Tugas Translate Softbook Bird PPP Kelas

BAB 9

Konduktivitas Termal Dan Mekanisme Perpindahan Energi

9.1. Hukum fourier tentang konduktivitas panas (perpindahan panas secara molekuler

9.2. Hubungan temperature dan tekanan dengan konduktivitas panas. 9.3. Teori konduktivitas termal gas pada densitas rendah.

9.4. Teori konduktivitas termal cairan 9.5. Konduktivitas termal benda padat.

9.6. Efektivitas konduktivitas termal padatan komposit. 9.7. Konvektif perpindahan panas

9.8. Pekerjaan yang terkait dengan gerakan molekul.

Sudah menjadi pengetahuan umum bahwa beberapa bahan misalnya logam menghantarkan panas dengan baik, sedangkan bahan lain seperti kayu bersifat isolator. Sifat fisik yang menjelaskan laju perpindahan panas yang terhantarkan adalah konduktivitas termal k.

Kita mulai pada sub bab 9.1 dengan definisi dari konduktivitas termal k dengan hokum fourier untuk vector fluks panas q. di sub bab 9.2. kita meringkaskan temperatur dan tekanan yang bergantung dengan k untuk fluida melalui prinsip sesuai aturan.kemudian dalam empat bagian selanjutnya kita menjelaskan informasi mengenai konduktivitas termal dari gas, liquid, padatan dan komposit padat, memberikan hasil teoritis yang tersedia.

Sejak di bab 10 dan 11 kita akan menemukan permasalahan yang menggunakan hokum konservasi energy, kita harus mengetahui tidak hanya bagaimana panas berpindah kedalam dan keluar sebuah system tetapi juga bagaimana usaha yang bekerja pada atau dengan system secara mekanisme molekuler. Istilah kerja molekuler dijelaskan dalam sub bab 9.8. akhirnya dengan mengkombinasikan fluks panas konduktif, fluks energi konvektif dan fluks kerja kita dapat membuat sebuah kombinasi fluks energi vector e, yang berguna dalam penyusunan persamaan neraca energi.

9.1. Hukum Fourier Tentang Konduktivitas Panas (Perpindahan Panas Secara Molekuler)

Pertimbangkan sebuah lempengan berbahan padatan sebuah area A yang terletak diantara dua pelat parallel besar terpisah dengan sebuah jarak Y. kita mengimajinasikan bahwa mula-mula (untuk waktu t<0) bahan padatan bertemperatur To keseluruhan. Pada t=0 pelat tipis secara tiba-tiba dinaikan ke

temperatur tinggi T1 dan dijaga pada temperatur tersebut. Sebagai hasil, profil

perubahan temperatur pada lempengan, dan sampai diperoleh distribusi temperatur tunak yang linier dicapai (seperti terlihat pada gambar 9.1-1). Ketika kondisi tunak telah tercapai, sebuah laju konstan dari aliran panas Q yang melewati lempengan yang diperlukan untuk mempertahankan perbedaan tempertur ∆T=T1-T0. Dalam hal ini untuk nilai ∆T yang kecil maka dapat

Itu adalah laju aliran panas per luas yang sebanding dengan penurunan temperature dengan jarak Y. Nilai konstanta k adalah konduktivitas termal dari lempengan. Persamaan 9.1-1 juga dapat digunakan jika sebuah cairan atau gas ditempatkan diantara dua pelat, bahwa tindakan yang sesuai digunakan untuk menghilangkan konveksi dan radiasi.

Dalam bab-bab selanjutnya lebih baik untuk bekerja dengan persamaan diatas dalam bentuk diferensial. Artinya, kitamenggunakan batasan bentuk dari persamaan 9.1-1 sebagai ketebalan lempengan mendekati nol. Laju aliran panas local per luas (fluks panas) dalam arah y positif sehingga dapat dinotasikan sebagai Qy. Dalam notasi ini persamaan 9.1-1 menjadi

Persamaan ini, yang menjelaskan k, adalah bentuk satu dimensi dari hukum fourier tentang konduksi panas. Itu menyatakan bahwa fluks panas oleh konduksi sebanding dengan gradien temperatur, atau untuk menggambarkannya, “panas

menurun pada grafik temperatur versus jarak”. Sebenarya persamaan 9.1-2 tidak benar-benar sebuah “hukum” alamiah, tetapi saran, yang terbukti secara empiris. Namun, tidak memiliki sebuah dasar teoritis, seperti yang telah dijelaskan dalam lampiran D.

Jika suhu bervariasi dalam tiga arah, kemudian kita dapat menulis sebuah persamaan seperti persamaan 9.1-2 untuk masing-masing arah kordinat :

Jika masing-masing dari persamaan ini dikalikan dengan vector satuan dan persamaan kemudian ditambahkan, kita memperoleh

Yang merupakan bentuk tiga dimensi dari bentuk hokum fourier. Persamaan ini menjelaskan perpindahan molekuler dari panas dalam media isotropik. Dengan

isotropik kita mengartikan bahwa bahan tidak memiliki arah yang diinginkan, jadi panas yang terkonduksi dengan konduktivitas termal k dalam semua arah.

Beberapa padatan, misalnya Kristal tunggal nonkubik, bahan berserat dan laminasi merupakan anistropik. Untuk substansi tersebut kita harus mengganti persamaan 9.1-6 oleh

beberapa penulis menuliskan persamaan 9.1-2 dalam bentuk

dimana Jc adalah “panas ekuivalen mekanik”, yang tergambar secara eksplisit konversi satuan termal kedalam satuan mekanik. Sebagai contoh, dalam sistem c.g.s satu menggunakan satuan : qy[=] erg/cm2_{.s, k[=] cal/cm.s.C, T[=]C, y[=]cm,}

dan Jc[=] erg/cal. Kita tidak menggunakan persamaan 9.1-2a dalam buku ini. Meskipun cairan polimerik dalam keadaan diam adalah isotropik, teori kinetik menjelaskan bahwa ketika cairan ini bergerak mengalir konduksi panas adalah anistropik [lihat B.H. A. A. van den Brule, Rheol.Acta, 28,257-266(1989); and C. F. Curtiss and R.B. Bird, Advance in Polymer Science, 25, 1-101 (1996)]. Alat percobaan untuk tegangan geser dan elongasi aliran dilaporkan oleh D. C. Venerus, J. D. Schieber, H. Iddir, J. D. Guzman, and A. W. Broerman, Phys. Rev. Letters, 82,366-369(1999); A. W. Broerman, D. C. Venerus, and J. D. Scieber, J. Chem. Phys., 111, 6965-6969 (1999); H. Iddir, D. C. Venerus, and J. D. Schieber, AIChE Journal, 46, 610-615 (2000). Untuk orientasi padatan polimer, konduktivitas termal ditingkatkan ke arah orientasi telah diukur oleh B. Poulaert, J.-C. Chielens, C. Vandenhende, JP. Issi, dan R. Legras, Polymer Comm., 31,14 & 151 (1989). Sehubungan dengan model semi konduktivitas termal polimer, telah ditunjukkan oleh RB Bird, CF Curtiss, dan KJ Beers [Rheol. Acfa, 36,269-276 (1997)]. Konduktivitas termal yang diperkirakan sangat sensitif terhadap bentuk energi potensial yang digunakan untuk menggambarkan sumber.

Pembaca akan menyadari bahwa persamaan. 9,1-2 untuk konduksi panas dan persamaan. 1,1-2 untuk aliran viskos sangat mirip. Dalam kedua persamaan fluks sebanding dengan negatif dari gradien variabel makroskopik, dan koefisien proporsionalitas merupakan karakteristik sifat fisik material dan tergantung pada suhu dan tekanan. Untuk situasi di mana ada transportasi tiga-dimensi, kita menemukan bahwa persamaan. 9,1-6 untuk konduksi panas dan persamaan. 1,2-7 untuk aliran viskos berbeda dalam kenyataanya. Perbedaan ini muncul karena energi skalar, sedangkan momentum adalah vektor, dan q fluks panas adalah vektor dengan tiga komponen, sedangkan fluks momentum adalah tensor orde kedua dengan sembilan komponen. Kita dapat mengantisipasi bahwa transportasi energi dan momentum secara umum tidak analog secara matematis kecuali dalam situasi geometris sederhana tertentu.

Selain konduktivitas termal k, didefinisikan oleh persamaan. 9,1-2, kuantitas yang dikenal sebagai termal difusivitas yang banyak digunakan. Hal ini didefinisikan sebagai

Cp adalah kapasitas panas pada tekanan konstan; sirkumfleks (A) simbol yang menunjukkan jumlah "per satuan massa”. Kadang-kadang kita perlu menggunakan Cp dengan simbol tilde (-) daripada simbol singkatan kuantitas “per mol”.

Difusivitas termal memiliki dimensi yang sama dengan viskositas kinematik v, (panjang)2_{/waktu. Ketika asumsi sifat fisik konstan dibuat, jumlah v}

disebut “Prandlt Number”. Kelompok dimensi lain yang akan kita hadapi dalam bab-bab selanjutnya adalah Peclet Number : Pe = RePr.

Unit yang umum digunakan untuk konduktivitas termal dan jumlah yang terkait disajikan dalam Tabel 9,1-1. Unit lain, serta keterkaitan dalam berbagai sistem, dapat ditemukan dalam Lampiran F.

Konduktivitas termal dapat bervariasi dari sekitar 0,01 W/m.K untuk gas dan sekitar 1000 W / m. K untuk logam murni. Beberapa nilai eksperimental konduktivitas

Tabel 9.1-1 Ringkasan Unit untuk Kuantitas di persamaan 9.1-2 dan 9

Tabel 9.1-2 Konduktivitas termal, Kapasitas Panas, dan Prandtl Jumlah Beberapa Gas umum pada tekanan 1 atm

Contoh 9.1-1

Sebuah panel plastik dengan area A = 1 ft2 _{dan ketebalan Y = 0,252 in. diletakkan}

untuk menghantarkan panas pada tingkat 3,0 W dalam steady state dengan suhu T0

= 24.00o_{C dan T}

1, = 26.00oC yang dikenakan pada dua permukaan utama. Berapa

konduktivitas termal dari plastik dalam cal/cm.s.K pada 25o_C?

Solusi :

Pertama mengkonversi unit dengan menggunakan Lampiran F : A = 144 in2 _{x (2.54)}2 _{= 929 cm}2

Y = 0.252 in x 2.54 = 0.640 cm Q = 3.0 W x 0.23901 = 0.717 cal/s

dT = 26.00 - 24.00 = 2.00 K Pergantian ke persamaan 9.1-1 kemudian mendapatkan

k = QY AdT=

0.717x0.640

929x2 =2.47x10 -4 cal/cm.s.K

Untuk dT sekecil 2o_{C, adalah wajar untuk mengasumsikan bahwa nilai k berlaku}

Tabel 9.1-4 Konduktivitas termal, Kapasitas Panas, dan Prandtl Number Beberapa Logam Cair Pada Tekanan Atmosferik

9.2 PENGARUH TEKANAN DAN TEMPERATUR TERHADAP KONDUKTIVITAS TERMAL

Ketika data konduktivit as termal dari komponen spesifik tidak dapat ditemukan, dapat diestimasikan dengan menggunakan grafik pada gambar 9.2-1, yang berdasarkan data konduktivitas termal untuk beberapa material monoatomik. Grafik ini yang serupa dengan grafik viskositas pada gambar 1.3-1, menggambarkan penurunan konduktivitas termal kr = k/kc’, dimana konduktivitas termal pada tekanan P dan temperatur T dibagi dengan konduktivitas termal pada titik kritis. Hasilnya digambarkan sebagai fungsi dari penurunan temperatur Tr = T/Tc dan penurunan tekanan Pr = P/Pc. Gambar 9.2-1 didasarkan pada jumlah yang terbatas dari data percobaan untuk material monoatomik, tetapi dapat digunakan untuk estimasi kasar dari material poliatomik. Hal ini tidak seharusnya digunakan pada nilai yang mendekati titik kritis.

Gambar 9.2-1. Penurunan Konduktivitas Termal Untuk Material Monoatomik Sebagai Fungsi Dari Penurunan Temperatur Dan Tekanan

Translated by :

Hermawan Prasetyo (3335110604)

Dapat dilihat bahwa konduktivitas termal dari gas mendekati fungsi batas (limiting function) dari T pada tekanan rendah; untuk kebanyakan gas batas (limit) ini dicapai pada tekanan sekitar 1 atm. Konduktivitas termal dari gas pada densitas rendah meningkat seiring kenaikan temperatur, dimana konduktivitas termal dari kebanyakan cairan menurun seiring kenaikan temperatur. Korelasinya kurang dapat diterapkan untuk fasa liquid; polar atau campuran liquid seperti air, dapat memperlihatkan nilai maksimum dari kurva k terhadap temperatur. Sifat utama dari grafik hubungan keadaan yaitu salah satunya mendapatkan gambaran secara luas dari perlakuan terhadap konduktivitas termal dari gas dan liquid.

Nilai kc dapat diestimasikan dengan dua cara : (i) nilai K pada tempertaur dan tekanan yang diketahui, lebih baik mendekati pada kondisi dimana nilai k dapat diestimasikan, nilai kr dapat dilihat dari grafik dan menghitung kc = k / kr; atau (ii) nilai k untuk densitas rendah dapat diestimasikan dengan metode pada 9.3 dan dilanjutkan menggunakan cara (i). Nilai kc didapat menggunakan metode (i) yang terdapat dalam Appendix E.

Untuk campuran, nilai konduktivitas termal dapat diestimasikan dengan metode analogi seperti yang dijelaskan pada 1.3. Keakuratan dari prosedur pseudocritical diketahui sangat kecil untuk diterapkan pada nilai konduktivitas termal, sebagian besar disebabkan sedikitnya data dari campuran pada tekanan tinggi.

CONTOH SOAL 9.2-1

Pengaruh Tekanan terhadap Konduktivitas Termal Soal :

Estimasikan nilai konduktivitas termal dari Etana pada T=153 F dan P=191,9 atm dari data percobaan k=0,0159 Btu/Jam..Ft.F pada 1 atm dan 153 F.

Jawaban :

Dari gambar 9.2-1 didapat kr=0,36. Diperoleh nilai kc :

Pada 153 F (Tr=1,115) dan 191,9 atm (pr=3,98), dilihat dari grafik nilai kr = 2,07. Didapat nilai prediksi konduktivitas termal :

9.3 Teori Konduktivitas Panas Gas Pada Densitas Rendah

Konduktivitas panas gas monoatomic encer dapat dipahami dengan baik dan dapat dijelaskan dengan teori kinetik gas pada densitas rendah. Meskipun detail teori gas poliatomik telah berkembang,1 _{sudah menjadi hal yang biasa untuk}

menggunakan beberapa perkiraan teori secara sederhana. Seperti pada point 1.5 diberikan penurunan mean free path untuk gas monoatomic secara sederhana, dan kemudian menghasilkan teori kinetik gas Chapman-Enskog.

Digunakan model rigid, berbentuk bola yang tidak berinteraksi memiliki massa m dan diameter d. Gas secara keseluruhan pada keadaan diam (v=0), tetapi gerakan molekular harus diperhitungkan. Seperti point 1.5, digunakan hasil untuk gas bola-rigid :

Molekul-molekul mencapai setiap bidang yang dimiliki gas, pada rata-rata, tumbukan terakhir pada bidang, dimana

Dalam persamaan ini K adalah konstanta Boltzmann, n adalah jumlah molekul per unit volume, dan m adalah massa molekul.

Satu-satunya bentuk energi yang dapat dipertukarkan dalam tumbukan antara dua bola adalah energi translasi. Energi translasi rata-rata per molekul di bawah kondisi keseimbangan adalah

seperti yang ditunjukkan pada Prob. 1C.1. Untuk gas tersebut, kapasitas panas molar pada volume konstan adalah

dimana R adalah konstanta gas. Persamaan 9,3-6 untuk gas monoatomik sampai suhu beberapa ribu derajat.

Translated by :

Arie Buchari (3335110266)

Untuk menentukan konduktivitas panas, kita mengkaji perilaku gas di bawah gradien suhu dT / dy (lihat Gambar. 9,3-1). Kami berasumsi bahwa Pers. 9,3-1 6 tetap berlaku dalam situasi tidak seimbang, kecuali dalam Pers. 9,3-5 dianggap sebagai energi kinetik rata-rata untuk molekul yang memiliki tumbukan terakhir di daerah suhu T. fluks panas qY di setiap bidang yang konstan y didapatkan dengan menjumlahkan energi kinetik dari molekul yang melintasibidang per unit waktu di y arah positif dan mengurangi energi kinetik dari jumlah yang sama yang melintasi di y arah negatif :

Persamaan 9,3-7 didasarkan pada asumsi bahwa semua molekul memiliki kecepatan representatif di daerah tumbukan terakhir mereka dan profil temperatur T(y) adalah linear untuk menempuh jarak mean free path. Dengan mempertimbangkan asumsi yang terakhir kita dapat menulis

Hal ini sesuai dengan hukum Fourier tentang konduksi panas (Persamaan. 9,1-2) dengan konduktivitas panas yang diberikan adalah

di mana p = nm adalah densitas gas, dan Cv = 3/2K / m (dari Persamaan. 9,3-6). Mensubstitusi ῡ dan dari pers. 9,3-1 dan 3 kemudian menjadi

yaitu konduktivitas termal gas dengan densitas rendah berbentuk bola diameter d. Persamaan ini memprediksi bahwa k tidak tergantung pada tekanan. Gambar 9,2-1 menunjukkan bahwa prediksi ini sesuai dengan data eksperimen sampai sekitar 10 atm untuk sebagian besar gas. Ketergantungan terhadap temperatur yang diperkirakan terlalu lemah, seperti yang terjadi untuk viskositas.

Untuk perlakuan yang lebih akurat dari gas monoatomik, dilakukan Perlakuan lebih teliti dengan Chapman-Enskog yang dibahas dalam point 1.5. The Chapman-Enskog persamaan2 untuk konduktivitas panas dari gas monoatomik pada densitas rendah dan temperatur T adalah

Dalam persamaan kedua ini, k = cal/cm . s K, T = K, σ = A dan “tumbukan tak terpisahkan” untuk konduktivitas panas, k, untuk viskositas, pada point 1.4.

Nilai dari k =  yang diberikan untuk intermolecular potensial Lennard-Jones pada tabel E.2 merupakan fungsi dari pengukuran temperature kT/. Persamaan 9.3-13, sama dengan Tabel E.2, yang telah ditemukan sangat akurat untuk memprediksi konduktivitas panas dari gas monoatomik ketika parameter  dan  dapat disimpulkan sebagai penggunaan dari pengukuran viskositas (nilai dapat dilihat pada Tabel E.1).

k=15 4

R M μ=

5

2C^Vμ (gas monoatomik)

(9.3-15)

Penyederhanaan teori Rigid-Sphere (Lihat persamaan 1.4-8 dan 9.3-11) memberikan k=^C_Vμ dan nilai keerorannya dinyatakan dalam faktor 2.5. Hal ini tidak mengejutkan jika dilihat dari beberapa perkiraan yang dilakukan pada perlakuan yang mudah.Sejauh ini kita telah mendiskusikan hanya tentang gas monoatomik. Seperti yang telah didiskusikan pada i0.3, dalam biner collisions diantara molekul diatomic, kemungkinan terdapat penyimpangan diantara energy kinetic dan internal (pada putaran dan getaran). Seperti penyimpangan yang tidak diperhitungkan di dalam teori Chapman-Enskog untuk gas monoatomik. Karena hal ini dapat diantisipasi bahwa teori Chapman-Enskog tidak akan sesuai untuk mendeskripsikan konduktivitas panas pada molekul poliatomik.

Metode semiempirical yang mudah untuk menghitung perubahan energi pada gas poliatomik yang dikembangkan oleh Eucken.3 _{persamaannya yang}

menyatakan konduktivitas panas pada gas poliatomik pada densitas rendah adalah k=

(

C^_V+5

4 R

M

)

μ (gas poliatomik) (9.3-15) Formua Eucken termasuk ke dalam formula monoatomik (Persamaan 9.3-14)

pada kasus tertentu, karena C^P=

5

2(R/M) untuk gas monoatomik. Hirschfelder4 _{memperoleh formula yang serupa dengan Eucken dengan}

menggunakan teori campuran multikomponen (lihat contoh 19.4-4). Teori, hubungan, dan formula empiris lain juga tersedia.5,6

Persamaan 9.3-15 menyatakan metode yang mudah untuk

mengestimasikan bilangan Prandtl, yang ditetapkan pada persamaan 9.1-8: Pr¿C^Pμ

k =

~_C

p

~

Cp+

5 4R

(gas poliatomik)

Persamaan ini cukup menjelaskan gas poliatomik nonpolar pada temperatur rendah, seperti dapat dilihat pada tabel 9.3-1; itu kurang akurat untuk molekul polar.

Konduktivitas panas untuk gas campuran pada densitas rendah dapat diestimasikan dengan metode7 _{sesuai seperti yang telah diberikan untuk}

persamaan viskositas (lihat persamaan 1.4-15 dan 16): k_mix=

∑

α=1

N _χ αkα

∑

β χβ

Φ_αβ (9.3-17)  merupakan fraksi mol, dan  adalah konduktivitaspanas dari bahan kimia murni. Koefisien Φ_αβ sangat identik yang sering muncul dalam persamaan viskositas

Tabel 9.3-1 Nilai Prediksi dan Observasi dari bilangan Prandtl untuk gas pada tekanan atmosferik.

menunjukkan deviasi rata-rata sekitar 4% untuk campuran mengandung gas poliatomik nonpolar, termasuk O2, N2, CO, C2H2, dan CH4.

Hitunglah konduktivitas panas dari Ne pada 1 atm dan 373.2 K. PENYELESAIAN

Dari tabel E.1 konstanta Lennard-Jones untuk neon adalah σ=2.789Å dan E

k=35.7° K , dan berat molekul M adalah 20.183. Kemudian, pada temperature 373.2 K, kita memiliki( kT)⁄ε= 373.2⁄35.7=10.45 . Dari Tabel E.2 kita dapat menemukan bahwa k =  = 0.812. subtitusi kedalam persamaan 9.3-13 adalah

k=

(

1.9891x10−4

)

√

T/M

σ2_Ω

K

¿

(

1.9891x10−4

)

√

373.2/20.183

(2.789)2(0.821) ¿1.338X10−4 cal

cm ∙ s ∙ K (9.3-18) Hasil pengukurannya sebesar 1.35 x 10-4 _{cal/cm s K yang telah didapatkan pada}

tekanan 1 atm dan temperatur 373.2 K.

Tentukan konduktivitas panas molekul oksigen pada temperatur 300K dan tekanan rendah.

PENYELESAIAN

Berat Molekul O2 yaitu 32, kapasitas panas Cp pada 300K konstanta

Lennard-Jones untuk oksigen yaitu σ=3.433Å dan ε

k=113K pada 300K, kemudian kT/ε=300/113=2.655. Dari Tabel E.2 kita dapat menemukan nilai = 1.074. Viskositas dapat diperoleh dari persamaan 1.4-14. yaitu :

μ=

(

2.6693x10−5

)

√

MT

σ2Ωμ

√

(32) (300) (3.433)2(1074) ¿

(

2.6693x10−5

)

¿2.065x10−5 g

cm . s ………(9.3-19) Kemudian dari persamaan 9.3-15, menentukan konduktivitas panas dengan Persamaan Eucken yaitu :

k=

(

Cp+5 4R

)(

μ M

)

¿(7.019+2.4)(2.065x10−4

)/(32)¿ ¿6.14x10−5 g

cm. s . K

¿0.0257 W

m. K ………(9.3-20)

Perbandingan yang menguntungkan dengan nilai percobaan yaitu 0.02657 W/m.K pada table 9.1-2

Perhitungan konduktivitas panas dari campuran gas pada 1 atm dan 293 K dari data komponen murni pada tekanan dan temperature yang sama.

PENYELESAIAN

Menggunakan persamaan 9.3-17. Kita perhatikan bahwa Φ_αβ untuk campuran gas pada kondisi ini dapat dihitung seperti dalam perhitungan viskositas contoh 1.4-2. Dalam contoh ini kita dapat mengevaluasi persamaan berikutnya, yang juga muncul dalam persamaan 9.3-17

Subtitusi kedalam persamaan 9.3-17 :

∑

α=¿1 k_mix=

∑

¿

N XαKα

¿(0.133)(383)

(

10 −7

)

0.763 +

(0.039) (612)

(10

−7

)

1.057 +

(0.828) (627)

(

10−7

)

1.049 ¿584x10−7 cal

9.4 Teori Konduktivitas Termal Cairan

Teori kinetik secara detail untuk konduktivitas termal dari cairan monoatomic telah di kembangkan setengah abad yang lalu, tetapi belum dapat di aplikasikan untuk perhitungan. Pada akhirnya, harus menggunakan teori dasar atau metode estimasi empiris.

Teori Bridgman mengenai transport energi dalam cairan murni dipilih untuk dibahas dalam bab ini. Bridgman berasumsi bahwa molekul-molekul tersusun di dalam kisi kubik, dimana jarak dari pusat satu ke pusat yang lain digambarkan dengan ( / )Ṽ Ṅ 1/3_{, dengan / adalah volume per molekul. BridgmanṼ Ṅ}

juga berasumsi bahwa energy yang di transfer dari satu kisi ke kisi selanjutnya pada kecepatan sonic (ⱴs) terhadap fluida. Perkembangan teori Bridgaman

didasarkan pada persamaan 9.3-11 untuk teori gas rigid-sphere :

(9.4-1) Kapasitas panas pada volume konstan dari cairan monoatomic sama dengan kapasitas panas padatan pada temperatur tinggi, dapat digambarkan dari persamaan Dulong dan Petit Ĉv = 3 (K/m). Kecepatan rata-rata molekul pada sumbu y, uy , digantikan dengan kecepatan sonic ⱴs. Jarak a menjelaskan bahwa

energi yang berada di antara dua tumbukan dapat diartikan jarak antar kisi ( / )Ṽ Ṅ 1/3_{. Kemudian disubstitusikan ke persamaan 9-4-1, sehingga menjadi :}

(9.4-2)

Data eksperimen menunjukan kesesuaian dengan persamaan 9.4-2, walaupun untuk cairan poliatomik, tetapi nilai koefisien sedikit terlalu tinggi. Data akan lebih sesuai jika koefisien diganti dengan 2.80, sehingga persamaan menjadi :

(9.4-3)

Persamaan di atas dibatasi oleh densitas yang berada di atas densitas kritis, karena di asumsikan bahwa setiap molekul berkisar dalam batas antar molekul.

Translated by :

Keberhasilan untuk persamaan cairan poliatomik dinyatakan bahwa transfer energi tumbukan dari molekul poliatomik adalah tidak sempurna, karena kapastitas panas yang digunakan adalah Ĉv = 3 (K/m), kurang dari kapasitas panas cairam poliatomik.

Kecepatan frekuensi suara rendah digambarkan pada (Problem 11C.1) dengan

(9.4-4) Kuantitas ( p/ ρ)ϑ ϑ T dapat diperoleh dari pengukuran kompresibilitas isothermal

atau dari persamaan keadaan, dan (Cp/Cv) sangat dekat dengan cairan, kecuali

dengan titik kritisnya.

EXAMPLE 9.4-1

Prediksi Konduktivitas Termal Cairan

Densitas liquid CCl4 pada 20˚C dan 1 atm adalah 1.595 g/cm3, dan kompresibilitas

isothermal (1/ρ)( ρ/ p)ϑ ϑ T adalah 90.7 x 10-6 atm-1. Berapakah konduktivitas

thermal ?

SOLUTION Langkah pertama

(9.4-5)

Diasumsikan bahwa Cp/Cv = 1.0, didapat dari persamaan 9.4-4

Volume Molar adalah = M/ρ = 153.84/1.595 = 96.5 cmṼ 3_{/g-mole. Substitusi nilai}

tersebut pada persamaan 9.4-3 seperti di bawah ini :

(9.4-7)

9.5 KONDUKTIVITAS TERMAL PADATAN

Panas yang dihasilkan konduktvitas padatan merupakan padatan yang harus diukur melalui eksperimen, karena bergantung pada banyak faktor yang sulit untuk diukur atau diperkirakan. Bahan dalam kristal, tahapan yang penting dan ukuran kristal dalam orientasi tingkat padatan amorf molekul memiliki efek yang cukup besar. Padatan berpori, konduktivitas termal yang sangat tergantung pada jumlah ruang kosong. Ukuran pori-pori, dan cairan yang terdapat dalam pori-pori. Dari diskusi Jacob yang lebih rinci panas yang dihasilkan padatan.

Secara umum, logam adalah konduktor panas yang lebih baik dari pada non-logam, dan bahan kristal menyerap panas lebih mudah dari pada bahan amorf. Padatan berpori kering adalah konduktor panas yang sangat lemah, karena itu sangat baik untuk isolasi panas. Konduktivitas dari logam yang paling murni dapat ditingkatkan dengan meningkatkan suhu, sedangkan untuk konduktivitas non-logam dengan memandukkannya dengan bahan yang memiliki sifat yang diinginkan. Mungkin yang paling berguna dari aturan thumb itu adanya konduktivitas listrik dan panas yang dapat berpindah dari tangan ke tangan.

Untuk logam murni yang tidak sesuai dengan paduan, konduktivitas termal dan konduktivitas listrik ke memiliki hubungan approximately sebagai berikut :

k

keT = L= konstan

Ini adalah persamaanWiedemann- Franz- Lorenz; persamaain ini juga dijelaskan (dalam problem 9A.6).” Lorenz number” L bernilai 22 sampai 29 x 10-9 _Volt2 _{/ K}2

untuk logam murni pada temperatur 0o_{C dan temperatur di atas 0}o_{C terjadi}

perubahan, meningkat sekitar 10-20% per 1000o_{C. Pada temperatur yang sangat}

rendah (-269,4o_{C) logam merkuri merupakan konduktor listrik yang kuat tetapi}

tidak panas, dan L sangat bervariasi pada temperatur mendekati keadaan superkonduksi. Persamaan 9.5-1 digunakan secara terbatas karena komposisi L sangat bervariasi, dalam beberapa kasus dan temperatur.

Translated by :

Keberhasilan persamaan 9.5-1 untuk logam murni disebabkan oleh fakta bahwa elektron bebas yang paling utama adalah pembawa panas pada logam murni. Persamaan yang tidak sesuai untuk non-logam, dimana konsentrasi elektron bebas yang sangat rendah sehingga transportasi energi oleh gerakan molekul mendominasi.

9.6 Konduktivitas Panas (Thermal) Efektif dari Padatan Komposit

Kita telah mempelajari tentang material-material homogen. Sekarang kita akan beralih membahas konduktivitas thermal dua fasa padatan. Suatu fasa padatan terurai menjadi dua fasa padatan, atau padatan yang terdiri dari beberapa pori, seperti butiran material, sintered logam, dan plastik busa. Untuk penjelasan lengkap dari perpindahan panas material ini sangatlah rumit. Namun untuk konduksi tetap material ini dapat diangap seperti material homogen dengan konduktivitas thermal efektif keff, sementara temperatur dan heat fluks komponen

diasumsikan sama seperti jumlah rata-rata volume, yang lebih besar berpacu pada scale heterogenitas dan hanya sedikit berpacu pada dimensi total dari sistem konduksi panas.

Penemuan pertama untuk menghitung konduktivitas padatan heterogen ditemukan oleh Maxwell. Dia mengemukakan material terbuat dari bidang konduktivitas thermal k1 menempel pada fasa kontinyu padat dengan konduktivitas thermal k0.

Fraksi volume ∅ bidang yang menempel kecil karena bidang tidak berinteraksi secara thermal, dimana diasumsikan konduktivias thermal hanya terdapat pada luas media yang terdiri dari hanya satu bidang yang menempel. Dengan demikian Maxwell menunjukkan persamaan untuk fraksi volume ∅ yang kecil

k eff k0 =1+

3∅

(

k1+2k0 k1−k0

)

−∅

(9.6−1)

Untuk fraksi volume ∅ yang besar, Rayleigh menunjukkan jika lokasi bidang ada di titik potong atom kubik, konduktivitas thermal kompositnya adalah :

k eff k0 =1+

3∅

(

k1+2k0

k1−k0

)

−∅+1.569

(

k1+k0 3k1−4k0

)

∅

10/3

+… …

(9.6−2)

Hasil perbadingan dengan persamaan 9.6.1 menunjukkan interaksi diantara

bidang kecil, meski pada ∅=1

6π , yaitu nilai maksimum yang diperbolehkan untuk susunan atom kubik. Oleh karena itu rumus Maxwell yang lebih mudah

Translated by :

lebih sering digunakan, dan efek dari distribusi bidang yang tidak seragam biasanya diabaikan.

Namun untuk inklusi nonspherical, persamaan 9.6.1 membutuhkan modifikasi. Untuk tabung ke koordinat z, Rayleigh menunjukkan bahwa komponen zz dari konduktivitas thermal tensor k adalah

k eff ,22 k0 =1+

(

k1−k0

k0

)

∅(9.6−3)

Dan untuk dua komponen lainnya k eff , xx

k0 =

k eff , yy k0 =¿

k1+k0 ¿

1+ 2∅

(_¿¿k1₋k0)₋∅₊

(

k1−k0

k1+k0

)

(0.30584

∅

4

+0.013363∅8

+…)

(9.6−4)

Padatan komposit yang terdiri dari beberapa silinder yang menempel adalah isotropi. Konduktivitas thermal tensor efektif telah dihitung sampai 0

(

∅2

)

untuk media yang terdiri dari inklusi spheroidal.

Untuk inklusi nonspherical kompleks, sering dijumpai dalam kenyatannya, treatment yang tidak tepat mungkin terjadi, tetapi mungkin ada hubungannya. Untuk partikel lembaran terpisah yang simpel, poesamaan tersebut dibuktikan:

Atau

gk adalah “faktor bentuk” untuk butiran sedang, dan itu harus memenuhi

untuk lahan yang terpisah g1=g2= 1₈ dan g3= 3₄ . Struktur dari pecahan poros

lembaran – contohnya, batu pasir lebih banyak yang kompleks . Sebagian kesuksesan diklaim untuk memprediksi dari efekifitas konduktifitas dari tiap zat, tetapi biasanya metode ini tidak diketahui

Untuk padatan yang mengandung gas pocket radiasi termal (lihat Chapter 16) yang mungkin menjadi penting. Kasus spesial dari planar parallel yang celahnya tegak lurus ke arah konduksi panas terutama penting dari insulasi temperatur tinggi . Untuk setiap sistem dapat ditunjukkan bahwa:

Dimana σ adalah konstanta Stefan-Boltzmann, k1 adalah konduktivitas

termal dari gas, dan L adalah ketebalan total dari material pada arah konduksi panas. Modifikasi dari persamaan untuk celah dari bentuk yang lain dan orientasi yang tersedia

Untuk gas-filled beds di tipe yang berbeda dari kemunculan yang kompleks. Ketika konduktivitas termal gas lebih rendah dari konduktivitas padatan, hampir semua fase gas konduksi panasnya adalah mendekati konsentrasi berdekatan dari partikel padatan. Hasilnya, jarak di mana konduksi panas melalui gas mungkin akan mendekat garis bebas dari molekul gas. Ketika kondisi ini benar, kondisi dari perkembangan dari §9.3 telah menyimpang, dan konduksi termal dari gas menurun. Insulator akan sangat efektif dapat dipersiapkan dari sebagian evakuasi bed dari serbuk halus.

Saluran silinder yang berisi butiran material melalui fluida yang mengalir (pada arah z) banyak yang penting pada proses pemisahan dan reaktor kimia. Seperti di sistem sistem, konduktivitas termal yang efektif pada arah radial dan arah axial yang sedikit berbeda dan didesain oleh Kff.rr, dan Kff,zz. Konduksi,

dengan aliran yang berliku dari fluida pada celah dari butiran material, ini memberikan kenaikan kepada kondisi termal isotropik. Untuk lapisan seragam pada bidang, pada komponen radial dan aksial persamaannya adalah:

pada Vo adalah “ kecepatan superficial” diartikan pada persamaan §4.3 dan §6.4 dan D adalah diametr dari partikel bola. Ini merupakan hubungan yang simpel dari Re = Dpvoρ/µ lebih baik dari 200. Aturan pada Reynold number yang lebih

9.7 PERPINDAHAN ENERGI KONVEKTIV

Pada 9.1 kita memberikan hukum Fourier panas konduksi, yang menyumbang untuk energi diangkut melalui sebuah medium dengan gerakan molekuler.

[image:31.595.140.465.244.327.2]

Energi boleh juga berpindah dangan gerakan mssal dari fluida. Pada gambar 9.7-1 kita tampilkan tiga elemen saling tegak lurus dari area dS pada titik P, dimana kecepatan fluida adalah v.

Gambar 9.7-1 tiga elemen saling tegak lurus dari area dS melintas yang energi dipindahkan secara konveksi berdsarkan pergerakan cairan dengan kecepatan v. laju volume aliran tegak lurus terhadap sumbu x adalah v, dS, dan laju alir energi

diseluruh dS kemudian ( 1 2 ρ v

2

+ρÛ¿v_xds . Ekspresi yang sama dapat ditulis untuk elemen permukaan tegak lurus terhadap sumbu y dan z.

Laju aliran volume seluruh elemen permukaan dS tegak lurus terhadap sumbu x adalah v_x dS. Tingkat di mana energi yang menyapu elemen permukaan yang sama adalah sehigga

( 1 2 ρ v

2

+ρÛ¿v_xds (9.7-1)

dimana 1 2 ρ v

2

=1 2ρ(vx

2

+v2_y

+v_z2

) adalah energi kinetik per satuan volume, dan ρÛ adalah energi dalam per satuan volume.

Definisi energi dalam pada keadaan nonequilibrium memerlukan beberapa pengertian. Dari sudut pandang rangkaian kesatuan, energi dalam pada posisi r dan waktu t diasumsikan menjadi fungsi kesatuan yang sama, seketika densitas dan suhu yang salah satu akan memiliki keseimbangan. Dari sudut pandang molekul, energi dalam terdiri dari jumlah energi kinetik dari semua atom

Translated by :

penyusun (relatif terhadap kecepatan aliran v), energi intramolekuler potensial, dan energi antarmolekul, dalam suatu wilayah kecil sekitar titik r pada waktu t.

Ingatlah bahwa, dalam pembahasan tumbukan molekul dalam 50.3, kami merasa nyaman menganggap energi dari sepasang molekul yang bertumbukan menjadi jumlah dari energi kinetik mengacu pada pusat massa molekul ditambah energi potensial intramolekul dari molekulnya. Di sini juga kita membagi energi fluida (dianggap sebagai sebuah kontinum) ke energi kinetik yang terkait dengan gerakan fluida massal dan energi dalam terkait dengan energi kinetik dari molekul sehubungan dengan kecepatan aliran dan energi potensial antarmolekul.

Kita dapat menulis pernyataan yang mirip dengan persamaan. 9.7-1 untuk tingkat di mana energi sedang menyapu elemen permukaan tegak lurus dengan sumbu y dan z. Jika sekarang kita kalikan masing-masing tiga pernyataan oleh unit vektor yang sesuai dan menambahkan, kita kemudian mendapatkan, setelah pembagian dengan dS,

(

1 2ρ v

2

+ρÛ

)

δ_xv_x+

(

1 2ρ v

2

+ρÛ

)

δ_yv_y+

(

1 2 ρ v

2

+ρÛ

)

δ_zv_z=

(

1 2ρ v

2

+ρÛ

)

v (9.7-2)

dan kuantitas ini disebut konveksi vektor fluks energi. Untuk mendapatkan energi konvektif fluks di permukaan satuan yang biasa vektor satuan adalah n, kami

membentuk dot produk ( n ∙(1 2ρ v

2

9.8 KERJA YANG BERKAITAN DENGAN GERAKAN MOLEKUL Saat ini akan fokus mengenai aplikasi hukum konservasi energi untuk “shells” (seperti penjelasan pada bab 10) atau untuk elemen volume dalam ruang yang tetap (pengembangan persamaan dari perubahan energi pada bab 11). Hukum konservasi energi pada sistem aliran terbuka adalah lanjutan dari hukum pertama termodinamika (pada sistem tertutup). Pada pembahasan terakhir telah dinyatakan bahwa perubahan energi dalam sama dengan jumlah panas yang masuk ke sistem ditambah dan dengan jumlah kerja pada sistem. Untuk sistem aliran diharuskan untuk menghitung panas yang masuk ke sistem (menggunakan gerakan molekul dan gerakan cairan yang berukuran besar) dan gerakan molekul digunakan juga untuk menghitung kerja. Maka dari itu berikut ini akan dijelaskan persamaan untuk laju kerja dengan gerakan molekul.

[image:33.595.174.455.494.601.2]

Pertama, ketika sebuah gaya F diberikan pada suatu benda dan menyebabkan benda tersebut bergerak melalui jarak dr, kerja yang diberikan adalah dW = (F. dr). Dengan demikian laju kerja adalah dW/dt = (F. dr/dt) = (F. v) – persamaan tersebut adalah produk akhir dari gaya dikali kecepatan. Formula ini diaplikasikan pada tiga bidang lurus saat point P di dalam ruang yang ditunjukan pada gambar 9.8-1.

Gambar. 9.8-1. Tiga bidang tegak lurus elemen permukaan dari area dS pada point P sepanjang tegangan vektor πx, πy, πz, bergerak pada permukaan. Pada

gambar pertama, laju kerja pada cairan yang berada di sisi minus dS dan cairan yang berada pada sisi positif menjadi (πx . v)dS = [πx . v]x dS. Persamaan yang

sama untuk elemen permukaan tegak lurus pada dua koordinat axis. Translated by :

Pertama perhatikan elemen permukaan bidang lurus pada x-axis. Cairan pada sisi minus permukaan mendesak sebuah gaya πxdS di atas cairan pada sisi

positif (lihat tabel 1.2-1). Saat cairan bergerak dengan kecepatan v, laju pada kerja yang diberikan dengan minus pada cairan positif (πx . v)dS. Persamaan yang saa

dapat ditulis untuk kerja yang menyebangi dua elemen permukaan. Dimana dapat ditulis dengan bentuk komponen, laju kerja per unit area menjadi

Saat komponen-komponen skalar dijumlahkan dengan unit vektor dan ditambahkan, didapatkan laju kerja vektor per unit area, dan dapat disebut dengan kerja flux :

Selain itu, laju kerja diseluruh satuan luas permukaan dengan orientasi yang diberikan oleh unit vektor n adalah (n.[ π .v]). Persamaan 9,8-1 dengan 9,8-4 mudah ditulis untuk koordinat silinder dengan mengganti x, y, z dengan r, θ , z dan, untuk koordinat bola dengan mengganti x, y, z dengan r, θ , φ Kita sekarang mendefinisikan, untuk kemudian digunakan, gabungan fluks energi vektor e sebagai berikut:

Vektor e merupakan jumlah dari (a) fluks energi konvektif, (b) laju kerja (per satuan luas) oleh mekanisme molekuler, dan (c) laju perpindahan panas (per satuan luas) oleh mekanisme molekuler. Semua ketentuan dalam Pers. 9,8-5 memiliki konvensi tanda yang sama, sehingga e_x merupakan transportasi energi dalam arah x positif per satuan luas per satuan waktu. Total molekul stres tensor π , sekarang dapat dibagi menjadi dua bagian: π=pδ+τ sehingga [ π . v ]=pv+[ τ . v ]. Istilah pv kemudian dapat dikombinasikan dengan istilah

Kami biasanya akan menggunakan vektor e dalam bentuk ini. Untuk elemen permukaan dS orientasi n, kuantitas (n. e) memberikan fluks energi konvektif, fluks panas, dan fluks kerja di seluruh elemen permukaan dS dari sisi negatif ke sisi positif dS.

Dalam Tabel 9,8-1 kami meringkas notasi untuk berbagai vektor fluks energi diperkenalkan pada bagian ini. Semua dari mereka memiliki konvensi tanda yang sama. Untuk mengevaluasi entalpi dalam Pers. 9,8-6, kita menggunakan rumus termodinamika ekuilibrium standar.

Ketika ini terintegrasi dari beberapa kondisi referensi p° , T ° ke kondisi p, T .kami kemudian mendapatkan :

Bab 10

Neraca Energy Selongsong dan Distribusi Temperature dalam padatan Dan aliran laminar

Pada bab 2 kita lihat beberapa cara tertentu yang mudah untuk permasalah aliran yang kental dapat diselesaikan dengan 2 prosedur tahapan: (1) neraca momentum dibuat melalu sebuah lempeng tipis atau selongsong secara tegak lurus kearah perpindahan momentum, yang akan mengarah kan ke persamaan diferensial orde pertama yang akan memberikan flux distribusi untuk momentum; (2) kemudian kedalam pernyataan untuk flux momentum kita masukkan hokum viskositas Newton, yang mengarahkan ke persamaan diferensial orde pertama untuk kecepatan fluida sebagai fungsi posisi. Konstanta integrasi yang muncul akan dievaluasi mengunakan kondisi batas, yang akan dispesifikasi menjadi flux kecepatan atau momentum pada permukaan batas.

Pada bab ini akan ditampilkan bagaimana sejumlah permasalahan konduksi panas diselesaikan dengan prosedur analogi: (1) sebuah neraca energy dibuat diatas sebuah lempeng tipis atau selongsong secara tegak lurus kea rah aliran panas, dan keseimbangan ini mengarah ke persamaan diferensial orde pertama dari perolehan flux distribusi panas; (2) kemudian ke dalam pernyataan untuk flux panas, kita subtitusikan hokum Fourier tentang konduski panas, yang akan memberikan persamaan diferensial orde pertama untuk temperature sebagai fungsi posisi. Konstanta integrasi kemudian ditentukan dengan menggunakan kondisi batas untuk flux temperature atau panas pada permukaan batas.

Sudah jelas dari susunan kata yang mirip dari 2 paragraf sebelumnya bahwa secara matematika metode yang digunaka pada bab ini sama dengan yang digunakan pada bab 2 hanya notasi dan istilah yang digunakan berbeda. Bagaimanapun, kita akan menemukan angka dari fenomena fisika yang tidak ada pada bab 2

Setelah pengenalan yang singkat pada neraca energy pada selongsong dalam 10.1, kita akan memberikan analisa bahwa konduktivitas panas yang seri merupaka system yang tidak rumit. Meskipun begitu beberapa cotoh berikut akan

Translated by :

sedikit banyak mengidealkan, hasil yang akan ditemukan adalah sebagai aplikasi pada perhitungan standar teknik. Permasalahan yang akan dipilih untuk memperkenalkan kepada pemula bahwa angka yang penting pada konsep fisika berhubungan dengan dasar perpindahan panas. Sebagai tambahan akan ditampilakn bagaimana menggunakan berbagai jenis kondisi batas dan diilustrasikan pemecahan masalahnya pada koordinat Cartesius, Silidris dan spherical. Pada 10.2-10.5 akan dijelaskan 4 sumber panas utama: listrik, nuklir, kekentalan dan kimia. Pada 10.6 dan 10.7 kita akan menutup dengan 2 topik dengan aplikasi secara luas yaitu aliran panas melalui tembok gabungan dan kehilangan panas dari sirip. Pada akhirnya 10.8 dan 10.9 kita akan menganalisa 2 kasus terbatas tentang fluida yang bergerak: gaya konveksi dan koneksi bebas. Akhir dari topic ini adalah sebagai persiapan untuk persamaan yang umum pada bab 11

10.1 Neraca Energi; Kondisi Batasan

Masalah yang di bahas pada bab ini adalah menetapkan shell masuk neraca energy. Kita pilih lempengan (atau shell), permukaan yang normal menunjukkan arah konduksi panas dan dapat disimpulkan penulisan sistem pernyataan dari hukum kekelan energi. Untuk kondisi Steady state (yaitu, waktu Yang konstan) maka sistemnya;

{

laju alir energi masuk dengan Transport konfektif

}

-

{

Laju alir Energi Keluar dengan Transport konfektif

}

+

{

Lajualir energi masuk dengan transport molekul

}

-

{

Lajualir energi keluar dengan transport molekul

}

+

{

Lajualir kerja pada sistem dengan tranport molekul

}

-

{

Lajualir kerja pada sistem dengan transport molekul

}

+

{

Laju alir kerja di sistem dengan tenaga eksternal

}

+

{

Laju alir energi produk

}

Transport konveksi energi dibahas dalam § 9.7, dan transpotrasi molekul (panas konduksi) dalam §9.1. Istilah kerja molekul yang dijelaskan dalam §9.8. Ketiga istilah ini dapat ditambahkan untuk memberikan “penggabungan energi flux” e. seperti yang ditunjukkan pada persamaan. 9.8-6. Dalam kondsi permasalahan disini (dan di bab selanjutnya) kita akan menggunakan e vector bersama dengan pernyataan untuk entalpi dalam persamaan 9.8-8. Perlu diperhatikan bahwa dalam sistem nonaliran (untuk v = 0) vector e disederhanakan menjadi vector q, yang diberikan oleh hukum Fourier’s.

Istilah produksi energi dalam persamaan 10.1-1 termasuk (i) degradasi energi listrik menjadi panas, (ii) panas yang dihasilkan oleh lambatnya neutron dan fragmen nuklir yang dibebaskan pada proses fisi, (iii) panas menghasilkan dispasi viskositas, and (iv) panas menghasilkan reaksi kimia. Reaksi kimia menghasilkan panas akan dibahas lebih lanjut di bab 19. Persamaan 10.1-1 adalah pernyataan dari hukum pertama thermodinamika, ditulis untuk sistem “Terbuka” pada kondisi steady-state. Dalam bab 11 pernyataan yang sama ini diperluas untuk keadaan sistem unsteady-state dan persamaan akan berubah.

Setelah persamaan. 10.1-1 ditulis untuk lempengan tipis atau material shell, ketebalan lempengan atau shell mendekati nol. Prosedur ini berujung pada ungkapan distribusi temperatur yang mengandung konstanta integrasi. Yang kita evaluasi dengan menggunakan kondisi batas. Jenis yang paling umum dari kondisi batasan yaitu:

a. Temperatur dapat ditentukan di permukaan

b. Panas normal fluks ke permukaan dapat diberikan (ini setara dengan menentukan komponen normal dari gradien suhu).

c. Pada antarmuka kelangsungan suhu dan panas flux normal ke antarmuka yang diperlukan.

d. Pada antarmuka padatan-cairan, Komponen panas fluks yang normal mungkin berkaitan dengan perbedaan antara suhu di permukaan padatan T0 dan “bulk”

temperature faluida Tb :

Hubungan ini disebut sebagai hukum newton dari pendingin. Hal ini tidak benar-benar “hukum” tetapi bukan mendefinisikan persamaan untuk h, yang disebut koefesien perpindahan panas.

10.2 Konduksi panas dengan listrik sebagai sumber utama

Sistem pertama yang kami perhatikan adalah kawat listrik penampang lingkaran dengan jari-jari R dan konduktivitas listrik k, ohm- 'CM'. Melalui kawat ini ada arus listrik dengan kerapatan arus I amp / cm2. Transmisi arus listrik adalah ireversibel Proses, dan beberapa energi listrik diubah menjadi panas (energi panas). Tingkat produksi panas per satuan volume diberikan oleh ekspresi

Jumlah S, adalah total panas yang dihasilkan dari pembuangan listrik.asumsi disini bahwa kenaikan suhu dalam kawat yang tidak begitu besar sehingga ketergantungan suhu baik konduktivitas termal atau listrik perlu dipertimbangkan. Permukaan kawat dipertahankan pada suhu To., sekarang menunjukkan bagaimana menemukan distribusi temperatur radial dalam kawat.

Untuk keseimbangan energi kita mengambil sistem menjadi shell silinder ketebalan Δr dan panjang L (lihat Gambar. 10,2-1). Karena v = 0 dalam sistem ini, satu-satunya kontribusi untuk keseimbangan energi

Tingkat panas di permukaan silinder di di r

Tingkat panas di seluruh permukaan silinder pada r + Δr

Tingkat produksi energi panas oleh disipasi listrik Translated by :

Notasi qr berarti "fluks panas dalam arah r," dan ((....) R + Δr berarti "dievaluasi

pada r + Δr. "Perhatikan bahwa kita mengambil" dalam "dan" keluar "berada di arah r positif.

Kita sekarang mengganti jumlah tersebut ke dalam keseimbangan energi dari Persamaan. 9,1-1. Pembagian dengan 2rLΔr dan mengambil batas sebagai Ar pergi ke nol memberikan

[image:41.595.218.403.365.669.2]

Keadaan di sisi kiri adalah turunan pertama rq r. sehubungan dengan r, sehingga Persamaan. 10,2-5 menjadi

Persamaan differensial Ini adalah orde pertama untuk fluks energi, dan dapat diintegrasikan untuk memberikan

Integrasi konstan C, harus nol karena kondisi batas yang

B.C . 1: jika r = 0, maka q = tidak tak terbatas Oleh karena kondisi akhir untuk distribusi fluks panas

Ini menyatakan bahwa fluks panas meningkat secara linear dengan r. Sekarang menggantikan hukum Fourier dalam bentuk qr = -k (dT / dr) (lihat Persamaan.

B.2-4) ke Persamaan. 10,2-9 untuk mendapatkan

Ketika k diasumsikan konstan, persamaan diferensial orde pertama ini dapat diintegrasikan menjadi

Integrasi konstan ditentukan dari

B.C . 2 : at r = R, T = T0

Oleh karena itu C, = (SeR2/ 4k) + T0 dan Persamaan. 10,2-11 menjadi

Setelah distribusi suhu dan fluks panas diketahui, sebagai informasi tentang sistem dapat diperoleh:

(I) kenaikan suhu maksimum (di r = 0)

(II) rata-rata kenaikan suhu

Dengan demikian kenaikan suhu, rata-rata pada penampang,meningkat setengah dari suhu maksimum.

(iii) Panas keluar di permukaan (untuk panjang L benda (kawat))

Hasil ini sesuai , karena, pada kondisi steady state, semua panas yang dihasilkan oleh listrik di volume пR2_{L harus meninggalkan melalui permukaan}

r = R.

Pembaca, sementara akan melalui perkembangan ini, mungkin juga memiliki perasaan ingin tahu . Ada, setelah semua, kesamaan utama antara kawat yang dipanaskan dan aliran yang terdapat dalam tabung melingkar. Hanya tanda yang berbeda:

Aliran tabung kawat Dipanaskan

Integrasi pertama memberikan τ rz (r) qr (r)

Integrasi kedua memberikan νz (r) T (r) – T0

Kondisi batas pada r = 0 τ rz = terbatas qr = terbatas

Kondisi batas pada r = R νz = 0 T-T0 = O

Kondisi utama se

Asumsi µ= konstanta k, ke= konstan

Artinya, ketika jumlah yang dipilih benar, persamaan diferensial dan Kondisi batas untuk dua batas yang sama, dan proses fisik dikatakan "searah" Tidak semua batas dalam transfer momentum memiliki energi yang searah. dan transfer massa . Namun, ketika arah tersebut dapat ditemukan, hal itu dapat berguna dalam menarik hasil yang diketahui dari satu bidang dan menerapkannya di tempat lain. Sebagai contoh, pembaca seharusnya tidak memiliki kesulitan dalam menemukan arah konduksi panas untuk menarik baian utama dalam film cair pada bidang miring.

Ada banyak contoh masalah konduksi panas dalam industri listrik. "Minimalisasi kenaikan suhu di dalam mesin listrik memperpanjang ketahanan isolasi. Salah satu contoh adalah penggunaan stator konduktor internal liquid-cooled yang sangat besar (500.000 kw) AC generator.

Untuk menggambarkan masalah lebih lanjut di pemanas listrik, kami memberikan dua contoh tentang kenaikan suhu di kabel: yang pertama menunjukkan urutan besarnya efek pemanasan, dan yang kedua menunjukkan bagaimana menangani kondisi batas yang berbeda. Tambahan lagi, Soal 10C.2 kami menunjukkan bagaimana untuk memperhitungkan ketergantungan suhu termal dan konduktivitas listrik.

Contoh soal 10.2-1 . Kawat dipanaskan dengan Transfer panas yang ditentukan. Tegangan yang diperlukan untuk Menaikkan Suhu pada sebuah kawat yang dipanaskan dengan cara menyatukan Arus Listrik

Sebuah kawat tembaga memiliki radius 2 mm dan panjang 5 m.jika tegangan turun akankah kenaikan suhu di sumbu kawat menjadi 10° C, jika suhu permukaan kawat adalah 20 ° C?

persamaan. 10,2-14 dan 10,2-1 memberikan

CONTOH 10.2.2

Kepadatan saat ini terkait dengan tegangan turun E lebih panjang L dengan

Karena

dari

Untuk tembaga, jumlah Lorenz dari 59,5 adalah k / keT0 = 2.23 X 10-8 volt2/ K2

jadi penurunan tegangan kedepan yang dibutuhkan untuk menyebabkan 10 ° C kenaikan suhu adalah

Contoh soal 10.2-3 spesifik panas kawat dari koefisien transfer panas dan suhu udara ambient

analisis Ulangi di persamaan 10,2, dengan asumsi bahwa T0 tidak diketahui, tapi

SOLUSI I

Solusinya seperti hasil sebelumnya melalui persamaan. 10,2-11, tetapi integrasi konstan kedua ditentukan dari Persamaan. 10,1-2:

B.C. . 2 ':

Mengganti Persamaan. 10,2-11 ke Persamaan. 10,2-22 memberikan dan suhu profil kemudian

Dari suhu permukaan kawat yang ditemukan

SOLUSI II

Metode lain yang menggunakan hasil yang diperoleh sebelumnya dalam Pers. 10,2-13. Meskipun To adalah tidak diketahui dalam masalah ini, kita tetap bisa menggunakan hasilnya. Dari Pers. 10,1-2 dan 10,2-16 kita bisa mendapatkan perbedaan suhu

Pengurangan Eq. 10,2-24 dari Persamaan. 10,2-13 memungkinkan T0 Untuk

10.3 Konduksi Panas dengan Sumber Panas Nuklir

Kami menganggap elemen bahan bakar bolanuklir seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 10,3-1 . Ini terdiri darilingkup bahan fisi dengan jari-jari R(F)_{, dikelilingi}

oleh kulit bola aluminium "cladding" dengan jari-jari luar R(C)_{. Di dalam elemen}

bahan bakar, fragmen fisi yangdiproduksi memiliki energi kinetik yang sangat tinggi . Tabrakan antara fragmen tersebut danatom dari bahan fisi menyediakan sumber utama energi panas dalamreaktor. Seperti sumber volume energi panas

yang dihasilkan dari reaksi fisi nuklir kita sebut S_ᶯ (cal/cm3. s ). Sumber ini tidak akan seragam di seluruh bidang bahan fisi; Energi menjadi yang terkecil di pusat bola . Untuk tujuan masalah ini, kamiberasumsi bahwa sumber dapat didekati dengan parabola sederhana

S_ᶯ=S_ᶯ0

[

1+b

(

r R(F)

)

2

]

(10.3-1) Dimana Sᶯ adalah tingkat volume produksi panas di tengah bola , dan b adalah

dimensi konstanta positif

Kami memilih sistem kulit bola ketebalan Ar dalam lingkup fisi materi . Karena sistem ini tidak bergerak, keseimbangan energi akan hanya terdiri dari istilah konduksi panas dan sumber sumber. Berbagai kontribusi terhadap neraca energi adalah :

q_r(F)

│_r∙4π r2

=

(

4π r2_q

r

(F)

)

│_r (10.3-2)

Gambar . 10,3-1 . Sebuah perakitan bahan bakar bolanuklir bola, menunjukkan distribusi temperatur dalam sistem

Translated by :

Sahrul Rijal (3335110687) Widia Pratiwi

q_r(F)_│

r+∆ r∙4π(r+∆ r)

2

=

(

4π r2_q

r

(F)

)

│_{r+∆ r} (10.3-3)

Sᶯ∙4π r2∆ r (10.3-4)

Subtitusi panas reaksi kedalam neraca energi dari persamaan 10.1-1 yang diberikan, kemudian dibagi oleh 4π ∆ r dan mengambil batas ∆ r →0

lim

∆ r →0

(

r2q_r(F)

)

│_{r+∆ r}−

(

r2q_r(F)

)

│_r ∆ r =Sᶯr

2 _(10.3-5)

Menambl batas dan meperlihatkan persamaan 10.3-1 mengarah ke d

d_r

(

r2qr

(F)

)

=S_ᶯ

[

1+b r R(F)

]

r

2

(10.3-6) Persamaan diferensial untuk fluks panas qr(C) dalam kelongsong adalah bentuk

yang sama seperti Persamaan 10.3-6, kecuali tidak ada istilah sumber yang signifikan:

d dr

(

r2q(_rF)

)

=_{0 (10.3-7)}

Integrasi kedua persamaan tersebut q(_rF)

=S_ᶯ0

(

r 3+

b R(F)2

r3

5

)

+ C1

(F)

r2 (10.3-8)

q(_rC) =+C1

(C)

r2 (10.3-9) Yang mana C1(F) dan C1(C) adlaah integrasi konstan. Hal tersebut dievaluasi dengan kondisi batas sebagai berikut :

B.C.1 : di r = 0, qr(F) adalah tak terbatas (10.3-10)

B.C.2 : di r = R(F), _q

r(F) = qr(C) (10.3-11)

Laju panas keluar konduksi di r +∆r

Evalusi tersebut menimbulkan persamaan q(_rF)

=S_ᶯ0

(

r 3+

b R(F)2

r3

5

)

(10.3-12)

¿ q(_rC)

=S_ᶯ0

(

1 3+

b 5

)

R(F)3

r2 ¿

10.3-13)

Mereka adalah distribusi aliran panas di fissionable sphere dan di spherical-shell cladding.

Di dalam distribusi ini sekarang kita substitusi dengan Hk.Fourier tentang kondisi panas (Eq.B.2-7):

−k(F)d T(F) dr =Sᶯ0

(

r 3+

b R(F)2

r3

5

)

(10.3-14)

−k(F)d T(F) dr =Sᶯ0

(

1 3+

b 5

)

R(F)3

r2 (10.3-15)

Persamaan ini mungkin integrasi untuk konstan k(F) _{dan k}(C) _sehingga

T(F)

=−Sn0 k(F)

(

r2

6 + b R(F)2

r4

20

)

+C2

(F)

(10.3-16)

T(C)

=+Sno

k(C)

(

1 3+

b 5

)

R(F)3

r +C2

(C)

(10.3-17) Integrasi konstan dapat diartikan dari kondisi batas

B.C.3 : di r = R(F)_, T(F) ₌ T(C) _(10.3-18)

B.C.4 : di r = R (C)_{, T}(C) _{= T}

0 (10.3-19)

Dimana T0 adalah suhu diluar cladding. Persamaan akhir untuk profil suhu adalah

T(F)

=Sn0R (F)2

6k(F)

{

[

1−

(

r R(F)

)

2

]

+ 3

10b

[

1−

(

r R(F)

)

4

]

}

+Sn0R(F)2

3k(C)

(

1+ 3

5b

)

(

1− R(F)

T(C)

=Sn0R (F)2

3k(C)

(

1+ 3 5b

)

(

R(F)2

r − R(F)

R(C)

)

+T0 (10.3-21) Untuk mencari suhu maksimum di sphere yang materialnya tidak dapat dipecah, yang harus dilakukan adalah mengatur r = 0 di Eq.10.3-20. Ini adalah jumlah yang mungkin kita ketahui ketika membuat perkiraan kerusakan termal.

Masalah ini menggambarkan 2 hal : (i) bagaimana untuk mengetasi sebuah posisi – tergantung sumber, dan (ii) aplikasi berkelanjutan untuk suhu dan normal aliran panas pada batas antara dua material padat.

10.4

KONDUKSI PANAS DENGAN SUMBER PANAS BERVISKOSITAS [image:50.595.233.423.430.640.2]

Selanjutnya kita mempertimbangkan aliran cairan Newtonian Incompressible (mampat) diantara dua co-aksial silinder seperti yang ditunjukkan pada Gambar 10,4-1. Permukaan silinder dalam dan luar dijaga masing-masing pada T=To dan T = Tb. Kita bisa menyebut bahwa T akan menjadi fungsi dari r.

Gambar 10.4.1 Aliran diantara silinder dengan pembangkit panas berviskositas. Bagian dari sistem

tertutup dengan garis putus-putus dapat dilihat pada Gambar 10.4-2.

Translated by :

[image:51.595.216.435.115.244.2]

Gambar 10.4.2. Modifikasi sebagian sistem aliran pada Gambar. 10,4-1, di mana permukaan ikatan yang berkelok

diabaikan.

Sebagai luaran siilinder yang berputar, setiap shell silinder pada fluida "bergesek" melawan cairan shell yang mendekat. Gesekan ini terjadi diantara lapisan yang berbatasan dengan fluida yang memproduksi panas; yang merupakan energi mekanik, yang terdegradasi menjadi energi panas. Sumber volume panas yang dihasilkan dari "Viscous Dissipation", yang dapat di desain dengan Sv, yang

muncul secara otomatis dalam neraca energi pada shell ketika kita menggabungkan flux energi vektor e yang telah didefinisikan pada akhir bab 9.

Jika lebar celah b cukup kecil berhubungan dengan jari-jari R silinder luar, maka masalah dapat diselesaikan dengan menggunakan sistem yang disederhanakan pada Gambar 10.4-2. Artinya, kita mengabaikan efek kelengkungan dan menyelesaikannya dalam koordinat cartesius. Sehingga distribusi kecepatannya adalah v2 = vb.(x/b), di mana vb = ΩR.

Sekarang kita membuat Neraca energi pada shell dengan ketebalan Ax, lebar W, dan panjang L. Karena cairan yang bergerak, maka menggabungkan flux energi vektor e seperti yang tertulis dalam persamaan. 9.8-6. Maka neraca energi pada shell adalah:

Persamaan tersebut dapat diintegralkan menjadi :

Karena kita tidak tahu kondisi batas untuk ex, kita tidak dapat

mengintegralkan konstantanya saat ini.

Sekarang kita masukkan ex, dari persamaan 9.8-6. Karena komponen

kecepatan pada arah x adalah nol, istilah ( 1

2 .ρ.v2 + ρ.Û).v dapat diabaikan. Komponen x pada q adalah -k (dT/dx) menurut hukum Fourier. Komponen x pada [τ.v] yaitu, seperti yang ditunjukkan pada persamaan 9.8-1, τxx.vx + τxy.vy + τxz.vz.

Karena satu-satunya komponen yang tidak bernilai nol adalah vz, sehingga τxz =

-μ.(dvz/dx) berdasarkan hukum Newton tentang viskositas, komponen x pada [τ.v]

adalah –μ.vz(dvz/dx). Sehingga dapat simpulkan, persamaan 10.4-3 menjadi :

Saat profil kecepatan linear v2 = vb.(x/b) dimasukkan, Maka akan didapatkan :

Dimana µ.(vb/b)2 dapat diidentifikasikan sebagai laju viskos produksi panas

per unit volume, Sv. Ketika pers. 10.4-5 di integralkan kita dapatkan.

Kedua konstanta dapat ditentukan dari kondisi batas :

Dimana Br = µ. vb2 /k.(Tb-T0) adalah Konstanta Brinkman yang tak

berdimensi, yang merupakan ukuran penting pada istilah Viscous Dissipation. Bila Tb = To, maka persamaan 10.4-9 dapat ditulis dengan :

dan suhu (T) maksimum pada x / b = 1/2.

Jika kenaikan suhu cukup besar, ketergantungan suhu viskositas sudah harus diperhitungkan. Hal ini dibahas dalam Soal 10C.l.

Istilah Pemanasan viskos, Sv = μ.(vb/b)2 dapat dipahami dengan argumen

berikut. Untuk sistem pada Gambar 10.4-2, tingkat di mana work telah dilakukan adalah gaya yang bekerja pada waktu kecepatan pelat atas yang bergerak, atau (-τxz.W.L)(vb). laju penambahan energi per satuan volume dapat diperoleh dengan

membagi persamaan ini dengan (W.L.B), sehingga didapat (-τxz.vb/b) = μ(vb/b)2.

Energi ini berupa energi panas yang disebabkan Sv.

Dalam kebanyakan masalah aliran pemanasan viskos tidaklah penting. Namun jika gradient kecepatannya besar, maka tidak dapat diabaikan. Contoh situasi di mana panas viskos harus diperhitungkan antara lain:

(i) aliran pelumas diantara bagian yang bergerak dengan sangat cepat, (ii) aliran polimer cair yang berhenti pada extrusion kecepatan tinggi. (iii) aliran fluida berviskositas tinggi pada viscometer kecepatan tinggi

(iv) aliran udara di perbatasan lapisan dekat satelit bumi, atau roket selama masuk kembali ke atmosfer bumi.

10. 5 KONDUKSI PANAS DENGAN SUMBER PANAS KIMIA

Sebuah reaksi kimia yang terjadi dalam sebuah pipa yang bergerak keluar, pada aliran fixed-bed reaktor yang berjari-jari R seperti pada gambar 10.5-1. Luas Reaktor tersebut dari z = - ∞ sampai z = ∞ dan terbagi dalam tiga area :

Area I : Memasuki area yang dipenuhi dengan partikel bukan katalis Area II : Area reaksi yang dipenuhi dengan partikel katalis, sepanjang

z = 0 sampai z = L

Area III : Area keluar yang dipenuhi dengan partikel bukan katalis

Diasumsikan bahwa fluida berjalan melewati pipa reaktor alir sumbat. Aliran tersebut dengan kecepatan axial yang sama dengan ukuran nilai

[image:55.595.155.484.352.486.2]

(lihat pada persamaan 6.4-1 untuk definisi dari kecepatan superficial).

Gambar 10.5-1. Aliran pada Reaktor Fixed-bed. Reaktan masuk pada z = - ∞ sampai z = ∞. Area reaksi sepanjang z = 0 sampai z = L

Densitas, laju alir massa dan kecepatan superficial semuanya diperlakukan bebas dari r dan z. Tambahan, diasumsikan dinding reaktor diisolasi, jadi temperatur dapat dipertimbangkan paling bebas dari r. Hal tersebut diinginkan untuk mendapatkan pembagian temperatur axial yang steady-state (Tz) ketika fluida masuk pada z = - ∞ bersama dengan temperatur T1.

Ketika reaksi kimianya terjadi, energi panas yang dihasilkan atau yang dipakai ketika molekul reaktan menyusun kembali untuk membentuk menjadi produk. Laju volum dari energi panas yang dihasilkan dengan reaksi kimia, Sc, secara umum merupakan fungsi yang berhubungan antara tekanan, temperatur, komposisi, dan aktifitas katalis. Secara sederhana, digambarkan Sc sebagai fungsi

Translated by :

temperatur : Sc=Sc1F(Θ) , dimana Θ=(T−T0)/(T1−T0) . Temperatur

disini merupakan temperatur lokal di daerah katalis (asumsi sederajat untuk katalis dan fluida), dimana Sc1 dan T0 adalah bernilai konstan pada saat kondisi

masukan reaktor diberikan.

Pada keadaan selongsong telah seimbang kita pilih bagian pada jari-jari R dan tebal ∆z di area katalis (lihat Gambar 10.5-1), dan kita pilih ∆z yang lebih besar dari dimensi partikel katalis. Dalam keadaan energi yang seimbang, kita gunakan kombinasi vektor energi flux karena kita berhubungan dengan sistem aliran. Kemudian, saat steady-state, keseimbangan energi didefinisikan :

(10.5-1) Selanjutnya kita bagi dengan πR2_{∆z dan lakukan pendekatan lim ∆z sama dengan}

nol. Katakan dengan keras, operasi ini tidak “legal”, karena kita tidak berhubungan dengan satu kesatuan tetapi cukup dengan hanya struktur kecil saja. Namun, kita melakukan proses tersebut terbatas dengan pemahaman yang dijabarkan dari persamaan tersebut, bukan poin nilainya, tetapi hanya nilai rata-rata dari ez dan Sc untuk reaktor bagian melintang pada z konstan. Diberikan :

de_z dz =Sc

Substitusi komponen z dari persamaan 9.8-6 kedalam persamaan diatas, didapat :

(10.5-3) Sekarang kita gunakan Hukum Fourier untuk qz, persamaan 1.2-6 untuk dan

pernyataan entalpi dalam persamaan 9.8-8 (dengan asumsi bahwa kapasitas panas konstan) untuk mendapatkan :

(10.5-4)

Yang mana konduktifitas panas yang efektif di z dengan petunjuk telah digunakan (lihat persamaan 9.6-9). Periode pertama, keempat dan kelima pada sisi kiri mungkin dihilangkan, karena kecepatan tidak berubah dengan z. Pada periode ketiga mungkin juga dihilangkan jika tekanan tidak berubah signifikan di arah

axial. Lalu pada periode kedua kita ganti Vz, dengan kecepatan awal Vo, karena kecapatan yang efektif dalam reactor adalah kecepatan yang terakhir. Maka persamaan 10.5-4 menjadi:

pĈpv0dT

dZ=Keff , zz d2_T

dz2 +Sc

Persamaan differensial untuk tempertur di area II. Sama sepertipada persamaan area I dan area III dengan istilah set panas adalah nol. Persamaan differensial untuk temperature adalah sebagai berikut:

Area I (z<0) pĈpv0dT '

dZ =Keff , zz d2_{T '}

dz2 (10.5-6)

Area II (0<z<L) pĈpv0dT ' '

dZ =Keff , zz d2_{T ' '}

dz2 +Sc1F (10.5-7)

Area III (z>L) pĈpv0dT ' ' '

dZ =Keff , zz

d2_{T ' ' '}

dz2 (10.5-8)

Disini kita telah memiliki asumsi, bahwa kita dapat menggunakan nilai yang sama untuk efisiensi konduktivitas termal untuk ketiga area tersebut. Persamaaan ketiga merupakan subjek untuk mengikuti 6 batasan kondisi:

B.C.1 at z = -∞, TI

=T1 (10.5-9)

B.C.2 at z = 0, TI=TII (10.5-10)

B.C.3 at z = 0, Keff , zzT

I

dz=Keff , zz