ANALISIS KESTABILAN MODEL EKOSISTEM PLANKTON
DENGAN PENGARUH DEFISIT OKSIGEN
YURISKA DESTANIA
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Analisis Kestabilan Model Ekosistem Plankton dengan Pengaruh Defisit Oksigenadalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2015
Yuriska Destania
RINGKASAN
YURISKA DESTANIA. Analisis Kestabilan Model Ekosistem Plankton dengan Pengaruh Defisit Oksigen. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan PAIAN SIANTURI.
Plankton merupakan organisme mikroskopis yang hidupnya tersuspensi di dalam air. Secara umum plankton dibedakan menjadi dua golongan, yaitu golongan tumbuhan (fitoplankton) dan golongan hewan (zooplankton). Pada fitoplankton terdapat kandungan klorofil yang membuat kelompok ini mampu berfotosintesis. Hasil dari proses fotosistesis tersebut merupakan sumber nutrisi utama bagi kelompok organisme lain, baik secara langsung maupun tidak langsung dalam suatu sistem rantai makanan. Oleh sebab itu, ketersediaan populasi plankton di dalam air tentu sangat berpengaruh terhadap kelangsungan hidup organisme-organisme lain di dalam air. Untuk mengatasi hal tersebut, diusulkan suatu model matematika yang mampu menggambarkan fenomena-fenomena yang terjadi pada ekosistem plankton di dalam air.
Model ekosistem plankton ini disajikan dalam bentuk sistem persamaan diferensial taklinear yang melibatkan empat variabel, yaitu konsentrasi nutrisi, kepadatan populasi alga, kepadatan populasi zooplankton dan konsentrasi oksigen terlarut. Model ini menjadi menarik karena tingkat pertumbuhan alga dan
zooplankton tidak hanya dipengaruhi oleh variabel-variabel terkait, tetapi juga
oleh faktor defisit oksigen. Defisit oksigen didefinisikan sebagai selisih antara nilai saturasi dan konsentrasi oksigen terlarut. Tingginya konsentrasi oksigen terlarut di dalam air akan memperkecil defisit oksigen, sehingga pertumbuhan alga dan zooplankton akan meningkat. Sebaliknya, saat konsentrasi oksigen menurun maka defisit oksigen akan meningkat dan menyebabkan tingkat pertumbuhan alga dan zooplankton menurun.
Dalam penelitian ini diperoleh empat titik tetap. Selanjutnya dilakukan analisis kestabilan pada masing-masing titik tetap. Untuk tiga titik tetap pertama, analisis dilakukan melalui nilai eigen yang dihasilkan dari matriks Jacobi pada masing-masing titik tetap. Untuk titik tetap keempat dilakukan analisis dengan metode langsung Lyapunov. Hasil analisis menunjukan bahwa titik tetap keempat akan bersifat stabil dengan kriteria tertentu, sedangkan tiga titik tetap lainnya bersifat tidak stabil karena kondisi-kondisi tertentu. Kemudian hasil analisis diperiksa kembali melalui simulasi numerik dengan mensubstitusi nilai-nilai parameter, sehingga diperoleh koordinat dan nilai eigen pada masing-masing titik tetap. Hasil tersebut menunjukan bahwa sistem akan mencapai kondisi stabil pada koordinat titik tetap keempat. Pada bagian tersebut juga diilustrasikan dinamika yang terjadi hingga sistem mencapai kondisi stabil. Dari hasil penelitian ini, diperoleh suatu kondisi yang membuat populasi plankton di dalam air tersedia dalam jumlah yang stabil, sehingga mampu mencukupi kebutuhan organisme lain.
SUMMARY
YURISKA DESTANIA. Stability Analysis of the Plankton Ecosystem Model Considering the Oxygen Deficit. Supervised by JAHARUDDIN and PAIAN SIANTURI.
Plankton are microscopic organisms that lives suspended on water. In general, the planktons were divided into two groups : group of plants (phytoplankton) and group of animals (zooplankton). The phytoplankton contain chlorophyll which makes this group able to perform photosynthesis activity. The results of photosynthesis is a source of nutrition for other organisms, either directly or indirectly through the food chain system. Therefore, availability of plankton population in the water affect the survival of other organisms.
In this study, a mathematical model was proposed that able to describe phenomena occur in the ecosystems plankton. This model is presented in nonlinear differential equations system involving four variables : concentration of nutrients, density of algae, density of zooplankton and concentration of dissolved oxygen. This model is interesting because the growth rate of algae and zooplankton are not only influenced variables, but also by oxygen deficit. The oxygen deficit is defined as the difference between saturation and concentration of oxygen. A high dissolved oxygen concentration will reduce the oxygen deficit, so that the growth of algae and zooplankton increase. If the oxygen concentration Different from other equilibrium points, for a fourth equilibrium points, analysis conducted with Lyapunov direct method. The result of analysis showed that the fourth equilibrium points will be stable with certain criteria, while three other equilibrium points are unstable. Then the results of analysis will be examined through numerical simulation by substituting the values of parameters. Those result showed that system will reach a stable condition at the coordinates of fourth equilibrium points. In this section also illustrated the dynamics that occur until the system reaches a stable condition. The results of this study, obtained a condition that makes the plankton population in the water available in stable amount.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2015
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
ANALISIS KESTABILAN MODEL EKOSISTEM PLANKTON
DENGAN PENGARUH DEFISIT OKSIGEN
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan November 2014 ini ialah pemodelan matematika, dengan judul Analisis Kestabilan Model Ekosistem Plankton dengan Pengaruh Defisit Oksigen.
Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada:
1. Alm. Bapak Yuniman dan Ibu Rihusnani selaku orang tua penulis.
2. Dr Jaharuddin, MS selaku ketua komisi pembimbing sekaligus Ketua Program Studi Matematika Terapan.
3. Dr Paian Sianturi selaku anggota komisi pembimbing.
4. Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku penguji luar komisi pembimbing.
5. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa Pendidikan Pascasarjana Dalam Negeri (BPP-DN).
6. Seluruh keluarga yang selalu memberi dorongan dan doa untuk keberhasilan studi penulis.
7. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika khususnya teman-teman angkatan tahun 2013 di program studi S2 Matematika Terapan.
8. Sahabat-sahabat yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini.
Semoga semua bantuan, bimbingan dan motivasi yang telah diberikan kepada penulis senantiasa mendapatkan balasan dari Allah subhanahu wa ta’ala.
Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar dan wawasan kita semua.
Bogor, Agustus 2015
DAFTAR ISI
Sistem Persamaan Diferensial Biasa 2
Titik Tetap 3
Modifikasi Model Ekosistem Plankton 8
Daerah Solusi Model Ekosistem Plankton 10
Penentuan Titik Tetap 12
Analisis Kestabilan Titik Tetap 14
Simulasi Numerik 23
4 SIMPULAN 25
DAFTAR PUSTAKA 26
LAMPIRAN 27
DAFTAR TABEL
1 Nilai parameter model 23
2 Koordinat dan nilai eigen masing-masing titik tetap 23
DAFTAR GAMBAR
1 Diagram hubungan antar kompartemen dalam model ekosistem
plankton (disesuaikan dari Khare et al.) 7
2 Diagram hubungan antar kompartemen dalam model ekosistem
plankton (disesuaikan dari Misra) 8
3 Diagram hubungan antar kompartemen dalam model ekosistem
plankton 9
4 Bidang solusi untuk titik tetap 24
DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks maple 13 untuk titik tetap 27
2 Sintaks maple 13 untuk matriks Jacobi dan nilai eigen 30
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Plankton merupakan organisme tingkat pertama yang berfungsi sebagai produsen (penyedia energi). Definisi umum menyatakan bahwa yang dimaksud dengan plankton adalah suatu golongan jasad hidup akuatik berukuran mikroskopis, biasanya berenang atau tersuspensi di dalam air. Plankton dibedakan menjadi dua golongan, yaitu fitoplankton (tumbuhan) dan zooplankton (hewan) (Wibisono, 2005).
Pada fitoplankton terdapat kandungan klorofil yang membuat kelompok ini mampu melakukan aktivitas fotosintesis. Hasil dari proses fotosistesis tersebut merupakan sumber nutrisi utama bagi kelompok organisme air lainnya dan membentuk sistem rantai makanan. Keberadaan fitoplankton menjadi awal mulainya kehidupan di perairan, berlanjut ke tingkat kehidupan yang lebih tinggi dari tingkatan zooplankton, ikan-ikan kecil hingga ikan-ikan yang berukuran besar dan tingkatan terakhir sampailah pada manusia yang memanfaatkan ikan sebagai bahan makanan (Nontji 2008). Plankton juga berperan sebagai salah satu bioindikator yang mampu menggambarkan kondisi suatu perairan (Prabandani et al., 2007). Berdasarkan kondisi tersebut maka dibutuhkan suatu model yang mampu menggambarkan fenomena-fenomena yang terjadi pada ekosistem plankton di dalam air, sehingga dapat dilakukan kajian dan analisa mengenai dinamika yang terjadi pada ekosistem ini.
Model matematika dan analisis mengenai ekosistem plankton telah dikaji oleh beberapa peneliti. Truscott dan Brindley (1994) menyajikan model evolusi fitoplankton dan zooplankton di laut. Franke et al. (1999) menyajikan model ekosistem plankton di danau, dengan mempertimbangkan adanya interaksi serta respon plankton terhadap lingkungan. Misra (2007), mengkonstruksi model matematika yang menggambarkan ekosistem plankton pada perairan yang mengalami eutrofikasi, yaitu penipisan oksigen terlarut di karenakan penumpukan nutrisi di dalam air. Khare et al. (2013) menyajikan model ekosistem plankton yang melibatkan faktor defisit oksigen. Defisit oksigen didefinisikan sebagai selisih antara nilai saturasi oksigen dan konsentrasi oksigen pada waktu t. Pada model ekosistem plankton yang disajikan oleh Khare et al. diasumsikan bahwa defisit oksigen akan mempengaruhi tingkat pertumbuhan alga dan zooplankton, dimana semakin tinggi defisit oksigen yang terjadi maka tingkat pertumbuhan alga dan zooplankton akan semakin menurun. Pelibatan faktor defisit oksigen merupakan hal baru dalam pemodelan ekosistem plankton, sayangnya pada model tersebut belum dipertimbangkan peran alga sebagai salah satu penyuplai oksigen melalui proses fotosintesis.
2
Tujuan Penelitian
Berdasarkan uraian latar belakang di atas, tujuan yang akan dicapai pada penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Memodifikasi model ekosistem plankton.
2. Melakukan analisis kestabilan terhadap model hasil modifikasi.
3. Melakukan simulasi untuk memverifikasi hasil analisis secara numerik.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini diberikan penjelasan mengenai teori-teori yang mendukung pembahasan di bagian selanjutnya, ekosistem plankton dan beberapa model ekosistem plankton yang menjadi acuan pada penelitian ini.
Sistem Persamaan Diferensial Biasa
Definisi 2.1 sistem persamaan diferensial biasa linear
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai berikut:
, (2.1) dengan adalah matriks koefisien konstan berukuran dan adalah vektor konstan. Sistem persamaan (2.1) dinamakan sistem persamaan diferensial linear orde satu dengan kondisi awal . Jika , maka sistem dikatakan homogen dan jika , maka sistem dikatakan takhomogen (Tu 1994).
Definisi 2.2 sistem persamaan diferensial biasa taklinear
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai berikut:
, (2.2) dengan
dan .
adalah fungsi taklinear dalam . Sistem persamaan (2.2) disebut sistem persamaan diferensial biasa taklinear (Braun 1983).
Definisi 2.3 sistem persamaan diferensial biasa mandiri
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai berikut:
3 dengan merupakan fungsi kontinu bernilai real dari . Sistem persamaan (2.3) disebut sistem persamaan diferensial biasa mandiri (autonomous) karena tidak memuat secara eksplisit di dalamnya (Tu 1994).
Titik Tetap
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa seperti pada sistem (2.2). Titik disebut titik tetap, jika . Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan atau titik ekuilibrium (Tu 1994). Untuk selanjutnya digunakan istilah titik tetap.
Pelinearan
Untuk suatu sistem persamaan diferensial taklinear, analisis kestabilan dilakukan melalui model hasil pelinearan. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial taklinear seperti berikut :
. (2.4) Menggunakan uraian Taylor untuk suatu titik tetap , maka sistem persamaaan (2.4) dapat ditulis,
. (2.5) Persamaan tersebut merupakan sistem persamaan diferensial taklinear dengan adalah matriks Jacobi,
dan suku berorde tinggi dengan Oleh sebab itu, diperoleh persamaan berikut:
. (2.6) Persamaan (2.6) disebut pelinearan dari persamaan diferensial (2.4) (Tu 1994).
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Diberikan matriks koefisien konstan berukuran dan sistem persamaan diferensial biasa homogen . Suatu vektor taknol di dalam disebut vektor eigen dari jika untuk suatu skalar berlaku: (2.7) Nilai skalar dinamakan nilai eigen dari . Untuk mencari nilai dari , maka sistem persamaan (2.7) dapat ditulis sebagai berikut:
4
dengan adalah matriks identitas. Sistem persamaan (2.8) mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika
. (2.9) Persamaan (2.9) merupakan persamaan karakteristik matriks (Anton dan Rorres 1995).
Analisis Kestabilan
Sifat kestabilan titik tetap dari sistem (2.3) dapat ditentukan dengan melihat nilai-nilai eigen dari matriks , yaitu: yang diperoleh dari . Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai perilaku sebagai berikut:
b. Terdapat nilai eigen kompleks memiliki bagian real positif ( untuk suatu ).
(Tu 1994).
Selain dengan nilai eigen, sifat kestabilan titik tetap dari sistem (2.3) juga dapat ditentukan menggunakan metode langsung Lyapunov dengan mendefinisikan suatu fungsi yang disebut dengan fungsi Lyapunov. Metode kestabilan Lyapunov dijelaskan pada Teorema 2.1 berikut,
.
Teorema 2.1 (Kestabilan Lyapunov)
Misalkan adalah titik tetap dari sistem (2.3). adalah suatu fungsi kontinu untuk x di dan terdiferensialkan di , sedemikian sehingga
i. dan untuk .
ii. Jika di , maka titik tetap dikatakan stabil.
(Hirsch dan Smale 1974)
Ekosistem Plankton
Ekosistem plankton merupakan bagian dari ekosistem perairan. Ekosistem ini memiliki peranan penting dalam kelangsungan hidup organisme-organisme lainnya, baik secara langsung maupun tidak langsung melalui sistem rantai makanan.
5 Fitoplankton adalah organisme mikroskopik yang hidup melayang atau mengapung di dalam air, serta memiliki kemampuan gerak yang terbatas. Fitoplankton berperan sebagai salah satu bioindikator yang mampu menggambarkan kondisi suatu perairan, perkembangannya bersifat dinamis karena dominasi satu spesies dapat digantikan dengan yang lain dalam interval waktu tertentu dan kualitas perairan yang tertentu juga. Perubahan kondisi lingkungan perairan akan menyebabkan perubahan pula pada struktur komunitas komponen biologi, khususnya fitoplankton (Prabandani et al. 2007).
Fitoplankton memegang peranan yang sangat penting dalam ekosistem air. Pada fitoplankton terdapat kandungan klorofil yang membuat kelompok ini mampu melakukan aktivitas fotosintesis. Hasil dari proses fotosistesis tersebut merupakan sumber nutrisi utama bagi organisme lain, yang membentuk sistem rantai makanan. Kelompok fitoplankton yang mendomonasi perairan air tawar pada umumnya terdiri dari diatom dan ganggang hijau (Barus 2004).
Zooplankton merupakan plankton yang bersifat hewani yang sangat
beraneka ragam, terdiri dari berbagai macam larva dan bentuk dewasa yang mewakili hampir seluruh filum hewan. Namun dari sudut ekologi, hanya satu golongan zooplankton yang sangat penting artinya, yaitu kelas kopepoda.
Kakepoda adalah crustacea holopplanktonic berukuran kecil yang mendominasi
zooplankton dan merupakan herbivora pimer (Nybakken 1992).
Sebagian besar zooplankton menggantungkan sumber nutrisinya pada materi organik berupa fitoplankton. Populasi zooplankton pada suatu perairan jauh lebih sedikit dibandingkan dengan fotoplankton. Umunya zooplankton banyak ditemukan pada perairan yang mempunyai kecepatan arus rendah serta kekeruhan air yang sedikit (Barus 2004).
Oksigen Terlarut
Oksigen terlarut merupakan suatu faktor yang sangat penting di dalam ekosistem perairan, terutama untuk proses respirasi bagi sebagian besar organisme air. Kelarutan oksigen didalam air di pengaruhi oleh suhu, dimana kelarutan maksimum terdapat pada suhu peningkatan suhu akan menyebabkan konsentrasi oksigen menurun. Sumber utama oksigen terlarut dalam air berasal dari adanya kontak antara permukaan air dengan udara dan juga dari proses fotosintesis. Oksigen terlarut hilang secara alami oleh adanya aktivitas respirasi organisme aquatik, penguraian bahan organik, aliran air bawah tanah yang miskin oksigen dan kenaikan suhu. Kisaran toleransi plankton terhadap oksigen terlarut berbeda-beda. Sebaiknya konsentrasi oksigen terlarut dalam suatu perairan tidak lebih kecil dari 8 mg/liter (Barus 2004).
Nutrisi
6
ke sistem perairan (Barus 2004). Komponen nitrit ( ) jarang ditemukan pada badan air karena langsung dioksidasi menjadi nitrat ( ). Pada wilayah perairan yang relatif dekat dengan buangan industri umumnya nitrit bisa dijumpai, mengingat bahwa nitrit sering digunakan sebagai inhibitor terhadap korosi pada sistem pendingin mesin (Wibisono 2005).
Defisit Oksigen
Defist oksigen merupakan selisih antara nilai saturasi oksigen dan konsentrasi oksigen. Menurut Barus (2004), kehadiran senyawa organik yang tinggi di perairan menyebabkan aktivitas penguraian meningkat. Peningkatan aktivitas penguraian membutuhkan oksigen terlarut dalam jumlah yang lebih tinggi untuk mengurai atau mengoksidasi senyawa organik tersebut. Konsumsi oksigen yang tinggi menyebabkan penurunan konsentrasi oksigen terlarut dalam air, sehingga terjadinya defisit oksigen. Defisit oksigen menyebabkan kebutuhan respirasi organisme aquatik tidak terpenuhi, sehingga pertumbuhannya akan terganggu. Semakin tinggi defisit oksigen yang terjadi maka populasi organisme aquatik akan semakin menurun.
Penelitian Khare et al. (2013)
Pada penelitiannya yang berjudul efek penipisan oksigen terlarut pada keberadaan populasi plankton, Khare et al. (2013) menyajikan model matematika yang menggambarkan dinamika ekosistem plankton dengan melibatkan empat variabel, yaitu konsentrasi nutrisi ( , kepadatan populasi alga ( , kepadatan populasi zooplankton ( , dan konsentrasi oksigen terlarut ( .
Diasumsikan bahwa nutrisi dari luar masuk ke dalam air dengan laju . Penipisan konsentrasi nutrisi disebabkan oleh faktor alami dan pemangsaan oleh alga . Laju pertumbuhan alga dipengaruhi oleh defisit oksigen, serta sebanding dengan konsentrasi nutrisi dan densitasnya sendiri. Berkurangnya populasi alga disebabkan oleh faktor kematian alami dan pemangsaan oleh
zooplankton . Laju pertumbuhan zooplankton dipengaruhi oleh defisit
oksigen, serta sebanding dengan densitas alga dan zooplankton sendiri. Berkurangnya populasi zooplankton di sebabkan oleh faktor kematian alami . Konsentrasi oksigen terlarut masuk ke air dengan laju dan penipisan alami oksigen adalah . Defisit oksigen didefinisikan sebagai selisih antara nilai saturasi oksigen dan konsentrasi oksigen terlarut.
Berdasarkan asumsi-asumsi di atas, model ekosistem plankton diberikan sebagai berikut:
7 dan adalah koefisien tingkat penipisan. , , dan adalah konstanta pembanding yang positif. dan adalah konstanta saturasi.
Hubungan antar variabel dalam model (2.10) dapat disajikan dalam bentuk diagram kompartemen pada Gambar 1.
Gambar 1 Diagram hubungan antar kompartemen dalam model ekosistem plankton (disesuaikan dari Khare et al.)
Penelitian Misra (2007)
Pada penelitiannya mengenai analisis eutrofikasi, Misra (2007) menyajikan model ekosistem plankton yang melibatkan variabel konsentrasi nutrisi ( ), kepadatan populasi alga ( ), kepadatan populasi zooplankton ( ), konsentrasi oksigen terlarut ( ) dan kepadatan detritus ( ).
Diasumsikan bahwa nutrisi dari luar masuk ke dalam air dengan laju dan suplai nutrisi dari konversi detritus adalah Penipisan nutrisi disebabkan faktor alami dan pemangsaan oleh alga Laju pertumbuhan alga sebanding dengan konsentrasi nutrisi dan densitasnya sendiri
Berkurangnya populasi alga disebabkan faktor kematian alami , adanya interaksi diantara sesama alga dan pemangsaan oleh zooplankton . Laju pertumbuhan zooplankton sebanding dengan densitas alga dan zooplankton
sendiri Berkurangnya populasi zooplankton disebabkan faktor kematian alami dan adanya interaksi diantara sesama zooplankton Sebagian dari alga dan zooplankton yang mati akan terkonversi menjadi detritus, sehingga pertumbuhan detritus diasumsikan sebanding dengan densitas alga dan
zooplankton. Tingkat penipisan alami detritus adalah . Konsentrasi oksigen
terlarut masuk ke air dengan laju dan suplai oksigen dari proses fotosintesis alga sebesar . Penipisan oksigen disebabkan oleh faktor alami dan proses konversi detritus yang mati menjadi nutrisi .
8
dengan .
, , dan adalah koefisien positif dari tingkat penipisan.
dan adalah konstanta pembanding yang positif. dan adalah koefisien positif dari laju berkurangnya alga dan zooplankton karena adanya interaksi diantara sesamanya. Selanjutnya, dan adalah bagian dari konstanta pembanding dimana
Hubungan antar variabel tersebut dapat disajikan dalam bentuk diagram kompartemen pada Gambar 2.
Gambar 2 Diagram hubungan antar kompartemen dalam model ekosistem plankton (disesuaikan dari Misra)
3
HASIL DAN PEMBAHASAN
Modifikasi Model Ekosistem Plankton
Pada bagian ini dilakukan modifikasi model ekosistem plankton yang mengacu pada model yang telah disajikan oleh Khare et al. (2013). Pada model tersebut akan ditambahkan asumsi bahwa alga berperan sebagai salah satu penyuplai oksigen melalui proses fotosintesis (Barus 2004). Modifikasi ini dilakukan dengan mengkaji kembali beberapa penelitian sebelumnya yang relevan dengan penelitian ini, salah satunya penelitian Misra (2007).
9 oksigen terlarut ( . Berikut keseluruhan asumsi yang membangun model ini, nutrisi dari luar masuk ke dalam air dengan laju . Penipisan konsentrasi nutrisi disebabkan oleh faktor alami dan pemangsaan oleh alga . Laju pertumbuhan alga dipengaruhi oleh defisit oksigen, serta sebanding dengan konsentrasi nutrisi dan densitasnya sendiri. Berkurangnya populasi alga disebabkan oleh faktor kematian alami dan pemangsaan oleh zooplankton
. Laju pertumbuhan zooplankton dipengaruhi oleh defisit oksigen, serta sebanding dengan densitas alga dan zooplankton sendiri. Berkurangnya populasi
zooplankton di sebabkan oleh faktor kematian alami . Konsentrasi oksigen
terlarut masuk ke air dengan laju dan penipisan oksigen terlarut karena faktor alami adalah . Suplai oksigen dari proses fotosintesis alga sebesar . Defisit oksigen didefinisikan sebagai selisih antara nilai saturasi oksigen dan konsentrasi oksigen terlarut. Tingginya konsentrasi oksigen terlarut di dalam air akan memperkecil defisit oksigen, sehingga pertumbuhan alga dan zooplankton
akan meningkat. Sebaliknya, saat konsentrasi oksigen menurun maka defisit oksigen akan meningkat dan menyebabkan pertumbuhan plankton menurun.
Berdasarkan asumsi-asumsi di atas, model ekosistem plankton diberikan sebagai berikut:
di mana .
dan adalah koefisien positif dari tingkat penipisan. dan adalah konstanta saturasi. , , dan adalah konstanta pembanding yang positif.
Hubungan antar variabel dalam model (3.1) dapat disajikan dalam bentuk diagram kompartemen pada Gambar 3.
10
Sistem (3.1) inilah yang selanjutnya akan dianalisis untuk mempelajari ekosistem plankton di dalam air. Untuk langkah pertama akan dikonstruksi suatu daerah solusi yang menjamin bahwa sistem (3.1) memiliki solusi yang tak negatif dan terbatas. Kemudian, akan dicari titik tetap dari sistem (3.1) yaitu dengan menentukan solusi saat tidak terjadi perubahan pada sistem. Selanjutnya, masing-masing titik tetap akan dianalisis untuk mengetahui perilaku sistem dalam jangka waktu yang panjang. Pada bagian akhir, hasil analisis akan diperiksa kembali melalui simulasi numerik dengan mensubstitusi nilai-nilai parameter. Selain itu, akan diberikan pula gambaran mengenai dinamika yang terjadi hingga sistem mencapai kondisi stabil.
Daerah Solusi Model Ekosistem Plankton
Pada bagian ini, akan dikonstruksi Lemma 3.1 yang menjamin bahwa sistem (3.1) mempunyai daerah solusi yang tak negatif dan terbatas.
Lemma 3.1 Himpunan
adalah daerah solusi yang tak negatif dan terbatas dari sistem (3.1), dimana
.
Bukti:
Gunakan tiga persamaan pertama dari sistem (3.1) sehingga diperoleh,
merupakan tingkat penyerapan nutrisi oleh alga, selanjutnya nutrisi yang diserap akan terkonversi menjadi alga dengan tingkat sebesar Karena tidak semua nutrisi yang diserap terkonversi dengan sempurna menjadi alga, maka diperoleh bahwa Melalui hubungan yang sama untuk alga dan
zooplankton, maka diperoleh pula bahwa
Dengan demikian, persamaan (3.2) dapat ditulis sebagai berikut
11
Misalkan , maka persamaan (3.3) dapat ditulis sebagai berikut:
Misalkan , maka
Sehingga terdapat suatu konstanta positif , sedemikian sehingga
Persamaan (3.4) akan diselesaikan menggunakan faktor integrasi (Robinson 2004),
Karena , maka
Untuk , diperoleh
Selanjutnya, dengan cara yang sama akan ditunjukan bahwa juga terbatas. Gunakan persamaan keempat dari sistem (3.1),
Dari persamaan (3.5) diperoleh hubungan bahwa , sehingga
Misalkan merupakan suatu konstanta positif, sedemikian sehingga
12 tersebut diperoleh dengan menyelesaikan sistem (3.1), yang memenuhi kondisi berikut:
Sistem tersebut memiliki empat titik tetap yaitu di mana .
Titik tetap
Pada kondisi ini, belum terdapat populasi alga maupun zooplankton di dalam air . Keadaan ini menyebabkan konsentrasi nutrisi dan oksigen terlarut hanya bergantung pada suplai dari luar dan faktor penipisan alami. Dari kondisi tersebut diperoleh,
Dengan demikian titik tetapnya adalah . Titik tetap dan
Pada kedua titik tetap ini belum terdapat populasi zooplankton . Keberadaan populasi alga menyebabkan penurunan konsentrasi nutrisi dikarenakan aktivitas penyerapan oleh alga, serta peningkatan konsentrrasi oksigen dari hasil fotosintesis alga. Komponen titik tetap dan merupakan solusi dari sistem berikut:
13 Dengan mensubstitusi persamaan (3.11) ke persamaan (3.8) diperoleh persamaan berikut,
Agar persamaan (3.12) menghasilkan akar-akar real yang bernilai positif ( dan ) maka haruslah:
Sehingga diperoleh,
dengan dan masing-masing memenuhi
persamaan (3.13). Karena dan merupakan akar-akar real yang bernilai positif, maka jumlah dan hasil kali dari kedua akar ini tentu juga bernilai positif. Artinya,
i. atau
dan
ii. atau
Selanjutnya, dengan menggantikan ke persamaan (3.11) akan diperoleh dan sebagai berikut
Maka diperoleh titik tetap , yaitu .
Berikutnya, dengan menggantikan ke persamaan (3.11) akan diperoleh pula dan , dimana
Sehingga diperoleh titik tetap ketiga, yaitu Titik tetap
Berbeda dengan titik tetap sebelumnya, pada titik tetap ini telah terdapat populasi zooplankton ( . Dari asumsi yang telah dibangun pada sistem (3.1), diketahui bahwa keberadaan populasi zooplankton akan menyebabkan berkurangnya populasi alga disebabkan adanya aktivitas pemangsaan alga oleh
zooplankton. Dengan demikian, jumlah populasi alga pada kondisi ini (terdapat
14
tanpa keberadaan populasi zooplankton ( ) (Misra 2007). Sehingga diketahui
bahwa, dan .
Komponen titik tetap merupakan solusi dari sistem berikut:
Dari persamaan (3.20), (3.21) dan (3.22) diperoleh , dan sebagai berikut,
Selanjutnya dengan menggantikan ke persamaan (3.22) akan diperoleh ,
Jadi titik tetapnya adalah dari persamaan (3.24), (3.25) dan (3.26).
Titik tetap ada, jika persyaratan berikut terpenuhi: dan
Untuk selanjutnya, komponen-komponen titik tetap akan dilambangkan
dengan .
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Pada bagian ini, akan dilakukan analisis untuk melihat sifat kestabilan dari titik tetap. Terlebih dahulu akan dilakukan pelinearan pada sistem (3.1) sehingga diperoleh suatu matriks Jacobi disekitar titik tetap . Sifat kestabilan akan ditentukan berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobi untuk masing-masing titik tetap.
15
Pelinearan pada sistem (3.27) menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut:
,
,
,
dimana dan merupakan komponen koordinat titik tetap ( .
Titik tetap akan bersifat stabil, jika semua nilai eigen yang dihasilkan oleh matriks Jacobi bernilai negatif (Tu 1994).
Kestabilan titik tetap
Pelinearan sistem (3.1) untuk titik tetap terhadap matriks Jacobi akan menghasilkan matriks Jacobi berikut:
16
Pada pembahasan sebelumnya telah jelaskan bahwa merupakan konstanta positif, maka jelas bahwa . Sehingga sifat kestabilan akan ditentukan dari nilai Dengan mensubstitusi nilai dan dari persamaan (3.7) pada pembilang , diperoleh bahwa
Karena dan maka jelas bahwa
Dengan demikian diketahui bahwa penyebut dari bernilai positif. Selanjutnya, diketahui pula bahwa pembilang dari akan bernilai positif, jika titik tetap dan ada (persamaan (3.17)). Sehingga dapat disimpulkan bahwa
akan bernilai positif dan titik tetap bersifat tidak stabil, jika titik tetap dan ada.
Kestabilan titik tetap
Pelinearan sistem (3.1) untuk titik tetap terhadap matriks Jacobi akan menghasilkan matriks Jacobi berikut:
,
,
17 Solusi dari persamaan (3.28) merupakan nilai-nilai eigen berikut:
Nilai dari dan dapat dilihat pada Lampiran 2.
Selanjutnya akan dilakukan analisa terhadap nilai Dengan mensubstitusi nilai dari persamaan (3.18) pada pembilang , diperoleh bahwa
Karena dan maka jelas bahwa
Dengan demikian diketahui bahwa penyebut dari bernilai positif. Selanjutnya dilakukan analisa terhadap nilai dari pembilang Misalkan titik tetap ada, pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa , maka akan diperoleh hubungan berikut:
Dengan mensubstitusi nilai dari persamaan (3.26), diketahui bahwa
Sehingga, Jacobi akan menghasilkan matriks Jacobi berikut:
18
,
Matriks menghasilkan persamaan karakteristik berikut: (
Solusi dari persamaan (3.29) merupakan nilai-nilai eigen berikut:
Nilai dari dan dapat dilihat pada Lampiran 2.
Selanjutnya akan dilakukan analisa terhadap nilai Dengan mensubstitusi nilai dari persamaan (3.19) pada pembilang , diperoleh bahwa
Karena dan maka jelas bahwa
Dengan demikian diketahui bahwa penyebut dari bernilai positif. Selanjutnya dilakukan analisa terhadap nilai dari pembilang Misalkan titik tetap ada, pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa , maka akan diperoleh hubungan berikut:
Dengan mensubstitusi nilai dari persamaan (3.26), diketahui bahwa
19 Jacobi akan menghasilkan matriks Jacobi berikut:
,
,
Matriks menghasilkan persamaan karakteristik berikut:
Solusi dari persamaan karakteristik tersebut merupakan nilai-nilai eigen untuk titik tetap Titik tetap akan bersifat stabil, jika semua nilai eigen bernilai negatif.
Selanjutnya, pada Teorema 3.1 dikonstruksi kriteria kestabilan untuk titik tetap . Teorema 3.1
Titik tetap stabil di , jika kedua kondisi berikut terpenuhi
dan Bukti :
20
dengan , , adalah suatu konstanta positif yang dipilih secara tepat. Fungsi di atas disebut dengan fungsi Lyapunov, dimana
dan untuk (Khare et al. 2013).
Turunan dari fungsi terhadap diperoleh sebagai berikut,
Karena adalah komponen koordinat titik tetap berupa konstanta positif, maka
Berdasarkan kondisi tersebut, maka persamaan (3.31) dapat ditulis sebagai berikut:
Dengan mensubstitusi persamaan-persamaan di sistem (3.1) ke persamaan (3.32), akan diperoleh
21
Selanjutnya, persamaan akan direduksi dengan memilih dan Sehingga akan diperoleh persamaan sebagai berikut:
Persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut:
22
Berdasarkan Teorema kestabilan Lyapunov, titik tetap dikatakan stabil jika Syarat cukup agar adalah dengan memenuhi ketaksamaan
, yaitu sebagai berikut:
Pada bagian ini, digunakan himpunan yang telah didefinisikan pada Lemma 3.1
dimana dan .
Dari ketaksamaan (3.37), diketahui bahwa
Dengan menggunakan hubungan (3.38) pada ketaksamaan (3.35) dan (3.36) akan diperoleh bahwa,
Dari ketaksamaan (3.33) dan (3.34) diperoleh bahwa,
dan .
Sehingga,
23 Setelah dilakukan analisis terhadap masing-masing titik tetap dari sistem (3.1) diketahui bahwa,
1. Titik tetap bersifat tidak stabil, jika titik tetap dan ada. 2. Titik tetap bersifat tidak stabil, jika titik tetap ada.
3. Titik tetap bersifat tidak stabil, jika titik tetap ada.
4. Titik tetap akan bersifat stabil, jika syarat pada Teorema 3.1 terpenuhi. Selanjutnya, sifat kestabilan dari masing-masing titik tetap akan kembali diperiksa dengan pemberian nilai-nilai parameter.
Simulasi Numerik
Simulasi numerik dilakukan untuk memeriksa kembali sifat kestabilan dari masing-masing titik tetap, simulasi ini dilakukan menggunakan software berbasis fungsional. Nilai-nilai parameter yang digunakan pada simulasi ini diambil dari penelitian Khare et al. (2013) dan Misra (2007), disajikan pada Tabel 1. Nilai-nilai parameter tersebut telah memenuhi syarat-syarat sehingga titik tetap yang diperoleh bernilai tak negatif.
Tabel 1 Nilai parameter model
Parameter Nilai Satuan
Selanjutnya dengan mensubstitusi nilai-nilai parameter tersebut, diperoleh koordinat dan nilai eigen untuk masing-masing titik tetap, disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2 Koordinat dan nilai eigen masing-masing titik tetap
24
Berdasarkan hasil tersebut, diketahui bahwa semua nilai eigen dari titik tetap bernilai negatif, artinya titik tetap bersifat stabil dan syarat-syarat pada Teorema 3.1 terpenuhi. Dengan demikian, ekosistem plankton pada perairan ini akan mencapai kondisi yang stabil pada koordinat berikut:
Berikutnya diberikan gambaran mengenai dinamika yang terjadi hingga sistem mencapai kondisi stabil, pada Gambar 4. Simulasi ini dilakukan untuk jangka waktu 1000 hari dengan nilai awal, konsentrasi oksigen terlarut 9 mg/liter, konsentrasi nutisi 4.5 mg/liter, densitas alga 1 mg/liter dan densitas zooplankton
0.5 mg/liter.
Gambar 4 Bidang solusi untuk titik tetap
25 organisme di dalam air, penggunaan oksigen juga akan berkurang dan ketersedian oksigen di dalam air akan meningkat. Peningkatan konsentrasi oksigen dan ketersediaan nutrisi yang tinggi akan berpengaruh pada peningkatan populasi alga di dalam air. Tingkat pertumbuhan zooplankton juga akan membaik, meskipun tidak terjadi peningkatan jumlah populasi. Seiring peningkatan populasi alga, konsentrasi nutrisi akan menurun di karenakan aktivitas penyerapan oleh alga dan konsentrasi oksigen terlarut akan meningkat di karenakan aktivitas fotosintesis alga. Pada akhirnya, setiap variabel akan mencapai nilai kestabilan masing-masing, sesuai dengan koordinat dari titik tetap .
4
SIMPULAN
Pada tesis ini telah dilakukan modifikasi dan analisis terhadap model ekosistem plankton di dalam air. Model tersebut mempertimbangkan pengaruh defisit oksigen pada tingkat pertumbuhan plankton, serta peran alga sebagai penyuplai oksigen dari hasil fotosintesis. Rincian hasil utama dalam tesis ini disimpulkan pada uraian berikut:
1 Model yang dihasilkan mampu menggambarkan ekosistem plankton di dalam air.
2 Hasil analisis model ekosistem plankton dalam tesis ini memperoleh empat titik tetap, dimana satu diantaranya bersifat stabil dengan kriteria tertentu dan tiga lainnya bersifat tak stabil, jika memenuhi kondisi tertentu.
3 Simulasi numerik menggambarkan dinamika yang terjadi hingga sistem mencapai kondisi stabil. Hasil tersebut menunjukan bahwa jika konsentrasi oksigen di dalam air mengalami penurunan, maka populasi alga dan
zooplankton juga menurun, sedangkan konsentrasi nutrisi justru meningkat.
26
DAFTAR PUSTAKA
Anton H, Rorres C. 1995. Elementary Linear Algebra (9th ed). New York: John Wiley and Sons, Inc.
Linear Algebra. New York: Academic Press, Inc.
Khare S, Kumar S dan Singh C. 2013. Modelling Effect of the Depleting Dissolved Oxygen on the Existence of Interacting Planktonic Population. Elixir
Appl. Math., 55, pp. 12739-12742.
Misra AK. 2007. Mathematical Modeling and Analysis of Eutrophication of Water Bodies Caused by Nutrients. Nonlinear Analysis: Modelling and Control, 12, pp. 511-524.
Nontji A. 2008. Plankton Laut. Jakarta : LIPI Press.
Nybakken JW. 1992. Biologi Laut: Suatu Pendekatan Ekologis. Jakarta:
Suin NM. 2002. Metoda Ekologi. Padang : Universitas Andalas.
Truscott JE, Brindley J. 1994. Ocean Plankton Populations as Excitable Media.
Bull. Math. Biol., 56(5), pp. 303–339.
Tu PNV. 1994. Dynamical System: An Introduction with Applications in
Economics and Biology. New York: Springer-Verlag.
30
42
43 Lampiran 3 Sintaks maple 13 untuk simulasi numerik
46
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kota Sungai Liat, Provinsi Bangka Belitung pada tanggal 30 Desember 1991 sebagai anak kedua dari empat bersaudara. Penulis lahir dari pasangan Alm. Yuniman dan Rihusnani. Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SDN 89 Bengkulu pada tahun 2003. Kemudian menyelesaikan sekolah menengah di SMPN 10 Bengkulu pada tahun 2006 dan SMAN 6 Bengkulu pada tahun 2009. Penulis melanjutkan studi S1 pada Program Studi Matematika FMIPA di Universitas Bengkulu (UNIB) dan lulus pada tahun 2013. Pada tahun yang sama, penulis melanjutkan S2 Program Magister Sains pada Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor (IPB), Program Studi Matematika Terapan dengan sponsor Beasiswa Pendidikan Pascasarjana Dalam Negeri Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (BPP-DN DIKTI).
Sebuah artikel telah terbit pada bulan Mei 2015 dengan judul Stability
Analysis of Plankton Ecosystem Model Affected by Oxygen Deficit, pada Jurnal
Applied Mathematical Sciences oleh penerbit Hikari Ltd, Bulgaria. Artikel
