

Untuk memperhitungkan efek gempa terhadap analisis struktur bangunan yang digunakan pada tugas akhir saya ialah Model Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis) adalah dasar struktur bangunan digetar oleh gempa yang pada umumnya memakai rekaman gempa tertentu. Sebagaimana sifat beban dinamik maka penyelesaian/hitungan respon struktur tidak hanya dilakukan sekali tetapi dapat ratusan kali bahkan sampai ribuan kali. Untuk Keperluan itu, maka penyelesaian problem dinamik dengan memakai kalkulator tangan (hand calculator) dirasa tidak praktis bahkan dapat dikatakan rasa tidak mungkin. Peralatan komputer dan penguasaan integrasi numerik merupakan prasyarat untuk menyelesaikan problem dinamik dengan model analisis Time History Analysis (THA). (Widodo, 2001)

2.4 Karakteristik Struktur Bangunan

(37)

satu-satunya karakteristik yang dipakai pada problem statik, sedangkan karakteristik yang lainnya yaitu massa dan redaman tidak terpakai.

2.4.1 Massa

Suatu struktur yang kontinu kemungkinan mempunyai banyak derajat kebebasan karena banyaknya massa yang mungkin dapat ditentukan. Banyaknya derajat kebebasan umumnya berasosiasi dengan jumlah massa tersebut akan menimbulkan kesulitan. Hal ini terjadi karena banyaknya persamaan differensial yang sama.

Terdapat dua pemodelan pokok yang umumnya dilakukan untuk mendeskripsikan massa struktur.

2.4.1.1 Model lumped mass

(38)

dianggap menggumpal pada suatu titik yang tidak berdimensi (mass moment of inertia dapat dihitung apabila titik tersebut mempunyai dimensi fisik). Dalam kondisi

tersebut terdapat matriks massa dengan diagonal mass of moment inertia sama dengan nol.

Pada bangunan gedung bertingkat banyak, konsentrasi beban akan terpusat pada tiap-tiap lantai tingkat bangunan. Dengan demikian untuk setiap tingkat hanya ada satu tingkat massa yang mewakili tingkat yang bersangkutan. Karena hanya terdapat satu derajat kebebasan yang terjadi pada setiap massa / tingkat, maka jumlah derajat kebebasan pada suatu bangunan bertingkat banyak akan ditunjukkan oleh banyaknya tingkat bangunan yang bersangkutan. Pada kondisi tersebut matriks massa hanya akan berisi pada bagian diagonal saja.

2.4.1.2 Model consistent mass matrix

Model ini adalah model yang kedua dari kemungkinan permodelan massa struktur. Pada prinsip consistent mass matrix ini, elemen struktur akan berdeformasi menurut bentuk fungsi (shape function) tertentu. Permodelan massa seperti ini akan sangat bermanfaat pada struktur yang distribusi massanya kontinu.

(39)

Pada bangunan bertingkat banyak yang massanya terkonsentrasi pada tiap-tiap tingkat bangunan, maka penggunaan model lumped mass masih cukup akurat. Untuk pembahasan struktur MDOF seterusnya maka model inilah (lumped mass) yang akan dipakai.

2.4.2 Kekakuan

Kekakuan adalah salah satu dinamik karakteristik struktur bangunan yang sangat penting disamping massa bangunan. Antara massa dan kekakuan struktur akan mempunyai hubungan yang unik yang umumnya disebut karakteristik diri atau eigenproblem. Hubungan tersebut akan menentukan nilai frekuensi sudut �, dan periode getar struktur T. Kedua nilai ini merupakan parameter yang sangat penting dan akan sangat mempengaruhi respon dinamik struktur.

Pada prinsip bangunan geser (shear building) balok pada lantai tingkat dianggap tetap horizontal baik sebelum maupun sesudah terjadi pergoyangan. Adanya plat lantai yang menyatu secara kaku dengan balok diharapkan dapat membantu kekakuan balok sehingga anngapan tersebut tidak terlalu kasar. Pada prinsip desain bangunan tahan gempa dikehendaki agar kolom lebih kuat dibandingkan dengan balok, namun demikian rasio tersebut tidak selalu linear dengan kekakuannya. Dengan prinsip shear building maka dimungkinkan pemakaian lumped mass model. Pada prinsip ini, kekakuan setiap kolom dapat dihitung

(40)

2.4.3 Redaman

Redaman merupakan peristiwa pelepasan energi (energy dissipation) oleh suatu struktur akibat adanya berbagai macam sebab. Beberapa penyebab itu antara lain adalah pelepasan energi oleh adanya gerakan antar molekul didalam material, pelepasan energi oleh gesekan alat penyambung maupun sistem dukungan, pelepasan energi oleh adanya gesekan dengan udara dan pada respon inelastik , pelepasan energi juga terjadi akibat adanya sendi plastis. Karena redaman berfungsi melepaskan energi maka hal ini akan mengurangi respon struktur.

2.5 Simpangan (Drift) Akibat Gaya Gempa

Simpangan (drift) adalah sebagai perpindahan lateral relatif anatara dua tingkat bangunan yang berdekatan atau dapat dikatakan simpangan mendatar tiap-tiap tingkat bangunan (horizontal story to story deflection).

Simpangan lateral dari suatu sistem struktur akibat beban gempa adalah angat penting yang dilihat dari tiga pandangan yang berbeda, menurut Farzat Naeim (1989):

1. Kestabilan struktur (structural stability)

2. Kesempurnaan arsitektural (architectural integrity) dan potensi kerusakan bermacam-macam komponen bukan struktur

(41)

Selain itu juga, Richard n. White (1987) berpendapat bahwa dalam perencanaan bangunan tinggi selalu dipengaruhi oleh pertimbangan lenturan (deflection), bukannya oleh kekuatan (strength).

Simpangan antar tingkat dari suatu titik pada suatu lantai harus ditentukan sebagai simpangan horizontal titik itu, relatif terhadap titik yang sesuai pada lantai yang berada dibawahnya. Perbandingan antar simpangan anatar tingkat dan tinggi tingkat yang bersangkutan tidak boleh melebihi 0,005 dengan ketentuan dalam segala hal simpangan tersebut tidak boleh lebih dari 2 cm. Terhadap simpangan antar tingkat telah diadakan pembatasan-pembatasan untuk menjamin agar kenyamanan bagi para penghuni gedung tidak terganggu dan juga untuk mengurangi momen-momen sekunder yang terjadi akibat penyimpangan garis kerja gaya aksial didalam kolom-kolom (yang lebih dikenal dengan P-delta)

Berdasarkan UBC 1997 bahwa batasan story drift atau simpangan antar tingkat adalah sebagai berikut:

Untuk periode bangunan yang pendek T < 0,7 detik, maka simpangan antar tingkat

∆≤0,00251ℎ atau 2,5 % dari tinggi bangunan.

Untuk periode bangunan yang pendek T > 0,7 detik, maka simpangan antar tingkat

∆� ≤0,0021ℎ atau 2,0 % dari tinggi bangunan.

2.6 Derajat Kebebasan (Degree of Freedom, DOF)

(42)

dinamika, setiap titik atau massa pada umumnya hanya diperhitungkan berpindah tempat dalam satu arah saja yaitu arah horizontal. Karena simpangan yang terjadi hanya terjadi dalam satu bidang atau dua dimensi, maka simpangan suatu massa pada setiap saat hanya mempunyai posisi atau ordinat tertentu baik bertanda negatif atau bertanda positif. Pada kondisi dua dimensi tersebut, simpngan suatu massa pada saat t dapat dinyatakan dalam koordinat tunggal yaitu u(t). Struktur seperti itu dinamakan struktur dengan derajat kebebasan tunggal (SDOF).

Dalam model system SDOF atau berderajat kebebasan tunggal, setiap massa m, kekauan k, mekanisme kehilangan atau redaman c, dan gaya luar yang dianggap tertumpu pada elemen fisik tunggal. Struktur yang mempunyai n-derajat kebebasan atau struktur dengan derajat kebebasan banyak disebut multi degree of freedom (MDOF). Akhrnya dapat disimpulkan bahwa jumlah derajat kebebasan adalah jumlah koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu massa pada saat tertentu.

2.6.1 Persamaan differensial pada struktur SDOF

Sistem derajat kebebasan tunggal (SDOF) hanya akan mempunyai satu koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada saat tertentu yang ditinjau. Bangunan satu tingkat adalah contoh derajat kebebasan tunggal.

(43)

yang tampak pada gambar berturut-turut adalah massa, kekakuan kolom, dan redaman.

Gambar 2.1 Pemodelan struktur SDOF (sumber: Widodo, 2000)

Apabila beban dinamik P(t) bekerja kearah kanan, maka akan terdapat perlawanan pegas, damper dan gaya redaman seperti gambar 2.1.c. gambar-gambar tersebut umumnya disebut free body diagram. Berdasarkan prinsip keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut, maka dapat diperoleh hubungan,

�(�)− �_�− �_� = ��+�_�+�_� = �(�) (Pers. 2.1)

Dimana:

�� =�.�̇

�� = �.� (Pers. 2.2)

Apabila persamaan (2.1) disubstitusikan ke persamaan (2.2), maka akan diperoleh:

(44)

Persamaan (2.3) adalah persamaan differensial gerakan massa suatu struktur SDOF yang memperoleh pembebanan dinamik p(t). Pada problem dinamik, sesuatu yang penting untuk diketahui adalah simpangan horizontal tingkat atau dalam persamaan tersebut adalah u(t).

2.6.2 Persamaan differensial struktur SDOF akibat base motion

Beban dinamik yang umum dipakai pada analisis struktur selain beban angin adalah beban gempa. Gempa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah menjadi bergetar yang getarannya direkam dalam bentuk akselerogram. Tanah ini bergetar akan menyebabkan semua benda yang berada di atas tanah akan ikut bergetar terutama struktur bangunan.

(45)

Gambar 2.2 Struktur SDOF akibat base motion (sumber: Widodo , 2000)

Berdasarkan pada free body diagram seperti gambar diatas maka deformasi total yang terjadi adalah

��(�) =�(�) +�̈_�(�) (Pers. 2.4)

Dari free body diagram yang mengandung gaya inersia �₁ tampak bahwa persamaan kesetimbangannya menjadi

��+��+�� = 0 (Pers. 2.5)

Dimana inersia adalah,

�� =�� (Pers. 2.6)

(46)

��̈+��̇+�� =−��̈_�(�) (Pers. 2.7)

Persamaan tersebut disebut persamaan diferensial relatif karena gaya inersia, gaya redam dan gaya pegas ketiga-tiganya timbul akibat adanya simpangan relatif. Ruas kanan pada pers. (2.7) disebut sebagai beban gempa efektif atau beban gerakan tanah efektif. Ruas kanan tersebut seolah menjadi gaya dinamik efektif yang bekerja pada elevasi lantai tingkat. Kemudian gaya luar ini akan disebut sebagai gaya efektif gempa:

Peff(t) =−müg(t) (Pers. 2.8)

2.6.3 Persamaan differensial struktur MDOF

2.6.3.1 Matriks massa, matriks kekakuan dan matriks redaman

Untuk menyatakan persamaan differensial gerakan pada struktur dengan derajat kebebasan banyak maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF. Anggapan seperti pada prinsip shear building masih berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak

(MDOF). Untuk memperoleh persamaan differensial tersebut, maka tetap dipakai prinsip keseimbangan dinamik (dynamic equilibrium) pada suatu massa yang ditinjau. Untuk memperoleh persamaan tersebut maka diambil model struktur MDOF.

(47)

disusun berdasarkan atas goyangan struktur menurut first mode atau mode pertama seperti yang tampak pada garis putus-putus. Masalah mode ini akan dibicarakan lebih lanjut pada pembahasan mendatang. Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free body diagram. Maka akan diperoleh:

�1�̈1+�1�̇1+�1�1− �2(�̇2− �̇1)− �1(�2− �1) =�1(�) (Pers. 2.9)

�2�̈2+�2(�̇2− �̇1) +�2(�2− �1)− �3(�̇3− �̇2)− �3(�3−(��2) =�2(�)(Pers. 2.10)

�₃�̈₃+�₃(�̇₃− �̇₂) +�₃(�₃− �₂) =�₃(�) (Pers.2.11) Disederhanakan menjadi:

�1�̈1+ (�1+�2)�̇1−(�2�̇2) + (�1+�2)�1− �2�2 = �1(�) (Pers. 2.12)

�2�̈2+ (�2+�3)�̇2− �2�̇1− �3�̇3+ (�2+�3)�2− �2�1− �3�3=�2(�) (Pers. 2.13)

�₃�̈₃+�3�̇3 − �3�̇2+�3�3− �3�2 = �3(�) (Pers. 2.14)

Persamaan-persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:

��1

0 0

0 �2 0

0 0 �3

� ��̈�̈12

�̈3

�+�

�1+�2 −�2 0

−�2 �2+�3 −�3

0 −�3 �3

� ��̇�̇12

�̇3

�+�

�1+�2 −�2 0

−�2 �2+�3 −�3

0 −�3 �3

� ��12

�3

�=�

�1(�)

�2(�)

�3(�)

�

(Pers. 2.15)

Persamaan (2.15) dapat ditulis dalam matriks yang lebih kompleks,

[�]��̈�+ [�]��̇�+ [�]{�} = {�(�)} (Pers. 2.16)

Yang mana [�], [�] �� [�] berturut-turut adalah matriks massa, matriks redaman dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi,

[�] =�

�1 0 0

0 �2 0 �, [�] =�

�1+�2 −�2 0

−�2 �2+�3 −�3�,[�] =�

�1+�2 −�2 0

(48)

(Pers .2.17)

Sedangkan {�̈}, {�̇}, {�} ��{�(�)} masing-masing adalah vektor percepatan, vektor kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban,

{�̈} =�

�̈1

�̈2

�̈3

�, {�̇} = �

�̇1

�̇2

�̇3

�, {�} =�

�1

�2

�3

�,��{�(�)} =�

�1(�)

�2(�)

�3(�)

� (Pers .2.18)

Secara visual Chopra (1995) menyajikan keseimbangan antara gaya dinamik, gaya pegas, gaya redam dan gaya inersia seperti pada gambar 2.3.

Gambar 2.3 Keseimbangan Gaya Dinamik dengan �_�,�_�,��_� (Sumber: Chopra, 1995)

2.6.4 Getaran bebas pada struktur MDOF

2.6.4.1 Nilai karakteristik (eigenproblem)

Sebagaimana disebut di atas bahwa walaupun getaran bebas (free vibration system) pada kenyataannya jarang terjadi pada struktur MDOF, tetapi membahas

(49)

bersangkutan yang selanjutnya akan sangat berguna untuk pembahasan-pembahasan respon struktur berikutnya. Besaran-besaran tersebut terutama adalah frekuensi sudut

�, periode getar T, frekuensi alam f dan normal modes.

Pada getaran bebas di struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF), maka natriks persamaan differensial gerakannya adalah dengan nilai ruas kanan sama dengan nol,

[�]��̈�+ [�]��̇�+ [�]{�} = 0 (Pers .2.19)

Telah dibahas sebelumnya bahwa frekuensi sudut pada struktur dengan redaman (damped frequency) �_� nilainya hampir sama dengan frekuensi sudut pada struktur yang dianggap tanpa redaman �. Hal ini akan diperoleh apabila nilai damping ratio � relatif kecil. Apabila hal ini diadopsi untuk struktur dengan derajat kebebasan banyak, maka untuk nilai C = 0, pers (2.19) akan menjadi,

[�]��̈�+ [�]{�} = 0 (Pers .2.20)

Karena pers. (2.19) adalah persamaan differensial pada struktur MDOF yang dianggap tidak mempunyai redaman, maka sebagaimana penyelesaian persamaan differensial yang sejenis pada pembahasan-pembahasan di depan, maka penyelesaian persamaan tersebut diharapkan dalam fungsi harmonik menurut bentuk,

�̈= {Φ}_�sin⁡(��)

�̇ =−� {Φ}_�cos(��)

(50)

Yang mana {Φ}_� adalah suatu koordinat masa pada mode yang ke-i. Substitusi pers.(2.21) kedalam pers. (2.20) selanjutnya akan diperoleh,

−�2_[_�_]{_Φ_}

�sin(��) + [�] sin(��) = 0

{[�]− �2_[_�_]}{_Φ_}

� = 0 (Pers .2.22) Pers. (2.22) adalah suatu persamaan yang sangat penting dan biasa disebut persamaan eigenproblem atau karakteristik problem atau ada juga yang menyebut eigenvalue problem. Pers. (2.22) tersebut adalah persamaan simultan yang harus

dicari penyelesaiannya. Salah satu cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan simultan tersebut adalah dengan memakai dalil Cramer (1704-1752). Gabriel Cramer adalah salah satu ahli matematika yang berasal dari Swiss. Dalil tersebut menyatakan bahwa penyelesaian persamaan simultan yang homogen akan ada nilainya apabila determinan dari matriks yang merupakan koefisien dari vektor

{Φ}_� adalah nol, sehingga,

{[�]− �2_[_�_{]} = 0}_{(Pers .2.23)}

(51)

berhubungan langsung dengan jenis/ nomor mode nya. Apabila jumlah derajat kebebasan adalah n, maka akan menghasilkan suatu polinominal pangkat n yang selanjutnya akan menhasilkan �_�2 untuk i = 1,2,3,...n. Selanjutnya, substitusi masing-masing frekuensi �_� maka akan diperoleh nilai-nilai Φ₁,Φ2, … . ,Φ�.

2.6.4.2 Frekuensi sudut (�) dan normal modes

Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, didalam menghitung frekuensi sudut untuk struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF) diambil suatu anggapan bahwa struktur tersebut dianggap tidak mempunyai redaman atau C = 0. Untuk menghitung dan sekaligus menggambar normal modes maka diambil suatu model struktur seperti pada gambar berikut:

Gambar 2.4 Bangunan 2-DOF dan model matematika (sumber: Widodo, 2000)

(52)

suatu istilah yang sering dipakai pada problem dinamika struktur, dan kata tersebut diterjemahkan sebagai ragam/pola goyangan.

Kembali pada persoalan inti, suatu persamaan differensial gerakan dapat diperoleh dengan memperhatikan free body diagram seperti pada gambar 2.4.c dan diperoleh,

�1�̈1+�1�1− �2(�2− �1) = 0

�2�̈2+�2(�2− �1) = 0 (Pers. 2.24)

Pers. (2.24) dapat ditulis dalam bentuk yang sederhana yaitu,

�1�̈1 + (�1+�2)�1− �2�2 = 0 (Pers. 2.25)

�2�̈2− �2�1+�2�2 = 0) (Pers. 2.26)

Pers. (2.25) dapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu,

��1 0

0 �2� ��̈ 1

�̈2�+�

(�₁+�₂) −�₂

−�2 �2 � �

�1

�2�=�

0

0� (Pers. 2.27)

Selanjutnya persamaan Eigenproblem atas pers. (2.26) adalah,

�(�1+�2)− �2�1 −�2

−�2 �2− �2�2� �� 1

�2�= �

0

0� (Pers. 2.28)

Dengan Φ₁ adalah suatu nilai / ordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada ragam/pola goyangan massa ke-i. Seperti dijelaskan sebelumnya bahwa pers. (2.28) akan ada penyelesaiannya apabila dipenuhi nilai determinan,

�(�1+�2)− �2�1 −�2

−�2 �2− �2�2

(53)

Apabila pers. (2.29) tersebut diteruskan nilai determinannya adalah,

�1�2�4−{(�1+�2)�2−�2�1}�2+ (�1+�2)�2− �22 = 0 (Pers. 2.30)

Struktur dianggap tidak mempunyai redaman sehingga periode getar dicari sebenarnya adalah merupakan undamped free vibration periods. Sebagaimana disampaikan pada pembahasan struktur SDOF bahwa periode getar ini akan sedikit lebih kecil dibanding dengan periode getar yang mana redaman struktur diperhitungkan (ingat �_� < � sehingga �< �_�).

Selain daripada itu nilai-nilai mode shapes juga tidak dipengaruhi oleh waktu, artinya nilai-nilai tersebut akan tetap asal nilai-nilai masssa dan kekakuan tingkatnya tidak berubah. Karena nilai kekakuan tingkat ki tidak berubah-ubah maka mode

shapes merupakan nilai untuk struktur yang bersifat elastik, atau hanya struktur yang

elastiklah yang mempunyai nilai mode shapes. Juga tampak bahwa nilai mode shapes tidak dipengaruhi oleh frekuensi beban. Dengan demikian apabila disimpulkan bahwa nilai-nilai mode shapes adalah:

a. Bebas dari pengaruh redaman, b. Bebas dari pengaruh waktu,

(54)

II.6.5 Getaran bebas pada struktur MDOF

II.6.5.1 Modal Analisis (Mode Superposition Methods)

Modal Analsis adalah salah satu metode yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan diferensial gerakan pada struktur bangunan derajat kebebasan (MDOF). Metode ini dipakai khusus untuk menyelesaikan problem dinamik dengan beberapa syarat-syarat tertentu. Syarat-syarat itu adalah bahwa respon struktur masih elastik dan struktur mempunyai standar modes shapes. Respon elastik berarti bahwa tegangan bahan belum mencapai tegangan leleh dan implikasinya kekakuan struktur tidak mengalami perubahan selama pembebanan. Disamping itu juga tidak mengalami perubahan selama pembebanan. Disamping itu juga mengalami perubahan massa dan koefisien redaman. Struktur mempunyai standar modes shapes adalah struktur elastik dan struktur yang tidak memperhitungkan interaksi antara tanah dan fondasi struktur. Ini berarti bahwa bangunan dianggap dijepit pada dasarnya.

(55)

Simpangan struktur total merupakan kontribusi dari respon setiap mode (modal displacement). Simpangan kontribusi setiap mode dapat dihitung dengan melalui integrasi numerik atas persamaan independen seperti disampaikan diatas. Apabila simpangan untuk setisp mode pada massa tertentu sudah diperoleh maka simpangan total massa yang bersangkutan merupakan superposisi atau penjumlahan dari simpangan tiap-tiap mode tersebut. Simpangan massa yang lain dapat dicari dengan cara yang sama.

2.6.5.1.1 Analisis Dinamis dan Respon Sistem Linier

2.6.5.1.1.1 Persamaan Modal untuk Sistem tidak teredam

Pesamaan gerak untuk sistem linear MDOF tanpa teredam diturunkan dalam :

��̈+��̇=�(�) (Pers. 2.31)

Solusi simultan dari persamaan gerak coupled yang telah dijelaskan sebelumnya untuk

sistem dua –DOF mengalami gerak harmonik yang tidak efisien untuk sistem DOF yang

banyak, juga tidak layak untuk sistem yang baik oleh jenis kekuatan yang lain. Akibatnya,

hal ini menguntungkan untuk mengubah persamaan ini ke koordinal modal, seperti yang

akan kita liat selanjutnya.

Seperti yang telah dijelaskan, perpindahan u dari sistem MDF dapat diperluas dalam

hal kontribusi modal. Dengan demikian respon dinamik dari sistem dapat dinyatakan

sebagai berikut:

(56)

Menggunakan persamaan ini, coupled persamaan (2.1) pada uj(t) dapat diubah

menjadi satu set persamaan uncoupled dengan koordinat modal qn(t) yang diketahui.

Memasukkan pers.(2.2) kedalam pers.(2.1) memberikan

∑Nr=1�ϕr q̈r(t)+∑Nr=1�ϕr qr(t)=�(t)

Perkalian setiap istilah dalam persamaan ini dengan ϕ_nT memberikan

∑Nr=1ϕnT�ϕr q̈r(t)+ ∑Nr=1ϕnT�ϕrqr(t)= ϕnT�(t)

Karena hubungan orthogonal, semua persyaratan disetiap penjumlahan menjadi hilang, kecuali panjang r = n,maka persamaan ini menjadi:

(ϕ_nT_�_ϕ

n) q̈n(t) = (ϕnT�ϕn)qn(t) = ϕnT�(t) (Pers. 2.33)

Atau

�n q̈n(t) +�nqn(t) = �n(t) (Pers. 2.34)

Dimana:

M_n = ϕ_nT�ϕ_n

�n =ϕnT�ϕn (Pers. 2.35)

�n(t) =ϕnT�(t)

(57)

Persamaan (2.33) dapat ditafsirkan sebagai persamaan yang mengatur respon qn(t) dari sistem SDF ditunjukkan dalam pers.(2.35) dengan massa Mn, kekakuan Kn,

dan kekuatan yang menarik �_n(t). Oleh karena itu, Mn disebut massa umum untuk

mode alami n, Kn kekakuan umum untuk mode n, �n(t) kekuatan umum untuk mode

n. Parameter ini hanya tergantung pada mode n. Jadi jika kita hanya mengetahui mode n, kita bisa menulis persamaan untuk qn dan menyelesaikannya tanpa

mengetahui mode lain. Membaginya dengan Mn dan menggunakan pers.(2.33) dapat

ditulis kembali menjadi:

q̈n +ωn2 qn = Pn(t)

Mn )

(Pers. 2.36)

Persamaan (2.33) atau (2.35) mengatur nilai n koordinat modal qn(t), hanya diketahui

dari persamaan, dan ada persamaan seperti N, satu untuk setiap mode. Jadi susunan N digabungkan ke persamaan differensial (2.31) dalam perpindahan nodal u_j(t)− j = 1,2, … , N− telah berubah ke susunan dari persamaan uncoupled (2.33) dalam koordinat-koordinat modal q_n(t)−n = 1,2, … , N. Ditulis dalam bentuk matriks susunan kedua dari persamaan adalah

��̈+��= �(t) (Pers. 2.37)

(58)

2.6.5.1.1.2 Persamaan Modal untuk Sistem teredam

Ketika redaman disertakan , persamaan gerak untuk sistem MDF adalah

��̈+��̇+��= �(�) (Pers. 2.38)

Menggunakan transformsi dari pers.(2.32), dimana ϕ_r adalah mode alami dari sistem tanpa redaman, persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk koordinat modal. Berbeda dengan kasus sistem undamped, persamaan modal dapat ditambah melalui persyaratan redaman. Namun, untuk bentuk-bentuk tertentu redaman yang bersifat ideal wajar untuk struktur yang banyak , persamaan menjadi uncoupled, seperti untuk sistem teredam. Kita harus menunjukkan kesalahannya berikutnya .

Dengan mensubstitusi persamaan(2.32 ) dalam Pers.(2.28) memberikan

� �ϕr q̈r(t) N

r=1

+� �ϕ_r q̇_r(t)

N

r=1

= +� �ϕ_r q_r(t)

N

r=1

= �(t)

Mengalikan setiap istilah dalam persamaan ini dengan ϕ_nT menjadi

� ϕnT�ϕr q̈r(t) N

r=1

+� ϕnT�ϕr q̇r(t) N

r=1

= +� ϕnT�ϕr qr(t) N

r=1

= ϕnT�(t)

Yang dapat ditulis kembali sebagai

�n q̈n+∑Nr=1Cnr q̇r + Knqn = Pn(t) ) (Pers. 2.39)

Dimana Mn, Kn, dan �n(t) didefinisikan dalam Pers .( 2.34) dan

(59)

Persamaan (2.39) ada untuk setiap n = 1 sampai N dan set N persamaan dapat ditulis dalam bentuk matriks :

��̈+��̇+�� =�(�) (Pers. 2.41)

Dimana M, K dan P(t) diperlihatkan dalam Pers . (2.36) dan C adalah matriks yang tidak diagonal dari koefisien Cnr. persamaan dalam koordinat N

modal qn(t) digabungkan melalui redaman karena Persamaan (2.39) berisi lebih dari

satu kecepatan modal .

Persamaan modal akan uncoupled jika sistem memiliki redaman klasik. Untuk sistem seperti ini, Cnr = 0 jika n≠ r dan Persamaan (2.39) tereduksi menjadi

�_n q̈n +�n q̇n + Knqn = Pn(t) (Pers. 2.42)

Dimana umum redaman Cn didefinisikan oleh Persamaan sebelumnya. Persamaan ini

mengatur respon sistem SDF ditunjukkan dalam gambar II.7 . Membagi Persamaan (2.42) oleh M memberikan

q̈n + 2 ξωn q̇n +ωn2 qn = Pn(t)

Mn

(Pers. 2.43)

Dimana ζ_n adalah rasio redaman untuk mode n . Rasio redaman biasanya tidak dihitung dengan menggunakan Persamaan namun diperkirakan berdasarkan data eksperimental untuk struktur yang mirip dengan salah satu yang sedang dianalisis. Persamaan (2.42) mengatur n modal koordinat qn(t), dan parameter

Mn, Kn, Cn dan Pn(t) hanya tergantung pada modus n ϕn, bukan pada mode lainnya.

(60)

untuk setiap mode alami . Singkatnya, himpunan N ditambah persamaan diferensial (2.38) di nodal perpindahan u_j(t) telah berubah ke set dari N uncoupled pers.(2.42) dalam koordinat modal qn(t).

Gambar 2.6 Sistem SDOF umum pada mode ke-n alami (sumber: Chopra, 1995)

2.6.5.1.1.3 Respon Perpidahan

Untuk memberikan kekuatan dinamik eksternal yang didefinisikan oleh p(t), respon dinamik dari sistem MDF dapat ditentukan dengan memecahkan persamaan(2.42) atau (2.43) untuk koordinat modal q_n(t). Setiap persamaan modal adalah dalam bentuk yang sama dengan persamaan gerak untuk sistem SDF . Dengan demikian metode solusi dan hasil yang tersedia untuk sistem SDF dapat disesuaikan untuk mendapatkan solusi q_n(t)

untuk persamaan modal . Setelah koordinat modal q_n(t) telah ditentukan , Persamaan(2.43) menunjukkan bahwa kontribusi mode n dengan perpindahan u (t) adalah

�_n(t) = ϕ_n qn (t) (Pers. 2.44)

(61)

�(t) = � �_n(t)

N

n=1

+� ϕ_n qn (t) N

n=1

(��.�.��)

Prosedur ini dikenal sebagai analisis modal klasik atau metode superposisi modus klasik karena individu (uncoupled) persamaan modal yang diselesaikan untuk menentukan koordinat modal qn(t) dan respon modal�n(t), dan latterare

dikombinasikan untuk mendapatkan total respon �(t) Lebih tepatnya , metoda yang ini disebut modus metode superposisi perpindahan klasik karena perpindahan modal yang disuperposisikan . Untuk singkatnya kita biasanya merujuk pada prosedur ini sebagai metode analisis modal dibatasi untuk linear systemswith redaman klasik. Linearitas sistem ini implisit i menggunakan prinsip superposisi , Persamaan. (2.32) . Redaman harus dari bentuk klasik untuk mendapatkan persamaan modal yang uncoupled, fitur utama dari analisis modal.

2.6.5.1.1.4 Gaya elemen

Dua prosedur yang tersedia untuk menentukan gaya dalam berbagai elemen - balok , kolom , dinding, dll - struktur pada waktu t instan dari perpindahan u ( t ) pada saat yang bersamaan . Dalam modal anakisis ini adalah instruktif untuk menentukan kontribusi dari mode yang individu ke kekuatan elemen. Pada prosedur pertama, kontribusi mode n �_n(t) untuk kekuatan elemen �(�) ditentukan dari pemindahan modal un(t) menggunakan sifat kekakuan elemen . Kemudian gaya

elemen mempertimbangkan kontribusi dari semua mode adalah

�(�) = � �_n(t)

N

(62)

Pada prosedur kedua , kekuatan statik ekuivalen yang berhubungan dengan respon mode ke-n didefinisikan dengan menghapus subskrip : f_n(t) = ku_n(t). Subsitusikan pers. (2.44) dan menggunakan Persamaan sebelumnya memberikan:

�n(t) =ωn2 �ϕ_r qn (��.�.��)

Analisis statis dari struktur mengalami gaya-gaya eksternal pada setiap waktu yang singkat memberikan gaya elemen �_n(t). Kemudian gaya total �_n(t) diberikan oleh Pers.(2.46).

2.6.5.1.2 Analisis Gempa pada Sistem Linier

2.6.5.1.2.1 Analisis Modal (Response History Analysis)

Pada bagian ini kita mengembangkan prosedur analisis modal untuk menentukan respon struktur terhadap gempa yang disebabkan gerakan tanah ü_g(t), identik pada semua titik dukung struktur.

2.6.5.1.2.2 Persamaan gerak

Persamaan diferensial yang mengatur respon sistem MDOF gempa yang disebabkan gerakan tanah:

(63)

dimana

�eff(t) =−��üg(t) (��.�.��)

Massa dan kekakuan matriks , m dan k , dan vektor pengaruh ι ditentukan oleh metode sebelumnya . Redaman matriks c tidak akan diperlukan dalam analisis modal respon gempa , melainkan rasio redaman modal cukup dan nilai-nilai numerik nya. Prosedur analisis modal yang untuk memecahkan pers.( 2.38) berlaku untuk solusi dari pers.(2.52 ) .

2.6.5.1.2.3 Ekspansi Modal dari Perpindahan dan gaya

Perpindahan �sistem N - DOF dapat dinyatakan , seperti dalam persamaan (2.32) , sebagai superposisi dari kontribusi modal :

u(t) = �ϕ_nqn(t) N

r=1

(��.�.��)

Distribusi spasial dari gaya gempa efektif �_eff(t)adalah didefinisikan oleh �= ��. Distribusi gaya ini dapat diperluas sebagai penjumlahan inersia modal untuk distribusi �_�.

��= �Γn�ϕ_n N

n=1

(��.�.��)

Dimana,

Γn =

Ln

M_n

(64)

Mn = ϕnT�ϕn

Persamaan ( 2.52) untuk koefisien Γ_n dapat diturunkan dengan mengalikan kedua sisi dari persamaan (2.51) dengan ϕ_rTdan menggunakan properti mode orthogonal, atau untuk �=��. Kontribusi mode ke-n eksitasi vektor �� adalah redaman.

�n = Γn�ϕ_n (��.�.��)

Yang independen tentang bagaimana mode dinormalisasi

2.6.5.1.2.4 Persamaan Modal

Persamaan ( 2.43) adalah khusus untuk eksitasi gempa dengan mengganti �( t )

pada persamaan(2.34) oleh �_eff(t) untuk memperoleh

q̈n+ 2ζ_nωnq̇n +ωn2qn = −Γnüg(t) (��.�.��)

Solusi q_n(t) dapat dengan mudah diperoleh dengan membandingkan persamaan(2.54) ke persamaan gerak untuk mode ke-n sistem SDOF , sistem SDOF dengan sifat frekuensi getar alami �_ndan rasio redaman ζ_n – mode ke-n dari sistem MDOF. dengan ζ= ζ_n ,yang mengatur gerakan sistem SDOF ini mengalami pergerakan tanah üg(t), diulang disini dengan u digantikan oleh Dn untuk

menekankan hubungannya dengan mode ke-n :

D̈n + 2ζ_nωnḊn +ω2nDn = −üg(t) (��.�.��)

Membandingkan persamaan (2.54) dan (2.55 ) memberikan

(65)

Jadi qn(t) sudah tersedia persamaan (2.27) yang telah diselesaikan untuk Dn(t),,

menggunakan metode numerical time-stepping untuk sistem SDOF .

2.6.5.1.2.5 Modal Response

Kontribusi mode ke-n dengan perpindahan �(t) adalah :

un(t) =ϕ_nqn(t) =ΓnDn(t) (��.�.��)

Prosedur analisis dua statis telah tersedia untuk menentukan gaya di berbagai struktur elemen balok , kolom , dinding, dll - dari perpindahan un(t). Pada prosedur

kedua , menggunakan gaya statik ekuivalen , lebih disukai dalam analisis gempa karena memfasilitasi perbandingan prosedur analisis dinamis dengan gaya gempa ditentukan dalam kode bangunan.pers. (2.49) mendefinisikan gaya statik ekuivalen yang berhubungan dengan respon mode ke-n , dimana qn(t) diberikan oleh

persamaan (2.47) . Menempatkan persamaan ini bersama-sama dan menggunakan sn

mengarah ke

�n(t) = �n�n(t) (��.�.��)

Dimana , mirip dengan persamaan ,

�n(t) = ωn2Dn (��.�.��)

(66)

pada mode ke-n sistem SDOF ke üg(t). kontribusi mode ke-n rn(t) untuk setiap

kuantitas respon r(t) ditentukan oleh analisis statis dari struktur yang mengalami gaya eksternal �_n(t). Respon statis modal rnst menunjukkan nilai statis r karena gaya

eksternal sn , ini bisa positif atau negatif dan tidak tergantung bagaimana mode

menjadi normal kembali. Kemudian:

r_n(t) =Γ_nst_A

n(t) (��.�.��)

Persamaan ( 2.63) juga berlaku untuk respon perpindahan , meskipun turunannya telah termotivasi oleh keinginan untuk menghitung gaya dari perpindahan. Perpindahan statis karena gaya �_n memenuhi ��_nst = �n. Mengganti pers.(2.56 )

untuk�_n dan menggunakan persamaan memberikan

�nst = �−1(Γn�ϕn) =

Γn

ωn2ϕn

Mengganti ini pada persamaan memberikan

�n(t) =

Γn

ωn2ϕn

A_n(t) (��.�.��)

Yang setara dengan pers. (2.63)

2.6.5.1.2.6 Response Total

(67)

u(t) = �un N

n=1

(t) =� Γ_n

N

n=1

ϕnDn(t) (��.�.��)

Dimana pada pers. (2.60) telah menggantikan u_n(t). Menggunakan pers. (2.61) memberikan hasil yang umum berlaku untuk setiap kuantitas respon :

r(t) =�rn N

n=1

(t) = �rnst N

n=1

An(t) (��.�.��)

Kontribusi respon dari beberapa mode yang mungkin tinggi , dalam keadaan yang tepat , ditentukan oleh analisis statis sederhana , bukan analisis dinamis. Untuk sistem SDOF dengan periode yang sangat singkat percepatan pseudo A(t) pada dasarnya identik dengan percepatan tanah üg(t).) Untuk spektrum desain , A =

ü_go(t) for T_n ≤ 1

33 detik. Untuk spektrum desain pada mode Nd+ 1 sampai N , maka

persamaan (2.66) dapat dinyatakan sebagai

r(t) = �rnstAn Nd

n=1

(t)−üg(t)�rst − �rnst N

n=1

� (��.�.��)

Dimana rst adalah nilai statis r karena gaya eksternal dan

rst = �r_nst

N

n=1

Solusi ini dalam dua bagian : istilah pertama adalah respon dinamik mengingat mode Ndpertama dan kedua adalah respon statis dari mode yang lebih tinggi .

(68)

2.6.5.1.2.7 Interpretasi Analisis Modal

Pada tahap pertama prosedur ini analisis dinamis, sifat frekuensi getar alami dan mode - struktur dihitung dan vektor �ι distribusi gaya diperluas ke komponen modal

�n. Sisa dari prosedur analisis secara skematis diperlihatkan pada gambar (II.8) untuk

(69)