BAB 1 HIMPUNAN Definisi

BAB 1

HIMPUNAN

Definisi

Himpunan adalah kumpulan benda-benda dan unsur-unsur yang telah didefinisikan dengan jelas dan juga memiliki sifat keterikatan tertentu.

Mengenal lambang himpunan. Suatu himpunan dituliskan sebagai berikut :

a.Nama himpunan ditulis dengan huruf kapital.

b.Penulisan himpunan menggunakan tanda 2 kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma

c. Himpunan yang anggotanya tak berhingga atau tak berlanjut dinyatakan dengan 3 titik

Keanggotaan himpunan dinyatakan dengan lambang “n” Bentuk himpunan

a.Kata-kata

Suatu himpunan dinyatakan dalam bentuk kalimat tidak menggunakan lambing atau menuliskan syarat-syarat keanggotaannya. Contoh: Himpunan bilangan asli kurang dari 7.

b.Dengan mendaftar (metode tabulasi / roster)

Menyatakan himpunan 4 bilangan ganjil pertama secara tabulasi.

A = {2, 4, 6, …} Metode ini digunakan untuk menyatakan himpunan tak berhingga yang jumlah anggotanya sangat banyak.

c. Notasi pembentuk himpunan (metode bersyarat / rule) Cara ini mirip metode deskripsi namun pada himpunan dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan. Anggotanya dilambangkan dengan huruf (peubah) kemudian diikuti dengan sebuah garis syarat kanggotaan himpunan tersebut.

Bentuk umum : { x | …, x є … } Contoh:

A = { x | x < 10, x є A }

Dibaca: A adalah himpunan x dengan x kurang dari sepuluhdan x anggota bilangan asli (A).

Macam-macam himpunan a. Himpunan berhingga

Himpunan yang himpunan jumlah anggotanya bisa dihitung. Contoh :

A = {bilangan prima kurang dari sepuluh} A = { 2, 3, 5, 7 }

b. Himpunan tak berhingga

Himpunan yang jumlah anggotanya tidak bisa dihitung atau tidak terbatas.

c. Himpunan kosong

Himpunan yang tidak memiliki anggota. Contoh :

C = { bilangan asli negative } C = { }

d. Himpunan semesta

Himpunan dari semua objek yang sedang dibicarakan, himpunan ini biasanya ditulis dengan symbol S. Contoh :

D = { 1, 3, 5 }

Maka himpunan semestanya bisa berupa : S = { bilangan asli }, S = {bilangan ganjil}, dsb. i. Diagram venn

Menggunakan persegi panjang untuk menyatakan himpunan semesta S.

ii. Himpunan bagian ( ) Contoh :

Jika S = { P,A,B }, P = { A,B }, dan B = {A }. Kita dapat menuliskan A  B  P  S.

iii. Irisan (intersection)

Oper asi pada himpunan a.Komplemen

Ac = A komplemen (Ac)c = A

b.Irisan Contoh :

A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 3, 5, 7, 9 } A ∩ B = { 2, 3, 5 } c. Gabungan

Contoh : A = { 2, 4, 6 } B = { 4, 6, 8 } A ∪ B = { 2, 4, 6, 8 }

Sifat-sifat pada himpunan 1. A ∩ B = B ∩ A

2. A ∪ B = B ∪ A 3. (Ac)c = A

4. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 5. A ∪ (B U C) = (A U B) U C 6. A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) 7. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) 8. (A ∩ B)c = Ac∪ Bc

9. (A ∪ B)c = Ac∩ Bc

Diagr am Venn

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam membuat Diagram Venn:

 Himpunan semesta biasanya digambarkan dengan bentuk persegi panjang.

 Setiap himpunan lain yang sedang dibicarakan digambarkan dengan lingkaran atau kurva tertutup sederhana.

 Setiap anggota masing-masing himpunan digambarkan dengan noktah atau titik.

 Jika banyak anggota himpunannya tak berhingga, maka masing-masing anggota himpunan tidak perlu digambarkan dengan suatu titik.

Contoh: Jika diketahui himpunan semesta S = {a, b, c, d, e, f, g} dan A = {b, d, f, g}, maka diagram Venn himpunan S dan A adalah

S A .a .

BAB 2

BILANGAN

Bilangan asli

yaitu himpunan bilangan positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}

Bilangan cacah

adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif. Bilangan bulat

terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.

Jika a, b dan c adalah bilangan bulat, maka penjumlahan bilangan bulat memenuhi sifat :

a.Tertutup : a+b adalah bilangan bulat b.Komutatif : a+b = b+a

c. Asosiatif : (a+b)+c = a+(b+c)

d.0 adalah unsur identitas penjumlahan yang memenuhi a+0 = 0+a = a

Jika a, b dan c adalah bilangan bulat, maka perkalian bilangan bulat memenuhi sifat :

a.Tertutup : a× b adalah bilangan bulat b.Komutatif : a × b = b × a

c. Asosiatif : (a×b)×c = a×(b×c)

d.1 adalah unsur identitas perkalian yang memenuhi a×0 = 0×a = 0

e. JIka a≠0, maka a-1_{=1/a adalah unsur invers perkalian} yang memenuhi a×a-1 = a-1×a = 1

Operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat memenuhi sifat distributif yaitu

a×(b+c) = a×b+a×c Bilangan pr ima

adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29. Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit. Bilangan r iil/ Bilangan r eal

menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678.

Bilangan rasional adalah bilangan real yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a,b: adalah bilangan bulat dan b≠0. Contohnya 42 dan −23/129.

Bilangan irasional adalah bilangan real selain rasional seperti π (2,34…) dan √2.

Bilangan imajiner

menyatakan bilangan selain bilangan real, seperti _√−1.

BAB 3

ALJABAR

Mengalikan bentuk aljabar, contoh : 3 x a = 3a

a x a = a2

a2 x a3 = (a x a) x (a x a x a) = a5 2a3 x 4a2 = 2 x 4 x a3 x a2 = 8a5

Penjumlahan dan pengur angan (khusus pada suku sejenis = suku dengan variabel sama), contoh :

a + a = 2a

2a – 3a = (2 – 3)a = -1a 2a + 2b + 4a = 6a + 2b 2a2 + 3a3 – 5a2 = -3a2 + 3a3

Per kalian pada bentuk aljabar dengan suku lebih dar i satu, contoh :

Pembagian pada bentuk aljabar , contoh : a5 _{: a}2 _{= a}3

8a4 : 4a2 = (8 : 4)(a4 : a2) = 2a2

Pengkuadr atan bentuk aljabar, contoh : (3a)2 = (32)(a2) = 9a2

(2a4b3)2 = (22)(a4)2(b3)2 = 4a8b6

(a + b)2= (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

BAB 4

ARITMATIKA SOSIAL

Istilah-istilah dalam perdagangan 1.Harga pembelian

Harga pembelian adalah harga barang dari pabrik atau grosir atau tempat lainnya.

Harga pembelian sering kali disebut modal. Dalam situasi tertentu, modal adalah harga pembelian ditambah dengan ongkos atau biaya lainnya.

2.Harga penjualan

Harga penjualan adalah harga barang yang ditetapkan oleh pedagang kepada pembeli.

3.Untung

Untung adalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian jika harga penjualan lebih tinggi dari harga pembelian.

Untung = harga penjualan – harga pembelian

4.Rugi

Rugi adalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembeklian jika harga penjualan lebih rendah dari harga pembelian.

Rugi = harga pembelian – harga penjualan

Har ga penjualan, har ga pembelian, untung, dan r ugi

a.Jika memperoleh untung, maka harga penjualan lebih tinggi dari harga pembelian, sehingga:

Harga penjualan = harga pembelian + untung

b.Jika mengalami rugi, maka penjualan lebih rendah dari harga pembelian, sehingga :

Harga penjualan = harga pembelian – rugi

2. Menghitung harga pembelian

Harga pembelian atau modal dapat ditentukan dengan cara berikut.

a.Jika memperoleh untung, berarti harga pembelian lebih murah dari harga penjualan, sehingga :

Harga pembelian = harga penjualan – untung

b.Jika mengalami rugi, berarti harga pembelian lebih mahal dari harga penjualan, sehingga :

Harga pembelian = harga penjualan + rugi

3. Presentase Untung dan Rugi

Presentase untung atau rugi umumnya dibandingkan terhadap harga pembelian atau modal, kecuali jika ada keterangan lain.

Presentase untung = × %

Presentase rugi = × %

Hasil perhitungan presentase untung/rugi dalam satuan akan sama dengan presentase untung/rugi seluruhnya. Rabat (diskon), br uto, tar a, dan neto

a.Rabat artinya potongan harga, atau lebih dikenal dengan istilah diskon. Rabat umumnya dinyatakan dalam persen.

Harga bersih = harga semula – rabat (diskon)

b.Bruto artinya berat kotor, yaitu berat tempat suatu barang.

Contoh: Berat susu beserta kalengnya disebut bruto. Berat beras beserta kalengnya disebut bruto.

c. Tara artinya potongna berat, yaitu berat tempat dari suatu barang.

Contoh: Pada kemasan susu dalam kaleng, berat kaleng

disebut tara. Pada kemasan buah dalam dus, berat dus

disebut tara.

d.Neto adalah berat bersih, yaitu berat barangnya saja. Contoh: Pada kemasan susu dalam kaleng, berat susunya saja disebut neto.Pada kemasan buah dalam dus, berat dusnya saja disebut neto.

Neto = bruto - tara

Harga bersih = neto x harga per satuan berat

Besar bunga tabungan maupun pinjaman pada setiap bank dinyatakan dalam persen.

Bunga bank 18% artinya 18% untuk jangka waktu 1 tahun.

Bunga 1 tahun = persen bunga x modal Bunga b bulan =

12 x persen bunga x modal

2. Bunga Harian

Bunga harian dapat dihitung dengan rumus berikut:

= × ×

BAB 5

PERSAMAAN DAN

PERTIDAKSAMAAN LI NEAR SATU

PEUBAH

Kalimat Matematika Kalimat benar dan salah

Dalam matematika terdapat istilah pernyataan kalimat benar dan kalimat salah.

Contoh:

1.Bilangan prima adalah bilangan ganjil, merupakan kalimat salah, karena angka 2 adalah bilangan prima yang genap.

2.Hasil kali 3 dan 4 sama dengan hasil kali 4 dan 3, merupakan kalimat yang benar.

Kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya baik itu benar ataupun salah.

Contoh:

x + 7 = 15 adalah kalimat terbuka. Jika x diganti dengan 8, maka kalimat tersebut bernilai benar.

ada kalimat terbuka yang tidak memiliki himpunan penyelesaian dan biasa disebut HIMPUNAN KOSONG. Per samaan linear dengan satu peubah Pengertian: kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan dan peubahnya berpangkat satu.

Contoh dengan peubah x: x + 3 = 5; Penyelesaian: x = 2 Contoh dengan peubah m: 2m – 4 = 10; Penyelesaian: m = 7

Menyelesaikan Persamaan Linear dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu:

a. Substitusi, adalah mengganti peubah suatu persamaan dengan bilangan anggota semestanya.

b. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan sama. Dua persamaan dikatakan ekuivalen jika persamaan itu memiliki himpunan penyelesaian yang sama. Notasi untuk ekuivalen adalah ↔. Suatu persamaan tetap ekuivalen jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.

c. Menyelesaikan persamaan dengan mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama. Suatu persamaan tetap ekuivalen jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.

a > b (a lebih dari b) a < b (a kurang dari b) a = b (a sama dengan b)

bentuk bentuk seperti 2x < 6, x + 2 > 10 adalah merupakan pertidaksamaan linear. Peubah atau variabelnya yaitu x berpangkat 1.

Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear dapat dengan beberapa cara yaitu:

d. Menambah atau mengurangi dengan bilangan yang sama di kedua ruas

e. Mengalikan kedua ruas dengan bilangan positif atau negative

f. Untuk pertidaksamaan berbentuk pecahan, diubah agar tidak memuat pecahan. Dapat dengan cara mengalikan kedua ruas dengan KPK dari penyebut-penyebutnya. g. Himpunan penyelesaian dapat ditunjukkan pada garis

BAB 6

PERBANDI NGAN

Per bandingan senilai Perhatikan tabel di bawah ini!

Permen (buah) Harga (Rp)

2 400

5 1000

8 1600

Banyak permen dan harga merupakan contoh perbandingan senilai. Semakin banyak jumlah permen semakin besar harga yang harus dibayarkan.

Contoh soal perbandingan:

1.Dalam sebuah kelas terdapat 40 siswa. jika banyak siswa laki-laki 15 orang maka perbandingan jumlah siswa wanita dengan seluruh siswa di kelas adalah… penyelesaian:

jumlah siswa wanita = 40 – 15 = 25 siswa

∴ jumlah siswa wanita : jumlah seluruh siswa = 25 : 40 = 5 : 8

2.Jika 5 dolar Amerika sama dengan Rp. 47.000,- maka Rp. 28.200 = …. US $

penyelesaian:

5= 28200 47000↔ =

5∙28200 47000 = 3

∴ Rp. 28.200 = 3 US $

Per bandingan berbalik nilai Perhatikan tabel di bawah ini!

Banyak Pekerja (orang) Lama Waktu (hari)

12 25

15 20

50 6

Banyak pekerja dan lama waktu pengerjaannya merupakan contoh perbandingan berbalik nilai. Semakin banyak pekerja semakin pendek waktu pengerjaannya selesai. Contoh soal perbandingan:

Dengan jumlah pekerja sebanyak 12 orang sebuah proyek dapat menyelesaikan selama 15 hari. Agar proyek dapat selesai selama 10 hari, maka banyak pekerja adalah… penyelesaian:

misal x = banyak pekerja untuk 10 hari

12= 15

10↔ =

12∙15

10 = 18

BAB 7

SUDUT DAN PETA MATA ANGI N

Sudut

[image:20.298.35.278.50.372.2]

Sudut adalah gabungan dua buah sinar yang titik pangkalnya sama. Sudut ABC (ditulis ∠ ) adalah gabungan ⃗ dan ⃗ ( ⃗ ∪ ⃗) seperti terlihat pada gambar.

Ukur an sudut

Salah satu satuan ukuran sudut menggunakan satuan derajat dimana satu derajat ditulis 1° sama dengan 1/360 dari satu putaran penuh. Ukuran sudut adalah anggota himpunan bilangan bukan himpunan titik. Oleh karena itu sudut dan ukuran sudut merupakan dua konsep yang berbeda tetapi saling berkaitan. Ukuran ∠ yang biasa digunakan adalah jarak putar yang terkecil.

Peta mata angin

Mata Angin adalah petunjuk arah yang terdiri dari delapan penjuru yaitu :

1.Utara : terletak diantara barat laut dan timur laut 2.Timur Laut : terletak diantara utara dan timur 3.Timur : terletak antara timur laut dan tenggara 4.Tenggara : terletak antara timur dan selatan 5.Selatan : terletak antara tenggara dan barat daya 6.Barat Daya : terletak antara selatan dan barat 7.Barat : terletak antara barat daya dan barat laut 8.Barat Laut : terletak antara barat dan utara

Besar sudut terkecil antara dua mata angin yang berdekatan adalah:

1.Jika peta mata angin dibagi menjadi 8 arah mata angin maka besar sudut terkecil yang dibentuknya adalah 450 2.Jika peta mata angin dibagi menjadi 16 arah peta mata

Jur usan tiga angka

Sebagai pedoman untuk jurusan tiga angka adalah arah Utara yang dinyatakan dengan 0000 . Untuk menyatakan besar sudut jurusan tiga angka menggunakan aturan sebagai berikut:

1.Besar sudut dihitung dimulai dari arah Utara, kemudian berputar searah dengan perputaran jarum jam.

2.Besar sudutnya dinyatakan dengan tiga angka, misalnya besar suatu sudut 800 maka jurusan tiga angkanya adalah 0800

3.Besar sudutnya harus kurang dari 3600, sebab 3600 sama dengan arah Utara yang jurusan tiga angkanya 0000

ditentukan tanpa membuat gambar atau sketsa, yaitu dengan cara:

1) Jika a < 1800 , maka jurusan tiga angka letak kota Q dari P adalah (a + 180)0

2) Jika a > 1800, maka jurusan tiga angka letak kota Q dari P adalah (a - 180)0

Contoh soal:

1) Tentukan Jurusan tiga angka untuk arah Timur Laut! Penyelesaian:

Jurusan tiga angka untuk arah Timur Laut adalah 0450

2) jurusan tiga angka kota A dari kota B adalah 0850, tentukan jurusan tiga angka kota B dari kota A!

Penyelesaian:

3) Jurusan tiga angka kota P dari kota Q adalah 2000, tentukan Jurusan tiga angka kota Q dari kota P!

Penyelesaian:

BAB 8

RELASI DAN FUNGSI

Penger tian Relasi Contoh :

Pak Teguh mempunyai tiga orang anak, yaitu Doni, Pipit, Dimas. Masing-masing anak mempunyai kegemaran berolahraga yang berbeda-beda. Doni gemar berolah raga voly dan renang. Pipit gemar berolah raga voly, Dimas gemar berolah raga basket dan sepak bola.

Doni dan Pipit mempunyai kegemaran berolah raga yang sama yaitu voly. Jika anak-anak Pak Teguh dikelompokkan menjadi satu dalam himpunan A, maka anggota dari himpunan A adalah Doni, Pipit, Dimas. Himpunan A tersebut kita tuliskan sebagai A = {Doni, Pipit, Dimas}. Sedangkan jenis olah raga yang digemari anak-anak Pak Teguh dapat dikelompokan dalam himpunan B. Himpunan B dituliskan B = {Voly, Renang, Basket, Sepak bola}. Terdapat hubungan antara himpunan A dan himpunan B. Hubungan tersebut berkait dengan gemar berolah raga dari anak-anak pak Teguh yang disebut “relasi”.

Car a menyatakan suatu r elasi

Suatu relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Misal:

P = {Dini, Arif, Alyn, Rizky},

Q = {Matematika, IPS, Kesenian, IPA, bahasa Inggris}, dan “pelajaran yang disukai” adalah relasi yang menghubungkan himpunan P ke himpunan Q

a. Dengan Diagram Panah

P Q

b. Dengan Diagram Cartesius

c. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan

Relasi "pelajaran yang disukai" yang menghubungkan himpunan P ke himpunan Q dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut:

{(Dini, Matematika); (Dini, IPA); (Arif, Matematika); (Arif, Inggris);

(Alyn, Matematika); (Alyn, IPA); (Alyn, Inggris); (Rizky, IPS); (Rizky, Seni)}

Fungsi atau Pemetaan

Contoh :

Perhatikan diagram panah dibawah ini!

Fungsi (pemetaan) dari A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

A disebut dengan Domain (daerah asal) A = {1, 3, 5, 7}

B disebut Kodomain (daerah kawan) B = {0, 2, 4, 6}, sedangkan

Daerah hasil (range) = {0, 2, 6}

Banyak Fungsi (Pemetaan)

Jika banyak anggota himpunan A adalah n(A) = a dan banyak anggota himpunan B adalah n(B) = b, maka: i. Banyak fungsi yang mungkin dari A ke B = ba Contoh:

Banyak fungsi dari himpunan A={1, 2} ke B={a, b, c} adalah 32 = 9

ii. Banyak fungsi yang mungkin dari B ke A = ab Contoh:

Banyak fungsi dari himpunan B={a, b, c} ke A={1, 2} adalah 23 = 8 Kor espondensi satu-satu

Contoh :

setiap anggota P dipasangkan dengan satu anggota himpunan Q, dan setiap anggota Q dipasangkan dengan

satu anggota himpunan P

Dengan demikian, pada korespondensi satu-satu dari himpunan P ke himpunan Q, banyak anggota himpunan P dan himpunan Q haruslah "sama".

Banyak Korespondensi Satu-satu

Jika n(P) = n(Q) = n, maka banyak semua korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan P dan himpunan Q adalah:

n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1 atau

1 × 2 × 3 × … × (n – 2) × (n – 1) × n

Contoh: n(P) = n(Q) = 4

BAB 9

TEOREMA PHYTAGORAS

Teorema Phytagoras menyatakan bahwa pada suatu segitiga siku-siku luas persegi pada sisi miring sama dengan jumlah luas persegi pada sisi lainnya.

Pada setiap segitiga siku-siku sisi-sisinya terdiri atas sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa). Sisi a terletak dihadapan sudut A. Sisi b terletak di hadapan sudut B. Sisi b terletak di hadapan sudut B.

Menentukan jenis segitiga

1.Jika < + maka ABC adalah segitga lancip di A.

2.Jika > + maka ABC adalah segitga tumpul di A.

3.Jika = + maka ABC adalah segitga siku-siku di B.

A

c B

b a

C

Tr iple Phytagor as

Ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku sering dinyatakan dalam tiga bilangan asli. Tiga itu disebut triple phytagoras. contoh:

Panjang sisi suatu segitiga siku-siku adalah 3,4 dan 5 satuan.

BAB 10

PERSAMAAN GARIS LURUS

Persamaan garis lurus adalah persamaan matematika yang jika digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus.

Dalam koordinat Cartesius, setiap titik dinyatakan dengan pasangan terurut (x, y) di mana koordinat x disebut absis dan koordinat y disebut ordinat.

Gradien adalah tingkat kemiringan garis. (perbandingan antara komponen-y (ordinat dan komponen-x (absis) antara 2 titik pada dua garis tsb. Gradien dilambangkan dengan m.

 Gradien garis yang melalui dua titik dicari dengan rumus:

= −

−

 Gradien garis yang sejajar dengan sumbu-x adalah nol.

 Garis yang sejajar dengan sumbu-y tidak mempunyai gradien.

 Dua garis yang saling sejajar memiliki gradien yang sama.

Bentuk per samaan gar is lur us Bentuk umum

+ + =

Bentuk lainnya

=

= +

 Rumus untuk menentukan persamaan garis dari gradien dan titik koordinat, yaitu:

− = ( − )

 Rumus untuk menentukan persamaan garis dari dua titik koordinat, yaitu:

−

− =

BAB 11

PERSAMAAN LI NEAR DUA PEUBAH

Sistem persamaan linear dengan dua peubah adalah suatu sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan linear atau lebih, yang masing-masing persamaan mempunyai dua peubah.

Contoh:

Dua persamaan linear dengan dua peubah x dan y = + 2

= 2 + 1

Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua peubah dapat dilakukan dengan:

 Metode grafik,

 Metode substitusi, dan

 Metode eliminasi.

Metode gr afik

Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah dengan menggunakan metode grafik, kita harus mencari titik potong kedua persamaan linear tersebut. Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan dengan dua peubah merupakan titik potong grafik sistem persamaan tersebut.

Metode Substitusi

[image:34.298.34.277.68.342.2]

persamaan dengan dua peubah dengan menggunakan metode substitusi kita harus memasukkan atau menggantikan x dan y pada kedua persamaan linear tersebut.

Contoh:

Penyelesaian sistem persamaan: = + 2

= 2 + 1

dapat diselesaikan dengan metode substitusi sebagai berikut:

= + 2 = 2 + 1

+ 2 = 2 + 1

−2 = 1−2

− = −1 = 1

= + 2 = 1 = 1 + 2 = 3.

Jadi, harga x dan y yang memenuhi persamaan di atas adalah = 1 dan = 3 atau himpunan penyelesaiannya adalah {1,3}.

Metode Eliminasi

Eliminasi berarti menghilangkan salah satu peubah. Untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan dengan dua peubah, dengan menggunakan metode eliminasi, adalah dengan mengurang atau menambah persamaan yang satu dengan yang lainnya sehingga salah satu peubah hilang.

Contoh:

dapat diselesaikan dnegan metode eliminasi sebagai berikut:

Agar salah satu peubah hilang maka dilakukan pengurangan:

= + 2 = 2 + 1

0 = − + 1 → peubah yang hilang adalah y.

= 1

= + 2 dengan = 1 maka = 1 + 2 atau = 3 = 2 + 1 dengan = 1 maka = ( 2 × 1) + 1 atau = 3.

BAB 12

[image:37.298.29.281.38.311.2]

SUDUT GARIS SEJAJAR

Gambar Istilah Sifat

tolak belakang Besar sudutnya sama

dalam bersebrangan

Besar sudutnya sama

dalam sepihak jika kedua sudut dijumlahkan hasilnya sama dengan 180° luar

bersebrangan

Besar sudutnya sama

BAB 13

PELUANG

Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah terjadi. Probabilitas suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Nilainya di antara 0 dan 1. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi atau sesuatu yang telah terjadi. Misalnya matahari yang masih terbit di timur sampai sekarang. Sedangkan suatu kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin terjadi. Misalnya seekor kambing melahirkan seekor sapi.

Adapun materi peluang yang akan dibahas di antaranya: 1.Percobaan, ruang sampel, dan kejadian

2.Peluang suatu kejadian 3.Peluang percobaan kompleks 4.Peluang Kejadian Majemuk

Per cobaan, r uang sampel, dan kejadian Percobaan adalah: suatu kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan yang sama untuk menghasilkan sesuatu. Ruang Sampel adalah : Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu kejadian (percobaan)

Kejadian atau Peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

Contoh soal:

Misalkan sebuah dadu bermata enam dilemparkan satu kali maka tentukan: hasil yang mungkin muncul, ruang sampel, titik sampel, banyaknya kejadian mata dadu ganjil, banyaknya kejadian mata dadu kurang dari 3?

Jawab:

Hasil yang mungkin muncul adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6

Ruang sampel atau S = {1,2,3,4,5,6}

Titik sampel sama dengan hasil yang mungkin yaitu mata dadu 1,2,3,4,5 dan 6

Misalkan A adalah kejadian mata dadu ganjil Kejadian A={1,3,5}

Banyaknya kejadian mata dadu ganjil adalah n(A) =3 Misalkan B adalah Kejadian mata dadu kurang dari 3 Kejadian B={1,2}

BAB 14

LINGKARAN

Unsur -unsur lingkar an:

 Titik pusat lingkaran (O) adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran.

 Jari-jari (AO) adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran.

 Diameter (AOB) adalah garis lurus yang

menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui titik pusat.

 Busur (BC) adalah garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik pada lingkaran tersebut.

 Tali busur (DGF) adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran.

 Juring (OBC) adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari tersebut.

 Apotema (OG) adalah garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Keliling lingkaran

= =

Luas lingkaran

= = 3,14 atau 22/7

=

= −

Sudut Pusat dan Sudut Keliling

 Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari dan menghadap suatu busur lingkaran

 Sudut keliling adalah sudut pada lingkaran yang dibentuk oleh dua buah tali busur.

 Semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar sudut yang sama.

 Jumlah sudut keliling yang saling berhadapan sama dengan 180°.

 Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring.

360° = =

 Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran adalah setengah kali dari jumlah sudut-sudut pusat yang berada di depan dan di belakangnya.

∠ = 1

2× (∠ + ∠ )

 Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan diluar lingkaran adalah setengah kali dari selisih sudut pusat yang terletak di antara kedua kakinya.

∠ = 1

2× (∠ − ∠ )

Sudut-sudut segi-n beraturan

Besar setiap sudut pusat segi−n beraturan = 360°

Besar setiap sudut segi−n beraturan

180°−360°= ( −2) × 180°

Garis Singgung Lingkaran Sifat-sifat garis singgung lingkaran

 Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik yang disebut titik singgung lingkaran.

 Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya.

 Dari satu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung.

 Dari satu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung lingkaran.

Garis singgung persekutuan adalah garis yang tepat menyinggung dua lingkaran.

Dari dua lingkaran yang saling lepas dapat dibuat dua garis singgung persekutuan luar dan dua garis singgung

persekutuan dalam.

= −( − )

= −( + )

di mana:

l = panjang garis singgung persekutuan luar

d = panjang garis singgung persekutuan dalam

k = jarak kedua titik pusat lingkaran

R = jari-jari lingkaran pertama

r = jari-jari lingkaran kedua

Hubungan antara lingkaran dan segitiga Rumus luas segitiga yang lain

= ( − ) ( − ) ( − )

Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah =

Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga adalah =

Dengan L = Luas

BAB 15

LOGARI TMA

Definisi

Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan a sehingga menjadi b.

a

log b = c ↔ ac = b ~ “mencari pangkat”

dengan

a = bilangan pokok (a > 0 dan a ≠ 1) b = numerus (b > 0)

c = hasil logaritma

Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa : a

log a = 1 ; alog 1 = 0 ; alog an = n

Sifat-sifat logar itma a

log bc = alogb + alogc a

log bc = c alog b a

log b/c = alog b -alog c Hubungan alog b/c = - a log b/c a

log b = (clog b)/(clog a) Hubungan alog b = 1 / blog a a

log b. blog c = a log c a_{log b = b}

a

log b = c aplog bp = c  Hubungan : aqlog bp = alog bp/q = p/q alog b

Keterangan:

1. Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10. [ log 7 maksudnya 10log 7 ]

BAB 16

TRI GONOMETRI

Penger tian

Trigonometri terdiri dari sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cotangen (cot), secan (sec) dan cosecan (cosec). Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga siku-siku.

Sinus

Sinus dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sinus di atas maka nilai sinus adalah sin A = sin B =

Nilai sinus positif di kuadran I dan II dan negatif di kuadran III dan IV.

Kosinus

Kosinus atau cosinus (simbol: ) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu

A

c B

b a

adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90°).

Berdasarkan definisi kosinus di atas maka nilai kosinus adalah

cos A = cos B =

Nilai kosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di kuadran II dan III.

Tangen

Tangen (bahasa Belanda: tangens; lambang tg, tan) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi tangen di atas maka nilai tangen adalah

tan A = tan B =

Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di kuadran II dan IV.

Hubungan Nilai Tangen dengan Nilai Sinus dan Cosinus

tan A =

Sekan

Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sekan di atas maka nilai sekan adalah

sec A = sec B =

Hubungan sekan dengan kosinus:

sec A =

Kosekan

Kosekan (disimbolkan dengan cosec atau csc) dalam matematika adalah perbandingan sisi miring segitiga dengan sisi yang terletak di depan sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi kosekan di atas maka nilai kosekan adalah

csc A = csc B =

Hubungan kosekan dengan sinus:

csc A =

Kotangen

cot A = cot B =

Hubungan kotangen dengan tangen:

cot A =

Nilai Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa

Α 0° 30° 45° 60° 90°

Sin α 0

√ √ 1

Cos α 1

√ √ 0

Tan α 0

BAB 17

BARISAN DAN DERET

Pola bar isan bilangan

Barisan adalah urutan bilangan dengan pola tertentu 1. Barisan bilangan genap: 0,2,4,6,8,…

2. Barisan bilangan ganjil : 1,3,5,7,9,… 3. Barisan bilangan segitiga : 1,3,6,10,… 4. Barisan bilangan persegi : 1,4,9,16,… 5. Barisan bilangan segitiga Pascal:

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1…dst .

Jumlah bilangan baris ke-n segitiga Pascal = 2( )

Menentukan r umus dar i suatu bar isan ar itmatika

Contoh: Suatu barisan 3,7,11,15,…

 Barisan tersebut mempunyai suku pertama = a = 3

 Barisan tersebut memiliki beda = b = 4

 Suku ke-n =

= + ( − )

 Jumlah suku ke-n =

= ( + )

Menentukan r umus dar i suatu bar isan geometr i

Rumus suku ke-n

= . ( )

Suku Pertama = a

Rasio antara dua suku berurutan = r Banyaknya suku = n

Jumlah n suku

= ( ) , untuk r ≥

BAB 18

BILANGAN BASIS

Basis Bilangan dengan Metode Napier Metode Napier yang dimaksud dalam bagian ini adalah suatu cara dari John Napier yang dilakukan untuk menyelesaikan soal-soal basis. Dalam metode ini kita dapat menempatkan semua angka pada tempat yang sudah tersediakan sehingga siswa tidak perlu mengingat perkalian angka yan sudah lewat, karena angka akan tercantum. Penggunaan metode ini menurut penulis dapat membantu dalam menyelesaikan soal-soal basis yaitu dalam operasi basis. Jika sudah dipahami penggunaan metode ini maka akan lebih mudah dan lebih teliti. Metode Napier akan kita simak dalam penjelasan-penjelasan di bawah ini:

1) Penjumlahan

Contoh: (3184)10 + (1582)10 = …

dikurangkan, maupun dikalikan, kemudian angka terebut ditaruh di atas dan di bawah kotak.

Masing-masing kotak dibagi menjadi dua dari sudut kanan atas se sudut kiri bawah. Bagian atas untuk menempatkan jumlah bilangan dasar dan bagian bawah untuk menempatkan sisa. Adapun untuk mengetahui hasilnya diperoleh dengan cara menjumlahkan bilangan-bilangan pada jalur-jalur yang miring ke kiri. Dengan penjelasan di atas kita akan dapatkan hasil penjumlahan sebagai berikut:

Langkah-langkah dari penjumlahan di atas adalah: a. 4 + 2 = 0 puluhan, sisa 6

b. 8 + 8 = 1 puluhan, sisa 6 c. 1 + 5 = 0 puluhan, sisa 6 d. 3 + 1 = 0 puluhan, sisa 4

Melihat penjumlahan pada jalur-jalur miring diperoleh: (4766)10

Jadi, (3184)10 + (1582)10 = (4766)10

Pada pengurangan dan perkalian dengan metode Napier juga sama halnya dengan penjumlahan, hanya tandanya saja yang berbeda.

2) Pengurangan

Contoh: (3322)5-(442)5 =…

Langkah-langkah dari pengurangan di atas adalah: a. 2-2 = 0 limaan, sisa 0

c. 3-4 menjadi 2-4 (telah dipinjam 1 limaan)

2-4, agar dapat dilakukan pengurangan dipinjamkan 1 limaan dari angka depannya, sehingga menjadi 7 . 4, pinjaman 1 ditulis (-1)

d. 3-0 menjadi 2-0 (telah dipinjam 1 limaan) 2 -0 = 2

Dengan melihat penjumlahan pada jalur-jalur miring diperoleh (1230)5

Jadi, (3322)5 . (442)5 = (1230)5 3) Perkalian

Contoh: (331)5 x (04)5 =…

Jadi, (331)5 x (04)5 = (2424)5

Basis Bilangan dengan Metode Biasa

Operasi pada basis tidak lain sama dengan operasi hitung pada pelajaran matematika lainnya , yaitu meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Pada operasi basis mempunyai syarat tertentu yaitu apabila kedua basis akan dioperasikan maka kedua basis tersebut harus dalam satu basis (basis yang sama).

1) Penjumlahan

Penjumlahan basis bilangan dapat dilakukan dengan cara penjumlahan bentuk panjang atau penjumlahan bersusun. Tetapi dalam hak ini yang kita bahas adalah penjumlahan bersusun. Perhatikan contoh:

Contoh: Jumlahkan 3425 dan 2335

Keterangan: 2 + 3 = 5 dikelompokkan menjadi (1 x 5) 8 x 5 dikelompokkan menjadi (1 x 52) + (3 x 5)

(3 x 52) + (2 x 5) ditambah (1 x 52) = (6 x 52), dikelompokkan menjadi (1 x 53) + (1 x 52)

2) Pengurangan

Perhatikan: 2-3 tidak mungkin, ambil (1 x 5) dari (4 x 5)

Menjadi (1 x 5) + 2 = 7 satuan, 7-4 = 3

Karena dari (4 x 5) telah diambil (1 x 5), maka yang dikurangkan

menjadi: (3 x 5)-(2 x 5) = (1 x 5) Hasilnya: (1 x 5) + 4 atau 145 3) Perkalian

Keterangan: 4 x 0 = 0 1 x 0 = 0

4 x 3 = 12 ( 2 basis basis limaan dan 2 satuan), jadi yang ditulis 2

satuannya dan 2 basis limaannya ditambahkan ke angka depannya

BAB 19

BANGUN DATAR

Per segi

Definisi

Bangun datar yang memiliki empat buah sisi sama panjang

Keliling = 4xs Luas = s x s s = panjang sisi Per segi Panjang

Definisi

p = panjang l = lebar Segitiga

Definisi

Suatu bangun yang dibuat dari tiga sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut

Keliling = a + b + c Luas = 1/2 (a x t)

a, b, dan c adalah panjang ketiga sisi segitiga Lingkar an

Definisi

himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat

r = jari – jari lingkaran (½ diameter) Tr apesium

Definisi

Trapesium ialah suatu segi empat yang memiliki tepat sepasang sisi yang sejajar

Keliling = a + b + c + d

Luas = ½ x jumlah sisi sejajar x t a, b, c, dan d adalah sisi – sisi trapesium t = tinggi trapesium

6.Layang - Layang

Definisi

Layang-layang adalah bangun datar yang mirip dengan belah ketupat, namun sisinya berbeda

Keliling = 2 x (a + b)

d = panjang diagonal layang - layang Jajar Genjang

Definisi

Jajar genjang memiliki masing-masing 2 sisi yang sama besar

Keliling = 2 x (a + b)

a dan b adalah sisi- sisi pada jajar genjang Luas = a x t

t = tinggi jajar genjang Belah Ketupat

Definisi

Jajar genjang yang dua sisinya yang sama panjang Keliling = 4 x a

a = panjang sisi belah ketupat Luas = ½ x d1 x d2

BAB 20

BANGUN RUANG

Kubus

Ciri-ciri Kubus :

1. Jumlah bidang sisi ada 6 buah yang berbentuk bujur sangkar (ABCD, EFGH, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE,) 2. Mempunyai 8 titik sudut (A, B, C, D, E, F, G, H) 3. Mempunyai 12 rusuk yang sama panjang (AB, CD, EF, GH, AE, BF, CG, DH, AD, BC, EH, FG)

4. Semua sudutnya siku-siku

5. Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang (4 diagonal ruang = garis AG, BH, CE, DF ) dan 12 diagonal bidang = garis AC, BD, EG, FH, AH, DE, BG, CF, AF, BE, CH, DG)

Keliling = 12 x s

Panjang diagonal bidang = s2 + s2 = 2s2 = s2 Panjang diagonal ruang = s2 + s2 + s2 = 3s2 = s3

BALOK

Ciri-ciri Balok :

1. Alasnya berbentuk segi empat 2. Terdiri dari 12 rusuk

3. Mempunyai 6 bidang sisi 4. Memiliki 8 titik sudut 5. Seluruh sudutnya siku-siku

6. Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang Volume = p x l x t

Luas = 2 x {(pxl) + (pxt) + (lxt) } Keliling = 4 x (p+ l + t)

Pr isma Tegak segitiga siku-siku

Ciri-ciri :

1. Terdiri dari 6 titik sudut 2. Mempunyai 9 buah rusuk 3 Mempunyai 5 bidang sisi Volume = Luas alas x tinggi Luas alas = 1/2 x alas x tinggi

Luas = 2 x 1/2 (a x b) + (a x t) + (b x t) + (p x t)

Ker ucut Ciri-ciri :

1. Mempunyai 2 bidang sisi (1 bidang sisi lingkaran dan 1 bidang sisi selimut)

2. Mempunyai 2 rusuk dan 1 titik sudut

Luas selimut = π x r x s

b a

Luas Permukaan kerucut = Luas alas + Luas Selimut

= π x r 2+ π x r x s

= π r (r + s)

Volume =1/3 x Luas alas x tinggi = 1/3 x x r x r x t

Tabung

Ciri-ciri:

1. Mempunyai 2 rusuk

2. Alas dan atapnya berupa lingkaran

3. Mempunyai 3 bidang sisi ( 2 bidang sisi lingkaran atas dan bawah, 1 bidang selimut)

Volume tabung = luas alas x tinggi = π x r 2 x t

Luas Selimut= 2 π x r x t

Luas Permukaan Tabung = 2 x luas alas + Luas selimut tabung

= 2 x π x r 2 + 2 π x r x t

Limas

a. Limas Segitiga

Ciri-ciri :

1. Alasnya berbentuk segitiga

2. Mempunyai 4 bidang sisi (alas dan 3 sisi tegak) 3. Mempunyai 6 rusuk

4. Mempunyai 4 titik sudut Luas alas =1/2 alas x tinggi Volume =1/3 Luas alas x tinggi

Luas = Luas alas + (3 x luas tegak segitiga)

b. Limas Segiempat

Ciri-ciri :

1. Alasnya berbentuk segiempat (BCDE)

2. Mempunyai 5 bidang sisi (BCDE, ABC, ACD,ABE, ADE)

3. Mempunyai 5 titik sudut ( A, B,C,D,E)

4. Mempunyai 8 rusuk (AB, AC,AD,AE,BC,CD,DE,BE) Volume = 1/3Luas alas x tinggi

Luas alas = p x l

Luas = Luas Alas + (4 x Luas tegak segitiga)

Bola

Ciri-ciri :

1. Hanya mempunyai 1 bidang sisi

2. Tidak mempunyai sudut dan tidak mempunyai rusuk

Volume = 4/3 π r 3