Solusi Umum Persamaan Laplace Dalam Koordinat Spherical Diekspansikan Ke Dalam Deret Fourier

SOLUSI UMUM PERSAMAAN LAPLACE DALAM KOORDINAT

SPHERICAL DIEKSPANSIKAN KE DALAM

DERET FOURIER

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

LAILA QADARSIH

040803059

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULATAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PERSETUJUAN

Judul : SOLUSI UMUM PERSAMAAN LAPLACE

DALAM KOORDINAT SPHERICAL

   DIEKSPANSIKAN KE DALAM DERET

FOURIER

Kategori : SKRIPSI

Nama : LAILA QADARSIH

Nomor Induk Mahasiswa : 040803059

Program Studi : SARJANA(S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

Medan, 30 Maret 2010 Komisi Pembimbing:

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Dra. Elvina Herawati, M.Si Drs. Marwan Harahap, M. Eng

NIP. 131 945 361 NIP. 130 422 443

Diketahui oleh:

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua

PERNYATAAN

SOLUSI UMUM PERSAMAAN LAPLACE DALAM KOORDINAT SPHERICAL DIEKSPANSI KAN KE DALAM

DERET FOURIER

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 30 Maret 2010

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat ALLAH SWT yang telah memberikan kekuatan, keridoaan dan keberkahaanNya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan judul “Solusi Umum Persamaan Laplace dalam Spherical Harmonic diekspansikan ke dalam Deret Fourier”. Skripsi ini adalah salah satu mata kuliah wajib yang harus diselesaiakan oleh seluruh mahasiswa Fakultas MIPA Departemen Matematika.

Dalam kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada :

1.Bapak Prof.Dr. Eddy Marlianto, Msc selaku dekan Fakultas matematika dan Ilmu pengetahuan Alan Iniversitas Sumatera Utara. 2.Bapak Dr. Marwan Harahap, M. Eng selaku dosen pembimbing I dan ibu Dra. Elvina Herawati, M.Si selaku pembimbing II yang telah member dukungan moral, motivasi dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Juga kepada bapak Dr.Tulus, M.Si dan Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku penguji yang telah memberikan saran dan kritik membangun dalam perbaikan skripsi penulis.

3.Seluruh Staf Pengajar Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara , atas bantuannya kepada penulis selama masa perkuliahan samapai akhirnya penulis bisa menyelesaikan skripsi ini.

4.Seluruh Staf Administrasi FMIPA USU khususnya Staf Administrasi di Departemen Matematika yang telah memberikan pelayananannya kepada penulis selama masa perkuliahan sampai akhirnya penulis bisa menyelesaikan skripsi ini.

5.Ayahanda Saidi Akmal Dalimunthe dan ibunda (Almh) Zaitun Nasution yang selalu memberikan dukungan moril dan material serta doa yang tiada hentinya kepada penulis serta kepada kakanda Demita, Eliana, Ibnu Said, Ruzena dan adinda tercinta farid wazdi dan Yuyun Soraya yang mendoakan penulis.

ABSTRAK

Persamaan Laplace dalam Koordinat Bola (Spherical) mempunyai bentuk:

0 sin

1 sin

sin 1 1

2 2 2 2 2

2

2 =

∂∂ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

∂∂ ∂∂

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ ∂∂ =

∇ _{θ θ} θ _{θ θ φ}v

r v

r r v r r r

v mempunyai solusi

umum berbentuk deret

(

θ φ

)

n _nmn _lm

(

θ

)

miφ mn

l

m l

e P

r b r a r

v , , ₁ cos

1 0

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

= +

− = ∞

=

∑

∑

, dapat

dikspansikan ke dalam deret Fourier dengan bentuk  f(x)= 

+

2

0 a

∑

∞₌ ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

1

sin cos

n

n n

L x n b L

x n

a π π  yang merupakan suatu fungsi periodik. Tulisan ini

General Solution of Laplace Equation in Spherical Harmonic was

expanded to Fourier Series

ABSTRACT

Laplace Equation in Spherical coordinates has form :

0 sin

1 sin

sin 1 1

2 2

2 2 2

2

2 =

∂∂ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

∂∂ ∂∂

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ ∂∂ =

∇ _{θ θ} θ _{θ θ φ}v

r v r

r v r r r

v  has general solution

with series form , ca

(

θ φ

)

_mn n _nmn _lm

(

θ

)

miφ

l

m l

e P

r b r a r

v , , ₁ cos

1 0

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

= ₊

− = ∞

=

∑

∑

n be expanded to

Fourier series with form f(x)=  + 2

0 a

∑

∞₌ ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

1

sin cos

n

n n

L x n b L

x n

a π π  is periodic function.

DAFTAR ISI

Halaman

JUDUL ... i

PERSETUJUAN ... ii

PERNYATAAN ... iii

PENGHARGAAN ... iv

ABSTRAK ... v

ABSTRACT ... vi

DAFTAR ISI ... vii

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Perumusan Masalah ... 4

1.3. Tujuan Penelitian ... 4

1.4. Manfaat Penelitian ... 4

1.5 Tinjauan Pustaka ... 5

1.6. Metodologi Penelitian ... 5

BAB 2 LANDASAN TEORI ... 7

2.1. Persamaan Diferensial Parsial ... 7

2.2. Persamaan Laplace ... 8

2.3. Sifat-sifat Umum Fungsi Harmonik ... 8

2.4. Harmonik Bola ... 10

2.5. Fungsi Periodik dan Deret Trigonometri ... 11

2.7. Fungsi Genap dan ganjil ... 26

BAB 3 PEMBAHASAN ... 30

3.1 Penyelesaian Persamaan Laplace Orde Dua ... 30

3.2 Persamaan Laplace di dalam SistemKoordinat Spherical .... 33

3.4 Contoh Masalah Nilai Batas dalam Koordinat Bola (Spherical) ... 37

3.5 Solusi Persamaan Legendre ... 39

3.3 Ekspansi Deret Fourier ... 40

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN ... 42

4.1. kesimpulan ... 42

4.2. Saran ... 42

DAFTAR PUSTAKA ... 43

ABSTRAK

Persamaan Laplace dalam Koordinat Bola (Spherical) mempunyai bentuk:

0 sin

1 sin

sin 1 1

2 2 2 2 2

2

2 =

∂∂ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

∂∂ ∂∂

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ ∂∂ =

∇ _{θ θ} θ _{θ θ φ}v

r v

r r v r r r

v mempunyai solusi

umum berbentuk deret

(

θ φ

)

n _nmn _lm

(

θ

)

miφ mn

l

m l

e P

r b r a r

v , , ₁ cos

1 0

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

= +

− = ∞

=

∑

∑

, dapat

dikspansikan ke dalam deret Fourier dengan bentuk  f(x)= 

+

2

0 a

∑

∞₌ ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

1

sin cos

n

n n

L x n b L

x n

a π π  yang merupakan suatu fungsi periodik. Tulisan ini

General Solution of Laplace Equation in Spherical Harmonic was

expanded to Fourier Series

ABSTRACT

Laplace Equation in Spherical coordinates has form :

0 sin

1 sin

sin 1 1

2 2

2 2 2

2

2 =

∂∂ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

∂∂ ∂∂

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ ∂∂ =

∇ _{θ θ} θ _{θ θ φ}v

r v r

r v r r r

v  has general solution

with series form , ca

(

θ φ

)

_mn n _nmn _lm

(

θ

)

miφ

l

m l

e P

r b r a r

v , , ₁ cos

1 0

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

= ₊

− = ∞

=

∑

∑

n be expanded to

Fourier series with form f(x)=  + 2

0 a

∑

∞₌ ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

1

sin cos

n

n n

L x n b L

x n

a π π  is periodic function.

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Perkembangan suatu teknologi sangat dipengaruhi dengan perkembangan suatu ilmu pengetahuan. Tanpa peranan ilmu pengetahuan, bisa dipastikan teknologi akan sulit untuk berkembang dengan cepat.

Matematika sebagai bahasa simbol yang bersifat universal sangat erat hubungannya dengan kehidupan nyata. Kenyataan membuktikan bahwa untuk menyelesaikan masalah-masalah kehidupan nyata dibutuhkan metode-metode matematika.

Di dalam dunia nyata kadang terdapat masalah-masalah yang sukar diselesaikan dalam sistemnya. Untuk menyelesaikan masalah tersebut perlu disusun suatu pemodelan matematika yang mirip dengan keadaan sistemnya.

Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang mempunyai ciri berbeda dengan disiplin yang dimiliki oleh ilmu pengetahuan lain. Hal-hal yang dipelajari dalam matematika terdiri atas beberapa kelompok ilmu, seperti: aljabar, geometri, analisis, dan matematika terapan. Persamaan diferensial Parsial merupakan salah satu cabang matematika yang termasuk dalam kelompok analisis. Salah satu persamaan yang termasuk dalam kelompok Persamaan Diferensial Parsial adalah Persamaan Laplace.

mekanika fluida, elastisitas, elektrostatis, dan banyak lagi di bidang mekanika juga fisika lainnya.

Adapun bentuk – bentuk persamaan Laplace dalam koordinat tiga dimensi adalah sebagai berikut:

a. Koordinat Cartesian:

₂ 0

2

2 2

2 2

2 =

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇

z v y

v x

v

v (1.1)

b. Koordinat tabung (Silinder): Dinyatakan dalam koordinat tabung maka

persamaan Laplace mempunyai bentuk:

0 1

1

2 2

2 2

2

2 =

∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ ∂∂ = ∇

z v r

v r

v r r r v

θ (1.2)

c. Koordinat Bola (Spherical): Dinyatakan dalam koordinat bola maka

persamaan Laplace mempunyai bentuk:

0 sin

1 sin

sin 1 1

2 2

2 2 2

2

2 =

∂∂ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

∂∂ ∂∂

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ ∂∂ = ∇

φ θ θ

θ θ θ

v r

v r

r v r r r

v (1.3)

Ini adalah koordinat – kordinat yang paling umum yang biasa dijumpai dalam praktek.

Gbr.2 Koord. Tabung

Gbr. 3 Koord. Bola

Akan tetapi pada tulisan ini penulis hanya membatasi pembahasan masalah hanya pada koordinat bola (spherical) dimana persamaan Laplace yang dibahas hanya persamaan dalam bentuk koordinat bola.

Jika persamaan Laplace diselesaikan maka akan diperoleh suatu penyelesaian yang disebut harmonik, akan tetapi, dalam arti yang lebih terbatas istilah harmonik dimaksud hanya untuk suatu penyelesaian persamaan Laplace dalam sistem koordinat tertentu. Jika syarat – syarat batas suatu soal yang menyangkut persamaan Laplace lebih sederhana dituliskan dalam sistem koordinat spherical, maka akan sangat berguna dimiliki suatu penyelesaian umum persamaan Laplace dalam system koordinat ini.

fisika seperti getaran mekanik, arus elektrik bolak – balik (AC), hantaran panas, gelombang bunyi, electromagnet, dan sebagainya. Hal inilah yang melatarbelakangi penulis untuk memilih mengekspansikan solusi umum persamaan Laplace ke dalam deret fourier yang merupakan deret fungsi periodik.

1.2 Perumusan Masalah

Permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini adalah

a) Menyelesaikan persamaan Laplace untuk menemukan solusi umumnya.

b) Mengidentifikasi apakah solusi dari persamaan Laplace tersebut adalah suatu

fungsi harmonik.

c) Mengidentifikasi apakah suatu fungsi harmonik dapat diekspansikan ke

dalam deret Fourier.

d) Mencari syarat perlu dan cukup agar solusi umum tersebut dapat

diekspansikan ke dalam deret Fourier.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari syarat perlu dan cukup agar solusi umum persamaan Laplace dapat diekspansikan ke dalam deret fourier.

1.4 Manfaat Penelitian

1.5 Tinjauan Pustaka

Berikut ini diberikan kajian pustaka mengenai persamaan Laplace.

Dalam Matematika, persamaan Laplace adalah suatu persamaan differensial parsial. Nama tersebut berasal dari nama penemunya yaitu, Pierre-Simon Laplace. Solusi - solusi dari persamaan Laplace sangat penting dalan berbagai bidang dalan sains, seperti dalam bidang elektromagnetik, astronomi, dan dinamik fluida, karena dapat menggambarkan sifat-sifat listrik, gravitasi, dan potensial fluida. Teori umum persamaan Laplace dikenal dengan teori potensial, dimana persamaannya dalam ruang tiga dimensi berbentuk:

0 2 2

2 2

2 2

= ∂ ∂ + ∂ ∂ +

∂∂ z

v y

v x

v

(1.4)

Banyak pilihan untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Teknik yang paling sederhana yang dapat dipakai adalah persamaan beda hingga. Teknik yang lain adalah metode elemen batas. Teknik ini telah dilakukan oleh Wono Setya Budhi (1997,

vol.2,hal:8-15), teknik ini khusus untuk bidang ( n = 2 ), dalam menggunakan metode

elemen batas tersebut akan berhadapan dengan operator.

( )

x =

∫

G

( ) ( ) ( )

x g ds x∈Ω

v ;ξ ξ ξ (1.5)

Dengan

( )

ξ

π ξ =− x−

x

G ln

2 1

; . Operator ini disebut operator potensial layer tunggal.

Wono Setya Budhi memberikan bukti regulator dari operator dengan menggunakan gagasan dari bukti regularitas operator Chauchy yang ada dalam syarat Dirichlet.

1.6 Metodologi Penelitian

– bahan yang berhubungan dengan pokok – pokok permasalahan yang dibahas dan juga mengikuti perkuliahan yang dengan tulisan ini dan melakukan penelitian dengan langkah – langkah sebagai berikut:

1. Menyelesaikan persamaan Laplace untuk mendapatkan solusi

umumnya.

2. Mengidentifikasi apakah solusi dari persamaan Laplace tersebut

adalah suatu fungsi harmonik.

3. Mengidentifikasi apakah suatu fungsi harmonik dapat

diekspansikan ke dalam deret fourier.

4. Mencari syarat perlu dan cukup agar solusi umum tersebut dapat

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial parsial adalah sebuah persamaan yang mengandung fungsi

tidak diketahui dai dua atau lebih variabel dan turunan parsialnya terhadap variabel-variabel tersebut.

Orde dari sebuah persamaan diferensial adalah orde dari turunan tertinggi.

Contoh: x y

y x

u

− = ∂ ∂∂ 2

2

Persamaan di atas adalah persamaan diferensial orde dua. Pada persamaan tersebut u adalah variabel tak bebas (dependent variable) sedangkan x dan y adalah variabel bebasnya ( independent variable).

Penyelesaian dari suatu persaman diferensial adalah sebarang fungsi yang memenuhi persamaan tersebut secara identik.

Penyelesaian umum adalah suatu penyelesaian yang terdiri dari sejumlah fungsi bebas sebarang yang jumlahnya sesuai dengan orde dari persamaannya.

Penyelesaian khusus adalah suatu penyelesaian yang bisa didapatkan dari

2.2 Persamaan Laplace

Persamaan Laplace yang bentuk umumnya Δv=0 sering dijumpai pada teori

perpindahan massa dan panas, mekanika fluida, elastisitas, elektrostatis, dan masalah mekanika dan fisika lainnya. Persamaan Laplace dapat dituliskan dalam beberapa bentuk bergantung pada system koordinat yang digunakan, yaitu:

a) Persamaan Laplace dalam dua dimensi

dan , sin , cos , dimana polar koordinat sistem pada .... 0 1 r r 1 kartesius koordinat sistem pada ... 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y x r r y r x v r r v r y v x v + = = = = ∂∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂∂ = ∂∂ + ∂ ∂ ϕ ϕ ϕ (2.1.2) (2.1.1)

b) Persamaan Laplace dalam tiga dimensi

₂ 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂∂ + ∂ ∂ = ∇ z v y v x v

v pada koordinat kartesius

1 1 ₂ 0

2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂∂ = ∇ z v r v r v r r r v

θ pada koordinat tabung

0 sin 1 sin sin 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = ∂∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂∂ ∂∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂∂ =

∇ _{θ θ} θ _{θ θ φ}v

r v r r v r r r v

pada koordinat bola (spherical)

2.3 Sifat – Sifat Umum Fungsi Harmonik

Dalam bagian ini akan dibicarakan beberapa sifat umum tentang fungsi – fungsi harmonik, yakni, fungsi – fungsi yang memenuhi persamaan diferensial Laplace.

Andaikan terdapat suatu medan vector A sedemikian hingga

A = ∇v (2.2.1)

dengan v suatu fungsi titik bernilai skalar yang memenuhi persamaan Laplace

0

2 =

Selanjutnya menurut teorema Gauss (Apendiks E, pasal 9), berlaku

∫∫

Ads=

∫∫∫

(∇A)dv (2.2.3)

jika v memenuhi persamaan Laplace di setiap titik di dalam daerah yang dibatasi oleh

luasan S, akan berlaku

0 )

(∇ =∇2 =

∇ =

∇A v v (2.2.4)

Karena itu (2.2.3) menjadi

0 )

(∇ =

∫∫

_S v ds (2.2.5) Jika diambil curl untuk kedua ruas (2.2.1), diperoleh

0 ) (∇ = × ∇ = ×

∇ A v (2.2.6)

sekarang diterapkan teorema Stokes (Apendiks E, pasal 10) pada medan vector A

diperoleh

0 )

(∇× =

=

∫∫

∫

d ds

S

A

A I (2.2.7)

sepanjang kurva C yang membatasi luasan terbuka S. Substitusi (2.2.6) ke dalam

(2.2.7), dihasilkan

0 )

(∇ =

∫

v dI

C

(2.2.8)

Dari persamaan (2.2.5) dan (2.2.8) dapat diturunkan beberapa sifat penting

untuk fungsi harmonik yang ternyata serupa untuk dalam bidang maupun dalam ruang.

Dengan menerapkan teorema Green

(

U W W U

)

dv

(

U W W U

)

ds

S

V

∫∫

∫∫∫

∇2 − ∇2 = ∇ − ∇

(2.2.9)

dapat diperlihatkan bahwa jika ∇2 =0

v dalam daerah yang dibatasi oleh luasan bola

yang berjari – jari r, nilai v di pusat bola, yakni v0, diberikan oleh

∫∫

=

S

ds v r

v_{0 2}

4 1

2.4 Harmonik Bola

Dalam arti yang paling umum istilah harmonik berlaku untuk setiap penyelesaian persamaan Laplace. Jika diselesaikan dalam koordinat bola (spherical) maka penyelesaiannya disebut harmonik bola.

Dalam hal ini harus dicari penyelesaian pers.(1.3). persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk

0 sin

1 sin

sin 1

2 2

2

2 =

∂∂ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

∂∂ ∂∂

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂

∂∂ θ θ θ θ θ φ

v v

r v r

r (2.3.1)

diharapkan dapat mencari suatu penyelesaian yang berbentuk

RS R

v= ΘΦ= (2.3.2)

dengan Rmerupakan fungsirsaja,Θfungsiθsaja,dan Φfungsiφsaja.

( )

θ,φ =ΘΦ

S (2.3.3)

dinamakan suatu harmonik luasan. Fungsi Θ, jika φsuatu tetapan, dinamakan suatu

harmonik luasan zonal.

Jika (2.3.2) disubstitusikan ke dalam dan hasilnya dibagi dengan RS , hasilnya

menjadi,

0 sin

1 sin

sin 1 1

2 2

2

2 =

∂ ∂ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

∂∂ ∂∂

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

φ θ θ

θ θ θ

S S

S S

dr dR r dr

d

R (2.3.5)

suku pertama hanyalah fungsi r saja, dan suku – suku yang lain hanya bersangkutan

K dr dR r dr

d

R ⎟⎠=

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1

(2.3.6)

dan

K S

S S

S ∂ =−

∂ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

∂∂

∂∂ 2

2

2 sin

1 sin

sin 1

φ θ θ

θ θ

θ (2.3.7)

Jika diambil K= n(n+1)

mudah dilihat bahwa penyelesaian pers. (2.3.6) adalah

1

− −

+ = n n

Br Ar

R (2.3.8)

Jika pers. (2.3.7) dikalikan dengan S, diperoleh

( )

1 0 sin

1 sin

sin 1

2 2

2 ∂ + + =

∂ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

∂ ∂

∂∂ n n S

S S

φ θ θ

θ θ

θ (2.3.9)

Jadi persamaan (2.3.2)akan berbentuk

(

)

n

n n _{Br S}

Ar

v= + − −1 _(2.3.10)

Subskrip pada Sn menunjukkan bahwa nilai n yang sama harus digunakan

dalam kedua suku pada (2.3.10). setiap jumlah penyelesaian – penyelesaian tipe

(2.3.10) juga merupakan suatu penyelesaian.

2.5 Fungsi Periodik dan Deret Trigonometri

Defenisi:

Sebuah fungsi f(x) adalah periodik dengan periode L > 0, jika berlaku:

catatan:

a) Jika L adalah periode terkecil, maka L disebut periode dasar, dan selang

L a x

a≤ ≤ + , dengan a sebuah tetapan, disebut selang dasar fungsi periodik

f(x). Sebutan periode selanjutnya dimaksudkan bagi periode dasar.

b) Tetapan a pada selang dasar dapat dipilih sekehendak kita, nol ataupun negatif.

Pilihan

2

L

a= − sering digunakan karena terhadap titik x = 0, yakni

2

2 x L

L _{≤ ≤}

− yang disebut selang simetris.

Contoh-contoh fungsi periodik, yaitu:

Contoh 1. Fungsi sin x mempunyai periode 2π, 4π, 6π, …karena sin (x + 2π),sin

(x+4π), sin (x+6π), …sama dengan sin x. tetapi 2π adalah

periode terkecil atau periode sin x.

Contoh 2. Periode fungsi sin nx atau cos nx, dimana n bilangan bulat positif,

adalah 2π/n.

Contoh 3. Periode tan x adalah π.

Contoh 4. Suatu konstanta mempunyai periode suatu bilangan positif.

contoh fungsi periodik paling sederhana adalah fungsi sin x dan cos x.

Keduanya memiliki periode 2π, artinya berlaku hubungan

Di sini, x adalah variabel sudut dengan “satuan” radian atau derajat. Dalam

hal x bukanlah variabel sudut, ia dikalikan dengan sebuah faktor alih p, sehingga

α =

px berdimensi sudut. Jadi satuan p adalah:

[ ] [

[

_satuanxradian

]

]

p = (2.4.2)

Misalkan x berdimensi panjang, dengan satuan meter (m), maka [p] = rad/m. dalam

hal ini, pernyataan fungsi sin dan cos yang bersangkutan adalah:

sinx sin px; cos x cos px (2.4.3)

jadi, translasi argument sudut α = px sebesar satu periode 2π dapat dialihkan ke

translasi variabel x sejauh ±L, dengan syarat:

) (

2 p x L

px± π = ± (2.4.4)

yang mana menetapkan p berkaitan dengan L melalui hubungan:

L

p= 2π (2.4.5)

Dengan pernyataan faktor alih p ini, sifat periodik fungsi sin px dan cos px diberikan oleh hubungan :

sinpx=sinp

(

x±L

)

; cospx=cosp

(

x±L

)

(2.4.6)

Yang memperlihatkan bahwa fungsi sin px dan cos px adalah periodik dengan periode L. Khusus, dalam hal periode L=2π, maka p = 1, dan akan diperoleh kembali hubungan sin

(

x±2π

)

,dan cos

(

x±2π

)

=cosx.

Salah satu contoh sederhana fungsi periodik dalam masalah fisika adalah gerak

sederhana. Dengan simpangan vertikalnya y(t) setiap saat dari kedudukan setimbang, adalah :

y(t)= Acos

(

ω +t φ₀

)

(2.4.7)

Besaran A dan ω ω berturut – turut adalah amplitude dan frekuensi sudut getaran , sedangkan Φ=

(

ω +t φ₀

)

adalah fase getaran, dengan φ₀sebagai fase awalnya, yang adalah berdimensi sudut.

Dari kedua fungsi periodik dasar cos px dan sin px ini, dapat dibentuk suatu deret fungsi istimewa dengan suku ke-n:

⎩ ⎨ ⎧

≠ +

= =

0 , sin cos

0 2

)

( 0

n npx b

npx a

n a

x a

n n

n (2.4.8)

yakni,

( )

(

)

... 3 sin 2

sin sin

... 3 cos 2

cos cos

2

sin cos

2

3 2

1

3 2

1 0

1 0

0

(2.4.9)

+ +

+ +

+ +

+ +

=

+ +

=

∑

∑

∞

= ∞

=

px b

px b

px b

px a

px a

px a

a

npx b

npx a

a x a

n n n

n n

Deret (2.4.9) disebut deret trigonometri, yang menurut hubungan (2.4.6)

adalah periodik dengan periode L. Jika deret trigonometri (2.4.8) konvergen, maka ia

konvergen ke suatu fungsi jumlah f(x), yakni:

(

cos sin

)

( ) (2.4.10)

2 1

0

x f npx b

npx a

a

n

n

n + =

+

∑

∞

=

2.6 Deret Fourier

Bila an dan bn yang merupakan konstanta sebarang dari f(x) yang berbentuk deret

trigonometri tak hingga f(x )= +

2 0

a

∑

∞₌ ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

1

sin cos

n

n n

L x n b L

x n

a π π yang periodik

dengan periode 2L memenuhi syarat-syarat dirichlet berikut maka deret dari f(x) ini

dinamakan Deret Fourier.

Syarat dirichlet tersebut adalah, 1. f(x) tertentu,bernilai tunggal

2. f(x) kontinu kecuali pada beberapa titik diskontinu.

3. f(x) merupakan fungsi periodik di luar (-L,L) dengan periode 2L.

4. f(x) terbatas (bounded).

5. f(x) mempunyai nilai maksimun dan minimum yang banyaknya berhingga.

Syarat (1), (2), dan (3) yang dinyatakan dalam f(x) adalah syarat cukup tetapi

bukan syarat perlu, dan secara umum dalam prakteknya dipenuhi.

Bila f(x) mempunyai diskontinuitas berhingga pada x=x0 maka nilai f(x) harus diambil nilai rata-ratanya yaitu,

F(x)=

(

)

(

)

⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{+ + −}

→ →

h x f h

x f

h h

0 0 0

0

lim

lim

2 1

Bila kedua limit ini ada dan berbeda.

F(x)=

(

)

(

)

⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{+ + −}

→ →

h x f h

x f

h h

0 0 0

0

lim

lim

2 1

y

y = f(x)

x

x0-h x0 x0+ h

Mencari an dan bn.

Dari persamaan deret fourier untuk

f(x )= +

2 0

a

∑

∞₌ ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

1

sin cos

n

n n

L x n b L

x n

a π π diganda dengan cos

L x mπ

, kemudian

diintegralkan dengan batas dari –L ke L, ke x hingga diperoleh :

f(x )= +

2 0

a

∑

∞₌ ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

1

sin cos

n

n n

L x n b L

x n

a π π .

cos

L x mπ

(Dalam interval konvergensi deret dapat diintegrasikan suku demi suku) hingga,

∫

∫

− −

+ =

L

L

L

L

dx L

x m a

dx L

x m x

f π cos π

2 cos

)

∑ ∫

∞_{= ⎜⎜⎝}⎛ ₋ + ₋

∫

_⎟⎟⎠⎞ 1 cos sin cos cos n L L L L n n dx L x m L x n b dx L x m L x n

a π π π π

Perhatikan penyelesaiannya. 0 cos =

∫

− dx L x m L L π

Pandang rumus trigonometri cos A cos B =

(

cos

(

A−B

)

+cos

(

A+B

)

)

2 1

Sehingga untuk m,n bilangan alam positip dan m≠n , maka

(

)

(

)

(

)

(

)

). .( 0 ) ) ( 0 0 ) ( 0 0 ( 2 1 ) ( ) ( sin ) sin( ) ( ) ( sin ) sin( 2 1 sin sin 2 1 ) ( cos ) ( cos 2 1 cos cos n m m n m n L L m n m n m n L n m m n m n L m n L x m n L m n L x m n dx L x m n L x m n dx L x m L x n L L L L L L ≠ = −− + +− = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − − + + − + − + = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ₊ − = − − −

∫

∫

π π π π π π π π π π π π π π π π

Jadi, untuk m≠n maka

∫

−

L

L

cos cos dx=0

L x m L

x

nπ π

Untuk m=n ≠0 maka didapat :

∫

− L L L x mπ

cos dx=

=

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ π + π}

π m m

m L

L sin2 sin2

2 2 2 1

=

(

)

L

m L

L ⎟=

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{+ 0+0}

2 2 2 1 π Hingga diperoleh

∫

− L L L x mπ cos dx L x nπ cos = ⎩ ⎨ ⎧ ≠ =≠ 0 , , 0 n m L n m .

Pandang rumus trigonometri :

sin A cos B = 2

1

(

(

)

(

)

)

B A B

A− +sin +

sin

untuk m≠n maka didapat :

∫

− L L L x nπ sin dx L x mπ cos

=

(

)

(

)

dx

L x n m L x n m L L π π _⎟+ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

∫

− sin sin 2 1 =

∫

(

)

− − L L dx L x n m π sin 2 1 +

∫

(

)

− + L L dx L x n m π sin

=

(

0 0

)

2 1

+

=0

untuk m=n, maka didapat :

=

∫

− L L dx L x mπ 2 sin 2 1

= L_L

L x m m L − / 2 cos 2 . 2 1 π π

(

)

0 ) 0 ( 4 2 cos 2 cos 4 1 = − = − − = π π π π m L m m m

untuk m≠n maka didapat :

∫

− L L L x mπ sin dx L x nπ cos

=

(

)

(

)

dx

L x n m L x n m L L π π _⎟+ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

∫

− sin sin 2 1 =

∫

(

)

− − L L dx L x n m π sin 2 1 +

∫

(

)

− + L L dx L x n m π sin

=

(

0 0

)

2 1

+

=0

Sehingga

∫

− L L L x mπ sin dx L x nπ

cos = 0

Dengan demikian diperoleh persamaan:

∫

− + = L L dx L x m x

f( )cos π 0 an

∫

− + L L dx L x m L x n 0 cos

cos π π

∫

− = L L nL a dx L x m x

Sehingga diperoleh:

an=

∫

− = L L n dx L x n x f

L ( )cos , 1,2,3,4,....

1 π

a0=

∫

∫

− = − L L L L xdx f L dx x f

L ( )

1 cos ) ( 1

untuk an= 0 tidak berarti a0= 0. untuk ini a0 harus dihitung tersendiri.

Dengan jalan sama bn dapat ditunjukkan,

f(x)=

∑

∞ = ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + 1

0 _{cos sin}

2 n n n L x n b L x n a

a π π

. sin L x mπ Hingga diperoleh,

∫

∫

− − + = L L L L dx L x m a dx L x m x

f π sin π

2 sin ) ( 0

∑ ∫

∞_{= ⎜⎜⎝}⎛ ₋ + ₋

∫

_⎟⎟⎠⎞ 1 sin sin sin cos n L L L L n n dx L x m L x n b dx L x m L x n

a π π π π

∫

− = L L n b dx L x m x

f( )sin π .L.

bn=

∫

− L L dx L x n x f

L ( )sin ,

1 π

n = 1,2,3,……

b0= selalu nol

Dalam bidang teknik banyak kita jumpai penggunaan deret fourier dalam

bentuk khusus yaitu dengan periode 2π dimana L diganti dengan π. Dalam periode

2π yaitu -π< x <π maka deret fourier dari f(x ) adalah :

f(x) =

∑

(

)

∞

= +

+

1

0 _{cos sin}

2 n

n

n nx b nx dengan

an=

∫

(

)

−

=

π

π

π ( )cos . 0,1,2,3,...

1

n nxdx x

f

bn=

∫

(

)

−

=

π

π

π ( )sin . 1,2,3,...

1

n nxdx x

f

Selain tersebut diatas dalam periode 2L yaitu dalam bentuk umum (c, c + 2L) maka deret fourier dari f(x) adalah:

f(x) =

∑

∞

= ⎟⎠

⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

+

1

0 _{cos sin}

2 n

n n

L x n b L

x n a

a π π

dengan

an=

∫

+ L c

c

dx L

x n x f L

2

. cos

) (

1 π

(n = 0,1,2,3,….)

bn=

∫

+ L c

c

dx L

x n x f L

2

. sin

) (

1 π

(n = 0,1,2,3,….)

bila c =-L maka bentuk umum itu menjadi bentuk khusus ( -π,π )

Contoh: 1

Ekspansi dalam 0<x<2π dengan periode 2π untuk f(x) = x2 ke dalam deret fourier.

Penyelesaian

y = x2 merupakan parabola dengan puncak (0,0)

f(x)

x

-6π -4π -2π 0 2π 4π

Pilih c = 0 hingga c→c + 2L = 0 + 2π = 2π

an =

∫

π _π 2 0 cos ) ( 1 dx L x n x f L =

∫

π ππ π 2 0 2 cos 1 dx x n x =

∫

π π 2 0 2 cos 1 nxdx x =

∫

π π 2 0 2 _sin 1 nx d x n = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ₋

∫

π π π 2 0 2 0

2_{sin / sin .2}

1 xdx nx nx x n = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ₊

∫

π π π 2 0 2 0

2_{sin /} 2 _cos

1 nx xd n nx x n = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ₋ + π

∫

π π π 2 0 2 0 2 0 2 cos / cos 2 / sin 1 nxdx nx x n nx x n = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{+ −}

∫

sin ) 1 / cos ( 2 / sin 1 2 0 2 0 2 0 2 π π π

πn x nx n x nx n d nx

=

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ π₊ π₋ π

π 20

2 0 2 0 2 / sin 1 / cos ( 2 / sin 1 nx n nx x n nx x n =

(

)

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ ₊ 2 _{2 cos2 −0 −0} 0

1

π π

πn n n

= π π

πn n.2 cos2n

2 . 1

= 4₂.1

n

= 4₂

n ( n ≠0 )

a0 =

∫

π π 2 0 2 1 dx

x = 3

3 1 . 1

x

π /20π = 3 8π2

bn =

∫

π π 2 0 2 sin 1 nxdx x = −

∫

π π 2 0 2 cos 1 nx d x n = -⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ₋

∫

π π π 2 0 2 0 2 2 . cos / cos 1 xdx nx nx x n = -⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ₋

∫

π π π 2 0 2 sin 2 4 1 nx xd n n = - _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ₋ − π

∫

π π π 2 0 2 0 2 sin / sin 2 4 1 nxdx nx x n n = -⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

−

∫

d nx n n n cos 1 0 2 4

1 π2

π = -⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π π

π 02

2 / cos 1 2 4 1 nx n n n = -

( )

⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − 2 1 1 1 4 1 2 n n n π π = -n π 4

Jadi ekspansi tersebut adalah :

x2 =

∑

∞ = ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + 1 2 2 sin 4 cos 4 3 4 n nx n nx n π π Contoh 2

.Apabila kita gunakan periode 10 maka tentukan koefisien fourier untuk 0 , -5 < x < 0

a. f(x)

c. bagaimana f(x) harus didefinisikan di x = -5, x = 0 dan x=5 agar deret fourier

konvergen untuk -5 ≤ x ≤ 5

penyelesaian

f(x)

3 x

-15 -10 -5 0 5 10 15

a. Periode 2L = 10→L = 5

Interval di ambil dari C ke c +2L. Jadi dari c= -5 ke c+ 2L = -5 + 10 = 5

( )

(

sin

)

0 3

) 0 sin (sin

3

5 sin 5 . 5 3

5 cos 5 3

5 cos . 3 5 1 5

cos ) 0 ( 5 1

5 cos ) ( 5 1 cos

1

5 0 5

0 0

5

5

0 5

5

= =

− =

= =

+ =

= =

∫

∫

∫

∫

∫

−

− −

π π

π π

π π

π

π π

π π

n n

n n

x n n

dx x n

dx x n dx

x n

dx x n x f dx

L x n x f L a

L

L n

(n≠0)

a0 = / 3 5 3 0 cos ) ( 5 1 5 0 5 0 = =

∫

f x dx x

bn =

∫

− 5 5 5 sin ) ( 5 1 dx x n x f π = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ₊

∫

∫

− 0 5 5 0 5 sin 3 5 sin 0 5 1 dx x n dx x

nπ π

= ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ − 5

0 / 5 cos 5 . 3 0 5

1 n x

n

π π

= −3

(

cos π −1

)

π n

n

(

)

( )

(

1 1

)

. 3 cos 1 3 n n nx n − − = − = π π

b. f(x) =

∑

∞ = ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + 1

0 _{cos sin}

2 n n n L x n b L x n a

a π π

=

∑

(

)

∞ = − + 1 5 sin cos 1 3 2 3 n x n n n π π π = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ + +} + ... 5 5 sin 5 1 5 3 sin 3 1 5 sin 6 2

3 πx πx πx

π

c. Karena pada titik-titik kontinu deret akan konvergen ke f(x) maka pada titik-titik

yang diskontinu agar deret konvergen haruslah diambil konvergen ke :

. 2 3 2 0 3 2 ) ( )

( _{0 0}

= + = − +

+h f x h x

Bila kita definisikan f(x) sebagai, 3/2 , x = -5

0 , -5 < x < 0 f(x) = 3/2 , x = 0

3 , 0 < x < 5 3/2 , x = 5

Maka deret konvergen ke f(x) untuk -5≤x≤5

2.7 Fungsi Genap dan Ganjil

Perhitungan koefisien Fourier seringkali dipermudah jika fungsi f(x) yang diuraikan memiliki sifat istimewa tertentu, yakni genap atau ganjil terhadap sumbu x = 0. Keduanya didefenisikan sebagai berikut:

Sebuah fungsi f(x) adalah:

(a) genap, jika berlaku: f(-x) = f(x)

(b)ganjil, jika berlaku: f(-x) = -f(x) untuk semua x dalam daerah defenisi f(x).

Sebagai contoh, fungsi x2 dan cos x adalah genap, karena menurut defenisi di

atas (-x)2 = x2 dan cos(- x ) = cos x, sedangkan fungsi x dan sin x, misalnya , adalah

ganjil karena (-x) = -x dan sin(-x) = -sin x. Pada umumnya, fungsi pangkat genap adalag genap dan fungsi pangkat ganjil adalah ganjil.

Integrasi fungsi genap dan ganjil dalam selang simetris seperti –L/2 < x <L/2, ternyata menjadi sederhana. Tinjau misalnya f(x) adalah genap, maka:

∫

∫

∫

= +

− −

2 /

0 0

2 / 2

/

2 /

) ( )

( )

(

L

L L

L

Terhadap integral pertama di ruas kanan, yang dedefenisikan dalam selang negative adalah x: -L/2 < x <0, jika dilakukan sisipan variable integral baru, u = -x, sehingga f(x) = f (-u). Karena fungsi f adalah genap, maka f(-u) = f(u). Dengan demikian, jumlah kedua integral di atas menjadi:

∫

∫

∫

∫

∫

=− + = +

−

2 /

0 2

/

0 2

/

0 0

2 / 2

/

2 /

) ( )

( )

( )

( )

(

L L

L

L L

L

dx x f du u f dx x f du u f dx

x f

Atau dengan menamakan ulang variable integrasi u dengan x, kita peroleh:

∫

∫

=

−

2 /

0 2

/

2 /

) ( 2 ) (

L L

L

dx x f dx x

f jika f(x) genap

Uraian Fourier fungsi periodik genap dan ganjil, khususnya perhitungan

koefisien an dan bnyang bersangkutan, menjadi lebih sederhana. Tinjau dahulu fungsi

f(x) adalah ganjil. Karena cos npx genap, maka f(x) cos npx adalah ganjil, dan f(x) sin

npx adalah genap. Dengan demikian, dalam selang simetris –L/2 < x < L/2, an adalah

integral dari suatu fungsi ganjil, sehingga nilainya adalah nol. Tetapi bn adalah integral

dari suatu fungsi genap dalam selang simetris, karena itu nilainya adalah dua kali integral dalam selang 0 hingga L/2. Jadi kita peroleh:

Jika f(x) ganjil,

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

=

=

∫

₀/2 ( )sin )

2 / (

2

0

L n

n

npxdx x

f L

b

a

Dalam hal ini dikatakan bahwa f(x) teruraikan dalam deret sinus (an = 0,

sehingga tidak adal suku cosinus).

Jika f(x) genap, ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −

∫

0 cos ) ( ) 2 / (

2 /2

0 n L n b npxdx x f L a

Dalam hal ini , f(x) dikatakan teruraikan dalam deret cosinus.

Contoh 1:

Fungsi periodic f(x) dengan periode 8, yakni f(x+8) = f (x) didefenisikan dalam selang

dasar -4 < x < 4 sebagai f(x) = x. Uraikan fungsi ini ke dalam deret Fourier.

Penyelesaian:

Fungsi f(x) = x, secara terinci adalah sebagai berikut:

⎩ ⎨ ⎧

< ≤≤ < − − = 4 0 0 4 , ) ( x x x x x f

Yang memperlihatkan bahwa ia adalah fungsi genap. Karena itu f(x) terurai atas deret cosinus dan p=2π /8=π /4, b_n =0, dan

[

cos 1

]

) ( 2 1 0 4 ) ( cos sin ) ( 2 1 cos ) ( 4 2 4 ) ( 4 2 2 2 4 0 4 0 0 − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₊ = = = =

∫

∫

π n np np npx np npx x npxdx x a dx x a n

Karena, ,cos ( 1)n

nπ = − dan np=nπ /4, maka

2 2 ] ) 1 ( 1 [ 8 n a n n − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = π

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{+ + +}

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

− − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

=

∑

∞

=

L 4 5 cos 5

1 4 3 cos 3

1 4 cos 16 2

4 cos ] ) 1 ( 1 [ 8 2 ) (

2 2

2 1

2 2

x x

x

x n n

x f

n

n

π π

π π

BAB 3

PEMBAHASAN

Pada BAB sebelumnya telah dijabarkan defenisi-defenisi dan bentuk umum dari persamaan Laplace dan deret Fourier. Pada BAB ini akan diperlihatkan penyelesaian umum dari persamaan Laplace di dalam sistem koordinat Spherical untuk diekspansikan ke dalam deret Fourier.

3.1 Penyelesaian Persamaan Laplace Orde Dua

Berikut ini akan ditunjukkan cara untuk menyelesaikan persamaan differensial parsial yang sering dijumpai dalam persoalan fisis, yakni persamaan Laplace orde dua (diambil dari buku Fisika Matematik IIB BAB Persamaan Differensial Parsial).

Persamaan Laplace merupakan persamaan differensial parsial yang

berbentuk∇2 =0

u

Misalnya kasus temperatur untuk keadaan tunak (tidak bergantung waktu) dengan syarat batas seperti ditunjukkan gambar.

y T = 0o

T =0o T =0o

10 cm

x

Temperature di antara lempeng dinyatakan dengan persamaan Laplace:

0

2 =

∇ T atau bila diuraikan ₂ 0

2

2 2

= ∂ ∂ + ∂ ∂

y T x

T

Untuk menyelesaikan persoalan tersebut dimisalkan bentuk fungsi T(x,y) yaitu

( ) ( ) ( )

X Y X xY y

T , = yang dinamakan pemisahan variabel. Bila bentuk T(x,y) tersebut

disubstitusi ke persamaan Laplace, akan diperoleh:

0 2 2

2 2

= +

dy Y d X dx

X d Y

selanjutnya dapat dinyatakan

0 , 1

1 2

2 2

2 2

≥ −

= =

−

= const k k

dy Y d Y dx

X d X

Solusinya adalah

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

⎩ ⎨ ⎧ =

= ₋ky

ky

e e Y kx kx X

cos sin

Maka bentuk fungsi T(x,y) menjadi

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = =

− −

kx e

kx e

kx e

kx e

XY T

ky ky

ky ky

cos cos

sin sin

Syarat batas memberikan bahwa T(x,∞) = 0; T(x,0) = 100; T(0,y) = 0 dan

T(10,y) = 0. Bila langsung diambil salah satu solusi di atas ternyata tidak ada yang

1. Karena T(x, ∞) = 0, maka dapat diperkirakan bahwa bentuk solusinya adalah yang

mengandunge−ky (dengan k > 0). Ini berarti solusi yang mengandung ekydapat

diabaikan. Kemudian karena syarat T(x,0) = 0, maka memberikan bahwa solusi

yang mengandung coskx juga dapat diabaikan. Maka bentuk solusi yang

mungkin adalah e−kysinkx.

2. Karena T(10,y) = 0 hal ini memberikan:

sin

( )

10k =0→sin

( )

10k =sin

( )

nπ yang memberikan 10k = nπatau 10

π

n k=

Ini berarti temperature T dapat dinyatakan sebagai

10 sin 10

/ n x

e

T = −nπy π _(*)

3. Syarat lainnya adalah T(x,0) = 100. Syarat batas ini tidak dapat dipenuhi oleh

bentuk persamaan (*), tapi bila solusinya dikembangkan menjadi bentuk deret,

maka dapat dinyatakan:

∑

∞

= −

=

1

10 /

10 sin

n

y n n

x n e

b

T π π

lalu dengan memasukkan syarat batas tersebut akan diperoleh:

∑

∞

=

= = =

→ =

1

0 100

10 sin 0

n n y

x n b T

x π

Koefisien bn dapat dicari dengan menggunakan sifat deret Fourier sin (lihat BAB

VII):

∫

=_⎪⎩⎪⎨⎧ = 10

0 0

400

10 sin 100 10

2

genap n untuk

ganjil n untuk n

dx x n

b_n π π

Maka

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{+ +}

= =

− −

∞

= −

∑

L 2 3 sin 3

1 2 sin 400

10 sin ,

2 3 2

1

10 /

π π

π

π

π π

π

e e

x n e

b y x T

n

y n n

3.2 Penyelesaian Persamaan Laplace di dalam Sistem Koordinat Spherical

Penyelesaian Persamaan Laplace dalam Kordinat Spherical

Dalam kordinat Spherical Persamaan Laplace berbentuk

0 sin

1 sin

sin 1 1

2 2

2 2 2

2

2 =

∂∂ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

∂∂ ∂∂

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ ∂∂ =

∇ _{θ θ} θ _{θ θ φ}v

r v

r r v r r r

v (3.2.1)

Teori tentang solusi persaman Laplace dinamakan teori potensial. Solusi bagi

(3.2.1) yang memiliki turunan parsial orde-kedua yang kontinu dinamakan fungsi

harmonik.

Pada sebagian besar penerapan yang membawa pada persaman Laplace, kita

diharuskan memecahkan suatu masalah nilai batas, artinya menentukan solusi bagi

(3.2.1) yang memenuhi syarat batas yang diberikan pada permukaan S yang menjadi

batas daerah T yang merupakan daerah defenisi persaman tersebut. Ini dinamakan:

(i) Masalah nilai batas pertama atau masalah Dirichlet jika u ditentukan pada S.

(ii) Masalah nilai batas kedua atau masalah Neumann jika turunan normal

n u u_n

∂ ∂ = ditentukan pada S.

(iii) Masakah nilai batas ketiga atau campuranjika u ditentukan pada suatu bagian dari

S dan unditentukan pada bagian sisanya dari S. Diberikan persamaan laplace pada koordinat Spherical

(

, ,

)

0

2 =

∇ vrθ φ (3.2.2) Untuk memperoleh solusi umum dari persamaan inidalam koordinat Spherical, maka operator Laplacian harus ditulis dalam bentuk koordinat berikut (lihat Bios)

(

)

0

sin 1 sin

sin 1 1

,

, ₂

2

2 2 2

2 2

2 =

∂∂ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

∂∂ ∂∂

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ ∂∂ = ∇

φ θ θ

θ θ θ φ

θ v

r v r

r v r r r r

v (3.2.3)

Diasumsikan solusinya berbentuk

(

r,θ,φ

)

=R(r)P(θ)Φ(φ)

Masukkaqn persamaan (3.2.4) ke dalam persamaan differensial (3.2.3) dan dilakukan pemisahan. Setiap operator differensial hanya mempengaruhi fungsinya sendiri

(contohnya: turunan r tidak mempengaruhi P dan Φ), sehingga dihasilkan bentuk

0 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 = Φ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Φ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Φ φ θ θ θ θ θ d d r RP d dP d d r R dr dR r dr d r P (3.2.5)

Selanjutnya melalui pembagianoleh solusi RPΦdan memindahkan semua unsurφ ke

sebelah kanan pada persamaan. Juga, dengan mengisolasi variabel tak bebas φ,

dengan mengalikan dengan r2sin2

θ

, diperoleh

2 2 2 2 2 1 sin sin 1 sin 1 m d d d dP d d P dr dR r dr d R = Φ Φ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ φ θ θ θ θ

θ (3.2.6)

Pemisahan Azimuth

φ

Index m adalah konstanta pemisahan yang memisahkan persamaan

φ

dari r−θ. Jadi,

ada pemisahan persamaan differensial

φ

dari (3.2.6). Persamaan differensial biasa ini

diselesaikan masing-masing dengan sin(m

φ

) Dan cos(m

φ

)atau dengan fungsi

eksponensial kompleksexp(±im

φ

)

) exp( ), exp( ) ( solusi mempunyai yang 2 2 2 φ φ φ

λ m im im

d d − ≈ Φ Φ − = Φ

Secara fisik haruslah diperoleh solusi yang sama pada

φ

dan pada

φ

+2

π

n ini disebut

single valuedness dan m adalah integer.

Pemisahan sudut polar (

θ

)

Kembali ke persamaan (2), dengan menggunakan konstanta m dan memanipulasi

persamaan r−θ ke LHS untuk memisahkan r dan θ yang tak bebas. Dengan

membagi dengan _sin2θ _{untuk mengisolasi}

r dari θ diperoleh

θ θ θ θ θ 2 2 2 sin sin sin 1 1 1 m d dP d d P dr dR r dr d

R ⎟⎠=

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

Kemudianθdipindahkan ke sebelah kanan ) 1 ( sin sin sin 1 1 1 2 2

2 + = +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ m _{l l}

d dP d d P dr dR r dr d

R θ θ θ θ θ (3.2.8)

Index ke-2 yaitu l, adalah suatu konstanta untuk r dan θ, maka persamaan θ dapat

ditulis P l l P m d dP d d ) 1 ( sin sin sin 1 2 2 + = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− _{θ θ} θ _{θ θ} (3.2.9)

Atau 0 sin ) 1 ( sin sin 1 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{+ −} + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ m _P

l l d dP d d θ θ θ θ θ

Pada titik ini, dengan mengubah variable dengan pendefenisian x=cosθdan

θ θd

dx=−sin Dimana x adalah hanya sekedar variable baru. Karena range θdiantara

0 dan 1800 (πradian) interval ini diganti dengan −1≤ x≤1juga dengan catatan

2 2 2 1 cos 1

sin θ = − θ = −x dan

θ θ d d dx d sin 1 − =

Maka persamaan θ diubah ke dalam bentuk x

( )

0

1 ) 1 ( 1 ₂ 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ − P

x m l l dx dP x d d

θ (3.2.10)

Atau 0 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( ₂ 2 2 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + + − − P x m l l dx dP x dx P d x

Ini adalah asosiasi persamaan Legendre, yang mana mempunyai asosiasi polynomial

Legendre sebagai solusinya. Dimana jika m=0 akan diperoleh persamaan differensial

Legendre yang asli dengan polynomial Legendre sebagai solusinya juga. Jadi

) (x p

P= _lm Atau P= p_lm(cosθ)

Sifat-sifat polynomial

1. ( ) (1 2) 2 ( )

x P dx d x x

p _{m l}

2. _{l m} l m l m l lm x dx d x l x

p (1 ) ( 1)

! 2

1 )

( = − 2 2 2 −

+ +

3. p_l0(x)=P_l(x)

4. ' '

)! 1 ( )! ( 1 2 2 ) ( 1 1 mm ll lm m m l l x P

dx δ δ

− + + =

∫

−

Pemisahan Radial (r)

Terakhir, kembali ke (3.2.8), dengan mengambil sisa persamaan r dan

menyelesaikannya, diperoleh bentuk

R l l dr dR r dr d ) 1 (

2 = +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

Kemudian turunan dimasukkan dalam term yang ada di dalam kurung, diperoleh persamaan R l l dr dR r dr R d

r ₂ 2 ( 1)

2

2 + = +

Selanjutnya diasumsikan

R = rn R’ = nrn-1 dan R’’ = n(n-1)rn-2

sehingga

n(n-1)rn + 2nrn = l(l+1)rn atau persamaan aljabar n2-n+2n = n2 + n = l(l+1)

sehingga 2 1 2 1 2 1 1 2 1 4 1 4 1 2 2 2 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ± = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = + + l n n l l n n

sehingga nilai n yang memenuhi adalah n =l dan n = -(l+1) ini memberikan solusi radial sebagai

( )

= + l+1

l r b ar r R

Maka solusi umum persamaan Laplace dalam koordinat Spherical

Dimana Y_lm

( )

θ,φ adalah Spherical harmonic.

Jika masalahnya mempunyai azimuth yang simetri, maka solusinya umumnya menjadi

( )

,θ ₁

(

cosθ

)

0

l l

l l l l

P r

b r a r

v ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ ₊

= +

∞

=

∑

(3.2.12)

Koefisien al dan bl dapat dicari dengan menggunakan kondisi batas pada situasi dan

menginversikan keduanya pada deret Fourier menggunakan keorthogonalan pada polynomial yang tepat.

3.3 Contoh Masalah Nilai Batas dalam Koordinat Bola (Spherical)

Berikut adalah suatu masalah nilai batas tipikal yang melibatkan persamaan

Laplace dalam koordinat bola. Misalnya sebuah bola S yang berjari-jari r

dipertahankan pada suatu distribusi tegangan listrik tertentu

(3.3.2)

dengan r, q, f adalah koordinat dengan titik asal di pusat S, dan f( f) adalah suatu

fungsi yang diketahui. Diketahui bahwa tegangan u di semua titik di dalam ruang

diasumsikan bebas muatan-muatan lain. Karena tegangan di S tidak tergantung q maka

persamaan Laplace tereduksi menjadi

0 sin

sin 1 2

2 =

⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝

⎛ ∂∂ ∂∂

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ ∂∂ =

∇ _{φ φ} φ _φv

r v r r

v (3.3.3)

(Hermann Von Helmholtz :1821-1894)

Lebih lanjut, di tak hingga tegangannya akan sama dengan nol; artinya, haruslah

0 ) , (

lim =

∞

→ u rφ

r (3.3.4)

Selanjutnya akan dipecahkan masalah nilai batas yang terdiri atas persamaan (3.3.3) syarat batas (3.3.2) dan syarat (3.3.4) di tak hingga dengan menggunakan metode pemisahan peubah. Dengan mensubstitusikan solusi yang berbentuk

0 ) 1 (

2 '

''

2 + − + =

) ( ) ( ) ,

(r G r H r u

φ

=

ke dalam (3.3.3) dan membagi persamaan yang dihasilkannya dengan GH , maka akan

diperoleh

) (sin sin

1

1 2

φ φ φ

φ d

dH d

d H

dr dG r dr

d

G ⎟⎠=−

⎞ ⎜

⎝ ⎛

Melalui penalaran seperti biasa, kedua ruas persamaan harus sama dengan suatu konstanta, misalkan k, sehingga

0 )

(sin sin

1 dan

1 2 = + =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _kH

d dH d

d k

dr dG r dr

d

G φ φ φ φ (3.3.5)

Persamaan terakhir ini dapat dituliskan