PENGARUH PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDE 3.

(1)

PENGARUH PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDO-3

Oleh :

Tornados P. Silaban NIM. 4103230037 Program Studi Matematika

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

(2)

(3)

iii

Pengaruh Perubahan Nilai Parameter Terhadap Nilai Error pada Metode Runge-Kutta Orde 3

Tornados P. Silaban (NIM 4103230037)

ABSTRAK

Metode Runge-Kutta merupakan suatu metode numerik yang digunakan untuk mencari solusi dari suatu persamaan. Metode ini berusaha mendapatkan derajat ketelitian yang lebih tinggi, dan sekaligus menghindarkan keperluan mencari turunan yang lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi pada titik terpilih dalam setiap selang langkah. Dalam tulisan ini dibahas tentang pengaruh perubahan nilai parameter (h) terhadap nilai error pada metode Runge-Kutta Ordo-3. Persamaan yang akan dibahas yaitu persamaan diferensial biasa linier tingkat dua yang telah di ubah kedalam sistem persamaan linier. Dalam proses penelitian tidak ditemukan nilai parameter yang tetap untuk mendapatkan nilai error yang paling minimum, karena setiap parameter memiliki nilai error yang bervariasi pada masing-masing persamaan.

(4)

iv

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa

yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Adapun skripsi ini berjudul “Pengaruh

Perubahan Nilai Parameter Terhadap Nilai Error Pada Metode Runge-Kutta

Ordo-3”. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar

Sarjana Sains di Universitas Negeri Medan.

Dalam kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada

berbagai pihak yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini, mulai dari

pengajuan proposal penelitian, sampai kepada penyusunan skripsi antara lain

kepada Bapak Prof. Dr. Syawal Gultom, M.Pd., selaku Rektor Universitas Negeri

Medan, Bapak Dr. Asrin Lubis, M.Pd.,selaku Dekan Fakultas Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam , Bapak Dr.Edy Surya,M.Si., selaku ketua Jurusan

Matematika, Bapak Drs. Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan

Matematika, Bapak Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si., selaku Ketua Program Studi

Matematika, Ibu Dr. Faiz Ahyaningsih, M.Si selaku Pembimbing Skripsi yang

telah banyak membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini dan Dr.

Mulyono, M.Si sebagai pembimbing akademik yang telah banyak membantu

penulis dalam perkuliahan. Bapak Dr. Pardomuan Sitompul, M. Si, Ibu Susiana,

S.Si,M. Si dan Bapak Drs. Zul Amry, M.Pd. Ph.D selaku dosen penguji yang

telah banyak memberikan masukan dan saran dalam penyusunan skripsi ini. Saya

ucapkan terima kasih kepada Kepala UPT Perpustakaan Universitas Negeri

Medan yang telah memberikan izin untuk mengadakan penelitian, serta seluruh

staf pengajar Jurusan Matematika FMIPA yang telah memberikan bimbingan

kepada penulis semenjak mengikuti perkuliahan.

Teristimewa dan terkhusus penulis mengucapkan terima kasih dan

hormat kepada Orang tua penulis Ayah Charles Silaban dan Ibu tercinta Alm.

Asnauli Hutasoit dan juga kepada Bapa Uda Sanggam Silaban, untuk semua kasih

sayang, doa, motivasi dan jerih payah sehingga penulis dapat menyelesaikan studi.

(5)

v

Purba, Tumpak Parasian Silaban dan Kakak Ipar boru Turnip, dan juga Kakak

saya Desnita Triwani Silaban dan Keluarga, Derisma Titisandora Silaban, dan

Derlina Jerawati Silaban yang memberikan dukungan doa dan motivasi kepada

penulis. Kepada sahabat terkasih Mariana Simanjuntak, S.Si, Reniwati Sinaga,

dan juga Rubilissen Nababan yang tidak bosan-bosannya menasehati, membantu

dan mendukung serta member motivasi kepada penulis, terima kasih penulis

sampaikan juga kepada teman seperjuangan Ebenezer Htasoit, S.Si., Criston

Nababan, S.Farm, Daniel Silaban, S.E, Johan Wijaya Simangunsong, S.Si,

Herman Simangunsong, S.Pd, Roy Andi Simatupang, dan Bornok Minong

Siburian dan teman-teman lainnya yang memberikan bantuan dan motivasi, serta

selalu membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Terima kasih kepada

semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang selama ini

memberikan dukungan, semangat, dan doa serta semua pihak yang turut

membantu penyelesaian skripsi ini.

Semoga skripsi ini bermanfaat dan menambah wawasan bagi kita

semua. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih.

Medan, April 2016

Penulis,

Tornados P Silaban

(6)

vii

DAFTAR ISI

Halaman

Lembar Pengesahan i

Riwayat Hidup ii

Abstrak iii

Kata Pengantar iv

Daftar Isi vi

Daftar Tabel viii

Daftar Gambar ix

Lampiran xi

BAB I. PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah 1

1.2 Perumusan Masalah 4

1.3 Pembatasan Masalah 4

1.4 Tujuan Penelitian 5

1.5 Manfaat Penelitian 5

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 6

2.1 Persamaan Diferensial 6

2.2 Persamaan Diferensial Biasa Linear 8

2.2.1 Persamaan Diferensial Biasa Tingkat Satu 9

2.2.2 Persamaan Diferensial Linear Tingkat Dua 12

2.2.2.1 Persamaan Diferensial Linear Tingkat Dua Homogen 12

2.2.2.1a Persamaan Diferensial Linear Homogen Dengan

Koefisien Konstan 13

2.2.2.1b Persamaan Diferensial Linear Homogen Dengan

(7)

vii

2.2.2.2 Persamaan Diferensial Linear Tingkat Dua Tidak Homogen

Dengan Koefisien Konstan 16

2.2.3 Persamaan Diferensial Linear Tingkat Tinggi 17

2.3 Masalah Nilai Awal (Initial Value Problem) 17

2.4 Kesalahan (Error) 17

2.4.1 Pembagian Kesalahan 19

2.5 Metode Euler 21

2.6 Metode Runge Kutta 22

2.6.1 Metode Runge Kutta Ordo-2 24

2.6.2 Metode Runge Kutta Ordo-3 27

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN 29

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian 29

3.2 Jenis Penelitian 29

3.3 Prosedur Penelitian 29

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 32

4.1Penyelesaian Analitik Persamaan Diferensial Linier Tingkat Dua 32

4.1.1 Persamaan Dengan Koefisien Konstan 32

4.1.1.1 Adalah Polinomial Berderajat n ( ) 32

4.1.1.2 Jika 35

4.1.1.3 Jika 42

4.1.1.4 Jika 43

4.2 Perbandingan Nilai Error Menggunakan Nilai Parameter yang Berbeda 46

4.3 Analisis Error 66

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN 77

5.1 Kesimpulan 77

(8)

vii

DAFTAR PUSTAKA 79

(9)

ix

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 Nilai untuk 28 Tabel 4.1a Nilai Error Persamaan Kasus 1

Pada Parameter 48

Tabel 4.1b Nilai Error Persamaan Kasus 1

Pada Parameter 49

Tabel 4.2a Nilai Error Persamaan Kasus 2

Pada Parameter 52

Pada Parameter 53

Pada Parameter 56

Pada Parameter 57

Pada Parameter 60

Pada Parameter 61

Pada Parameter 63

(10)

x

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 4.1 Grafik Solusi Analitik dan Solusi Numerik Kasus 1

dengan nilai parameter yang berbeda 47

Gambar 4.2 Grafik nilai error kasus 1 untuk setiap nilai parameter 50

Gambar 4.4 Grafik nilai error kasus 2 untuk setiap nilai parameter 54

dengan nilai parameter yang berbeda 59

dengan nilai parameter yang berbeda 63

Gambar 4.11 Grafik Eror Berdasarkan Nilai Parameter Pada Kasus 1 69

Gambar 4.11a Eror Berdasarkan Nilai Parameter

(11)

xi

Gambar 4.11b Grafik Eror Berdasarkan Nilai Parameter

Pada Kasus 2 (ukuran langkah = 0.01) 70

Gambar 4.11c Grafik Eror Berdasarkan Nilai Parameter

Gambar 4.11d Grafik Eror Berdasarkan Nilai Parameter

Gambar 4.12 Grafik Eror Berdasarkan Nilai Parameter Pada Kasus 3 73

Gambar 4.13 Grafik Error Berdasarkan Nilai Parameter Pada Kasus 4 74

Gambar 4.14a Grafik Eror Berdasarkan Nilai Parameter

Gambar 4.14b Grafik Eror Berdasarkan Nilai Parameter

(12)

xii

LAMPIRAN

Lampiran 1 Surat Persetujuan Dosen Pembinbing Skripsi

Lampiran 2 Permohonan Surat Izin Penelitian

Lampiran 3 Surat Izin Penelitian

Lampiran 4 Dokumentasi Penelitian

(13)

1 BAB I

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan diantara derivatif-derivatif

yang dispesifikasikan pada suatu fungsi yang tidak diketahui nilainya dan

diketahui jumlah serta fungsinya (Birkhoff, 1978). Persamaan diferensial biasa

(PDB) adalah suatu persamaan diferensial yang terdiri dari satu variable bebas

saja (Setiawan,2006).

Persamaan diferensial berperan penting dalam kehidupan, sebab banyak

permasalahan pada dunia nyata dapat dimodelkan dengan bentuk persamaan

diferensial. Ada dua jenis persamaan diferensial yang kita kenal, yaitu persamaan

diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Yang akan dibahas dalam

tulisan ini adalah persamaan diferensial biasa. Solusi dari persamaan diferensial

adalah fungsi spesifik yang memenuhi persamaan. Persamaan dibawah ini

merupakan contoh dari persamaan diferensial biasa yang memiliki solusi. Pada

persamaan dibawah ini, x merupkan variabel bebas dan y merupakan variabel

terikat. y merupakan nama unknown function dari variabel x

.

Contoh:

1.

Solusi:

2. ( ) ( )

Solusi:

(14)

2

Tidak semua permasalahan yang dimodelkan ke bentuk persamaan

diferensial biasa dapat diselesaikan dengan mudah, bahkan terdapat suatu

persamaan diferensial yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Oleh kerena

itu, metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana

perhitungan secara analitik tidak dapat digunakan. Metode numerik ini berangkat

dari pemikiran bahwa permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan

pendekatan-pendekatan yang dapat dipertanggungjawabkan secara analitik.

Dengan menggunakan metode pendekatan, tentu setiap nilai hasil

perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan). Dalam analisa metode

numerik, kesalahan ini menjadi penting. Karena kesalahan dalam pemakaian

algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar, tentunya ini

tidak diharapkan. Sehingga pendekatan metode analitik selalu membahas tingkat

kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi.

Penyelesaian suatu model matematika secara numerik memberikan hasil

aproksimasi atau pendekatan yang berbeda dengan penyelesaian secara analitis.

Adanya perbedaan inilah yang sering disebut sebagai error (kesalahan). Hubungan

antara nilai eksak, nilai perkiraan dan error dapat dirumuskan sebagai berikut:

Nilai eksak = aproksimasi + error

Dengan menyusun kembali persamaan di atas, diperoleh definisi dari

kesalahan absolut (absolute error), yaitu:

Kesalahan absolut = nilai eksak – aproksimasi

Metode Runge-Kutta memperoleh akurasi dari pendekatan deret Taylor

tanpa memerlukan perhitungan derivatif yang lebih tinggi. Metode Runge-Kutta

dikembangkan oleh dua ahli matematika Jerman. Mereka adalah Runge dan Kutta.

Metode ini juga dibedakan dengan ordo-ordonya.

Banyak variasi dari metode Runge-Kutta, namun secara umum bentuknya

(15)

3

∑

Dengan adalah konstanta dan adalah :

∑

Dimana diperoleh

( )

dan merupakan parameter-parameter yang terdapat pada metode Runge-Kutta. Nilai parameter dipilih sedemikian rupa sehingga meminimumkan

error per langkah, dan persamaan metode Runge-Kutta akan sama dengan metode

deret Taylor dari ordo setinggi mungkin. Perhatikan bahwa adalah hubungan

yangselalu berulang, hadir dalam persamaan untuk , hadir dalam

persamaan ,danseterusnya..

Pada metode numerik ordo-2 terdapat empat parameter yang memiliki

keterkaitan dimana dalam hal ini membuat metode Runge-Kutta tidak memiliki

solusi yang unik. Solusi metode Runge-Kutta bergantung pada pemilihan nilai

parameter yang diberikan. Pemilihan nilai parameter juga mempengaruhi

besar-kecilnya nilai error. Oleh karena itu penulis mengambil judul “PENGARUH

PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA

(16)

4

perhitungan suatu data yang akurat, nilai error yang harus diperoleh harus

seminimum mungkin. Sedangkan untuk mendapatkan error minimum nilai

parameter yang kita pergunakan harus sesuai dengan data yang kita peroleh.Untuk

itulah penelitian ini sangat perlu untuk dilakukan.

1.2Perumusan Masalah

Dari latar belakang ada beberapa masalah yaitu :

1. Bagaimana solusi persamaan diferensial biasa secara analitik dan numerik

yaitu menggunakan metode Runge-Kutta Ordo-3.

2. Bagaimana nilai kesalahan metode Runge-Kutta Ordo-3 terhadap

perubahan nilai parameter yang diberikan.

3. Bagaimana pengaruh perubahan nilai salah satu parameter secara

increament terhadap nilai kesalahan yang diperoleh.

1.3Pembatasan Masalah

Adapun batasan-batasan masalah dalam melakukan penelitian ini antara

lain:

1. Metode Runge Kutta yang digunakan adalah Metode Runge-Kutta Ordo-3

2. Persamaan diferensial yang diselesaikan pada tulisan ini adalah persamaan

diferensial biasa yaitu persamaan diferensial linier tingkat dua yang

memiliki solusi eksak.

3. Persamaan diferensial yang digunakan adalah Persamaan diferensial linier

tingkat dua dengan melakukan pendekatan terhadap metode Runge-Kutta

Ordo-3

4. Menggunakan alat bantu matlab

5. Perubahan salah satu parameter yang digunakan adalah perubahan secara

meningkat (increament) dengan selang iterasi sebesar 0.0001.

6. Karena nilai parameter adalah bilangan rill maka yang memenuhi

(17)

5

tersebut. Oleh karena itu , penulis membatasi nilai parameter pada

interval

1.4Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menetukan nilai parameter

yang menghasilkan nilai error terkecil pada penyelesaian persamaan diferensial

linier tingkat dua menggunakan metode Runge-Kutta Ordo-3

1.5 Manfaat Penelitian

Selain menambah literatur dalam bidang komputasi, tulisan ini juga dapat

menambah wawasan bagi masyarakat terutama mahasiswa tentang penyelesaian

persamaan diferensial biasa menggunakan metode Runge-Kutta khususnya

metode Runge-Kutta Ordo-3 dan penggunaan parameter yang paling efisien pada

(18)

77 BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari penelitian yang telah dilakukan ini dapat diambil beberapa kesimpulan

mengenai penyelesaian persamaan diferensial menggunakan metode Runge-Kutta

Ordo-3.

1. Penyelesaian persamaan diferensial linier tingkat dua menggunakan metode

Runge-Kutta yaitu dengan menjadikan persamaan diferensial linier tingkat

dua menjadi suatu sistem persamaan diferensial. Dimana didalam sistem

tersebut terdapat dua buah persamaan yang memiliki saling keterkaitan, yaitu

persamaan diferensial linier tingkat dua yang dirubah menjadi dua persamaan

diferensial tingkat satu.

2. Pada pembahasan skripsi ini, tidak diperoleh nilai parameter yang tetap untuk

mendapatkan nilai error yang paling minimum pada setiap penyelesaian

persamaan diferensial linier tingkat dua secara umum. Setiap parameter

memiliki nilai error yang bervariasi pada masing-masing persamaan.

3. Pada penyelesaian persamaan diferensial linier tingkat dua menggunakan

metode Runge-Kutta diperoleh solusi yang beragam dan nilai error yang

berbeda-beda pada satu kasus yang sama. Hal ini dikarenakan metode

Runge-Kutta tidak memiliki solusi yang tunggal, terkecuali Metode Runge-Runge-Kutta

ordo satu. Besar kecilnya nilai error pada metode Runge-Kutta dipengaruhi

oleh pemilihan nilai parameter dan ukuran langkah yang diberikan. Semakin

kecil ukuran langkah yang diberikan maka semakin kecil nilai error yang

dihasilkan. Selain itu, penentuan nilai awal dan juga mempengaruhi

(19)

78

5.2 Saran

Skripsi ini merupakan penelitian dengan kajian literatur tentang pengaruh nilai

parameter terhadap nilai error pada metode Runge-Kutta Ordo-3. Nilai parameter

yang diambil adalah dimana nilai parameter mengalami perubahan

secara increament dengan bertahap dimulai dari pertambahan nilai 0.1 untuk iterasi

pertama untuk iterasi ketiga samapai iterasi yang keempat yaitu .

Persamaan yang akan dicari solusinya adalah persamaan diferensial linier tingkat dua.

Oleh karena, itu penulis mengharapkan agar ada penelitian lain tentang tentang

pengaruh nilai parameter terhadap nilai error pada metode Runge-Kutta Ordo-3

dimana nilai parameter mengalami perubahan secara increament dengan interval

nilai parameter lebih luas lagi agar diperoleh solusi yang lebih bervariasi lagi.

Penulis juga mengharapkan metode Runge-Kutta ordo-3 ini diterapkan pada

(20)

79

DAFTAR PUSTAKA

Birkhoff, G., and Rota, G.C. 1978. Ordinary Differential Equations, 3rd Edition. USA: John Wiley & Sons, Inc.

Finizio, N., and Ladas, G. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. Edisi Kedua. Terjemahan Santoso, Widiarti. Jakarta : Erlangga.

Gerald, CF., and Wheatley, P., 2004. Applied Numerikal Analysis. 7th Edition. USA: Pearson Education, Inc.

Marwan, dan Munzir, S. 2009. Persamaan Diferensial. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Munir, R. 2010. Metode Numerik. Bandung: Penerbit Informatika.

Nugroho, D.B. 2011. Persamaan Diferensial Biasa dan Aplikasinya. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Ralston, A. 1978. Runge-Kutta Methods with Minimum Error Bounds. New Jersey: Stevens Institute of Technology.

Rao, K.S. 2001. Numerikal Methods for Scientists and Engineers. New Delhi, India: Jay Print Pack Private Limited. .

Shepley, L.R. 1984. Differential Equations. 2nd Edition. USA: John Wiley & Sons, Inc.

Stewart, J. 2011. Calculus. 5th Edition. Jakarta: Salemba Teknika.