The Stability Analysis of Predator and Prey Interaction Model in Two Different Habitats

(1)

ADE NELVIA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

ABSTRAK

ADE NELVIA. Analisis Kestabilan Model Interaksi Pemangsa dan Mangsa pada Dua Habitat yang Berbeda. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan ENDAR H. NUGRAHANI.

Karya ilmiah ini bertujuan untuk menganalisis dinamika solusi model pemangsa dan mangsa pada dua habitat yang berbeda yang dimodelkan oleh Owen et al. (2011). Penyederhanaan dalam model dilakukan dengan tidak adanya migrasi dari habitat pertama ke habitat kedua. Simulasi dilakukan untuk melihat pengaruh parameter terhadap kestabilan sistem. Kestabilan titik tetap dipengaruhi oleh tingkat pertumbuhan mangsa pada habitat pertama ( ), tingkat pertumbuhan mangsa pada habitat kedua ( ), kemampuan bermigrasi mangsa pada habitat pertama ( ), dan kemampuan bermigrasi mangsa pada habitat kedua ( ). Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama dan mangsa pada habitat kedua serta pemangsa akan stabil ke suatu nilai saat dan . Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama dan pemangsa berosilasi pada suatu range nilai serta mangsa pada habitat kedua mengalami kepunahan saat dan . Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama dan mangsa pada habitat kedua serta pemangsa akan stabil ke suatu nilai saat dan .

(3)

ABSTRACT

ADE NELVIA. The Stability Analysis of Predator and Prey Interaction Model in Two Different Habitats. Supervised by ALI KUSNANTO and ENDAR H. NUGRAHANI.

This paper aims to analyze the solution of predator and prey interaction model in two different habitats based on the model by Owen et al. (2011). Simplification of the model is given by the absence of migration from the first into the second habitat. The simulations are conducted to see the parameters’ influence on the stability of the system. The stability of the fixed point is influenced by the growth rate of prey in the first habitat ( ), the growth rate of prey in the second habitat ( ), the migration ability of prey in the first habitat ( ), and the migration ability of prey in the second habitat ( ). The dynamics of prey population in the first habitat and the second habitat as well as the predator will be stabil, if and . Both the prey population in the first habitat and the predator will oscillate as well as the prey in the second habitat becomes extinct, if and . Moreover, the dynamics of prey population in the first habitat and the second habitat as well as the predator will be stabil, if and .

(4)

ANALISIS KESTABILAN MODEL INTERAKSI PEMANGSA DAN

MANGSA PADA DUA HABITAT YANG BERBEDA

ADE NELVIA

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

Judul Skripsi : Analisis Kestabilan Model Interaksi Pemangsa dan Mangsa pada

Dua Habitat yang Berbeda

Nama

: Ade Nelvia

NIM

: G54080031

Disetujui

Tanggal Lulus:

Pembimbing I

Drs. Ali Kusnanto, M.Si.

NIP. 19650820 199003 1 001

Pembimbing II

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS.

NIP. 19631228 198903 2 001

Diketahui

Ketua Departemen Matematika

(6)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Analisis Kestabilan Model Interaksi Pemangsa dan Mangsa pada Dua Habitat yang Berbeda.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Drs. Ali Kusnanto, M. Si selaku dosen pembimbing pertama dan Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS selaku dosen pembimbing kedua atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Dr. Paian Sianturi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Di samping itu, penulis menyampaikan ungkapan terima kasih kepada Ir. Afdhal (Alm) dan Nur Asma Deli, MT serta Olivita Priyono yang telah memberi motivasi dalam penyusunan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada orang tua dan keluarga atas segala doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan, dan kasih sayangnya. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada dosen-dosen, para pegawai, dan teman-teman di Institut Pertanian Bogor, khususnya di Departemen Matematika, serta teman-teman di kosan Wisma Ayu.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Desember 2012

(7)

RIWAYAT HIDUP

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ... ix

DAFTAR GAMBAR ... ix

DAFTAR LAMPIRAN ... ix

I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan Penulisan ... 1

1.3 Sistematika Penulisan ... 1

II LANDASAN TEORI ... 2

2.1 Sistem Persamaan Differensial ... 2

2.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap ... 3

III PEMBAHASAN ... 5

3.1 Model Interaksi Pemangsa dan Mangsa pada Dua Habitat yang Berbeda ...

5

3.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap ... 6

3.3 Simulasi Model ... 9

IV KESIMPULAN ... 13

DAFTAR PUSTAKA ... 14

(9)

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Kestabilan titik tetap ... 9

2 Nilai eigen dan kestabilan titik tetap saat dan ... 9

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1 Bidang fase... 4

2 Skema model interaksi dua mangsa yang hidup pada dua habitat yang berbeda ... 5

3 Bidang solusi , , terhadap saat dan ... 10

4 Bidang solusi terhadap saat dan ... 10

7 Bidang solusi , , terhadap saat dan ... 12

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Penentuan Titik Tetap Model Interaksi ... 16

2 Penentuan Nilai Eigen dari Persamaan (3.1) ... 20

3 Penentuan Nilai Eigen pada Titik Tetap ... 21

4 Penentuan Nilai Eigen pada Titik Tetap ... 23

5 Syntax untuk Gambar 3 ... 25

(10)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Makhluk hidup tidak dapat hidup sendiri. Semua makhluk hidup selalu bergantung kepada makhluk hidup yang lain. Tiap individu akan selalu berhubungan dengan individu lain yang sejenis atau lain jenis, baik individu dalam satu populasi maupun individu-individu dari populasi lain. Adanya makhluk hidup lain akan menyebabkan terjadinya kompetisi. Kompetisi merupakan interaksi persaingan di antara makhluk hidup yang berada di dalam suatu ekosistem. Salah satu interaksi tersebut adalah predasi, yaitu hubungan mangsa (prey) dan pemangsa

(predator). Hubungan ini sangat berkaitan

karena pemangsa (predator) tidak dapat bertahan hidup tanpa adanya mangsa (prey). Ini dikarenakan tidak adanya sumber makanan yang akan dikonversi menjadi individu-individu baru yang memperkecil terjadinya kepunahan. Sebaliknya, pemangsa (predator) berfungsi sebagai pengontrol populasi mangsa.

Hubungan antar mangsa dan pemangsa dapat dijelaskan dengan model matematika yang mengandung fungsi interaksi. Fungsi interaksi yang dibentuk akan sangat berguna pada beberapa kasus. Kasus yang dimaksud adalah untuk mendapatkan bentuk umum fungsi, fungsi dasar, dan selanjutnya membentuk fungsi spesifik. Hal ini dapat dijadikan tuntunan untuk menentukan fungsi interaksi. Model sistem mangsa dan pemangsa Mereka menemukan sistem dimana predator dapat berpindah ke jumlah mangsa yang lebih banyak tanpa terlibat satu sama lain. Beberapa sistem tersebut ada yang memiliki beberapa titik bifurkasi.

Pada umumnya terdapat dua atau lebih spesies yang saling berinteraksi, sehingga keadaaan suatu spesies dipengaruhi oleh

keadaan spesies lain yang berinteraksi dengannya. Penelitian Owen et al. (2011) disederhanakan karena keadaan ini tidak terjadi di kondisi nyata. Penyederhanaan dilakukan dengan tidak terjadinya pemanenan pada kedua habitat mangsa tersebut. Selain itu, mangsa pada habitat pertama tidak dapat berpindah ke wilayah mangsa pada habitat kedua, tetapi mangsa pada habitat kedua dapat berpindah ke wilayah mangsa pada habitat pertama. Ini dikarenakan bahwa terkadang tidak semua wilayah mangsa dapat dimasuki oleh mangsa lain.

1.2 Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk menganalisis dinamika solusi model pemangsa dan mangsa yang hidup pada dua habitat yang berbeda dengan menentukan titik tetap dan kestabilan masing-masing titik tetap. Di samping itu, simulasi juga dilakukan untuk melihat pengaruh parameter terhadap kestabilan sistem.

1.3 Sistematika Penulisan

(11)

(12)

Persamaan (2.7) disebut persamaan karakteristik dari matriks .

(Anton 1995)

Misalkan diberikan matriks berukuran

sebagai berikut:

Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks sebagai berikut:

Analisis kestabilan titik tetap dilakukan melalui matriks Jacobi, yaitu matriks .

Penentuan kestabilan titik tetap diperoleh dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu dengan yang diperoleh dari

Secara umum, kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku sebagai berikut : kompleks bernilai lebih besar atau sama dengan nol untuk semua .

3.Sadel, jika perkalian dari kedua nilai eigen real sembarang adalah negatif

untuk suatu dan sembarang. Titik tetap sadel ini bersifat tak stabil.

(Tu 1994)

Berdasarkan persamaan (2.8) terhadap matriks Jacobi ada tiga kasus untuk nilai :

(13)

Dalam menganalisis kestabilan titik tetap yang dijelaskan sebelumnya dapat dilihat pada

bidang fase yang terbentuk seperti pada Gambar 1.

Simpul Stabil Simpul Tak Stabil Sadel Spiral Tak Stabil

Simpul Terisolasi Spiral Stabil Simpul Sejati Center

Gambar 1 Bidang fase.

Pada Gambar 1 terlihat berbagai macam bidang fase yang terdiri dari simpul stabil, simpul tak stabil, sadel, spiral tak stabil, simpul terisolasi, spiral stabil, simpul sejati,

(14)

III PEMBAHASAN

3.1 Model Interaksi Pemangsa dan Mangsa pada Dua Habitat yang Berbeda

Dalam karya ilmiah ini, akan dibahas analisis kestabilan model interaksi pada

pemangsa dan mangsa yang hidup pada dua habitat yang berbeda. Sistem model interaksi tersebut diberikan dalam persamaan sebagai berikut:

tingkat pertumbuhan intrinsik mangsa (prey) pada habitat ke- dengan tidak

peluang keberhasilan transisi/perpindahan

dari habitat ke habitat ; ; ;

tingkat kematian per kapita dari pemangsa (predator);

Model interaksi pada pemangsa dan mangsa yang hidup pada dua habitat yang berbeda ini menggunakan asumsi yaitu mangsa pada habitat pertama tidak dapat berpindah ke wilayah mangsa pada habitat kedua. Tetapi, mangsa pada habitat kedua dapat berpindah ke wilayah mangsa pada

(15)

[ ]

Dari persamaan diperoleh tiga titik tetap:

̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅

dengan

,

√

,

̅̅̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅ ,

̅̅̅ ,

̅ √ .

(bukti dapat dilihat pada Lampiran 1)

Pada titik tetap terlihat bahwa mangsa pada habitat kedua mengalami kepunahan, sedangkan mangsa pada habitat pertama dan pemangsa bergantung pada nilai parameter yang diberikan. Pada titik tetap dan , mangsa pada habitat pertama dan mangsa

pada habitat kedua serta pemangsa bergantung juga pada nilai parameter.

3.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap

Misalkan persamaan dituliskan sebagai berikut:

(16)

Melakukan pelinearan pada persamaan , menganalisis kestabilan titik tetap pada titik tetap , , dan .

Analisis Kestabilan di Titik Tetap

Dalam memperoleh kestabilan sistem pada semua nilai parameter bernilai positif menghasilkan nilai eigen , dan adalah imajiner murni sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh kestabilan titik tetap bersifat tak stabil.

Kasus kedua, pada saat kondisi dan dengan semua nilai parameter bernilai positif menghasilkan nilai eigen

, dan adalah imajiner murni sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh kestabilan titik tetap bersifat stabil.

Kasus ketiga, pada saat kondisi dan dengan semua nilai parameter bernilai positif menghasilkan nilai eigen

, , dan sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh kestabilan titik tetap bersifat sadel.

Dalam memperoleh kestabilan sistem pada titik tetap , dilakukan dengan menyubstitusikan nilai parameter yang telah ditentukan pada ketiga kasus yaitu ,

, , , ,

sehingga didapat solusi numerik.

(17)

( yang diperoleh menentukan kestabilan titik tetap pada kondisi dan yang bersifat spiral tak stabil.

Kasus ketiga dihitung pada kondisi

dan dengan ,

yang diperoleh menentukan kestabilan titik tetap pada kondisi dan yang bersifat spiral stabil.

(Bukti lihat Lampiran 3)

Dalam memperoleh kestabilan sistem pada titik tetap ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅ , dilakukan dengan menyubstitusikan nilai parameter yang telah ditentukan pada ketiga kasus yaitu , yang diperoleh menentukan kestabilan titik tetap pada kondisi dan diperoleh menentukan kestabilan titik tetap pada kondisi dan yang bersifat spiral stabil.

Kasus ketiga dihitung pada kondisi

(18)

. Nilai-nilai eigen yang diperoleh menentukan kestabilan titik tetap pada kondisi dan yang bersifat spiral stabil.

(Bukti lihat Lampiran 4)

Rangkuman dari ketiga analisis kestabilan titik tetap dapat dilihat pada Tabel 1. tersebut dilihat berdasarkan pada tiga kasus. Hasil yang diperoleh dari kestabilan titik tetap pada tabel berupa sadel, tak stabil, spiral stabil, dan spiral tak stabil.

3.3 Simulasi Model

Pada bagian simulasi ini akan diperlihatkan kurva bidang solusi yang menunjukkan hubungan banyaknya populasi mangsa pada habitat pertama, mangsa pada

habitat kedua, dan pemangsa terhadap waktu ( , , terhadap ).

Kondisi 1 ( dan

Nilai parameter yang digunakan dalam kondisi ini adalah , , serta kestabilannya diperoleh dari nilai parameter yang digunakan yang dapat dilihat

Tabel 2 memperlihatkan jenis kestabilan ketiga titik tetap saat dan yaitu titik tetap bersifat tak stabil, titik tetap

bersifat spiral stabil, dan titik tetap juga bersifat spiral stabil. Tabel tersebut juga memperlihatkan nilai eigen dari masing-masing titik tetap.

Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama, mangsa pada habitat kedua, serta pemangsa terhadap waktu pada saat kondisi

(19)

Gambar 3 Bidang solusi , , terhadap saat dan .

Pada Gambar 3 terlihat bahwa mangsa pada habitat pertama ( ), dan mangsa pada habitat kedua ( ), serta pemangsa ( ) akan stabil ke suatu nilai saat waktu ( ) menuju tak hingga untuk kondisi dan .

Nilai parameter yang digunakan dalam kondisi ini adalah , , serta kestabilannya diperoleh dari nilai parameter yang digunakan yang dapat dilihat

Tabel 3 memperlihatkan jenis kestabilan ketiga titik tetap saat dan yaitu titik tetap bersifat stabil, titik tetap bersifat spiral tak stabil, dan titik tetap bersifat spiral stabil. Tabel tersebut juga memperlihatkan nilai eigen dari masing-masing titik tetap.

Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama, mangsa pada habitat kedua, serta pemangsa terhadap waktu pada saat kondisi

dan terlihat pada Gambar 4, Gambar 5, dan Gambar 6.

Gambar 4 Bidang solusi terhadap saat

(20)

dan .

Pada Gambar 4, Gambar 5, dan Gambar 6 terlihat bahwa mangsa pada habitat pertama ( dan pemangsa ( ) berosilasi pada suatu range nilai saat waktu ( ) menuju tak hingga, sedangkan mangsa pada habitat kedua ( ) mengalami kepunahan (menuju nol) untuk kondisi dan .

Kondisi 3 ( dan )

Nilai parameter yang digunakan dalam kondisi ini adalah , ,

, , , ,

, , , dengan nilai awal , , dan

Titik tetap dan nilai eigen dalam numerik serta kestabilannya diperoleh dari nilai parameter yang digunakan yang dapat dilihat pada Tabel 4. Tabel 4 memperlihatkan jenis kestabilan ketiga titik tetap saat kondisi

dan yaitu titik tetap bersifat sadel, titik tetap bersifat spiral stabil, dan titik tetap juga bersifat spiral stabil. Tabel tersebut juga memperlihatkan nilai eigen dari masing-masing titik tetap.

Tabel 4 Nilai eigen dan kestabilan titik tetap saat dan

Titik Tetap Kestabilan

Sadel

Spiral stabil

Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama, mangsa pada habitat kedua, serta

pemangsa terhadap waktu pada saat kondisi

(21)

Gambar 7 Bidang solusi , , terhadap saat dan .

Pada Gambar 7 terlihat bahwa mangsa pada habitat pertama ( ), dan mangsa pada habitat kedua ( ), serta pemangsa ( ) akan stabil ke suatu nilai saat waktu ( ) menuju tak hingga untuk kondisi dan . Pada gambar ini dapat dijelaskan, ketika jumlah pemangsa ( ) meningkat maka jumlah mangsa pada habitat pertama ( ) maupun

mangsa pada habitat kedua ( ) menurun. Sebaliknya, ketika jumlah pemangsa ( ) menurun maka jumlah mangsa pada habitat pertama ( ) dan mangsa pada habitat kedua ( ) meningkat.

Populasi pemangsa yang meningkat menyebabkan populasi mangsa pada habitat pertama atau mangsa pada habitat kedua akan mengalami penurunan pada ketiga kondisi. Sebaliknya, populasi pemangsa yang menurun menyebabkan populasi mangsa pada habitat pertama atau mangsa pada habitat kedua akan mengalami kenaikan.

Kondisi 4 ( dan

(22)

IV KESIMPULAN

Hasil analisis model interaksi pada pemangsa dan mangsa yang hidup pada dua habitat yang berbeda diperoleh tiga titik tetap. Analisis terhadap model interaksi dilakukan dengan simulasi. Simulasi dipilih untuk menunjukkan dinamika populasi mangsa pada habitat pertama, mangsa pada habitat kedua, dan pemangsa.

Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama dan mangsa pada habitat kedua serta pemangsa yang terjadi akan stabil ke suatu nilai saat tingkat pertumbuhan intrinsik mangsa pada habitat pertama dengan tidak adanya pemangsa lebih besar dari kemampuan migrasi untuk keluar dari habitat pertama

dan tingkat pertumbuhan intrinsik mangsa pada habitat kedua dengan tidak adanya pemangsa lebih besar dari kemampuan migrasi untuk keluar dari habitat kedua

.

Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama dan pemangsa berosilasi pada suatu range nilai, sedangkan mangsa pada habitat kedua mengalami kepunahan saat tingkat pertumbuhan intrinsik mangsa pada habitat pertama dengan tidak adanya pemangsa lebih besar dari kemampuan migrasi untuk keluar dari habitat pertama dan tingkat pertumbuhan intrinsik mangsa pada habitat

kedua dengan tidak adanya pemangsa lebih kecil dari kemampuan migrasi untuk keluar dari habitat kedua .

Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama dan mangsa pada habitat kedua serta pemangsa yang terjadi akan stabil ke suatu nilai saat tingkat pertumbuhan intrinsik mangsa pada habitat pertama dengan tidak adanya pemangsa lebih kecil dari kemampuan migrasi untuk keluar dari habitat pertama

dan tingkat pertumbuhan intrinsik mangsa pada habitat kedua dengan tidak adanya pemangsa lebih besar dari kemampuan migrasi untuk keluar dari habitat kedua

.

(23)

DAFTAR PUSTAKA

Anton H. 1995. Aljabar Linier Elementer. Ed ke-5. Terjemahan Pantur Silaban dan I Nyoman Susila. Jakarta: Erlangga.

Bhatt BS, Khan Q & Jaju R. 2008. Switching of predation on prey species in the presence of predator interference. Int J of Pure and Appl Math. 45(4): 587-598.

Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equations and Their Applications. New York: McGraw-Hill.

Owen D, Jaju R & Bhatt BS. 2010. Switching of predation on prey species in the presence of predator interference-II. Int J of Pure and Appl Math. 61(3): 281-295.

Owen D, Jaju R & Bhatt BS. 2011. On the effect of switching, predation and

harvesting on systems consisting of one predator and two prey species which live in different habitats. Int J of Pure and Appl. Math, 3(3): 12-21.

Skalski GT & Gillian JF. 2001. Functional responses with predator interference: viable alternative to the holling type II model. Ecology. 82(2001): 3082-3092.

Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Canada: Addison-Wesley Publishing Company.

(24)

(25)

Lampiran 1 Penentuan Titik Tetap Model Interaksi

(26)

(27)

(28)

(29)

Lampiran 2 Penentuan Nilai Eigen dari Persamaan

Misalkan persamaan dituliskan sebagai berikut:

Dengan melakukan pelinearan didapat matriks Jacobi sebagai berikut:

Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik

(30)

Lampiran 3 Penentuan Nilai Eigen pada Titik Tetap

 Titik tetap .

 Kondisi dan

Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi ini, dilakukan dengan menyubstitusikan nilai parameter untuk simulasi (untuk memudahkan) yaitu , ,

, , , , , , , , maka akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:

( )

sehingga diperoleh

| |

Dengan bantuan software Maple 13 diperoleh nilai eigen sebagai berikut:

 Kondisi dan

(

)

sehingga diperoleh

| |

 Kondisi dan

(31)

( )

sehingga diperoleh

| |

(32)

Lampiran 4 Penentuan Nilai Eigen pada Titik Tetap

 Titik tetap ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅ .

 Kondisi dan

( )

sehingga diperoleh

| |

 Kondisi dan

( )

sehingga diperoleh

| |

 Kondisi dan

(33)

( )

sehingga diperoleh

| |

(34)

Lampiran 5 Syntax untuk Gambar 3

>

(35)

(36)

(37)

(38)