A STUDY OF CONFIDENCE INTERVAL BIASES OF ACCELERATED LIFE TESTING SYSTEM WITH CENSORED DATA TYPE II FOR
EXPONENTIAL DISTRIBUTION By
Miftah Farid Artama
Abstract
Reliability is a probability of product or system that has good operating for some period that has been determined without failure. Accelerated life testing is one of test that used for testing reliability of product or system. Analysis of accelerated life testing is a method to measure reliability of product or system by increasing the strains to gain the failure occur sooner than normal condition. Accelerated life testing can be completed data or censored data. Censored data type II is reliability data with r observation of failure in random sample n size, where r≤n. In this research, the Exponential distribution is used as distribution of reliability data. Estimation of paramater θ is determined by using Maximum Likelihood Estimation (MLE) method, for confidence interval of paramater θ is determined by using Povital Quantity. The simulation study for 1000 refrain show that there are 36 convidence interval consist no parameter θ.
KAJIAN BIAS SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA WAKTU TAHAN HIDUP DIPERCEPAT DENGAN DATA TERSENSOR TIPE II UNTUK SUATU
SISTEM YANG BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL Oleh
Miftah Farid Artama
Abstrak
Reliabilitas merupakan peluang suatu produk atau sistem akan beoperasi dengan baik untuk periode yang telah ditetapkan tanpa kegagalan. Uji hidup dipercepat merupakan salah satu pengujian yang dapat dilakukan untuk menguji reliabilitas suatu produk atau sistem. Analisis uji hidup dipercepat adalah metode untuk mengukur keandalan suatu sistem atau produk dengan cara meningkatkan tegangan supaya diperoleh kegagalan yang lebih cepat dibandingkan ketika berada dibawah kondisi normal. Uji hidup dipercepat dapat berbentuk data lengakap atau data tersensor. Data tersensor tipe II adalah data waktu tahan hidup dengan r observasi kegagalan dalam sampel acak berukuran n dengan
r≤n. Dalam penelitian ini distribusi waktu hidup yang digunakan pada data reliabilitas adalah distribusi Eksponensial. Pendugaan parameter θ dilakukan dengan Metode
Maksimum Likelihood Estimation (MLE) dan untuk selang kepercayaan dari parameter θ di tentukan dengan Povital Quantity. Hasil simulasi menunjukkan bahwa dari 1000 ulangan yang dilakukan terdapat 36 selang kepercayaan yang tidak menggandung paramater θ.
KAJIAN BIAS SELANG KEPERCAYAAN
RATA-RATA WAKTU TAHAN HIDUP DIPERCEPAT DENGAN DATA TERSENSOR TIPE II
UNTUK SUATU SISTEM YANG BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL (Skripsi)
Oleh
MIFTAH FARID ARTAMA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Uji Hidup Dipercepat Dengan Tegangan Bertingkat ... 28
2. Grafik Selang Kepercayaan ̂ ̂ ̂ ... 41
3. Grafik Selang Kepercayaan ̂ ̂ ̂ ... 42
4. Grafik Selang Kepercayaan ̂ ̂ ̂ ... 42
5. Grafik Selang Kepercayaan ̂ ̂ ̂ ... 42
6. Grafik Selang Kepercayaan ̂ ̂ ̂ ... 43
7. Grafik Selang Kepercayaan ̂ ̂ ̂ ... 43
8. Grafik Selang Kepercayaan ̂ ̂ ̂ ... 43
9. Grafik Selang Kepercayaan ̂ ̂ ̂ ... 44
10.Grafik Selang Kepercayaan ̂ ̂ ̂ ... 44
DAFTAR ISI
2.5 Fungsi Pembangkit Momen ... 8
2.6 Fungsi Densitas Masa Hidup... 9
2.7 Konsep Dasar dan Fungsi Tahan Hidup Suatu Sistem ... 10
2.8 Fungsi Laju Tingkat Kegagalan (Fungsi Hazzard) ... 11
III. METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 26
3.2 Metode Penelitian ... 26
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Uji Hidup Dipercepat Untuk Data Tersensor Tipe II ... 28
4.2 Model Data Kegagalan Dipercepat ... 29
4.3 Uji Hidup Sistem Dipercepat Distribusi Eksponensial ... 30
4.4 Interval konfidensi untuk Rata-rata Waktu Tahan Hidup ... 36
4.5 Aplikasi Uji Hidup Dipercepat ... 37
4.6 Simulasi Selang Kepercayaan untuk ̂ ... 41
xvi
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
M O T O
Wahai orang-orang yang beriman, bersabarlah kamu dan kuatkanlah kesabaranmu dan tetaplah bersiap-siaga dan bertaqwalah kepada Allah, supaya
kamu menang
( )
“You never fail until you stop trying” (Albert Einstain)
Hanya ada dua pilihan: menjadi apatis atau mengikuti arus Tapi, aku memilih untuk menjadi manusia merdeka (Soe Hok Gie – Catatan seorang demonstran) Hiduplah seperti pohon kayu yang lebat buahnya
Hidup ditepi jalan dan dilempari orang dengan batu Tetapi membalas dengan buah
(Abu Bakar Sibli)
P E R S E M B A H A N
Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT, saya persembahkan
karya kecil dan sederhana ini sebagai tanda bakti dan cinta kepada
semua orang yang senantiasa mendukung dan dengan tulus
mendoakan kelancaran terciptanya karya ini.
Papa, Mama, Kyay, Adek Uti, Ami, Reva yang selalu memberikan
semangat serta dukungan dan doa yang amat sangat luar biasa
kepada penulis
Sahabat-sahabat terbaik yang selalu ada. Terimakasih atas keceriaan,
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Way Jepara Kabupaten Lampung Timur pada tanggal 14 Desember 1992. Penulis merupakan anak kedua dari pasangan Bapak Arkam dan Ibu Muntama, adik dari Chandra Adidya Artama dan kakak dari Rita Putri Artama.
Penulis memulai pendidikan dari Taman Kanak-kanak Al-Muslimun Way Jepara Lampung Timur dan lulus pada tahun 1998. Sekolah dasar di SD N 1 Labuhan Ratu Dua Way Jepara Lampung Timur pada tahun 2004. Sekolah menengah pertama di SMP N 1 Way Jepara Lampung Timur pada tahun 2007 serta sekolah menengah atas di SMA N 1 Way Jepara Lampung Timur pada tahun 2010.
Pada periode selanjutnya yaitu 2012/2013 penulis menjabat sebagai Ketua Umum HIMATIKA FMIPA Universitas Lampung.
SANWACANA
Alhamdulillahirobbil‘alamin, segala puji dan syukur kepada Allah SWT atas izin serta ridho-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Kajian Bias Selang Kepercayaan Rata-rata Waktu Tahan Hidup Dipercepat dengan Data Tersensor Tipe II untuk Suatu Sistem yang Berdistribusi Eksponensial”. Shalawat teriring salam kepada junjungan nabi besar Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi kita semua pengikutnya.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak bimbingan, kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada :
1. Bapak Rudi Ruswandi, M.Si., selaku pembimbing pertama yang senantiasa membimbing dan memberikan arahan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
2. Ibu Widiarti, M.Si., selaku dosen pembimbing kedua yang telah banyak membantu dan selalu sabar memberikan pengarahan, pembelajaran, semangat, serta dukungan dalam proses penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Mustofa Usman, Ph.D., selaku penguji yang telah memberikan penulis kritik, saran, dan masukan yang membangun.
5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung. 7. Seluruh dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
8. Untuk kedua orang tua yang menjadi semangat hidupku “Papa dan Mama”, Kyay, Adek uti, Ami, dan Reva terimakasih telah menjadi semangat yang tak pernah hilang, pendukung yang selalu ada baik raga maupun doa.
9. Sahabat-sahabat penulis dan juga sahabat seperjuangan dalam merangkai asa dan cita juga harapan Hasby Alkarim, Muhammad Ridho, Rohandi, Sofyan Saputra, Agustina Ambar Wulan, Agustia Indriani, Christy Engine Nita, Dian Ekawati, Dinda Ristanti, Tri Handayani.
10.Keluarga Besar, Seluruh Pimpinan, Kepala Bidang, Sekretaris Bidang, Anggota dan Gematika HIMATIKA periode 2012-2013 serta PSDM BEM FMIPA Universitas Lampung Periode 2011- 2012.
11.Teman-teman Matematika 2010 yang luar biasa atas pengalaman, kebersamaan serta keceriaan yang diberikan kepada penulis selama menempuh pendidikan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung. 12.Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak
dapat disebutkan satu persatu.
Bandar Lampung, Agustus 2014 Penulis,
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Uji hidup merupakan kajian daya tahan hidup suatu unit atau individu pada suatu keadaan tertentu. Analisis statistik uji hidup telah dikembangkan menjadi topik yang penting diberbagai bidang, terutama di bidang ilmu rekayasa (engineering)
dan ilmu pengetahuan biomedis. Aplikasi analisis distribusi waktu hidup berkisar pada penyelidikan daya tahan produk atau sistem sampai dengan penelitian mengenai suatu penyakit.
Pada analisis uji hidup, data waktu hidup dapat berbentuk data lengkap, data tersensor tipe I dan data tersensor tipe II. Data lengkap jika data yang diamati secara utuh. Data tersensor tipe I merupakan data uji hidup yang dihasilkan setelah penelitian berjalan selama waktu yang telah ditentukan. Sedangkan data tersensor tipe II merupakan data hasil penelitian yang dihentikan setelah sejumlah kematian atau kegagalan tertentu telah terjadi (Lawless, 1982).
2
Dalam dunia bisnis atau usaha yang menghasilkan suatu produk, daya tahan produk yang dihasilkan adalah hal yang sangat penting dan berhubungan erat dengan proses pemasaran. Misalnya sebelum memasarkan suatu produk, perusahaan harus mengetahui keandalannya. Untuk mengukur karakteristik daya tahan hidup suatu produk sehingga diperoleh keandalannya biasanya dilakukan dengan cara mengoperasikan produk dibawah keadaan normal, akan tetapi karena cara tersebut mempunyai kelemahan, yaitu penelitian akan memerlukan waktu yang lama. Untuk mengatasi kelemahan tersebut, dirancang metode untuk memaksa produk supaya gagal lebih cepat dibandingkan ketika berada dibawah kondisi normal, yaitu dengan cara membuat model kegagalan produk dan karakteristik hidupnya. Dengan kata lain mempercepat kegagalan produk atau Uji Hidup Dipercepat (UHD).
3
distribusi waktu hidup Eksponensial, atau data waktu hidup yang mengikuti distribusi Eksponensial.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian pada sub-bab sebelumnya, maka dapat dirumuskan masalah sebagai berikut :
1. Bagaimana model uji hidup dipercepat (Accelerated Life Testing) untuk data tersensor tipe II berdasarkan model distribusi Eksponensial?
2. Bagaimana menduga parameter dan selang kepercayaan model uji hidup dipercepat (Accelerated Life Testing) untuk data tersensor tipe II berdasarkan model distribusi Eksponensial?
3. Mengkaji bias selang kepercayaan melalui simulasi data tersensor tipe II berdasarkan model distribusi Eksponensial?
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan skripsi ini adalah:
1. Mendapatkan model uji hidup dipercepat (Accelerated Life Testing) untuk data tersensor tipe II berdasarkan model distribusi Eksponensial.
4
3. Melakukan kajian bias selang kepercayaan melalui simulasi data tersensor tipe II berdasarkan model distribusi Eksponensial?
1.4 Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan ini adalah:
1. Menambah referensi tentang analisis uji hidup dipercepat (Accelerated Life Testing), khususnya data tersensor tipe II menggunakan distribusi Eksponensial.
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Konsep Dasar Peluang
Pada dasarnya statistika berkaitan dengan penyajian dan penafsiran hasil yang berkemungkinan (hasil yang belum dapat ditentukan sebelumnya) yang muncul dalam penelitian yang dirancang sebelumnya atau muncul dalam penelitian ilmiah. Pencacahan atau pengukuran karakteristik suatu objek kajian yang hasilnya berbentuk bilangan disebut percobaan acak (Abadyo dan Hendro permadi, 2005).
Definisi 2.1
Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan (eksperimen) acak disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan lambang S. Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel (Bain dan Engehardt, 1992).
Definisi 2.2
Ruang nol atau ruang kosong atau himpunan kosong ialah himpunan bagian dari ruang sampel yang tidak mengandung satu pun anggota. Kejadian seperti ini dinyatakan dengan lambang (Walpole,1995).
Definisi 2.3 : Peluang Secara Aksioma
6 sebagai “peluang peristiwa A”, “peluang terjadinya peristiwa A”, atau “peluang
bahwa peristiwa A terjadi”. Apabila kita melakukan sebuah percobaan yang menghasilkan banyak anggota ruang sampelnya berhingga (jadi S merupakan himpunan berhingga), maka setiap titik sampel bisa dianggap sebagai sebuah peristiwa yang mempunyai anggota tunggal. Demikian juga setiap anggota yang termasuk ke dalam sebuah peristiwa bisa dianggap sebagai peristiwa anggota tunggal.
2.2 Peubah Acak
Definisi 2.4
7
dengan dan (Bain dan Engelhardt, 1992).
Misalkan adalah sebuah percobaan dengan ruang sampelnya . Sebuah fungsi yang menetapkan setiap anggota ke sebuah bilangan real dinamakan peubah acak.
adalah peubah acak. Jika banyak nilai-nilai yang mungkin dai (yaitu ruang hasil ) berhingga atau tak berhingga tapi dapat dihitung, maka dinamakan peubah acak diskrit. Nilai-nilai yang mungkin dari bisa ditulis sebagai:
adalah peubah acak. Jika nilai-nilai yang mungkin dari (yaitu ruang hasil ) merupakan sebuah interval pada garis bilangan real, maka dinamakan peubah acak kontinu.
2.3 Distribusi Peluang
Definisi 2.5
Jika adalah peubah acak diskrit, maka untuk setiap dalam range dinamakan fungsi peluang dari . Nilai fungsi peluang dari , yaitu , harus memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
i. ii. ∑
8
adalah peubah acak kontinu, maka fungsi distribusi kumulatif dari berbentuk:
∫
9
untuk dan
Definisi 2.9: Fungsi Pembangkit Momen Diskrit
Jika adalah peubah acak diskrit dan adalah nilai fungsi peluang dari di , maka fungsi pembangkit momen dari didefinisikan sebagai:
∑
Definisi 2.10: Fungsi Pembangkit Momen Kontinu
Jika adalah peubah acak kontinu dan adalah nilai fungsi densitas dari di , maka fungsi pembangkit momen dari didefinisikan sebagai:
∫
2.6 Fungsi Densitas Masa Hidup
Fungsi-fungsi pada distribusi waktu hidup merupakan suatu fungsi yang menggunakan peubah acak waktu hidup. Peubah acak waktu hidup biasanya dinotasikan dengan huruf T dan akan membentuk suatu distribusi. Distribusi waktu hidup dijelaskan oleh tiga fungsi, yaitu fungsi hidup R(t), fungsi densitas peluang f(t) dan fungsi kegagalan/fungsi hazard h(t).
10
[ ( ) ]
[ ]
yang mempunyai sifat sebagai berikut:
a.
b. ∫
Fungsi disebut fungsi densitas peluang bagi variabel random kontinu T bila luas daerah dibawah kurva dan diatas sumbu-t sama dengan 1, dan bila luas daerah dibawah kurva antara dan menyatakan peluang T terletak antara dan (Walpole,1995).
Dengan demikian luas daerah yang diarsir adalah:
∫ dengan [
2.7 Konsep Dasar dan Fungsi Tahan Hidup Suatu Sistem
11
Ketahanan hidup (reliabilitas) adalah peluang suatu produk akan beroperasi dengan baik untuk periode yang telah ditetapkan dibawah kondisi yang ditentukan, seperti suhu dan tegangan, tanpa kegagalan. Dirumuskan sebagai:
R(t) = P(objek hidup lebih dari waktu t)
= P(T>t)
= 1-P(objek gagal sebelum waktu t)
= 1-P(T≤t) (2.7.1)
2.8 Fungsi Laju Tingkat Kegagalan (Fungsi Hazard)
Fungsi kegagalan dari waktu tahan hidup T dinotasikan dengan h(t) dan didefinisikan sebagai peluang suatu objek gagal didalam interval waktu (t,t+∆t) dengan diketahui bahwa objek tersebut telah hidup selama waktu t. Fungsi kegagalan dinyatakan dengan:
[ ]
Jika f(t) adalah fungsi densitas peluang pada waktu t, maka diperoleh:
[ ]
12
[ ]
[ ( ) ]
[ ]
2.9 Data Tersensor
Sensor dilakukan untuk memperpendek waktu percobaan karena untuk mengukur waktu kegagalan atau kematian objek memerlukan waktu yang lama dan biaya yang tidak sedikit. Dalam uji ketahanan terdapat tiga jenis sensor, yaitu:
1. Sensor Tipe I
13
2. Sensor Tipe II
Sensor tipe II adalah tipe penyensoran dimana sampel ke-r merupakan observasi terkecil dalam sampel random berukuran n (1≤r≤n). Dengan kata
lain jika total sampel berukuran n, maka percobaan akan dihentikan sampai diperoleh r kegagalan. Semua unit uji n masuk pada waktu yang sama. Pada sensor tipe II, jika tidak terdapat individu yang hilang, maka waktu tahan hidup observasi tersensor sama dengan waktu tahan hidup observasi tidak tersensor. Kelebihan sensor ini dapat menghemat waktu dan biaya.
3. Sensor Tipe III
Dalam sensor tipe III, individu atau unit uji masuk ke dalam percobaan pada waktu yang berlainan selama periode waktu tertentu. Beberapa unit uji mungkin gagal atau mati sebelum pengamatan berakhir sehingga waktu tahan hidupnya dapat diketahui dengan pasti. Kemungkinan kedua adalah unit uji keluar sebelum pengamatan berakhir, atau kemungkinan ketiga adalah unit uji tetap hidup sampai batas waktu terakhir pengamatan. Untuk objek yang hilang, waktu tahan hidupnya adalah sejak masuk dalam pengamatan sampai dengan waktu terakhir sebelum hilang. Untuk unit uji yang tetap hidup, waktu tahan hidupnya adalah dari mulai masuk pengamatan sampai waktu pengamatan berakhir.
Penyensoran data dapat disebabkan oleh beberapa hal, antara lain: a. Data hilang
b. Data keluar (withdrawls)
14
Percobaan juga dapat dilakukan tanpa menggunakan ketiga tipe penyensoran tersebut, yaitu dengan sampel lengkap. Sampel lengkap berarti bahwa nilai kegagalan dari semua unit sampel yang diobservasi dapat diketahui. Percobaan akan berhenti jika semua sampel yang diamati mengalami kegagalan.
2.10 Counting Proses
Definisi 2.11 :
Proses stokastik { } dikatakan proses menghitung (counting process)
jika atau menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi selama waktu (S.Osaki, 1992).
Proses menghitung { } memenuhi sifat: i.
ii. adalah bilangan bulat iii.Jika , maka
iv. Untuk , menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu ⌋
Kenaikan Independen (independent increment)
Suatu proses menghitung disebut kenaikan independen (independent increment)
jika banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu terpisah adalah saling bebas. Banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu yaitu , bebas dan banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu antara dan , yaitu
15
Kenaikan Stasioner (stationary increment)
Suatu proses menghitung disebut kenaikan stasioner (stationary increment) jika distribusi dari banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu tertentu hanya tergantung pada panjang dari interval tersebut. Banyaknya kejadian pada interval waktu ⌋ yaitu mempunyai distribusi yang
Definisi 2.13: Proses Poisson (stationary independent increments)
Suatu proses menghitung { } dikatakan proses Poisson dengan parameter jika memenuhi:
16
ii. Proses mempunyai kenaikan bebas stasioner (stationary independent increments)
ii.Proses mempunyai kenaikan bebas (independent increments)
iii.Peluang ada kejadian dalam interval waktu :
17
maka
[ ]
[ ]
[ ]
Teorema 1:
Jika jumlah kegagalan mengikuti distribusi Poisson maka suatu variabel random waktu antar kegagalan mengikuti distribusi eksponensial.
Fungsi peluang distribusi Poisson dengan parameter adalah
Bukti:
f(t) = fungsi densitas peluang dari interval waktu t antar pemunculan kejadian
yang berurutan, .
F(t) = fungsi distribusi kumulatif dati t
Jika suatu variabel random waktu antar kedua kegagalan berurutan dimisalkan T, maka:
18
∫
atau menggunakan F(t) sebagai fungsi distribusi kumulatif dari T diperoleh:
{ }
maka fungsi densitasnya adalah
{
Dari fungsi densitas distribusi eksponensial dengan parameter diatas, maka diperoleh fungsi pembangkit momen:
∫ ∫
]
E(T) diperoleh dari turunan pertama fungsi pembangkit momen, sehingga:
maka:
19
Jadi waktu kegagalan yang berurutan mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata dan varian .
2.12 Distribusi Gamma
Peubah acak dikatakan berdistribusi Gamma, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk:
{
Peubah acak yang berdistribusi gamma disebut juga peubah acak gamma. Peubah acak yang berdistribusi gamma dapat dinotasikan dengan , artinya peubah acak berdistribusi gamma dengan parameter dan .
Peubah acak yang berdistribusi Gamma dengan parameternya dan bisa juga ditulis sebagai:
Berdasarkan definisi pembangkit momen kontinu, maka fungsi pembangkit momen untuk distribusi Gamma adalah:
∫
20
∫ ∫
∫
∫
Misalnya: , maka
sehingga
Batas-batas: Untuk , maka
Untuk , maka
∫ ( )
∫
Jadi diperoleh fungsi pembangkit momen distribusi Gamma adalah
21
2.13 Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial merupakan bentuk khusus dari distribusi Gamma dengan
dan .
Fungsi Densitas Eksponensial:
{( )
Fungsi distribusi kumulatif distribusi Eksponensial adalah:
∫
∫
∫
]
Fungsi tahan hidupnya adalah
Fungsi kegagalannya adalah
22
23
Maka:
∫
∫
]
]
Jadi diperoleh fungsi pembangkit momen distribusi Eksponensial adalah
.
2.14 Distribusi Khi-Khuadrat
Distribusi Khi-kuadrat merupakan bentuk khusus dari distribusi Gamma dengan
24
Fungsi Densitas Khi-Kuadrat
Peubah Acak X dikatakan berdistribusi Khi-kuadrat, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk :
{
Peubah acak X yang berdistribusi kuadrat disebut juga peubah acak khi-kuadrat. Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi khi-kuadrat adalah
, artinya peubah acak berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan . Peubah acak yang berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan bisa juga ditulis sebagai:
Berdasarkan definisi pembangkit momen kontinu, maka fungsi pembangkit momen untuk distribusi Khi-kuadrat adalah:
∫
∫ ∫
25
∫
∫
Misalkan: , maka
Batas-batas: Untuk , maka
Untuk , maka
∫
∫
Jadi diperoleh fungsi pembangkit momen distribusi Khi-kuadrat adalah
BAB III
METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada Semester Genap Tahun Akademik 2013/2014, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Penulisan skripsi ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara sistematis yang diperoleh dari buku-buku atau media lain untuk mendapatkan informasi sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini, kemudian melakukan simulasi sebagai aplikasi untuk menjelaskan teori yang telah didapat.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Menentukan model data kegagalan dipercepat Distribusi Eksponensial a. Fungsi distribusi kumulatif
27
2. Menentukan model UHD (Uji Hidup Dipercepat) untuk data tersensor tipe II berdistribusi eksponensial.
a. Mencari fungsi peluang bersama t1≤ … ≤ tr≤ yr+1 ≤ … ≤ yn
b. Menentukan fungsi peluang bersama parameter dan dimana merupakan rata-rata kegagalan dibawah kondisi normal dan merupakan percepatan linear kondisi normal terhadap kondisi dipercepat.
c. Menduga parameter dan dengan menggunakan metode
maksimum likelihood.
3. Menduga selang kepercayaan untuk rata-rata waktu tahan hidup dipercepat suatu sistem yang berdistribusi Eksponensial.
4. Aplikasi UHD tegangan bertingkat parsial sampel lengkap berdistribusi Eksponensial pada pengujian sistem wireless
a. Uji kecocokan data dengan distribusi Eksponensial
b. Inferensi statistik UHD tegangan bertingkat pada pengujian sistem
wireless
c. Interval konfidensi 100% untuk ̂
BAB V KESIMPULAN
Dari hasil analisis dan pembahasan yang telah dilakukan, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Model uji hidup dipercepat adalah:
2. Rata-rata waktu kegagalan pada kondisi dipercepat bertingkat dinotasikan
dengan θs dan percepatan liniernya dinotasikan dengan adalah:
̂ ∑ ̂
dengan derajat bebas 2r, interval konfidensi (1-α)100% untuk ̂ adalah:
̂
3. Berdasarkan aplikasi yang telah dilakukan menggunakan data sistem
wireless diperoleh nilai ̂=749,4 dengan batas bawah sebesar 462,59 dan batas atas sebesar 1562,88. Simulasi Generate data berdistribusi Eksponensial dengan ulangan sebanyak 1000 kali diperoleh rata-rata nilai
DAFTAR PUSTAKA
Abadyo dan Hendro Permadi. 2005. Metode Statistika Praktis. Malang: UM Press. Bain, L.J and Engelhardt. 1992. Introduction to Probability and Mathematical
Statistics. 2nd ed. California: Duxbury Press.
Herrhtanto, Nar. 2009. Pengantar Statistika Matematika. Bandung: CV.YRAMA WIDYA.
http://www.goodreads.com/author/show/1472011.Shunji_Osaki/process.poisson diakses pada 19 mei 2013
Lawless, J. F. 1982.Statistical Models and Methods for Lifetime Data. Canada: John Wiley & Sons, Inc.
Lawless, J.F. 2003. Statistical Model and Methods for Lifetime Data. 2nd ed. New Jersey: John Wiley and Sons Inc.
Shinha, S.K and Kale, B.K. 1980. Life Testing and Reliability Estimation. New Delhi: WILEY EASTERN LIMITED.
Walpole, Ronald E. 1993. Pengantar Statistika Edisi ke-3. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.
