Dasar dasar Manajemen Investasi

MODEL INDEK TUNGGAL

William sharpe (1963) mengembangkan model yang disebut model indeks tunggal (single index model). Model ini dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan dimodel Markowitz. Disamping itu, model indeks tunggal dapat juga digunakan untuk menghitung return ekspektasian dan resiko portofolio.

Model indek tunggal dan komponen returnnya

Model indeks tunggal didasarkan pada harga dari suatu sekuritas berfluktuasi searah dengan indeks harga pasar. Secara khusus dapat dilihat bahwa saham cenderung mengalami kenaikan harga jika indeks harga saham naik. Dan sebaliknya jika indeks harga saham turun, maka saham mengalami penurunan harga. Hal ini menyarankan bahwa return dari sekuritas mungkin berkorelasi karena adanya reaksi umum (common response) terhadap perubahan nilai pasar. Dengan dasar ini, return dari suatu sekuritas dan return dari indeks pasar yang umum dapat dituliskan sebagai hubungan:

R_{i =} a_{i +} β_i R_M (10-1)

Notasi:

R_i = return sekuritas ke-i,

a_i = suatu variabel acak yang menunjukkan komponen dari return sekuritas ke-i yang independen terhadap kinerja pasar,

β_i = beta yang merupakan koefisien yang mengukur perubahan R_i akibat dari perubahan Rm,

R_M = tingkat return dari indeks pasar, juga merupakan suatu variabel acak.

Variabel α_i merupakan komponen return yang tidak tergantung dari return pasar. Variabel α_i dapat dipecah menjadi nilai yang diekspektasi (expected value) α_i dan kesalahan residu (residual error) e_i sebagai berikut:

Subtitusi dari persamaan rumus (10-1), maka akan didapatkan persamaan model indeks tunggal sebagai berikut:

Ri = αi + βi RM + ei

(10-2) Notasi:

α_i = nilai ekspektasian dari return sekuritas yang independen terhadap return pasar,

e_i = kesalahan residu yang merupakan variabel acak dengan nilai ekspektasiannya sama dengan nol atau E( e_i ) = 0.

Model indeks tunggal membagi return dari suatu sekuritas kedalam dua komponen, yaitu sebagai berikut:

1. Komponen return yang unik diwakili oleh a_i yang independen terhadap return pasar.

2. Komponen return yang berhubungan dengan return pasar yang diwakili oleh βi

R_M .

Bagian return yang unik ( a_i ) hanya berhubungan dengan peristiwa mikro (micro event) yang mempengaruhi semua perusahaan secara umum. Contoh dari peristiwa mikro misalnya adalah pemogokan karyawan, kebakaran, penemuan penelitian dan lain sebagainya. Bagian return yang berhubungan dengan return pasar ditunjukkan oleh beta ( β_i ) yang merupakan sensitivitas return suatu sekuritas terhadap return dari pasar. Secara consensus, return pasar mempunyai beta bernilai 1. Suatu sekuritas yang mempunyai beta bernilai 1,5 misalnya mempunyai arti bahwa perubahan return pasar sebesar 1% akan mengakibatkan perubahan return dari sekuritas tersebut dengan arah yang sama sebesar 1,5%.

Model indeks tunggal dapat juga dinyatakan dalam bentuk return ekspektasian (expected return). Return ekspektasian dari model ini dapat diderivasi dari model di (10-2) sebagai berikut:

E( Ri ) = E( αi + βi RM + ei ), atau

E( Ri ) = E( αi ) + E( βi RM ) + E( ei ).

dan secara konstruktip nilai E( e_i ) = 0, maka return ekspektasian model indeks tunggal dapat dinyatakan sebagai:

E( Ri ) = αi + βi E( RM ).

(10-3)

Asumsi-asumsi

Model indeks tunggal merupakan asumsi yang karakteristik model ini sehingga menjadi berbeda dengan model yang lainnya. Asumsi utama dari model indeks tunggal adalah kesalahan residu dari sekuritas ke-i tidak berkovari dengan kesalahan residu sekuritas ke-j atau e_i tidak berkovari (berkorelasi) dengan e_j untuk semua nilai dari i atau j. asumsi ini secara matematis dapat dituliskan sebagai:

Cov( ei ej ) = 0

(10-4)

Besarnya Cov( ei ej ) dapat juga ditulis sebagai berikut:

Cov( ei ej ) = E([ ei – E( ei )] [ ej – E( ej )]).

Karena secara konstruktif bahwa E( e_i ) dan E( e_j ) adalah sama dengan nol, maka:

Cov( ei ej ) = E([ ei – E( ei )] [ ej – E( ej )])

= E( e_i · e_j )

Sehingga asumsi bahwa kesalahan residu untuk sekuritas ke-i tidak mempunyai korelasi dengan kesalahan residu untuk sekuritas ke-j dapat juga ditulis:

E( e_i · e_j ) = 0 (10-5)

Cov( ei , RM ) = 0 (10-6)

Lebih lanjut persamaan ini dapat diuraikan:

Cov( e_i , R_M ) = E([( e_i – E( e_i )] · [ R_M – E( R_M )]) = 0. Karena E( e_i ) = 0, maka dapat ditulis:

Cov( e_i , R_M ) = E( e_i · [ R_M – E( R_M )]) = 0.

Dengan demikian, asumsi kedua dari model indeks tunggal dapat dituliskan sebagai: E( ei · [ RM – E( RM )]) = 0.

(10-7)

Asumsi dari model indeks tunggal mempunyai implikasi bahwa sekuritas bergerak bersama bukan karena efek diluar pasar (misalnya efek dari industry atau perusahaan itu sendiri), melainkan karena mempunyai hubungan yang umum terhadap indeks pasar. Asumsi ini digunakan untuk menyederhanakan masalah. Dengan demikian berapa besar model ini dapat diterima dan mewakili kenyataan sesungguhnya tergantung dari seberapa besar asumsi ini realistis. Jika asumsi ini kurang realistis, berarti model ini akan menjadi tidak akurat.

Varian return sekuritas model indeks tunggal

Secara umum, varian return dari suatu sekuritas dapat dinyatakan sebagai berikut: σi2 = E[ Ri – E( Ri )]².

Untuk model indeks tunggal, besarnya R_i dan E( R_i ) tampak di(10-2) dan (10-3). Substitusi dari nilai persamaan varian diatas, akan didapatkan hasil:

σi

2 _{= E[( α}

i + βi · RM + ei ) – ( αi + βi · E( RM ))]²

= E[ β_i ² · ( R_M - E( R_M ))² + 2 · β_i · ( R_M - E( R_M )) · e_i + e_i ²]

= β_i ² · E[( R_M - E( R_M )]² + 2 · β_i · E[ R_M - E( R_M ) · e_i ] + E[ ei ]²

Perlu diketahui bahwa E[( R_M – E( R_M )]² merupakan varian dari return pasar ( σM 2

) dan E[ R_M - E( R_M ) · e_i ] adalah sama dengan nol sesuai dengan asumsi kedua dari model indeks tunggal, maka rumus varian diatas dapat ditulis:

σi2 = βi2 · σ2M + 0 + E[ ei ]².

Nilai E[ e_i ]² dapat ditulis sebagai E[ e_i - 0]² dan karena secara konstruktip bahwa E( e_i ) = 0, maka nilai 0 selanjutnya juga dapat diganti dengan nilai E( e_i ), sehingga nilai E[ e_i ]² dapat ditulis dengan arti yang sama dengan E[ e_i - E( e_i )]² dan nilai ini merupakan varian dari kesalahan residu untuk sekuritas ke i ( σei

2

). Dengan mensubtitusikan E[ e_i ]² dengan σei

2

, maka rumus varian return sekuritas berdasarkan model indeks tunggal adalah:

σi2 = βi2 · σ2M + σei2 .

(10-8)

Risiko (varian return) sekuritas yang dihitung berdasarkan model ini terdiri dari dua bagian: risiko yang berhubungan dengan pasar (market related risk) yaitu βi2 · σ2M dan risiko

untuk masing-masing perusahaan (unique risk) yaitu σei 2

.

Kovarian return antara sekuritas model indeks tunggal

Secara umum, kovarian return antara dua sekuritas i dan j dapat ditulis: σ_ij = E[( R_i - E( R_i ))].

Untuk model indeks tunggal, nilai R_i , R_j , E( R_i ) dan E( R_j ) dapat disubtitusikan, sehingga kovarian return menjadi:

( α_j + β_j · R_M + e_j ) – ( α_j + β_j · E( R_M )))] = E[( α_i + β_i · R_M + e_i - α_i - β_i · E( R_M )) · ( αj + βj · RM + ei - αi - βi · E( RM ))].

= E[( βi · RM - βi · E( RM ) + ei ) · ( βj · RM - βj · E( RM )

+ e_i )]

= E[( β_i · ( R_M - E( R_M )) + e_i ) · ( β_j · E( R_M - E( R_M )) + e_i )] = E[ β_i · ( R_M - E( R_M )) · β_j · ( R_M ) + E( R_M ))

+ β_i · ( R_M - E( R_M )) · e_j + β_j · ( R_M - E( R_M )) · e_i + e_i · e_j )]

= β_i · β_j · E[ R_M - E( R_M )]² + β_i · E( R_M - E( R_M )) · E( R_M )) · e_j ] + β_j ·

E( R_M - E( R_M )) · e_i ] + E[ e_i · e_j ].

Berdasarkan asumsi yang digunakan dimodel ini, maka tiga bagian terakhir dari persamaan diatas adalah sama dengan nol, sehingga kovarian return menjadi:

σ_ij = β_i · β_j · E[ R_M – E( R_M )]². atau σ_ij = β_i · β_j · σM

2

(10-9)

Parameter-parameter input untuk model Markowitz

Model indeks tunggal dapat digunakan untuk menghitung return ekspektasian (E( R_i )), varian dari sekuritas ( σi2 ) dan kovarian antar sekuritas ( σij ) yang merupakan

parameter input untuk analisis portofolio menggunakan model Markowits. Maksudnya bahwa hasil dari model indeks tunggal ini yaitu E( R_i ) dari rumus di (10-3), σi2 dari rumus di

Analisis portofolio menggunakan model indeks tunggal

Selain hasil dari model indeks tunggal dapat digunakan sebagai input analisis portofolio, model indeks tunggal dapat juga digunakan untuk analisis portofolio. Analisis portofolio menyangkut perhitungan return akspektasian portofolio dan resiko portofolio.

Return ekspektasian portofolio

Return ekspektasian dari suatu portofolio selalu merupakan rata-rata tertimbang dari return ekspektasian individual sekuritas (lihat 8-2):

E( R_p ) =

∑

i=1 n

Wi · E( R_i ).

Dengan mensubtitusikan E( R_i ) menggunakan nilai dipersamaan (10-3), return ekspektasian portofolio menjadi:

E( R_p ) =

∑

i=1 n

Wi · ( α_i + β_i · E( R_i ))

E( R_p ) =

∑

i=1 n

Wi · α_i +

∑

i=1 n

Wi · β_i · E( R_M ) (10-10)

Model indeks tunggal mempunyai beberapa karakteristik sebagai berikut ini.

1. Beta dari portofolio ( β_p ) merupakan rata-rata tertimbang dari beta masing-masing sekuritas ( β_i ):

β_p =

∑

i=1 n

Wi · β_i (10-11)

2. Alpha dari portofolio ( α_p ) juga merupakan dari alpha tiap-tiap sekuritas ( α_p ):

α_p =

∑

i=1 n

Dengan mensubtitusikan karakteristik ini, yaitu β_p dan α_p kedalam persamaan (10-10), maka return ekspektasian portofolio menjadi:

E( R_p ) = α_p + β_p · E( R_M ) (10-13)

Risiko portofolio

Varian dari suatu sekuritas yang dihitung berdasarkan model indeks tunggal telah diuraikan dan dapat dilihat dipersamaaan (10-8). Varian dari sekuritas ini adalah sebagai berikut:

σi2 = βi2 · σ2M + σei2 .

Varian dari portofolio adalah sebesar:

σ2p = (

∑

i=1

n

Wi · β_i )² · σ2M + (

∑

i=1

n

Wi · σ_ei )² (10-14)

Dengan menggunakan karakteristik beta dipersamaan (10-11), maka varian dari portofolio selanjutnya dapat dituliskan:

σ2p = βp · σ2M + (

∑

i=1 n

Wi · σ_ei )² (10-15)

- 1) / 2). Misalnya n adalah 200 aktiva, maka untuk menghitung risiko portofolio dengan model Markowits dibutuhkan perhitungan sebanyak 200 varian dan (200 · (200 – 1) / 2) = 19,900 kovarian atau 200 + 19,900 = 20,100 perhitungan. Dengan menggunakan model indeks tunggal, perhitungan risiko portofolio hanya membutuhkan (2 · n) + 1 perhitungan (lihat rumus di 10-14 dan 10-15), yaitu β_i untuk masing-masing sekuritas ke-i sebanyak n buah, σ_ei ² juga untuk masing-masing sekuritas ke-i sebanyak n buah dan sebuah varian return dari market indeks ( σ2M ). Sebagai perbandingan untuk 200 aktiva jika digunakan

model indeks tunggal untuk menghitung risiko portofolio hanya dibutuhkan perhitungan sebanyak (2 · 200) + 1 = 401 perhitungan.

Untuk portofolio yang di diversifikasikan, bagian kedua dari risiko varian ini, yaitu risiko yang tidak sistematik akan semakin kecil nilainya dengan semakin banyaknya sekuritas didalam portofolio, akan bernilai nol jika jumlah sekuritas sangat besar. Misalnya portofolio terdiri dari n sekuritas dengan bobot nilai dalam rupiah sama untuk masing-masing sekuritas, sehingga W_i = 1/n untuk tiap sekuritas ke-i. substitusi dari nilai bobot ke persamaan (10-15), maka akan didapatkan:

σp 2

= βp 2

· σM 2

(10-16)

Model pasar

Model pasar (market model) merupakan bentuk dari model indeks tunggal dengan batasan yang lebih sedikit. Model pasar bentuknya sama dengan model indeks tunggal. Perbedaannya terletak di asumsinya. Di model indeks tunggal, diasumsikan bahwa kesalahan residu masing-masing sekuritas tidak berkovari satu dengan yang lainnya atau Cov( e_i , e_j ) = 0. Di model pasar, asumsi ini tidak digunakan atau kesalahan residu masing-masing sekuritas dapat berkorelasi. Kenyataannya bahwa sekuritas berkovari atau berkorelasi satu dengan yang lainnya membuat model pasar lebih realitis. Model pasar ini banyak digunakan oleh peneliti pasar model untuk menghitung abnormal return. Bentuk model pasar yang sama dengan bentuk model indeks tunggal mempunyai return dan return ekspektasian sebagai berikut:

E( R_i ) = α_i + β_i · E( R_M )

Portofolio optimal berdasarkan model indeks tunggal

Perhitungan untuk menentukan portofolio optimal akan sangat mudah jika hanya didasarkan pada sebuah angka yang dapat menentukan apakah suatu sekuritas dapat dimasukkan ke dalam portofolio optimal tersebut. Angka tersebut adalah rasio antara ekses return dengan beta (excess return to beta ratio). Rasio ini adalah:

ERB_i =

E(¿Ri)−RBR

β_i

¿

(10-17) Notasi:

ERB_i = exsess return to beta sekuritas ke-i E(¿R_i)

¿ = return ekspektasian berdasarkan model indeks tunggal untuk sekuritas ke-i R_BR = return aktiva bebas risiko

β_i = beta sekuritas ke-i

Excess return didefinisikan sebagai selisi return ekspektasian dengan return aktiva bebas risiko. Excess return to beta berarti mengukur kelebihan return relative terhadap satu unit risiko yang tidak dapat didiversifikasikan yang diukur dengan beta. Rasio ERB ini juga menunjukkan hubungan antara dua factor penentu investasi, yaitu return dan risiko.

1. mengurutkan sekuritas berdasarkan nilai ERB terbesar ke nilai ERB terkecil. Sekuritas dengan nilai ERB terbesar merupakan kandidat untuk dimasukkan ke portofolio optimal.

2. menghitung nilai Ai dan Bi untuk masing-masing sekuritas ke-i sebagai

berikut:

Ai =

[

E

(

R_i

)

−R_BR

]

· β_i σ_ei2 (10-18)

Dan

B_i = βi

2

σ_ei2

(10-19) Notasi:

σei2 = varian dari kesalahan residu sekuritas ke-i yang juga merupakan

risiko unik atau risiko tidak sistematik. 3. Menghitung nilai C_i .

C_i = σ

M∑

j=1

i

Aj

2

1+σM2

∑

j=1 i

βj

(10-20) Notasi:

σ2M = varian dari indeks pasar.

Ci adalah nilai C untuk sekuritas ke-i yang dihitung dari kumulasi nilai Ai sampai

dengan A_i dan nilai B_i sampai dengan B_i . Misalnya C₃ menunjukkan nilai C untuk sekuritas ke-3 yang dihitung dari kumulasi A1 , A2 , A3 , dan B1 , B2 dan

B₃ .

C_i =

σ_M2

∑

j=1 i

[

_E

(

_R

j

)

−RBR

]

· βj

σ_ej2

1+σM 2

∑

j=1

i _β

j 2

σej2

(10-21)

4. Besarnya cut-off point (C*) adalah nilai C_i dimana nilai ERB terakhir kali masih lebih besar dari nilai C_i .

5. Sekuritas yang membentuk portofolio optimal adalah sekuritas yang mempunyai nilai ERB lebih besar atau sama dengan nilai ERB dititik C*. sekuritas yang mempunyai ERB yang lebih kecil dengan ERB titik C* tidak diikutsertakan dalam pembentukan portofolio optimal.

Setelah sekuritas yang membentuk portofolio optimal telah dapat ditentukan, pertanyaannya adalah berapa besar proporsi masing-masing sekuritas tersebut didalam portofolio optimal. Besarnya proporsi untuk sekuritas ke-i adalah sebesar:

W_i = Z_j

∑

j=1 k

Z_j

(10-22)

Dengan nilai Z_i adalah sebesar:

Zi =

β_i

σ_ei2 ( ERBi - C*) (10-23)

Notasi:

W_i = proporsi sekuritas ke-i.

K = jumlah sekuritas diportofolio optimal. β_i = beta sekuritas ke-i.

σei 2

C* = nilai cut-off point yang merupakan nilai C_i terbesar.

Derivasi rumus-rumus portofolio optimal model indeks tunggal

Untuk n-buah sekuritas didalam portofolio optimal, struktur varian dan kovarian untuk masing-masing sekuritas dapat dituliskan sebagai berikut ini.

Untuk sekuritas ke-1:

Z₁ . σ12 + Z2 · σ1,2 + . . . + Zn . σ1,n = E( R1 ) - RRB .

Untuk sekuritas ke-2:

Z₁ . σ_2,1 + Z₂ · σ2 2

+ . . . + Z_n . σ_2,n = E( R₂ ) - R_RB . Untuk sekuritas ke-n:

Z₁ . σ_{n ,1} + Z₂ · σ_{n ,2} + . . . + Z_n . σn2 = E( Rn ) - RRB .

Secara umum, untuk sekuritas ke-i, rumus diatas dapat dituliskan sebagai berikut:

Z₁ . σ12 +

∑

j=1j ≠ i

n

(Z_j. σ_{i , j}) = E( R₁ ) - R_RB . (L10-1)

Notasi:

E( R₁ ) = return ekspektasian sekuritas ke-i. R_RB = return aktiva bebas risiko.

Z_i = Ѱ w_i , untuk adalah suatu konstan.Ѱ

σ12 = varian return sekuritas ke-i.

σ_{i , j} = kovarian return sekuritas ke-i dengan sekuritas ke-j.

Untuk model indeks tunggal besarnya varian return sekuritas ke-i sesuai dengan rumus di (10-8).

Subtitusi dari nilai varian ( σi 2

) dan kovarian ( σ_ij ) berdasarkan model indeks tunggal ke rumus (L10-1), maka akan didapatkan hasil:

Z_i ( βi2 · σ2M + σei2 ) +

∑

j=1j ≠ i

n

(Z_jβ_iβ_jσ2_M) = E( R₁ ) - R_RB .

Atau:

Z_i βi2 σ2M + Ziσei2 +

∑

j=1j ≠ i

n

(Z_jβ_iβ_jσ2_M) = E( R₁ ) - R_RB .

Nilai ( Z_i · βi2 · σ2M ) atau ( Zi · βi · βi · σ2M ) selanjutnya dapat

digabungkan dengan nilai yang ada didalam Σj=1 n

sehingga symbol j≠I dapat dihilangkan sebagai berikut:

Z_i · σei2 +

∑

j=1 n

(Z_jβ_iβ_jσ2_M) = E( R₁ ) - R_RB .

Nilai ( β_i · σ2M ) dapat dikeluarkan dari dalam Σnj=1 sehingga menjadi:

Z_i · σei2 + βi· σM

2

∑

j=1 n

(Z_j· β_j) = E( R₁ ) - R_RB

Dan

Z_i = E

(

Ri

)

−RBR σ_ei2 -

βi· σM2

σei

2

∑

j=1 n

(Z_j. β_j) .

(L10-2)

Kalikan nilai E

(

Ri

)

−RBR

σ_ei2 dengan nilai β_i βi

, sehingga menjadi:

Z_i =

[

E

(

Ri

)

−RBR

]

. βi σ_ei2_{. β}

i

- βi· σM

2

σ_ei2

∑

j=1 n

(Z_j. β_j)

= βi σ_ei2 [

E

(

Ri

)

−RBR

σ_ei2. β_i - σM

2

∑

j=1 n

(Z_j. β_j) ]

ERB_i = E

(

Ri

)

−RBR

β_i (lihat rumus 10.17)

Dan ( σ2M

∑

j=1 n

(Z_j. β_j) ) diwakili dengan nilai C*, maka rumus di atas menjadi:

Z_i = βi σ_ei2 (

E

(

R_i

)

−R_BR

β_i - C*) (L10-3)

Nilai Σnj=1 (Zj. βj) diketahui setelah sekuritas diportofolio optimal diketahui. Padahal

nilai C* dibutuhkan untuk menentukan sekuritas portofolio optimal tersebut. Oleh karena itu, nilai Σj=1

n

(Zj. βj) perlu diuraikan lebih lanjut yang dapat dilakukan dengan

menggunakan kembali rumus di (L10-2) sebagai berikut:

Z_i = E

(

Ri

)

−RBR σ_ei2 -

βi· σM2

σei

2

∑

j=1 n

(Z_j. β_j) .

Kalikan kedua sisi persamaan ini dengan nilai β_j dan jumlahkan semua nilainya dari j=1 sampai dengan j=n, maka akan didapatkan hasil:

∑

j=1 n

(Z_j. β_j) = Σnj=1

E

(

R_i

)

−R_BR

σ_ej2 . βj - σM

2

Σnj=1

β2j

σ_ei2 Σj=1

n

(Zj. βj)

∑

j=1 n

(Z_j. β_j) + σ2M Σnj=1

β2j

σ_ej2 Σj=1

n _(Z

j. βj) = Σnj=1

E

(

R_j

)

−R_BR

σ2_ej βj .

∑

j=1 n

(Z_j. β_j) [1 + σM 2

Σj=1

n βj

2

σ_ej2 ] = Σj=1

n E

(

Rj

)

−RBR

σ2_ej . βj .

∑

j=1 n

(Z_j. β_j) =

Σj=1

n E

(

Rj

)

−RBR

σ_ej2 βj

1+σ2_MΣn_j=1 βj 2

Subtitusikan nilai

∑

j=1 n

(Z_j. β_j) ini ke rumus (L10-3), maka akan didapatkan nilai cut-off point C* sebesar:

C* = σ_M2 _Σ

j=1

n E

(

Rj

)

−RBR

σ_ej2 βj I+σ_M2 _Σ

j=1

n βj

2