Sistem ordinary kriging untuk matriks data yang dipartisi menjadi empat bagian

(1)

Oleh :

WENNY ROKHMA SETYONINGRUM

G54102009

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Metode yang berkaitan dengan geostatistika ditemukan oleh para ilmuwan yang membuat peta tentang sifat-sifat tanah dari suatu lokasi menggunakan sejumlah data dari lokasi yang diketahui. Sifat -sifat tersebut antara lain keasaman tanah dalam air, konduktivitas listrik, perubahan potassium dalam tanah dan perembesan air tanah. Matheron menggunakan istilah geostatistika dalam konteks geologi untuk menunjukkan teori dan metode-metode menduga persediaan bijih besi dari data spasial yang menyebar sepanjang area. Penggunaan lain dari geostatistika diantaranya penyerapan air hujan dan pendugaan konsentrasi bahan-bahan yang mencemari air tanah.

Data spasial adalah data yang dikumpulkan dari lokasi-lokasi yang berkorelasi satu sama lain. Lokasi yang saling berdekatan memiliki sifat -sifat yang mirip dibandingkan dengan lokasi yang saling berjauhan. Ini dikenal dengan kekontinuan spasial (spatial continuity).

Penempatan data spasial merupakan langkah awal yang penting. Hal ini dikarenakan penempatan nilai tertinggi dan terendah akan menciptakan beberapa kecenderungan (trend) dalam data. Semua trend yang ada dalam data dapat digambarkan dengan peta kontur.

Salah satu masalah penting dalam geostatistika adalah menduga data suatu lokas i yang tidak bisa diamati secara langsung menggunakan data dari lokasi spasial yang diketahui. Matheron menyebut proses ini sebagai pendugaan kriging.

Kriging merupakan metode yang mempertimbangkan kondisi tak bias dan ragam minimum. Jenis -jenisnya antara lain : 1). Ordinary Kriging, yaitu pendugaan suatu

nilai peubah pada suatu titik tertentu yang dilakukan dengan mengamati data sejenis pada daerah lain.

2). Blok Kriging, yaitu pendugaan nilai suatu peubah pada area dan area tersebut dipecah-pecah menjadi area-area yang lebih kecil dimana suatu nilai menggambarkan nilai potongan area yang kecil tersebut.

3). Cokriging, yaitu pendugaan nilai su atu peubah pada suatu titik tertentu menggunakan data lebih dari satu peubah dengan mengamati data yang sejenis pada lokasi lain.

Ordinary kriging biasanya hanya memiliki satu fungsi variogram yang berlaku untuk semua lokasi.

1.2. Tujuan

Tulisan ini bertujuan menentukan sistem ordinary kriging untuk suatu matriks data yang dipartisi menjadi empat bagian.

II. LANDASAN TEORI

Berikut ini diberikan definisi, lemma dan

teorema.

Definisi 1 : (Peubah Acak)

Suatu pemetaan V:Ω→R adalah sebuah peubah acak jika wilayah fungsi dari V adalah suatu himpunan yang dapat dihitung

{

v1,v2,L

}

finite atau infinite dan

( )

ω ψ

ω: = }∈

{ V vj untuk semua j≥1,

dimana ψ terdiri dari semua himpunan bagian dari Ω.

(Helms, 1997)

Definisi 2 : (Peubah Acak Bebas)

Peubah acak

n

V

1

,

2

,

L

,

adalah bebas jika

) ( ) ( ) ( ) , ,

(₁ ₂ ₁ ₁ ₂ ₂

1 V n V V V n

V v v v f v xf v x f v

f L_n L = L _n

untuk semua

v

R

n

∈

,

2

1

L

(Helms, 1997)

Definisi 3 : (Ragam)

Jika V suatu peubah acak diskret atau kontinu dengan fungsi massa peluang P_[V_]atau fungsi kepekatan peluang _f_[_V_] maka ragam bagi _V dilambangkan var[V] yang didefinisikan sebagai berikut:

] ]] [ [ ]

var[V =EV−EV 2

(3)

Definisi 4 : (Kovarian)

Jika peubah acak U dan V mempunyai momen kedua berhingga maka covarian U dengan V, dilambangkan _cov_[_U_,_V_], didefinisikan sebagai berikut:

] [ ] [ ] [ ] , [

covU V =EUV −EU EV .

Untuk konstanta c tertentu, _cov_[_U_,_c_]₌₀ dan

[ ]

var[ ]

] [ ] , [

cov 2 2

U U

E U E U

U = − =

(Helms, 1997)

Definisi 5: (Matriks Definit)

Misalkan A adalah matriks simetrik berukuran n

n× dan

Q

_A

( )

y

=

y

A

y

adalah bentuk kuadratik dari A. Maka A dan Q_A disebut :

(a) semi definit positif jika

( )

y

=

y

A

y

≥

0

Q

_A , untuk semua

y

∈

R

n

(b) definit positif jika Q_A

( )

y=yAy>0, untuk semua

y

∈

R

n

,

y

≠

0

_.

(Pressini, Sullivan, & Uhl, 1988)

Suatu matriks yang definit positif pasti merupakan matrikssemi definit positif.

Teorema 1:

Misalkan A adalah matriks simetrik real berukuran n×n. Maka A adalah definit positif jika dan hanya jika semua nilai eigennya adalah positif.

Akibat teorema 1:

Jika A adalah matriks definit positif simetrik, maka A tak singular.

Di dalam spasial nilai suatu peubah acak ditentukan oleh lokasi pengamatan, dilambangkan _V

( )

_x , dimana V adalah peubah acak dan

x

adalah lokasi yang diamati.

Definisi 6 : (Koefisien Korelasi)

Koefisien korelasi

ρ

, adalah statistika yang menggambarkan hubungan dua peubah acak. Koefisien korelasi antara peubah acak _U dengan _V yang masing-masing berukuran n adalah :

(

)(

)

U V n

i

V i U i

n u m v m

σ σ

ρ

∑

=

− −

= 1

1

dengan :

i

u

: nilai peubah acak U di lokasi ke-i

i

v

: nilai peubah acak V di lokasi ke-i

U

m : rataan peubah acak U

V

m : rataan peubah acak V U

σ

: simpangan baku peubah acak U

V

σ

: simpangan baku peubah acak V

(Issaks & Srivastava, 1989)

Definisi 7 : (Kovarian)

Kovarian antara peubah acak U dengan V yang masing-masing berukuran n adalah :

(

)(

i V

)

n

i

U i

UV u m v m

n

C =

∑

− −

=1

1

dengan :

i

u : nilai peubah acak U di lokasi ke-i

i

v : nilai peubah acak V di lokasi ke-i U

m : rataan peubah acak U

V

m : rataan peubah acak V

2.1. h-scatterplots

Salah satu pendekatan kuantitatif yang bisa digunakan untuk menganalisis kekontinuan spasial adalah h-scatterplots.

Definisi 8 : (h-scatterplots)

Grafik h-scatterplots menunjukkan semua kemungkinan pasangan nilai-nilai data yang lokasinya dipisahkan oleh suatu jarak tertentu dalam sebuah arah tertentu.

(Issaks & Srivastava,1989)

Dalam h-scatterplots sumbu mendatar melambangkan _V

( )

_x , sedangkan sumbu vertikal melambangkan _V

(

_x₊_h

)

. Jika nilai h cukup kecil (pasangan data yang diambil terpisah oleh jarak yang tidak terlalu jauh) maka titik-titik pada grafik h-scatterplots akan berkumpul di sepanjang garis V

(

x+h

) ( )

=V x. Ini berarti data-data yang berdekatan mempunyai nilai-nilai yang mirip. Jika nilai h cukup besar maka tit ik-titik pada grafik h-scatterplots akan cenderung menyebar.

2.2. Fungsi kovarian, fungsi korelasi, dan

variogram.

(4)

Definisi 9 : (Fungsi Kovarian)

Fungsi kovarian dari peubah acak V, _C~₍_h₎, dihitung sebagai berikut :

∑

= − +

− =

h h j i

ij

m m v v h N h C

) , (

) ( 1 ) ( ~

∑

= − =

h h i

i h

ij v h N m

) ( 1

∑

= + =

h h j

j h

ij v h N m

) ( 1

dengan :

i

v

: nilai peubah acak V di lokasi ke-i

j

v

: nilai peubah acak V di lokasi ke-j

h

m₋ : rataan semua data yang terletak sejauh – h dari beberapa lokasi data yang lain

h

m₊ : rataan semua data yang terletak sejauh

+h dari beberapa lokasi data yang lai n

( )

{

i

j

i

j

h

}

n

h

N

(

)

≡

,

;

−

=

Indeks lain yang digunakan untuk menjelaskan kekontinuan spasial adalah fungsi korelasi. Fungsi korelasi adalah hubungan antara koefisien korelasi dengan perubahan h. Besarnya koefisien korelasi bergant ung pada besarnya h yang dipilih.

Definisi 10 : (Fungsi korelasi)

Fungsi korelasi dari suatu peubah acak V )

(h

ρ , adalah fungsi kovarian dibagi simpangan baku.

h h

h C h

+ − =

σ σ

ρ ( )

~ ) (

∑

= −

− = −

h h i

h i h

ij m v h N

2 2 2

) ( 1

σ

∑

= +

+ = −

h h j

h j h

ij m v h N

2 2 2

) ( 1

σ

dengan :

) ( ~

h

C : fungsi kovarian yang terdapat dalam definisi 9

h

m₋ : rataan semua data yang terletak sejauh –h dari beberapa lokasi data yang lain

h

m₊ : rataan semua data yang terletak sejauh

+h dari beberapa lokasi data yang lain

h

−

σ : simpangan baku semua data yang terletak sejauh –h dari beberapa lokasi data yang lain

h

+

σ : simpangan baku semua data yang terletak sejauh +h dari beberapa lokasi data yang lain

dimana

( )

h

m

h

N

,

₋

,

₊ telah diberikan dalam definisi 9.

Definisi 11 : (Variogram)

Variogram merupakan suatu fungsi selisih kuadrat harapan antara pasangan contoh pada orientasi relatif. Bentuk umum untuk fungsi variogram adalah :

[

]

2

) ( ) ( 2 1 )

(h = EV x+h −V x γ

dengan :

( )

x

V = nilai variabel pada lokasi x

(

x h

)

V + = nilai variabel pada lokasi x+h

Berikut ini disajikan bentuk-bentuk umum variogram.

γ γ γ

G ambar 2.a h Gambar 2.b h Gambar 2.c h

γ γ γ

(5)

Ada dua model dasar variogram, yaitu variogram yang mencapai sill (biasa disebut model transisi) dan variogram yang tidak mencapai sill. Sill adalah nilai maksimum dari semivariance. Sedangkan h ketika variogram mencapai sill disebut range. Contoh variogram yang mencapai sill ditunjukkan dalam gambar 2.a dan 2.f. Contoh variogram yang tidak mencapai sill adalah gambar 2.b, 2.c, 2.d, 2.e.

2.3. Ordinary Kriging

Penduga yang diperoleh dari ordinary kriging bersifat BLUE, yaitu Best Linear Unbiased Estimator (Penduga Tak Bias Linier Terbaik). Ordinary kriging bersifat linier karena dugaan yang diperoleh merupakan kombinasi linier berbobot dari data-data yang ada. Ordinary kriging bersifat tak bias karena nilai harapan galatnya sama dengan nol. Ordinary kriging merupakan metode terbaik karena bertujuan untuk mendapatkan penduga yang tak bias dan meminimumkan ragam galat, _~ 2

R

σ .

Misalkan diketahui suatu peubah acak yang stasioner V dengan lokasi pengamatan

n

x x

x1, 2,L, . Nilai peubah acak V di masing-masing lokasi pengamatan adalah

( ) ( )

x v x v

( )

xn

v 1, 2 ,L, . Kemudian akan diduga

nilai peubah acak V di lokasi

x

₀ yang tidak dilakukan pengamatan. Peubah acak _V memiliki peluang yang sama dengan nilai harapan E

[ ]

V di semua lokasi. Sembarang pasangan nilai data memiliki sebaran bersama yang hanya bergantung pada jarak antar lokasi.

Penduga yang diperoleh yaitu

v

ˆ

(

x

0

)

merupakan peubah acak. Penduga yang optimal diperoleh dari :

∑

=

n i

i i

v

x

w

x

v

1

0

)

(

)

(

ˆ

...(2.3.1)

Jika nilai data sebenarnya di

0

x

adalah

)

(

x

₀

v

maka galatnya didefinisikan :

)

(

)

(

ˆ

)

(

x

0

v

x

0

v

x

0

R

=

−

...(2.3.2)

)) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( 0 1 1 0 0 x v E x v E w x v x v w E x R E i n i i n i i i − = − =

∑

= =

Karena V bersifat stasioner diperoleh :

) ( ) ( 1 )) 0 (

( n EV EV

i i w x

R

E ∑ −

=

Supaya dipenuhi kondisi yang tak bias

( )

[

Rx0

]

E haruslah sama dengan nol.

1 1 0 ) ( ) ( 1 = ∑ = = − ∑ = n i i w V E V E n i i w

Dengan demikian ragam galatnya adalah :

0 1 1 1 2 2 ~ 2 ~ ~ ~ i n i i ij n i n j j i

R

∑∑

wwC

∑

wC

= = = − + =σ σ …...(2.3.3)

Untuk meminimumkan

σ

~

_R2 persamaan di atas perlu ditambahkan p engali lagrange. Persamaan di atas menjadi :

) 4 . 3 . 2 ...( 1 2 ~ 2 ~ ~ ~ 1 0 1 1 1 2 2       ₋ + − + =

∑

∑∑

= = = = n i i i n i i ij n i n j j i R w C w C w w λ σ σ

Kemudian turunan parsial pertama dari persamaan di atas harus sama dengan nol. Himpunan bobot yang meminimumkan ragam galat dengan kendala jumlah bobot sama dengan 1 memenuhi persamaan :

§ 0 ~2 = ∂ ∂ i R w σ

_w_C _C _i _n

i ij

n

j

j , 1,2,...

~ ~ 0 1 = ∀ = +

∑

₌ λ § 0 ~2 = ∂ ∂ λ σR ₁ 1 =

∑

= n i i w

Sistem dari persamaan-persamaan di atas sering disebut sistem ordinary kriging yang dapat dituliskan dal am notasi matriks berikut:

C

W

r

=

D

r

( ) ( ) ( )

{

( )

2

3

1

M

4

3

4

2

1

L

M

L

M

L

1 1 0 10 1 1 1 1 1 1 1 11

1

~

0

1

~

1

~

1

~

× + × + + × +













=

























n n n n n n nn n n

C

w

C

λ

Matriks

C

adalah matriks kovariansi pada area data yang diamati. Biasanya matriks C merupakan matriks definit positif. Untuk

(6)

1

−

C . _C_Wr=_Dr C CW C D

r r

1 1 −

− ₌

W C D

r r

1

− =

2.4. Drift Dalam Peubah Regional

Peubah regional adalah fungsi numerik den gan sebaran spasial yang bervariasi dari satu tempat ke tempat yang lain secara nyata dan kontinu tetapi perubahannya tidak dapat direpresentasikan oleh setiap fungsi. Karakteristik peubah regional adalah : 1. Lokalisasi : sebuah peubah regional

didefinisikan secara numerik sebagai sebuah nilai yang berasosiasi dengan contoh dari ukuran, bentuk, dan orientasi yang spesifik. Ciri geometrik dari contoh ini disebut dukungan geometris (geometric support). Sebuah bidang geometris (geometric field) merupakan volume yang lebih besar yang didapatkan dari contoh. Dukungan dan bidang geometris tidak langsung membangun volume melainkan membangun area, garis, dan interval waktu. Ketika ukuran dukungan geometrismendekati nol, akan didapatkan sebuah titik (punctual sample) dan dukungan geometris bersifat immaterial.

2. Anisotropi : perubahan nilai terjadi secara gradual dalam satu arah dan irregular pada arah lain.

3. Kontinuitas : variasi spasial dari peubah regional terjadi dari sangat kecil sampai sangat besar tergantung dari fenomena. Biasanya digunakan kontinuitas rata-rata.

Dalam teori peubah regional atau teori lain yang memperhatikan distribusi peubah secara spasial, konsep drift merupakan salah satu topik terpenting dari sebuah fungsi. Drift merepresentasikan kecenderungan (trend) sebuah fungsi ruang geometri. Drift harus menyatakan ciri utama saja dan lebih menyatakan sebuah kenampakan sistematik daripada menyatakan detil yang menyebar (sporadis).

Definisi 12 : (Peubah Regional)

Bila

V

(

x

)

adalah peubah regional maka drift

)

(

x

m

didefinisikan sebagai :

)]

(

[

)

(

x

E

V

x

m

=

atau drift pada titik

x

adalah nilai yang diharapkan dari peubah regional V pada titik

x

.

(Huijbregts & matheron, 1971 dalam Olea, 1975)

Definisi 13 : (Residual)

Bila _V₍_x₎ merupakan peubah regional dengan drift _m₍_x₎, maka residual _Y₍_x₎adalah :

) ( ) ( )

(x V x m x

Y = −

(Olea, 1975)

Lemma 1:

Bila Y(x) merupakan residual dari peubah regional maka :

0 )] ( [Y x = E

Drift digunakan untuk menyediakan residual untuk analisis semivariogram. Selain itu juga digunakan untuk analisis peta yaitu menguji perubahan yang halus (smooth) atau kecenderungan umum dari peubah regional. Hal ini beranalogi dengan tujuan analisis kecenderungan permukaan (trend surface analysis). Pendugaan titik sangat diperlukan untuk membuat kontur drift. Pendugaan yang optimal dari drift harus diperoleh dari setiap titik grid kontur.

Definisi 14:

Bila terdapat sebuah lingkungan ketetanggaan pada jari-jari

r

di sekitar titik

0

x

, maka drift pada setiap titik

x

dengan _x−_x₀ ≤_r dapat didefinisikan sebagai :

) ( )

(

0

x f a x

m i

n

i i

∑

₌ =

dengan

i

a

adalah koefisien yang tidak diketahui, dan _fi

( )

_x _{merupakan fungsi}

sembarang dari

x

.

(Olea, 1975)

Untuk menduga

i

a digunakan beberapa asumsi, yaitu :

1. Terdapat nilai yang diharapkan dari peubah regional.

2. Kovarian atau fungsi intrinsik untuk residual diketahui. Ini disebut correlogram. 3.Contoh yang mencukupi yang diukur tanpa

(7)

Akan didefinisikan suatu statistik A_i untuk setiap

a

_i.

Definisi 15 : (Statistik Ai)

Statistik Ai untuk

a

iadalah :

n i

r x x x V w

A _j _j

k

j ij

i ( ), 0 , 1,2,...,

1

= ∀ ≤ −

=

∑

=

Statistik akan optimal apabila :

[ ]

Ai ai

E = untuk

i

=

₀

,

1

,

2

,

L

,

n

(

)

[

2

]

i

i a

A

E − adalah minimum dari

w

_ij untuk

n i=0,1,2,L, .

(Olea, 1975)

Definisi 16 : (Statistik Optimal Untuk

m(x))

Jika Aiadalah statistik untuk

a

i pada definisi 15maka statistik optimal untuk

( )

x

m dinotasikanM

( )

x , adalah :

( )

0

x f A x

M i

n

i i

∑

₌ =

(Olea, 1975)

Lemma 2:

( )

x

M adalah statistik tak bias untuk drift jika statistik Ai pada definisi 16 adalah tak bias :

( )

[

M x

]

m

( )

x

E =

Selanjutnya ragam dari Aiharus minimum.

III. PEMBAHASAN

Secara umum geostatistika mendefinisikan kekontinuan spasial dalam suatu model fungsi acak melalui variogram dan menyelesaikan sist em ordinary kriging menggunakan kovariansi. Perhatikan gambar berikut:

gambar 3.1

Terlihat bahwa bentukan yang besar tersusun atas bentukan -bentukan kecil. Bentukan yang kecil mempunyai fungsi variogram yang berbeda dengan bentukan yang besar. Model ordinary kriging biasanya hanya digunakan untuk bentukan yang besar saja tanpa memperhatikan bentukan yang kecil. Oleh karena itu model ordinary kriging yang ada akan diperluas supaya bisa digunakan untuk yang bentukan -bentukan kecil.

Model variogr am yang sering digunakan adalah model transisi dan eksponensial.

Model tersebut berbentuk:

( )

₃_.₁

0 ,

3 exp 1

0 ,

0

1 0

L

    

> 

   

  

    − − +

= =

h jika a

h C

C

h jika h

γ

dengan :

h adalah vektor jarak

a

adalah range 0

C adalah nugget effect

1

C adalah sill

Variogram dilambangkan dengan γ

( )

_h . Variogram merupakan setengah dari rata-rata selisih antara pasangan nilai data dikuadratkan, yaitu :

( )

(

)

( )

2 ,

2 1

∑ =

− =

h ij h j i

j v i v h

N h

γ

Jika ada sepasang data maka variogramnya adal ah :

( )

( )(

)

2 2 1 2

1

v v h N

h = −

γ

Akibatnya :

(

v1−v2

)

2 =2N

( ) ( )

hγ h

( ) ( ) ( )

3.2 2

1

2 v N h h L

v = ± γ

⇔

Nilai data yang lain dapat ditentukan secara rekursif menggunakan persamaan (3.2).

3.1. Ordinary Kriging Dengan Empat Lokasi yang Diketahui

(8)

berbentuk :













=

mn m m n n

v

A

L

M

O

M

L

2 1 2 22 21 1 12 11

Untuk pembahasan matriks data tersebut akan dipartisi menjadi empat bagian. Secara umum matriks partisi tersebut berbentuk :













=

' 1 1 1 1 ' 1 ' 1 2 1 2 22 21 1 12 11 k k k k k k

v

M

L

M

O

M

L

, untuk lokasi ke-1.

              = ' 2 2 2 2 ' 2 ' 2 2 1 2 22 21 1 12 11 k k k k k k v v v v v v v v v N L M O M M L L

              = ' 3 3 3 3 ' 3 ' 3 2 1 2 22 21 1 12 11 k k k k k k v v v v v v v v v O L M O M M L L

              = ' 4 4 4 4 ' 4 ' 4 2 1 2 22 21 1 12 11 k k k k k k v v v v v v v v v P L M O M M L L

Masing-masing lokasi mempunyai data pengamatan sebagai berikut :

11

v (nilai dari lokasi yang diketahui), C0, C1,

dan

a

. Dengan menggunakan persamaan (3.1) akan diperoleh empat fungsi variogram yang berbeda. Persamaan (3.2) digunakan untuk membangkitkan nilai-nilai

ij

v yang belum diketahui dari masing-masing lokasi. Misalkan

0

x

adalah lokasi yang akan diduga. Akan dijelaskan dua kemungkinan tentang penggunaan data-data yang ada.

3.1.1. Ordinary Kriging Dengan Dua Buah Matriks Partisi

Jika data yang akan digunakan untuk menduga nilai di

0

x

berada pada dua lokasi yang diketahui, yaitu lokasi ke-1 dan ke-2, maka pendugaannya hanya melibatkan dua buah matriks partisi yaitu M dan N. Jadi hanya akan ada dua buah fu ngsi variogram.

Sehingga penduga yang optimal adalah :

( )

∑

=

= +

= 1 2

1 1 0 ˆ k s s s k i i

iv bv

a x

v …...(3.1.1.1)

dengan :

§ vˆ

( )

x₀ adalah nilai dugaan di

0

x .

§ a i_i, =1,2,Lk₁ adalah bobot yang ditetapkan untuk titik contoh

i

v .

§ b ss, =1,2Lk2 adalah bobot yang

ditetapkan untuk titik contoh

s

v . Jika nilai sebenarnya di

0

x adalah

( )

0

x v maka galat didefinisikan sebagai berikut :

( )

x0 vˆ

( )

x0 v

( )

x0

R = −

( )

0 1 1 2 1 x v v b v a _s k s s i k i

i + −

=

∑

= =

....(3.1.1.2)

Metode ordinary kriging menghasilkan dugaan dengan ragam galat minimum. Ragam galatnya dapat dituliskan sebagai berikut :

( )

(

)

( )













_∑ ₋ = + ∑ =

= 2 ₀

1 1

1 var 0

var v_s vx

k s bs i v k i ai x

R

₂ ~ ₂ ~ ₍₃_.₁_.₁_.₃₎

~ ~ ~ ~ 0 1 1 0 1 1 1 1 2 2 2 1 2 ' 2 1 ' 1 L s k s s k i i i sj j k s k j s ij j k i k j i R C b C a C b b C a a

∑

∑∑

= = = = = = − − + + = σ σ

Supaya ragam galat minimum dan tak bias perlu ditambahkan pengali lagrange dan jumlah pembobot di semua lokasi harus sama dengan satu. Diperoleh :

) 4 . 1 . 1 . 3 ....( 1 2 ~ 2 ~ 2 ~ ~ ~ ~ 1 2 2 1 2 ' 2 1 ' 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 2     ₊ ₋ + − − + + =

∑ ∑

∑

∑∑

= = = = = = = = k i k s s i s k s s k i i i sj j k s k j s ij j k i k j i R b a C b C a C b b C a a λ σ σ dengan :

§ _σ_~2_{merupakan kovariansi dari}

peubah acak

( )

0

x

v terhadap dirinya sendiri.

§ λ adalah parameter lagrange.

(9)

Didapatkan : § 0 ~2 = ∂ ∂ i R a σ 0 1 ~ ~ ' 1 i ij k j

jC C

a + =

∑

₌ λ , untuk 1 , , 3 , 2 , 1 k

i= L ...(3.1.1.5)

§ 0 ~2 = ∂ ∂ s R b σ 0 1 ~ ~ ' 2 s sj k j

jC C

b + =

∑

₌ λ , untuk 2 , , 3 , 2 , 1 k

s= L ...(3.1.1.6)

§ 0 ~2 = ∂ ∂ λ σR

∑ ∑

= = = + 1 2 1 1 1 k i k s s i b a ...…(3.1.1.7)

Kemudian akan dibuktikan bahwa persamaan (3.1.1.7) memenuhi kondisi tak bias.

_[

( )

_] _[ 1 2 _]

1 1

0

∑

= = + = k s s s k i i

iv bv

a E x v E

_[

( )

_] 1 _[ _] 2 _[ _]

1 1

0

∑

= = + = k s s s k i i

iEv b Ev

a x

v E

Karena V bersifat stasioner

( )

] [ ] [ ] [ } [v x₀ Ev Ev EV

E = _i = _s = . Sehinggga

_[ _] 1 _[ _] 2 _[ _]

1 1

∑

= = + = k s s k i

iEV bEV

a V E _      ₊ =

∑

= = 2 1 1 1 ] [ ] [ k s s k i i b a V E V E

Jadi haruslah 1 2 ₁

1 1

=

+

∑

₌ k₌

s s k

i

i b

a . Terbukti

bahwa

∑

= = = + 2 1 1 1 1 k s s k i i b

a memenuhi kondisi

tak bias.

Sistem ordinary kriging-nya adalah persamaan (3.1.1.5), (3.1.1.6), (3.1.1.7). Sistem tersebut dinotasikan dalam bentuk matriks sebagai berikut :

{ 123

M M M M 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 2 1 L L M L M O M L L M O M L M L M O M L L M O M L r r D k k W k k C k k k k k k k k C C C C b b a a C C C C C C C C                       =                                                     1 ~ ~ ~ ~ 0 1 1 1 1 1 1 ~ ~ ~ ~ 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ~ ~ ~ ~ 0 10 0 10 1 1 1 1 11 1 1 11 2 1 2 1 ' 2 2 2 ' 2 ' 1 1 2 ' 1 λ

Bobot Wrdiperoleh dari : CWr =Dr C CW C D

r r

1 1 −

− ₌

W C D r r ₋₁

=

3.1.2. Ordinary Kriging Dengan Empat Buah Matriks Partisi

Jika data di

0

x

diduga menggunakan data-data yang terdapat pada keempat lokasi yang diketahui maka akan ada empat buah fungsi variogram. Jadi pendugaan ini melibatkan keempat matriks partisi. Dengan demikian perlu dilakukan beberapa penyesuaian rumus dalam subbab 3.1.1.

Penduga yang diperoleh akan optimal jika digunakan persamaan berikut :

( )

) 1 . 2 . 1 . 3 ( ˆ 4 3 2 1 1 1 1 1 0 L L L L L L L l l l

∑

= = = = + + + = k m m m k k s s s k i i i v d v c v b v a x v dengan :

§ vˆ

( )

x₀ adalah nilai dugaan di

x

₀.

§ a ii, =1,2,Lk1 adalah bobot yang

i

v

§ b s_s, =1,2Lk₂ adalah bobot yang ditetapkan untuk titik contoh

s

v .

§ cl,l=1,2,Lk3 adalah bobot yang

v

_l.

§ d_m,m=1,2,Lk₄ adalah bobot yang ditetapkan untuk titik contoh v_m.

Jika nilai sebenarnya di

0

x

adalah

( )

0

x v maka galat didefinisikan sebagai berikut:

( ) ( ) ( )

x0 vˆx0 vx0

R = −

( )

₀...(3.1.2.2)

1 1 1 1 4 3 2 1 x v v d v c v b v a k m m m k s k s s i k i i − + + + =

∑

= = =

= l l

l

Metode ordinary kriging menghasilkan dugaan dengan ragam galat minimum. Ragam galatnya dapat dituliskan sebagai berikut :

(10)

) 3 . 2 . 1 . 3 ...( ... ~ 2 ~ 2 ~ 2 ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 3 2 1 4 ' 4 3 ' 3 2 ' 2 1 ' 1 m k m m k s k s s k i i i mj j k m k j m j k k j j sj j k s k j s ij j k i k j i R C d C c C b C a C d d C c c C b b C a a

∑

∑ ∑

= = = = = = = = = = = = − − − − + + + + = l l l l l l σ σ

Supaya ragam galat minimum dan tak bias perlu ditambahkan pengali lagrange dan jumlah pembobot untuk semua lokasi harus sama dengan satu. Diperoleh :

    − + + + + − − − − + + + + =

∑

∑ ∑

= = = = = = = = = = = = = = = =

1 2 3 4 4 3 2 1 4 ' 4

3 3' 2 2'

1 ' 1

1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 . ~ 2 ~ 2 ~ 2 ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ k i k k m m k s s i m k m m k s k s s k i i i mj j k m k j m j k k j j sj j k s k j s ij j k i k j i R d c b a C d C c C b C a C d d C c c C b b C a a l l l l l l l l λ σ σ ...(3.1.2.4) dengan :

§ σ~2_{merupakan kovariansi dari}

peubah acak

( )

0

x

v terhadap dirinya sendiri.

§ λ adalah parameter lagrange.

Untuk meminimumkan ragam galat dilakukan dengan menghitung turunan parsial pertama dari persamaan (3.1.2.4) dan menetapkan masing-masing turunan parsial pertamanya sama dengan nol. Didapatkan :

§ 0 ~2 = ∂ ∂ i R a σ 0 1 ~ ~ ' 1 i ij k j

jC C

a + =

∑

₌ λ , untuk 1 , , 3 , 2 , 1 k

i= L ...(3.1.2.5)

§ 0 ~2 = ∂ ∂ s R b σ 0 1 ~ ~ ' 2 s sj k j

jC C

b + =

∑

= λ , untuk 2 , , 3 , 2 , 1 k

s= L ...(3.1.2.6)

§ 0 ~2 = ∂ ∂ l c R σ 0 1 ~ ~ ' 3 l l C C c _j k j

j + =

∑

₌ λ , untuk 3 , , 3 , 2 ,

1 L k

l= …...(3.1.2.7)

§ 0 ~2 = ∂ ∂ m R d σ 0 1 ~ ~ ' 4 m mj k j

jC C

d + =

∑

₌ λ , untuk 4 , , 3 , 2 , 1 k

m= L …..(3.1.2.8)

§ 0 ~2 = ∂ ∂ λ σR

∑

₌1 +

∑

₌2 +

∑ ∑

₌3 + ₌4 =

1 1 1 1

1 k i k k m m k s s

i b c d

a

l l

...(3.1.2.9)

Kemudian akan dibuktikan bahwa persamaan (3.1.2.9) memenuhi kondisi tak bias.

( )

] [ ] [ 4 3 2 1 1 1 1 1 0

∑

= = = = + + + = k m m m k k s s s k i i i v d v c v b v a E x v E l l l

( )

∑

= = = = + + + = 4 3 2 1 1 1 1 1 0 ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ k m m m k k s s s k i i i v E d v E c v E b v E a x v E l l l

V

bersifat stasioner berarti

( )

] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [vx0 Ev Ev Ev Ev EV

E = i = s = l = m =

. Sehingga :

[ ]

∑

= = = = + + = 4 3 2 1 1 1 1 1 ] [ ] [ ] [ ] [ k m m k k s s k i i V E d V E c V E b V E a V E l l       ₊ ₊ ₊ =

∑

= = = = 4 3 2 1 1 1 1 1 ] [ ] [ k m m k k s s k i

i b c d

a V E V E l l

Haruslah 1 2 3 4 ₁

1 1 1 1 = + + +

∑

₌ ₌ ₌ k₌

m m k k s s k i

i b c d

a

l l

Terbukti 1 2 3 4 ₁

1 1 1 1 = + + +

∑

₌ ₌ ₌ k₌

m m k k s s k i

i b c d

a

l l

memenuhi kondisi tak bias.

(11)

Bobot Wrdiperoleh dari : CWr=Dr

C CW C D

r r

1 1 −

− ₌

W C D

r r

1

− =

IV. KESIMPULAN DAN SARAN

Ternyata matriks data yang dipartisi menjadi empat bagian yang sama memiliki empat buah fungsi variogram. Semakin banyak matriks partisi yang digunakan untuk menduga data di lokasi

x

₀ semakin banyak persamaan dalam s istem ordinary kriging. Akibatnya semakin besar pula ukuran matriks

kovariansinya. Jika data di

x

₀ diduga menggunakan data dari n lokasi maka jumlah

pembobot di semua lokasi harus selalu sama dengan satu.

Dari pembahasan disimpulkan bahwa sistem ordinary kriging untuk suatu matriks data yang dipartisi menjadi empat bagian menghasilkan penduga yang meminimumkan ragam dan tak bias.

(12)

V. DAFTAR PUSTAKA

Helms, L. L. 1997. Introduction to Probability Theory with Contemporary Applications. W. H. Freeman and Company, New York.

Issacs, E. H. & R. M. Srivastava. 1989. Applied Geostatistics. Oxford University Press, Oxford.

Olea, R. A. 1975. Optimum Mapping Techniques using Regionalized Variable

Theory. Empresa Nacional Del Petroleo, Santiago, Chile.

Pressini AL, Sullivan FE, Uhl JJ. 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming. Springer-Verlag New York Inc, New York.

(13)

Lampiran 1 Bukti teorema 1

Jika A adalah matriks definit positif dan λ adalah nilai eigen dari A maka untuk sembarang vektor eigen

x

milik λ

2

x x x x

xT =λ T =λ

A maka

0

2 >

=

x x xTA

λ

Sebaliknya misalkan semua nilai eigen dari A adalah positif. Misalkan {x1,x2,...,xn} adalah himpunan vektor-vektor eigen ortonormal dari A. Jika x adalah sembarang vektor tak nol dalam

n

R maka dapat dituliskan dalam bentuk

n nx

x

x=α₁ ₁+L+α

dimana

( )

2 ₀

2

1

> =

=

∑

=

x x

x

n

i i i

T

i dan α

α

Ini mengakibatkan

(

) (

n n n

)

T n n

T_A_x _x _x _x _x

x = α₁ ₁+L+α α₁λ₁ ₁+L+α λ

( )

i n

i

i λ

α 2

1

∑

₌

=

_≥

(

_min

)

2 _>₀

x

i λ

Jadi A adalah definit positif. _]

Lampiran 2 Bukti Akibat Teorema 1

Andaikan A singular.

Maka det A=0. Akibatnya λ=0.

Kontradiksi dengan A matriks definit positif.

Jadi haruslah A tak singular. . _]

Lampiran 3 Bukti persamaan (2.3.4)

Untuk penjumlahan dan pengurangan peubah acak berlaku :

[

U,V

]

cov

[

U,U

]

cov

[ ]

U,V cov

[

V,U

]

cov

[ ]

V,V

var = + + +

[

U,V

]

cov

[

U,U

]

cov

[ ]

U,V cov

[ ]

V,U cov

[ ]

V,V

var = − − +

Ragam galat dari persamaan (2.3.2) adalah :

( )

[

0

]

var

[

ˆ

( ) ( )

0 0

]

varR x = vx −v x

[

( ) ( )

]

[

( ) ( )

]

[

( ) ( )

]

[

( ) ( )

]

0 0 0

0 0

0 2

, cov ˆ

, cov ,

ˆ cov ˆ

, ˆ cov

~ _v _x _v _x _v _x _v _x _v _x _v _x _v _x _v _x

R = − − −

σ

[

( ) ( )

]

[

( ) ( )

]

[

( ) ( )

]

0 0 0

0 0

0 2

, cov ,

ˆ cov 2 ˆ , ˆ cov

~ _v_x _v_x _v_x _v _x _v _x _v _x

R = − −

σ

( ) ( )

[

ˆ 0 ,ˆ 0

]

var

[

ˆ

( )

0

]

covv x v x = vx

   

=

∑

=

n

i i iv

w

1

var

[ ]

j i n

i i

n

j j

iw v v

w cov ,

1

∑∑

₌ ₌

=

ij n

i i

n

j j

iwC

w ~

1

∑∑

= = =

( ) ( )

[

]



  

 

  



=

∑

=1 0

0

0 , 2cov ,

ˆ cov 2

1

v v w x

v x v

k

(14)

[ ]

0 1

1 1

2

2E wv v E wv Ev

k

i i i k

i i i

    

  

      −     

  

     

=

∑

= =

[ ]

[ ] [ ]

0 1

1 1

2

2 wEvv wEv_i Ev

k

i i i

k

i

∑

₌ − ₌

=

[

]

0 1

, cov 2

1

v v

w i

k

i i

∑

₌

=

0 1

~ 2

1

i k

i

iC

w

∑

₌

=

Asums ikan semua peubah acak memiliki ragam yang sama, yaitu

σ

~

2

.

Maka

[

( ) ( )

]

2 0 0 , ~

covv x vx =σ . Maka ragam galatnya adalah :

( ) ( )

[

0 0

]

[

( ) ( )

0 0

]

[

( ) ( )

0 0

]

2

, cov ,

ˆ cov 2 ˆ , ˆ cov

~ _v_x _v_x _v_x _v_x _v_x _v_x

R = − −

σ

∑

∑ ∑

=

= =

− +

= 1 1

' 1

1 0 1 1

2

2 ~

2 ~ ~

~ k

i i i ij

j k

i k

j i

R σ ww C w C

σ

Supaya ragam minimum dan tak bias perlu ditambahkan pengali lagr ange. Akibatnya:

) 1 (

2 ~ 2

~ ~

~

1 1

0 1 1

2

2 1 1

' 1

∑

∑ ∑

₌ ₌ − ₌ + ₌ −

+

= n

i i k

i i i ij

j k

i k

j i

R σ w w C w C λ w

σ ]

Lampiran 4 Bukti lemma 1

Dengan definisi residual :

( )

[ ]

[

( ) ( )

]

( )

[ ]

V x E

[ ]

m

( )

x E

x m x V E x R E

− =

x

given maka _m

( )

_x bukan merupakan peubah acak, melainkan suatu konstanta. =_m

( ) ( )

_x −_m _x (definisi 12)

=0 _]

Lampiran 5 Bukti lemma 2

Denga n definisi 16 ditunjuk kan bahwa

( )

[

]

= _

∑

_ =

) (

0

x f A E x M

E i

n

i i

Untuk setiap

x

dengan_x−_x₀ ≤_r. Dengan pertukaran ekspektasi dan penambahan ; fi

( )

x _bukan peubah acak.

( )

[

]

∑

=

= n

i

i i

A E x f x M E

0

] [ ) (

Bila Aitak bias maka :

( )

[

]

∑

=

= n

i

i _x _E_a

f x M E

0

] [ ) (

Dan dengan menggunakan definisi 14 diperoleh :

( )

[

M x

]

m

( )

x

E = ]

Lampiran 6 Program untuk membangkitkan gambar 3.1 di maple 9

(15)

> plot3d(sin(x)*sin(y)/(x*y),x= -10..10,y=-10..10,axes=FRAME);

Lampiran 7 Bukti persamaan (3.1.1.4)

( )

∑

=

= +

= 1 2

1 1 0 ˆ k s s s k i i

iv bv

a x v

Maka

[

( ) ( )

]

[

( )

]

0 0

0 ,ˆ varˆ

ˆ

covvx v x = v x

_      ₊ =

∑

= = 2 1 1 1 var k s s s k i i

iv bv

a

∑ ∑

[

]

∑∑

[

]

= = = = + = 2 ' 2 1 1'

1 1 1 1 , cov , cov k s j s j k j s k i j i j k j

ia v v b b v v

a

∑∑

= = = = + = 2 ' 2 1 1'

1 1 1 1 ~ ~ k s sj j k j s k i ij j k j

iaC bbC

a

Asumsikan semua peubah acak memiliki ragam yang sama yaitu

σ

~

2. Maka

[

( ) ( )

]

2

0 0

~ ,

covv x vx =σ

( ) ( )

[

]

          ₊ =

∑

=

=1 1 0

0

0 , 2cov ,

ˆ cov 2 2 1 v v b v a x v x v k s s s k i i i

[ ]

0 1 1 0 1 1 2 1 2 1 2

2E av bv v E av bv Ev

k s s s k i i i k s s s k i i i             + −             + =

∑

= = = =

[ ]

_          +     −           +     =

∑

= = = = 0 1 0 1 0 1 0 1 2 1 2 1 2

2E a v v b v v E av Ev bvs Ev

k s s i k i i s k s s i k i i

[ ]

[ ] [ ]

0 1 0 1 0 1 0 1 2 1 2 1 2 2 2

2 aEvv b Evv aEv Ev bEvs Ev

k s s i k i i s k s s i k i

i

∑

₌ + ₌ − ₌ − ₌ =

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

0 1 0 1 0 1 0 1 2 2 1 1 2 2 2

2 aEv v aEv Ev bEv v b Ev_s Ev

k s s s k s s i k i i i k i

i

∑

₌ − ₌ + ₌ − ₌ =

[

]

[

]

0 1 0 1 , cov 2 , cov 2 2 1 v v b v v a _s k s s i k i i

∑

₌ + ₌ = 0 1 1 ~ 2 ~ 2 2 1 s k s s io k i

iC bC

a

∑

₌ + ₌

=

Maka ragam galatnya adalah :

[

( ) ( )

]

[

( ) ( )

]

[

( ) ( )

]

0 0 0 0 0 0 2 , cov , ˆ cov 2 ˆ , ˆ cov

~ _v_x _v_x _v_x _v_x _v_x _v_x

R = − −

σ 0 1 1 0 1 1 1 1 2

2 ~ ~ ~ ₂ ~ ₂ ~

~ 2 1 2

' 2 1 1'

s k s s k i i i sj j k s k j s ij j k i k j i

R

∑ ∑

a a C

∑ ∑

b b C

∑

aC

∑

bC

= = = = = = − − + + = σ σ

Supaya memiliki ragam galat minimum dan memenuhi kondisi tak bias perlu ditambahkan parameter lagrange. Diperoleh :

    − + + − − + + =

∑∑

∑

∑ ∑

= = = = = = = = 1 2 ~ 2 ~ 2 ~ ~ ~

~ 1 1' 2 2' 1 2 1 2

1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 2 k i k s s i s k s s k i i i sj j k s k j s ij j k i k j i

R σ aaC bbC aC bC λ a b

σ _]

(16)

( )

∑

= = = = + + +

= 1 2 3 4

1 1 1 1 0 ˆ k m m m k k s s s k i i

iv b v c v d v

a x

v _l

l l

Maka

[

( ) ( )

]

[

( )

]

0 0

0

,

ˆ

var

ˆ

cov

v

x

v

x

=

v

x

_      ₊ ₊ ₊ =

∑

= = = = 4 3 2 1 1 1 1 1 var k m m m k k s s s k i i

iv b v c v d v

a l l l

[ ]

[

]

[

]

∑∑

[

]

∑∑

∑ ∑

= = = = = = = =

+

=

4 '4 3 ' 3 2 ' 2 1 ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1

,

cov

,

cov

,

cov

,

cov

k m j m j k j m j k j k j k s j s j k j s k i j i j k j i

v

d

v

c

v

b

v

a

l l l

∑∑

= = = = = = = = + + + = 4 ' 4 3 ' 3 2 ' 2 1 ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ~ ~ ~ ~ k m mj j k j m j k j k j k s sj j k j s k i ij j k j

iaC bbC ccC d dC

a l

l l

Asumsikan sem ua peubah acak memiliki ragam yang sama yaitu

σ

~

2. Maka

[

( ) ( )

]

2

0 0 , ~

covv x vx =σ

( ) ( )

[

]

          ₊ ₊ ₊ =

∑

= = = = 0 1 1 1 1 0

0 , 2cov ,

ˆ cov 2 4 3 2 1 v v d v c v b v a x v x v k m m m k k s s s k i i i l l l

[ ]

0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 4 3 2 1 4 3 2 1 2 2 v E v d v c v b v a E v v d v c v b v a E k m m m k k s s s k i i i k m m m k k s s s k i i i       ₊ ₊ ₊ −           ₊ ₊ ₊ =

∑

= = = = = = = = l l l l l l

[ ]

            +       +       +       −             +       +       +       =

∑

= = = = = = = = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 4 3 2 1 4 3 2 1 2 2 v E v d v E v c v E v b v E v a E v v d v v c v v b v v a E k m m m k k s s s k i i i k m m m k k s s s k i i i l l l l l l

[ ]

[

]

[

]

[

]

[ ] [ ]

0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 4 3 2 1 4 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v E v E d v E v E c v E v E b v E v E a v v E d v v E c v v E b v v E a k m m m k k s s s k i i i k m m m k k i k s s s i i

∑

= = = = = = = = − − − − + + + = l l l l l l

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[

]

[ ] [ ]

0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 4 4 3 3

1 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 v E v E d v v E d v E v E c v v E c v E v E b v v E b v E v E a v v E a k m m m k m m m k k k i k s s s k s s s k i i i i i

∑

= = = = = = = = − + − + − + − = l l l l l l

[

]

[

]

[

]

[

]

0 1 0 1 0 1 0 1 , cov 2 , cov 2 , cov 2 , cov 2 4 3 2 1 v v d v v c v v b v v a m k m m k s k s s i k i

i

∑

₌ + ₌ + ₌ + ₌ = l l l 0 1 0 1 0 1 1 ~ 2 ~ 2 ~ 2 ~ 2 4 3 2 1 m k m m k s k s s io k i

iC bC c C d C

a

∑

= = = = + + + = l l l

Maka ragam galatnya adalah :

( ) ( )

[

0 0

]

[

( ) ( )

0 0

]

[

( ) ( )

0 0

]

2 , cov , ˆ cov 2 ˆ , ˆ cov

~ _v_x _v_x _v_x _v_x _v_x _v_x

R = − −

(17)

0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ~ 2 ~ 2 ~ 2 ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4 3 2 1 4 ' 4 3 ' 3 2 ' 2 1 ' 1 m k m m k s k s s k i i i mj j k m k j m j k k j j sj j k s k j s ij j k i k j i R C d C c C b C a C d d C c c C b b C a a

∑

∑ ∑

= = = = = = = = = = = = − − − − + + + + = l l l l l l σ σ

Supaya memil iki ragam galat minimum dan memenuhi kondisi tak bias perlu ditambahkan parameter lagrange. Diperoleh :

      ₊ ₊ ₊ ₋ + − − − − + + + + =

∑

∑∑

∑ ∑

= = = = = = = = = = = = = = = =

1 2 3 4

4 3 2 1 4 ' 4 3 ' 3 2 ' 2 1 ' 1

1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 ~ 2 ~ 2 ~ 2 ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ k i k k m m k s s i m k m m k s k s s k i i i m j j k m k j m j k k j j sj j k s k j s ij j k i k j i R d c b a C d C c C b C a C d d C c c C b b C a a l l l l l l l l λ σ σ _]

Lampiran 9 Bentuk matriks kovariansi untuk s istem ordinary kriging dengan empat buah matriks partisi.

3

2

1

M

3

2

1

M

4

3

4

2

1

L

(18)

“Kar ya ilmiah ini saya per sembahkan unt uk : Kedua or ang t ua, adik, dan

selur uh keluar ga t er cint a, sahabat -sahabat dan semua or ang yang saya

(19)

WENNY ROKHMA SETYONINGRUM. Sistem Ordinary Kriging Untuk Matriks Data yang Dipartisi Menjadi Empat Bagian. Dibimbing oleh MUHAMMAD NUR AIDI dan PRAPTO TRI SUPRIYO.

Salah satu masalah penting dalam geostatistika adalah menduga data di suatu lokasi yang tidak bisa diamati secara langsung. Salah satu caranya adalah dengan metode ordinary kriging. Sistem ordinary kriging memenuhi kondisi tak bias dan ragam minimum. Namun, dalam kenyataan sehari-hari pendugaan dengan metode ordinary kriging kurang akurat. Hal ini dikarenakan ordinary kriging hanya memiliki satu fungsi variogram yang berlaku untuk semua lokasi.

(20)

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh :

WENNY ROKHMA SETYONINGRUM

G54102009

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(21)

Nama : Wenny Rokhma Setyoningrum

Nrp

: G54102009

Menyetujui

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Ir. Muhammad Nur Aidi, MS

Drs. Prapto Tri Supriyo, M. Kom.

NIP 131842408

NIP 131878952

Mengetahui

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS

NIP 131473999

(22)

pertama dari pasangan Rasito dan Harmini yang bertempat tinggal di Jalan Jombang No. 195 Rt . 023/007 Desa Pasuruhan kecamatan Binangun Kabupaten Cilacap.

Pada tahun 1996 penulis lulus dari SD Negeri Pasuruhan II kecamatan Binangun kabupaten Cilacap. Penulis melanjutkan ke SLTP Negeri I Binangun dan lulus pada tahun 1999, kemudian melanjutkan ke SMU Negeri I Banyumas kecamatan Banyumas kabupaten Banyumas dan lulus pada tahun 2002. Setelah itu penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur USMI dan memilih program studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

(23)

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.

Penulis mengucapkan terimakasih kepada :

1. Dr. Ir. Muhammad Nur Aidi, MS sebagai dosen pembimbing I dan Drs. Prapto Tri Supriyo, M.K