Ukuran Kesesuaian dalam Analisis Biplot Biasa dan Analisis Biplot Imbuhan

(1)

MARIYAM

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

ABSTRAK

MARIYAM. Ukuran Kesesuaian dalam Analisis Biplot Biasa dan Analisis Biplot Imbuhan. Dibimbing oleh SISWADI dan NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA.

Biplot imbuhan merupakan modifikasi dari biplot biasa yang memberikan gambaran ragam seperti yang diperoleh dari data. Ukuran kesesuaian (GF) analisis biplot diberikan oleh Gabriel pada tahun 2002. Gambaran posisi prestasi mahasiswa Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Institut Pertanian Bogor (BUD DEPAG IPB) digunakan untuk memperoleh pemetaan provinsi. Data yang digunakan dalam penelitian ini yaitu nilai 14 mata kuliah dan IPK mahasiswa BUD DEPAG TPB IPB tahun akademik 2009/2010. Dalam studi ini, ditelusuri terlebih dahulu rumusan umum analisis biplot imbuhan dan GF analisis biplot dengan menggunakan analisis procrustes. Data dieksplorasi dengan menggunakan boxplot dan matriks korelasi Pearson. Analisis biplot biasa dan imbuhan memberikan GF sebesar 70.54% untuk matriks data dan 61.09% untuk matriks objek dengan menggunakan rumusan umum GF Gabriel dan analisis procrustes. Dalam analisis biplot biasa, GF matriks peubah sebesar 97.72% dengan menggunakan rumusan umum Gabriel dan 97.95% dengan menggunakan analisis procrustes. Dalam analisis biplot imbuhan, tambahan GF matriks peubah yang diperoleh melalui analisis procrustes hanya sebesar 1.61%. Berdasarkan kedekatan antar provinsi dan keterkaitan provinsi dengan nilai mata kuliah dan IPK, provinsi tersebut dapat dikelompokkan menjadi empat kelompok. Hasil studi ini diharapkan dapat memberikan masukan dalam memperoleh gambaran keunggulan dan kekurangan dari setiap provinsi untuk upaya perbaikan mutu pendidikan Madrasah Aliyah.

(3)

ABSTRACT

MARIYAM. Goodness of Fit of Classical and Augmented Biplot Analysis. Supervised by

SISWADI and NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA.

Augmented biplot is a modification of the classical biplot that gives the same variance as obtained from the data. Goodness of fit (GF) of biplot analysis was formulated by Gabriel in 2002. The data of IPB students achievement who receive provincial representing scholarship from the Ministry of Religious Affairs (BUD DEPAG IPB) are used for provincial mapping. The data used in this study are scores of 14 subjects and GPA from BUD DEPAG IPB first year students in 2009/2010 academic year. In this study, general formulation for augmented biplot and GF of biplot analysis is derived from procrustes analysis. Data are explored using boxplot and Pearson’s correlation matrix. The classical and augmented biplot give the same GF values for data and object matrix, i.e. 70.54% and 61.09% respectively, both using Gabriel’s formula and procrustes analysis. In classical biplot analysis, GF for variable matrix derived from Gabriel’s formula and procrustes analysis are 97.72% and 97.95% respectively. In augmented biplot analysis, additional GF for variable matrix obtained by procrustes analysis is only 1.61%. Based on the proximity among provinces and the interrelationship of provinces with score of subjects and GPA, these provinces can be grouped into four groups. Result of this study is expected to provide information of advantages and disadvantages for each province in order to improve Islamic High School educational quality.

(4)

UKURAN KESESUAIAN DALAM ANALISIS BIPLOT BIASA

DAN ANALISIS BIPLOT IMBUHAN

MARIYAM

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS METEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

Judul

: Ukuran Kesesuaian dalam Analisis Biplot Biasa dan Analisis

Biplot Imbuhan

Nama :

Mariyam

NIM :

G54070084

Menyetujui,

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Ir. Siswadi, M.Sc.

NIP. 19490609 197412 1 001

Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc.

NIP. 19640823 198903 1 001

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP. 19650505 198903 2 004

(6)

PRAKATA

Bismillahirrahmanirrahim, puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Ukuran Kesesuaian dalam Analisis Biplot Biasa dan Analisis Biplot Imbuhan dapat penulis selesaikan. Shalawat serta salam semoga selalu tercurahkan untuk nabi besar Muhammad SAW, keluarga, sahabat, dan para pengikutnya sampai akhir zaman.

Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada Kementerian Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis untuk menempuh pendidikan Program Beasiswa Santri Berprestasi di Institut Pertanian Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Siswadi, M.Sc. dan Bapak Ir. Ngakan Komang Kutha Ardana, M.Sc. atas ilmu, kesabaran, motivasi, dan saran selama penulis melakukan bimbingan tugas akhir, Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc yang telah bersedia menjadi dosen penguji pada saat sidang tugas akhir, serta Bapak Dr. Ir. Ibnul Qayim selaku Direktur TPB IPB yang telah memberikan bantuan data mahasiswa BUD DEPAG TPB IPB tahun akademik 2009/2010. Terima kasih pula untuk seluruh dosen Departemen Matematika atas ilmu yang telah diberikan, staf dan karyawan Departemen Matematika atas bantuannya selama ini.

Karya ilmiah ini penulis persembahkan untuk Papa, Mama, Adik-adikku, dan Kak Ilham Hernawan. Terima kasih atas pengorbanan, doa, semangat, dan motivasinya. Terima kasih penulis ucapkan kepada teman-teman Matematika 44, keluarga besar CSS MoRA IPB, dan teman-teman lainnya untuk kebersamaan yang berharga, doa, semangat, dan motivasinya. Terima kasih penulis ucapkan Pak Muslim dan Pak Kusnandar atas bantuannya dalam penelitian ini. Terima kasih penulis juga ucapkan kakak-kakak Matematika angkatan 43, kakak-kakak Statistika angkatan 43 dan adik-adik Matematika 45, serta semua pihak yang turut membantu penulis dalam menyelesaikan karya ilmiah ini.

Akhir kata, penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, penulis sangat berharap dan menghargai semua saran dan kritik yang diberikan. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi pembacanya.

Bogor, Agustus 2011

Mariyam

(7)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 20 Maret 1990 dari bapak Ardani dan ibu Zakiah. Penulis merupakan anak pertama dari lima bersaudara.

Penulis menyelesaikan pendidikan di MA Al-Falah Jakarta pada tahun 2007 dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama (BUD DEPAG). Penulis memilih mayor Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dengan Statistika Terapan sebagai mata kuliah minor.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II pada semester ganjil tahun akademik 2009/2010, Persamaan Diferensial Biasa pada semester genap tahun akademik 2009/2010, dan Persamaan Diferensial Parsial pada semester ganjil tahun akademik 2010/2011. Penulis menjadi pengajar mata kuliah Kalkulus I dan Pengantar Matematika di bimbingan belajar Gumatika pada tahun akademik 2009/2010 dan 2010/2011. Selain itu, penulis juga aktif di Gumatika sebagai anggota divisi Keilmuan periode 2008/2009 dan 2009/2010 dan menjadi panitia bagian Tim Khusus Matematika Ria di Pesta Sains Nasional 2009 dan 2010.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ... ix

DAFTAR GAMBAR ... ix

DAFTAR LAMPIRAN ... ix

PENDAHULUAN ... 1

Latar Belakang ... 1

Tujuan ... 1

LANDASAN ANALISIS ... 1

Analisis Biplot ... 1

Ukuran Kesesuaian Analisis Biplot ... 3

Analisis Biplot Imbuhan ... 3

Analisis Procrustes ... 4

METODE PENELITIAN ... 6

Studi Literatur ... 6

Sumber Data ... 6

Peubah Penelitian ... 6

Objek Penelitian ... 6

Analisis dan Pemrograman ... 6

HASIL DAN PEMBAHASAN ... 7

Rumusan Umum Biplot Imbuhan ... 7

Rumusan Umum Ukuran Kesesuaian dengan Analisis Procrustes ... 7

Eksplorasi Data ... 8

Analisis Biplot ... 10

Analisis Biplot Imbuhan ... 10

Analisis Biplot Biasa dan Analisis Biplot Imbuhan ... 11

Ukuran Kesesuaian Analisis Biplot Menggunakan GF Gabriel dan Analisis Procrustes .. 12

SIMPULAN ... 13

DAFTAR PUSTAKA ... 14

(9)

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Objek penelitian berdasarkan provinsi ... 6

2 Matriks korelasi Pearson ... 9

3 Ukuran kesesuaian biplot biasa dan imbuhan ... 12

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1 Boxplot peubah mata kuliah dan IPK ... 8

2 Gambaran perolehan IPK mahasiswa BUD DEPAG berdasarkan provinsi ... 10

3 Biplot biasa dan imbuhan dengan ... 11

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Data nilai mata kuliah dan IPK mahasiswa BUD DEPAG TPB IPB 2009/2010 ... 15

2 Data korelasi antar-peubah dan signifikansinya menggunakan software Minitab ... 19

3 Koordinat biplot ... 20

4 Biplot biasa dan imbuhan dengan ... 24

5 Program ukuran kesesuaian dengan menggunakan analisis procrustes ... 25

(10)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Biplot merupakan metode eksplorasi analisis data peubah ganda yang dapat memberikan gambaran secara grafik tentang kedekatan antar objek, keragaman peubah, korelasi antar peubah, dan keterkaitan antara peubah dengan objek. Selain itu, analisis biplot digunakan untuk menggambarkan hubungan antara peubah dan objek yang berada pada ruang berdimensi tinggi ke dalam ruang berdimensi rendah (dua atau tiga). Dari biplot diperoleh tiga matriks pendekatan yang terkait dengan data, peubah, dan objek. Ukuran kesesuaian dari ketiga matriks tersebut dikemukakan oleh Gabriel pada tahun 2002.

Hasil representasi yang diberikan oleh analisis biplot itu pada umumnya tidak dapat menghasilkan visualisasi tentang keragaman dengan baik maka diperlukan analisis biplot dengan modus vektor diperpanjang. Biplot imbuhan (augmented biplot) merupakan modifikasi dari biplot biasa yang memberikan gambaran ragam seperti yang diperoleh dari data (Bartkowiak dan Szustalewicz 1995).

Analisis procrustes adalah salah satu metode yang menyatakan perbedaan dua atau lebih konfigurasi n-titik sebagai nilai numerik. Nilai numerik yang dihasilkan metode ini dapat digunakan untuk ukuran kesesuaian (goodness of fit) antar konfigurasi. Dalam analisis procrustes dikenal tiga transformasi geometris untuk menghitung nilai perbedaan minimum dari dua konfigurasi. Ketiga transformasi geometris tersebut yaitu translasi, rotasi dan dilasi. Dari ketiga transformasi ini dapat digunakan untuk menentukan ukuran kesesuaian yang optimal.

Salah satu kegunaan dalam analisis biplot biasa maupun imbuhan adalah untuk pemetaan. Gambaran posisi prestasi mahasiswa Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Institut Pertanian Bogor (BUD DEPAG IPB) dapat digunakan untuk

memperoleh pemetaan provinsi. Pemetaan ini diharapkan dapat memberikan masukan dalam memperoleh gambaran keunggulan dan kekurangan dari setiap provinsi sehingga dapat mengevaluasi kinerja pondok pesantren masing-masing provinsi serta perencanaan dan target peningkatan mutu pendidikan Madrasah Aliyah.

Institut Pertanian Bogor (IPB) sebagai salah satu perguruan tinggi negeri, bekerja sama dengan Departemen Agama (DEPAG) untuk mendidik mahasiswa yang berasal dari pondok pesantren berbagai provinsi. Mahasiswa BUD DEPAG IPB hampir mewakili beberapa provinsi di Indonesia, diharapkan mampu memberikan gambaran prestasi dan pemetaan mutu pendidikan setiap provinsinya. Indikator prestasi mahasiswa biasanya dikaitkan dengan pencapaian prestasi akademik berupa nilai mutu tiap mata kuliah yang diambil dan Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) nya.

Permasalahan yang muncul ialah bagaimana ukuran kesesuaian yang diperoleh dari analisis biplot biasa dan analisis biplot imbuhan dengan nilai minimum dari ketiga transformasi di atas dan penerapannya untuk pemetaan provinsi berdasarkan prestasi mahasiswa BUD DEPAG IPB.

Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini ialah:

1. Memperoleh gambaran umum tentang representasi ukuran kesesuaian analisis biplot imbuhan.

2. Penerapan kasus analisis biplot biasa dan imbuhan dalam pemetaan provinsi berdasarkan prestasi mahasiswa BUD DEPAG IPB (dalam studi kasus mahasiswa BUD DEPAG TPB IPB tahun akademik 2009/2010).

LANDASAN ANALISIS

Analisis Biplot

Analisis biplot pertama kali diperkenalkan oleh Gabriel pada tahun 1971. Elaborasi analisis biplot secara komprehensif diberikan oleh Greenacre pada tahun 2010. Biplot berupa suatu peragaan

(11)

Informasi yang dapat diperoleh dari biplot antara lain ialah:

1. Kedekatan antar objek.

Dua objek dengan karakteristik yang sama akan digambarkan sebagai dua titik yang posisinya berdekatan.

2. Keragaman peubah.

Peubah dengan keragaman kecil digambarkan sebagai vektor yang pendek, sedangkan peubah dengan keragaman besar digambarkan sebagai vektor yang panjang.

3. Korelasi antar peubah.

Peubah digambarkan sebagai vektor. Jika sudut dua peubah lancip ° maka korelasinya bernilai positif. Apabila sudut dua peubah tumpul ° maka korelasinya bernilai negatif. Sedangkan jika sudut dua peubah siku-siku maka tidak saling berkorelasi.

4. Keterkaitan peubah dengan objek.

Karakteristik suatu objek bisa disimpulkan dari posisi relatifnya dengan peubah. Jika posisi objek searah dengan arah vektor peubah maka objek tersebut nilainya di atas rata-rata, jika berlawanan maka nilainya di bawah rata-rata, dan jika hampir di tengah-tengah maka nilainya mendekati rata-rata.

Analisis biplot dikembangkan atas dasar Dekomposisi Nilai Singular (DNS) atau

Singular Value Decomposition (SVD).

Misalkan n adalah matriks data dengan n

objek dan p peubah. Selanjutnya dikoreksi terhadap nilai rata-ratanya sehingga diperoleh matriks Y,

n T (1)

dengan 1 adalah vektor yang semua unsurnya bernilai 1. Matriks koragam dari matriks ialah

n T (2)

sedangkan matriks korelasi r dari matriks ialah

⁄ ⁄ ₍₃₎

dengan ⁄ diag

√ ,√ , . . , adalah matriks diagonal.

Misalkan matriks n , , … , T maka didefinisikan jarak Euclid antara objek ke-i dan ke-j sebagai ,

T

dan jarak Mahalanobis

antara objek ke-i dan ke-j sebagai

, T .

Matriks berpangkat r dengan

min , dapat dinyatakan sebagai SVD berikut:

n n T (4)

(Aitchison & Greenacre 2002) dengan U dan

W merupakan matriks ortonormal kolom, sehingga T T . Matriks W

adalah matriks yang kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen yang berpadanan dengan nilai eigen positif dari matriks T . Matriks U adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor eigen-vektor eigen yang berpadanan dengan nilai eigen-nilai eigen positif dari matriks T dengan hubungan

r diag λ , λ , . . . , λ (5)

p , , … , (6)

n , , . . . , (7)

dengan λ λ λ dan λ disebut nilai singular dari matriks . Dalam Jolliffe (2002) persamaan (4) dapat diuraikan menjadi

T ₍₈₎

Misalkan , , … , T dan

, , … , Tmaka persamaan (8) menjadi

T ₍₉₎

dengan demikian setiap elemen ke- (i, j) unsur matriks Y dapat dinyatakan sebagai berikut:

y T _{. Vektor} _{merepresentasikan} objek ke-i matriks Y, dan vektor

merepresentasikan peubah ke-j matriks Y. Jika Y berpangkat dua, maka vektor baris dan vektor kolom dapat digambarkan dalam ruang dimensi dua. Sedangkan matriks

Y yang berpangkat lebih dari dua dapat didekati dengan matriks berpangkat dua, sehingga persamaan dapat ditulis menjadi

2y T

dengan masing-masing dan mengandung dua unsur pertama vektor dan

. Dengan pendekatan tersebut matriks Y

(12)

nilai-nilai ekstrim yaitu dan berimplikasi pada interpretasi biplot. a. Jika , maka dan ,

akibatnya

T T T T

T T

T₍₁₀₎ diperoleh :

• T _{, dengan} _adalah koragam peubah ke-i dan ke-j.

• _√ , dengan

menggambarkan keragaman peubah ke-i.

• Korelasi antara peubah ke-i dan ke-j

dijelaskan oleh cosinus sudut antara h dan h (misal: ), yaitu

cos T

• Jika Y berpangkat p maka T

T

artinya kuadrat jarak Mahalanobis antara dan

sebanding dengan kuadrat jarak Euclid antara dan , serta adalah matriks koragam dari Y.

b. Jika , maka dan , akibatnya :

T T T T

T T

T

Artinya, T T

atau kuadrat jarak Euclid antara dan akan sama dengan kuadrat jarak Euclid antara dan .

Ukuran Kesesuaian Analisis Biplot

Menurut Gabriel (2002), biplot tidak hanya sebagai pendekatan matriks data Y

dengan menggunakan matriks T, tetapi juga hasil perkalian T sebagai pendekatan dari matriks T yang berkaitan dengan ragam koragam dan korelasi antar peubah dan matriks T sebagai pendekatan bagi T yang berkaitan dengan ukuran ketakmiripan antar objek. Secara umum T dan T sebagai pendekatannya. Jika

T _λ T

maka

T _λ T

di mana .

Rumus umum yang dikemukakan oleh Gabriel untuk ukuran kesesuaian analisis biplot ini adalah sebagai berikut:

GF , min

Persamaan di atas dapat ditulis menjadi:

GF , _tr tr_T _trT _T

Y dan H adalah suatu matriks, di mana H

merupakan pendekatan Y. Ukuran kesesuaian analisis biplot sebagai ukuran kedekatan dari tiga bentuk matriks, yaitu:

1. Kesesuaian data:

GF , T tr T T

tr T _tr T T

2. Kesesuaian peubah:

GF T _, T tr T T

tr T T _tr T T

3. Kesesuaian objek:

GF T_, T tr T T

tr T T _tr T T

dengan tr dinamakan teras dari matriks segi M atau jumlah elemen diagonal dari matriks segi M sehingga dituliskan tr

∑ .

Analisis Biplot Imbuhan

Masalah yang timbul adalah pengaruh pendekatan dalam ruang bagian berdimensi rendah dalam mencerminkan hubungan yang benar antara objek dan peubah dalam ruang data lengkap. Ini menyebabkan bahwa representasi yang diberikan oleh biplot kadang-kadang baik, buruk, atau cukup. Hasil representasi yang diberikan oleh analisis biplot imbuhan (augmented biplot) itu dapat menghasilkan visualisasi lebih baik mengenai keragaman. Biplot imbuhan merupakan modifikasi dari biplot biasa yang memberikan gambaran ragam seperti yang diperoleh dari data (Bartkowiak dan Szustalewicz 1995).

Berdasarkan persamaan (9) T akan dilakukan pendekatan dengan matriks berdimensi lebih rendah yaitu T.

(13)

dalam biplot imbuhan yaitu matriks yang merepresentasikan suatu peubah.

Algoritme untuk membangun biplot imbuhan dari biplot biasa:

1. Matriks B merepresentasikan peubah yang merupakan pendekatan untuk analisis biplot biasa.

2. Matriks merepresentasikan peubah yang merupakan pendekatan untuk analisis biplot imbuhan.

3. Misalkan menyatakan panjang vektor dari pendekatan analisis biplot biasa. 4. Misalkan menyatakan panjang

vektor dari pendekatan analisis biplot imbuhan.

5. Hubungan antara matriks B dengan matriks adalah , dengan merupakan matriks diagonal berupa konstanta yang menyatakan besarnya peregangan atau pemampatan dari vektor biplot biasa.

6. Hubungan antara dan adalah

| | .

(Bartkowiak dan Szustalewicz 1995).

Analisis Procrustes

Misalkan X dan Y merupakan matriks yang berukuran dan yang masing-masing adalah representasi konfigurasi yang akan dibandingkan. Koordinat titik ke-i pada ruang Euclid yang diberikan oleh nilai-nilai baris ke-i pada matriks. Konfigurasi pertama berada pada ruang berdimensi p dan koordinat titik ke-i

yaitu , , … , . Sedangkan konfigurasi kedua berada pada ruang berdimensi q dan koordinat titik ke-i yaitu , , … , .

Jika maka konfigurasi kedua berada dalam subruang dari ruang berdimensi p. Berdasarkan analisis procrustes, perbedaan ruang dimensi ini dapat diselesaikan dengan memasangkan kolom nol di kanan Y

sehingga menjadi matriks berukuran . Dengan demikian, dapat digunakan secara umum .

Untuk menentukan ukuran kesesuaian dalam dua konfigurasi, analisis procrustes menggunakan jumlah kuadrat jarak antara titik yang bersesuaian yaitu

, ∑ ∑

tr T ₍₁₂₎ (Bakhtiar dan Siswadi 2011).

Translasi

Translasi dapat diartikan sebagai proses pemindahan seluruh titik dengan jarak yang

tetap dan arah yang sama. Dari persamaan (12) diperoleh

,

∑ (13)

Penguraian dari persamaan (13) menghasilkan

, , (14) dengan , , … , , , … , ∑ y

untuk j=1, 2, ... , p

dan merupakan konfigurasi X dan

Y setelah ditranslasi. dan masing-masing adalah sentroid kolom dari X dan Y. Sedangkan merupakan jarak dari kedua sentroid kolom X dan Y. Untuk menghasilkan

E yang minimum, maka .

Dengan demikian, nilai perbedaan minimum antara dua konfigurasi X dan Y

setelah ditranslasi adalah

, ,

∑ ∑ (15)

Rotasi

Rotasi dapat didefinisikan sebagai suatu proses pemindahan seluruh titik dengan sudut yang tetap tanpa mengubah jarak setiap titik terhadap sentroidnya. Dalam transformasi ini dilakukan penggandaan konfigurasi dengan suatu matriks ortogonal.

(14)

ortogonal Q yaitu , , dengan T T .

Dengan demikian, perbedaan minimum konfigurasi X dengan Y setelah penyesuaian dengan rotasi ialah

, inf , (16)

Secara aljabar, nilai perbedaan minimum setelah dilakukan penyesuaian dengan rotasi ialah

, tr T

tr T _tr T

tr T T ₍₁₇₎ Nilai E akan minimum jika tr T T maksimum. Jadi, dipilih matriks ortogonal Q

yang memaksimumkan tr T T .

Teorema

Jika X dan Y merupakan elemen dalam dan Q elemen dalam merupakan matriks ortogonal maka tr T T akan maksimum bila dipilih T dengan

∑ T _{merupakan hasil Dekomposisi Nilai} Singular Bentuk Lengkap (DNSBL) dari matriks T .

Bukti:

Andaikan ∑ T merupakan hasil DNSBL dari matriks p T sehingga p T p ∑ T_._∑ _{adalah matriks diagonal} dengan dan U, V merupakan matriks ortogonal, sehingga

tr T T _tr T T

tr T T T

tr T

tr ∑ T

tr T _∑

Karena Q merupakan matriks ortogonal maka T juga merupakan matriks ortogonal. Dimisalkan T

maka berlaku , sehingga

tr T T _{tr ∑}

∑

tr ∑

Jadi, tr ∑ akan maksimum jika

∑ T _{∑ ∑.}_{Kondisi ini dapat} dipenuhi jika T(Bakhtiar 1995).

Dilasi

Dilasi dapat didefinisikan sebagai pembesaran atau pengecilan jarak setiap titik dalam konfigurasi terhadap sentroidnya.

Dilasi Y terhadap X dilakukan dengan mengalikan konfigurasi Y dengan suatu skalar

c. Konfigurasi setelah dilasi menjadi cY. Dengan demikian perbedaan minimum antara dua konfigurasi setelah dilasi ialah

, inf , (18)

Secara aljabar, perbedaan minimum setelah dilakukan penyesuaian dengan dilasi ialah

, tr T

tr T _tr T

tr T ₍₁₉₎ Persamaan (19) merupakan fungsi kuadrat dengan variabel c. Syarat untuk memperoleh nilai E yang minimum ialah turunan pertama sama dengan nol dan turunan kedua lebih besar nol. Dengan terlebih dahulu menentukan titik kritis dari turunan pertama sehingga diperoleh c sebagai titik tetap.

tr T _tr T

tr T

tr T (20)

Untuk membuktikan nilai E minimum ialah turunan kedua dari persamaan (19) harus lebih dari nol.

tr T

Dari bukti di atas dapat disimpulkan bahwa nilai E minimum dengan nilai c pada persamaan (20). Setelah itu, substitusi nilai c

ke dalam persamaan (19) sehingga diperoleh nilai E yang minimum sebagai berikut

, tr T _tr T

tr T

tr T tr T

tr T

tr T tr T

tr T tr T tr T tr T tr T tr T

tr T tr T

(15)

METODE PENELITIAN

Pada bagian ini dijelaskan tahapan-tahapan dalam penelitian, yaitu studi literatur, objek dan peubah yang akan digunakan dalam penelitian, serta analisis dan pemrograman.

Studi Literatur

Studi literatur meliputi pencarian berbagai informasi yang berhubungan dengan topik yang dibahas. Studi literatur dilakukan di Perpustakaan Pusat Institut Pertanian Bogor, Perpustakaan FMIPA IPB, Perpustakaan Statistika IPB, dan Perpustakaan Matematika IPB.

Langkah-langkah untuk mendapatkan informasi:

9 Menelusuri ketepatan biplot biasa dengan menggunakan ukuran kesesuaian dari Gabriel (2002).

9 Menentukan kesesuaian konfigurasi matriks data, objek, dan peubah menggunakan analisis procrustes.

9 Melakukan perbandingan analisis biplot biasa dengan biplot imbuhan dari analisis yang diperoleh.

Sumber Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder mengenai mahasiswa Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama (BUD DEPAG) yang diperoleh dari Direktorat Pendidikan Tingkat Persiapan Bersama Institut Pertanian Bogor (TPB IPB), yang terdiri atas data tentang provinsi asal pondok pesantren, data nilai mutu mata kuliah yang diikuti bersama dan IPK mahasiswa BUD DEPAG TPB IPB tahun akademik 2009/2010.

Peubah Penelitian

Peubah yang digunakan dalam penelitian ini ialah:

1. Nilai mutu mata kuliah Agama (AG), 2. Nilai mutu mata kuliah Biologi (BI), 3. Nilai mutu mata kuliah Ekonomi Umum

(EK),

4. Nilai mutu mata kuliah Fisika (FI),

5. Nilai mutu mata kuliah Bahasa Indonesia (ID),

6. Nilai mutu mata kuliah Bahasa Inggris (IG),

7. Nilai mutu mata kuliah Kalkulus (KA), 8. Nilai mutu mata kuliah Kimia (KI),

9. Nilai mutu mata kuliah Pengantar Kewirausahaan (KW),

10.Nilai mutu mata kuliah Pengantar Matematika (PM),

11.Nilai mutu mata kuliah Olahraga dan Seni (OR),

12.Nilai mutu mata kuliah Pengantar Ilmu Pertanian (PI),

13.Nilai mutu mata kuliah Sosiologi Umum (SO),

14.Nilai mutu mata kuliah Pengantar Kewarganegaraan (PK), dan

15.Nilai mutu Indeks Prestasi Kumulatif (IP).

Objek Penelitian

Objek penelitian adalah provinsi yang terwakili oleh mahasiswa BUD DEPAG TPB IPB tahun akademik 2009/2010 yang berjumlah 18 provinsi asal dari 69 mahasiswa seperti disajikan dalam Tabel 1.

Tabel 1. Objek penelitian berdasarkan provinsi

Asal Provinsi Kode Jumlah mahasiswa

NAD 1 3

SUMUT 2 3

SUMBAR 3 2

RIAU 4 1

JAMBI 5 1

SUMSEL 6 1

LAMPUNG 7 1

DKI JAKARTA 8 3

JABAR 9 18

BANTEN 10 5

JATENG 11 6

DIY 12 1

JATIM 13 17

BALI 14 1

NTB 15 2

SULSEL 16 2

SULBAR 17 1

GORONTALO 18 1 Total Mahasiswa 69

Analisis dan pemrograman

(16)

HASIL DAN PEMBAHASAN

Rumusan Umum Biplot Imbuhan

Dalam pembahasan ini, diperkenalkan matriks H dari hasil dekomposisi nilai singular dengan menggunakan dari hasil biplot biasa. Matriks H

merepresentasikan gambaran suatu peubah. Bentuk umum matriks H berukuran

, yaitu

p … … … … (21)

kemudian dilakukan pendekatan dengan menggunakan dua kolom pertama dari matriks

H,, yaitu matriks B mempunyai bentuk umum sebagai berikut:

p (22)

Matriks H juga didekati dengan matriks berukuran yang merupakan pendekatan untuk modifikasi biplot yang lebih dikenal dengan biplot imbuhan dan mempunyai bentuk umum:

p (23)

Hubungan antara matriks dengan matriks adalah p = p p , dengan C

adalah matriks diagonal

… …

…

dengan

T_{merupakan matriks} T _yang elemen-elemen diagonal utamanya digantikan oleh elemen-elemen diagonal utamanya matriks T .

Rumusan Umum Ukuran Kesesuaian dengan Analisis Procrustes

Ukuran kesesuaian matriks data, objek dan peubah dalam analisis biplot biasa dan analisis

biplot imbuhan dapat diperoleh dengan menggunakan nilai perbedaan minimum dalam analisis procrustes. Hal ini dilakukan dengan menggunakan tiga transformasi geometris, yaitu translasi, rotasi dan dilasi.

Algoritme untuk menghitung ukuran kesesuaian dengan analisis procrustes:

1. Misalkan suatu konfigurasi matriks berukuran dan Y konfigurasi matriks pendekatannya.

2. Menghitung sentroid kolom dari masing-masing konfigurasi, yaitu dan , dengan rumus T dan

T _.

3. Menghitung konfigurasi X dan konfigurasi

Y setelah ditranslasi, yaitu _T dan _T dengan rumus _T dan

T .

4. Menghitung nilai perbedaan minimum setelah penyesuaian translasi, yaitu

, T, T

5. Andaikan KM T dari hasil DNSBL TT T, maka matriks ortogonal

T_.

6. Menghitung nilai perbedaan minimum setelah penyesuaian rotasi, yaitu

T, T tr T T T T T

tr T TT tr T TT

tr T T TT .

7. Menghitung konstanta c untuk transformasi dilasi, yaitu

tr T T TT

tr T TT

8. Menghitung nilai perbedaan minimum setelah penyesuaian dilasi, yaitu

T, c T tr T TT

tr T T TT

tr T TT

dengan mensubstitusi hasil c pada langkah di atas, maka

T, c T tr T TT

tr T T TT

tr T TT 9. Menghitung ukuran kesesuaian, yaitu

(17)

Secara umum, ukuran kesesuaian dalam analisis biplot dengan menggunakan analisis procrustes adalah sebagai berikut :

GF , tr T TT tr T TT tr T T TT

tr T _tr

T TT

Secara khusus, ukuran kesesuaian dalam analisis biplot dengan menggunakan analisis procrustes adalah sebagai berikut:

a. Matriks data:

GF , T tr T T

T _tr T

T T TT tr T T T TT

tr T _tr T

T T TT

Matriks objek:

GF T_, T tr

T

T T TT tr T T T TT tr T T T T TT

tr T T T _tr T _T T _TT

b. Matriks peubah:

GF T _, T tr

T

T T TT tr T T T TT tr T T T T TT

tr T T T _tr T

T T TT

c. Matriks peubah imbuhan:

GF T _, T

tr T

T T TT tr T _T T _TT tr T T T T _TT

tr T T T _tr T

T T T

T Eksplorasi Data PM KI KA IP PK SO PI IG ID FI BI OR KW EK AG 4 3 2 1 0 D a t a 69 64 49

47 147 14749535569

67 63 56 54 53 49 47 35 31 30 29 12 11 6 4

2 913141532455052616569

49 1 69 67 66 64 62 60 59 56 53 52 50 49 47 44 41 39 38 35 34 30 15 13 10 8 3 2

1 58616469 56 55 54 49 47 42 40 39 38 30 24 20 18 17 10 8 6 3 1

(18)

Gambaran peubah mata kuliah dan IPK yang ditata berdasarkan median tiap peubah disajikan sebagai boxplot yang diberikan pada Gambar 1.

Boxplot merupakan salah satu teknik untuk memberikan gambaran tentang pemusatan data, rentang penyebaran, dan kemiringan pola sebaran. Dari boxplot di atas dapat dilihat keragaman dan data pencilan. Peubah AG, BI, FI, IG, PK, IP, dan KA tidak mempunyai pencilan. Pencilan pada peubah KW, OR, PI, SO, dan PM sulit untuk dilihat dari gambar, hal ini disebabkan oleh data (objek) yang digunakan dalam jumlah besar. Mahasiswa 47 (JATIM2), 49 (JATIM4), 69 (GORONTALO) hampir mendominasi sebagai pencilan bawah di beberapa peubah.

Peubah KA memiliki keragaman yang lebih tinggi dibandingkan dengan peubah lainnya, sedangkan peubah KW dan OR cenderung memiliki keragaman yang kecil bahkan cenderung homogen, yaitu dengan nilai mutu A dan B. Peubah AG, EK, OR, KW, BI, FI, PI, SO, dan PK terlihat kemiringan pola sebaran datanya negatif. Hal ini menunjukkan bahwa rata-rata dari peubah terletak di bawah mediannya. Untuk peubah ID, IG, KI, dan PM terlihat kemiringan pola sebaran datanya positif, hal ini mengindikasikan bahwa rata-rata peubah tersebut lebih besar dari pada mediannya. Peubah IP dan KA kemiringan pola sebaran datanya simetri atau mediannya hampir sama dengan rata-rata.

Tabel 2 Matriks korelasi Pearson

AG BI EK FI ID IG KA KI KW PM OR PI SO PK IP AG 1

BI 0.25* 1 EK 0.32** 0.60** 1 FI 0.26* 0.64** 0.61** 1 ID 0.39** 0.53** 0.66** 0.50** 1 IG 0.30** 0.41** 0.40** 0.43** 0.35** 1 KA 0.33** 0.63** 0.69** 0.79** 0.63** 0.40** 1

KI 0.29* 0.76** 0.72** 0.74** 0.65** 0.36** 0.77** 1 KW 0.02 0.02 0.24 0.13 0.22 0.14 0.16 0.19 1 PM 0.26* 0.53** 0.63** 0.77** 0.56** 0.52** 0.78** 0.66** 0.27* 1

OR 0.03 -0.16 -0.15 -0.14 -0.11 0.09 -0.12 -0.24* -0.24* -0.09 1 PI 0.28* 0.65** 0.59** 0,47** 0.54** 0.31** 0.52** 0.59** 0.06 0.40** 0.05 1 SO 0.16 0.47** 0.49** 0.40** 0.51** 0.33** 0.34** 0.42** 0.14 0.41** 0.06 0.49** 1 PK 0.29* 0.60** 0.33** 0.44** 0.31** 0.40** 0.42** 0.58** -0.01 0.38** -0.13 0.50** 0.33** 1 IP 0.42** 0.81** 0.82** 0.85** 0.73** 0.58** 0.87** 0.88** 0.21 0.83** -0.12 0.68** 0.58** 0.60** 1 Keterangan: ** nilai-p 0.01

* 0.01 < nilai-p 0.05

Hasil interpretasi data melalui boxplot tidak dapat memberikan gambaran tentang keterkaitan antar peubah, untuk itu diperlukan analisis yang lebih menyeluruh agar memberikan interpretasi yang lebih lengkap. Keterkaitan antar peubah (mata kuliah dan IPK) dapat dilihat pada matriks korelasi Pearson pada Tabel 2 dan nilai-p diberikan pada Lampiran 2.

Peubah IP merupakan indikator dari keberhasilan mahasiswa dalam menyelesaikan studinya di perguruan tinggi. Korelasi peubah IP dengan peubah KW dan OR sebesar 0.21 dan 0.12 atau berdasarkan nilai-p ialah:

(19)

dan Seni dan Pengantar Kewirausahaan tidak terkait terhadap prestasi mata kuliah lain juga terhadap pencapaian IPK.

Gambaran umum mutu pendidikan mahasiswa BUD DEPAG dari beberapa provinsi dapat dilihat pada pencapaian prestasi di TPB IPB. IPK mahasiswa BUD DEPAG tiap provinsi disajikan pada Gambar 2.

Lima provinsi mahasiswa BUD DEPAG yang menempati rata-rata IPK teratas yaitu BALI sebesar 3.67, DKI JAKARTA sebesar 3.58, DIY sebesar 3.50, LAMPUNG sebesar 3.33, dan JATENG sebesar 3.14. Lima

provinsi mahasiswa BUD DEPAG yang menempati rata-rata IPK terbawah yaitu NAD sebesar 2.63, NTB sebesar 2.53, SULSEL sebesar 2.42, JAMBI sebesar 2.33, dan GORONTALO sebesar 1.53.

Provinsi NAD, SUMUT, DKI JAKARTA, JABAR, dan JATENG terlihat kemiringan pola sebaran datanya negatif. Hal ini menunjukkan bahwa rata-rata dari peubah terletak di bawah mediannya. Sedangkan provinsi selainnya kemiringan pola sebaran datanya simetri atau mediannya hampir sama dengan rata-rata. GO RO NT ALO SUL BAR SU LSEL NTB BALI JAT IM DIY JAT ENG BA NTE N JABA R DKI JAK AR TA LAM PUNG SU MS EL JAM BI RIA U SU MBA R SU MUT NAD 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 I P K

Gambar 2 Gambaran perolehan IPK mahasiswa BUD DEPAG berdasarkan provinsi.

Analisis Biplot

Pengelompokan provinsi didasarkan pada hasil rata-rata koordinat objek yang diperoleh dalam analisis biplot dengan menggunakan data lengkap, yaitu 69 mahasiswa BUD DEPAG yang berasal dari 18 provinsi (gambaran objek) dan 15 nilai mata kuliah dan IPK (gambaran peubah). Berdasarkan hasil analisis biplot dengan data lengkap diperoleh koordinat objek dan koordinat peubah. Hasil koordinat biplot yang diperoleh terdapat pada Lampiran 3.

Berdasarkan Gambar 3 panjang vektor PM, FI, KA, dan BI cenderung lebih panjang dari peubah lainnya menunjukkan tingkat keragamannya lebih tinggi dibandingkan lainnya. Peubah KW dan OR digambarkan dengan vektor yang lebih pendek dari peubah lainnya menunjukkan peubah-peubah ini

memiliki keragaman relatif kecil dibandingkan dengan yang lainnya.

Analisis Biplot Imbuhan

Analisis biplot imbuhan merupakan modifikasi dari analisis biplot biasa yang memberikan gambaran ragam seperti yang diperoleh dari data. Berdasarkan pembahasan awal tentang rumusan umum analisis biplot imbuhan menghasilkan hubungan koordinat peubah antara biplot biasa dan biplot imbuhan yaitu

… …

…

(20)

diagonal yang diperoleh terdapat pada Lampiran 3.

Berdasarkan Gambar 3 panjang vektor PM, FI, KA, dan EK cenderung lebih panjang dari peubah lainnya menunjukkan tingkat keragamannya lebih tinggi dibandingkan lainnya. Peubah OR digambarkan dengan vektor yang lebih pendek dari peubah lainnya menunjukkan peubah ini memiliki keragaman

relatif kecil dibandingkan dengan yang lainnya.

Konstanta pengali dalam analisis biplot imbuhan dapat terlihat dari matriks diagonal pada Lampiran 3. Peubah OR dan KW menghasilkan dua konstanta pengali terbesar, sehingga dapat dilihat pada Gambar 3 terdapat imbuhan yang lebih panjang dibandingkan dengan peubah lainnya.

Gambar 3 Biplot biasa dan imbuhan dengan .

Analisis Biplot Biasa dan Analisis Biplot Imbuhan

Hasil gabungan analisis biplot biasa dan analisis biplot imbuhan dapat dilihat pada Gambar 3 dan gambar tersebut dengan ukuran yang lebih besar diberikan pada Lampiran 4.

Sudut terkecil dari peubah IP dibentuk oleh peubah EK, KI, ID, dan AG. Hal ini menunjukkan semakin tinggi IPK yang diperoleh maka besar kemungkinan mendapatkan nilai Kimia, Ekonomi Umum, Bahasa Indonesia, dan Agama yang tinggi pula. Sedangkan untuk peubah IP dan OR memiliki korelasi negatif karena sudut yang dibentuk agak tumpul dibandingkan dengan peubah lainnya.

Sebagian besar hasil korelasi yang terlihat pada Gambar 3 hampir sama dengan hasil korelasi Pearson. Namun, terdapat beberapa perbedaan dalam korelasi antara peubah IP dengan beberapa peubah lainnya, misalnya korelasi antara IP dengan AG berdasarkan

korelasi Pearson sebesar 0.42** dan korelasi antara IP dengan BI berdasarkan korelasi Pearson sebesar 0.81** tetapi berdasarkan analisis biplot korelasi antara IP dengan AG lebih besar dibanding korelasi antara IP dengan BI. Hal ini disebabkan oleh adanya proses reduksi dimensi dengan pendekatan yang lebih rendah dalam analisis biplot.

Dalam biplot, kedekatan objek dan peubah ditunjukkan oleh letak objek tersebut terhadap vektor peubah. Jika posisi objek sepihak dengan arah vektor peubah maka objek tersebut bernilai di atas rata-rata, jika berlawanan maka nilainya di bawah rata-rata, dan jika hampir di tengah-tengah maka mendekati rata-rata.

(21)

• Kelompok 1: BALI (14), DKI JAKARTA (8), dan DIY (12). Kelompok ini berada searah dengan beberapa vektor peubah serta termasuk tiga provinsi unggulan dalam perolehan IPK (IPK 3.50 , terlihat dalam letak objek yang berada paling atas dari vektor peubah IP .

• Kelompok 2: LAMPUNG (7), JATENG (11), RIAU (4), SUMSEL (6), JABAR (9), SUMBAR (3), dan SULBAR (17). Kelompok ini termasuk provinsi-provinsi yang memiliki IPK di atas atau sama dengan rata-rata, yaitu 2.86 IPK 3.50. Provinsi LAMPUNG (7) sangat unggul dalam mata kuliah Pengantar Kewirausahaan, Pengantar Matematika, Fisika, dan Kalkulus. Provinsi SUMSEL (6) dan SUMBAR (3) sangat unggul dalam mata kuliah Pengantar Ilmu Pertanian, Pengantar Kewarganegaraan, dan Sosiologi Umum. Provinsi JATENG (11), RIAU (4), JABAR (9), dan SULBAR (17) merupakan provinsi-provinsi yang menggerombol dengan pusat sumbu koordinat dan dekat dengan vektor-vektor peubah, sehingga provinsi-provinsi tersebut mempunyai prestasi rata-rata pada semua mata kuliah dan IPK.

• Kelompok 3: SUMUT (2), BANTEN (10), JATIM (13), NAD (1), NTB (15), SULSEL (16), dan JAMBI (5). Kelompok ini termasuk kelompok yang memiliki IPK di bawah rata-rata, yaitu 2.00 IPK 2.86. Provinsi SUMUT (2), BANTEN (10), JATIM (13), dan NAD (1) merupakan provinsi-provinsi yang hampir berada di tengah-tengah peubah dan sangat unggul untuk mata kuliah Olahraga dan Seni. Provinsi NTB (15) merupakan provinsi yang sangat unggul dalam mata kuliah Olahraga dan Seni serta Pengantar Ilmu Pertanian. Provinsi SULSEL (16) merupakan provinsi yang sangat unggul dalam mata kuliah Olahraga dan Seni. Provinsi JAMBI (5) merupakan provinsi yang sangat unggul dalam mata kuliah Olahraga dan Seni serta Pengantar Kewirausahaan.

• Kelompok 4: GORONTALO (18), provinsi ini memperoleh IPK terendah (IPK = 1.53 dan memiliki nilai yang paling rendah untuk sebagian besar mata kuliah, kecuali Olahraga dan Seni. Hal ini terlihat dalam biplot bahwa GORONTALO (18) searah dengan vektor peubah OR tetapi berlawanan arah untuk vektor peubah lainnya.

Ukuran Kesesuaian Analisis Biplot Menggunakan GF Gabriel dan Analisis Procrustes

Tabel 3 Ukuran kesesuaian biplot biasa dan biplot imbuhan.

Matriks GF

Gabriel

GF Analisis Procrustes Biplot Biasa Biplot

Imbuhan

Data 70.54% 70.54% 70.54% Peubah 97.72% 97.95% 99.56%

Objek 61.09% 61.09% 61.09%

Dari Tabel 3 terlihat bahwa ukuran kesesuaian untuk matriks data dan objek menggunakan rumusan umum GF Gabriel, konfigurasi matriks menggunakan analisis procrustes baik biplot biasa maupun biplot imbuhan mempunyai ukuran kesesuaian yang sama yaitu 70.54% dan 61.09%. Namun, terdapat perbedaan untuk matriks peubah biplot biasa dengan rumusan umum GF Gabriel dan menggunakan analisis procrustes. Ukuran kesesuaian menggunakan analisis procrustes lebih besar dibandingkan dengan

ukuran kesesuaian menggunakan rumusan GF Gabriel.

(22)

SIMPULAN

Dari hasil penelitian ini dapat diambil simpulan, yaitu:

1. Ukuran kesesuaian analisis biplot imbuhan diperoleh melalui analisis procrustes. Khusus untuk matriks peubah digunakan matriks pendekatan yang telah disesuaikan sehingga gambaran ragam peubah sama dengan ragam yang diperoleh dari data. 2. Analisis biplot biasa dan imbuhan

memberikan GF 70.54% untuk matriks data dan 61.09% untuk matriks objek dengan menggunakan rumusan umum GF Gabriel dan analisis procrustes.

3. Dalam analisis biplot biasa, GF matriks peubah ialah 97.72% dengan menggunakan rumusan umum Gabriel dan 97.95% dengan menggunakan analisis procrustes. Bagi analisis biplot imbuhan, tambahan GF matriks peubah yang diperoleh melalui analisis procrustes hanya sebesar 1.61%.

4. IPK sangat berkorelasi pada mata kuliah Biologi, Ekonomi Umum, Fisika, Kalkulus, Kimia, dan Pengantar Matematika dengan nilai lebih atau sama dengan 0.80**. Namun, IPK tidak berkorelasi dengan nilai Pengantar Kewirausahaan dan Olahraga dan Seni dengan nilai kurang atau sama dengan 0.21.

5. Berdasarkan kedekatan antar provinsi dan keterkaitan provinsi dengan nilai mata kuliah dan IPK, provinsi tersebut dapat dikelompokkan menjadi empat kelompok. 6. Kelompok 1 (BALI, DKI JAKARTA, dan

DIY) merupakan provinsi-provinsi yang unggul dalam semua nilai mata kuliah dan

IPK 3.50. Kelompok ini merupakan kelompok yang memiliki prestasi paling baik di IPB.

7. Kelompok 2 (JATENG, RIAU, JABAR, SULBAR, LAMPUNG, SUMSEL, dan SUMBAR) termasuk kelompok yang memiliki IPK di atas atau sama dengan rata-rata, yaitu 2.86 IPK 3.50. JATENG, RIAU, JABAR, dan SULBAR merupakan provinsi-provinsi yang mempunyai prestasi rata-rata pada semua mata kuliah dan IPK. LAMPUNG sangat unggul dalam mata kuliah Pengantar Kewirausahaan, Pengantar Matematika, Fisika, dan Kalkulus. SUMSEL dan SUMBAR sangat unggul dalam mata kuliah Pengantar Ilmu Pertanian, Pengantar Kewarganegaraan, dan Sosiologi Umum.

8. Kelompok 3 (SUMUT, BANTEN, JATIM, NAD, NTB, SULSEL, dan JAMBI) termasuk kelompok yang memiliki IPK di bawah rata-rata, yaitu 2.00 IPK 2.86. Kelompok ini sangat unggul dalam mata kuliah Olahraga dan Seni atau Pengantar Kewirausahaan atau Pengantar Ilmu Pertanian.

(23)

DAFTAR PUSTAKA

Aitchison J, Greenacre M. 2002. Biplots for compositional data. Applied Statistics

51(part 4) : 375-392.

Ardana NKK. 2011. BiplotPack Versi 4.1.0 A Mathematica Package for Multivariate Data Visualization. Bogor: Departemen Matematika FMIPA IPB.

Bakhtiar T. 1995. Tinjauan terhadap urutan pengerjaan transformasi geometris pada analisis procrustes untuk mencari norma kuadrat perbedaan minimum [Skripsi]. Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.

Bakhtiar T, Siswadi. 2011. Orthogonal procrustes analysis: its transformation arrangement and minimal distance. Int. J. Appl. Math. Stat. No. M11 : 16-24.

Bartkowiak A, Szustalewicz A. 1995. The augmented biplot and some examples of its use. Machine Graphics & Vision 4 : 161-185.

Gabriel KR. 1971. The biplot graphic display of matrices with application to principal component analysis. Biometrika 58 : 453-467.

Gabriel KR. 2002. Goodness of fit of biplots and correspondence analysis. Biometrika

89 : 423-436.

Greenacre M. 2010. Biplot in Practice. South Africa: Foundation BBVA.

Jolliffe IT. 2002. Principal Component Analysis. 2nd Ed. Berlin: Springer-Verlag.

(24)

(25)

Lampiran 1 Data nilai mata kuliah dan IPK Mahasiswa BUD DEPAG TPB IPB 2009/2010

Kode Provinsi No AG BI EK FI ID IG KA KI KW PM OR PI SO PK IP

1 NAD

1 4.00 1.00 2.00 1.00 1.00 2.00 0.00 0.00 4.00 0.00 4.00 2.00 2.00 2.00 1.56 2 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 2.00 2.00 3.00 2.00 4.00 4.00 3.00 2.00 2.75 3 4.00 3.00 4.00 4.00 4.00 4.00 3.00 3.00 4.00 3.00 4.00 4.00 4.00 3.00 3.58

2 SUMUT

1 4.00 3.00 4.00 2.00 3.00 4.00 2.00 1.00 3.00 2.00 4.00 3.00 3.00 3.00 2.86 2 4.00 4.00 4.00 3.00 4.00 4.00 3.00 3.00 4.00 4.00 4.00 3.00 3.00 3.00 3.53 3 4.00 1.00 2.00 1.00 3.00 2.00 1.00 1.00 3.00 1.00 4.00 3.00 2.00 2.00 1.94

3 SUMBAR 1 3.00 2.00 4.00 2.00 3.00 3.00 1.00 2.00 4.00 2.00 4.00 3.00 3.00 2.00 2.56 2 4.00 3.00 4.00 3.00 4.00 4.00 2.00 3.00 4.00 2.00 4.00 4.00 4.00 3.00 3.33 4 RIAU 1 3.00 3.00 4.00 3.00 3.00 3.00 2.00 3.00 4.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.03 5 JAMBI 1 3.00 2.00 3.00 2.00 3.00 2.00 2.00 2.00 4.00 2.00 4.00 2.00 2.00 2.00 2.33 6 SUMSEL 1 4.00 4.00 4.00 2.00 3.00 3.00 2.00 3.00 3.00 2.00 4.00 3.00 3.00 3.00 3.03 7 LAMPUNG 1 4.00 3.00 4.00 4.00 4.00 3.00 3.00 2.00 3.00 4.00 4.00 3.00 3.00 3.00 3.33

8 DKI JAKARTA

1 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 3.00 3.00 4.00 3.00 4.00 3.81 2 3.00 3.00 4.00 3.00 3.00 4.00 2.00 2.00 4.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.03 3 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 3.00 4.00 3.00 4.00 3.89

9 JABAR

(26)

Kode Provinsi No AG BI EK FI ID IG KA KI KW PM OR PI SO PK IP

6 4.00 3.00 4.00 3.00 4.00 3.00 3.00 2.00 4.00 4.00 4.00 3.00 3.00 3.00 3.28 7 4.00 2.00 4.00 4.00 3.00 4.00 4.00 3.00 4.00 4.00 4.00 3.00 3.00 2.00 3.39 8 3.00 4.00 3.00 3.00 2.00 4.00 2.00 2.00 4.00 4.00 4.00 3.00 3.00 3.00 3.08 9 3.00 2.00 2.00 1.00 3.00 2.00 1.00 1.00 4.00 1.00 4.00 3.00 4.00 2.00 2.14 10 3.00 2.00 3.00 1.00 3.00 3.00 1.00 2.00 4.00 2.00 4.00 3.00 3.00 2.00 2.31 11 3.00 3.00 4.00 2.00 4.00 3.00 2.00 3.00 4.00 2.00 4.00 3.00 3.00 3.00 2.94 12 4.00 4.00 4.00 3.00 4.00 4.00 3.00 3.00 4.00 3.00 4.00 3.00 3.00 3.00 3.44 13 4.00 2.00 4.00 2.00 3.00 3.00 2.00 3.00 4.00 2.00 4.00 3.00 3.00 3.00 2.89 14 4.00 3.00 4.00 4.00 3.00 3.00 2.00 3.00 3.00 3.00 4.00 3.00 3.00 3.00 3.19 15 3.00 2.00 2.00 2.00 3.00 3.00 2.00 2.00 3.00 2.00 4.00 2.00 2.00 2.00 2.31 16 4.00 2.00 3.00 1.00 3.00 4.00 2.00 2.00 3.00 3.00 4.00 3.00 3.00 3.00 2.78 17 4.00 4.00 4.00 3.00 3.00 3.00 2.00 3.00 4.00 2.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.11 18 4.00 3.00 4.00 4.00 4.00 3.00 3.00 3.00 4.00 4.00 4.00 3.00 3.00 2.00 3.36

10 BANTEN

1 4.00 1.00 4.00 3.00 3.00 4.00 1.00 2.00 4.00 4.00 4.00 1.00 3.00 2.00 2.78 2 4.00 3.00 4.00 3.00 3.00 3.00 2.00 3.00 3.00 2.00 4.00 4.00 3.00 3.00 3.08 3 3.00 3.00 3.00 2.00 4.00 4.00 1.00 2.00 4.00 1.00 4.00 3.00 3.00 2.00 2.61 4 4.00 2.00 4.00 2.00 3.00 3.00 2.00 2.00 4.00 1.00 4.00 3.00 3.00 2.00 2.64 5 3.00 2.00 3.00 1.00 3.00 3.00 2.00 2.00 4.00 2.00 4.00 2.00 2.00 2.00 2.33

11 JATENG

(27)

6 3.00 2.00 2.00 4.00 2.00 4.00 3.00 2.00 4.00 4.00 4.00 2.00 3.00 3.00 2.94 12 DIY 1 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 3.00 3.00 4.00 4.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.50

13 JATIM

(28)

2 3.00 2.00 3.00 2.00 3.00 3.00 2.00 2.00 3.00 1.00 4.00 2.00 3.00 3.00 2.47 17 SULBAR 1 4.00 2.00 4.00 2.00 4.00 3.00 2.00 2.00 4.00 3.00 4.00 3.00 3.00 2.00 2.86

18 GORONTALO 1 3.00 1.00 1.00 1.00 2.00 2.00 0.00 1.00 4.00 0.00 3.00 1.00 2.00 2.00 1.53

(29)

Lampiran 2 Korelasi antar peubah dan signifikansinya menggunakan software MINITAB 15

Correlations: AG; BI; EK; FI; ID; IG; KA; KI; KW; PM; OR; PI; SO; PK; IPK

AG BI EK FI ID IG KA KI KW PM OR PI SO PK IP AG 1.000

0.000

BI 0.246 1.000 0.042 0.000

EK 0.319 0.604 1.000 0.008 0.000 0.000

FI 0.258 0.639 0.613 1.000 0.032 0.000 0.000 0.000

ID 0.388 0.528 0.656 0.503 1.000 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000

IG 0.298 0.406 0.398 0.429 0.351 1.000 0.013 0.001 0.001 0.000 0.003 0.000

KA 0.326 0.627 0.687 0.787 0.625 0.404 1.000 0.006 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.000

KI 0.289 0.764 0.715 0.737 0.647 0.362 0.766 1.000 0.016 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.000 0.000

KW 0.019 0.016 0.237 0.130 0.216 0.140 0.157 0.190 1.000 0.876 0.898 0.050 0.288 0.075 0.250 0.197 0.118 0.000

PM 0.260 0.529 0.631 0.773 0.559 0.519 0.777 0.657 0.272 1.000 0.031 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.024 0.000

OR 0.030 -0.160 -0.145 -0.140 -0.109 0.093 -0.120 -0.237 -0.239 -0.091 1.000 0.805 0.188 0.235 0.251 0.374 0.449 0.326 0.050 0.048 0.456 0.000

PI 0.278 0.650 0.588 0.472 0.543 0.312 0.521 0.588 0.063 0.395 0.047 1.000 0.021 0.000 0.000 0.000 0.000 0.009 0.000 0.000 0.604 0.001 0.701 0.000

SO 0.158 0.474 0.489 0.404 0.510 0.332 0.340 0.422 0.144 0.408 0.062 0.489 1.000 0.195 0.000 0.000 0.001 0.000 0.005 0.004 0.000 0.239 0.000 0.615 0.000 0.000

PK 0.287 0.600 0.326 0.443 0.313 0.401 0.419 0.577 -0.011 0.380 -0.133 0.496 0.329 1.000 0.017 0.000 0.006 0.000 0.009 0.001 0.000 0.000 0.930 0.001 0.275 0.000 0.006 0.000

IP 0.420 0.807 0.818 0.851 0.733 0.583 0.869 0.877 0.206 0.831 -0.120 0.684 0.576 0.603 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.090 0.000 0.325 0.000 0.000 0.000 0.000

Cell Contents: Pearson correlation P-Value

(30)

Lampiran 3 Koordinat biplot

a. Biplot biasa

Koordinat Objek

Provinsi No

NAD 1 -0.2692 0.0167 2 -0.0075 -0.0687 3 0.13045 -0.031

SUMUT

1 -0.0183 -0.0699 2 0.13022 0.0332 3 -0.1778 -0.0181

SUMBAR 1 -0.0543 -0.0285 2 0.06957 -0.1774 RIAU 1 0.0489 0.0048 JAMBI 1 -0.0783 0.097 SUMSEL 1 0.0259 -0.1932 LAMPUNG 1 0.10539 0.1365

DKI JAKARTA

1 0.18549 -0.093 2 0.03904 0.0417 3 0.20667 -0.0133

JABAR

1 0.05144 -0.0548 2 -0.0793 -0.0976 3 0.16239 0.0198 4 0.02541 0.0589 5 0.04312 0.0812 6 0.08774 0.1092 7 0.11821 0.268 8 0.04617 0.1086 9 -0.1496 -0.1053 10 -0.0927 -0.0425 11 0.01893 -0.1355 12 0.10892 -0.0465 13 -0.0045 -0.0616 14 0.07047 0.0245 15 -0.0897 0.1202 16 -0.0326 0.0288 17 0.04856 -0.1427 18 0.11829 0.1481

Provinsi No

BANTEN

1 -0.0168 0.03521 2 0.04014 -0.1541 3 -0.0568 -0.1549 4 -0.051 -0.0885 5 -0.0899 0.0683

JATENG

1 0.02711 -0.096 2 -0.1014 0.0401 3 0.12515 -0.1869 4 0.10425 -0.0367 5 0.12915 0.2093 6 0.02505 0.3797 DIY 1 0.13941 -0.0448

JATIM

1 0.00083 0.0223 2 -0.2902 0.1393 3 -0.0646 -0.0301 4 -0.2696 -0.0505 5 -0.0936 -0.0705 6 0.04348 -0.1044 7 0.05033 0.2095 8 -0.2145 -0.1086 9 -0.0859 -0.1946 10 -0.2012 -0.1295 11 0.12533 -0.1637 12 0.03396 0.0801 13 -0.0593 0.0351 14 0.14933 -0.1042 15 0.04171 0.0086 16 0.0099 0.1042 17 0.19857 0.0135 BALI 1 0.16461 -0.0181

NTB 1 -0.2299 0.1534 2 0.0817 -0.085

(31)

Koordinat objek (pengelompokan provinsi)

Kode Provinsi

1 NAD -0.04872 -0.02765 2 SUMUT -0.02194 -0.01825 3 SUMBAR 0.00765 -0.10294 4 RIAU 0.04890 0.00479 5 JAMBI -0.07825 0.09698 6 SUMSEL 0.02590 -0.19319 7 LAMPUNG 0.10539 0.13645 8 DKI JAKARTA 0.14373 -0.02151 9 JABAR 0.02507 0.01560 10 BANTEN -0.03488 0.00460 11 JATENG 0.05155 0.05159 12 DIY 0.13941 -0.04475 13 JATIM -0.03679 -0.02021 14 BALI 0.16461 -0.01810 15 NTB -0.07410 0.03420 16 SULSEL -0.09299 -0.01068 17 SULBAR 0.00330 0.04899 18 GORONTALO -0.27046 0.06002

Koordinat peubah

peubah

(32)

b. Biplot imbuhan

Koordinat peubah imbuhan

peubah

(33)

Matriks H untuk biplot biasa yaitu

. .

. ,

. .

dengan matriks diagonal (C) yaitu

.

(34)

Lampiran 4 Biplot biasa dan imbuhan dengan

(35)

Lampiran 5 Program ukuran kesesuaian dengan menggunakan analisis procrustes.

In[1]:= Xbintang Import "D: matriksY.xls" 1 ;

In[2]:= meanCentering dat_? MatrixQ :

Table dat i,j  Mean dat j , i, Dimensions dat 1 , j, Dimensions dat 2

In[3]:= GF1 dat_? MatrixQ : Module X,r,ULA,Y,XT,YT,DNS,Qt,gf ,

X meanCentering dat ; r Dimensions dat 2 ;

ULA SingularValueDecomposition X, 2 ; Y ULA 1 .Transpose ULA 3 .ULA 2 ; XT meanCentering X ;

YT meanCentering Y ;

DNS SingularValueDecomposition Transpose XT .YT,r ; Qt DNS 1 .Transpose DNS 3 ;

gf 1

Tr XT.Transpose XT 

Tr XT.Qt .Transpose YT ^ 2 Tr YT.Transpose YT

Tr X.Transpose X ;

gf

In[4]:= GF1 Xbintang ;

In[5]:= GFd NumberForm GF1 Xbintang , 4 ;

In[6]:= GF2 dat_? MatrixQ : Module X,r,ULA,Y,XT,YT,DNS,Qt,gf ,

X meanCentering dat . Transpose meanCentering dat ; r Dimensions dat 2 ;

ULA SingularValueDecomposition meanCentering dat , 2 ; Y ULA 1 .Transpose ULA 1 ;

XT meanCentering X ;

YT meanCentering Y ;

DNS SingularValueDecomposition Transpose XT .YT,r ; Qt DNS 1 .Transpose DNS 3 ;

gf 1

Tr XT.Transpose XT 

Tr XT.Qt .Transpose YT ^ 2 Tr YT.Transpose YT

Tr X.Transpose X ;

gf

(36)

In[9]:= GF3

@

dat_? MatrixQ

D

:=Module

@8

X,r,ULA,Y,XT,YT,DNS,Qt,gf

<

, X=Transpose

@

meanCentering

@

dat

DD

.meanCentering

@

dat

D

; r=Dimensions

@

dat

D@@

2

DD

;

ULA=SingularValueDecomposition

@

meanCentering

@

dat

D

, 2

D

; Y=

H

ULA

@@

3

DD

.ULA

@@

2

DDL

.

H

Transpose

@

ULA

@@

3

DD

.ULA

@@

2

DDDL

; XT=meanCentering

@

X

D

;

YT=meanCentering

@

Y

D

;

DNS=SingularValueDecomposition

@

Transpose

@

XT

D

.YT,r

D

; Qt=DNS

@@

1

DD

.Transpose

@

DNS

@@

3

DDD

;

gf=

1

HH

-Tr

@

HHH

XT.Transpose

@

XT

DD

-Tr

@H

XT.Qt

L

.Transpose

@

YT

DDL

^ 2

L H

Tr

@

YT.Transpose

@

YT

DDLLL

H

Tr

@

X.Transpose

@

X

DDLL

;

gf

D

In[11]:= GFp NumberForm GF3 Xbintang , 4 ;

In[12]:= GF4

@

dat_? MatrixQ

D

:=

Module

@8

X, r, ULA1, H, ULA2, B, c, diagonal, diagonal1,

diagonal2, Y, XT, YT, DNS, Qt, gf

<

,

X = Transpose

@

meanCentering

@

dat

DD

.meanCentering

@

dat

D

; r = Dimensions

@

dat

D@@

2

DD

;

ULA1 = SingularValueDecomposition

@

meanCentering

@

dat

D

, r

D

; H = ULA1

@@

3

DD

.ULA1

@@

2

DD

;

ULA2 = SingularValueDecomposition

@

meanCentering

@

dat

D

, 2

D

; B = ULA2

@@

3

DD

.ULA2

@@

2

DD

;

c

@

n_

D

:=

HH

Norm ž H

L@@

n

DDL HH

Norm ž B

L@@

n

DDL

;

diagonal = DiagonalMatrix

@

Table

@

c

@

n

D

,

8

n, Dimensions

@

dat

D@@

2

DD<DD

;

diagonal1 = diagonal .

8

0. - > 1

<

;

diagonal2 = diagonal1^ 2;

Y = B.Transpose

@

B

D

*diagonal2;

XT = meanCentering

@

X

D

; YT = meanCentering

@

Y

D

;

DNS = SingularValueDecomposition

@

Transpose

@

XT

D

.YT, r

D

; Qt = DNS

@@

1

DD

.Transpose

@

DNS

@@

3

DDD

;

gf =

1

HH

-Tr

@

HHH

XT.Transpose

@

XT

DD

-Tr

@H

XT.Qt

L

.Transpose

@

YT

DDL

^ 2

L H

Tr

@

YT.Transpose

@

YT

DDLLL

H

Tr

@

X.Transpose

@

X

DDLL

;

gf

D

In[14]:= GFpi NumberForm GF4 Xbintang , 4 ;

In[15]:= GF=

8

GFdata® GFd,GFobjek® GFo,GFpeubah® GFp,GFpeubahimbuhan® GFpi

<

(37)

ABSTRAK

MARIYAM. Ukuran Kesesuaian dalam Analisis Biplot Biasa dan Analisis Biplot Imbuhan. Dibimbing oleh SISWADI dan NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA.

Biplot imbuhan merupakan modifikasi dari biplot biasa yang memberikan gambaran ragam seperti yang diperoleh dari data. Ukuran kesesuaian (GF) analisis biplot diberikan oleh Gabriel pada tahun 2002. Gambaran posisi prestasi mahasiswa Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Institut Pertanian Bogor (BUD DEPAG IPB) digunakan untuk memperoleh pemetaan provinsi. Data yang digunakan dalam penelitian ini yaitu nilai 14 mata kuliah dan IPK mahasiswa BUD DEPAG TPB IPB tahun akademik 2009/2010. Dalam studi ini, ditelusuri terlebih dahulu rumusan umum analisis biplot imbuhan dan GF analisis biplot dengan menggunakan analisis procrustes. Data dieksplorasi dengan menggunakan boxplot dan matriks korelasi Pearson. Analisis biplot biasa dan imbuhan memberikan GF sebesar 70.54% untuk matriks data dan 61.09% untuk matriks objek dengan menggunakan rumusan umum GF Gabriel dan analisis procrustes. Dalam analisis biplot biasa, GF matriks peubah sebesar 97.72% dengan menggunakan rumusan umum Gabriel dan 97.95% dengan menggunakan analisis procrustes. Dalam analisis biplot imbuhan, tambahan GF matriks peubah yang diperoleh melalui analisis procrustes hanya sebesar 1.61%. Berdasarkan kedekatan antar provinsi dan keterkaitan provinsi dengan nilai mata kuliah dan IPK, provinsi tersebut dapat dikelompokkan menjadi empat kelompok. Hasil studi ini diharapkan dapat memberikan masukan dalam memperoleh gambaran keunggulan dan kekurangan dari setiap provinsi untuk upaya perbaikan mutu pendidikan Madrasah Aliyah.

(38)

ABSTRACT

MARIYAM. Goodness of Fit of Classical and Augmented Biplot Analysis. Supervised by

SISWADI and NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA.

Augmented biplot is a modification of the classical biplot that gives the same variance as obtained from the data. Goodness of fit (GF) of biplot analysis was formulated by Gabriel in 2002. The data of IPB students achievement who receive provincial representing scholarship from the Ministry of Religious Affairs (BUD DEPAG IPB) are used for provincial mapping. The data used in this study are scores of 14 subjects and GPA from BUD DEPAG IPB first year students in 2009/2010 academic year. In this study, general formulation for augmented biplot and GF of biplot analysis is derived from procrustes analysis. Data are explored using boxplot and Pearson’s correlation matrix. The classical and augmented biplot give the same GF values for data and object matrix, i.e. 70.54% and 61.09% respectively, both using Gabriel’s formula and procrustes analysis. In classical biplot analysis, GF for variable matrix derived from Gabriel’s formula and procrustes analysis are 97.72% and 97.95% respectively. In augmented biplot analysis, additional GF for variable matrix obtained by procrustes analysis is only 1.61%. Based on the proximity among provinces and the interrelationship of provinces with score of subjects and GPA, these provinces can be grouped into four groups. Result of this study is expected to provide information of advantages and disadvantages for each province in order to improve Islamic High School educational quality.

(39)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Tujuan

LANDASAN ANALISIS

Analisis Biplot

Analisis biplot pertama kali diperkenalkan oleh Gabriel pada tahun 1971. Elaborasi analisis biplot secara komprehensif diberikan oleh Greenacre pada tahun 2010. Biplot berupa suatu peragaan

(40)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Tujuan

LANDASAN ANALISIS

Analisis Biplot

Analisis biplot pertama kali diperkenalkan oleh Gabriel pada tahun 1971. Elaborasi analisis biplot secara komprehensif diberikan oleh Greenacre pada tahun 201