Analisis Dan Visualisasi Persamaan Schrodinger Pada Partikel Bebas Dan Partikel Bebas Dalam Sumur Potensial Dengan Menggunakan Program Mathematica 7

(1)

ANALISIS DAN VISUALISASI PERSAMAAN SCHRODINGER PADA

PARTIKEL BEBAS DAN PARTIKEL BEBAS DALAM SUMUR

POTENSIAL DENGAN MENGGUNAKAN

PROGRAM MATHEMATICA 7

SKRIPSI

YAMANOTONA HULU

070801035

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

ANALISIS DAN VISUALISASI PERSAMAAN SCHRODINGER PADA

PARTIKEL BEBAS DAN PARTIKEL DALAM SUMUR

POTENSIAL DENGAN MENGGUNAKAN

PROGRAM MATHEMATICA 7

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

(3)

PERSETUJUAN

Judul : ANALISIS DAN VISUALISASI PERSAMAAN SCHRODINGER PADA PARTIKEL BEBAS DAN PARTIKEL BEBAS DALAM SUMUR POTENSIAL DENGAN MENGGUNAKAN PROGRAM MATHEMATICA 7

MM Kategori : SKRIPSI

Nama : YAMANOTONA HULU

Nomor Induk Mahasiswa : 070801035

Program studi : SARJANA (S1) FISIKA

Departemen : FISIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA

UTARA

Diluluskan di

Medan, 09 Agustus 2011

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Fisika FMIPA USU Pembimbing

Dr.Marhaposan Situmorang Drs.Kurnia Sembiring MS

(4)

PERNYATAAN

ANALISIS DAN VISUALISASI PERSAMAAN SCHRODINGER PADA PARTIKEL BEBAS DAN PARTIKEL BEBAS DALAM SUMUR POTENSIAL

DENGAN MENGGUNAKAN PROGRAM MATHEMATICA 7

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa

kutipan dari ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 09 Agustus 2011

YAMANOTONA HULU

(5)

PENGHARGAAN

Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas Segala berkat serta kasihnya senantiasa melindungi, menyertai , memimpin dan membimbing penulis sehingga pada akhirnya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “ANALISIS DAN VISUALISASI PERSAMAAN SCHRODINGER PADA PARTIKEL BEBAS DAN PARTIKEL BEBAS DALAM SUMUR POTENSIAL DENGAN MENGGUNAKAN PROGRAM MATHEMATICA 7” tepat pada waktunya/

ini dengan baik.

Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada pihak-pihak yang telah banyak

membantu serta mendukung penulis dalam menyelesaikan skripsi ini :

1. Drs.Kurnia Sembiring, MS , selaku dosen pembimbing skripsi.

2. Ketua jurusan Departemen Fisika FMIPA USU, Dr.Marhaposan Situmorang beserta

sekretaris jurusan Dra.Justinon, MS.

3. Dosen penguji dan pembanding dalam pelaksanaan tugas akhir ini yaitu bapak

Drs.Tenang Ginting,MS,Drs.Milangi Ginting,MS,dan terlebih kepada bapak Tua Raja

Simbolon,S.Si,M.Si yang telah banyak memberi saran dan masukan demi

penyempurnaan skripsi ini

4. Seluruh Dosen dan pegawai Departemen Fisika USU yang telah memberikan

bimbingan dan membantu dalam mengurus administrasi selama perkuliahan

5. Yang tercinta Papa terhebat sedunia (W.Hulu) dan Mama terbaik (Y. Hulu), kakak

A/I Frans Tel,A/I Albert,A/I Jessica,A/I Puan Hulu,dan kak Seni dan seluruh

ponakanku yang cakep dan cantik, yang banyak mendorong untuk segera

(6)

6. Keluarga besar GENERASI MUDA NIAS (GEMA NIAS),Teman-teman di rumah

bahagia 41,Harmonika 82,Bahagia 37,Mandolin 27,Spesial buat adek ku

Cardinal,Darlan,Yoel,Margaret,Arif, kak Elsa, Jhon meitan, Jhonatan, kak Dewi,

Juang, Gunawan,bang Eve,bang Ferry,Terkhusus buat adik dan sahabat terkasih Weli

harefa dan teman-teman lain yang yang selalu mengingatkan dan membantu dalam

menyelesaikan skripsi ini

7. Buat teman-teman di kampus secara khusus buat teman-teman fisika stambuk 2007

Semoga Tuhan selalu memberkati.Amin.

Terima kasih atas semua dukungan, bantuan dan semangat yang selama ini

penulis terima guna menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa masih

banyak khilaf dan kesalahan dalam penulisan skripsi ini, oleh karena itu kritik dan

saran yang membangun sangat diharapkan demi kesempurnaan skripsi ini. Akhir kata

penulis mengucapkan terima kasih dan semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi

penulis juga pembaca.

(7)

ABSTRAK

(8)

ANALYSIS AND VISUALIZATION SCHRODINGER EQUATION OF FREE PARTICLES AND FREE PARTICLES OF INFINITE SQUARE POTENTIAL WELL BY USING

MATHEMATICA 7

ABSTRACT

(9)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak vi

Abstract vii

Daftar isi viii

Daftar gambar x

Daftar lampiran xi

BAB I Pendahuluan

1.1 Latar Belakang Masalah 1

1.2 Rumusan Masalah 3

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tujuan.Penelitian 3

1.5 Manfaat Penelitian 4

1.6 Sistematika Penulisan 4

BAB II Tinjauan Pustaka

2.1 Persamaan Schrödinger 5

2.2 Persamaan Schrödinger Bebas waktu 5

2.3 Fungsi Gelombang 6

2.4 Probabilitas dan Normalisasi 8

2.5 Penerapan Persamaan Schrödinger 9

2.5.1 Pada Partikel Bebas 9

2.5.2 Partikel dalam Sumur Potensial 11

(10)

BAB III Metodologi Penelitian

3.1 Rancangan Penelitian 18

3.2 Teknik Analisis Data 18

3.3 Perangcangan Program 19

3.4 Algoritma 19

3.5 Diagram Alir penelitian 20

BAB IV Hasil Dan Pembahasan

4.1 Analisis Persamaan Schrodinger 21

4.1.1 Analisis Persamaan Schrodinger dalam sumur potensial tak

hingga 22

4.2 Hasil Visualisasi Program 24

4.2.1 Visualisasi Persamaan Schrodinger pada partikel bebas 24

4.1.1 Visualisasi Persamaan Schrodinger dalam sumur potensial tak

hingga 25

BAB V Kesimpulan

5.1 Kesimpulan 32

5.2 Saran 32

(11)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Partikel dalam sumur potensial daerah II11

Gambar 2.2. Tingkat Energi dalam sumur secara konstan 15

Gambar.2.3. Probabilitas Keberadaan Elektron dalam sumur Potensial 15

Gambar 2.4. Pengaruh Lebar Sumur terhadap Energi 16

Gambar 3.1. Diagram Alir Penelitian 20

Gambar 4.1. Visualisasi fungsi gelombang partikel bebas 25

Gambar 4.2. Visualisasi fungsi gelombang partikel dalam Sumur

potensial n=1 26

potensial n=2 27

potensial n=3 28

potensial n=4 29

potensial n=5 30

(12)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1.Kode Pemrograman Visualisasi Gelombang Pada Partikel

Bebas 34

Lampiran 2.Kode pemrograman Visualisasi gelombang pada Partikel

Dalam Sumur Potensial 35

(13)

ABSTRAK

(14)

ANALYSIS AND VISUALIZATION SCHRODINGER EQUATION OF FREE PARTICLES AND FREE PARTICLES OF INFINITE SQUARE POTENTIAL WELL BY USING

MATHEMATICA 7

ABSTRACT

(15)

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Dewasa ini, perkembangan Ilmu pengetahuan dan Teknologi (IPTEK)

menuntut setiap insan untuk mencari, mengikuti dan menciptakan inovasi-inovasi

baru sehingga ilmu pengetahuan yang dipelajari dapat dikemas lebih menarik serta

mempermudah pemahaman baik bagi pengajar maupun bagi yang ingin

mempelajarinya. Salah satu teknologi yang saat ini mengalami perkembangan yang

sangat pesat dalam berbagai bidang ilmu dan khususnya pendidikan adalah pemakaian

komputer. Komputer merupakan sebuah media yang dapat membantu dalam

menganalisis gejala fisika yang terjadi di alam. Analisis ini dilakukan dengan

menggunakan berbagai metode. Diantara beberapa metode, metode pendekatan

komputasi memiliki kelebihan dibandingkan dengan metode yang lainnya. Metode

pendekatan komputasi dapat meminimalkan resiko dalam penggunaan alat-alat dan

mampu menunjukkan angka-angka yang tidak ditunjukkan oleh penggunaan alat-alat

dalam metode yang lainnya (Joachim S,Dieter suter, 2007)

Permasalahan-permasalahan dalam bidang inovasi ilmu pengetahuan khususya

fisika dapat digambarkan dalam bentuk persamaan matematika. Jika persamaan

tersebut mempunyai bentuk yang sederhana maka persamaan dapat diselesaikan

secara analitis (Bambang Triatmodjo, 2002). Tetapi, dalam kenyataannya masih

terdapat masalah matematika yang bersifat kompleks sehingga dalam

menyelesaikanya memerlukan banyak parameter dan varibel yang saling berkaitan

satu dengan yang lain, sehingga diperlukan metode yang lebih mudah dan dapat

(16)

Salah satu gejala fisika yang menarik untuk diamati atau dipelajari adalah

perilaku gelombang dari sebuah pertikel. Perilaku gelombang tersebut dijelaskan oleh

Schrodinger dalam analisis persamaan Schrodinger (Krene, 1992). Analisis tersebut

menceritakan tentang azaz korespondensi yang telah dilakukan oleh peneliti

terdahulu, yaitu membahas peristiwa fisika pada daerah relativitas dan daerah

kuantum yang dapat dikembalikan pada daerah klasik dengan menyesuaikan besaran

fisika yang terlibat pada kondisi klasik (Dayana, 2002). Dalam penelitian ini akan

dilakukan metode komputasi dengan menggunakan suatu program Matematika yakni

Mathematica 7 untuk memperoleh hasil yang benar dalam pemahaman fisis dari

system yang dikaji.

Adapun perangkat lunak (software) yang digunakan untuk membuat animasi

dan visualisasi persamaan Schrodinger tersebut adalah Mathematica versi 7. Sebab

Mathematica versi 7 merupakan perangkat lunak dengna bahasa pemrograman tingkat

tinggi yang mampu menampilkan teori materi pelajaran, rumus secara simbolik,

animasi dan visualisasi dengan GUI (Graphics User Interface) dalam satu jendela

(window) sekaligus serta bahasa pemrogramannya yang ringkas dan mudah dipahami.

Dengan animasi dan visualisasi ini diharapkan mampu memberi gambaran yang jelas

dan mendasar serta menimbulkan ketertarikan dan kemudahan dalam mempelajari

persamaan Schrodinger pada khususnya dan Fisika pada umumnya. _{Tampilan dari}

(17)

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dalam penelitian ini adalah :

1. Bagaimana menganalisis persamaan schrodinger dan penerapannya pada

partikel bebas dan partikel bebas dalam sumur potensial tak hingga tidak

tergantung waktu?

2. Bagaimana membuat rancangan program untuk menganimasikan dan

memvisualisasikan persamaan schrodinger pada partikel bebas dan pada

sumur potensial tak hingga tidak tergantung waktu?

3. Bagaimana menganalisis hasil dari setiap program visualisasi untuk

mendapatkan hubungan antara variabel-variabel yang terkait?

1.3 Batasan Masalah

1. Penelitian ini dibatasi untuk membahas penerapan persamaan Schrodinger

pada partikel bebas dan partikel bebas dalam Sumur potensial tak hingga tidak

tergantung waktu

2. Bentuk visualisasi persamaan Schrodinger ditampilkan dalam bentuk satu

dimensi menggunakan perangkat lunak Mathematica versi 7 yang dijalankan

pada sistem operasi (operating system) Windows 7.

1.4 Tujuan Penelitian

1. Mengetahui dan menganalis bentuk penyelesaian persamaan Schrodinger

dalam berbagai potensial dengan menggunakan methematica 7

2. Merancang suatu program bantu yang dapat menganimasikan dan

memvisualisasikan persamaan schrodinger pada pertikel bebas dan pertikel

bebas dalam sumur potensial dengan pendekatan komputasi

3. Mengetahui bentuk visualisasi perilaku gelombang,tingkat energi dalam

(18)

1.5 Manfaat Penelitian

1. Secara akademis, penelitian ini diharapkan dapat memperkaya khazanah

penelitian dan sumber bacaan ilmiah bagi pihak yang berkepentingan.

2. Secara praktis, penelitian ini diharapkan dapat menjadi bahan masukan dan

referensi bagi pihak-pihak yang berkepentingan, khususnya para peneliti di

bidang ilmu fisika komputasi.

3. Secara teoritis, penelitian ini diharapkan dapat memberi kontribusi berupa

teori dan analisis secara matematis, khususnya yang berkaitan dengan

persamaan Schrodinger dalam kajian ilmu fisika komputasi.

1.6. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan masing-masing bab adalah sebagai berikut:

BAB I Pendahuluan

Bab ini mencakup latar belakang masalah, Rumusan masalah,,tujuan

penelitian, batasan masalah, manfaat penelitian, dan sistematika

penulisan.

BAB II Tinjauan pustaka

Bab ini berisi teori yang mendasari penelitian.

BAB III Metodologi Penelitian

Bab ini membahas tentang diagram alir penelitian, peralatan,

bahan-bahan dan pembuatan algoritma.

BAB IV Hasil dan pembahasan

Bab ini membahas tentang hasil penelitian dan menganalisis data yang

(19)

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Schrödinger

Persamaan Schrödinger merupakan fungsi gelombang yang digunakan untuk

memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. Suatu persamaan

differensial akan menghasilkan pemecahan yang sesuai dengan fisika kuantum.

2.2 Persamaan Schrödinger Bebas-waktu

Aplikasi persamaan Schrödinger dalam banyak hal akan berkaitan dengan

energy potensial, yaitu besaran yang merupakan fungsi posisi dan tidak merupakan

fungsi waktu. Perhatian kita tidak tertuju pada keberadaan elektron dari waktu ke

waktu, melainkan tertuju pada kemungkinan dia berada dalam selang waktu yang

cukup panjang. Jadi jika faktor waktu dapat dipisahkan dari fungsi gelombang, maka

hal itu akan menyederhanakan persoalan. Kita tinjau persamaan Schrodinger kasus

satu dimensi dan menuliskan persamaan gelombang sebagai berikut

+ P (x)

Atau

+ P (x)

Inilah persamaan Schrödinger satu dimensi yang bebas-waktu.

Untuk tiga dimensi persamaan itu menjadi :

∇ , ,

Perlu kita sadari bahwa adanyan persamaan Schrödinger bebas-waktu

bukanlah berarti bahwa elektron atau partikel yang ingun kita pelajari dengan

mengaplikasikan persamaan ini adalah partikel bebas-waktu. Partikel tersebut

memiliki kecepatan gerak, dan kecepatan adalah turunan terhadap waktu dan posisi.

Oleh karena itu dalam memeberi arti pada penurunan matematis dan persamaan

Schrödinger bebas-waktu, dalam hal-hal tertentu kita perlu mempertimbangkan

masalah waktu, sesuai dengan logika.

(2.2)

(20)

Dengan persamaan Schrödinger bebas-waktu (2.1) atau (2.2) fungsi

gelombang yang dilibatkan dalam persamaan ini juga fungsi gelombang bebas-waktu, ψ(x) Dari bentuk gelombang komposit untuk elektron

S(x,t) dengan S(x,t) = ∑

kita mengambil bentuk ψ(x) sebagai ψ(x) A(x)e –jkx, dengan A(x) adalah selubung

paket gelombang, untuk mencari solusi persamaan Schrödinger.

Persamaan Schrödinger adalah persamaan gelombang dan yang kita maksudkan

adalah gelombang sebagai representasi elektron atau partikel. Mencari solusi

persamaan Schrödinger adalah untuk memperoleh fungsi gelombang yang selanjutnya

digunakan untuk melihat bagaimana perilaku atau keadaan elektron. Hubungan antara

momentum p dan energi E dengan besaran-besaran gelombang (k, ,f,λ) adalah

p =

λ λ

2.3 Fungsi Gelombang

Persamaan Schrödinger adalah persamaan diferensial parsial dengan adalah

fungsi gelombang, dengan pengertian bahwa

Adalah probabilitas keberadaan elektron pada waktu tertentu dengan volume dx, dy,

dz di sekitar titik (x,y,z), * adalah konjugat dari . Jadi persamaan Schrödinger tidak

menentukan posisi elektron melainkan memberikan probabilitas bahwa ia akan

ditemukan di sekitar posisi tertentu. Kita juga tidak mengatakan secara pasti

bagaimana elektron bergerak sebagai fungsi waktu karena posisi dan momentum

elektron dibatasi oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg.

(21)

Dalam kasus satu dimensi dengan bentuk gelombang. ∆ /

Dan

∆ /

Maka

∆ /

Apa yang berada dalam tanda kurung pada (2.9) adalah selubung paket gelombang

yang merupakan fungsi x sedangkan A0memiliki nilai konstan. Jadi selubung paket

gelombang itulah yang menentukan probabilitas keberadaan partikel.

Persyaratan Fungsi Gelombang, Fungsi gelombang (x) hasil solusi persamaan

Schrödinger mempunyai arti fisis. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai berikut.

• Elektron sebagai suatu yang nyata harus ada di suatu tempat. Oleh karena itu fungsi gelombang (untuk satu dimensi) harus memenuhi

• Fungsi gelombang (x), harus kontinyu sebab jika terjadi ketidak-kontinyuan hal itu dapat ditafsirkan sebagai rusaknya elektron, suatu hal yang tidak dapat

diterima.

• Turunan fungsi gelombang terhadap posisi, d / dx, juga harus kontinyu. Kita telah melihat bahwa turunan fungsi gelombang terhadap posisi terkait dengan

momentum elektron sebagai gelombang. Oleh karena itu persyaratan ini dapat

diartikan sebagai persyaratan kekontinyuan momentum.

• Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas sebab jika tidak akan berarti ada lebih dari satu kemungkinan keberadaan elektron.

• Fungsi gelombang tidak boleh sama dengan nol disemua posisi sebab kemungkinan elektron haruslah nyata, betapapun kecilnya.(Kamal Singh,2006)

(2.6)

(2.7)

(22)

2.4 Probabilitas dan Normalisasi

Fungsi gelombang (x) menyatakan suatu gelombang yang memiliki panjang

gelombang dan bergerak dengan kecepatan fase yang jelas. Masalah yang muncul

ketika hendak menafsirkan amplitudonya. Apakah yang dinyatakan oleh amplitudo

(x) dan variabel fisika apakah yang bergetar? Ini merupakan suatu jenis gelombang

yang berbeda, yang nilai mutlaknya memberikan probabilitas untuk menemukan

partikelnya pada suatu titik tertentu. Dimana | (x)|2 dx memberikan probabilitas

untuk menemukan partikel dalam selang dx di x. Rapat probabilitas P(x) terhadap

(x) menurut persamaan Schrödinger sebagai berikut:

P(x)dx=| (x)|2dx (2.9)

Tafsiran| (x)|2 ini membantu memahami persyaratan kontinu (x), walaupun

amplitudonya berubah secara tidak jelas dan kontinu. Probabilitas untuk menemukan

partikel antara x1 dan x2 adalah jumlah semua probabilitas P(x)dx dalam selang antara

x1 dan x 2 adalah sebagai berikut:

Dari aturan ini, maka probabilitas untuk menemukan partikel disuatu titik sepanjang

sumbu x, adalah 100 persen, sehingga berlaku:

∫

( )2 =1

Persamaan (2.12) dikenal dengan syarat Normalisasi, yang menunjukkkan

bagaimana mendapatkan tetapan A. Dimana tetapan A tidak dapat ditentukan dari

persamaan Differensialnya. Sebuah fungsi gelombang yang tetapan pengalinya

(23)

(24)

Untuk partikel bebas V = 0, maka persamaannya menjadi

Dengan demikian diperoleh:

)

Persamaan (2.19) adalah bentuk umum dari persamaan differensial biasa berorde dua,

dengan k2 adalah positif, dimana (x) merupakan kuantitas kompleks yang memiliki

bagian real (nyata) dan bagian imajiner,Maka :

(25)

karena integral normalisasi tidak dapat dihitung dari -∞ hingga +∞ , bagi fungsi

gelombang itu. (Krane, 1992).

2.5.2. Partikel dalam sumur potensial

Sumur Potensial adalah daerah yang tidak mendapat pengaruh potensial. Hal

ini berarti bahwa partikel selama berada dalam sumur potensial, merupakan electron

bebas. Kita katakan bahwa electron terjebak di sumur potensial, dan kita anggap

bahwa dinding potensial sangat tinggi menuju ∞, atau kita katakan sumur potensial

sangat dalam. Dalam gambar (2.1) berikut kita akan menggambarkan sumur

potensial. Daerah I dan daerah III adalah daerah-daerah dengan V= ∞, Sedangkan di

daerah II, yaitu antara 0 dan L, V= . Kita katakan bahwa lebar sumur potensial ini

adalah L.

V(x) = 0, 0 ≤ x ≤ L

V(x) = ∞, x < 0, x > L,

I II III

Ep=∞ Ep= 0 Ep=∞

Ψ1 Ψ2 Ψ3

Gambar 2.1 Partikel dalam sumur potensial daerah II

Pada sumur potensial yang dalam, daerah I dan III adalah daerah dimana

kemungkinan berada elektron bisa dianggap nol, Ψ1(x) = 0 dan Ψ2(x) = 0.

Sedangkan pada daerah dua Kita dapat memberi spesifikasi pada gerak partikel

dengan mengatakan bahwa gerak itu terbatas pada gerak sepanjang sumbu-x antara x

= 0 dan x = L disebabkan oleh dinding keras tak berhingga. Sebuah partikel tidak

akan kehilangan Energinya jika bertumbukan dengan dinding, energi totalnya tetap

konstan.

Dari per nyataan tersebut maka energi potensial V dari partikel itu menjadi tak

hingga di kedua sisi sumur, sedangkan V konstan di dalam sumur, dapat dikatakan V

= 0 seperti yang terlihat pada gambar (2.1) di atas. Karena partikel tidak bisa

memiliki Energi tak hingga, maka partikel tidak mungkin ditemukan di luar sumur,

(26)

nilai di dalam sumur, yaitu antara x = 0 dan x = L . Persamaan Schrodinger bebas

waktu adalah :

(2.21)

Dengan

(2.22)

Dimana

(2.23)

Sesuai dengan persamaan gelombang maka :

(x)=Asinkx+B coskx (2.24)

Pemecahan ini belum lengkap, karena belum ditentukan nilai A dan B, juga

belum menghitung nilai energi E yang diperkenankan. Untuk menghitungnya, akan

diterapkan persyaratan bahwa (x) harus kontinu pada setiap batas dua bagian ruang.

Dalam hal ini, akan dibuat syarat bahwa pemecahan untuk x < 0 dan x > 0 bernilai

sama di x = 0. Begitu pula pemecahan untuk x > L dan x < L haruslah bernilai sama

di x = L. Jika x = 0, Untuk x < 0 Jadi harus mengambil (x) = 0 pada x = 0.

(0) =Asin 0 + B cos 0

(27)

Disini ada dua pemecahan yaitu A = 0, yang memberikan (x) = 0 dan

2

(x) = 0, yang berarti bahwa dalam sumur tidak terdapat partikel (Pemecahan tidak

masuk akal) atau sin kL = 0, maka yang benar jika:

kL = π,2π,3π,…… n=1,2,3 …. (2.28)

Dengan:

(2.29)

Dari persamaan (2.28) dan persamaaan (2.29) diperoleh bahwa energi partikel

mempunyai harga tertentu yaitu harga eigen. Harga eigen ini membentuk tingkat

energisitas yaitu:

Dimana energy yang kita tinjau disini berbeda dengan energy Born dimana pada

energy Born menyatakan energy tingkat atomic sedangkan tingkat energy pada

persamaan Schrodinger menyatakan tingkat energy untuk electron.

Fungsi gelombang sebuah partikel didalam sumur yang berenergi En ialah:

(2.31)

Untuk memudahkan E1 =ħ2π2/2mL2, yang mana tampak bahwa unit energi ini

ditentukan oleh massa partikel dan lebar sumur. Maka E = n2E1 dan demikian

partikelnya hanya dapat ditemukan dengan energi E1, 4 E1, 9 E1, 16 E1 dan

seterusnya. Karena dalam kasus ini energi yang diperoleh hanya pada laju tertentu

yang diperkenankan dimiliki partikel. Ini sangat berbeda dengan kasus klasik,

misalnya manik-manik (yang meluncur tanpa gesekan sepanjang kawat dan

menumbuk kedua dinding secara secara elastik) dapat diberi sembarang kecepatan

awal dan akan bergerak selamanya, bolak-balik, dengan laju tersebut.

(28)

Dalam kasus kuantum, hal ini tidaklah mungkin, karena hanya laju awal

tertentu yang dapat memberikan keadaan gerak tetap, keadaan gerak khusus ini

disebut keadaan stasioner (Disebut keadaan”stasioner”karena ketergantungan pada

waktu yang dilibatkan untuk membuat ψ(x,t),ψ(x,t)2 tidak bergantung waktu).

Hasil pengukuran energi sebuah partikel dalam sebuah sumur potensial harus berada

pada salah satu keadaan stasioner, hasil yang lain tidaklah mungkin. Pemecahan bagi

) (x

ψ belum lengkap, karena belum ditentukan tetapan A. Untuk menentukannya,

ditinjau kembali persyaratan normalisasi, yaitu

∫

( )2 =1

+∞

Maka diperoleh A = 2/L. Dengan demikian, Pemecahan lengkap bagi fungsi

gelombang untuk 0 ≤ x ≤ L adalah:

Dalam gambar 2.2 dan 2.3 akan dilukiskan berbagai tingkat energi, fungsi

gelombang dan rapat probabilitas ψ 2 yang mugkin untuk beberapa keadaan

terendah. Keadaan energi terendah, yaitu pada n =1 , dikenal sebagai keadaan dasar

(29)

Gambar 2. 2 Tingkat energi dalam sumur secara konstan ( Kamal Sing,2005)

Gambar 2.3 Probabilitas keberadaan electron dalam sumur potensial

Kita lihat di sini bahwa energi elektron mempunyai nilai-nilai tertentu yang

diskrit, yang ditentukan oleh bilangan bulat n. Nilai diskrit ini terjadi karena

pembatasan yang harus dialami oleh ψ2, yaitu bahwa ia harus berada dalam sumur

potensial. Ia harus bernilai nol di batas-batas dinding potensial dan hal itu akan terjadi

bila lebar sumur potensial L sama dengan bilangan bulat kali setengah panjang

gelombang. Jika tingkat energi untuk n = 1 kita sebut tingkat energi yang pertama,

maka tingkat energi yang kedua pada n = 2, tingkat energi yang ketiga pada n = 3 dan

seterusnya.Jika kita kaitkan dengan bentuk gelombangnya, dapat kita katakan bahwa

(30)

demikian maka diskritisasi energi elektron terjadi secara wajar melalui Pemecahan

persamaan Schödinger.

Persamaan (2.30) memperlihatkan bahwa selisih energy antara satu tingkat

dengan tingkat berikutnya, misalnya antara n=1 dan n =2, berbanding terbalik dengan

kuadrat lebar sumur potensial. Makin lebar sumur ini, makin kecil selisih energy

tersebut, artinya tingkat-tingkat energy semakin rapat. Untuk L sama dengan satu

satuan misalnya, selisih energy untuk n=2 dan n=1 adalah E2- E1 = 3ћ2 / 8m dan jika

L 10 kali lebih lebar maka selisih ini menjadi E2 – E1 = 0.03ћ2/8m.

Gambar 2.4. Pengaruh lebar sumur terhadap energy

Jadi makin besar L maka perbedaan nilai tingkat-tingkat energy akan semakin

kecil dan untuk L semakin lebar maka tingkat-tingkat energy tersebut akan semakin

rapat sehingga mendekati kontinyu.( Neuredine Zettili, 2009)

(31)

2.6 Pemrograman dengan Mathematica 7

Mathematica merupakan perangkat lunak yang diproduksi dan dikembangkan

oleh Wolfram Research, Inc. Pendiri dan presiden perusahaan tersebut adalah Stephen

Wolfram, P.hD. Beliau adalah fisikawan di bidang fisika teoritis dan berkebangsaan

Inggris. Mathematica dapat digunakan untuk aplikasi matematika, ilmu pengetahuan,

teknologi, bisnis dan aplikasi lainnya.

Pada Penelitian ini, program lebih banyak dibuat dengan menggunakan

perintah-perintah berikut ini

1.Graphics: perintah untuk menampilkan grafik dua dimensi berdasarkan data yang

diberikan.

Sintaks umumnya: Graphics[primitives,options].

2.Manipulate: perintah untuk memanipulasi secara interaktif ekspresi-ekspresi program,

grafik dan objek lainnya.

Sintaks umumnya: Manipulate[expr,{u,umin,umax}].

3.Module: perintah untuk membuat variabel lokal dengan nama tertentu yang dapat

dipanggil.

Sintaks umumnya: Module[{x,y,…},expr].

4.If: perintah untuk memberikan suatu ekspresi tertentu jika kondisi benar dan ekspresi

lainnya jika kondisi salah.

Sintaks umumnya: If[condition,t,f].

5.ListLinePlot: perintah untuk memplot grafik linier dua dimensi berdasarkan pasangan

data yang telah ditentukan.

Sintaks umumnya: ListLinePlot[{{x1,y1},{x2,y2},…}].

Untuk informasi yang lebih mendetail tentang Mathematica dapat melihatnya di situs

(32)

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Rancangan Penelitian

Langkah awal yang dilakukan adalah memecahkan persamaan Schrodinger dengan

metode analitik kemudian mencari pemecahannnya dengan metode komputasi, maka

langkah-langkah penyusunan program dilakukan sebagai berikut:

a. Membahas Persoalan fisika

b. Mengkonfirmasikan persoalan fisika ke dalam bentuk numerik

c. Penyusunan algoritma

d. Pengkodean yaitu menterjemahkan algoritma kedalam kode bahasa

pemograman.

e. Menjalankan program

f. Analisis hasil visualisasi

g. Penulisan laporan

3.2 Teknik Analisis Data

1. Mengumpulkan data yang diperoleh dalam program dan data tersebut dibuat

dalam bentuk visualisasi.

2. Hasil visualisasi fungsi gelombang persamaan Schrodinger dengan metode

komputasi akan dilihat kesesuaiannya dengan hasil analitik

3. Harga-harga peluang pada grafik visualisasi fungsi gelombang dengan metode

(33)

3.3 Perancangan program

Adapun Proses perancangan program penelitian ini dirancang melalui

tahapan-tahapan sebagai berikut:

a. Perancangan diagram alir (flowchart) dan algoritama simulasi persamaan

Schrodinger pada partikel bebas dan partikel bebas dalam sumur potensial tak

hingga

b. Pembuatan program lengkap berdasarkan rancangan diagram alir dan algoritma

dengan menggunakan bahasa pemrograman Mathematica Versi 7.

3.4 Algoritma

Adapun algoritma program bantu yang digunakan dalam perancangan program

INPUT

1. Memasukkan persamaan schrodinger tidak bergantung waktu untuk menghasilkan fungsi gelombang elektron.

2. Memasukkan persamaan schrodinger tidak bergantung waktu dan menormalisasikannya untuk menghasilkan probabilitas keberasaan elektron.

3. Menentukan lebar sumur ( L ) yang digunaakan

4. Memvisualisasikan persamaan Schrodinger dengan menggunakan fungsi Plot

OUTPUT

a. Hasil ditampilkan dengan menekan tombol Shift + Enter.

b. Menampilkan hasil visualisasi Persamaan Schrodinger tidak bergantung

waktu

c. Menganimasikan visualisasi Schrodinger tidak bergantung waktu dengan

(34)

3.5 Diagram Alir Penelitian

Persamaan Schrödinger pada partikel bebas, dan partikel dalam kotak tidak bergantung waktu

(35)

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Analisis Persamaan Schrodinger

Persamaan schrodinger secara umum dapat kita lihat pada persamaan 2.11

)

Pada pembahasan yang kita lakukan kita membahas persamaan schrodinger bebas

waktu dengan menganggap V=0 maka

)

Atau dapat ditulis

2

Dengan demikian diperoleh:

(36)

Dengan memisalkan

) (x

ψ

= (4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

, (4.13)

) (x

ψ

C e (4.14)

Dengan

e-ikx = cos kx – i sin kx (4.15)

eikx = cos kx + i sin kx (4.16)

sehingga

) (x

ψ

C cos kx i sin kx cos kx – i sin kx (4.17)

Sehingga dari persamaan diatas didapatkan

) (x

ψ

C sin kx cos (4.18)

Bila koefisien C1 dan C2 diganti dengan A dan B maka

) (x

(37)

dan x < L haruslah bernilai sama di x = L. Jika x = 0, Untuk x < 0 Jadi harus

Karena telah didapatkan bahwa B = 0,maka haruslah berlaku:

AsinkL = 0 (4.23)

Disini ada dua pemecahan yaitu A = 0, yang memberikan (x) = 0 dan

2

(x) = 0, yang berarti bahwa dalam sumur tidak terdapat partikel (Pemecahan tidak

masuk akal) atau sin kL = 0, maka yang benar jika:

kL = nπ

kL = π,2π,3π,…… n=1,2,3 …. (4.24)

Sehingga

(4.25)

Sedangkan nilai energy

m

Maka energy pada tingkat energisitas adalah

(4.26)

Maka

(4.27)

Maka fungsi gelombang menjadi

(38)

(4.28)

Untuk mendapatkan nilai A maka Untuk menentukannya, ditinjau kembali

persyaratan normalisasi, yaitu

∫

( )2 =1

+∞

L sehingga berlaku:

| | | | (4.29)

| | (4.30)

Maka diperoleh A = 2/L. Dengan demikian, Pemecahan lengkap bagi fungsi

gelombang untuk 0 ≤ x ≤ L adalah:

Inilah fungsi gelombang adalah solusi persamaan Schrodinger bebas waktu

dalam sumur potensial yang akan kita visualisasikan.

4.2 Hasil Visualisasi Program

Hasil dari penelitian ini berupa penyelesaian komputasi persamaan

Schrödinger yaitu pada partikel bebas, dan partikel dalam Sumur potensial

menggunakan program matehmatica 7. Kemudian akan dihasilkan visualisasi

persamaan gelombang yang terjadi pada setiap potensial

4.2.1 Visualisasi PersamaanSchrödinger pada partikel bebas

Persamaan Schrödinger pada partikel bebas memiliki syarat bahwa

(39)

Gambar.4.1.Visualisasi fungsi gelombang Partikel bebas

Pada Gambar 4.1. Visualisasi Gelombang Partikel Bebas pada bentangan bidang –L/2

sampai dengan L/2, dengan L = 1.5 Jelas terlihat bahwa visualisasi Partikel bebas

merupakan sebuah paket gelombang yang dapat dipandang sebagai superposisi

sejumlah besar gelombang, yang berinterferensi secara maksimum di sekitar partikel

dengan Probabilitas tertinggi ditemukannya partikel berada pada posisi x= 0.

4.2.2 Visualisasi Persamaan Schrödinger pada partikel dalam Sumur Potensial Tak hingga

Berdasarkan persamaan (2.12) visualisasi persamaan Schrödinger pada partikel dalam

kotak atau disebut juga partikel dalam sumur tak berhingga dapat dilihat pada gambar

(2.1) Persamaan Schrödinger pada partikel dalam kotak untuk potensial yang konstan

atau dapat dikatakan nol V(x) = 0, identik dengan persamaan Schrödinger pada

partikel bebas. Sehingga memiliki pemecahan yang sama. Berikut hasil running dan

(40)

a. Orde gelombang n = 1,. Visualisasi gelombangnya sebagai berikut:

Gambar.4.2. Visualisasi fungsi gelombang partikel dalam sebuah sumur potensial

dengan n = 1.

Persamaan Schrödinger pada partikel dalam sebuah kotak dalam selang 0 ≤ x ≤ L, dengan L = 1 bila V(x) = 0 dapat diterapkan syarat bahwa (x) harus kontinu pada setiap batas dua bagian ruang. Dalam hal ini disyaratkan bahwa pemechan untuk

x<0 dan x>0 bernilai sama di x= 0, begitu juga pemecahan untuk x>0 dan x<L

haruslah bernilai sama di x =L

(41)

Untuk keadaan energi terendah, yaitu pada n = 1 probabilitas terbesarnya

pada x = L/2 artinya partikel berada di dalam sumur potensial berangsur-angsur

berkurang begitu bergerak menjauhi pusatnya dan akhirnya menuju nol.

b. Orde gelombang n = 2,. Visualisasi gelombangnya sebagai berikut:

dengan n = 2.

Gambar.4.3. Visualisasi fungsi gelombang partikel dalam kotak n = 2,

maksimum probabilitasnya terjadi pada x = L/4 dan x = 3/4 L, sedangkan probabilitas

nol terjadi pada x = L/2 . Dengan demikian partikelnya haruslah bergerak sedemikian

rupa sehingga sewaktu-waktu dapat ditemukan di x = L/4 dan x = 3/4 L tanpa

pernah ditemukan di x = L/2. Hal itu mengilustrasikan perbedaan antara fisika klasik

dengan fisika kuantum (seperti dijelaskan diatas). Tidak mungkin partikel dapat

mencapai 3/4 L dari L/4 tanpa melewati L/2 , hal ini disebabkan karena

kecenderungan berfikir dalam pandangan partikel sedangkan fisika kuantum berfikir

(42)

c. Orde gelombang n = 3, Visualisasi gelombangnya sebagai berikut :

dengan n = 3.

Gambar.4.4. Visualisasi fungsi gelombang partikel dalam kotak n=3,

maksimum probabilitas dalam selang 0 ≤ x ≤ L, terjadi pada x = L/6, x =L/2, dan x =

(43)

d. Orde gelombang n =4, Visualisasi gelombangnya sebagai berikut:

dengan n = 4.

Gambar.4.5. Visualisasi fungsi gelombang partikel bebas untuk orde

gelombang n = 4, maksimum probabilitas dalam selang 0 ≤ x ≤ L dengan L=1 terjadi

pada x = L/8, x = 3/8 L, x = 5/8L, dan x = 7/8 LL. Sedangkan probabilitas nol

terjadi pada x= L/4, x = L/2, dan x = 2/3 L. Pemecahan persamaan Schrödinger bagi

sebuah partikel yang terperangkap dalam suatu daerah linier sepanjang L tidak lain

adalah sederetan gelombang berdiri deBroglie karena arah merambat gelombang

(44)

e. Orde gelombang n =5, Visualisasi gelombangnya sebagai berikut:

dengan n =5.

pada x = 1/10 L, x = 3/10 L, x = L/2, x = 7/10 L dan x = 9/10 L. Sedangkan

(45)

f. Orde gelombang n =10, Visualisasi gelombangnya sebagai berikut:

dengan n = 10.

pada x = 1/20 L, x = 3/20 L,x=L/4, x=7/20L, x=9/20L, x=11/20L, x=13/20L,

x=15/20L, x=17/20L, dan x =19L/20L. Sedangkan probabilitas nol terjadi pada x

= L/10, x = L/5, x = 6/20 L,x=8/20L,x=L/2,x=12/20L,x=14/20L,x=16/20 dan x

=18/20 L. Pemecahan persamaan Schrödinger bagi sebuah partikel yang terperangkap

dalam suatu daerah linier sepanjang L tidak lain adalah sederetan gelombang

deBroglie karena arah merambat gelombang partikel dalam sumur sama dengan

(46)

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan

Dari hasil penelitian, dapat diambil kesimpulan:

1. Pemecahan persamaan Schrödinger bagi sebuah partikel yang terperangkap dalam

suatu daerah linier sepanjang L menggunakan mathematica 7 dimana fungsi

gelombang dan potensial konstan(V=0) akan membentuk sederetan gelombang

berdiri deBroglie karena arah merambat gelombang partikel dalam sumur sama

dengan arah kecepatan partikel yaitu menuju positif

2. Nilai Energi dan probabilitas ditemukannya elektron atau partikel dalam suatu

daerah ditentukan oleh bilangan kuantum n.Nilai energi sesuai dengan nilai

bilangan kuantum jika n = 1 maka disebut tingkat energi pertama,maka tingkat

energi kedua pada n=2 dan seterusnya.sedangkan nilai n juga menentukan

probabilitas maksimum ditemukan elektron ditentukan oleh jumlah n dimana

semakin besar jumlah n maka probabilitas maksimum didapatkannya elektron

akan semakin besar.

5.2 Saran

Adapun beberapa saran yang ingin disampaikan penulis untuk mengembangkan

penelitian ini pada kesempatan penelitian berikutnya adalah:

1. Untuk mencari solusi persamaan Schrodinger dapat diterapkan pada metode lain

2. Dilakukan penyempurnaan pada program visualisasi untuk melihat pengaruh

(47)

DAFTAR PUSTAKA

Dayana,Indri,2004,Visualisasi Persamaan Schrodinger Satu Dimensi Untuk Analisa

Azas Korespondensi, Skripsi FMIPA, Unimed, Medan

Eisberg, R.dan Resnick, R, 1970, Quantum Physics, John Wiley & Sons,New York,

California

http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_Schrodinger, diakses tanggal 01 maret 2011

http://www.unhas.ac.id/~mkufisika/quantum/node22.html, diakses tanggal 01 maret

2011

http://www.wolfram.com, diakses tanggal 1 Juni 2010. diakses tanggal 03 maret

2011

Krene, K.,1992, Fisika Modern (Medern Physhics), Terjemahan, Jakarta, Penerbit UI

– Press

Singh,Kamal,2006, Element Of Quantum Mechanics, S.Chand & Company LTD,

Ram Nagar, New Delhi

Stolze,Joachim dan Dieter, 2007, Quantum Computing, University Of Dartmond,

Institute Of Physics,Weinheim,Germany

Triatmodjo,Bambang,2002,Metode Numerik, Yokyakarta, Penerbit Universitas Gajah

Mada

Zettili,Neuredine, 2009, Quantum Mechanics concepts and Applications, John Wiley

(48)

(49)