HARI KERJA DAN LIBUR AKHIR PEKAN
Oleh:
YUDI ARISANDI
G54102045
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PENENTUAN DAN PENJADWALAN PEKERJA
FULL-TIME
DAN PEKERJA
PART-TIME
DENGAN KENDALA LIBUR
HARI KERJA DAN LIBUR AKHIR PEKAN
YUDI ARISANDI
G54102045
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Off-weekend Constraints. Supervised by FARIDA HANUM and DONNY CITRA LESMANA.
ABSTRAK
YUDI ARISANDI. Penentuan dan Penjadwalan Pekerja Full-time dan Pekerja Part-time dengan
Kendala Libur Hari Kerja dan Libur Akhir Pekan. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan
DONNY CITRA LESMANA.
Suatu perusahaan beroperasi tujuh hari dalam seminggu, yaitu lima hari kerja dan dua hari akhir pekan. Banyaknya pekerja yang dibutuhkan pada setiap hari kerja diasumsikan sama setiap harinya. Demikian juga, banyaknya pekerja yang dibutuhkan pada hari akhir pekan, adalah sama setiap harinya, tetapi boleh berbeda dengan banyaknya pekerja yang dibutuhkan di hari kerja. Pada
awalnya, pekerja yang dibutuhkan perusahaan hanyalah pekerja full-time. Setiap pekerja full-time
diberikan dua hari libur setiap pekannya yang di antaranya adalah sejumlah libur akhir pekan. Akibatnya terkadang perusahaan membutuhkan pekerja tambahan untuk memenuhi kebutuhan pekerja pada hari-hari yang kekurangan pekerja. Untuk itu perusahaan juga mempekerjakan
pekerja part-time. Dalam tulisan ini dibahas tentang formula dalam menentukan banyaknya
HARI KERJA DAN LIBUR AKHIR PEKAN
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
YUDI ARISANDI
G54102045
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul : Penentuan dan Penjadwalan Pekerja
Full-time
dan Pekerja
Part-time
dengan Kendala Libur Hari Kerja dan Libur Akhir Pekan
Nama : Yudi Arisandi
NRP : G54102045
Menyetujui:
Mengetahui:
Tanggal Lulus :
Pembimbing I,
Dra. Farida Hanum, M.Si.
NIP 131 956 709
Pembimbing II,
Donny Citra Lesmana, M.Fin.Math
NIP 132 311 927
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas limpahan rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan penulisan karya ilmiah ini. Tak lupa shalawat serta salam tercurah selalu kepada Nabi Muhammad SAW.
Skripsi yang berjudul Penentuan dan Penjadwalan Pekerja Full-time dan Part-time dengan
Kendala Libur Hari Kerja dan Libur Akhir Pekan ini merupakan salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Sains.
Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Allah SWT, atas segala rahmat dan izin-Nya
2. Nabi Muhammad SAW
3. Ibu Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing I, Bapak Donny Citra Lesmana,
M.Fin.Math selaku pembimbing II, dan Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. selaku dosen penguji. Terima kasih atas ilmu, bimbingan, saran, motivasi, dan masukannya.
4. Kedua orang tua, papa, mama. Kakak adik tersayang, Ses, Didit dan Putri. Terima kasih
atas doa dan dukungannya.
5. Semua saudara sekeluarga besar dan teman-teman di Lampung.
6. Teman-teman seperjuangan di Matematika 39, Rizal, Yana, Ungkap, Agus, Rian, Andri,
Aden, Riswan, Ikhe, Wenny, Dina, Ade, Elis, Desi, Rani, Nita, Lia, Tami, Ari, Arif, Kabul, Febi, Fitrah, Amin, Lutfi, Mere, Mega, Erit, Irwan, Indra, Nur, Tieka, Avi, Rodih. Terima Kasih untuk semua kerjasama, keceriaan dan kisah-kisah yang telah ada.
7. Sahabat-sahabat penulis. Ikhe dan Ambar (semua akan kembali seperti yang dulu. Tetapi
tidak dengan persahabatan). Terima kasih untuk semua kebaikan, kebersamaan, bantuan, keceriaan dan motivasinya.
8. Ochi, Dwinita, Vey dan Fifit, terima kasih atas semua kisahnya.
9. Matematika 40, 41 dan 42 yang tidak mungkin disebutkan satu per satu.
10. Anak Kc-Math, Andri, Yana, Riswan, Agus, Aden, dan Ungkap. Terima kasih atas
keceriaan yang singkat namun membekas di hati. Anak-anak Kos Gizi Abadi, Asep, Prima, Imam, Didin, Isal, Anton, Randy, Mas Fajar, Mas Risang, Dodo, Rian, Esa, dll.
11. Rina, terima kasih atas keceriaan dan bantuannya selama ini.
12. Diah, Aji dan Mahnur, atas kesediannya menjadi pembahas di seminar penulis.
13. Prima, atas kebersamaan, segala bantuannya selama ini dan pinjaman komputernya.
14. Semua yang sudah memberi warna, cahaya, tawa dan air mata.
Semua yang telah menggoreskan hitam dan putih.
Semua yang telah menaburkan duri, menancapkan luka dan memberi api.
15. Semua pihak yang sudah membantu penulis menyelesaikan skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi penulis dan pembaca.
Bogor, Januari 2008
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Bandar Lampung, Lampung pada tanggal 15 Januari 1984 sebagai anak kedua dari empat bersaudara, anak dari pasangan Junaidi Alwi dan Juhaini yang beralamat di Jalan Perintis Raya, Sukarame, Bandar Lampung.
Tahun 2002, penulis lulus dari SMUN 9 Bandar Lampung dan pada tahun yang sama diterima di IPB melalui jalur SPMB. Penulis memilih Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Halaman
DAFTAR TABEL ... viii
DAFTAR GAMBAR ... viii
DAFTAR LAMPIRAN ... ix
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan ... 1
II LANDASAN TEORI ... 1
III PEMBAHASAN 3.1 Masalah Penentuan Pekerja Full-time... 3
3.2 Masalah Penentuan Pekerja Full-time dan Dua Jenis Pekerja Part-time... 4
3.3 Contoh Permasalahan ... 14
3.4 Algoritme Pembangkit Jadwal ... 17
3.5 Algoritme Modifikasi untuk Penjadwalan Libur Hari Kerja... 18
3.6 Algoritme untuk Perusahaan yang Memulai Usaha pada Hari Minggu... 23
IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan ... 30
4.2 Saran ... 30
DAFTAR PUSTAKA ... 30
LAMPIRAN ... 31
DAFTAR TABEL
Halaman
1
Nilai P (ue ud )+ +
= + untuk beberapa kasus nilai F jika be<bd... 8
2
Nilai P (ue ud ) + + = + untuk beberapa kasus nilai F jika be=bd... 83
Nilai P (ue ud ) + + = + untuk beberapa kasus nilai F jika be>bd... 114 Penjadwalan pekerja untuk Contoh 4 dengan hari Senin sebagai awal usaha ... 19
5 Penjadwalan pekerja untuk Contoh 5 dengan hari Senin sebagai awal usaha ... 20
6 Penjadwalan pekerja yang telah dimodifikasi untuk Contoh 4 dengan hari Senin sebagai awal usaha ... 21
7 Penjadwalan pekerja yang telah dimodifikasi untuk Contoh 5 dengan hari Senin sebagai awal usaha ... 22
8 Penjadwalan pekerja untuk Contoh 4 dengan hari Minggu sebagai awal usaha... 24
9 Penjadwalan pekerja untuk Contoh 5 dengan hari Minggu sebagai awal usaha... 25
10 Penjadwalan pekerja yang telah dimodifikasi untuk Contoh 4 dengan hari Minggu sebagai awal usaha ... 28
11 Penjadwalan pekerja yang telah dimodifikasi untuk Contoh 5 dengan hari Minggu sebagai awal usaha ... 29
DAFTAR GAMBAR
Halaman 1 Grafik ud dan ue dengan D=8, 12, E= dan 0, 4θ = ... 62 Grafik ud dan ue seperti Gambar 1 ... 6
3 Grafik C(F) jika P seperti pada Gambar 2 dengan G=7 ... 6
4 Grafik C(F) jika g≥2E+5D ... 7
5 Grafik C(F) jika be<bd ... 8
6 Grafik C(F) jika be=bd ... 9
7 Grafik C(F) jika be≤bd ... 9
8 Grafik C(F) jika be>bd ... 11
9 Grafik C(F) jika g≥2(1−θ)(be−bd)... 11
10 Grafik C(F) jika g<2(1−θ)(be−bd)... 12
1 Penurunan Persamaan (3.2.11) ... 32
2 Fungsi C(F) pada Persamaan (3.2.11) minimum pada F=bg ... 32
3 Bukti pertaksamaan C1
( ) ( )
⎣ ⎦⎢ ⎥bg <C2 ⎡ ⎤⎢ ⎥bg pada Persamaan (3.2.12) ekuivalen dengan(
bg−⎢ ⎥⎣ ⎦bg) (
cp+ ⎢ ⎥⎡ ⎤bg −bg)
cp<cf ... 334 Fungsi C(F) pada Persamaan (3.2.13) minimum pada F=bt... 33
5 Bukti pertaksamaan C4
( )
⎣ ⎦⎢ ⎥bt <C3( )
⎡ ⎤⎢ ⎥bt pada Persamaan (3.2.14) ekuivalen dengan(
)
f t t p c b b c −⎢ ⎥⎣ ⎦ < ... 346 Penurunan Persamaan (3.2.15) ... 34
7 Fungsi C(F) pada Persamaan (3.2.15) minimum pada F=bg ... 35
8 Penurunan Persamaan (3.2.17) ... 36
9 Fungsi C(F) pada Persamaan (3.2.17) minimum pada F=bg atau F=bh ... 37
10 Bukti pertaksamaan C1
( )
⎣ ⎦⎢ ⎥bd <C6( )
⎡ ⎤⎢ ⎥bd pada Persamaan (3.2.18) ekuivalen dengan(
bd −⎢ ⎥⎣ ⎦bd)
cp<⎡⎣5cf −2(1−θ)cp⎤⎦/(3 2 )+ θ ... 3811 Bukti pertaksamaan C6
( )
⎣ ⎦⎢ ⎥bh <C5( )
⎡ ⎤⎢ ⎥bh pada Persamaan (3.2.19) ekuivalen dengan(
bh−⎣ ⎦⎢ ⎥bh)
cp+(
⎡ ⎤⎢ ⎥bh −bh)
cp<5cf / 2(1−θ)... 3912 Fungsi C(F) pada Persamaan (3.2.20) minimum pada F=bd atau F=be... 40
13 Bukti pertaksamaan C4
( )
⎣ ⎦⎢ ⎥be <C7( )
⎡ ⎤⎢ ⎥be pada Persamaan (3.2.21) ekuivalen dengan (5D−5⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤bd − bd )cp<5cf / 2(1−θ) ... 4114 Bukti pertaksamaan C7
( )
⎣ ⎦⎢ ⎥be <C3( )
⎡ ⎤⎢ ⎥be pada Persamaan (3.2.22) ekuivalen dengan 5 / 2(1 ) e e f p b −⎢ ⎥⎣ ⎦b < c −θ c ... 4115 Workstretch yang dihasilkan dari algoritme pembangkit jadwal dan modifikasinya untuk Contoh 4 ... 42
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Masalah penjadwalan pekerja merupakan salah satu masalah yang sudah sepantasnya selalu menjadi perhatian oleh sebuah perusahaan, apalagi masalah tersebut sangat berkaitan dengan efisiensi kinerja dan sumber daya pekerja yang digunakan oleh perusahaan.
Secara garis besar, masalah penjadwalan pekerja dapat diklasifikasikan menjadi tiga jenis, yaitu days-off, shift, dan
tour scheduling problems. Days-off scheduling problem ialah masalah menentukan hari kerja dan waktu istirahat pekerja dalam suatu interval waktu tertentu.
Shift scheduling problem terjadi bila dalam
days-off scheduling problem harus
ditentukan waktu awal kerja, lamanya shift,
interval dan waktu awal istirahat pekerja.
Bila days-off schedule dan shift schedule
harus ditentukan dalam suatu pola, maka masalahnya menjadi masalah menentukan
rute penjadwalan atau tour scheduling
problems.
Dalam karya ilmiah ini, pekerja dibedakan menjadi dua jenis, yaitu pekerja
full-time dan pekerja part-time. Karena masalah seperti pada karya ilmiah ini terjadi pada perusahaan yang beroperasi setiap hari,
maka setiap pekerja full-time akan diberikan
sejumlah hari libur, yaitu libur hari kerja dan libur akhir pekan.
Dalam karya ilmiah ini akan dipelajari cara menentukan banyaknya pekerja, baik pekerja
full-time maupun pekerja part-time, yang dibutuhkan suatu perusahaan dalam jangka waktu tertentu dengan memenuhi kendala kebutuhan pekerja setiap harinya dan kendala hari libur. Juga akan dipelajari cara menjadwalkerjakan para pekerja tersebut.
Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi jurnal yang berjudul Sizing and sheduling a full-time and part-full-time workforce with off-day and off-weekend constraints, yang ditulis oleh Hamilton Emmons dan Du-Shean Fuh pada
Annals of Operation Research, vol. 70 halaman 473-492 tahun 1998.
1.2 Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah
menentukan kombinasi pemakaian pekerja
full-time dan part-time yang akan dipekerjakan oleh
suatu perusahaan, beserta penjadwalan hari kerja masing-masing pekerja, dengan memenuhi kendala libur hari kerja dan libur hari akhir pekan, sehingga biaya yang dikeluarkan dapat ditekan seminimal mungkin.
II LANDASAN TEORI
Definisi 1. Fungsi Sesepenggal
Fungsi sesepenggal (piecewise function)
adalah fungsi yang terdefinisi oleh rumus yang berlainan sesuai dengan daerah asalnya.
(Stewart, 2001)
Contoh1.
Contoh-contoh piecewise function:
1. ( ) 1, 1,
2 1.
x x f x
x x
− ≤
⎧
= ⎨ + > ⎩
2. ( ) 1, 0 < z 1,
2, 1 < z 2.
f z = ⎨⎧ ≤
≤ ⎩
3. Fungsi nilai mutlak
, 0,
( )
, 0.
x x f z x
x x
≥ ⎧ = = ⎨
− < ⎩
4. Fungsi bilangan bulat terbesar
⎢ ⎥
⎣ ⎦
x
=
Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Misalkan 1≤ <x 4, maka
1, 1 2,
( ) 2, 2 3,
3, 3 4.
x
f x x x
x
⎧ ≤ < ⎪⎪
⎪⎪ ⎢ ⎥
=⎣ ⎦ ⎪⎪=⎨ ≤ < ⎪ ≤ < ⎪⎩
⎡ ⎤
⎢ ⎥
x
=
Bilangan bulat terkecil yanglebih besar atau sama dengan x.
Misalkan 1< ≤x 4, maka
2, 1 2,
( ) 3, 2 3,
4, 3 4.
x
f x x x
x
⎧ < ≤ ⎪⎪
⎪⎪ ⎡ ⎤
Definisi 2. Fungsi Naik dan Fungsi Turun Misalkan f(x)=y,
• Fungsi f disebut fungsi naik pada
selang I, jika f(x1) < f(x2), bilamana x1
< x2 di I.
• Fungsi f disebut fungsi turun pada
selang I, jika f(x1) > f(x2), bilamana x1
< x2 di I.
(Stewart, 2001)
Definisi 3. Modulo
Jika sebuah bilangan bulat a yang taknol
membagi selisih bilangan bulat b dan c, maka b
dikatakan kongruen ke c modulo a, dinotasikan
(mod )
b≡c a , atau dapat ditulis dengan
mod
b=c a. Jika b c− tidak habis dibagi a,
maka a tidak kongruen ke c mod a, yang ditulis (mod )
b≡c a , atau dapat ditulis dengan
mod
b=c a.
(Niven et al., 1991)
III PEMBAHASAN
Suatu perusahaan beroperasi setiap hari, lima hari kerja yaitu hari Senin sampai dengan hari Jum’at, dan dua hari akhir pekan, hari Sabtu dan hari Minggu. Dalam
membangun usahanya selama B pekan,
perusahaan mempekerjakan F pekerja
full-time. Akan tetapi terkadang perusahaan juga
mempekerjakan pekerja part-time sebagai
tambahan pekerja full-time. Penambahan
pekerja part-time ini dilakukan untuk
memenuhi kebutuhan pekerja pada waktu tertentu, sehingga ketidakefektifan pekerja dapat dihindari dan pemakaian biaya dapat ditekan sekecil mungkin.
Pada setiap hari kerja, diputuskan
bahwa perusahaan membutuhkan D pekerja
full-time dari F pekerja full-time, yang
bekerja dan E pekerja full-time dari F
pekerja full-time, yang bekerja pada hari
akhir pekan. Selama B pekan pengoperasian,
setiap pekerja full-time memiliki dua hari
libur tiap pekannya dan libur A akhir pekan
dari B akhir pekan seluruhnya. Dengan
kendala hari libur tersebut, maka akan
ditentukan banyaknya pekerja full-time dan
pekerja part-time yang dibutuhkan
perusahaan selama B pekan pengoperasian,
dengan biaya yang minimum, beserta penjadwalan kerjanya.
Dalam karya ilmiah ini, dipergunakan
aturan shift tunggal (single shift) dari
sejumlah pekerja.
Definisi 4. Shift
Shift adalah pola kerja harian yang terdiri atas sejumlah waktu kerja yang beruntun dari seorang pekerja.
(Brusco & Jacobs, 1995)
Dalam permasalahan ini akan digunakan beberapa asumsi, yaitu:
1. Perusahaan beroperasi 8 jam setiap hari,
lima hari kerja dan dua hari akhir pekan.
2. Banyaknya pekerja pada hari kerja boleh
lebih besar, sama dengan, atau lebih kecil daripada banyaknya pekerja pada hari akhir pekan.
3. Perusahaan hanya mempunyai satu shift
setiap harinya, yang lamanya adalah 8 jam.
4. Karena kendala hari libur yang menyatakan
setiap pekerja full-time libur 2 hari setiap
pekannya, maka setiap pekerja full-time
bekerja 5 hari setiap pekannya selama B
pekan.
5. Setiap pekerja, baik pekerja full-time
maupun pekerja part-time dapat
ditempatkan pada hari mana saja sesuai kebutuhan, dan
6. Faktor-faktor tak terduga yang dapat
menghambat jalannya pekerjaan seperti sakit, libur nasional, dan sebab lainnya diabaikan.
Pada awalnya, diketahui bahwa setiap pekerja memiliki satu shift setiap harinya. Akan tetapi karena adanya penentuan dua hari libur setiap pekannya untuk setiap pekerja, maka untuk mempermudah pembahasan, selanjutnya
shift yang dimiliki setiap pekerja tersebut
dibedakan menjadi dua, yaitu shift yang dipakai
pekerja untuk bekerja disebut shift kerja dan
shift yang dipakai pekerja untuk libur disebut
Untuk lebih memahami penggunaan istilah shift, diberikan ilustrasi di bawah ini:
Ilustrasi 1
Pekerja Sn Sl Rb Km Jm Sb Mg
a o o
b o o
Tabel di atas menggambarkan jadwal
kerja Pekerja a dan Pekerja b selama satu
pekan. Shift kerja digambarkan dengan
kotak kosong. Sedangkan kotak yang berisi
“o” adalah shift libur pekerja yang
bersangkutan. Jadi dari tabel di atas, Pekerja
a memiliki shift libur pada akhir pekan atau
dapat juga diartikan Pekerja a mempunyai
hari libur akhir pekan pada pekan tersebut.
Sedangkan Pekerja b mempunyai hari libur
pada hari Senin dan Kamis.
Dalam pembahasan ini, akan dibahas cara menentukan rumusan dalam
menentukan banyaknya pekerja full-time
yang diperlukan perusahaan selama B pekan
dan banyaknya pekerja part-time jika
dibutuhkan, dengan biaya yang minimum. Juga akan dibahas cara menjadwalkerjakan pekerja-pekerja tersebut. Untuk mempermudah pemahaman, diberikan contoh-contoh kasus yang bersesuaian.
Permasalahan seperti ini juga sering dihadapi oleh perusahaan yang bekerja tanpa henti, 24 jam setiap hari. Perusahaan tersebut tentunya memiliki lebih dari satu
shift setiap harinya yang tidak saling
berpotongan (overlap). Dengan demikian,
penjadwalan pekerja seperti pada karya
ilmiah ini dapat dilakukan pada setiap shift
secara terpisah.
Untuk selanjutnya pembahasan masalah
penentuan dan penjadwalan pekerja full-time
dan pekerja part-time akan dibagi menjadi
dua, yaitu pembahasan masalah penentuan pekerja full-time tanpa pekerja part-time dan
pembahasan masalah penentuan pekerja
full-time dan pekerja part-time, beserta
penjadwalan kerjanya.
3.1 Masalah Penentuan Pekerja Full-time
Dalam subbab ini dimisalkan perusahaan memutuskan untuk tidak
menggunakan pekerja part-time dan
banyaknya pekerja full-time yang diperlukan
perusahaan selama B pekan adalah sebanyak
W pekerja.
Selanjutnya diketahui bahwa terdapat
2( - )B A hari akhir pekan yang dipakai bekerja
oleh setiap pekerja. Karena setiap pekerja
mempunyai 1 shift setiap harinya, maka
terdapat 2 (W B−A) shift kerja di akhir pekan.
Juga diketahui bahwa terdapat 2B hari akhir
pekan seluruhnya. Karena disyaratkan terdapat
E pekerja yang bekerja di setiap hari akhir
pekan dan setiap pekerja mempunyai 1 shift
setiap harinya, maka terdapat 2BE shift kerja
yang disyaratkan di akhir pekan.
2 (W B−A) shift kerja di akhir pekan tersebut harus meng-cover 2BE shift kerja yang disyaratkan di akhir pekan. Karena dalam
subbab ini hanya menggunakan pekerja
full-time tanpa menggunakan pekerja part-time,
maka diasumsikan 2 (W B−A)≥2BE. Jadi
BE W
B A
≥ − .
Misalkan
,
e
BE b
B A
= −
maka
W≥be. (3.1.1)
Di pihak lain, karena setiap pekerja bekerja 5 hari setiap pekan, dan 1 hari kerja pekerja adalah 1 shift maka total banyaknya shift kerja
dari W pekerja selama B pekan adalah 5WB.
5WB shift kerja tersebut harus meng-cover B(2E+5D) shift kerja yang disyaratkan seluruhnya. Karena dalam subbab ini hanya
menggunakan pekerja full-time tanpa
menggunakan pekerja part-time, maka
diasumsikan 5WB≥B(2E+5 ) D . Jadi
2 5
5
E D W≥ + .
Misalkan
2 5
5 t
E D b = + , maka
W≥bt. (3.1.2)
Karena dari Persamaan (3.1.1), W≥be
dan dari Persamaan (3.1.2), W≥bt, maka
banyaknya pekerja full-time yang dibutuhkan
perusahaan adalah
W=max
{
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥be , bt}
. (3.1.3)Misalkan cf adalah biaya pekerja
full-time per orang per hari. Karena setiap
pekerja bekerja 5 hari setiap pekan, maka banyaknya biaya yang dikeluarkan
perusahaan untuk mempekerjakan W pekerja
full-time selama B pekan adalah
( ) 5 f.
C W = BWc
Contoh 2.
Untuk menjalankan usahanya selama 5
pekan (B=5), sebuah perusahaan
mempekerjakan pekerja full-time tanpa
pekerja part-time. Setiap pekerja
mempunyai 2 hari libur tiap pekannya, termasuk di dalamnya libur 2 akhir pekan
(A=2) dari 5 akhir pekan yang tersedia.
Perusahaan memutuskan bahwa dari seluruh pekerja yang dimiliki, harus terdapat 8 pekerja yang bekerja pada setiap hari kerja (D=8), dan 10 pekerja pada setiap hari akhir
pekan (E=10). Diputuskan juga bahwa biaya
pekerja per orang per hari sebesar 7 satuan (cf=7).
Dengan menggunakan Persamaan (3.1.1), ditentukan
(5)(10) 50
16, 67
( ) (5 2) 3
e BE b B A = = = = − −
dan dengan menggunakan Persamaan (3.1.2), ditentukan
(2 5 ) (2)(10) (5)(8)
12.
5 5
t
E D
b = + = + =
Jadi dari Persamaan (3.1.3), dapat
ditentukan banyaknya pekerja full-time yang
harus dipekerjakan perusahaan selama 5 pekan, yaitu:
{
}
{
}
{
}
max ,
max 16, 67 , 12
max 17,12 17.
e t
W = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥b b
= ⎡⎢ ⎤ ⎡ ⎤⎥ ⎢ ⎥ =
=
Biaya yang dikeluarkan perusahaan untuk membayar seluruh pekerja adalah
( ) 5
(17) (5)(5)(17)(7)
2975 satuan.
f
C W BWc
C
= = =
Jadi selama 5 pekan beroperasi, perusahaan harus mempekerjakan sebanyak
17 pekerja full-time, dengan biaya pekerja
seluruhnya sebesar 2975 satuan.
3.2 Masalah Penentuan Pekerja Full-time
dan Dua Jenis Pekerja Part-time
Selain menggunakan pekerja full-time,
terkadang perusahaan juga memerlukan pekerja
part-time. Pekerja part-time terdiri atas dua
jenis, yaitu limited part-time dengan jumlah
yang terbatas tetapi biaya lebih kecil daripada
biaya pekerja full-time, dan pekerja unlimited
part-time, dengan jumlah yang tidak dibatasi tetapi biaya yang lebih besar daripada biaya pekerja full-time. Jika dimisalkan
biaya pekerja - per orang per hari,
biaya pekerja - per orang
per hari, dan
biaya pekerja - per
orang per hari,
f p
p
c full time
c limited part time
c unlimited part time
= =
=
maka diketahui bahwa cp <cf <cp.
Kemudian didefinisikan
banyaknya pekerja - yang
tersedia selama pekan,
= perbandingan antara banyaknya akhir pekan tiap pekerja yang dapat dipakai libur,
dengan banyaknya akhir pekan seluruhnya
=
G limited part time B
A B
θ =
; karena dan 0 maka 0 1,
banyaknya pekerja - yang
dibutuhkan setiap hari kerja,
= banyaknya pekerja - yang
dibutuhkan setiap hari akhir pekan, = rata-rata banyaknya pek
A B B
D full time
E full time
g
θ < ≠ < < =
erja
tiap pekan selama pekan
= ,
limited part
time se B
G B
sehingga akan ditentukan
banyaknya pekerja - yang
dibutuhkan perusahaan selama pekan, dan
F full time
B
=
= banyaknya pekerja - yang
dibutuhkan perusahaan selama pekan.
P part time
B
Banyaknya pekerja part-time ditentukan
oleh banyaknya shift kerja pekerja full-time
yang tidak ter-cover. Jadi dalam menentukan
pekerja part-time, terlebih dahulu diasumsikan
bahwa pekerja yang bekerja pada perusahaan hanyalah pekerja full-time.
Akibat dari kendala hari libur yang telah diuraikan di atas, maka diketahui bahwa total ada sebanyak 2AFshift libur di akhir pekan. Hal
ini berarti ada 2(B-A)F shift kerja di akhir
kerja di akhir pekan seluruhnya, maka didefinisikan
[
]
2 2( )
2 (1 ) . (3.2.1)
e
u BE B A F
B E θ F
= − −
= − −
Jika ue bernilai positif, maka ue disebut
weekend underage, yaitu terdapat shift kerja
pekerja full-time pada akhir pekan yang
tidak ter-cover. Namun jika ue bernilai
negatif, maka ue disebut weekend overage,
yaitu terdapat kelebihan shift kerja pekerja
full-time pada akhir pekan. Dengan mendefinisikan
max{0, },
x+ = x
didefinisikan
= banyaknya pekerja - yang
diperlukan di akhir pekan selama pekan, dan
(- ) = banyaknya kelebihan pekerja
pada akhir pekan.
e
e
u part time
B
u full time
+
+
Karena setiap pekerja mempunyai hari libur 2 hari tiap pekannya, maka terdapat 2BF shift libur pekerja selama B pekan dan
2AF di antaranya adalah hari akhir pekan.
Hal ini berarti bahwa ada 2( - ) B A F shift
libur pekerja pada hari kerja. Karena
perusahaan mensyaratkan hanya D pekerja
full-time yang bekerja pada setiap hari kerja,
maka disyaratkan terdapat 5BD shift kerja
pada hari kerja seluruhnya.
Selanjutnya dengan mendefinisikan 5BF adalah banyaknya shift pada hari kerja seluruhnya, maka didefinisikan
[
]
[
]
5 5 2( )
5 (3 2 ) . (3.2.2)
d
u BD BF B A F
B D θ F
= − − −
= − +
Jika ud bernilai positif, maka ud disebut
weekday underage, yaitu terdapat shift kerja
pekerja full-time pada hari kerja yang tidak
ter-cover. Namun jika ud bernilai negatif,
maka ud disebut weekday overage, yaitu
terdapat kelebihan shift kerja pekerja
full-time pada hari kerja. Dengan penotasian
seperti sebelumnya, didefinisikan
= banyaknya pada hari kerja
yang disusun oleh kelebihan pekerja
- pada akhir pekan, ditambah
pekerja - jika ada, dan
d
u shift
full time
part time
+
(- ) = banyaknya kelebihan pekerja
pada hari kerja.
d
u + full time
Dengan uedan ud yang telah didefinisikan
di atas, selanjutnya akan ditentukan P=P F( ),
yaitu total banyaknya pekerja part-time yang
dibutuhkan perusahaan.
• Jika ue>0 dan ud >0 maka P=ue+ud.
• Jika ue<0 dan ud>0, maka kelebihan pekerja pada akhir pekan dapat digunakan
untuk meng-cover kebutuhan pekerja pada
hari kerja. Jadi P=(ue+ud)+.
•Jika ue>0 dan ud <0, maka P=ue.
•Jika ue<0 dan ud <0, maka perusahaan
tidak memerlukan pekerja part-time. Jadi
0
P= .
Pernyataan-pernyataan di atas dapat dikombinasikan menjadi sebuah rumusan untuk
menentukan besarnya P, yaitu
( e d ) (3.2.3)
P= u +u + +
Dimisalkan C(F) adalah biaya F pekerja
full-time ditambah minimum pekerja part-time
selama B pekan. Karena biaya pekerja limited
part-time lebih kecil daripada biaya pekerja
unlimited part-time, pemakaian pekerja limited part-time lebih diprioritaskan daripada
pemakaian pekerja unlimited part-time. Selagi
masih tersedia pekerja limited part-time,
pekerja part-time yang digunakan perusahaan
sebagai tambahan pekerja full-time adalah
pekerja limited part-time. Jika masih kurang,
barulah perusahaan mempekerjakan pekerja
unlimited part-time. Jika pekerja limited
part-time tidak tersedia (G=0), maka pekerja
part-time yang digunakan perusahaan sebagai
tambahan pekerja full-time adalah pekerja
unlimited part-time. Jadi
.
, , ( ), > ,
( )( ) (3.2.4)
( ) 5
= 5 p
p p p p p f f c
c P P G
c G c P G P G
c P c P G
C F BFc
BFc ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ + ≤ + + − + + − − =
Dengan menyubstitusi Persamaan (3.2.3) ke Persamaan (3.2.4) maka didapat
. (3.2.5)
( ) 5 f p( e d ) ( p p) ( e d )
C F BFc c u u c c ⎡⎢⎣u u G⎤⎥⎦
+
+ + + +
= + + + − + −
e
u dan ud adalah fungsi linear dari F.
Karena kemiringan ue dan ud terhadap F
adalah negatif, maka ue dan ud adalah
fungsi turun.
Selanjutnya ditentukan:
{ : 0} /(1 ), dan (3.2.6)
{ : 0} 5 /(3 2 ). (3.2.7)
e e
d d
b F u E
b F u D
θ θ
= = = −
= = = +
Nilai be dan bd akan membagi daerah asal
F menjadi tiga, seperti yang terlihat pada
Gambar 1.
5 10 15 20 25 -100
100 200 300 400
Gambar 1 Grafik ud dan uedengan
8, 12, dan 0, 4
D= E= θ = .
Hal ini mengakibatkan P terdefinisi oleh
rumus yang berlainan sesuai dengan daerah asal F.
5 10 15 20 25 100 200 300 400 500 600 700
Gambar 2 Grafik P jika ud dan ue
seperti pada Gambar 1.
Karena C(F) dipengaruhi oleh P, maka C(F)
juga terdefinisi oleh rumus yang berlainan
sesuai dengan daerah asal F (Gambar 2).
Jadi C(F) merupakan fungsi sesepenggal
(piecewise function), seperti yang terlihat pada Gambar 3.
5 10 15 20 25 2000
4000 6000 8000 10000
Gambar 3 Grafik C(F) jika P seperti
pada Gambar 2 dan dengan G=7.
Selanjutnya akan ditentukan (0)P , yaitu P
pada saat F terkecil (F=0). (0)P adalah
banyaknya pekerja part-time yang diperlukan
perusahaan jika perusahaan tidak
mempekerjakan pekerja full-time. P(0)juga
dapat diartikan sebagai maksimum banyaknya
pekerja part-time yang mungkin diperlukan
oleh perusahaan. Dari Persamaan (3.2.1) dan Persamaan (3.2.2), pada saat F=0, ue(0)=2BE dan ud(0)=5BD. Karena B, E, D positif, maka
(0)
e
u dan ud(0) positif, sehingga dengan
menggunakan Persamaan (3.2.3), didapat
( )
( ) ( ( ) ( ) )
(0) ( (0) (0) )
(0) (0)
2 5 .
e d
e d
e d
e d
P u u
P F u F u F
P u u
u u BE BD + + + + + + = + = + = + = + = +
Misalkan G adalah banyaknya pekerja
limited part-time yang tersedia selama B pekan.
Karena pemakaian pekerja limited part-time
lebih diprioritaskan, maka selanjutnya
diasumsikan G>0. Karena pemrioritasan itu
pula, maka bagian (cp cp)(P G)
+
− − pada
Persamaan (3.2.4) akan dibuat nol.
( )( ) 0
( ) 0 atau ( ) 0
karena , maka tidak mungkin ( ) 0.
Jadi ( ) 0.
( ) 0
max{0, ( )} 0
0
p p p p
p p p p
c c P G
c c P G
c c c c
P G P G P G P G + + + + − − = ⇔ − = − =
> − =
− =
⇔ − =
⇔ − =
⇔ − ≤
⇔ P≤G
Jadi untuk mengnolkan (cp cp)(P G)
+
− − pada
Persamaan (3.2.4), P dibuat lebih dari atau
sama dengan G (P≤G), sehingga dengan
(0) (2 5 )
P=P =B E+ D dan G=gB,
didapat beberapa kasus
Kasus 1. g≥2E+5D
Akibat dari (cp cp)(P G)
+
− − pada
Persamaan (3.2.4) bernilai nol, Persamaan (3.2.4) menjadi
( ) 5
5 ( ) .
f p
f p e d
C F BFc c P
BFc c u u + +
= +
= + +
Dengan F yang cukup kecil, ue dan ud yang
didefinisikan oleh Persamaan (3.2.1) dan (3.2.2) bernilai positif, sehingga
2 2( )
( )
5 (5 2( ) )
(2 5 5 ).
e d
BE B A F u u
BD BF B A F
B E D F
+ + ⎛ − − + ⎞ + = ⎜ ⎟ − − − ⎝ ⎠ = + − Jadi
( ) 5 ( (2 5 5 ))
5 ( ) (2 5 ).
f p
f p p
C F BFc c B E D F
B c c F Bc E D
= + + −
= − + +
Karena cf >cp, C(F) mempunyai
kemiringan yang positif, yaitu 5 (B cf −cp) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.
Gambar 4 Grafik C(F) jika 2g≥ E+5D.
Jadi minimum pekerja full-time yang
diperlukan perusahaan untuk meminimumkan biaya adalah
0.
F=
Kondisi seperti ini mengindikasikan bahwa untuk memenuhi kebutuhan pekerja setiap harinya, perusahaan hanya mempekerjakan pekerja limited part-time tanpa pekerja
full-time. Hal yang seperti ini bukan suatu
perencanaan yang diharapkan.
Kasus 2. g<2E+5D
Berdasarkan nilai be, bd dan ketersediaan
pekerja limited part-time, Kasus 2 akan dibagi
menjadi beberapa subkasus dan subsubkasus sebagai berikut:
a)be≤bd
pada saat pekerja limited part-time tersedia
(
G>0)
. pada saat pekerja limited part-time tidak
tersedia
(
G=0)
. b)be>bdi. g≥2(1−θ)(be−bd)
pada saat pekerja limited part-time
tersedia
(
G>0)
. ii. g<2(1−θ)(be−bd) pada saat pekerja limited part-time
tersedia
(
G>0)
. pada saat pekerja limited part-time
tidak tersedia
(
G=0)
.Selanjutnya akan dilakukan peninjauan kepada masing-masing subkasus sebagai berikut
a) be≤bd
pada saat pekerja limited part-time tersedia
(
G>0)
.Pada saat F<be,
[
]
1
(1 ) 0
2 (1 ) 0
0. e
E F
E F
B E F
u θ θ θ < − ⇔ − − >
⇔ − − >
⇔ >
Pada saat F=be, dari Persamaan (3.2.6)
diperoleh ue =0. Pada saat F>be,
[
]
1
(1 ) 0
2 (1 ) 0
0. e
E F
E F
B E F
u θ θ θ > − ⇔ − − <
⇔ − − <
⇔ <
Pada saat F<bd,
[
]
5
3 2
5 (3 2 ) 0
5 (3 2 ) 0
0. d
D F
D F
B D F
u θ θ θ < +
⇔ − + >
⇔ − + >
⇔ >
C C F( )
F
Pada saat F=bd, dari Persamaan (3.2.7) diperoleh ud =0.
Pada saat F>bd,
5
3 2
5 (3 2 ) 0
D F
D F
θ θ >
+
⇔ − + <
[
5 (3 2 )]
00. d
B D F
u
θ
⇔ − + <
⇔ <
Selanjutnya akan diberikan tabel nilai
( e d )
P= u +u+ + untuk beberapa kasus nilai F
jika be<bd.
Tabel 1 Nilai P (ue ud )
+ +
= + untuk beberapa kasus nilai F jika be<bd
d
F<b F=bd F>bd
e
F<b ue+ud
Tidak mungkin untuk kasus be<bd
Tidak mungkin untuk kasus be<bd
e
F=b ud
Tidak mungkin untuk kasus be<bd
Tidak mungkin untuk kasus be<bd
e
F>b (ue ud )
+ +
+ 0 0
Pada saat F>be dan F<bd, P bernilai
nol jika ue+ud =0 atau ue+ud <0. Dari
Persamaan (3.2.1) dan Persamaan (3.2.2) diperoleh
(2 5 5 ) (3.2.8)
e d
u +u =B E+ D− F
Jika didefinisikan
{
: 0}
(2 5 ) / 5, (3.2.9)t e d
b = F u +u = = E+ D
maka P bernilai nol pada saat F=bt atau t
F>b. Jadi grafik P untuk subkasus
e d
b <b akan tersaji seperti pada Gambar 5.
Gambar 5 Grafik P jika be<bd.
Selanjutnya akan diberikan tabel nilai
( e d )
P= u +u + + untuk beberapa kasus nilai
F jika be=bd.
Tabel 2 Nilai P (ue ud )
+ +
= + untuk beberapa kasus nilai F jika be=bd
d
F<b F=bd F>bd
e
F<b ue+ud
Tidak mungkin untuk kasus be=bd
Tidak mungkin untuk kasus be=bd
e
F=b Tidak mungkin
untuk kasus be=bd
0 untuk kasus Tidak mungkin
e d
b =b
e
F>b Tidak mungkin
untuk kasus be=bd
Tidak mungkin untuk kasus be=bd
0 d
b
e
b bt
P
sehingga grafik P tersaji seperti Gambar 6.
Gambar 6 Grafik P jika be=bd.
Jadi pada subkasus be≤bd,
( e d ) e d.
P= u +u + +=u +u
Pemakaian pekerja limited part-time di
samping pekerja full-time terjadi jika
terdapat pekerja limited part-time (G>0) dan P≤G, sedangkan jika P>G, maka
perusahaan menggunakan pekerja limited
part-time dan unlimited part-time sebagai tambahan pekerja full-time.
Jika G>0, maka dengan
mendefinisikan
{
:}
(2 5 ) / 5, (3.2.10)
g e d
b F u u G
E D g
= + =
= + −
maka grafik P akan menjadi seperti pada
Gambar 7,
Gambar 7 Grafik P jika be≤bd.
sehingga C(F) pada Persamaan (3.2.4) akan
ditentukan oleh fungsi P=ue+ud >G,
,
e d
P=u +u ≤G dan P=ue+ud =0.
Jika P=ue+ud >G, maka dari
Persamaan (3.2.4) dan Persamaan (3.2.8) diperoleh
(
)
( ) 5 f (2 5 5 ) p p
C F =B Fc + E+ D− F−g c +gc
(lihat Lampiran 1).
Jika P=ue+ud ≤G, maka dari Persamaan
(3.2.4) dan Persamaan (3.2.8) diperoleh
(
)
( ) 5 f (2 5 - 5 ) p
C F =B Fc + E+ D F c
(lihat Lampiran 1).
Jika 0,P=ue+ud = maka dari Persamaan
(3.2.4) diperoleh
( ) 5 f
C F = BFc
(lihat Lampiran 1). Jadi
5 (2 5 5 ) , 0 ,
( ) 5 (2 5 - 5 ) , , (3.2.11)
5 , .
p p g
f
g t
p f
t f
Fc E D F g c gc F b
C F B Fc E D F c b F b
Fc b F
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
< <
+ + − − + ≤ ≤
= + + ≤
C(F) mempunyai dua break point, yaitu
g
b dan bt.
Misalkan
(
)
1
2
3
( ) 5 (2 5 5 ) ,
( ) (5 (2 5 5 ) ),
( ) 5 ,
p
f p
f p
f
C F B Fc E D F g c gc
C F B Fc E D F c
C F BFc
= + + − − +
= + + −
=
maka
1
2
3
( ), 0 ,
( ) ( ), ,
( ), .
g
g t
t
C F F b
C F C F b F b
C F b F
≤ ≤ ⎧
⎪
=⎨ < ≤
⎪ <
⎩
Karena cp<cf <cp, maka C(F) akan
minimum pada F=bg (lihat Lampiran 2).
e d
b =b
t
b P
F P
t
b
g
b
G
Karena F adalah banyaknya pekerja
full-time yang dibutuhkan perusahaan, F
haruslah bilangan bulat. Jika F=bg
bukan bilangan bulat, maka F bernilai
g
b
⎢ ⎥
⎣ ⎦ atau ⎡ ⎤⎢ ⎥bg bergantung pada biaya
pekerja yang paling kecil yang dihasilkan dari keduanya.
Nilai F= ⎣ ⎦⎢ ⎥bg terdapat pada selang
0,bg ⎡ ⎤
⎣ ⎦, sehingga biaya yang dikeluarkan
perusahaan untuk mempekerjakan ⎢ ⎥⎣ ⎦bg
pekerja full-time adalah C1
( )
⎢ ⎥⎣ ⎦bg .Sedangkan F= ⎢ ⎥⎡ ⎤bg terdapat pada selang
(b bg, ]t , sehingga biaya yang dikeluarkan
perusahaan untuk mempekerjakan ⎡ ⎤⎢ ⎥bg
pekerja full-time adalah C2
( )
⎡ ⎤⎢ ⎥bg . Jadijika F=bg bukan bilangan bulat maka
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
, ,
, . (3.2.12)
{
g g gg g g
b C b C b
b C b C b
F
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥
< ≥
=
Pertaksamaan C1
( ) ( )
⎢ ⎥⎣ ⎦bg <C2 ⎡ ⎤⎢ ⎥bg padaPersamaan (3.2.12) ekuivalen dengan
(
bg−⎣ ⎦⎢ ⎥bg) (
cp+ ⎡ ⎤⎢ ⎥bg −bg)
cp<cf (lihat Lampiran 3). pada saat pekerja limited part-time tidak tersedia
(
G=0)
.Jika pekerja limited part-time tidak
tersedia (G=0), maka g=0 dan cp=0. Persamaan (3.2.10) menjadi
(2 5 ) / 5,
t
F=b = E+ D
sehingga Persamaan (3.2.11) menjadi
5 +(2 5 -5 ) , 0 ,
5 , .
( )
{
f p tf t
Fc E D F c F b
B
Fc b F
C F + ≤ ≤
<
= (3.2.13)
Misalkan
4
3
( ) (5 (2 5 5 ) ), dan
( ) 5 ,
f p
f
C F B Fc E D F c
C F BFc
= + + −
=
maka
4
3
( ) 0 ,
( )
( ) .
t t
C F F b C F
C F b F
≤ ≤ ⎧
= ⎨ <
⎩
Fungsi C(F) akan minimum pada F=bt
(lihat Lampiran 4).
Jika F=bt bukan bilangan bulat, maka F
bernilai ⎢ ⎥⎣ ⎦bt atau ⎡ ⎤⎢ ⎥bt bergantung pada
biaya pekerja yang paling kecil yang dihasilkan dari keduanya.
Nilai F= ⎢ ⎥⎣ ⎦bt terdapat pada selang
[ ]
0,bt ,sehingga biaya yang dikeluarkan perusahaan untuk mempekerjakan ⎢ ⎥⎣ ⎦bt pekerja full-time
adalah C4
( )
⎢ ⎥⎣ ⎦bt . F= ⎡ ⎤⎢ ⎥bt terdapat padaselang ( , )bt ∞ , sehingga biaya yang
dikeluarkan perusahaan untuk mempekerjakan ⎡ ⎤⎢ ⎥bt pekerja full-time adalah
( )
3 t
C ⎡ ⎤⎢ ⎥b . Jadi jika F=bt bukan bilangan
bulat maka
4 3
4 3
, ( ) ( ),
(3.2.14)
, ( ) ( ).
t t t
t t t
b C b C b F
b C b C b
⎧⎢ ⎥ ⎢ ⎥ < ⎡ ⎤
⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥
= ⎨⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ≥ ⎡ ⎤
⎪⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎩ P
ertaksamaan C4
( )
⎣ ⎦⎢ ⎥bt <C3( )
⎡ ⎤⎢ ⎥bt padaPersamaan (3.2.14) ekuivalen dengan
(
)
ft t
p
c b b
c
−⎢ ⎥⎣ ⎦ <
(lihat Lampiran 5).
b) be >bd
Dengan menggunakan ue dan ud yang
telah ditentukan pada awal kasus 2a), maka
diberikan tabel nilai P (ue ud )
+ +
= + untuk
Tabel 3 Nilai P (ue ud )
+ +
= + untuk beberapa kasus nilai F jika be>bd
d
F<b F=bd F>bd
e
F<b ue+ud ue ue
e
F=b Tidak mungkin
untuk kasus be>bd
Tidak mungkin untuk kasus be>bd
0
e
F>b Tidak mungkin
untuk kasus be>bd
Tidak mungkin untuk kasus be>bd
0
Jika digambarkan, grafik P akan tersaji
seperti pada Gambar 8.
Gambar 8 Grafik P jika be>bd.
Dari Persamaan (3.2.1), nilai P pada
saat F=bd adalah
( ) ( )
2 (1 )
2 (1 )( ).
d e d
d
e d
P b u b
B E b
B b b
θ θ =
= ⎡⎣ − − ⎤⎦
= − −
Dengan P b( d)=2 (1B −θ)(be−bd) dan
G=gB, subkasus ini akan dibagi menjadi
2 subsubkasus, yaitu
i. g≥2(1−θ)(be−bd)
pada saat pekerja limited part-time
tersedia
(
G>0)
.Pada subsubkasus g≥2(1−θ)(be−bd),
d
F<b dan F<be, sehingga dari Tabel 3
diperoleh P=(ue+ud+ +) =ue+ud. Jika didefinisikan
{
:}
(2 5 ) / 5,g e d
b = F u +u =G = E+ D−g
maka grafik P pada Gambar 8 akan
menjadi seperti yang terlihat pada Gambar 9.
Gambar 9 Grafik P untuk kasus
2(1 )( e d)
g≥ −θ b −b .
Fungsi C(F) pada Persamaan (3.2.4) akan
ditentukan oleh fungsi P=ue+ud >G, ,
e d
P=u +u ≤G P= ue <G dan P=0.
Jika P=ue+ud >G, maka dari
Persamaan (3.2.4) dan Persamaan (3.2.8) diperoleh
(
)
( ) 5 f (2 5 5 ) p p
C F =B Fc + E+ D− F−g c +gc
(lihat Lampiran 6).
Jika P=ue+ud ≤G, maka dari Persamaan (3.2.4) dan Persamaan (3.2.8) diperoleh
(
)
( ) 5 f (2 5 5 ) p
C F =B Fc + E+ D− F c
(lihat Lampiran 6).
Jika ,P=ue<G maka dari Persamaan
(3.2.4) dan Persamaan (3.2.1) diperoleh
(
)
( ) 5 f (2 2(1 ) ) p
C F =B Fc + E− −θ F c
(lihat Lampiran 6).
Jika P=0, maka dari Persamaan (3.2.4)
diperoleh
( ) 5 f.
C F = BFc
(lihat Lampiran 6), sehingga didapat d
b be
g b
F P
G
d
b
e
b
P
F
5 (2 5 5 ) , 0 ,
5 (2 5 5 ) , , ( ) .
5 (2 2(1 ) ) , ,
5 ,
p p g
f g p f d e p f d f
Fc E D F g c gc F b
Fc E D F c b F b
C F B
Fc E F c b F b
Fc
θ
+ + − − + ≤ ≤
+ + − < ≤
=
+ − − < ≤ (3.2.15)
be F. ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ <
C(F) mempunyai tiga break point, yaitu g
b , bd dan be. Misalkan
(
)
(
)
(
)
1 2 5 3( ) 5 (2 5 5 ) ,
( ) 5 (2 5 5 ) ,
( ) 5 (2 2(1 ) ) ,
( ) 5 ,
p
f p
f p
f p
f
C F B Fc E D F g gc
C F B Fc E D F c
C F B Fc E F c
C F BFc
c θ = + + − − + = + + − = + − − = maka 1 2 5 3 0 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g g d d e e F b C F
b F b C F
C F
C F b F b
C F b F
≤ ≤ ⎧
⎪ < ≤
⎪
= ⎨ < ≤ ⎪
⎪ <
⎩
Fungsi C(F) akan minimum pada F=bg
(lihat Lampiran 7). Jika F=bg bukan
bilangan bulat maka nilai F ditentukan
oleh Persamaan (3.2.12).
ii. g<2(1−θ)(be−bd)
pada saat pekerja limited part-time
tersedia
(
G>0)
.Pada subsubkasus g<2(1−θ)(be−bd), d
F>b dan F<be, sehingga dari Tabel 3
diperoleh P=(ue+ud+ +) =ue. Jika didefinisikan
{
:}
(2 ) / 2(1 ) (3.2.16) h eb = F u =G = E−g −θ
maka grafik P pada Gambar 8 akan
menjadi seperti yang terlihat pada Gambar 10.
Gambar 10 Grafik P untuk kasus
2(1 )( e d)
g< −θ b −b .
C(F) pada Persamaan (3.2.4) akan
ditentukan
olehP=ue+ud >G,P=ue>G, e
P=u ≤G dan P=0.
Jika P=ue+ud >G, maka dari
Persamaan (3.2.4) dan Persamaan (3.2.8) diperoleh
(
)
( ) 5 f (2 5 5 ) p p
C F =B Fc + E+ D− F−g c +gc (lihat Lampiran 8).
Jika ,P=ue>G maka dari Persamaan
(3.2.4) dan Persamaan (3.2.1) diperoleh
(
)
( ) 5 f (2 2(1 ) ) p p
C F =B Fc + E− −θ F−g c +gc (lihat Lampiran 8).
Jika ,P=ue≤G maka dari Persamaan
(3.2.4) dan Persamaan (3.2.1) diperoleh
(
)
( ) 5 f (2 2(1 ) ) p
C F =B Fc + E− −θ F c
(lihat Lampiran 8).
Jika P=0, maka dari Persamaan (3.2.4)
diperoleh
( ) 5 f.
C F = BFc
(lihat Lampiran 8), sehingga didapat
d
b bh be
F P
5 (2 5 5 ) , 0 , 5 (2 2(1 ) ) , ,
( ) (3.2.17) 5 (2 2(1 ) ) , ,
5 , .
p p
f d
p p
f d h
e p
f h
e f
Fc E D F g c gc F b
Fc E F g c gc b F b
C F B
Fc E F c b F b
Fc b F
θ θ ⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩ + + − − + ≤ ≤
+ − − − + < ≤
= + − − < ≤
<
C(F) mempunyai 3 break point, yaitu, bd,
h
b dan be. Misalkan
(
)
(
)
(
)
1 6 5 3( ) 5 (2 5 5 ) ,
( ) 5 (2 2(1 ) ) ,
( ) 5 (2 2(1 ) ) ,
( ) 5 ,
p f p f p p f p f
C F B Fc E D F g c gc
C F B Fc E F g c g c
C F B Fc E F c
C F BFc
θ θ = + + − − + = + − − − + = + − − = maka 1 6 5 3
( ), 0 ,
( ), , ( ) ( ), , ( ), , d d h h e e
C F F b
C F b F b C F
C F b F b
C F b F
≤ ≤ ⎧
⎪ < ≤
⎪
= ⎨ < ≤
⎪
⎪ <
⎩
Fungsi C(F) akan minimum pada F=bd
atau F=bh (lihat Lampiran 9).
Jika F=bd bukan bilangan bulat,
maka F bernilai ⎢ ⎥⎣ ⎦bd atau ⎡ ⎤⎢ ⎥bd
bergantung pada biaya pekerja yang paling kecil yang dihasilkan dari keduanya.
Nilai F= ⎢ ⎥⎣ ⎦bd terdapat pada selang
[
0,bd]
, sehingga biaya yang dikeluarkanperusahaan untuk mempekerjakan ⎢ ⎥⎣ ⎦bd
pekerja full-time adalah C1
(
⎢ ⎥⎣ ⎦bd)
.Sedangkan F= ⎡ ⎤⎢ ⎥bd terdapat pada selang
(b bd, h], sehingga biaya yang dikeluarkan
perusahaan untuk mempekerjakan ⎡ ⎤⎢ ⎥bd
pekerja full-time adalah C6
(
⎡ ⎤⎢ ⎥bd)
. Jadijika F=bd bukan bilangan bulat maka
1 6
1 6
, ( ) ( ),
(3.2.18)
, ( ) ( ).
d d d
d d d
b C b C b
F
b C b C b
⎧⎢ ⎥ ⎢ ⎥ < ⎡ ⎤
⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥
= ⎨⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ≥ ⎡ ⎤
⎪⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎩
Pertaksamaan C1
( )
⎣ ⎦⎢ ⎥bd <C6( )
⎡ ⎤⎢ ⎥bd padaPersamaan (3.2.18) dapat ditulis sebagai
(
bd−⎣ ⎦⎢ ⎥bd)
cp<⎡⎣5cf −2(1−θ)cp⎤⎦/(3 2 )+ θ (lihat Lampiran 10).Jika F=bh bukan bilangan bulat, maka F
bernilai ⎢ ⎥⎣ ⎦bh atau ⎡ ⎤⎢ ⎥bh bergantung pada
biaya pekerja yang paling kecil yang ditimbulkan dari keduanya.
Nilai F= ⎢ ⎥⎣ ⎦bh terdapat pada selang
(
b bd, h]
, sehingga biaya yang dikeluarkanperusahaan untuk mempekerjakan ⎢ ⎥⎣ ⎦bh
pekerja full-time adalah C6
(
⎢ ⎥⎣ ⎦bh)
.Sedangkan F= ⎡ ⎤⎢ ⎥bh terdapat pada selang
( ,b bh e], sehingga biaya yang dikeluarkan
perusahaan untuk mempekerjakan ⎡ ⎤⎢ ⎥bh
pekerja full-time adalah C5
(
⎡ ⎤⎢ ⎥bh)
. Jadi jika hF=b bukan bilangan bulat maka
6 5
6 5
, ( ) ( ),
(3.2.19)
, ( ) ( ).
h h h
h h h
b C b C b
F
b C b C b
⎧⎢ ⎥ ⎢ ⎥ < ⎡ ⎤
⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥
= ⎨⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ≥ ⎡ ⎤
⎪⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎩
Pertaksamaan C6
( )
⎣ ⎦⎢ ⎥bh <C5( )
⎡ ⎤⎢ ⎥bh padaPersamaan (3.2.19) dapat ditulis sebagai
(
bh−⎣ ⎦⎢ ⎥bh)
cp+(
⎡ ⎤⎢ ⎥bh −bh)
cp<5cf / 2(1−θ) (lihat Lampiran 11). pada saat pekerja limited part-time tidak
tersedia
(
G=0)
.Jika pekerja limited part-time tidak tersedia
(G=0) maka g=0 dan cp=0. Persamaan
(3.2.16) menjadi
/(1 )
e
F=b =E −θ , sehingga Persamaan (3.2.17) menjadi
5 (2 5 5 ) , 0 ,
( ) 5 (2 2(1 ) ) , , (3.2.20)
5 , .
f p d
f p d e
f e
Fc E D F c F b
C F B Fc E F c b F b
Fc b F
θ < < ⎧ + + − ≤ ≤ ⎪⎪ = ⎨ + − − ≤ ⎪ ⎪⎩ Misalkan 4 7 3
( ) (5 +(2 5 - 5 ) ),
( )= (5 +(2 2(1 ) ) ) dan
( ) 5 ,
f p
f p
f
C F B Fc E D F c
C F B Fc E F c
C F BFc
θ = + − − = maka 4 7 3
( ), 0 ,
( ), , ( ) ( ), . d d e e
C F F b
C F b F b C F B
C F b F
≤ ≤ ⎧
⎪ < ≤
= ⎨
⎪ <
⎩
Fungsi C(F) akan minimum pada F=bd
atau F=be (lihat Lampiran 12)
Jika F=bd bukan bilangan bulat, maka
F bernilai ⎢ ⎥⎣ ⎦bd atau ⎡ ⎤⎢ ⎥bd bergantung pada
biaya pekerja yang paling kecil yang dihasilkan dari keduanya.
Nilai F= ⎢ ⎥⎣ ⎦bd terdapat pada selang
[
0,bd]
, sehingga biaya yang dikeluarkanperusahaan untuk mempekerjakan ⎢ ⎥⎣ ⎦bd
pekerja full-time adalah C4
(
⎢ ⎥⎣ ⎦bd)
,sedangkan F= ⎡ ⎤⎢ ⎥bd terdapat pada selang
(b bd, e], sehingga biaya yang dikeluarkan
perusahaan untuk mempekerjakan ⎡ ⎤⎢ ⎥bd
pekerja full-time adalah C7
(
⎡ ⎤⎢ ⎥bd)
. Jadi jikad
F=b bukan bilangan bulat, maka
4 7
4 7
, ( ) ( ),
(3.2.21)
, ( ) ( ).
d d d
d d d
b C b C b
F
b C b C b
⎧⎢ ⎥ ⎢ ⎥ < ⎡ ⎤
⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥
= ⎨⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ≥ ⎡ ⎤
⎪⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎩
Pertaksamaan C4
( )
⎣ ⎦⎢ ⎥be <C7( )
⎡ ⎤⎢ ⎥be padaPersamaan (3.2.21) dapat ditulis sebagai
(
bd−⎣ ⎦⎢ ⎥bd)
cp <⎡⎣5cf −2(1−θ)cp⎤⎦/(3 2 )+ θ (lihat Lampiran 13).Jika F=be bukan bilangan bulat, maka
F bernilai ⎢ ⎥⎣ ⎦be atau ⎡ ⎤⎢ ⎥be bergantung pada
biaya pekerja yang paling kecil yang dihasilkan dari keduanya.
Nilai F= ⎢ ⎥⎣ ⎦be terdapat pada selang
(
b bd, e]
, sehingga biaya yang dikeluarkanperusahaan untuk mempekerjakan ⎢ ⎥⎣ ⎦be
pekerja full-time adalah C7
(
⎢ ⎥⎣ ⎦be)
,sedangkan F= ⎡ ⎤⎢ ⎥be terdapat pada selang
( , )be ∞ , sehingga biaya yang dikeluarkan
perusahaan untuk mempekerjakan ⎡ ⎤⎢ ⎥be
pekerja full-time adalah C3
(
⎡ ⎤⎢ ⎥be)
. Jadi jika eF=b bukan bilangan bulat maka
7 3
7 3
, ( ) ( ),
(3.2.22)
, ( ) ( ).
e e e
e e e
b C b C b F
b C b C b
⎧⎢ ⎥ ⎢ ⎥ < ⎡ ⎤
⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥
= ⎨⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ≥ ⎡ ⎤
⎪⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎩
Pertaksamaan C7
( )
⎣ ⎦⎢ ⎥be <C3( )
⎡ ⎤⎢ ⎥be padaPersamaan (3.2.22) dapat ditulis sebagai 5 / 2(1 )
e e f p
b −⎢ ⎥⎣ ⎦b < c −θ c (lihat Lampiran 14).
3.3 Contoh Permasalahan
3.3.1 Pemakaian Pekerja Full-time dan
Kedua Jenis Pekerja Part-time
Dari pembahasan kasus-kasus di atas, diperoleh bahwa jika perusahaan
menggunakan pekerja limited part-time dan
unlimited part-time, maka banyaknya pekerja
full-time yang dibutuhkan perusahaan adalah