ABSTRAK
Reliabilitas suatu sistem adalah peluang suatu sistem beroperasi dalam interval waktu tertentu sesuai dengan ketentuan yang diharapkan. Data yang digunakan pada analisis masa hidup sistem adalah data tersensor tipe II dan distribusi yang digunakan distribusi Eksponensial. Parameter dari distribusi ini umumnya tidak diketahui sehingga perlu diduga menggunakan Metode Maximum Likelihood. Metode ini merupakan salah satu metode penduga parameter yang konsep penduganya adalah dengan memaksimalkan fungsi kemungkinan. Data masa hidup sistem disimulasikan dengan sofwere R dari 25 data dengan pengulangan 1000 menggunakan metode bootstrap untuk sampel 10, 30, 50, 100 dengan rata-rata parameter awal 1046,48. Hasil simulasi menunjukan ukuran sampel dan banyaknya pengulangan cukup mempengaruhi parameter yang dihasilkan. Semakin besar sampel dan pengulangannya, pada umumnya akan semakin dekat dengan parameter sampel awal.
PENENTUAN SELANG DUGAAN PARAMETER RATA-RATA MASA HIDUP SISTEM YANG BERDISTRIBUSI
EKSPONENSIAL UNTUK DATA TERSENSOR TIPE II (Skripsi)
DICA YULYANA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Grafik Theta_duga ( ̂ ̂ ̂ ) untuk n10... 39
2. Grafik Theta_duga ( ̂ ̂ ̂ ) untuk n30... 39
3. Grafik Theta_duga ( ̂ ̂ ̂ ) untuk n50... 40
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1Masa Hidup Distribusi Eksponensial ... 28 4.2Interval Konfidensi untuk Rata-rata
Waktu Tahan Hidup ... ... 35 4.3 Aplikasi Masa Hidup Sistem yang Berdistribusi
Eksponensial ... ... 36 4.4 Simulasi Selang Kepercayaan ... 39 BAB V KESIMPULAN
5.1Kesimpulan ... 42
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
MOTO
“ maka sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan “
(Al-Insyirah : 5)
“saya tidak tahu akan seperti apa takdir anda, tetapi satu hal yang saya tahu : orang-orang diantara anda yang akan benar-benar bahagia adalah mereka yang akan mencari dan menemukan cara untuk melayani”
(Albert Schweitzer)
“manisnya keberhasilan akan menghapus pahitnya
kesabaran. Nikmatnya kemenangan melenyapkan letihnya perjuangan. Menuntaskan pekerjaan dengan baik akan melenyapkan lelahnya jerih payah”
(Dr.Aidh Al Qarni”
PERSEMBAHAN
Dengan rasa syukur kepada Allah SWT atas segala ridho dan berkatNya serta
kerendahan hati kupersembahkan karya sederhana ini kepada semua orang yang
senantiasa mendukung dan mendoakan kelancaran terciptanya karya ini.
Wan, mak, wo dian, adik dani dan data yang sangat kusayangi yang dengan
tulus memberikan semangat serta dukungan dan doa demi keberhasilanku.
Sahabat-sahabat terbaik yang selalu hadir. Terimakasih atas kebersamaan,
kecerian, dan dukungan kepada penulis.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Krui, Pesisir Barat pada tanggal 29 September 1991. Penulis merupakan anak kedua dari empat bersaudara, dari pasangan bapak Hi. Zamlan dan ibu Yusnalaini, adik dari Dian Zonalia, kakak dari Dani Aredotama dan Data Adiafatra.
Penulis memulai pendidikan Sekolah Dasar di SD N 2 Bumi Waras Krui Pesisir Barat pada tahun 2004. Sekolah menengah pertama di MTS NU Krui Pesisir Barat pada tahun 2007. Kemudian Sekolah menengah atas di MAN Krui Pesisir Barat pada tahun 2010.
SANWACANA
Puji syukur kepada allah SWT atas izin serta ridho-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Penentuan Selang Dugaan Parameter Rata-Rata Masa Hidup Sistem Yang Berdistribusi Eksponensial Pada Data Tersensor Tipe II ”. Shalawat teriring salam kepada junjungan nabi besar Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi kita semua pengikutnya.
Penulisan skripsi ini juga tidak terlepas dari dukungan, bimbingan, kritik dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan.
Untuk itu penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1. Bapak Drs. Rudi Ruswandi, Msi., selaku pembimbing utama yang senantiasa memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis.
2. Ibu Widiarti, M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang selalu sabar dalam memberi pengarahan, semangat dan bahkan dukungan.
3. Bapak Mustofa Usman, Ph.D., selaku penguji yang telah memberikan kritik, saran dan masukan kepada penulis
4. Bapak Warsono, Ph.D., selaku pembimbing akademik yang selalu memberikan masukan yang begitu luar biasa kepada penulis.
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung. 7. Seluruh dosen, staff dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
8. Untuk kedua orang tua tercinta “wan dan mak, wo Dian Zonalia, adik Dani Aredotama dan adik Data Adiafatra ” terimakasih telah menjadi semangat, dukungan dan doa yang tak pernah henti.
9. Sahabat-sahabat seperjuangan dalam berbagi suka dan duka dalam merangkai mimpi Dian Asmarawati, Vitri Aprilla H, Siti Fatimah, Reni Permatasari, Marry Juzmiyanti, Wulandari, Rena Renteta, Ridho dan Herman.
10. Vinny, Reka, Yepta yang tidak pernah sungkan membagi ilmunya dan mengajarkan kepada penulis.
11. Teman-teman kosan yang kini menjadi keluarga baru penulis Selvita Sari, Desi Ardila, Mia Meisiska, Imawati, Marlia Eka Putri, Ni Wayan Sayu Waktini, Desi Damayanti, Pepi Elian, Dian Setya Rini dan Titin.
12. Candra Firdaus yang selalu memberi semangat kepada penulis.
13. Keluarga Besar HIMATIKA dan UKMF Natural Universitas Lampung. 14. Teman-teman Matematika 2010 yang luar biasa memberikan pengalaman,
kebersamaan serta keceriaan.
15. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Bandar Lampung, Februari 2015 Penulis,
1
I. PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang dan Masalah
Semua alat atau komponen dari suatu sistem mempunyai masa hidup atau disebut juga umur suatu alat. Umur suatu alat ini pada dasarnya ada dua macam yaitu umur teknis yang akan melibatkan waktu yang terletak antara mulai pakai suatu alat sampai alat itu tidak bisa digunakan lagi karena rusak dan umur ekonomis yang melibatkan waktu mulai dipakai suatu alat sampai alat tersebut secara ekonomis tidak berfungsi lagi. Untuk menganalisis umur suatu alat ini digunakan analisis uji hidup. Analisis masa hidup merupakan peristiwa kegagalan yang dapat berupa tidak berfungsinya benda tersebut secara optimal atau mati. Secara matematis, masa hidup disebut juga variabel random dengan nilai non negatif.
2
Data pada analisis masa hidup dapat berbentuk data lengkap, data tersensor tipe I dan data tersensor tipe II. Data disebut lengkap jika data diamati secara utuh. Data tersensor tipe I merupakan data masa hidup yang dihasilkan setelah penelitian berjalan selama waktu yang telah ditentukan. Sedangkan data tersensor tipe II merupakan data hasil penelitian yang dihentikan setelah sejumlah kematian atau kegagalan tertentu telah terjadi (Lawless, 1982).
Data tersensor tipe II merupakan banyak kegagalan yang ditetapkan dari jumlah n. Dengan kata lain jika total sampel berukuran n, maka percobaan akan dihentikan sampai diperoleh r kegagalan, sehingga penelitian yang dilakukan dapat menghemat waktu dan biaya.
Beberapa distribusi yang sering digunakan untuk data tersensor adalah distribusi Poisson, distribusi Eksponensial, distribusi Gamma dan distribusi Weibull. Jumlah kegagalan dari sebuah percobaan merupakan proses Poisson dengan waktu kegagalan dari unit percobaan mengikuti distribusi Eksponensial, sedangkan waktu dari unit percobaan merupakan distribusi Gamma. Dalam penelitian ini, penulis menggunakan distribusi masa hidup Eksponensial, atau data masa hidup mengikuti distribusi Eksponensial untuk menghitung waktu kegagalan
dalam sebuah percobaan yang akan diamati.
3
Maximum Likelihood untuk sampel yang besar. Metode Maximum Likelihood ini merupakan salah satu metode penduga parameter yang konsep penduganya adalah dengan memaksimalkan fungsi kemungkinan. Metode ini lebih sering digunakan untuk menduga parameter pada data tersensor yang distribusi peluangnya diketahui.
1.2Perumusan Masalah
Dari latar belakang di atas, maka permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah penentuan selang dugaan parameter rata-rata masa hidup suatu sistem yang berdistribusi Eksponensial untuk data tersensor tipe II menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE).
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Mendapatkan selang dugaan parameter dengan menggunakan Maximum Likelihood Estimation (metode kemungkinan maksimum) pada masa hidup suatu sistem yang berdistribusi Eksponensial untuk data tersensor tipe II.
4
1.4 Manfaat Penelitian
5
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1Konsep Dasar Peluang
Ruang sampel S adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan. Kejadian E adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Peluang suatu kejadian P(E) adalah rasio dari banyaknya titik kejadian dan ruang sampel atau :
Dimana dan berturut-turut adalah banyaknya titik kejadian dan ruang sampel. Aksioma dan sifat-sifat peluang :
1.
2.
3.
4. Untuk kejadian A dan B
5. Jika kejadian A dan B saling asing maka
6. Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika 7. Peluang Bersyarat |
6
2.2Peubah Acak
Misalkan adalah sebuah percobaan dengan ruang sampelnya . Sebuah ruang fungsi yang menetapkan setiap anggota ke sebuah bilangan real dinamakan peubah acak (Herhyanto, 2009).
Jika banyak nilai-nilai yang mungkin dari yaitu (ruang hasil ) berhingga atau tak berhingga tapi dapat dihitung, maka dinamakan peubah acak diskrit. Nilai-nilai yang mungkin dari bisa ditulis sebagai:
Jika nilai-nilai yang mungkin dari (yaitu ruang hasil ) merupakan sebuah interval pada garis bilangan real, maka dinamakan peubah acak kontinu.
2.3Distribusi Peluang
Kumpulan pasangan yang diurutkan dinamakan distribusi peluang dari Bentuk umum dari fungsi peluang ada dua kemungkinan, yaitu berupa
konstanta dan berupa fungsi dari nilai peubah acak.
7
a.
b. ∫
c.
∫
2.4Fungsi Pembangkit Momen
Jika adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit momen dari (dinotasikan dengan ) didefinisikan sebagai:
Untuk
Definisi 2.1: Fungsi Pembangkit Momen Diskrit
Jika X adalah peubah acak diskrit dan adalah nilai fungsi peluang dari di , maka fungsi pembangkit momen dari didefinisikan sebagai:
∑
Definisi 2.2: Fungsi Pembangkit Momen Kontinu
8
∫
2.5Konsep Dasar dan Fungsi Reliabilitas
Keterandalan (Reliabilitas) adalah ukuran suatu komponen atau peralatan untuk beroperasi terus–menerus tanpa adanya gangguan atau kerusakan. Menurut Patrick (2001) practical reliability merupakan probabilitas sebuah komponen atau suatu sistem untuk dapat beroperasi sesuai dengan fungsi yang diinginkan untuk suatu periode waktu tertentu ketika digunakan untuk dibawah kondisi operasional tertentu.
Fungsi-fungsi pada distribusi uji hidup sistem merupakan suatu fungsi yang menggunakan variabel random waktu hidup suatu sistem. Variabel random waktu hidup suatu sistem biasanya dinotasikan dengan huruf T dan akan membentuk suatu distribusi. Distribusi waktu hidup dijelaskan oleh tiga fungsi, yaitu fungsi Reliabilitas R(t), fungsi densitas peluang f(t) dan fungsi kegagalan/fungsi hazard h(t). Ketiga fungsi tersebut ekuivalen secara matematik, yang berarti jika salah satu dari ketiga fungsi tersebut diketahui, maka fungsi yang lain dapat diturunkan.
Keterandalan (reliabilitas) adalah peluang suatu produk akan beroperasi dengan baik untuk periode yang telah ditetapkan di bawah kondisi yang ditentukan, seperti suhu dan tegangan, tanpa kegagalan (Cox & Oakes 1984). Keterandalan Dirumuskan sebagai:
9
= 1- P (objek gagal sebelum waktu t)
= 1- P (T ≤ t ) R(t) merupakan fungsi keterandalan, probabilitas bahwa kegagalan tidak akan terjadi sebelum t, atau probabilitas bahwa waktu kerusakan lebih besar atau sama dengan t.
2.6Fungsi Densitas Peluang
Waktu tahan hidup T mempunyai fungsi densitas peluang yang dinotasikan dengan f(t) dan didefinisikan sebagai peluang kegagalan suatu objek pada interval (t,t + per satuan waktu. Fungsi densitas peluang dinyatakan sebagai :
[ ]
[ ]
Yang mempunyai sifat sebagai berikut :
∫
10
2.7Fungsi Kegagalan (Fungsi Hazard)
Fungsi kegagalan dari waktu tahan hidup T dinotasikan dengan h(t) dan didefinisikan sebagai peluang suatu objek gagal di dalam interval waktu (t, t+ t) dengan diketahui bahwa objek tersebut masih hidup selama waktu t (David, 1996). Fungsi kegagalannya dinyatakan dengan:
[ | ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
11
2.8Tipe Data Tersensor
Sensor dilakukan untuk memperpendek waktu percobaan karena untuk mengukur waktu kegagalan atau kematian objek memerlukan waktu yang lama dan biaya yang tidak sedikit. Dalam uji ketahanan terdapat tiga jenis sensor (Lee, 1992), yaitu:
1. Sensor Tipe I
Sensor tipe I adalah tipe penyensoran di mana percobaan akan dihentikan setelah mencapai waktu T yang telah ditentukan untuk mengakhiri semua n individu yang masuk pada waktu yang sama. Berakhirnya waktu uji T menjelaskan waktu sensor uji, dengan kata lain jika tidak terdapat individu yang hilang secara tiba-tiba, maka percobaan akan dihentikan sampai diperoleh r kegagalan. Semua unit uji n masuk pada waktu yang sama. Pada sensor tipe II, jika tidak terdapat individu yang hilang, maka waktu tahan hidup observasi tersensor sama dengan waktu tahan hidup observasi tidak tersensor. Kelebihan dari sensor ini adalah dapat menghemat waktu dan biaya.
3. Sensor Tipe III
12
gagal/mati sebelum pengamatan berakhir sehingga waktu tahan hidupnya dapat diketahui dengan pasti. Kemungkinan kedua adalah unit uji keluar sebelum pengamatan berakhir, atau kemungkinan ketiga adalah unit uji tetap hidup sampai batas waktu terakhir pengamatan. Untuk objek yang hilang, waktu tahan hidupnya adalah sejak masuk dalam pengamatan sampai dengan waktu terakhir sebelum hilang. Untuk unit uji yang tetap hidup, waktu tahan hidupnya adalah dari mulai masuk pengamatan sampai waktu pengamatan berakhir. Penyensoran data dapat disebabkan oleh beberapa hal, antara lain:
a. Data hilang
b. Data keluar (withdrawls) c. Berakhir waktu pengamatan
Percobaan juga dapat dilakukan tanpa menggunakan ketiga tipe penyensoran tersebut, yaitu dengan sampel lengkap. Sampel lengkap berarti bahwa nilai kegagalan dari semua unit sampel yang diobservasi dapat diketahui. Percobaan akan berhenti jika semua sampel yang diamati mengalami kegagalan.
2.9Proses Poisson
Definisi 2.3: Proses Poisson (Stationary independent increments)
Suatu proses menghitung dikatakan proses poisson dengan parameter jika memenuh:
14
Jika jumlah kegagalan mengikuti distribusi Poisson maka suatu variabel random waktu antar kegagalan mengikuti distribusi Eksponensial.
Fungsi peluang distribusi Poisson dengan parameter adalah:
{
Jika suatu variabel random waktu antar kedua kegagalan berurutan dimisalkan T, Maka:
∫
Atau menggunakan sebagai fungsi distribusi kumulatif dari T diperoleh:
15
Maka fungsi densitasnya adalah: {
Dari fungsi densitas distribusi Eksponensial dengan parameter diatas, maka diperoleh fungsi pembangkit momen:
∫ ∫
]
diperoleh dari turunan pertama fungsi pembangkit momen, sehingga:
Jadi waktu kegagalan yang berurutan mengikuti distribusi Eksponensial dengan rata-rata dan varian
2.10 Distribusi Gamma
Menurut Herhyanto (2009) peubah acak dikatakan berdistribusi Gamma, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk :
16
17
Maka diperoleh fungsi pembangkit momen distribusi Gamma adalah
2.11 Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial merupakan bentuk khusus dari distribusi Gamma dengan
Fungsi Densitas Eksponensial:
{ ⁄
dengan adalah rata-rata waktu kegagalan dan t adalah waktu percobaan.
Fungsi distribusi kumulatif distribusi Eksponensial adalah: ⁄
∫
18
20
Maka diperoleh fungsi pembangkit momen distribusi Eksponensial adalah
2.12 Distribusi Khi-Kuadrat
Distribusi Khi-kuadrat merupakan bentuk khusus dari distribusi Gamma dengan
Peubah acak berdistribusi khi-kuadrat disebut juga peubah acak khi-kuadrat. Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi khi-kuadrat adalah artinya peubah acak berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan . Peubah acak yang berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas bisa juga ditulis sebagai :
21
Jadi diperoleh fungsi pembangkit momen distribusi Khi-kuadrat adalah
22
2.13 Statistik Cukup
Statistik cukup untuk parameter adalah statistik dalam arti tertentu dapat menyerap semua informasi tentang yang termuat dalam sampel. Bila adalah statistic cukup untuk maka setiap inferensi tentang harus tergantung pada sampel hanya melalui .
Definisi :
|
| |
Ini berarti dapat mengganti dengan ataupun tanpa kehilangan informasi.
Maksud dari definisi diatas yaitu : bila | adalah densitas dari dan | adalah densitas dari , maka adalah statistik cukup untuk bila untuk setiap dalam ruang sampel , rasio = |
| tidak bergantung pada
2.14 Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation )
23
merupakan salah satu metode yang paling sering digunakan untuk mencari nilai estimasi dari suatu parameter.
Menurut Nar Herhyanto (2003), misalkan adalah peubah acak kontinu atau diskrit dengan fungsi kepekatan peluang , dengan adalah salah satu parameter yang tidak diketahui. Misalkan merupakan sampel acak berukuran maka fungsi kemungkinan (likelihood function) dari sampel acak itu adalah:
Dalam hal ini, fungsi kemungkinan adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui . Biasanya untuk mempermudah penganalisaan, fungsi kemungkinan diberi log natural ( ). Penduga kemungkinan maksimum dari adalah nilai
yang memaksimalkan fungsi .
2.15 Metode Bootstrap
Pertama kali bootstrap diperkenalkan oleh Efron pada tahun 1979 untuk mengetahui sebaran statistik sampel yang tidak diketahui pengamatan-pengamatan bebas menyebar secara identik. Bootstrap merupakan metode resampling untuk inferensia statistik yang biasa digunakan untuk menduga selang kepercayaan, tetapi juga digunakan untuk menduga bias dan menduga ragam atau menentukan hipotesis.
24
observasi sampel acak berukuran n dan berdistribusi identik (Efron dan Tibshirani, 1993).
Dalam kasus nonparametrik, distribusi sampel diambil dari distribusi populasi yang tidak diketahui, disebut distribusi empiris dari X yaitu distribusi yang mempunyai peluang 1/n untuk setiap titik pada X. Sedangkan untuk kasus parametrik distribusi diketahui. Dalam kedua kasus tersebut diambil dengan resampling dari distribusi sample asli X (Efron dan Tibshirani, 1993).
Prinsip dasar dalam pembentukan sampel dengan metode bootstrap nonparametrik adalah sebagai berikut:
25
2. Dengan tetap, ambil sampel acak berukuran n dari populasi dengan pengambalian sebut , dengan , sehingga akan menyebar identik i=1,2,3, ... , n sampel ini disebut sampel bootstrap
, .
3. merupakan himpunan pasangan terurut (X, ) atau disebut distribusi sampling X, . Aproksimasi X, dengan distribusi sampling bootstrap ( )
26
III. METODOLOGI PENELITIAN
3. 1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada Semester Ganjil Tahun Akademik 2014/2015, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Penulisan skripsi ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur yang diperoleh dari buku-buku atau media secara sistematis, kemudian melakukan simulasi sebagai aplikasi untuk menjelaskan teori yang didapat.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Menentukan model Reliabilitas distribusi Eksponensial untuk data tersensor tipe II
2. Menduga parameter distribusi Eksponensial dengan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) pada data tersensor tipe II
27
b. Memaksimumkan fungsi yang diperoleh untuk mendapatkan dugaan parameter
c. Dugaan parameter yang diperoleh dari metode kemungkinan maksimum dengan mencari turunan pertama dari logaritma natural terhadap parameter-parameter yang akan diduga dan menyamakannya dengan nol.
d. Dari dugaan parameter akan dicari variannya
3. Menentukan interval konvidensi untuk rata-rata waktu tahan hidup
4. Aplikasi Masa hidup sistem yang berdistrbusi Eksponensial pada pengujian sistem Wireless
a. Melakukan uji kecocokan data dengan distribusi Eksponensial b. Menentukan inferensia statistika pada pengujian sistem Wireless c. Interval konfidensi ̂
BAB V KESIMPULAN
Dari pembahasan dan analisis yang telah dilakukan, maka akan diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Model masa hidup normal pada distribusi Eksponensial dengan rata-rata kegagalan dan varians adalah:
Rata-rata kegagalan pada kondisi normal adalah: ̂ ∑ ∑
Varians yang diperoleh dari rata-rata kegagalan adalah:
( ̂) ∑ ∑
2. Berdasarkan aplikasi dan simulasi yang dilakukan dengan menggunakan data sistem wirelles diperoleh nilai ̂
DAFTAR PUSTAKA
Collet, David. 1996. Modeling survival data in medical research. London: Chapman & Hall.
Cox DR & Oakes D. 1984. Analysis of Survival Data. London: Chapman & Hall.
Efron, B and Tibshirani, R.J.1993. An Introduction to The Bootstrap. New York- London:Chapman & Hall.
Lawless, J.F. 1982. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. Canada: John Wiley & Sons, Inc.
Lee, E.T. 1992. Statistical Methods for Survival Data Analysis, John Wiley & Sons, Inc., Canada.
Herhyanto, Nar. 2003. Statistika Matematika Lanjutan. Bandung: Pustaka Setia. Herhyanto, Nar. 2009. Penghantar Statistika Matematika. Bandung:
CV.YRAMA WIDYA.
Http://www.goodreads.com/author/show/1472011.Shunji_Osaki Diakses pada 19 mei 2013
O’Connor, Patrick D.T. 2001. Practical Reliability Engineering, Fourth Edition, Jonh Wileg & Sons Ltd. England.