TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Umum
Gempa bumi, walaupun tidak termasuk kejadian sehari-hari juga dapat menimbulkan getaran-getaran. Energi mekanik akibat rusaknya struktur batuan pada peristiwa gempa bumi selanjutnya akan diubah menjadi energi gelombang yang menggetarkan batuan sekelilingnya. Getaran batuan akibat gempa bumi selanjutnya diteruskan oleh media tanah sampai pada permukaan tanah. Tanah yang bergetar akibat gempa akan mengakibatkan bangunan yang berada di atas tanah ikut bergetar. Kerusakan bangunan sering terjadi akibat peristiwa gempa bumi seperti ini, khususnya pada daerah-daerah tertentu. Gerakan tanah akibat gempa bumi umumnya sangat tidak teratur dan hanya terjadi beberapa detik sampai puluhan detik saja, walaupun kadang-kadang dapat terjadi lebih dari satu menit. Namun demikian gempa yang durasinya lebih dari satu menit ini sangat jarang terjadi, karena sifat getarannya yang acak dan tidak seperti beban statik pada umumnya maka efek beban gempa terhadap respon struktur tidaklah dapat diketahui dengan mudah. Oleh karena itu diperlukan usaha-usaha penyederhanaan agar model analisis pengaruh gempa terhadap respon struktur dapat diperhitungkan oleh kebanyakan insinyur. Gempa bumi umumnya direkam di permukaan tanah bebas (free field record) sedangkan fondasi bangunan terpendam di dalam tanah. Hasil penelitian para ahli menyimpulkan bahwa massa bangunan akan berpengaruh terhadap percepatan tanah di bawah bangunan yang bersangkutan (umumnya lebih kecil). Penyederhanaan yang
dipakai adalah bahwa rekaman dari free field dianggap sebagai rekaman di bawah fondasi bangunan (foundatian input motion). Terdapat beberapa penyederhanaan untuk memperhitungkan efek gempa terhadap analisis struktur bangunan yaitu menggunakan Beban Ekivalen Statik, Spektrum Respon dan dengan Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis, THA).(Widodo, 2001)
2.2 Konsep Perencanaan Struktur
Konsep perencanaan struktur diperlukan sebagai dasar teori bagi perencanaan dan perhitungan struktur. Konsep ini meliputi pemodelan struktur, pembebanan, pengaruh gempa pada struktur, pemodelan tanah sebagai tumpuan dasar, evaluasi parameter dan daya dukung tanah.
2.3 Tinjauan perencanaan struktur tahan gempa
Tinjauan ini diperlukan untuk mengetahui metode analisis yang akan digunakan untuk perencanaan struktur terhadap pengaruh gempa. Metode analisis yang dapat digunakan untuk memperhitungkan pengaruh gempa. Metode analisis yang dapat digunakan untuk memperhitungkan pengauh beban gempa terhadap struktur adalah sebagai berikut :
2.3.1 Metode analisis statik
Metode perancangan struktur bangunan terhadap pegaruh beban gempa secara statis, pada prinsipnya adalah menggantikan gaya-gaya horizontal yang bekerja pada
struktur akibat pergerakan tanah dan gaya-gaya statis yang ekivalen, dengan tujuan peyederhanaan dan ke,udahan dalam perhitungan. Metode ini diasumsikan bahwa gaya horizontal akibat beban gempa yang bekerja pada suatu elemen struktur, besarnya ditentukan berdasarkan hasil perkalian antara suatu konstanta berat atau massadaari elemen struktur tersebut.
2.3.2 Metode analisis dinamis
Analisis dinamis untuk perancangan struktur tahan gempa dilakukan jika diperlukan evaluasi yang lebih akurat dari gaya-gaya gempa yang bekerja pada struktur, serta untuk mengetahui perilaku dari struktur akibat pengaruh gempa. Pada struktur bangunan tingkat tinggi atau struktur dengan bentuk atau konfigurasi yg tidak teratur. Analisis dinamis dapat dilakukan dengan cara elastis dibedakan Analisis Ragam Riwayat Waktu (Time History Modal Analysis), dimana pada cara ini diperlukan rekaman percepatan gempa, dan Analsis Ragam Spektrum Respon (Response Spectrum Modal Anaysis), dimana pada cara ini respon masksimum dari tiap ragam getar yang terjadi didapat dari Spektrum Respon Rencana (Design Spectra). Sedangkan pada analisis dinamis inelastis digunakan untuk mendapatkan respon struktu akibat pengaruh gempayang sangat kuat dengan cara integrasi langsung (Direct Integration Method).
2.3.3 Pembebanan
Besar dan macam beban yang bekerja pada struktur sangat tergantung dengan jenis struktur. Berkut ini akan disajikan jenis-jenis beban, data beban serta faktor- faktor dan kombinasi pembebanan sebagai dasar acuan bagi perhitungan struktur. Jenis-jenis beban yang biasa diperhitungkan dalam perencanaan struktur bangunan gedung adalah sebagai berikut :
1. Beban mati (Dead Load)
Beban mati merupakan beban yang bekerja akibat gravitasi yang bekerja tetap pada posisinya secara terus menerus dengan arah ke bumi tempat struktur didirikan. Yang termasuk beban mati adalah berat struktur sendiri dan juga semua benda yang tetap posisinya selama struktur berdiri
2. Beban hidup (Live Load)
Beban hidup merupakan beban yang terjadi akibat penghunian atau penggunaan suatu gedung dan barang-barang yang dapat berpindah, seperti mesin dan peralatan lain yang dapat digantikan selama umur gedung.
3. Beban gempa
Menurut Peraturan Pembebanan Indonesia tentang Gedung, pengertian mengenai beban angin dan gempa adalah beban angin ialah semua beban yang bekerja pada gedung atau bagian gedung yang disebabkan oleh selisih dalam tekanan udara dan Beban gempa ialah
gedung yang menirukan pengaruh dari gerakan tanah akibat gempa itu. Dalam hal pengaruh gempa pada struktur gedung ditentukan berdasarkan suatu analisa dinamik, maka yang diartikan dengan beban gempa disini adalah gaya-gaya di dalam struktur tersebut yang terjadi oleh gerakan tanah akibat gempa itu.
Untuk memperhitungkan efek gempa terhadap analisis struktur bangunan yang digunakan pada tugas akhir saya ialah Model Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis) adalah dasar struktur bangunan digetar oleh gempa yang pada umumnya memakai rekaman gempa tertentu. Sebagaimana sifat beban dinamik maka penyelesaian/hitungan respon struktur tidak hanya dilakukan sekali tetapi dapat ratusan kali bahkan sampai ribuan kali. Untuk Keperluan itu, maka penyelesaian problem dinamik dengan memakai kalkulator tangan (hand calculator) dirasa tidak praktis bahkan dapat dikatakan rasa tidak mungkin. Peralatan komputer dan penguasaan integrasi numerik merupakan prasyarat untuk menyelesaikan problem dinamik dengan model analisis Time History Analysis (THA). (Widodo, 2001)
2.4 Karakteristik Struktur Bangunan
Pada persamaan differensial melibatkan tiga properti utama suatu struktur yaitu massa, kekakuan dan redaman. Ketiga properti struktur itu umumnya disebut dinamik karakteristik struktur. Properti-properti tersebut sangat spesifik yang tidak semuanya digunakan pada problem statik. Kekakuan struktur adalah salah satu-
satunya karakteristik yang dipakai pada problem statik, sedangkan karakteristik yang lainnya yaitu massa dan redaman tidak terpakai.
2.4.1 Massa
Suatu struktur yang kontinu kemungkinan mempunyai banyak derajat kebebasan karena banyaknya massa yang mungkin dapat ditentukan. Banyaknya derajat kebebasan umumnya berasosiasi dengan jumlah massa tersebut akan menimbulkan kesulitan. Hal ini terjadi karena banyaknya persamaan differensial yang sama.
Terdapat dua pemodelan pokok yang umumnya dilakukan untuk mendeskripsikan massa struktur.
2.4.1.1 Model lumped mass
Model pertama adalah model diskretisasi massa yaitu massa dianggap menggumpal pada tempat-tempat (lumped mass) joint atau tempat-tempat tertentu. Dalam hal ini gerakan /degree of fredom suatu join sudah ditentukan. Untuk titik model yang hanya mempunyai satu derajat kebebasan / satu translasi maka nantinya elemen atau struktur yang bersangkutan akan mempunyai matriks yang isinya hanya bagian diagonal saja. Clough dan Penzien (1993) mengatakan bahwa bagian off- diagonal akan sama dengan nol karena gaya inersia hanya bekerja pada tiap-tiap massa. Selanjutnya juga dikatakan bahwa apabila terdapat gerakan rotasi massa(rotation degree of freedom), maka pada model lumped mass ini juga tidak akan ada rotation moment of inertia. Hal ini terjadi karena pada model ini massa
dianggap menggumpal pada suatu titik yang tidak berdimensi (mass moment of inertia dapat dihitung apabila titik tersebut mempunyai dimensi fisik). Dalam kondisi
tersebut terdapat matriks massa dengan diagonal mass of moment inertia sama dengan nol.
Pada bangunan gedung bertingkat banyak, konsentrasi beban akan terpusat pada tiap-tiap lantai tingkat bangunan. Dengan demikian untuk setiap tingkat hanya ada satu tingkat massa yang mewakili tingkat yang bersangkutan. Karena hanya terdapat satu derajat kebebasan yang terjadi pada setiap massa / tingkat, maka jumlah derajat kebebasan pada suatu bangunan bertingkat banyak akan ditunjukkan oleh banyaknya tingkat bangunan yang bersangkutan. Pada kondisi tersebut matriks massa hanya akan berisi pada bagian diagonal saja.
2.4.1.2 Model consistent mass matrix
Model ini adalah model yang kedua dari kemungkinan permodelan massa struktur. Pada prinsip consistent mass matrix ini, elemen struktur akan berdeformasi menurut bentuk fungsi (shape function) tertentu. Permodelan massa seperti ini akan sangat bermanfaat pada struktur yang distribusi massanya kontinu.
Apabila tiga derajat kebebasan (horizontal, vertikal dan rotasi) diperhitungkan pada setiap mode maka standar consistent mass matrix akan menghasilkan full-populated consistent matrix artinya suatu matriks yang off- diagonal matriksnya tidak sama dengan nol. Pada model lumped mass tidak akan terjadi ketergantungan antar massa (mass coupling) karena matriks massa adalah diagonal. Apabila tidak demikian maka mass moment of inertia akibat translasi dan rotasi harus diperhitungkan.
Pada bangunan bertingkat banyak yang massanya terkonsentrasi pada tiap- tiap tingkat bangunan, maka penggunaan model lumped mass masih cukup akurat. Untuk pembahasan struktur MDOF seterusnya maka model inilah (lumped mass) yang akan dipakai.
2.4.2 Kekakuan
Kekakuan adalah salah satu dinamik karakteristik struktur bangunan yang sangat penting disamping massa bangunan. Antara massa dan kekakuan struktur akan mempunyai hubungan yang unik yang umumnya disebut karakteristik diri atau eigenproblem. Hubungan tersebut akan menentukan nilai frekuensi sudut �, dan periode getar struktur T. Kedua nilai ini merupakan parameter yang sangat penting dan akan sangat mempengaruhi respon dinamik struktur.
Pada prinsip bangunan geser (shear building) balok pada lantai tingkat dianggap tetap horizontal baik sebelum maupun sesudah terjadi pergoyangan. Adanya plat lantai yang menyatu secara kaku dengan balok diharapkan dapat membantu kekakuan balok sehingga anngapan tersebut tidak terlalu kasar. Pada prinsip desain bangunan tahan gempa dikehendaki agar kolom lebih kuat dibandingkan dengan balok, namun demikian rasio tersebut tidak selalu linear dengan kekakuannya. Dengan prinsip shear building maka dimungkinkan pemakaian lumped mass model. Pada prinsip ini, kekakuan setiap kolom dapat dihitung
2.4.3 Redaman
Redaman merupakan peristiwa pelepasan energi (energy dissipation) oleh suatu struktur akibat adanya berbagai macam sebab. Beberapa penyebab itu antara lain adalah pelepasan energi oleh adanya gerakan antar molekul didalam material, pelepasan energi oleh gesekan alat penyambung maupun sistem dukungan, pelepasan energi oleh adanya gesekan dengan udara dan pada respon inelastik , pelepasan energi juga terjadi akibat adanya sendi plastis. Karena redaman berfungsi melepaskan energi maka hal ini akan mengurangi respon struktur.
2.5 Simpangan (Drift) Akibat Gaya Gempa
Simpangan (drift) adalah sebagai perpindahan lateral relatif anatara dua tingkat bangunan yang berdekatan atau dapat dikatakan simpangan mendatar tiap- tiap tingkat bangunan (horizontal story to story deflection).
Simpangan lateral dari suatu sistem struktur akibat beban gempa adalah angat penting yang dilihat dari tiga pandangan yang berbeda, menurut Farzat Naeim (1989):
1. Kestabilan struktur (structural stability)
2. Kesempurnaan arsitektural (architectural integrity) dan potensi kerusakan bermacam-macam komponen bukan struktur
3. Kenyamanan manusia (human comfort), sewaktu terjadi gempa bumi dan sesudah bangunan mengalami gerakan gempa.
Selain itu juga, Richard n. White (1987) berpendapat bahwa dalam perencanaan bangunan tinggi selalu dipengaruhi oleh pertimbangan lenturan (deflection), bukannya oleh kekuatan (strength).
Simpangan antar tingkat dari suatu titik pada suatu lantai harus ditentukan sebagai simpangan horizontal titik itu, relatif terhadap titik yang sesuai pada lantai yang berada dibawahnya. Perbandingan antar simpangan anatar tingkat dan tinggi tingkat yang bersangkutan tidak boleh melebihi 0,005 dengan ketentuan dalam segala hal simpangan tersebut tidak boleh lebih dari 2 cm. Terhadap simpangan antar tingkat telah diadakan pembatasan-pembatasan untuk menjamin agar kenyamanan bagi para penghuni gedung tidak terganggu dan juga untuk mengurangi momen- momen sekunder yang terjadi akibat penyimpangan garis kerja gaya aksial didalam kolom-kolom (yang lebih dikenal dengan P-delta)
Berdasarkan UBC 1997 bahwa batasan story drift atau simpangan antar tingkat adalah sebagai berikut:
Untuk periode bangunan yang pendek T < 0,7 detik, maka simpangan antar tingkat
∆≤0,00251ℎ atau 2,5 % dari tinggi bangunan.
Untuk periode bangunan yang pendek T > 0,7 detik, maka simpangan antar tingkat
∆� ≤0,0021ℎ atau 2,0 % dari tinggi bangunan.
2.6 Derajat Kebebasan (Degree of Freedom, DOF)
Derajat kebebasan (degree of freedom) adalah derajat independensi yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu sistem pada setiap saat. Pada masalah
dinamika, setiap titik atau massa pada umumnya hanya diperhitungkan berpindah tempat dalam satu arah saja yaitu arah horizontal. Karena simpangan yang terjadi hanya terjadi dalam satu bidang atau dua dimensi, maka simpangan suatu massa pada setiap saat hanya mempunyai posisi atau ordinat tertentu baik bertanda negatif atau bertanda positif. Pada kondisi dua dimensi tersebut, simpngan suatu massa pada saat t dapat dinyatakan dalam koordinat tunggal yaitu u(t). Struktur seperti itu dinamakan struktur dengan derajat kebebasan tunggal (SDOF).
Dalam model system SDOF atau berderajat kebebasan tunggal, setiap massa m, kekauan k, mekanisme kehilangan atau redaman c, dan gaya luar yang dianggap tertumpu pada elemen fisik tunggal. Struktur yang mempunyai n-derajat kebebasan atau struktur dengan derajat kebebasan banyak disebut multi degree of freedom (MDOF). Akhrnya dapat disimpulkan bahwa jumlah derajat kebebasan adalah jumlah koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu massa pada saat tertentu.
2.6.1 Persamaan differensial pada struktur SDOF
Sistem derajat kebebasan tunggal (SDOF) hanya akan mempunyai satu koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada saat tertentu yang ditinjau. Bangunan satu tingkat adalah contoh derajat kebebasan tunggal.
Pada gambar 2.1 tampak model matematik untuk SDOF. Tampak bahwa P(t) adalah beban dinamik yaitu beban yang intensitasnya merupakan fungsi dari waktu. Struktur seperti pada gambar 2.1.a kemudian digambar secara ideal seperti tampak pada gambar 2.1.b yaitu gambar yang telah dimodelkan. Notasi m, k, dan c seperti
yang tampak pada gambar berturut-turut adalah massa, kekakuan kolom, dan redaman.
Gambar 2.1 Pemodelan struktur SDOF (sumber: Widodo, 2000)
Apabila beban dinamik P(t) bekerja kearah kanan, maka akan terdapat perlawanan pegas, damper dan gaya redaman seperti gambar 2.1.c. gambar-gambar tersebut umumnya disebut free body diagram. Berdasarkan prinsip keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut, maka dapat diperoleh hubungan,
�(�)− ��− �� = ��������+��+�� = �(�) (Pers. 2.1) Dimana:
�� =�.�̇
�� = �.� (Pers. 2.2) Apabila persamaan (2.1) disubstitusikan ke persamaan (2.2), maka akan diperoleh:
Persamaan (2.3) adalah persamaan differensial gerakan massa suatu struktur SDOF yang memperoleh pembebanan dinamik p(t). Pada problem dinamik, sesuatu yang penting untuk diketahui adalah simpangan horizontal tingkat atau dalam persamaan tersebut adalah u(t).
2.6.2 Persamaan differensial struktur SDOF akibat base motion
Beban dinamik yang umum dipakai pada analisis struktur selain beban angin adalah beban gempa. Gempa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah menjadi bergetar yang getarannya direkam dalam bentuk akselerogram. Tanah ini bergetar akan menyebabkan semua benda yang berada di atas tanah akan ikut bergetar terutama struktur bangunan.
Untuk menyusun persamaan differensial gerakan massa akibat gerakan tanah maka anggapan diatas tetap dipakai, yaitu tanah menyatu secara kaku dengan kolom atau kolom dianggap dijepit pada ujung bawahnya. Pada kondisi tersebut ujung bawah kolom dan tanah dasar bergerak secara bersamaan. Persamaan differensial gerakan massa struktur SDOF akibat gerakan tanah selanjutnya dapat diturunkan dengan mengambil model seperti pada gambar 2.2.
Gambar 2.2 Struktur SDOF akibat base motion (sumber: Widodo , 2000)
Berdasarkan pada free body diagram seperti gambar diatas maka deformasi total yang terjadi adalah
��(�) =�(�) +�̈�(�) (Pers. 2.4) Dari free body diagram yang mengandung gaya inersia �1 tampak bahwa persamaan kesetimbangannya menjadi
��+��+�� = 0 (Pers. 2.5)
Dimana inersia adalah,
�� =��� (Pers. 2.6) Dengan mensubsitusikan pers. (2.2) dan (2.3) ke (2.5) dan (2.4), sehingga diperoleh persamaannya sebagai berikut,
��̈+��̇+�� =−��̈�(�) (Pers. 2.7) Persamaan tersebut disebut persamaan diferensial relatif karena gaya inersia, gaya redam dan gaya pegas ketiga-tiganya timbul akibat adanya simpangan relatif. Ruas kanan pada pers. (2.7) disebut sebagai beban gempa efektif atau beban gerakan tanah efektif. Ruas kanan tersebut seolah menjadi gaya dinamik efektif yang bekerja pada elevasi lantai tingkat. Kemudian gaya luar ini akan disebut sebagai gaya efektif gempa:
Peff(t) =−müg(t) (Pers. 2.8)
2.6.3 Persamaan differensial struktur MDOF
2.6.3.1 Matriks massa, matriks kekakuan dan matriks redaman
Untuk menyatakan persamaan differensial gerakan pada struktur dengan derajat kebebasan banyak maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF. Anggapan seperti pada prinsip shear building masih berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak
(MDOF). Untuk memperoleh persamaan differensial tersebut, maka tetap dipakai prinsip keseimbangan dinamik (dynamic equilibrium) pada suatu massa yang ditinjau. Untuk memperoleh persamaan tersebut maka diambil model struktur MDOF.
Struktur bangunan gedung bertingkat 3, akan mempunyai 3 derajat kebebasan. Sering kali jumlah derajat kebebasan dihubungkan secara langsung dengan jumlahnya tingkat. Persamaan differensial gerakan tersebut umumnya
disusun berdasarkan atas goyangan struktur menurut first mode atau mode pertama seperti yang tampak pada garis putus-putus. Masalah mode ini akan dibicarakan lebih lanjut pada pembahasan mendatang. Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free body diagram. Maka akan diperoleh:
�1�̈1+�1�̇1+�1�1− �2(�̇2− �̇1)− �1(�2− �1) =�1(�) (Pers. 2.9) �2�̈2+�2(�̇2− �̇1) +�2(�2− �1)− �3(�̇3− �̇2)− �3(�3−(��2) =�2(�)(Pers. 2.10) �3�̈3+�3(�̇3− �̇2) +�3(�3− �2) =�3(�) (Pers.2.11) Disederhanakan menjadi: �1�̈1+ (�1+�2)�̇1−(�2�̇2) + (�1+�2)�1− �2�2 = �1(�) (Pers. 2.12) �2�̈2+ (�2+�3)�̇2− �2�̇1− �3�̇3+ (�2+�3)�2− �2�1− �3�3=�2(�) (Pers. 2.13) �3�̈3+�3�̇3 − �3�̇2+�3�3− �3�2 = �3(�) (Pers. 2.14)
Persamaan-persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: ��1 0 0 0 �2 0 0 0 �3 � ��̈�̈12 �̈3 �+� �1+�2 −�2 0 −�2 �2+�3 −�3 0 −�3 �3 � ��̇�̇12 �̇3 �+� �1+�2 −�2 0 −�2 �2+�3 −�3 0 −�3 �3 � ���12 �3 �=� �1(�) �2(�) �3(�) � (Pers. 2.15)
Persamaan (2.15) dapat ditulis dalam matriks yang lebih kompleks,
[�]��̈�+ [�]��̇�+ [�]{�} = {�(�)} (Pers. 2.16) Yang mana [�], [�] ��� [�] berturut-turut adalah matriks massa, matriks redaman dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi,
[�] =� �1 0 0 0 �2 0 �, [�] =� �1+�2 −�2 0 −�2 �2+�3 −�3�,[�] =� �1+�2 −�2 0 −�2 �2+�3 −�3�
(Pers .2.17)
Sedangkan {�̈}, {�̇}, {�} ���{�(�)} masing-masing adalah vektor percepatan, vektor kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban,
{�̈} =� �̈1 �̈2 �̈3 �, {�̇} = � �̇1 �̇2 �̇3 �, {�} =� �1 �2 �3 �,���{�(�)} =� �1(�) �2(�) �3(�) � (Pers .2.18)
Secara visual Chopra (1995) menyajikan keseimbangan antara gaya dinamik, gaya pegas, gaya redam dan gaya inersia seperti pada gambar 2.3.
Gambar 2.3 Keseimbangan Gaya Dinamik dengan ��,��,����� (Sumber: Chopra, 1995)
2.6.4 Getaran bebas pada struktur MDOF
2.6.4.1 Nilai karakteristik (eigenproblem)
Sebagaimana disebut di atas bahwa walaupun getaran bebas (free vibration system) pada kenyataannya jarang terjadi pada struktur MDOF, tetapi membahas
bersangkutan yang selanjutnya akan sangat berguna untuk pembahasan-pembahasan respon struktur berikutnya. Besaran-besaran tersebut terutama adalah frekuensi sudut
�, periode getar T, frekuensi alam f dan normal modes.
Pada getaran bebas di struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF), maka natriks persamaan differensial gerakannya adalah dengan nilai ruas kanan sama dengan nol,
[�]��̈�+ [�]��̇�+ [�]{�} = 0 (Pers .2.19) Telah dibahas sebelumnya bahwa frekuensi sudut pada struktur dengan redaman (damped frequency) �� nilainya hampir sama dengan frekuensi sudut pada struktur yang dianggap tanpa redaman �. Hal ini akan diperoleh apabila nilai damping ratio � relatif kecil. Apabila hal ini diadopsi untuk struktur dengan derajat kebebasan banyak, maka untuk nilai C = 0, pers (2.19) akan menjadi,
[�]��̈�+ [�]{�} = 0 (Pers .2.20) Karena pers. (2.19) adalah persamaan differensial pada struktur MDOF yang dianggap tidak mempunyai redaman, maka sebagaimana penyelesaian persamaan differensial yang sejenis pada pembahasan-pembahasan di depan, maka penyelesaian persamaan tersebut diharapkan dalam fungsi harmonik menurut bentuk,
�̈= {Φ}�sin(��)
�̇ =−� {Φ}�cos(��)
Yang mana {Φ}� adalah suatu koordinat masa pada mode yang ke-i. Substitusi pers.(2.21) kedalam pers. (2.20) selanjutnya akan diperoleh,
−�2[�]{Φ}
�sin(��) + [�] sin(��) = 0
{[�]− �2[�]}{Φ}
� = 0 (Pers .2.22) Pers. (2.22) adalah suatu persamaan yang sangat penting dan biasa disebut persamaan eigenproblem atau karakteristik problem atau ada juga yang menyebut eigenvalue problem. Pers. (2.22) tersebut adalah persamaan simultan yang harus
dicari penyelesaiannya. Salah satu cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan simultan tersebut adalah dengan memakai dalil Cramer (1704-1752). Gabriel Cramer adalah salah satu ahli matematika yang berasal dari Swiss. Dalil tersebut menyatakan bahwa penyelesaian persamaan simultan yang homogen akan ada nilainya apabila determinan dari matriks yang merupakan koefisien dari vektor
{Φ}� adalah nol, sehingga,
{[�]− �2[�]} = 0 (Pers .2.23)
Jumlah mode pada struktur dengan derajat kebebasan banyak biasanya dapat dihubungkan dengan jumlah massa. Mode itu sendiri adalah jenis / pola / ragam getaran / goyangan suatu struktur bangunan. Mode ini hanya merupakan fungsi dari properti dinamik dari struktur yang bersangkutan (dalam hal ini adalah hanya massa dan kekakuan tingkat) dan bebas dari pengaruh waktu dan frekuensi getaran. Dengan adanya hubungan antara jumlah mode dengan jumlah massa struktur, maka bangunan yang mempunyai 5 tingkat misalnya, akan mempunyai 5 derajat kebebasan dan akan mempunyai 5 jenis mode gerakan dan akan mempunyai 5 nilai frekuensi sudut yang
berhubungan langsung dengan jenis/ nomor mode nya. Apabila jumlah derajat kebebasan adalah n, maka akan menghasilkan suatu polinominal pangkat n yang selanjutnya akan menhasilkan ��2 untuk i = 1,2,3,...n. Selanjutnya, substitusi masing- masing frekuensi �� maka akan diperoleh nilai-nilai Φ1,Φ2, … . ,Φ�.
2.6.4.2 Frekuensi sudut (�) dan normal modes
Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, didalam menghitung frekuensi sudut untuk struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF) diambil suatu anggapan bahwa struktur tersebut dianggap tidak mempunyai redaman atau C = 0. Untuk menghitung dan sekaligus menggambar normal modes maka diambil suatu model struktur seperti pada gambar berikut:
Gambar 2.4 Bangunan 2-DOF dan model matematika (sumber: Widodo, 2000)
Setiap struktur yang dibebani dengan beban dinamik akan mengalami goyangan. Untuk struktur derajat kebebasan banyak, maka struktur yang bersangkutan akan mempunyai banyak ragam/ pola goyangan. Normal modes adalah
suatu istilah yang sering dipakai pada problem dinamika struktur, dan kata tersebut diterjemahkan sebagai ragam/pola goyangan.
Kembali pada persoalan inti, suatu persamaan differensial gerakan dapat diperoleh dengan memperhatikan free body diagram seperti pada gambar 2.4.c dan diperoleh,
�1�̈1+�1�1− �2(�2− �1) = 0
�2�̈2+�2(�2− �1) = 0 (Pers. 2.24)
Pers. (2.24) dapat ditulis dalam bentuk yang sederhana yaitu,
�1�̈1 + (�1+�2)�1− �2�2 = 0 (Pers. 2.25)
�2�̈2− �2�1+�2�2 = 0) (Pers. 2.26)
Pers. (2.25) dapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu,
��1 0 0 �2� ��̈ 1 �̈2�+� (�1+�2) −�2 −�2 �2 � � �1 �2�=� 0 0� (Pers. 2.27)
Selanjutnya persamaan Eigenproblem atas pers. (2.26) adalah,
�(�1+�2)− �2�1 −�2 −�2 �2− �2�2� �� 1 �2�= � 0 0� (Pers. 2.28)
Dengan Φ1 adalah suatu nilai / ordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada ragam/pola goyangan massa ke-i. Seperti dijelaskan sebelumnya bahwa pers. (2.28) akan ada penyelesaiannya apabila dipenuhi nilai determinan,
�(�1+�2)− �2�1 −�2
−�2 �2− �2�2
Apabila pers. (2.29) tersebut diteruskan nilai determinannya adalah,
�1�2�4−{(�1+�2)�2−�2�1}�2+ (�1+�2)�2− �22 = 0 (Pers. 2.30)
Struktur dianggap tidak mempunyai redaman sehingga periode getar dicari