Menentukan Keandalan Pada Model Stress-Strenght dari Satu Komponen

M EN EN TUKAN KEAN D ALAN PAD A M OD EL STRESS- STREN GTH D ARI SATU KOM PON EN

ROSM AN SI REGAR

Fa k u lt a s M a t e m a t ik a D a n I lm u Pe n ge t a h u a n Ju r u sa n M a t e m a t ik a

Un ive r sit a s Su m a t e r a Ut a r a

PEN D AH ULUAN

Persaingan yang sem akin ket at di dunia bisnis dan indust ri m enunt uk adanya rekayasa produk yang m encakup ham pir sem ua aspek. Salah sat u aspek yang selalu m enj adi pert im bangan k onsum en adalah k w alit as dan k eandalan dari suat u produk t ersebut , dim ana k eandalan t ersebut t idak t erlepas dari k om ponen- k om ponen pem bent uk ny a. Tingk at k eandalan suat u k om ponen dit et apk an pada m asa perancangan. Agar k eandalan k om ponen dapat dit ent uk an ( dik alkulasikan ) pada t ahap perancangan m aka diperlukan suat u m et odologi yang bersifat probabilist ik yang dikenal dengan perancangan probabilist ik.

Perancangan probabilist ik t ersebut m encakup variabel dan param et er, yang dalam hal ini dengan m enent ukan dist ribusi st ress dan st rengh. Pendekat an unt uk k eandalan k om ponen t ersebut dapat diekspresik an sebagai dist ribusi st ress dan

st engh ( dan param et ernya) . Dalam m enent ukan keandalan kom ponen ini, Langkah

pert am a yang harus diperhart ikan adalah hal- hal yang m em pengaruhi perhit ungan

st ress dan st rengh. Unt uk st rengh haruslah diperhat ikan sifat - sifat dari m at erial

y ang dipergunak an dan dist ribusi peluang dari fak t o- fak t or y ang m em pengaruhi

st reengh. Begit u j uga unt uk st ress, fakt or- fakt or yang m em pengaruhinya j uga

diperhat ikan sepert i k onsent rasi st ress dan t em perat ur.

Keandalan suat u k om ponen sering diart ik an sebagai peluang k om ponen ak an berfungsi dengan baik j ik a dioperasikan dalam k ondisi lingk ungan t ert ent u. Art iny a day a t ahan at au t ingk at k ek uat an ( st rengt h) k om ponen dalam m enghadapi st ress y ait u gay a at au t ek anan y ang t erj adi dalam suat u lingk ungan t ert ent u sepert i t ekanan angin, t ekanan ledakan, t ekanan akibat kenaikan suhu, t ekanan beban dan sebagainy a.

Jadi k eandalan pada m odel st ress- st rengt h ini didefinisik an sebagai probalit as kom ponen akan berfungsi dengan baik yait u st rengt h k om ponen lebih besar dari st ress yang m em bebani kom ponen t ersebut . Perbedaan dengan penget ian keandalan y ang lazim adalah bahw a k eandalan pada m odel st ress- st rengt h buk an m erupak an fungsi w akt u.

Bert it ik t olak dari perm asalahan diat as m ak a penulis m eraa t ert arik unt uk m engadak an suat u lit erat ur t ent ang k eandalan k om ponen pada m odel st

ress-st rengt h

2 .1 Se j a r a h Te or i Ke a n da la n

Keandalan dalam pengert ian y ang luas dapat dik at ak an sebagai uk uran prest asi. Seseorang y ang m am pu m eny elesaik an pek erj aanny a dengan baik pada w ak t u y ang t elah di t ent uk an m ak a orang t ersebut dik at ak an dapat diandalkan.

Konsep k eandalan t idak hany a dipak ai dalam k egiat an m anusia, t et api prest asi fungsional dari obj ek y ang dibuat m anusia sepert i peralat an at aupun kom ponen elekt ronik, kom ponen m esin dan sebagainya.

Suat u bagian fungsional m em puny ai prest asi t ert ent u, m isalny a suat u spesifikasi y ang dibut uhk an. Jik a dalam suat u k eadaan, k eadaan fungsional t adi m encapai prest asi y ang dit ent uk an, at au bahk an m elebihiny a, m ak a secara k ualit at if dik at ak an ” dapat diandalkan” . Jik a bagian t adi gagal at au ham pir selalu gagal m encapai prest asi y ang dibut uhk an, m ak a secara k ualit at if dik at ak an ” t idak dapat diandalkan” . Dengan dem ik ian k eandalan adalah uk uran dari t ingk at k eberhasilan prest asi sut u obj ek dalam suat u k eadaan operasi y ang dibut uhk an, k arena it u perlu dilakukan kuant ifikasi t er hadap keandalan.

Konsep k eandalan pada m ulany a dik em bangk an oleh A.K.Erlang dan C. Palm Yang dit uj ukan unt uk m engat asi m asalah yang t erj adi pada t elepon. Pada t ahun 1930, k onsep k eandalan diny at ak an dalam j um lah rat a- rat a t ingk at k egagalan unt uk pesaw at t erbang.Pada t ahun 1940 t ingkat kecelakaan rat a- rat a pada pesaw at t erbang t idak boleh lebih dari sat u k ecelak aan dalam set iap 100.000 j am t erbang, dalam t ahun yang sam a analisa keandalan dipakai pula dalam peralat an perang. Um um nya konsep keandalan digunakan pada konsep keandalan yang berisiko t inggi dan m em bahay ak an. Pada saat ini k onsep k eandalan j uga digunak an dalam indust ri list rik, m esin, kim ia, sist im organisasi dan t ransport asi.

2 .2 Kon se p D a sa r Te or i Pe lu a n g

Berbicara m asalah k eandalan t idak t erlepas dari m asalah peluang ( pobabilit as) . Hal ini disebabkan karena keandalan it u sendiri m erupakan porbabilit as suat u kom ponen beroperasi dengan sukses sesuai dengan fungsinya pada selang w akt u dan kondisi yang t elah dit ent ukan. Karena it u sebelum m em bahas keandalan, ada baikny a t erlebih dahulu m em aham i k onsep dasar t eori peluang. Berik ut ak an diberik an beberapa pengert ian dasar.

2 .2 .1 D e fin isi Pe lu a n g Definisi 2.2.1.1

Gugus sem ua hasil yang m ungkin dari suat u percobaan ℘ disebut ruang sam pel dan diny at ak an dengan lam bang S. Tiap hasil dari ruang sam pel disebut unsur at au t it ik sam pel.

Definisi 2.2.1.2

Ruang nol at au ruang ham pa ialah him punan bagian ruang sam pel yang m engandung unsur. Him punan ini dinyat akan dengan lam bang ∅.

Definisi 2.2.1.3

P( E) =

∞

→

n

lim

N

n

Definisi 2.2.1.4

1. Unt uk sem barang perist iw a E, P( E) ≥ 0 2. P( S) = 1

3. 0 ≤ P( E) ≤ 1

Jik a P( E) = 0 m ak a diart ik an perist iw a E m ust ahil ak an t erj adi, sedangk an j ik a P( E) = 1 diart ikan perist iw a E past i t erj adi. Yang sering t erj adi dalam kenyat aan, ialah harga P( E) ant ara 0 dan 1. Jik a P( E) dek at sek ali pada nol, sering diart ik an bahw a perist iw a E prak t is t idak ak an t erj adi dan dalam hal P( E) dek at sek ali dalam sat u, biasa dik at ak an bahw a perist iw a E prak t is t erj adi.

Definisi 2.2.1.5

Jik a k ej adian dari sebuah perist iw a E1 t idak m em pengaruhi k ej adian perist iw a

E2 yang lain, m aka perist iw a E1 dan E2 dik at ak an bebas secara st at ist ik ( saling

bebas) . Peluang k ej adian bersam a k edua perint iw a t ersebut diny at ak an dengan P( E1.E2) = P( E1) .P( E2)

2 .2 .2 V a r ia be l Aca k da n D ist r ibu si Definisi 2.2.2.1

Jika sebuah percobaan yang m em iliki ruang sam pel S, dan X sebuah fungsi yang dinot asikan sebuah bilangan riil X( e) unt uk set iap hasil e ∈ S, kem udian X( e) disebut v ariabel acak . Jenis v ariabel acak ada dua y ak ni v ariabel acak disk rit dan v ariabel acak k ont inu.

Definisi 2.2.2.2

Jik a suat u riang sam pel S m engandung t it ik sam pel y ang berhingga bany ak ny a at au suat u deret an anggot a y ang bany ak ny a sam a dengan bany ak bilangan bulat , m ak a ruang sam pel it u disebut ruang sam pel diskrit , Variabel acak y ang didefinisik an pada ruang sam pel adalah v ariabel acak disk rit .

Definisi 2.2.2.3

Variabel acak k ont inu m eny at ak an dat a y ang diuk ur sepert i t inggi, j arak at au j angka hidup yang m ungkin dari suat u produk dan lain- lain sehingga sering digunak an dalam perm asalahan k eandalan sepert i dist ribusi norm al dan eksponensial.

Definisi 2.2.2.4

Fungsi f adalah fungsi peluang at au dist ribusi peluang X v ariabel acak disk rit bila, unt uk set iap hasil x yang m ungkin;

1. f( x ) = 0 2.

∑

(

)

=

1

x

x

f

Fungsi dist ribusi k um ulat if Fx suat u X v ariabel acak dengan fungsi peluang f Diny at ak an oleh :

∑

≤

=

≤

=

x

t

t

f

x

X

P

X

x

F

(

)

(

)

(

)

Definisi 2.2 2.6

Fuingsi f adalah fungsi densit as peluang X v ariabel acak k ont inu y ang didefinisikan at as him punan sem ua bilangan riil R, bila :

1. f( x) ≥ 0 2.

∫

∞

∞

−

f

(

x

)

dx

=

1

4. P( a<X<b) =

∫

b

a

dx

x

f

(

)

Definisi 2.2.2.7

Fungsi dist ribusi kum ulat if Fx suat u X variabel acak kont inu dengan fungsu

densit as peluang f y ang diberik an oleh : Fx( x) = P( X≤x) =

∫

∞

−

x

dt

t

f

(

)

Ak ibat ny a dapat dit urunk an :

P( a<X<b) = Fx ( b) – Fx( a) dan

dx

x

x

dF

x

f

)

(

)

(

=

…bila t urunan fungsi ini ada

Buk t i:

1. P( a < X < b) =

∫

b

a

dx

x

f

(

)

=

∫

≤

∞

−

−

∫

≤

∞

−

a

x

dt

t

f

b

x

dt

t

f

(

)

(

)

= F x( b) – Fx( a) 2. Jik a

dx

x

dFx

x

f

(

)

=

(

)

∫

∞

∞

−

=

=

(

)

(

)

1

)

(

X

dan

f

x

dx

x

dF

dx

x

f

∫

∞

∞

−

∫

∞

∞

−

=

∞

=

=

(

)

(

)

1

)

(

x

f

t

dt

F

x

dF

dx

x

x

dF

x

f

)

(

)

(

=

……….bila t urunan fungsi ini ada

Unt uk X v ariabel acak k ont inu berlak u :

Definisi 2.2.3.1

Andaikan bahw a v ariabel acak disk rit y ang m ana fungsi peluangny a adalah f , ekpek t asi dari f dinot asik an dengan E( X) adalah bilangan y ang didefinisik an sebagai berik ut :

E( X) =

∑

x

X

xf

(

)

Definisi 2.2.3.2

Jik a X v ariabel acak k ont inu y ang m ana fungsi densit as peluangny a adalah f , m ak a ekspekt asi E( X) didefinisik an sebagai berik ut :

E( X) =

∫

∞

∞

−

x

f

(

x

)

dx

Bilangan E( X) disebut j uga nilai harapan dari x at au m ean dari X, dan ist ilah-ist ilah ekspekt asi, nilai harapan, dan m ean dapat dipak ai secara bert uk aran.

Definisi 2.2.3.3

Andaikan bahw a X v ariabel acak dengan m ean µ = E( X) , variansi dari x dinot asik an dengan v ar ( X) at au sim bol

σ

2didefinisik an sebagai berik ut :

Var ( X) = E[ ( x - µ)2]

Karena v ar ( X) adalah nilai ekspsk t asi dari v ariabel acak non- negat if ( x - µ )2, ini m eny at ak an v ar ( X) ≥ 0. Variansi dari dist ribusi m em berikan uk uran peny ebaran dari dist ribusi sisekit ar m ean µ. Variansi sebuah dist ribusi bernilai kecil m enunj ukkan bahw a dist ribisi peluang adalah rapat sek ali m em usat disek it ar µ, dan bernilai besar m enunj ukkan secara khusus bahw a dist ribusi peluang m em punyai sebaran yang lebar sek it ar µ . St andar dev iasi dari v ariabel acak at au dist ribusi didefinisik an sebagai ak ar k uadrat non- negat if dari v ariansi, dinot asik an dengansim bol σ.

σ = + √var ( X)

2 .2 .4 D ist r ibu si Pe lu a n g

Ada beberapa dist ribusi peluang ( m odel- m odel analit ik ) unt uk m enggam bark an beberapa j anis dari v ariabel acak dan k ont inu, diant arany a dist ribusi norm al, eksponensial, log norm al,gam m a dan w eibull. Sem ua dist rubusu ini sering diguak an dalam m enent uk an peluang k egagalan suat u k om ponen.

D e fin isi 2 .2 .4 .1 D ist r ibu si e k spon e n sia l

Unt uk harga t ert ent u param et er α dan β dist ribusu gam m a, khususnya dengan α = 1 disebut dist ribusi eksponensial . Jik a X v ariabel acak k ont inu berdist ribusi eksponensial dengan param et er β, fungsi densit as peluangnua diberikan oleh:

β β

/ 1 x

e− ...unt uk x > o f ( x ; β ) =

0 ...unt uk lainnya

Mean dan var iansi dist ribusi eksponensial denang param et er β adalah:

µ = β dan σ2 = β2 D e fin isi 2 .2 .4 .2 D ist r ibu si N or m a l

penelit ian. Pada t ahun 1733 Dem oivre m enem uikan persam an m at em at ika kurva norm al y ang m enj adi dasar bany ak t eori st at ist ik induk t if. Dist ribusi norm al sering pula disebut dist ribusi gauss unt uk m enghorm at i Gauss ( 1777 – 1855 ) y ang j uga m enem ukan persam aannya w akt u m enelit i galat dalam pengukuran yang berulang-ulang m engenai baha yang sam a.

Jika X variabel acak kont inu berdist ribusi norm al, dengan param et er µ danσ2 diberik an oleh :













−

−

<

<

=



 

 _

    

lainnya

untuk

x

untuk

x

e

x

f

....

...

0

~

~

....

...

2

/

2

/

1

2

1

)

2

;

;

(

σ

µ

π

σ

σ

µ

dengan e = 2,71828… dan

π

= 3,14159 σ

µ

Gam bar 2.1. Kurva Norm al

Begit u m ean

µ

dan sim pangan bak u

σ

diket ahui, m aka seluruh kurva norm al dik et ahui. Dengan m engam at i grafik sert a m em erik sa t urunan pert am a dan k edua dari f ( x;

µ

;

σ

2

) dapat diperoleh lim a sifat k urva norm al sebagai berik ut :

1. Modus, t it k pada sum bu dat ar y ang m em berikan m ak sim um k urva, t erdapat pada x =

µ

2. Kurva set angk up t erhadap garis t egak y ang m elalui m ean

µ

.

3. Kurva m em puny ai t it ik belok ada x =

µ ±

σ

,

cekung dari baw ah bila, µ -

σ

< X <

µ

+

σ

, dan cekung dari at as unt uk harga X lainnya.

4. Kedua uj ung k urva norm al m endekat i asim t ot sum bu dat ar bila harga x bergerak m enj auhi

µ

baik ke kiri m aupun ke kanan.

5. Seluruh luas di baw ah k urva norm al dan di at as sum bu dat ar sam a dengan I . Mean dan Varians dist ribusi norm al f ( x ;

µ

;

σ

)

adalah :

E ( X ) =

µ

dan Var ( X ) =

σ

2

D e fin isi 2 .2 .4 .3 . D ist r ibu si N or m a l St a n da r d

Ø ( x) = f( x; 0, 1)

   

 _{− − < <}

=

lainnya untuk

x untuk

x e

[image:7.612.89.509.74.317.2] [image:7.612.121.481.411.611.2]

.... ... 0

~ ~

.... ... 2

2 / 1 2 1

π

Dan

φ ∫

−

x

~

Ø ( u ) du …….unt uk - ~ < x < ~

dim ana sim bol u y ang dipak ai dalam persam aan di at as sebagai Variabel dum m y dari int egrasi.

σ = 1

µ = 0

Gam bar 2.2. Kurva Norm al St andart

D e fin isi 2 .2 .4 .4 . Lu a s D iba w a h Ku r v a N or m a l

Kurva set iap dist ribusi peluang k ont inu at au fungsi densit as dibuat sedem ik ian rupa sehingga luas dibaw ah k urva diant ara dua ordinat X = x1 dan X =

x2, sam a dengan peluang X v ariabel acak m endapat harga ant ara X = x1 dan X = x2,

j adi unt uk k urva norm al pada gam bar 2.3,

P( x1 < X x2 ) = dx

x e

x x dx

x f x x

2 2

/ 1 2

1 2 1 )

; ; ( 2

1

     

   

        ₋

− ∫ =

∫ σ

µ

π σ σ

µ

diny at ak an dengan luas daerah y ang diarsir.

σ

x1 µ x2

Gam bar 2.3. P( x1 < X x2 ) = Luas daerah y ang diarsir

σ µ

− = x Z

Bilam ana X m endapat suat u harga x1, harga Z padanannya diberikan oleh

σ µ

− = x1 Z

Jadi, bila X berharga ant ara X = x1 dan X = x2, m ak a Z v ariabel acak ak an berharga σ µ − = 1 1 x

Z dan

σ µ − = 2 2 x

Z , k arena it u dapat dit ulis;

dx

2

x

2

/

1

e

2

x

1

x

2

1

)

2

x

X

1

x

(

P

               

σ

µ

−

−

∫

π

σ

=

<

<

= _∫ − = _∫ 2 1 2 2 / 1 2 1 2 1 z z dz z e z z

π Ø ( z) dz

_∫

− = 2

~ z

Ø ( z) dz - _∫

− 1

~ z

Ø ( z) dz = φ ( Z2 ) - φ ( Z1 )

Dim ana, φ ( Zi ) m enunj ukkan fungsi dist ribusi kum ulat if dari dist ribusi norm al

st andard unt uk t aksiran Zi sedem ikian φ ( Zi ) = pi dan Zi = φ- 1 ( pi ) , dengan p

adalah peluang k um ulat if.

( Tabel dist ribusi nornal st andart t ert era pada halam am lam piran )

D e fin isi 2 .2 .4 .3 D ist r ibu si Log N or m a l

Fungsi k epadat an peluang log norm al adalah

~ ~ , 0 ; 2 ln 2 1 exp 2 1 )

( > − < < +

              − −

= x x

x x f σ σ µ π σ

Dim ana µ dan σ m erupak an param et er, dengan - ~ µ < + ~ dan σ > 0

Jika var iabel r andom didefinisikan sebagai x = ln y, m aka x akan der dist r ibusi norm al dengan m ean µ dan st andar dev iasi dengan σ dengan

E ( x) = E ( lny ) = µ, dan V ( x) = V ( ln y) = σ2

Dari y = ex, m ak a m ean dari dist ribusi log norm al dapat dicari dengan m enggunak an dist ribusi norm al.

E ( y) = E ( ex) = x x dx               − − ∫ − 2 2 1 exp 2 1 ~ ~ σ µ π σ

= x dx

                + − − ∫ −        

+ 2 2

2 2 1 exp 2 1 ~ ~ 2 2

exp µ σ

σ π

σ σ

µ

Jadi m ean dari dist ribusi log norm al adalah E ( y) = exp

        + 2 2 σ µ dan

sehingga v ariansi dari log norm al adalah V ( y) = σ2 = exp _  − _

  

_2µ+σ2 _{exp σ}2 ₁

sedangk an fungsi dist ribusi k um ulat if log norm al adalah

F ( y) = ; 0

2 ln 2 1 exp 2 1

0

> 

   

  

   



 −

−

∫ y dy y

y y

σ µ π

σ

D e fin isi 2 .2 .4 .4 . D ist r ibu si Ga m m a

Suat u v ariabel acak random X dik at ak an berdist ribusi gam m a dengan param et er α dan β (α > 0 dan β > 0 ) j ika X berdist ribusi cont inui yang m ana fungsi k epadat an peluang f ( x | α,β) diny at ak an dengan :

( )

xα e βx

α τ

α

β −1 − _{n ...unt uk x > 0}

f ( x | α,β) =

0 ...unt uk x ≤ 0

I nt egral dari fungsi k epadat an peluang ini adalah 1. Dari definisi fungsi gam m a dik et ahui bahw a

( )

α β

α τ β

α− − ₌

∫ x 1 e x dx

~

0

Adapun ekspekt asi dari dist ribusi gam m a adalah E ( x ) =

β α

dan variansinya

adalah Var ( X) =

(

)

2 2

2 1

β α β

α β

α

α ₌

    − +

D e fin isi 2 .2 .4 .5 D ist r ibu si W e ibu ll

Dist ribusi Weibull didefinisik an sebagai fungsi dengan t iga param et er fungsi k epadat an peluangny a adalah

f ( x) =

(

)

1exp

(

)

/ ; ≥ , ≥0; >0 

 

_{− −} −

−     

 β _γ β α _{γ γ α}

α β

x x

y x

Dim ana α = param et er skala

β = param et er bent uk

γ = param et er lok asi Mean = µ = 1/ 1 1 ,

[

=0

]

    ₊

γ β τ β

Variansi = ,

[ ]

0 2

1 1 2

1 / 2

2 ₌

    

    

    

  

    ₊ −     ₊

= γ

β τ β τ β α σ

F ( x) = 0, x < γ

= 1 -

(

)

; 0, 0 , 0 /

> >

≥ ≥ −

− x γ β α _{x γ α β}

e

KEAN D ALAN KOM PON EN

3 .1 Kon se p D a sa r Ke a n da la n Kom pon e n

Didalam m erancang suat u k om ponen, y ang m enj adi perhat ian ut am a adalah m enent uk an sej auh m an t ingk at an resik o k egagalan m asih dapat dit erim a baik dari segi ekonom i m aupun ak ibat ny a dalam k ehidupan sosial. Peny elesaian perm asalahan diat as disebut analisa k uant it at if dari sist em keandalan dan keam anan.

Kat a keam anan di sini m ak sudny a k eam anan y ang m ut lak art iny a k om ponen t idak ak an pernah m engalam i k erusak an selam a beroperasi.

Sem ent ara it u philosophy dari operasi kom ponen m erupakan dasar unt uk m erancang berbagai j enis m esin. Angk a param et erny a dapat berupa t egangan, ham bat an, usaha, gay a, t orque, k ecepat an, k elem baban, suara, t em perat ur dan lain- lain. Nilai dari angk a param et er y ang t elah disebut k an it u berhubungan erat dengan keam anan. Secara um um kom ponen yang dipilih m em punyai angka yang t elah dit et apk an, m isalny a t em perat ur m ungk in 200 0 K, t egangan m ungk in 230 V dan ham bat an 5 Ω. Angk a- angk a it u dit et apk an berdasark an t est dari k om ponenny a, sehingga fungsinya akan am an di baw ah kondisi t ersebut .

Met ode dari suat u kom ponen unt uk operasi di baw ah kondisi lingkungan y ang t erdiri dari evaluasi k eandalan dari angk a- angk a k egagalan dari berbagai t ingk at k esuk aran operasi bila k eandalan dat a di baw ah k ondisi angk a y ang dik et ahui.

Keandalan dari berbagai k om ponen m enurun secara cepat bila dioperasikan lebih t inggi dari angk a t em perat urny a at au lebih t inggi dari angk a t egangan dan ham bat anny a. Mak sudny a bila dioperasikan lebih t ingginy a st ressny a dari angk any a m aka angka kegagalan akan m eningkat . Cont oh, persam aan Arhenius t elah m em buk t ik an bahw a k egagalan ak an dua k ali lipat bila k om ponen dioperasikan pada t em perat ur 100 C, lebih t inggi dari angk a t em perat urny a.

Konsep dasar k eandalan k om ponen adalah m enghasilkan suat u k om ponen yang m em punyai kapasit as st ress t ert ent u, j ika st ress t ersebut disebabkan oleh k ondisi operasi y ang m elebihi k apasit as k egagalan. At uran pendekat an desain y ang didasarkan pada penggunaan safet y fact ors ( fakt or keam anan) , m em berikan indikasi y ang k ecil dari peluang k egagalan suat u k om ponen. Beberapa desainer m ey ak ini bahw a k egagalan k om ponen ak an dapat dihapuskan sam a sek ali dengan pem ak aian

safet y fact or. Nam un pada kenyat aannya peluang kegagalan m ungkin berubah- ubah

dari y ang lebih rendah hingga k e sebuah nilai y ang lebih t inggi y ang t idak t et ap unt uk safet y fact or yang sam a. Pem akaian safet y fact or hanya digunakan ket ika nilainy a didasarkan pada suat u percobaan dengan bagian- bagian y ang sam a. Lebih lanj ut , v ariabel dan param et er desain y ang m erupak an v ariabel random , pada k eny at aanny a dapat diabaik an sam a sek ali dengan at uran desain pendak at an.

Tet api at uran desain pendekat an t ersebut t idaklah m encukupi unt uk m enent uk an k eandalan y ang t epat . Karena it u, diperluk an penggunaan m et odologi desain yang bersifat probabilist ik yang salah sat unya dengan m enent ukan keandalan berdasarkan st ress dan st rengt h karena salah sat u yang m em pengaruhi laj u k egagalan suat u k om ponen adalah st ress at au t ek anan.

st rengt h. Unt uk perhit ungan st rengt h, harus diberik an sifat - sifat m at erial y ang digunakan. Unt uk perhit ungan st ress dilihat m asalah st at ist ik dan dist ribusi peluang dari fakt or yang m em pengaruhi st ress sepert i konsent rasi st ress dan t em perat ur. Di sam ping perhit ungan ini, st at ist ik dan dist ribusi st ress dan st rengt h dapat diperoleh. Dist ribusi ini digunakan unt uk m enghit ung keandalan dari suat u kom ponen yang didefinisik an bahw a peluang dari st rengt h k om ponen lebih besar daripada st ress yang m em pengaruhi kom ponen it u.

3 .2 Ke a n da la n Kom pon e n pa da M ode l St r e ss – St r e n gt h

St ress adalah suat u gay a at au t ek anan y ang t erj adi dalam suat u lingk ungan t ert ent u, sepert i t ekanan angin, t ekanan akibat ledakan, t ekanan akibat kenaikan suhu udara, t ekanan beban dan sebagainya.

St rengt h adalah k ek uat an k om ponen y ang dapat diuk ur k uant it asny a sepert i k ek uat an logam , k ek uat an sam bungan hasil pengelasan, k ek uat an k om ponen elekt r onik ( m isalnya t r ansist or dan kapasit or ) , kekuat an kom ponen m ekanik dan sebagainy a.

Sedangkan m odel st ress- st rengt h t erj adi apabila suat u sist em at au kom ponen difungsikan at au digunakan dalam lingkungan yang m em punyai t ingkat st ress t ert ent u. Misalny a suat u t ow er peny angga k abel list rik t egangan t inggi didirikan pada suat u daerah yang m em punyai t ingkat st ress t ert ent u yait u t ekanan angin, t ekanan huj an dan st ress akibat gem pa bum i.

Keandalan pada m odel st ress- st rengt h didefinisikan sebagai probabilit as k om ponen berfungsi dengan baik y ait u apabila st rengt h k om ponen lebih besar dari st ress yang m em bebani kom ponen t ersebut . Perbedaan dengan pengert ian k eandalan y ang lazim adalah bahw a k eandalan pada m odel st ress- st rengt h buk an m erupakan fungsi w akt u.

Nilai k eandalan pada m odel st ress- st rengt h dapat dihit ung j ik a sifat dari variabel random st ress dan variabel random st rengt h diket ahui at au j ika fungsi densit as ( pdf) v ariabel random st ress dan st rengt h dik et ahui. Andaikan fungsi densit as unt uk st rengt h ( S) dinot asikan oleh fs( S) dan fungsi densit as unt uk st ress ( s) dinot asik an dengan fs( S) dim ana posisi dist ribusi v ariabel st ress dan v ariabel st rengt h disaj ik an dalam gam bar berik ut :

σs σ_s

Strength fS (S) Stress

f_s (s)

S s

f_s (s) dan f_S (S)

s, S

Gam bar 2.5 Bagian Perluasan- Keandalan dari diagram I nt erferensi St ress- St rengt h Keandalanny a didefinisik an sebagai :

Keandalan = R = P( S > s) = P( S- s > 0) ………( 2.1)

Bagian y ang diarsir pada gam bar 2.4 m em perlihat k an daerah int erferensi yang m enunj ukkan peluang kegagalan. Unt uk lebih j elasnya, daerah int erferensi ini dapat dilihat pada gam bar 2.5

Peluang dari st ress t erlet ak dalam int erval y ang k ecil dengan lebar ds at au daerah dari elem en ds, yait u:

( )

s

ds

fs

ds

s

s

ds

s

P

0 0 0

2

2





=









−

≤

≤

+

Peluang dari st rengt h S adalah lebih besar dari st ress s y ait u:

(

>

)

=

∫

∞

0

)

(

0

S

s

S

dS

f

s

S

P

Sehingga peluang dari st ress y ang t erlet ak dalam int erval k ecil ds dan st rengt h yang m elebihi st ress dan diasum sikan bahw a st ress dan st rengt h variabel acak y ang saling independent adalah :

(

>

)

=

∫

∞

0

)

(

)

(

₀ 0

S s

s

s

ds

f

S

dS

f

s

S

P

………..( 2.2)

Keandalan k om ponen m erupak an peluang bahw a st rengt h S lebih besar dari pada st ress s unt uk sem ua nilai yang m ungkin dari st ress s, karena it u :

∫

∫

∞

∞ −

∞













=

f

s

f

S

dS

ds

R

S S

s

(

)

(

)

………...( 2.3)

Sebalikny a k eandalan t ersebut dapat j uga dit ent uk an dengan cara m elihat bahw a st ress lebih k ecil dari st rengt h. Peluang dari st rengt h dalam int erval k ecil dS adalah :

P

S

₀

ds

S

S

₀

ds

fs

( )

S

₀

dS

2

2





=









−

≤

≤

+

=

dan peluang dari st ress y ang lebih k ecil dari st rengt h adalah:

So ds

fs(S)

s,S fS(S)

fsS)

[image:13.612.166.441.82.251.2]

(

)

∫

∞ −

=

≤

0 0

(

)

S

s

s

ds

f

S

s

P

k arena disum sikan bahw a st ress dan st rengt h adalah v ariabel acak y ang independent , m ak a peluang dari st rengt h dalam int erval dS dan st ress y ang t idak m elebihi S m enj adi :

(

)

∫

∞ −

=

≤

0

(

0

)

0

(

)

S

s

S

S

dS

f

s

ds

f

S

s

P

……….( 2.4)

Karena it u, keandalan kom ponen unt uk sem ua nilai yang m ungkin dari st rengt h S adalah :

∫

∫

∞

∞ −

∞













=

f

S

f

s

dS

R

S S

S

(

)

(

)

……….….( 2.5)

Selnj ut nya dapat dit ent ukan persam aan unt uk ket idakandalan ( anreliabilit y) yang m eny at ak an peluang bahw a k om ponen ak an gagal y ait u :

)

(

1

R

P

S

s

R

=

−

=

≤

Dengan m ensubsit usik an R dari persam aan ( 2.3) diperoleh :

∫

∫

∞

∞ −

∞













−

=

≤

=

P

S

s

f

s

f

S

dS

ds

R

S S

s

(

)

(

)

1

)

(

[

F

s

]

ds

s

f

_{s s}

∫

∞

∞ −

−

−

=

1

(

)

1

(

)

∫

∞

∞ −

=

F

_s

(

s

).

f

_s

(

s

)

ds

……….( 2.6)

Sebaliknya dengan m enggunakan persam aan ( 2.5) diperoleh persm aan unt uk k et idak andalan sebagai berik ut :

∫

∫

∞

∞

− −∞













−

=

≤

=

P

S

s

f

S

fs

s

ds

dS

R

s

S

(

)

(

)

1

)

(

∫

f

_S

S

F

_S

S

dS

∞

∞ −

−

=

1

(

)

(

)

∫

[

1

F

_S

(

S

)

]

f

_S

(

S

)

dS

∞

∞ −

−

=

………( 2.7)

Andaikan didefinisik an v ariabel baru y = S- s , m ak a k eandalan dapat didefinisik an sebagai :

R = P ( y > 0) ……….( 2.8)

Dan diasum sikan bahw a S dan s variabel acak yang lebih besar at au sam a dengan 0. Fungsi densit as dari v ariabel y adalah :

∫

+

=

s

s s

y

y

f

y

s

f

s

ds

=





















∫

∞

+

∫

∞

−

+

0

)

(

)

(

(s)ds

s

s)f

(y

s

f

y

ds

s

s

f

s

y

s

f

………..( 2.10)

Karena it u peluang kegagalan kom ponen ( ket idakandalan) m enj adi :

∫

∞

∞ −

=

f

y

dy

R

y

(

)

∫

∫

∞

− ∞ −

+

=

y

s

s

y

s

f

s

dsdy

f

(

)

.

(

)

0

………( 2.11) dan k eandalan k om ponen diny at ak an dengan :

∫

∞

=

0

)

(

y

dy

f

R

_y

∫

∫

∞ ∞

+

=

0 0

)

(

.

)

(

y

s

f

s

dsdy

PEM BAH ASAN

Sesuai dengan perm asalahan y ang t elah disebut k an dalam bab sebelum ny a,disini ak an diuraik an bagaim ana m odel k eandalan st ress- st rengt h unt uk m asing- m asing dist ribusi.

4 .1 Ke a n da la n Kom pon e n Apa bila St r e ss da n St r e n gt h Be r dist r ibu si N or m a l Fungsi k epadat an peluang ( pdf) dari st ress ( s) y ang berdist ribusi norm al diny at ak an dengan :























 −

−

=

2

2

1

exp

2

1

)

(

s s

s s

s

s

f

σ

µ

π

σ

; -∞ < s < ∞ ………..( 3.1)

Sedangk an fungsi k epadat an peluang ( pdf) dari st rengt h ( S) y ang berdist ribusi norm al diny at ak an dengan :























 −

−

=

2

2

1

exp

2

1

)

(

S S

S S

S

S

f

σ

µ

π

σ

; -∞ < S< ∞ ………..( 3.2)

Dim ana : µs = m ean ( rat a- rat a) dari st ress

σs = st andart deviasi st ress

µS = m ean ( rat a- rat a) dari st rengt h

σS = st andart dev iasi st rengt h

Kem udian andaikan didefinisik an y = S – s, dim ana v ariabel acak y j uga berdist ribusi norm al dengan rat a- rat a µy = µS - µs dan st andart dev iasi σy2 = σS2 + σs2.

Fungsi kepadat an peluang dari variabel acak y dapat dilihat pada gam bar sebagai berik ut :

Gam bar 3.1 Fungsi densit as dari v ariabel acak y

Dengan m elihat gam bar t ersebut , k eandalan ( R ) dapat diny at ak an dalam bent uk v ariabel acak y sebagai :

R = P( y > 0 )

y

dy

y Y

y































 −

−

=

∫

∞

2

0

2

1

exp

2

1

σ

µ

π

σ

……….( 3.3)

keandalan dari komponen

F

_y

(y)

Peluang Kegagalan

y < 0 y > 0

[image:16.612.154.465.426.573.2]

Andaikan

y y

y

Z

σ

µ

−

=

m ak a σy dz = dy .

Unt uk y = 0, m ak a bat as baw ah dari Z adalah :

2 2

0

s S

s S

y y

Z

σ

σ

µ

µ

σ

µ

+

−

−

=

−

=

……….( 3.4)

dan unt uk y → + ∞, m ak a bat as at as dari Z adalah Z → + ∞. Ak ibat ny a :

dz

s S

s S

Z e

R ∞∫

+ − −

− =

2 2

2 2

2 1

σ σ

µ µ

π ………...………..( 3.5)

Variabel acak

y y

y

Z

σ

µ

−

=

disebut v ariabel norm al st andart ,sehingga

k eandalanny a dapat dit ent uk an dengan m elihat t abel norm al pada lam piran. Dengan dem ik ian persam aan k eandalan diat as dapat diny at ak an sebagai :

















+

−

−

−

=

2 2

1

s S

s S

R

σ

σ

µ

µ

φ

………( 3.6)

4 .2 Ke a n da la n Kom pon e n Apa bila St r e ss da n St r e n gt h Be r dist r ibu si Ek pon e n sia l

Fungsi k epadat an peluang ( pdf) dari st ress ( s) y ang berdist ribusi eksponensial diny at ak an dengan :

f

_s

(

s

)

=

λ

_s

e

−λss _{; 0} ≤ _s< ∞ _{………....( 3.7)}

Sedangk an fungsi k epadat an peluang ( pdf) dari st rengt h ( S) y ang berdist ribusi eksponensial diny at ak an dengan :

f

_S

(

S

)

=

λ

_S

e

−λSS _{; 0} ≤ _S< ∞ _{………( 3.8)}

Dari persam aan k eandalan:

R =

f

s

f

S

dS

ds

s s

s













∫

∫

∞

− ∞

∞ −

)

(

)

(

Dapat diperoleh:

R=

f

s

f

S

dS

ds

s s

s













∫

∫

∞

∞

)

(

)

(

0

=

e

ss

[ ]

e

S

ds

s

λ λ

λ

− −

∞

∫

0

=

e

ds

S s

S

s )

(

0

λ λ

λ

+

∫

∞

=

(

S s

)

e

S

ds

s S

s ( S s)

0

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ

∞ − +

∫

+

+

=

s S

s

λ

λ

λ

Andaikan diny at ak an bahw a nilai rat a- rat a st rengt h adalah

S

=

1

/

λ

_S dan nilai dari rat a- rat a st ress adalah

s

=

1

/

λ

_sm aka keandalan t ersebut m enj adi :

)

(

S

s

S

R

+

=

………( 3.10)

4 .3 Ke a n da la n Kom pon e n Apa bila St r e ss Be r dist r ibu si Ek spon e n sia l D a n St r e n gt h Be r dist r ibu si N or m a l

Fungsi k epadat an peluang ( pdf) unt uk st rengt h ( S) y ang berdist ribusi norm al adalah :























 −

−

=

2

2

1

exp

2

1

)

(

S S S S

S

S

f

σ

µ

π

σ

; −∞< S < ∞

dan fungsi k epadat an peluang ( pdf) unt uk st ress y ang berdist ribusi eksponensial adalah: s s s s

e

s

f

(

)

=

λ

−λ ; s ≥ 0 dengan µs = 1/λs dan σs = 1/λs

Dari persam aan k eandalan R =

f

S

f

s

ds

dS

S s s













∫

∫

∞ − ∞ ∞ −

)

(

)

(

dan karena :

S s s S s S

e

ds

e

ds

s

f

=

∫

λ

−λs

=

−

−λ

∫

(

)

1

0 0

Ak ibat ny a :

dS

e

S

R

S S S S s

)

1

(

2

1

exp

2

1

2 0 λ

σ

µ

π

σ

− ∞

−























 −

−

=

∫

=

−























 −

−

∫

∞

dS

S

S S S 2 0

2

1

exp

2

1

σ

µ

π

σ

e

dS

S

S S S S s λ

σ

µ

π

σ

− ∞























 −

−

∫

2 0

2

1

exp

2

1

=

(

)

(

S

S s S S S s S

)

dS

S s S S

































−

+

+

−

−

−





















−

−

∞

∫

0 4 2 2 2

2

2

1

exp

2

1

1

µ

λ

σ

µ

σ

λ

σ

σ

π

σ

σ

µ

φ

……….( 3.11) Andaikan S S s S

S

t

σ

σ

λ

µ

+

2

−

=

m ak a σS dt = dS sehingga persam aan k eandalan

t ersebut m enj adi :

R = 1 -

t

_{S s s S}

dt

S S s s s









−

−













−

−









−

∫

∞ −

)

2

(

2

1

exp

.

2

exp

2

1

2 2

=

1-























−

−

−









−

−

−









−

S S s S S s s S S S

σ

σ

λ

µ

φ

σ

λ

λ

µ

σ

µ

φ

2 2 2

1

)

2

(

2

1

exp

.

…....( 3.12)

4 .4 Ke a n da la n Kom pon e n Apa bila St r e ss Be r dist r ibu si N or m a l da n St r e n gt h Be r dist r ibu si Ek pon e n sia l

Apabila fungsi densit as st rengt h berdist ribusi eksponensial dengan param et er λS dan st ress berdist ribusi norm al dengan param et er µs dan σs,m ak a dari

persam aan ( 2.3) dapat diperoleh persam aan k eandalan y ang baru y ait u :

R =

f

s

f

S

dS

ds

s s s













∫

∫

∞ ∞ ∞ −

)

(

)

(

s

[

_s

s

]

ds

s s s

λ

σ

µ

π

σ







−

















 −

−

=

∫

∞ ∞ −

exp

.

2

1

exp

2

1

2 =

1-























−

−

−









−

−

+









−

s s S s s S S s S S

σ

σ

λ

µ

φ

σ

λ

λ

µ

σ

µ

φ

2 2 2 2

1

)

2

(

2

1

exp

….( 3.13)

4 .5 Ke a n da la n Kom pon e n Apa bila St r e ss da n St r e n gt h Be r dist r ibu si Log N or m a l

Bent uk st andart dari fungsi k epadat an log norm al adalah :

(

)









−

−

=

2 2

ln

2

1

exp

2

1

)

(

µ

σ

π

σ

y

y

y

f

_y y > 0 ………( 3.14)

dim ana y m erupakan variabel acak. Param et er µ dan σ adalah nilai rat a- rat a ( m ean ) dan m erupak an sim pangan bak u ( st andard dev iat ion ) dari v ariabel ln y y ang berdist ribusi norm al. Pert am a dikem bangkan suat u hubungan unt uk dist ribusi log norm al yang dibut uhkan unt uk analisa selanj ut nya.

Misalkan x = ln y m aka dx = ( 1/ y) dy . Dar i r um us 3.14,diper oleh :

(

)









−

−

=

2 2

2

1

exp

2

1

)

(

µ

σ

π

σ

x

x

f

−∞< x < ∞

dan

E ( x ) = E [ ln y ] = µln y

dan

V[ x ] = σ2 = V [ ln y ] = σ2ln y

Dengan m engingat eksponen dari e dalam persam aan:

E( x) = E( ex ) =

x

dx

₂

(

2

2

2

)

2

1

2

1

µ

µ

σ

σ

µ

λ



=

−

−

+









 −

−

x

x

x

x

₂

(

2

2

2

2 2

)

2

1

µ

σ

µ

σ

−

−

+

−

=

x

x

x

(

₂

)

₂

[

2 2 2 2

]

2 2 2 2

)

(

)

(

2

2

1

2

2

x

x

e

e

+

+

+

−

−

+

+

−

=

µ

σ

µ

σ

σ

µ

σ

µ

₂ 2 2 ₂

[

(

2

)

]

2

2

1

)

2

(

2

1

σ

µ

σ

σ

µσ

σ

+

−

−

+

−

=

x

₂

[

(

2

)

]

2

2

2

1

2

σ

µ

σ

σ

µ

+

−

−

+

=

x

Oleh sebab it u

E( y ) =

x

(

)

dx

















−

+

−









+

∫

∞ ∞ − 2 2 2 2

2

}

{

exp

2

1

2

exp

σ

σ

µ

π

σ

σ

µ









+

=

2

exp

2

σ

µ

Unt uk m enghit ung v ariansi dari y k it a m elihat bahw a

E( y2 ) =

x

x



dx











−

−

∫

∞ ∞ − 2

2

(

)

2

1

2

exp

2

1

µ

σ

π

σ

………..( 3.15)

Mengingat eksponen dari e dalam j abaran dari E( y2) m aka

2x - ₂

(

)

2

2

1

µ

σ

x

−

(

)

[

]

(

)

(

)

[

2

]

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

1

2

2

2

)

2

(

)

2

(

2

2

1

2

4

2

1

σ

µ

σ

µ

σ

σ

σ

µ

σ

µ

σ

µ

σ

µ

σ

µ

µ

σ

σ

+

+

+

−

−

=

+

+

−

+

+

+

−

−

=

+

+

−

−

=

x

x

x

x

x

x

Dengan m ensubsit usi k em bali,dapat disederhanak an sepert i sebelum ny a,sehingga E( y2) = exp [ 2(µ + σ2 ) ]

Karena it u dengan defenisi dari v ariansi,dapat dit ulis V( y ) = exp [ 2(µ + σ2 ) ] – { exp [µ + σ2/ 2] }2

Dapat dilihat bahw a

[

(

)

]

1

)

(

2

2

=

−

σ

e

y

E

y

V

Sehingga diperoleh St andart Dev iasi

[

]













+

=

1

)

(

)

(

ln

₂

2

y

E

y

V

σ

………...………..( 3.17)

Dibuk t ikan dalam Persam aan 3.15 bahw a

2 /

2

)

(

y

=

e

µ+σ

E

Yang m enunj ukkan

2

2

1

)

(

ln

σ

µ

=

E

y

−

………( 3.18)

Jik a

y

m erupak an m edian dari y ,m ak a dapat dit ulis:

(

y

)

dy

y

y

∫





−

−





=

0

2 2

ln

2

1

exp

2

1

5

,

0

µ

σ

π

σ

Dengan m enggunak an t ransform asi x = lny ,dapat dit ulis sebagai

(

y

)

dx

y

∫

∞

−









−

−

=

ln

2 2

ln

2

1

exp

2

1

5

,

0

µ

σ

π

σ

m enghasilkan

y

ln

=

µ

………....( 3.19) berart i

µ

e

y

=

Kini kem bali ke m asalah ut am a yang m ana S dan s berdist ribusi log norm al,m isalkan y = S/ s, dim ana m ean lny = ln S – ln s. Ln y berdist ribusi norm al karena ln S dan ln s berdist ribusi norm al

Fungsi k epadat an log norm al cenderung posit if dan penggunaan m edian ak an lebih baik dan lebih m endekat i penguk uran dari pusat t endensi unt uk dist ribusi log norm al daripada m enggunak an m ean. Ak hirny a,ant ilog m ean dari ln S adalah m edian dari fS ( .) dan ant ilog m ean dari ln s adalah m edian fs( .) : m aka

S

e

S

=

µln

at au

S

S

ln

ln

=

µ

dan

S

e

S

=

µln

at au

S

s

ln

ln

=

µ

y

y

ln

ln

=

µ

Dik et ahui bahw a y adalah dist ribusi log norm al j uga,t et api

s

S

s S

y ln ln

ln

ln

ln

=

µ

−

µ

=

−

µ

……….( 3.20)

Kom binasi dari dua persam aan,diperoleh

s

S

s

S

y

ln

ln

ln

ln

=

−

=

Dik et ahui j uga bahw a

2 ln 2 ln

lny

σ

s

σ

s

σ

=

+

………...( 3.21) Dari defenisi k eandalan,diperoleh

∫

∞

=

>

=











 >

=

1

)

(

)

1

(

1

P

y

f

y

dy

s

S

P

R

_y

Misalkan z = ( ln y - µlny) /σlny. Mak a z adalah v ariansi dari norm al st andart . Sek arang

ak an dicari bat as int egrasi y ang baru dim ana y = 1

2 ln 2 ln ln

ln

ln

ln

ln

s S y

y

S

s

y

z

σ

σ

σ

µ

−

−

−

=

−

=

Selanj ut ny a dari persam aan 3.20 dan 3.21, dim ana y → +∞ dan z → +∞ .m ak a diperoleh k eandalan sebagai berik ut :

dz z s S s S

R ( )

2 ln 2 ln ln ln φ σ σ ∫ ∞ − − −

= ………..( 3.22)

dim ana φ( z) adalah fungsi k epadat an peluang dari v ariasi norm al st andart z. 4 .6 Ke a n da la n Kom pon e n Bila St r e ss da n St r e n gt h Be r dist r ibu si Ga m m a

Fungsi k epadat an gam m a unt uk v ariabel acak adalah :

)

(

)

(

1

n

e

x

x

f

x n n

Γ

=

λ

− −λ ; n > 0 , λ > 0 , 0 < x < ∞

dim ana λ disebut param et er skala dan n disebut param et er bent uk . Unt uk k asus dim ana λ = 1 , diperoleh :

S m

S

S

e

m

S

f

− −

Γ

=

1

)

(

1

)

(

0 < S < ∞ dan

s m

s

s

e

n

s

f

− −

Γ

=

1

)

(

1

)

(

0 < s < ∞

dengan m enggunak an persam aan ( 2.9) , dim ana y = S – s diperoleh :

(

)

;

0

)

(

)

(

1

)

(

( ) 1

1 0

>

+

Γ

Γ

=

− + − − − ∞

∫

y

s

e

s

e

ds

y

n

n

y

f

y s n s

m

y

Misalkan v = s/ y . Mak a dv = ( 1/ y ) ds . Sehingga diperoleh

( )

v

e

dv

v

e

y

n

n

y

f

yv m n y n m y 2 1 0 1 1

1

)

(

)

(

1

)

(

− − ∞ − − − −

∫

+

Γ

Γ

=

∫

∞

=

0

)

(

y

dy

f

R

y

y

e

v

( )

v

e

dv

n

n

yv m n y n m 2 1 0 1 1 0

1

)

(

)

(

1

∞ _{− − −} ∞ ₋ − ₋

∫

∫

+

Γ

Γ

=

t et api

(

)

n m y v n m

v

n

m

dy

e

y

₊ ∞ − − − +

+

+

Γ

=

∫

(

1

2

)

0 ) 2 1 ( 1

oleh sebab it u

dv

v

v

v

n

m

n

m

R

_{m n}

n m

∫

∞ + − −

+

+

Γ

Γ

+

Γ

=

0 1 1

)

2

1

(

)

1

(

)

(

)

(

)

(

∫

−

− −

Γ

Γ

+

Γ

=

1/2

0 1 1

)

1

(

)

(

)

(

)

(

du

u

u

n

m

n

m

m n

; u = v/ ( 1+ 2v)

I nt egral diat as m erupak an fungsi Bet a y ang t idak k om plit y ait u B1/ 2 ( m ,n) , karena

it u

(

.

)

)

(

)

(

)

(

2 /

1

m

n

B

n

m

n

m

R

Γ

Γ

+

Γ

=

………( 3.23)

Selanj ut nya unt uk kasus dim ana λ≠ 1. Diperoleh S

m m

S

S

e

m

S

f

λ

− −λ

Γ

=

1

)

(

)

(

; λ > 0, m > 0, 0< S < ∞ dan

s n n

s

S

e

n

s

f

µ

− −µ

Γ

=

1

)

(

)

(

; µ > 0, n > 0 , 0< s < ∞

Dengan m enggunak an persam aan ( 2.9) dapat diperoleh k eandalan sepert i sebelum ny a,yait u :

∫

∞

=

0

)

(

y

dy

f

R

_y

dv

r

v

v

n

m

n

m

r

n m n m n

∫

∞ + − −

+

+

+

Γ

Γ

+

Γ

=

0 1 1

)]

1

(

1

[(

)

1

(

)

(

)

(

)

(

dim ana r = µ/λ. Jika dim isalkan u = rv / ( ( 1+ r) v) . m aka

du

u

u

n

m

n

m

R

r r n m

∫

+

−

− −

Γ

Γ

+

Γ

=

) 1 /( 0 1 1

)

1

(

)

(

)

(

)

(

Karena it u ,keandalan dapat j uga dij abarkan dalam bent uk fungsi bet a y ang t idak kom plit sepert i kasus sebelum nya,yait u :

)

.

(

)

(

)

(

)

(

) 1 /(

m

n

B

n

m

n

m

R

r +r

Γ

Γ

+

Γ

=























 −

−







 −

=

− S S S S S S S

S

S

S

S

S

f

β β

θ

θ

θ

β

0 1 0

exp

)

(

; S0 < S < ∞

dan























 −

−







 −

=

− s s s s s s s

s

s

s

s

s

f

β β

θ

θ

θ

β

0 1 0

exp

)

(

; s0 < s < ∞

Dengan m enggunak an persam aan( 2.7) ,dapat diperoleh peluang k egagalan sebagai berik ut :

[

] [

∫

]

∞ ∞ −

−

=

<

=

P

S

s

F

S

f

S

dS

R

1

_S

(

)

_S

(

)

S

S

S

S

S

S

dS

S S S S S S S S S























 −

−







 −























 −

−

=

− ∞

∫

β β β

θ

θ

θ

β

θ

0 1 0 0

exp

exp

0 Misalkan S S

S

S

y

β

θ







 −

=

0 Kem udian

dS

S

S

dy

S S S S 1 0 −







 −

=

β

θ

θ

β

dan 0 / 1

S

y

S

=

βS

θ

_S

+

Oleh sebab it u peluang k egagalan m enj adi

dy

s

S

y

e

s

S

P

R

s S s S S S

∫

∞ −









































−

+

−

=

<

=

0 0 0 / 1

exp

]

[

β β

θ

θ

θ

………..( 3.24)

sehingga keandalannya m enj adi :





















































−

+

−

−

=

∞

∫

− 0 0 0 / 1

exp

1

e

y

S

s

dy

D AFTAR PUSTAKA

Beasley, Michael, “ Re lia bilit y for En gin e e r s a n I n t r odu ct ion ” , Macm illan,Educat ion Lt d.,1991.

De Groot , Moris H., “ Pr oba bilit y a n d St a t ist ics” , Addison –Wesley Publishing Com pany,second edison.

Govil,A.K., “ Re lia bilit y En gin e e r in g “ , Tat a Mc. Grow Hill Publishing Com pany Lim it ed,New Delhi,1983

Hariyant o,Sam sudin, ” Pe n gu j ia n Ke a n da la n pa da M ode l St r e ss- St r e n gt h ” , Jurnal Science No.34 Juni 1996,1996.

Hines, Willam W and Mongom ery Douglas C., ” Pr oba bilit a da n St a t ist ik da la m I lm u Re k a ya sa da n M a n a j e m e n ” , Edisi kedua, Penerj em ah

Rudiansyah, pendam ping Alder Hay m ans Marpaung, UI - PRESS,1990 Kapur,K.C. dan Lam berson L.R., “ Re lia bilit y in En gin e e r in g D e sign ” , John Wiley