Dalam pembahasan ini, diperkenalkan matriks H dari hasil dekomposisi nilai singular dengan menggunakan dari hasil biplot biasa. Matriks H
merepresentasikan gambaran suatu peubah. Bentuk umum matriks H berukuran
, yaitu p … … … … (21) kemudian dilakukan pendekatan dengan menggunakan dua kolom pertama dari matriks
H,, yaitu matriks B mempunyai bentuk umum sebagai berikut:
p (22)
Matriks H juga didekati dengan matriks berukuran yang merupakan pendekatan untuk modifikasi biplot yang lebih dikenal dengan biplot imbuhan dan mempunyai bentuk umum:
p (23)
Hubungan antara matriks dengan matriks adalah p = p p , dengan C
adalah matriks diagonal
… … …
dengan
T merupakan matriks T yang elemen-elemen diagonal utamanya digantikan oleh elemen-elemen diagonal utamanya matriks T .
Rumusan Umum Ukuran Kesesuaian dengan Analisis Procrustes
Ukuran kesesuaian matriks data, objek dan peubah dalam analisis biplot biasa dan analisis
biplot imbuhan dapat diperoleh dengan menggunakan nilai perbedaan minimum dalam analisis procrustes. Hal ini dilakukan dengan menggunakan tiga transformasi geometris, yaitu translasi, rotasi dan dilasi.
Algoritme untuk menghitung ukuran kesesuaian dengan analisis procrustes:
1. Misalkan suatu konfigurasi matriks berukuran dan Y konfigurasi matriks pendekatannya.
2. Menghitung sentroid kolom dari masing-masing konfigurasi, yaitu dan , dengan rumus T dan
T .
3. Menghitung konfigurasi X dan konfigurasi
Y setelah ditranslasi, yaitu T dan T dengan rumus T dan
T .
4. Menghitung nilai perbedaan minimum setelah penyesuaian translasi, yaitu
, T, T
5. Andaikan KM T dari hasil DNSBL TT T, maka matriks ortogonal
T.
6. Menghitung nilai perbedaan minimum setelah penyesuaian rotasi, yaitu
T, T tr T T T T T
tr T TT tr T TT
tr T T TT .
7. Menghitung konstanta c untuk transformasi dilasi, yaitu
tr T T TT
tr T TT
8. Menghitung nilai perbedaan minimum setelah penyesuaian dilasi, yaitu
T, c T tr T TT
tr T T TT
tr T TT
dengan mensubstitusi hasil c pada langkah di atas, maka
T, c T tr T TT
tr T T TT
tr T TT 9. Menghitung ukuran kesesuaian, yaitu
Secara umum, ukuran kesesuaian dalam analisis biplot dengan menggunakan analisis procrustes adalah sebagai berikut :
GF , tr T TT tr T TT tr T T TT
tr T tr T TT
Secara khusus, ukuran kesesuaian dalam analisis biplot dengan menggunakan analisis procrustes adalah sebagai berikut:
a. Matriks data: GF , T tr T TT tr T T T TT tr T T T TT tr T tr T T T TT Matriks objek: GF T, T tr T T T TT tr T T T TT tr T T T T TT tr T T T tr T T T TT b. Matriks peubah: GF T , T tr T T T TT tr T T T TT tr T T T T TT tr T T T tr T T T TT c. Matriks peubah imbuhan:
GF T , T tr T T T TT tr T T T TT tr T T T T TT tr T T T tr T T T T T Eksplorasi Data PM KI KA IP PK SO PI IG ID FI BI OR KW EK AG 4 3 2 1 0 D a t a 69 64 49 47 147 14749535569 67 63 56 54 53 49 47 35 31 30 29 12 11 6 4 2 913141532455052616569 49 1 69 67 66 64 62 60 59 56 53 52 50 49 47 44 41 39 38 35 34 30 15 13 10 8 3 2 1 58616469 56 55 54 49 47 42 40 39 38 30 24 20 18 17 10 8 6 3 1
Gambaran peubah mata kuliah dan IPK yang ditata berdasarkan median tiap peubah disajikan sebagai boxplot yang diberikan pada Gambar 1.
Boxplot merupakan salah satu teknik untuk memberikan gambaran tentang pemusatan data, rentang penyebaran, dan kemiringan pola sebaran. Dari boxplot di atas dapat dilihat keragaman dan data pencilan. Peubah AG, BI, FI, IG, PK, IP, dan KA tidak mempunyai pencilan. Pencilan pada peubah KW, OR, PI, SO, dan PM sulit untuk dilihat dari gambar, hal ini disebabkan oleh data (objek) yang digunakan dalam jumlah besar. Mahasiswa 47 (JATIM2), 49 (JATIM4), 69 (GORONTALO) hampir mendominasi sebagai pencilan bawah di beberapa peubah.
Peubah KA memiliki keragaman yang lebih tinggi dibandingkan dengan peubah lainnya, sedangkan peubah KW dan OR cenderung memiliki keragaman yang kecil bahkan cenderung homogen, yaitu dengan nilai mutu A dan B. Peubah AG, EK, OR, KW, BI, FI, PI, SO, dan PK terlihat kemiringan pola sebaran datanya negatif. Hal ini menunjukkan bahwa rata-rata dari peubah terletak di bawah mediannya. Untuk peubah ID, IG, KI, dan PM terlihat kemiringan pola sebaran datanya positif, hal ini mengindikasikan bahwa rata-rata peubah tersebut lebih besar dari pada mediannya. Peubah IP dan KA kemiringan pola sebaran datanya simetri atau mediannya hampir sama dengan rata-rata.
Tabel 2 Matriks korelasi Pearson
AG BI EK FI ID IG KA KI KW PM OR PI SO PK IP AG 1 BI 0.25* 1 EK 0.32** 0.60** 1 FI 0.26* 0.64** 0.61** 1 ID 0.39** 0.53** 0.66** 0.50** 1 IG 0.30** 0.41** 0.40** 0.43** 0.35** 1 KA 0.33** 0.63** 0.69** 0.79** 0.63** 0.40** 1 KI 0.29* 0.76** 0.72** 0.74** 0.65** 0.36** 0.77** 1 KW 0.02 0.02 0.24 0.13 0.22 0.14 0.16 0.19 1 PM 0.26* 0.53** 0.63** 0.77** 0.56** 0.52** 0.78** 0.66** 0.27* 1 OR 0.03 -0.16 -0.15 -0.14 -0.11 0.09 -0.12 -0.24* -0.24* -0.09 1 PI 0.28* 0.65** 0.59** 0,47** 0.54** 0.31** 0.52** 0.59** 0.06 0.40** 0.05 1 SO 0.16 0.47** 0.49** 0.40** 0.51** 0.33** 0.34** 0.42** 0.14 0.41** 0.06 0.49** 1 PK 0.29* 0.60** 0.33** 0.44** 0.31** 0.40** 0.42** 0.58** -0.01 0.38** -0.13 0.50** 0.33** 1 IP 0.42** 0.81** 0.82** 0.85** 0.73** 0.58** 0.87** 0.88** 0.21 0.83** -0.12 0.68** 0.58** 0.60** 1 Keterangan: ** nilai-p 0.01 * 0.01 < nilai-p 0.05
Hasil interpretasi data melalui boxplot tidak dapat memberikan gambaran tentang keterkaitan antar peubah, untuk itu diperlukan analisis yang lebih menyeluruh agar memberikan interpretasi yang lebih lengkap. Keterkaitan antar peubah (mata kuliah dan IPK) dapat dilihat pada matriks korelasi Pearson pada Tabel 2 dan nilai-p diberikan pada Lampiran 2.
Peubah IP merupakan indikator dari keberhasilan mahasiswa dalam menyelesaikan studinya di perguruan tinggi. Korelasi peubah IP dengan peubah KW dan OR sebesar 0.21 dan 0.12 atau berdasarkan nilai-p ialah:
0.090 dan 0.325. Artinya IPK tidak berkorelasi dengan nilai Pengantar Kewirausahaan dan Olahraga dan Seni. Namun, IPK sangat berkorelasi nyata dengan hampir semua peubah. Dilihat dari Tabel 2, IPK sangat berkorelasi pada mata kuliah Biologi, Ekonomi Umum, Fisika, Kalkulus, Kimia, dan Pengantar Matematika dengan nilai lebih atau sama dengan 0.80**. Peubah Olahraga dan Seni (OR) dan Pengantar Kewirausahaan (KW) memiliki korelasi yang sangat kecil dengan peubah lainnya dengan nilai kurang atau sama dengan 0.24, hal ini menunjukkan bahwa mata kuliah Olahraga
dan Seni dan Pengantar Kewirausahaan tidak terkait terhadap prestasi mata kuliah lain juga terhadap pencapaian IPK.
Gambaran umum mutu pendidikan mahasiswa BUD DEPAG dari beberapa provinsi dapat dilihat pada pencapaian prestasi di TPB IPB. IPK mahasiswa BUD DEPAG tiap provinsi disajikan pada Gambar 2.
Lima provinsi mahasiswa BUD DEPAG yang menempati rata-rata IPK teratas yaitu BALI sebesar 3.67, DKI JAKARTA sebesar 3.58, DIY sebesar 3.50, LAMPUNG sebesar 3.33, dan JATENG sebesar 3.14. Lima
provinsi mahasiswa BUD DEPAG yang menempati rata-rata IPK terbawah yaitu NAD sebesar 2.63, NTB sebesar 2.53, SULSEL sebesar 2.42, JAMBI sebesar 2.33, dan GORONTALO sebesar 1.53.
Provinsi NAD, SUMUT, DKI JAKARTA, JABAR, dan JATENG terlihat kemiringan pola sebaran datanya negatif. Hal ini menunjukkan bahwa rata-rata dari peubah terletak di bawah mediannya. Sedangkan provinsi selainnya kemiringan pola sebaran datanya simetri atau mediannya hampir sama dengan rata-rata. GO RO NT ALO SUL BAR SU LSEL NTB BALI JAT IM DIY JAT ENG BA NTE N JABA R DKI JAK AR TA LAM PUNG SU MS EL JAM BI RIA U SU MBA R SU MUT NAD 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 I P K
Gambar 2 Gambaran perolehan IPK mahasiswa BUD DEPAG berdasarkan provinsi.
Analisis Biplot
Pengelompokan provinsi didasarkan pada hasil rata-rata koordinat objek yang diperoleh dalam analisis biplot dengan menggunakan data lengkap, yaitu 69 mahasiswa BUD DEPAG yang berasal dari 18 provinsi (gambaran objek) dan 15 nilai mata kuliah dan IPK (gambaran peubah). Berdasarkan hasil analisis biplot dengan data lengkap diperoleh koordinat objek dan koordinat peubah. Hasil koordinat biplot yang diperoleh terdapat pada Lampiran 3.
Berdasarkan Gambar 3 panjang vektor PM, FI, KA, dan BI cenderung lebih panjang dari peubah lainnya menunjukkan tingkat keragamannya lebih tinggi dibandingkan lainnya. Peubah KW dan OR digambarkan dengan vektor yang lebih pendek dari peubah lainnya menunjukkan peubah-peubah ini
memiliki keragaman relatif kecil dibandingkan dengan yang lainnya.
Analisis Biplot Imbuhan
Analisis biplot imbuhan merupakan modifikasi dari analisis biplot biasa yang memberikan gambaran ragam seperti yang diperoleh dari data. Berdasarkan pembahasan awal tentang rumusan umum analisis biplot imbuhan menghasilkan hubungan koordinat peubah antara biplot biasa dan biplot imbuhan yaitu
… … …
Hasil koordinat peubah biplot biasa, koordinat peubah biplot imbuhan, dan matriks
diagonal yang diperoleh terdapat pada Lampiran 3.
Berdasarkan Gambar 3 panjang vektor PM, FI, KA, dan EK cenderung lebih panjang dari peubah lainnya menunjukkan tingkat keragamannya lebih tinggi dibandingkan lainnya. Peubah OR digambarkan dengan vektor yang lebih pendek dari peubah lainnya menunjukkan peubah ini memiliki keragaman
relatif kecil dibandingkan dengan yang lainnya.
Konstanta pengali dalam analisis biplot imbuhan dapat terlihat dari matriks diagonal pada Lampiran 3. Peubah OR dan KW menghasilkan dua konstanta pengali terbesar, sehingga dapat dilihat pada Gambar 3 terdapat imbuhan yang lebih panjang dibandingkan dengan peubah lainnya.
Gambar 3 Biplot biasa dan imbuhan dengan .
Analisis Biplot Biasa dan Analisis Biplot Imbuhan
Hasil gabungan analisis biplot biasa dan analisis biplot imbuhan dapat dilihat pada Gambar 3 dan gambar tersebut dengan ukuran yang lebih besar diberikan pada Lampiran 4.
Sudut terkecil dari peubah IP dibentuk oleh peubah EK, KI, ID, dan AG. Hal ini menunjukkan semakin tinggi IPK yang diperoleh maka besar kemungkinan mendapatkan nilai Kimia, Ekonomi Umum, Bahasa Indonesia, dan Agama yang tinggi pula. Sedangkan untuk peubah IP dan OR memiliki korelasi negatif karena sudut yang dibentuk agak tumpul dibandingkan dengan peubah lainnya.
Sebagian besar hasil korelasi yang terlihat pada Gambar 3 hampir sama dengan hasil korelasi Pearson. Namun, terdapat beberapa perbedaan dalam korelasi antara peubah IP dengan beberapa peubah lainnya, misalnya korelasi antara IP dengan AG berdasarkan
korelasi Pearson sebesar 0.42** dan korelasi antara IP dengan BI berdasarkan korelasi Pearson sebesar 0.81** tetapi berdasarkan analisis biplot korelasi antara IP dengan AG lebih besar dibanding korelasi antara IP dengan BI. Hal ini disebabkan oleh adanya proses reduksi dimensi dengan pendekatan yang lebih rendah dalam analisis biplot.
Dalam biplot, kedekatan objek dan peubah ditunjukkan oleh letak objek tersebut terhadap vektor peubah. Jika posisi objek sepihak dengan arah vektor peubah maka objek tersebut bernilai di atas rata-rata, jika berlawanan maka nilainya di bawah rata-rata, dan jika hampir di tengah-tengah maka mendekati rata-rata.
Berdasarkan Gambar 3 memberikan gambaran posisi objek dan vektor peubah dalam biplot. Berdasarkan kedekatan antar objek dan kedekatan objek dengan peubah, objek-objek tersebut dikelompokkan menjadi:
• Kelompok 1: BALI (14), DKI JAKARTA (8), dan DIY (12). Kelompok ini berada searah dengan beberapa vektor peubah serta termasuk tiga provinsi unggulan dalam perolehan IPK (IPK 3.50 , terlihat dalam letak objek yang berada paling atas dari vektor peubah IP .
• Kelompok 2: LAMPUNG (7), JATENG (11), RIAU (4), SUMSEL (6), JABAR (9), SUMBAR (3), dan SULBAR (17). Kelompok ini termasuk provinsi-provinsi yang memiliki IPK di atas atau sama dengan rata-rata, yaitu 2.86 IPK 3.50. Provinsi LAMPUNG (7) sangat unggul dalam mata kuliah Pengantar Kewirausahaan, Pengantar Matematika, Fisika, dan Kalkulus. Provinsi SUMSEL (6) dan SUMBAR (3) sangat unggul dalam mata kuliah Pengantar Ilmu Pertanian, Pengantar Kewarganegaraan, dan Sosiologi Umum. Provinsi JATENG (11), RIAU (4), JABAR (9), dan SULBAR (17) merupakan provinsi-provinsi yang menggerombol dengan pusat sumbu koordinat dan dekat dengan vektor-vektor peubah, sehingga provinsi-provinsi tersebut mempunyai prestasi rata-rata pada semua mata kuliah dan IPK.
• Kelompok 3: SUMUT (2), BANTEN (10), JATIM (13), NAD (1), NTB (15), SULSEL (16), dan JAMBI (5). Kelompok ini termasuk kelompok yang memiliki IPK di bawah rata-rata, yaitu 2.00 IPK 2.86. Provinsi SUMUT (2), BANTEN (10), JATIM (13), dan NAD (1) merupakan provinsi-provinsi yang hampir berada di tengah-tengah peubah dan sangat unggul untuk mata kuliah Olahraga dan Seni. Provinsi NTB (15) merupakan provinsi yang sangat unggul dalam mata kuliah Olahraga dan Seni serta Pengantar Ilmu Pertanian. Provinsi SULSEL (16) merupakan provinsi yang sangat unggul dalam mata kuliah Olahraga dan Seni. Provinsi JAMBI (5) merupakan provinsi yang sangat unggul dalam mata kuliah Olahraga dan Seni serta Pengantar Kewirausahaan.
• Kelompok 4: GORONTALO (18), provinsi ini memperoleh IPK terendah (IPK = 1.53 dan memiliki nilai yang paling rendah untuk sebagian besar mata kuliah, kecuali Olahraga dan Seni. Hal ini terlihat dalam biplot bahwa GORONTALO (18) searah dengan vektor peubah OR tetapi berlawanan arah untuk vektor peubah lainnya.
Ukuran Kesesuaian Analisis Biplot Menggunakan GF Gabriel dan Analisis Procrustes
Tabel 3 Ukuran kesesuaian biplot biasa dan biplot imbuhan.
Matriks GF
Gabriel
GF Analisis Procrustes Biplot Biasa Biplot
Imbuhan
Data 70.54% 70.54% 70.54% Peubah 97.72% 97.95% 99.56%
Objek 61.09% 61.09% 61.09% Dari Tabel 3 terlihat bahwa ukuran
kesesuaian untuk matriks data dan objek menggunakan rumusan umum GF Gabriel, konfigurasi matriks menggunakan analisis procrustes baik biplot biasa maupun biplot imbuhan mempunyai ukuran kesesuaian yang sama yaitu 70.54% dan 61.09%. Namun, terdapat perbedaan untuk matriks peubah biplot biasa dengan rumusan umum GF Gabriel dan menggunakan analisis procrustes. Ukuran kesesuaian menggunakan analisis procrustes lebih besar dibandingkan dengan
ukuran kesesuaian menggunakan rumusan GF Gabriel.
Ukuran kesesuaian analisis biplot biasa dan imbuhan untuk matriks peubah juga terdapat perbedaan. Hal ini disebabkan oleh keragaman peubah yang telah disesuaikan dengan keragaman data. Untuk matriks matriks peubah dengan menggunakan analisis procrustes, biplot imbuhan memiliki tambahan ukuran kesesuaian sebesar 1.61% dibandingkan dengan biplot biasa.
SIMPULAN
Dari hasil penelitian ini dapat diambil simpulan, yaitu:
1. Ukuran kesesuaian analisis biplot imbuhan diperoleh melalui analisis procrustes. Khusus untuk matriks peubah digunakan matriks pendekatan yang telah disesuaikan sehingga gambaran ragam peubah sama dengan ragam yang diperoleh dari data. 2. Analisis biplot biasa dan imbuhan
memberikan GF 70.54% untuk matriks data dan 61.09% untuk matriks objek dengan menggunakan rumusan umum GF Gabriel dan analisis procrustes.
3. Dalam analisis biplot biasa, GF matriks peubah ialah 97.72% dengan menggunakan rumusan umum Gabriel dan 97.95% dengan menggunakan analisis procrustes. Bagi analisis biplot imbuhan, tambahan GF matriks peubah yang diperoleh melalui analisis procrustes hanya sebesar 1.61%.
4. IPK sangat berkorelasi pada mata kuliah Biologi, Ekonomi Umum, Fisika, Kalkulus, Kimia, dan Pengantar Matematika dengan nilai lebih atau sama dengan 0.80**. Namun, IPK tidak berkorelasi dengan nilai Pengantar Kewirausahaan dan Olahraga dan Seni dengan nilai kurang atau sama dengan 0.21.
5. Berdasarkan kedekatan antar provinsi dan keterkaitan provinsi dengan nilai mata kuliah dan IPK, provinsi tersebut dapat dikelompokkan menjadi empat kelompok. 6. Kelompok 1 (BALI, DKI JAKARTA, dan
DIY) merupakan provinsi-provinsi yang unggul dalam semua nilai mata kuliah dan
IPK 3.50. Kelompok ini merupakan kelompok yang memiliki prestasi paling baik di IPB.
7. Kelompok 2 (JATENG, RIAU, JABAR, SULBAR, LAMPUNG, SUMSEL, dan SUMBAR) termasuk kelompok yang memiliki IPK di atas atau sama dengan rata-rata, yaitu 2.86 IPK 3.50. JATENG, RIAU, JABAR, dan SULBAR merupakan provinsi-provinsi yang mempunyai prestasi rata-rata pada semua mata kuliah dan IPK. LAMPUNG sangat unggul dalam mata kuliah Pengantar Kewirausahaan, Pengantar Matematika, Fisika, dan Kalkulus. SUMSEL dan SUMBAR sangat unggul dalam mata kuliah Pengantar Ilmu Pertanian, Pengantar Kewarganegaraan, dan Sosiologi Umum.
8. Kelompok 3 (SUMUT, BANTEN, JATIM, NAD, NTB, SULSEL, dan JAMBI) termasuk kelompok yang memiliki IPK di bawah rata-rata, yaitu 2.00 IPK 2.86. Kelompok ini sangat unggul dalam mata kuliah Olahraga dan Seni atau Pengantar Kewirausahaan atau Pengantar Ilmu Pertanian.
9. Kelompok 4 (GORONTALO) yang memiliki nilai di bawah rata-rata untuk semua sebagian besar peubah mata kuliah dan IPK terendah (IPK = 1.53). Provinsi ini memiliki prestasi paling rendah di IPB sehingga memerlukan banyak upaya perbaikan dalam mutu pendidikan.