University of Portsmouth
PORTSMOUTH
Hants
UNITED KINGDOM
PO1 2UP
This Article
Mulhern, Colm, Hennig, Dirk, Burbanks, Andrew and
Osbaldestin, Andrew (2011) Current reversals and current
suppression in an open two-degree-of-freedom system.
Physical Review E, 83 (6). 066207. ISSN 1539-3755
10.1103/PhysRevE.83.066207
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p = 0.262✱ ✐♥❞✐❝❛t✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s ❧❡❛✈❡ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ r❡❣✐♦♥ ✐♥ ❛
♣r❡❢❡rr❡❞ ❞✐r❡❝t✐♦♥✳ ■♥ ❝♦♥tr❛st✱ ❢♦r t❤❡ s❡❝♦♥❞ D ✈❛❧✉❡ t❤❡ t✐♠❡ ❢♦r ❡❛❝❤
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◆♦✇✱ ✐❢ ✇❡ ✇❡r❡ t♦ t❛❦❡ t❤❡ ✜♥❛❧D✈❛❧✉❡✱ ✇❡ ♠✐❣❤t ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t✱ ❜❡❝❛✉s❡
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✻ ▼❛♥✐❢♦❧❞s ❛♥❞ ❙❛❞❞❧❡ P♦✐♥ts
❆ ♠♦r❡ ❣❧♦❜❛❧ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ✐♥ ♣❤❛s❡ s♣❛❝❡ ❤❛s ❜❡❡♥ ♦❜✲ t❛✐♥❡❞ ❜② ❡①❛♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐❛ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛♥❞ tr❛❝✐♥❣ t❤❡ ♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ ✉♥st❛❜❧❡ ♣❡r✐♦❞✐❝ ♦r❜✐ts✳ ❚❤❡ ✐♥tr✐❝❛t❡ ♥❡t✇♦r❦ ♦❢ ✐♥t❡rs❡❝t✐♥❣ ✐♥✈❛r✐✲ ❛♥t ♠❛♥✐❢♦❧❞s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♥✉♠❡r♦✉s ✉♥st❛❜❧❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐❛ ♦❢ t❤❡ t✇♦✲ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❧❛♥❞s❝❛♣❡✱Ueff✱ ❝♦♥tr✐❜✉t❡s t♦ r❛t❤❡r ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❞②✲
♥❛♠✐❝s✳ ❇② ✇❛② ♦❢ ❡①❛♠♣❧❡✱ ❢♦r ❛♥ ✐❧❧✉str❛t✐♦♥✱ t❤❡ ✉♥st❛❜❧❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♠❛♥✲ ✐❢♦❧❞s ♦❢ ❛ s❛❞❞❧❡✲t②♣❡ ♣❡r✐♦❞✐❝ ♦r❜✐t ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ s❛❞❞❧❡✲❝❡♥tr❡ ♣♦✐♥t ❧♦❝❛t❡❞ ❛t q1 = −12.5✱ q2 = 0 ❛r❡ ❞✐s♣❧❛②❡❞ ❢♦r t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t D ✈❛❧✉❡s
t♦ ❤✐❣❤❧✐❣❤t✴r❡✐♥❢♦r❝❡ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ❜❡❤❛✈✐♦✉r ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥s✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✇❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ❛ ♣♦✐♥t ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ r❡❧❡✈❛♥t st❛✲ ❜❧❡✴✉♥st❛❜❧❡ ♠❛♥✐❢♦❧❞ ❜r❛♥❝❤❡s ♦❢ t❤❡ s❛❞❞❧❡✲t②♣❡ ♣❡r✐♦❞✐❝ ♦r❜✐t✳ ❚❤❡s❡ ❛r❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❜② ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧② ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ❢r♦♠ ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧❧② ❡q✉✐❞✐str✐❜✉t❡❞ ♣♦✐♥t s❡t✳ ❚♦ ❡♥s✉r❡ ❛❝❝✉r❛❝② ✐s ♠❛✐♥t❛✐♥❡❞✱ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❡♥❡r❣② ✐s ♠♦♥✐t♦r❡❞ ♦✈❡r t❤❡ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ t✐♠❡ ❢r❛♠❡✳ ❖✉r ❛✐♠ ❤❡r❡ ✐s t♦ s❤♦✇✱ ❢♦r t❤❡s❡ D ✈❛❧✲
✉❡s✱ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ✈❛r✐♦✉s ❝❤❛♥♥❡❧s t❤❛t ❛ ♣❛rt✐❝❧❡ ❝❛♥ t❛❦❡ t❤❛t ✇✐❧❧ r❡s✉❧t ✐♥ ❝✉rr❡♥t r❡✈❡rs❛❧s ❛♥❞ ❝✉rr❡♥t s✉♣♣r❡ss✐♦♥✳
❚❤❡ ❧❡❢t ♣❛♥❡❧ ✐♥ ❋✐❣✳ ✽ s❤♦✇s t❤❡ s❝❛tt❡r✐♥❣ ♥❛t✉r❡ ♦❢ t❤✐s s②st❡♠✳ ❲❡ s❡❡ t❤❛t✱ ✇✐t❤ D = 0.5617✱ ❝❤❛♥♥❡❧s ❛❧♦♥❣ t❤❡ ✉♥st❛❜❧❡ ♠❛♥✐❢♦❧❞ ❡①✐st ❢♦r
❜♦t❤ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✱q1 ❛♥❞q2✱ ✐♥ t❤❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ❛♥❞ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥s ✭✐♥s❡t ✐♥
❧❡❢t ♣❛♥❡❧✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t t❤❡ ❢❛✈♦✉r❡❞ ❝❤❛♥♥❡❧ t❛❦❡s t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s ✐♥ t❤❡ ♣♦s✐t✐✈❡ q1 ❞✐r❡❝t✐♦♥ ✇❤❡r❡✱ s✉❜s❡q✉❡♥t t♦ t❤❡ ♣❡r✐♦❞ ♦❢ tr❛♥s✐❡♥t
❝❤❛♦s✱ ✐t ❜❡❝♦♠❡s ❛s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧② ❢r❡❡ ❜② s❡tt❧✐♥❣ ♦♥ r❡❣✉❧❛r ♠♦t✐♦♥✳ ❚❤✐s ✐s ✐♥ ❞✐r❡❝t ❛❣r❡❡♠❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ✈❛❧✉❡ ♣r♦❞✉❝❡❞ ✉s✐♥❣ t❤✐sD ✈❛❧✉❡✳
❚❤❡ r✐❣❤t ♣❛♥❡❧ ✐♥ ❋✐❣✳✽ ✐❧❧✉str❛t❡s ♣❛rt✐❛❧❧② ❤♦✇ ❛ ✈❛♥✐s❤✐♥❣❧② s♠❛❧❧ ❝✉rr❡♥t ❤❛s ❡♠❡r❣❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ s②st❡♠ ✇❤❡♥D= 0.58169✳ ❚❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s s❤♦✇s t❤❛t✱
♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ tr❛❥❡❝t♦r② ❢♦❧❧♦✇s t❤❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♦t✐❝ s❛❞❞❧❡✱ ♣❛rt✐❝❧❡A✭r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②B✮ ✐s ❧♦❝❦❡❞ ✐♥ ♣❛t❤s ♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② t❤❡
✉♥st❛❜❧❡ ♠❛♥✐❢♦❧❞ t❤❛t ✇✐❧❧ s❡❡ ✐t ✉♥❞❡r❣♦ ♠❛♥② ❝r♦ss✐♥❣s ♦❢ t❤❡ ❧✐♥❡q1= 0
✭r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② q2 = 0✮✱ ❛♥❞ t❤✉s ♠❛♥② ❝❤❛♥❣❡s ♦❢ ❞✐r❡❝t✐♦♥✳ ❙✉❜s❡q✉❡♥t❧②✱
t❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ♥❡t ❝✉rr❡♥t ❜② ♣❛rt✐❝❧❡ A ❛♥❞ ♣❛rt✐❝❧❡B✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡
♣❛rt✐❝❧❡s ❛r❡ ❧♦❝❦❡❞ ✐♥ s✉❝❤ ❛ ♣❛t❤✱ ✇✐❧❧ ♦♥ ❛✈❡r❛❣❡ ❜❡ ③❡r♦✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❛s t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s s❤♦✇✱ t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s ❝❛♥ ✇❛♥❞❡r ✐♥ ♠✉❝❤ ✇✐❞❡r r❡❣✐♦♥s ♦❢ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ s♣❛❝❡ ❛s t❤❡ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ tr❛❥❡❝t♦r② ✐s ❝❛♣t✉r❡❞ ✐♥ t❤❡ ✐♥tr✐❝❛t❡ ♥❡t✇♦r❦ ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♦t✐❝ ✐♥✈❛r✐❛♥t s❡ts ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦❢ ❤♦♠♦❝❧✐♥✐❝ ❛♥❞ ❤❡t❡r♦❝❧✐♥✐❝ t❛♥❣❧❡s✳ ◆♦♥❡t❤❡❧❡ss✱ ❞✉❡ t♦ t❤❡ s②♠♠❡tr✐❝ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♦t✐❝ ✐♥✈❛r✐❛♥t s❡t ♥♦ ♣r❡❢❡rr❡❞ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s ❡①✐st✳
❆s ❋✐❣✳ ✺ ❤❛s s❤♦✇♥✱ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛r❡ s❡♥s✐t✐✈❡❧② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦♥ t❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣✳ ❋♦r ❛ ❧♦✇ D ✈❛❧✉❡✱ ♣❛rt✐❝❧❡ A ❝❛♥ ♣❛ss
t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ r❡❣✐♦♥ ✉♥s❝❛t❤❡❞✳ ❲✐t❤ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ D✱ ♣❛rt✐❝❧❡ A
❝❛♥ ♥♦ ❧♦♥❣❡r ✜♥❞ ❛ ❞✐r❡❝t r♦✉t❡ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ r❡❣✐♦♥✳ ■♥st❡❛❞✱ ✐t ❡♥t❡rs ✐♥t♦ ❛♥ ❡♥❡r❣② ❡①❝❤❛♥❣❡ ✇✐t❤ ♣❛rt✐❝❧❡ B ✇✐t❤ ❜♦t❤ ♣❛rt✐❝❧❡s tr②✐♥❣
❋✐❣✉r❡ ✽✿ ✭❈♦❧♦✉r ♦♥❧✐♥❡✮ ▼❛♥✐❢♦❧❞s ❢♦r D= 0.5617 ❛♥❞ D= 0.58169✳ ❚❤❡
✐♥s❡t s❤♦✇s t❤❡ ♠❛♥✐❢♦❧❞ ❡①t❡♥❞❡❞ ✐♥ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ s♣❛❝❡✳
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
-10 -5 0 5 10
q2
q1
❋✐❣✉r❡ ✾✿ ✭❈♦❧♦✉r ♦♥❧✐♥❡✮ ▲♦❝❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡(i, j)t❤ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣♦✐♥t ✐♥ ❝♦♥✲
✜❣✉r❛t✐♦♥ s♣❛❝❡ ❢♦r −20 ≤ i ≤ 20 ❛♥❞ −1 ≤ j ≤ 1✱ ❢♦r D = 0.58169✳
❈❡♥tr❡✲❝❡♥tr❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ✐♥❞✐❝❛t❡❞ ❜② ❛ st❛r✱ s❛❞❞❧❡✲❝❡♥tr❡ ❜② ❛ ❝r♦ss✱ ❛♥❞ s❛❞❞❧❡✲s❛❞❞❧❡ ❜② ❛ ♣❧✉s s✐❣♥✳
❛r❡ ♥✉♠❡r♦✉s ♣♦ss✐❜❧❡ s❝❡♥❛r✐♦s ❢♦r ♣❛rt✐❝❧❡sA ❛♥❞ B✱ ♦♥❝❡ ♣❛rt✐❝❧❡ A ❤❛s
r❡❛❝❤❡❞ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ r❡❣✐♦♥✳ ❆♥ ❡①♣❧❛♥❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡s❡ s❝❡♥❛r✐♦s ❝♦♠❡s ❢r♦♠ t❤❡ s❛❞❞❧❡ ♣♦✐♥t ❡♥❡r❣✐❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ✈❛r✐♦✉sD ✈❛❧✉❡s✳
■♥ ❋✐❣✳ ✾✱ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐❛ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ✭❢♦r D= 0.58169✮✱ ✐♥ t❤❡ r❛♥❣❡ −10≤q1 ≤10 ❛♥❞ −0.7≤q2 ≤0.7 ❛r❡ s❤♦✇♥ ✐♥ t❤❡
(q1, q2)✲♣❧❛♥❡✳ ▲❡t(q1i, q2j)❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣♦✐♥t ✇✐t❤ q1i ≃i/2 ❛♥❞ q2j ≃ j/2✳ ❚❤❡ ❞✐st♦rt✐♦♥ ✐♥ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ s♣❛❝❡ ✐s ❝❧❡❛r t♦ s❡❡✳ ◆♦t❛❜❧②✱
t❤❡r❡ ✐s ❛ ❧❛❝❦ ♦❢ q1 7→ −q1 ❛♥❞ q2 7→ −q2 r❡✢❡❝t✐♦♥ s②♠♠❡tr②✳ ■t ✐s t❤✐s
❞✐st♦rt✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ❛❧❧♦✇s ♣❛rt✐❝❧❡ B t♦ ❜❡❝♦♠❡ ❡①❝✐t❡❞ ❛♥❞ ♣♦t❡♥t✐❛❧❧② ❧❡❛✈❡
✐ts st❛rt✐♥❣ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ✇❡❧❧✳ ❚❤❡ r❡❛s♦♥ ❜❡✐♥❣ t❤❛t✱ ✇✐t❤ t❤❡ ♣❛t❤ ♦❢ ❧❡❛st r❡s✐st❛♥❝❡ ♥♦ ❧♦♥❣❡r ❜❡✐♥❣ ❛❧♦♥❣ t❤❡ ❧✐♥❡q2 = 0✱ ♣❛rt✐❝❧❡A ❞❡✈✐❛t❡s ❢r♦♠ ✐ts
❤✐t❤❡rt♦ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ♣❛t❤ ❛♥❞ t❤✉s st✐♠✉❧❛t❡s ♣❛rt✐❝❧❡B✳
❋✐❣✳ ✶✵ s❤♦✇s s❛❞❞❧❡ ♣♦✐♥t ❡♥❡r❣✐❡s ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ D✳ ❚❤❡ ❧❡❢t ♣❛♥❡❧✱
❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ s❛❞❞❧❡ ♣♦✐♥ts(0,2i+ 1)✱ s❤♦✇s t❤❛t ❛❧❧ ♦❢ t❤❡s❡ s❛❞❞❧❡
♣♦✐♥ts ❛r❡ ❡♥❡r❣❡t✐❝❛❧❧② ❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ❢♦r ❡✈❡r②D✈❛❧✉❡✳ ■♥ ❝♦♥tr❛st✱ ♠❛♥② ♦❢ t❤❡
s❛❞❞❧❡ ♣♦✐♥ts(1,2i+ 1)✭r✐❣❤t ♣❛♥❡❧✮ ❜❡❝♦♠❡ ❡♥❡r❣❡t✐❝❛❧❧② ✐♥❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ❛❢t❡r
❛ r❡❧❛t✐✈❡❧② s♠❛❧❧ D ✈❛❧✉❡ ✭D≈0.3✮✳ ❚❤✐s s✉❣❣❡sts t❤❛t t❤❡s❡ ✐♥❛❝❝❡ss✐❜❧❡
s❛❞❞❧❡s ❢♦r♠ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧s ❣✉✐❞✐♥❣ t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s✳ ❈r✉❝✐❛❧❧②✱ ❡✈❡♥ t❤♦✉❣❤ t❤❡ ♣❛t❤s ♠❛② ❜❡ ❜❧♦❝❦❡❞ ❛t ♠❛♥② ♣♦✐♥ts✱ t❤❡r❡ ❛r❡ st✐❧❧ ♠✉❧t✐♣❧❡ r♦✉t❡s ❢♦r t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s t♦ ✇❛♥❞❡r ❛♥❞ t❤✉s t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t❡❞ ❝✉rr❡♥t ❜❡✐♥❣ ♣r♦❞✉❝❡❞ ✐s ♥♦t ❡①❝❧✉❞❡❞✳
❆♥♦t❤❡r ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ♠❛❞❡ ❢r♦♠ t❤❡s❡ ✜❣✉r❡s ✐s t❤❛t ❛❜♦✈❡D≈0.12t❤❡ s❛❞❞❧❡ ❡♥❡r❣✐❡s ❝r❡❛t❡ ❜❛rr✐❡rs t❤❛t✱ ✇✐t❤ t❤❡ s✐♠✉✲
❧❛t✐♦♥ ❡♥❡r❣②E = 0.9✱ ♦♥❧② ♦♥❡ ♣❛rt✐❝❧❡ ❝❛♥ ♣❛ss ♦✈❡r✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ s♦♠❡ ♦❢
t❤❡ s❛❞❞❧❡ ❡♥❡r❣✐❡s ❛tt❛✐♥ ✈❛❧✉❡s ❣r❡❛t❡r t❤❛♥ ✹✳✺ ✇❤✐❝❤ ❡❧✐♠✐♥❛t❡s t❤❡ ♣♦s✲ s✐❜✐❧✐t② ♦❢ ❜♦t❤ ♣❛rt✐❝❧❡s ✉♥❞❡r❣♦✐♥❣ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❡s❝❛♣❡s✳ ❇❡❧♦✇D≈0.12✱
✐t ✐s ❡♥❡r❣❡t✐❝❛❧❧② ❢❡❛s✐❜❧❡ t❤❛t ❜♦t❤ ♣❛rt✐❝❧❡s ❝❛♥ ❤❛✈❡ ❡♥♦✉❣❤ ❡♥❡r❣② t♦ ♠♦✉♥t ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❡s❝❛♣❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❧♦✇ ❝♦✉♣❧✐♥❣ str❡♥❣t❤ ❡①❝❧✉❞❡s t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ♦❢ ♣❛rt✐❝❧❡ B ❛tt❛✐♥✐♥❣ ❡♥♦✉❣❤ ❡♥❡r❣② ❢r♦♠ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥
✇✐t❤ ♣❛rt✐❝❧❡A✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐❢ ♦♥❡ ♣❛rt✐❝❧❡ ❡s❝❛♣❡s✱ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ ❛t t❤❡ ❡①♣❡♥s❡
♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r ✇❤✐❝❤ ♠✉st r❡♠❛✐♥ tr❛♣♣❡❞ ❢♦r t❤❡ ❡♥t✐r❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥✳
❚❤❡ ❣r❡❡♥ ❧✐♥❡s ✭♥❡❣❛t✐✈❡ s❧♦♣❡✮ s✉♣❡r✐♠♣♦s❡❞ ♦♥ ❜♦t❤ ♣❧♦ts ✐♥ ❋✐❣✳ ✶✵ ❣♦✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ♣♦✐♥ts (0.0,0.9) t♦ (0.5817,1/π) s❤♦✇ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❡♥❡r❣② ♦❢
♣❛rt✐❝❧❡ A❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ D✳ ■♥ t❤❡ ❧❡❢t ♣❧♦t ✇❡ s❡❡ t❤❛t ❢♦rD.0.28 ♣❛r✲
t✐❝❧❡A✇✐❧❧ ✐♥✐t✐❛❧❧② ♣♦ss❡ss ❡♥♦✉❣❤ ❡♥❡r❣② t♦ ♦✈❡r❝♦♠❡ ❛❧❧ ♦❢ t❤❡s❡ ❜❛rr✐❡rs✳
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s✐♠✐❧❛r s✐t✉❛t✐♦♥ ✉♥❢♦❧❞s ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ ♣❧♦t✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ♠❛♥② ♦❢ t❤❡ s❛❞✲ ❞❧❡ ♣♦✐♥ts ❜❡❝♦♠❡ ❡♥❡r❣❡t✐❝❛❧❧② ✐♥❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ❢♦r ✐♥❝r❡❛s✐♥❣D✱ ♠❡❛♥✐♥❣ t❤❛t
t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐❧❧ ❜❡ ✉♥❛❜❧❡ t♦ ♦❜t❛✐♥ ❡♥♦✉❣❤ ❡♥❡r❣② ❢r♦♠ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ♣♦t❡♥t✐❛❧ t♦ ♦✈❡r❝♦♠❡ t❤❡s❡ ❜❛rr✐❡rs✳
❋✐❣✉r❡ ✶✶✿ ✭❈♦❧♦✉r ♦♥❧✐♥❡✮ ❙❤♦✇♥ ❢♦rD= 0.58169✐s t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧✳
❚❤❡ ❡♥❡r❣❡t✐❝❛❧❧② ✐♥❛❝❝❡ss✐❜❧❡ r❡❣✐♦♥s ❛r❡ s❤♦✇♥ ✐♥ ❜❧❛❝❦✳ ✐♥ t❤❡✐r ❛r❣✉♠❡♥ts✿
U(x) =U(−x) ✭✶✸✮
❆❧s♦✱ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ♣♦t❡♥t✐❛❧✱ Hint(q1, q2)✱ ✐s ✐♥✈❛r✐❛♥t ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦
❝❤❛♥❣❡s ✐♥ t❤❡ s✐❣♥ ♦❢ ✐ts ❛r❣✉♠❡♥t✱ ✐✳❡✳
Hint(q1, q2) =Hint(−q1,−q2) ✭✶✹✮
◆♦t✐❝❡ t❤❛t ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ♦❢Hintt❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧Uef f =U(q1) + U(q2) +Hint(q1, q2) ✐s ♥♦t ♣❡r✐♦❞✐❝✳ ▼♦st ✐♠♣♦rt❛♥t❧②✱ t❤❡ s②st❡♠ ❡①❤✐❜✐ts
t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡ ❡①❝❤❛♥❣❡ s②♠♠❡tr②(p1, q1)←→(p2, q2)✳ ❆♣❛rt ❢r♦♠ t❤❡s❡ s♣❛✲
t✐❛❧ s②♠♠❡tr✐❡s t❤❡ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ✐s ❡✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ♠♦♠❡♥t❛ p1,2 ❡st❛❜❧✐s❤✐♥❣
t✐♠❡✲r❡✈❡rs✐❜❧❡ s②♠♠❡tr② ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✳ ❆s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✱ ❢♦r ❛ s❡t ♦❢ ✉♥✐✲ ❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♣♦♣✉❧❛t✐♥❣ t❤❡ ❡♥t✐r❡ ❡♥❡r❣② s✉r❢❛❝❡✱ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ✇✐❧❧ ❜❡ ③❡r♦✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❡♥❡r❣② s✉r❢❛❝❡ ✐s ✉♥❜♦✉♥❞❡❞ ❛❧♦♥❣ t❤❡ ❝♦✲ ♦r❞✐♥❛t❡s ❛♥❞ t❤✉s✱ ❝❛♥♥♦t ✐♥ ♣r❛❝t✐s❡ ❜❡ ♣♦♣✉❧❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ❢♦r ♦✉r s❝❛tt❡r✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠✱ ✇❤❡♥ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s ✐s s❡♥t ❢r♦♠ ❛ ❝❡rt❛✐♥ ✜♥✐t❡ r❛♥❣❡ ♦❢ ♣♦s✐t✐♦♥s−∞< ql≤q1(0)≤qr <0✐♥ t❤❡
❛s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧② ❢r❡❡ r❡❣✐♦♥ t♦✇❛r❞s t❤❡ ♦t❤❡r ♣❛rt✐❝❧❡ ✇✐t❤p2(0) =q2(0) = 0✱
t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ s❡ts ♦❢ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✱(q1(0), q2(0))✱ ❛r❡ ✜♥✐t❡ ❛♥❞ s♣❛✲
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❡①✐sts ❛t ❧❡❛st ❛s ❧♦♥❣ ❛s t❤❡ ✐♥❝♦♠✐♥❣ ✭tr❛✈❡❧❧✐♥❣✮ ♣❛rt✐❝❧❡ ❤❛s ♥♦t ②❡t r❡❛❝❤❡❞ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ r❡❣✐♦♥✳ ❋r♦♠ t❤❡ ❛❜♦✈❡ s②♠♠❡tr② ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥s ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t t❤❡ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ✐s ✐♥✈❡rs✐♦♥ s②♠♠❡tr✐❝ ✇✐t❤ r❡❣❛r❞ t♦ t❤❡ ♠♦♠❡♥t❛ ❛♥❞ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✱ ✐✳❡✳ H(p1, p2, q1, q2) =H(−p1,−p2,−q1,−q2)✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥✈❡r✲
❈r✉❝✐❛❧❧②✱ ✐♥ t❤❡ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❝♦✉♥t❡r✲♣r♦♣❛❣❛t✐♥❣ ♣❛rt✐❝❧❡s ❡♠❛♥❛t✐♥❣ ❢r♦♠ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s(−q1(0), q2(0) = 0)❛♥❞(−p1(0), p2(0) = 0)
t❤❡ ✐♥✈❡rs✐♦♥ s②♠♠❡tr② ✐s ❜r♦❦❡♥✳ ■t ❞❡♣❡♥❞s t❤❡♥ ♦♥ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ♣r♦✲ ❝❡ss ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ ♣❛rt✐❝❧❡s ✭t❤❡ s❝❛tt❡r✐♥❣ ♣r♦❝❡ss ✐♥ t❤❡ ❧❛♥❞s❝❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ Ueff(q1, q2)✮ ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ❝✉rr❡♥t ✐s ♣r❡s❡r✈❡❞ ♦r r❡✈❡rs❡❞
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Σ1 ={q1, p1|U(q2) = 0}, ✭✶✺✮
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Σ2 ={q2, p2|U(q1) = 0}, ✭✶✻✮
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