Penentuan Harga Opsi Call Window Reset Menggunakan Metode Binomial Tree Dan Trinomial Tree.

PENENTUAN HARGA OPSI CALL WINDOW RESET

MENGGUNAKAN METODE BINOMIAL TREE DAN

TRINOMIAL TREE

REVI MELIYANI

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Penentuan Harga Opsi Call Window Reset Menggunakan Metode Binomial Tree dan Trinomial Tree adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, September 2016

RINGKASAN

REVI MELIYANI. Penentuan Harga Opsi Call Window Reset Menggunakan Metode Binomial Tree dan Trinomial Tree. Dibimbing oleh ENDAR H NUGRAHANI dan DONNY C LESMANA.

Opsi adalah suatu kontrak yang memberikan hak (bukan kewajiban) untuk membeli atau menjual suatu aset pada suatu saat tertentu untuk harga tertentu. Salah satu jenis opsi yang mulai berkembang adalah opsi reset. Opsi reset merupakan opsi yang bersifat path-dependent yaitu opsi yang nilai payoff-nya bergantung pada perjalanan harga aset yang mendasari selama masa hidup opsi. Opsi window reset adalah opsi saham dengan batasan reset tertentu dan pada periode tertentu. Harga strike pada opsi window reset akan di-reset menjadi nilai yang baru jika pada periode tertentu harga aset yang mendasari melewati batas tertentu. Model Black-Scholes merupakan suatu model pendekatan analitik untuk menghitung harga opsi, namun model ini mempunyai keterbatasan, yaitu tidak dapat digunakan untuk menghitung harga opsi yang bersifat path-dependent. Oleh karena itu diperlukan metode lain untuk menentukan harga opsi tersebut.

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan harga opsi call window reset dengan metode binomial tree dan trinomial tree. Karena binomial tree dan trinomial tree tersebut memiliki periode waktu dengan , maka tidak mungkin untuk melihat pergerakan harga opsi secara manual. Oleh karena itu diperlukan simulasi numerik dengan menggunakan fasilitas komputasi. Selanjutnya juga dapat dianalisis pengaruh window reset, level reset, dan beberapa faktor lain terhadap penentuan harga opsi call window reset.

Misalkan diberikan suatu opsi call dengan harga strike , reset strike � dan � adalah level reset, � . Jika harga saham lebih kecil atau sama dengan nilai reset strike selama window reset maka harga strike akan di-reset menjadi nilai yang baru. Sebaliknya, jika harga saham selama window reset

lebih besar dari nilai reset strike maka harga strike tidak akan di-reset sampai masa jatuh tempo.

Dalam penentuan harga opsi call window reset pada metode binomial tree dan trinomial tree diperoleh bahwa harga opsi call window reset Eropa cenderung lebih tinggi dibandingkan dengan harga opsi call Eropa standar. Hal ini disebabkan oleh pengaruh level reset dan window reset sehingga pada batasan reset tertentu harga strike akan di-reset menjadi nilai yang baru dan menyebabkan harga opsi call window reset menjadi meningkat. Sama halnya dengan opsi call Eropa standar, harga opsi call window reset juga dipengaruhi oleh volatilitas, suku bunga bebas risiko, harga strike dan waktu jatuh tempo. Adapun volatilitas, suku bunga bebas risiko, dan waktu jatuh tempo mempunyai hubungan yang positif terhadap harga opsi call window reset, sedangkan harga strike mempunyai hubungan yang negatif terhadap harga opsi call window reset.

Kata kunci: binomial tree, harga strike, opsi call window reset, reset strike ,

SUMMARY

REVI MELIYANI. Window Reset Call Option Pricing Using Binomial Tree and Trinomial Tree. Supervised by ENDAR H NUGRAHANI and DONNY C LESMANA.

Option is a contract that gives right (not obligation) to buy or sell an asset at a certain time on a certain price. One of the options that is developed recently is reset option. Reset option is a path dependent option whose payoff depends on the historical prices of underlying assets before its expiration date. Window reset option is a stock option which has certain limits at certain periods. The strike price of the window reset option will be reset to a new value if the price of the underlying asset is below the threshold at a certain period. Black-Scholes model is an analytical approach model which is used to calculate the price of options. However, this model cannot be used to calculate path dependent option price. Therefore we need another method to determine it.

The purpose of this study is to apply binomial and trinomial tree methods in determining the price of window reset call option. Because binomial and trinomial tree are evaluated over periods of time, where , then the movement of option price can hardly be calculated manually. Thus, there is a need of applying numerical simulations by means of computation. This simulation can also analyze the influence of window reset, reset level, and some other factors in determining the price of call window reset options.

Given a call option with a strike price , a reset strike � with � is the reset level, � . If the stock price is less than or equal to the value of the reset strike during a window reset , the strike price will be reset to the new value. Conversely, if the stock price over the window reset is greater than the value of the reset strike, the strike price will not be reset until the maturity time.

In determining the price of a call window reset option with binomial and trinomial tree methods, it is found out that the price of European call window reset option tends to be higher than the price of regular European call options. This is caused by the influence of the reset level and window reset so at the reset certain limits, strike price will be reset into a new value and cause the price of window reset call option to rise. As well as the standard European call option, the price of window reset call option is also influenced by the volatility, risk-free interest rate, the strike price, and time to maturity. As for volatility, risk-free interest rate and time to maturity are positively related to the price of window reset call option, while the strike price is a negatively related to the price of window reset call option.

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016

Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang

Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains

pada

Program Studi Matematika Terapan

PENENTUAN HARGA OPSI CALL WINDOW RESET

MENGGUNAKAN METODE BINOMIAL TREE DAN

TRINOMIAL TREE

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2016

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini adalah opsi reset, dengan judul Penentuan Harga Opsi Call Window Reset Menggunakan Metode Binomial Tree dan Trinomial Tree.

Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Terima kasih yang tak berhingga penulis sampaikan kepada Ayahanda dan Ibunda tercinta serta seluruh keluarga atas semua doa dan dukungannya selama penulis menyelesaikan studi. Ungkapan terima kasih pula penulis sampaikan kepada

 Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS dan Bapak Dr Donny C Lesmana, M.Fin.Math selaku pembimbing, atas bantuan, bimbingan dan kesabarannya selama penulis menyelesaikan karya ilmiah ini.

 Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku penguji yang telah memberikan kritik dan sarannya.

 Seluruh Dosen Departemen Matematika Terapan IPB yang telah memberikan ilmunya selama penulis menjalankan studi serta staf pegawai Tata Usaha Departemen Matematika atas semua bantuan dan kerjasamanya.

 Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor beasiswa BPPDN tahun akademik 2013/2014 dan 2014/2015.

 Seluruh mahasiswa pascasarjana angkatan 2013 pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana IPB untuk kebersamaan, dukungan dan bantuannya.

 Sahabat-sahabat dan semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu per satu. Semoga semua bantuan, doa, dan motivasi yang telah diberikan pada penulis mendapat balasan dari Allah SWT. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi pembaca.

Bogor, September 2016

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL vi

DAFTAR GAMBAR vi

DAFTAR LAMPIRAN vii

1 PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 3

2 TINJAUAN PUSTAKA 3

Opsi dan Jenisnya 3

Payoff dari Opsi 4

Metode Penentuan Nilai Derivatif 4

Path-Dependent Opsi 5

Metode Binomial Tree dan Trinomial Tree 5

Opsi Reset 15

3 METODE 16

4 HASIL DAN PEMBAHASAN 16

Penentuan Harga Opsi Call Window Reset dengan Metode Binomial Tree 16 Penentuan Harga Opsi Call Window Reset dengan Metode Trinomial Tree24

5 SIMPULAN DAN SARAN 32

Simpulan 32

Saran 32

DAFTAR PUSTAKA 33

LAMPIRAN 35

DAFTAR TABEL

1 Hubungan window reset dan banyaknya periode terhadap harga opsi call window reset menggunakan metode binomial tree 21 2 Hubungan window reset dan banyaknya periode terhadap harga

opsi call window reset dengan menggunakan trinomial tree 29

DAFTAR GAMBAR

1 Ilustrasi pergerakan harga saham dan harga opsi call dengan

binomial tree satu periode 6

2 Ilustrasi pergerakan harga saham dengan binomial tree dua

periode 6

3 Ilustrasi pergerakan harga opsi dengan binomial tree dua periode 7 4 Ilustrasi pergerakan harga saham dengan binomial tree periode 8 5 Ilustrasi pergerakan harga saham dan harga opsi call dengan

trinomial tree satu periode 12

6 Ilustrasi pergerakan harga saham dengan trinomial tree dua

periode 13

7 Ilustrasi pergerakan harga opsi call dengan trinomial tree dua

periode 14

8 Ilustrasi pergerakan harga saham dengan trinomial tree periode 14 9 Pergerakan harga saham dengan binomial tree dua periode 17 10 Pergerakan harga opsi dengan binomial tree dua periode 18 11 Pergerakan harga saham dengan binomial tree empat periode 18 12 Pergerakan harga opsi dengan binomial tree empat periode 19 13 Hubungan antara banyaknya periode terhadap harga opsi call

dengan menggunakan metode binomial tree 20

14 Hubungan antara level reset dengan harga opsi call windows reset

menggunakan metode binomial tree 21

15 Harga opsi call window reset menggunakan beberapa volatilitas yang berbeda dengan menggunakan binomial tree 22 16 Hubungan antara suku bunga bebas risiko terhadap harga opsi

call window reset dengan menggunakan binomial tree 22 17 Hubungan antara harga strike terhadap harga opsi call window

reset dengan menggunakan binomial tree 23 18 Hubungan antara waktu jatuh tempo ( ) dan harga opsi call

window reset dengan menggunakan binomial tree 23 19 Pergerakan harga saham dengan trinomial tree dua periode 25 20 Pergerakan harga opsi dengan trinomial tree dua periode 25 21 Pergerakan harga saham dengan trinomial tree empat periode 26 22 Pergerakan harga opsi dengan trinomial tree empat periode 27 23 Hubungan antara banyaknya periode terhadap harga opsi call

dengan menggunakan trinomial tree 28

25 Hubungan antara volatilitas terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan trinomial tree 30 26 Hubungan antara suku bunga bebas risiko terhadap harga opsi

call window reset dengan menggunakan trinomial tree 30 27 Hubungan antara harga strike terhadap harga opsi call window

reset dengan menggunakan trinomial tree 31 28 Hubungan antara waktu jatuh tempo ( ) dan harga opsi call

window reset dengan menggunakan trinomial tree 31

DAFTAR LAMPIRAN

1 Penentuan parameter-parameter pada binomial tree 37 2 Sintaks Matlab untuk menentukan nilai opsi call window reset

dengan metode binomial tree 38

3 Penentuan parameter-parameter pada trinomial tree 40 4 Sintaks Matlab untuk menentukan nilai opsi call window reset

1

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Pasar modal memberikan dampak yang sangat besar bagi perekonomian suatu negara. Pada dasarnya, pasar modal sama halnya dengan pasar biasa, ada penjual, pembeli dan tawar menawar. Pasar modal merupakan pasar untuk berbagai instrumen keuangan jangka panjang yang diperjualbelikan baik dalam bentuk hutang atau instrumen lainnya. Pasar modal memberikan dua fungsi sekaligus yaitu fungsi ekonomi dan fungsi keuangan. Fungsi ekonomi yaitu pasar modal sebagai wahana yang mempertemukan dua kepentingan sekaligus yaitu pihak yang memiliki dana (investor) dan pihak yang memerlukan dana. Sedangkan fungsi keuangan adalah memberikan kemungkinan dan kesempatan untuk memperoleh imbalan bagi pemilik dana sesuai dengan karakter investasi yang dipilih.

Matematika mempunyai peranan yang sangat penting dalam dunia pasar modal. Matematika dapat digunakan sebagai media atau alat untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman terhadap suatu permasalahan keuangan. Permasalahan yang ada dapat disajikan dengan lebih sederhana menggunakan asumsi-asumsi secara explisit. Asumsi-asumsi ini dapat dianggap sebagai batasan dalam pendekatan model matematika, sehingga diharapkan dapat membantu untuk memprediksi fenomena ekonomi yang sedang berlangsung.

Manfaat pasar modal dalam suatu negara adalah sebagai sumber pendapatan negara melalui pajak, sebagai sarana untuk menghimpun dana dari masyarakat oleh negara dan perusahaan melalui penerbitan obligasi dan penjualan saham, sebagai alternatif investasi bagi para investor dan masih banyak lagi manfaat lainnya. Saham adalah tanda penyertaan modal seseorang atau pihak (badan usaha) dalam suatu perusahaan atau perseroan terbatas, sehingga pihak tersebut memiliki klaim atas pendapatan perusahaan, klaim atas aset perusahaan, dan berhak hadir dalam Rapat Umum Pemegang Saham (RUPS).

Bagi ahli ekonomi, mungkin saja mengkaji penyebab harga saham naik atau turun, namun seorang ahli matematika keuangan mengkaji harga saham dan mencoba menggunakan kalkulus stokastik untuk mendapatkan dugaan nilai terbaik dari harga saham. Harga saham pada masa yang akan datang bisa berubah sesuai dengan kondisi pasar. Hal ini menyebabkan adanya kemungkinan akan terjadi kerugian yang diderita investor. Salah satu cara meminimalisasi risiko ialah dengan menggunakan produk derivatif yang salah satunya adalah opsi. Penggunaan produk derivatif sebagai sarana investasi di pasar modal telah meningkat seiring dengan berkembangnya pasar keuangan global.

2

Opsi memberikan hak kepada pemegang kontrak untuk membeli atau menjual suatu aset sesuai harga dan waktu yang telah disepakati pada kontrak. Opsi saham biasanya banyak diperdagangkan di negara-negara yang umumnya memiliki kondisi pasar modal yang sudah maju. Suatu opsi tidak akan bernilai jika pada saat jatuh tempo kontrak tersebut tidak dilaksanakan.

Secara umum ada dua jenis opsi berdasarkan tipe kontraknya, yaitu opsi call dan opsi put. Opsi call adalah suatu opsi untuk membeli aset pada suatu saat tertentu untuk harga tertentu (harga strike/eksekusi), sedangkan opsi put adalah suatu opsi untuk menjual aset pada suatu saat tertentu untuk harga tertentu. Berdasarkan waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi tipe Eropa yang hanya dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo dan opsi tipe Amerika yang dapat dieksekusi pada sembarang waktu selama masa berlakunya opsi (Hull 2009).

Walaupun tidak diketahui secara pasti sejak kapan pertama kalinya kontrak opsi diperdagangkan, namun diperkirakan para ahli matematika dan ahli filsuf sejak zaman Romawi dan Yunani dulu telah menggunakan metode yang sama seperti kontrak opsi. Pada awalnya, perkembangan opsi relatif lambat, pada tahun 1968 saja jumlah kontrak yang diperdagangkan tidak lebih dari 300 ribu kontrak, karena saat itu para investor melakukan deal (perjanjian) lewat telepon, sedangkan di satu sisi mereka susah mengetahui apa yang sedang terjadi di pasar pada saat itu serta berbagai kendala-kendala lainnya. Namun seiring berjalannya waktu, perdagangan opsi mulai berkembang pesat. Salah satu jenis opsi yang mulai berkembang adalah opsi reset. Harga strike pada opsi reset dapat di-reset menjadi nilai yang baru jika harga aset yang mendasarinya menyentuh batas harga tertentu. Salah satu bursa yang telah menerapkan opsi reset adalah Chicago Board Options Exchange (CBOE).

Ada banyak penelitian mengenai opsi reset, diantaranya adalah Gray dan Whaley (1999) menganalisis index S&P 500 dan memperoleh solusi bentuk tertutup untuk warrant reset dengan tanggal reset tunggal. Cheng dan Zhang (2000) yang mengevaluasi opsi reset dengan beberapa tanggal reset yang diskret. Liao dan Wang (2003) memformulasi harga dari opsi reset yang kontinu sebagai selisih antara harga opsi barrrier down-and-out dengan harga strike awal dan selisih opsi barrier down-and-in dengan harga strike yang di-reset. Hsiao (2013) menentukan harga opsi window reset dengan pendekatan masalah nilai batas persamaan diferensial Black-Scholes.

Model Black-Scholes merupakan suatu model pendekatan analitik untuk menghitung harga opsi (Hull 2009). Namun model ini mempunyai keterbatasan yaitu hanya dapat digunakan dalam penentuan harga opsi tipe Eropa standar. Sedangkan opsi yang digunakan pada penelitian ini adalah opsi yang bersifat path-dependent. Oleh karena itu diperlukan metode lain untuk menentukan harga opsi tersebut, salah satunya menggunakan metode tree yang terdiri dari binomial tree dan trinomial tree. Metode ini dikonstruksi untuk menunjukkan semua kemungkinan pergerakan harga saham dasar selama masa hidup opsi

3 Tujuan Penelitian

Berdasarkan uraian latar belakang di atas, tujuan yang akan dicapai pada penelitian ini adalah menentukan harga opsi call window reset dengan menggunakan metode binomial tree dan trinomial tree, serta menganalisis hubungan faktor-faktor lain yang memengaruhi harga opsi call window reset.

2

TINJAUAN PUSTAKA

Opsi dan Jenisnya

Opsi adalah suatu kontrak/perjanjian yang memberi hak (bukan kewajiban) untuk membeli atau menjual suatu aset pada pihak tertentu pada suatu saat tertentu dan pada harga tertentu (Hull 2009). Investasi opsi merupakan sarana yang paling tepat bagi investor untuk mengontrol suatu saham yang cukup besar dengan modal yang jauh lebih kecil bila dibandingkan dengan harga saham aslinya. Ada beberapa komponen opsi, yaitu :

1. Kontrak opsi yaitu suatu kontrak yang disepakati oleh kedua pihak yang bersifat mengikat dan tidak dapat dibatalkan secara sepihak.

2. Hak opsi. Ada 2 jenis hak opsi yaitu hak membeli yang disebut opsi call dan hak menjual yang disebut opsi put. Opsi call adalah suatu opsi untuk membeli aset pada suatu saat tertentu dengan harga tertentu yaitu harga strike atau harga eksekusi. Sedangkan opsi put adalah suatu opsi untuk menjual aset pada suatu saat tertentu untuk harga tertentu.

3. Penerbit (writers) yaitu investor yang menerbitkan kontrak opsi.

4. Aset dasar adalah aset yang mendasari apa yang diperjualbelikan. Aset ini dapat berupa saham, komoditi, indeks, suku bunga dan lain-lain. Dalam penelitian ini akan dibahas opsi dengan aset dasarnya adalah saham.

5. Harga strike yaitu harga yang ditawarkan oleh penerbit apabila investor melaksanakan opsinya. Dengan kata lain, harga strike adalah harga dimana seseorang dapat membeli atau menjual aset yang dikontrakkan.

6. Waktu jatuh tempo (expiration date) merupakan waktu yang disepakati oleh kedua pihak untuk mengeksekusi opsinya. Setiap opsi mempunyai masa hidup mulai dari satu hari sampai maksimal 3 tahun.

Berdasarkan waktu eksekusinya, opsi dibagi menjadi dua jenis, yaitu

1. Opsi tipe Eropa adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli atau menjual aset dasar hanya pada waktu jatuh tempo. 2. Opsi tipe Amerika adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya

4

Payoff dari Opsi

Payoff suatu opsi mendeskripsikan nilai opsi sebagai fungsi dari aset dasar pada saat jatuh tempo atau pada waktu tertentu sebelum masa jatuh tempo. Payoff untuk opsi put dan opsi call bergantung pada harga aset dasar pada saat dan harga strike . Adapun payoff opsi call yaitu sedangkan payoff opsi put yaitu .

Metode Penentuan Nilai Derivatif

Ada banyak metode dalam menentukan nilai derivatif, antara lain:

1. Metode trees: Dengan menggunakan metode trees ini, diharapkan dapat dilihat beberapa kemungkinan nilai dari saham yang dapat terjadi serta nilai opsi yang bergantung pada nilai saham tersebut. Metode ini yang akan dibahas pada penelitian ini, khususnya metode binomial tree dan trinomial tree.

2. Metode Monte Carlo adalah metode untuk mendapatkan solusi numerik dari suatu persamaan yang sulit diselesaikan secara analitik dengan cara membangkitkan bilangan acak.

3. Metode Beda Hingga adalah metode numerik untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial dengan mengaproksimasi turunan-turunan persamaan tersebut menjadi sistem persamaan linear dan taklinear.

Ada dua pendekatan yang dikenal secara luas dalam menentukan harga pasar opsi, yaitu

1. Metode risiko netral (risk-neutral method)

Prinsip yang sangat penting dalam penentuan harga derivatif adalah pendekatan risk neutral. Metode ini menggunakan anggapan bahwa investor menghadapi risiko yang sama terhadap suku bunga yang berlaku. Artinya, pada kondisi yang demikian investor bersedia menerima return atas investasi opsi sebesar suku bunga bebas risiko yang berlaku saat itu. Pada pengaplikasiannya metode ini memerlukan waktu yang sedikit lama, sebab harus melalui beberapa tahap.

Adapun prosedur pendekatan risk neutral adalah:

1. Asumsikan bahwa nilai harapan return dari semua aset yang diperdagangkan adalah suku bunga bebas risiko.

2. Nilai payoff dari derivatif adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas risiko.

Prinsip inilah yang mendasari penggunaan metode tree (Hull 2009). 2. Metode Black-Scholes

Metode Black-Scholes pertama kali diperkenalkan pada tahun 1973 dan merupakan hasil penelitian dari Fischer Black, Myron Scholes, dan Robert Merton. Model ini digunakan untuk menentukan nilai opsi Eropa. Selanjutnya model ini terus dikembangkan dan dipergunakan dalam perdagangan opsi.

Misalkan menyatakan harga opsi dengan harga saham pada waktu , menyatakan suku bunga bebas risiko dan adalah volatilitas harga saham maka persamaan Black-Scholes standarnya adalah (Hull 2009).

5

Path-Dependent Opsi

Path-dependent opsi adalah suatu kontrak opsi yang nilai payoff-nya bergantung pada perjalanan harga underlying asset selama masa hidup opsi. Sebagai contoh opsi yang bersifat path-dependent adalah opsi Asia yang harga strike-nya adalah rata-rata dari harga underlying asset selama masa kontrak (Hull 2009). Contoh lainnya adalah opsi barrier, opsi reset, opsi chooser dan opsi lockback. Adapun dalam penelitian ini hanya akan dibahas mengenai opsi reset.

Metode Binomial Tree dan Trinomial Tree

Dalam perdagangan opsi, model yang sangat populer digunakan adalah model Black-Scholes. Model ini merupakan suatu model pendekatan analitik dalam menentukan nilai opsi (Hull 2009). Akan tetapi, model ini mempunyai keterbatasan yaitu hanya dapat digunakan untuk menghitung nilai opsi tipe Eropa dan opsi call Amerika yang memiliki sifat yang sama dengan opsi Eropa. Sedangkan di bursa saham terdapat berbagai jenis opsi-opsi lain yang tidak memiliki rumus eksak untuk menghitungnya. Misalnya opsi Asia yang nilainya bergantung pada rata-rata harga saham sampai masa jatuh tempo, opsi Amerika yang mempunyai sifat early excercise, dan masih banyak lagi opsi-opsi lainnya. Oleh karena itu, diperlukan metode numerik untuk menghitung nilai opsi tersebut. Lelong dan Zanette (2013) menyatakan bahwa metode numerik yang paling populer digunakan dalam penentuan harga derivatif adalah metode binomial tree dan trinomial tree.

Metode Binomial Tree

Metode binomial tree pertama kali diusulkan oleh Cox, Ross dan Rubinstein pada tahun 1979 (Hull 2009). Model ini merupakan model komputasi pertama yang digunakan dalam matematika keuangan. Nwozo dan Fadugba (2014) menyatakan bahwa metode binomial merupakan metode yang sederhana namun mempunyai teknik yang kuat untuk mencari solusi Black-Scholes dan merupakan model penentuan harga opsi kompleks lainnya yang membutuhkan solusi dari persamaan diferensial stokastik.

Metode binomial dikonstruksi untuk menunjukkan beberapa kemungkinan nilai dari aset dasar (yang dalam hal ini adalah saham) yang dapat terjadi pada semua titik waktu selama waktu hidup opsi. Kemungkinan pergerakan harga saham dan juga opsi dapat dimodelkan menggunakan pohon binomial yang terdiri dari dua kejadian, yaitu harga saham naik dengan peluang , dan harga saham turun dengan peluang Perhitungan harga opsi dihitung dengan cara mencari present value dari ekspektasi payoff ketika opsi jatuh tempo (Cox et al. 1979).

Penentuan Parameter Metode Binomial Tree

Misalkan masa hidup opsi adalah . Selama selang waktu tersebut dibagi menjadi subinterval yang sama panjang dengan

6

naik dengan faktor menjadi dan bergerak turun dengan faktor menjadi dengan peluang

, dan √ , √ (Cox et al. 1979). Proses penurunan rumus dapat dilihat pada Lampiran 1.

Metode Binomial Tree Satu Periode

Pada binomial tree satu periode harga opsi hanya dapat bergerak naik dan turun satu kali saja. Misalkan waktu hidup opsi call selama dan harga saham awal pada saat adalah maka pada waktu harga saham akan bergerak naik menjadi dengan peluang atau turun menjadi dengan peluang . dan masing-masing adalah faktor pergerakan naik dan turun dalam satu periode

dengan . Pergerakan harga saham dengan binomial tree satu periode dapat diilustrasikan pada Gambar 1.

u S₀ d S₀ p  1 0 S p



0,Su K



fu max 0 



0,S d K



fd max 0  f

t 

0

t _T

Gambar 1 Ilustrasi pergerakan harga saham dan harga opsi call dengan binomial tree satu periode

Dari Gambar 1 juga terlihat ilustrasi pergerakan harga opsi dimana dan adalah harga opsi call pada waktu yang telah bergerak naik atau turun, sehingga jika menyatakan harga opsi call , maka

₍₂₎

Metode Binomial Tree Dua Periode

Misalkan harga saham awal pada saat adalah dan harga saham pada saat jatuh tempo adalah . Dalam selang waktu dibagi menjadi dua subinterval. Masing- masing subinterval memperlihatkan pergerakan harga saham naik dengan faktor atau pergerakan turun dengan faktor . Adapun ilustrasi pergerakan harga saham dengan binomial dua periode diperlihatkan pada Gambar 2 berikut. u S0 d S0 p  1 0 S p 2 0u S 2 0d S 0 S t  0

t _t t₁ t2

7 Dari Gambar 2 terlihat bahwa pada waktu harga saham dapat bergerak naik menjadi atau turun menjadi , sedangkan pada waktu harga saham dapat bergerak naik atau turun satu kali lagi menjadi , , dan . Dari pergerakan harga saham inilah dapat diilustrasikan pula pergerakan harga opsi untuk binomial dua periode.

Misalkan = nilai payoff opsi call pada waktu untuk dua pergerakan harga saham naik berturut-turut.

= nilai payoff opsi call untuk satu pergerakan harga saham naik dan

satu pergerakan turun.

= nilai payoff opsi call untuk dua pergerakan harga saham turun berturut-turut.

sehingga

Harga opsi call pada waktu adalah:

(3)

(4)

Sehingga pergerakan harga opsi pada binomial dua periode ini dapat diilustrasikan pada Gambar 3.

 

1 ) ( _{uu ud}

t r

u e pf p f

f    

f



S uu K



f_uu max0, ₀ 

 

1 ) ( _{ud dd}

t r

d e pf p f

f    



S ud K



f_ud max0, ₀ 



S dd K



f_dd max0, ₀ 

Gambar 3 Ilustrasi pergerakan harga opsi dengan binomial tree dua periode Dari Gambar 3 terlihat pergerakan harga opsi Substitusi (3) dan (4) ke (2) maka diperoleh harga opsi call pada waktu adalah

(5)

8 _{∑ (} ) _{∑ (} ) ( ₎

dengan ( ) dan adalah koefisien

binomial dengan .

Adapun ilustrasi pergerakan harga saham dengan binomial tree periode diberikan pada Gambar 4.

u S0 d S0 p  1 0 S p 2 0u S 2 0d S 0 S n u S0 n d S0 2 0  n u S 4 0  n u S 1 0  n u S 1 0  n d S 2 0  n d S 4 0  n d S 0

t t₁ t2 tn1

n

t

t





t



t

Gambar 4 Ilustrasi pergerakan harga saham dengan binomial tree periode Seperti yang terlihat pada Gambar 4, ketika trees sudah dikonstruksi dengan lengkap maka dapat dilihat semua kemungkinan harga saham dari awal masa hidup opsi sampai opsi jatuh tempo.

Dengan mengambil , dapat ditunjukkan bahwa metode binomial konvergen ke solusi Black-Scholes. Berikut akan diperlihatkan bahwa metode binomial tree konvergen ke solusi Black-Scholes menurut Hull (2009).

9 dengan

banyak kenaikan saham dalam satu periode

(

)

∑ ( ₎

Terlebih dahulu akan dibuktikan bahwa

( ₎

√

Misalkan � adalah peluang minimal harga saham naik sebanyak � kali dalam suatu periode. Menurut Teorema Limit Pusat, untuk , variabel acak z terdistribusi normal baku sehingga diperoleh

� �

√

� yang diinginkan membentuk harga saham sedemikian sehingga pada saat jatuh tempo opsi dapat dieksekusi.

� √

√

�

dengan √ dan

√ √

sehingga

�

√

(

√

√

√

)

√ √

10

√ √

√

√

dengan dapat dibuktikan bahwa:

_√

√

√

Selanjutnya akan dibuktikan

Misalkan � adalah peluang minimal harga saham naik sebanyak � kali dalam suatu periode. Menurut Teorema Limit Pusat diperoleh

� �

√

� yang diinginkan membentuk harga saham sedemikian sehingga pada saat jatuh tempo opsi dapat dieksekusi.

� √

√

�

dengan √ dan

√ √

sehingga

�

√

(

√

√

√

)

_√ √ √

√ √

11

√

√

dengan dapat dibuktikan bahwa:

_√

√

√

Jadi terbukti bahwa metode binomial tree konvergen ke solusi Black-Scholes. Metode Trinomial Tree

Seiring perkembangan waktu, metode binomial dianggap terlalu ekstrem karena hanya memandang dua kejadian perubahan harga saham yaitu harga saham naik dan harga saham turun. Pada kenyataannya terdapat banyak kemungkinan perubahan harga saham seperti yang diilustrasikan pada trinomial tree yang melibatkan tiga kemungkinan perubahan harga saham atau bahkan multinomial yang melibatkan kemungkinan perubahan harga saham.

Trinomial tree pertama kali diperkenalkan oleh Boyle (1986). Ssebugenyi (2007) memaparkan bahwa model Boyle ini juga didasari pada kecocokan mean dan varians dari distribusi kontinu dan distribusi diskret. Tujuan dari penggunaan metode trinomial ini adalah untuk meningkatkan akurasi dan kecepatan dalam menghitung pergerakan harga saham bila dibandingkan menggunakan binomial tree (Haahtela 2010). Seiring dengan semakin berkembangnya ilmu pengetahuan maka Hull (2009) menentukan nilai parameter penentuan harga opsi yang berbeda dengan Boyle. Adapun parameter penetuan harga opsi yang akan digunakan dalam tesis ini adalah parameter dari Hull (2009).

Penentuan Parameter Metode Trinomial Tree

Pada dasarnya trinomial tree sama dengan metode binomial tree. Misalkan masa hidup opsi adalah . Selama selang waktu tersebut dibagi menjadi subinterval yang sama besar dengan sehingga . Pada trinomial tree, dalam selang waktu harga saham memiliki tiga parameter pergerakan harga saham yaitu dan yang masing-masing merupakan faktor pergerakan harga saham naik, tetap dan turun serta mempunyai tiga peluang terkait yang masing-masing adalah , dan . Harga saham naik dengan peluang , harga saham turun dengan peluang , dan harga saham tetap dengan peluang . .

Perhitungan nilai , , , , dan menurut Hull (2009) adalah sebagai berikut.

√ _{, , √}

, ,

√ . (7)

12

Metode Trinomial Tree Satu Periode

Misalkan suatu opsi call mempunyai waktu hidup , harga saham awal pada saat adalah maka pada saat T harga saham akan naik dengan peluang menjadi , harga saham tetap dengan peluang dan harga saham turun dengan peluang menjadi . Adapun pergerakan harga saham dan harga opsi dengan trinomial satu periode ini ditunjukkan pada Gambar 5.

d S₀

0

S

u

p

u S₀

m

p

d

p

0

S



Sd K



f_d max0, ₀ 

f



Su K



fu max0, 0 



S K



f_m max0, ₀

0

t t _T

Gambar 5 Ilustrasi pergerakan harga saham dan harga opsi call dengan trinomial tree satu periode

Dari pergerakan harga saham pada bagian kiri Gambar 5 dapat diilustrasikan pula pergerakan harga opsi seperti yang terlihat pada Gambar 5 bagian kanan, sehingga harga opsi call dapat dirumuskan sebagai

₍₈₎

dengan , , adalah harga opsi call pada masing-masing pergerakan naik, turun dan tetap.

Metode Trinomial Tree Dua periode

13

d

S₀

0

S

u

S₀

0

S

2 0u

S

u

S₀

0

S

d

S₀

2 0d

S

1

t _t

0

t t t₂

Gambar 6 Ilustrasi pergerakan harga saham dengan trinomial tree dua periode

Dari Gambar 6, pada saat harga saham bergerak naik menjadi , harga saham tetap dan harga saham turun . Sedangkan pada saat harga saham dapat bergerak naik, tetap dan turun satu kali lagi menjadi , , , , dan . Selanjutnya dari pergerakan harga saham ini dapat pula diberikan pergerakan harga opsi.

Misalkan = nilai payoff opsi call pada waktu untuk dua pergerakan harga saham naik berturut-turut.

= nilai payoff opsi call untuk satu pergerakan harga saham tetap dan satu pergerakan naik.

= nilai payoff opsi call untuk dua pergerakan harga saham naik dan pergerakan harga saham turun

= nilai payoff opsi call untuk dua pergerakan harga saham tetap dan harga saham turun

= nilai payoff opsi call untuk dua pergerakan harga saham turun berturut-turut

Harga opsi call pada waktu adalah

(9)

(10)

14

 u ud m dm d dd

t r

d e p f p f p f

f    

f

 u uu m um d ud

t r

u e p f p f p f

f    

 u um m ud d dm

t r

m e p f p f p f

f     fud fmmmax0,S0udK



Su K



fuu 

2 0 , 0 max

 Sum K

fummax0, 0 



S d K



fdd  

2 0 , 0 max

 S md K

fmd max0, 0 

Gambar 7 Ilustrasi pergerakan harga opsi call dengan trinomial tree dua periode

Sehingga berdasarkan Gambar 7, harga opsi call pada saat dapat diperoleh dengan mensubstitusikan (9), (10) dan (11) ke persamaan (8)

.

Seperti halnya binomial tree, trinomial tree juga dapat diperluas menjadi periode dengan adalah waktu jatuh tempo maka besarnya . Trinomial tree periode dapat diilustrasikan pada Gambar 8.

d S0 0 S u S0 0 S 2 0u S u S0 0 S d S0 2 0d S 1 0  n u S 2 0  n u S 2 0  n d S 1 0  n d S 1 0  n u S 2 0  n u S 3 0  n u S n u S0 2 0  n d S 1 0  n d S 3 0  n d S n d S0 1 t n

t

2 t 0 t

15 Ketika tree sudah dikonstruksi dengan lengkap seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8 maka dapat dilihat semua kemungkinan harga saham dari awal masa hidup opsi sampai waktu jatuh tempo. Dari pergerakan harga saham tersebut dapat pula diilustrasikan pergerakan harga opsi dengan periode sehingga harga opsi call untuk periode dapat digeneralisasi menjadi

_{∑ ∑}

Opsi Reset

Pemegang opsi call mempunyai hak untuk membeli saham dengan harga yang telah ditentukan pada saat jatuh tempo. Di samping itu, investor selalu ingin membeli opsi dengan harga terbaik. Akibatnya muncullah opsi yang bersifat path-dependent yang memungkinkan harga strike berubah. Hsiao at al (2011) mengemukakan bahwa opsi reset telah diperdagangkan selama beberapa tahun. Pada akhir tahun 1996, Chicago Board Options Exchange (CBOE) dan New York Stock Exchange memperkenalkan indeks S&P 500 dengan reset put warrant untuk periode reset 3 bulan. Chang at al (2006) mengemukakan bahwa opsi reset merupakan opsi yang bersifat path-dependent.

Tujuan dari opsi reset adalah untuk menghindari investor dari risiko downside yang memengaruhi harga aset dasar selama pasar keuangan tak menentu, sehingga harga aset tidak akan turun secara signifikan. Opsi window reset adalah opsi reset dengan window reset terus menerus secara parsial, artinya jika diberikan window reset maka selama jangka waktu tersebut, harga strike pada opsi window reset akan disesuaikan ke nilai yang baru jika harga saham di bawah ambang batas tertentu (Hsiao 2013).

Misalkan suatu opsi call tipe Eropa dengan harga strike , batas reset � dengan � adalah level reset, � window reset , maka payoff opsi call window reset pada waktu menurut Hsiao (2013) adalah sebagai berikut.

{

dengan

{ �

� � (12)

16

3

METODE

Terdapat banyak metode numerik untuk menentukan harga opsi, diantaranya adalah dengan menggunakan metode binomial tree dan trinomial tree. Pada penelitian ini, akan dibahas penentuan harga opsi call window reset dengan menggunakan kedua metode tree tersebut. Pada saat binomial tree dan trinomial tree telah dikontruksi menjadi periode maka sulit sekali untuk menghitung harga opsi call window reset secara manual. Oleh karena itu diperlukan simulasi numerik untuk menghitungnya. Simulasi terhadap model mengggunakan fasilitas komputasi program MATLAB.

Adapun langkah-langkah umum yang akan dilakukan adalah

1. Menentukan harga opsi call window reset dengan menggunakan metode binomial tree dan trinomial tree,

2. Menganalisis pengaruh window reset dan level reset terhadap harga opsi call window reset,

3. Menganalisis faktor-faktor lain yang memengaruhi harga opsi call window reset.

4

HASIL DAN PEMBAHASAN

Misalkan suatu opsi call tipe Eropa dengan harga strike , reset strike � dengan � adalah level reset, � , dengan window reset maka payoff opsi call window reset adalah sebagai berikut.

{

dengan

{ �

� �

Dengan adanya opsi call window reset maka harga opsi mempunyai batasan tertentu. Jika harga saham lebih kecil atau sama dengan nilai reset strike pada waktu tertentu yaitu dalam selang waktu maka harga strike akan di-reset menjadi nilai yang baru yaitu sebesar � dan nilai opsi call-nya adalah sebesar pengurangan dari nilai aset dasar dengan harga strike reset yang baru yaitu

� . Sebaliknya jika harga saham pada selang waktu lebih besar dari harga strike maka opsi tidak akan di reset dan payoff-nya menjadi

. Dengan kata lain, ketika harga saham terus menerus turun maka opsi tersebut akan di-reset dengan harga strike yang baru sehingga payoff dari opsi tidak akan turun secara signifikan. Hal inilah yang menjadi tujuan dari opsi reset yaitu untuk mengindari investor dari risiko downside.

Penentuan Harga Opsi Call Window Reset dengan Metode Binomial Tree

17 Selanjutnya akan dianalisis dengan binomial tree satu periode, dua periode, empat periode dengan window reset dan ketika periode semakin meningkat maka harga opsi akan dihitung dengan simulasi menggunakan software Matlab.

Binomial Tree Satu Periode

Misalkan opsi mempunyai waktu jatuh tempo selama tahun. Pada binomial tree satu periode, opsi call window reset tidak relevan untuk digunakan karena pada binomial satu periode ini waktu hidup opsi hanya dibagi menjadi waktu awal opsi berlaku dan waktu jatuh tempo . Sehingga harga opsi ( ) yang berlaku ialah harga opsi call standar, bukan harga opsi call window reset.

_{( )}

Binomial Tree Dua Periode

Misalkan opsi memiliki waktu hidup selama tahun. Misalkan pula dalam selang waktu dibagi menjadi dua subinterval dan dengan . Dari parameter yang telah diberikan tersebut, diperoleh , , , , ,

� dengan window reset . Maka pergerakan harga sahamnya adalah sebagai berikut

6311 . 123

8858 . 80 100

8465 . 152

4251 . 65 100

1

t

2

t t



t



0

t

Gambar 9 Pergerakan harga saham dengan binomial tree dua periode

18 3561 . 32 6068 . 2 0148 . 18 8465 . 57 0 5

Gambar 10 Pergerakan harga opsi dengan binomial tree dua periode Sehingga dari Gambar 10 diperoleh harga opsi call window reset adalah

_.

Binomial Tree Empat periode

Misalkan opsi memiliki waktu jatuh tempo selama tahun. Misalkan pula selama interval waktu [ dibagi menjadi empat subinterval , ,

dan dengan . Dari parameter yang telah diberikan diperoleh , , , ,

dengan window reset . Akibatnya pergerakan harga sahamnya adalah:

9859 . 134 100 0818 . 74 1834 . 116 0708 . 86 100 8312 . 156 1834 . 116 0708 . 86 7628 . 63 0

t t₁ t₂ t₃

2119 . 182 8812 . 54 08182 . 74 100 9859 . 134 4

t

19 7108 . 45 1711 . 13 3477 . 1 7656 . 28 4594 . 7 3732 . 18 7123 . 63 0646 . 23 5958 . 2 0 2119 . 87 0 0 5 9859 . 39

Gambar 12 Pergerakan harga opsi dengan binomial tree empat periode Dari Gambar 12 pada saat opsi jatuh tempo, harga opsi adalah pengurangan dari harga saham dan harga strike jika harga saham terus bergerak naik dan sebaliknya harga opsi adalah pengurangan harga saham dengan harga strike yang baru yaitu sebesar � jika harga saham terus menerus bergerak turun, sehingga diperoleh nilai opsi call window reset adalah .

Algoritme Opsi Call Window Reset Tipe Eropa dengan Menggunakan Metode Binomial Tree (menggunakan sintaks Matlab)

Misalkan adalah harga saham pada waktu .

1. Input harga saham awal , harga strike , nilai volatilitas saham , waktu jatuh tempo , banyak periode dan level reset � , window reset

.

2. Hitung nilai .

3. Hitung peluang harga saham naik dan peluang harga saham turun . 4. Konstruksi harga saham pada masing-masing titik waktu dengan binomial tree.

Dalam selang harga saham dapat dibagi dalam subinterval (titik waktu) yang sama panjang dengan

Masing-masing subinterval memperlihatkan pergerakan harga saham naik dengan faktor pergerakan harga saham turun dengan faktor sehingga

Lakukan sampai kali pergerakan harga saham.

5. Hitung payoff opsi call window reset pada saat jatuh tempo. 5.1 Hitung nilai strike reset yaitu �

5.2 Selama window reset periksa semua kemungkinan nilai Jika � maka

Jika � maka �

20

6. Hitung harga opsi call window reset pada waktu nol mengggunakan metode backward induction.

7. Tampilkan harga opsi call window reset. Hasil Simulasi Binomial Tree

Ketika binomial tree diperluas dengan n periode maka sulit sekali untuk mencari nilai opsi call window reset secara manual. Oleh karena itu, diperlukan simulasi numerik untuk menentukan harga opsi call window reset ini. Pada karya ilmiah ini, simulasi dilakukan menggunakan software Matlab.

Kondisi simulasi diatur dengan menggunakan parameter-parameter berikut:

, , , , tahun. Berdasarkan parameter tersebut, diperoleh nilai analitik untuk opsi call Eropa adalah 18.3871. Setelah dilakukan simulasi binomial tree untuk opsi call Eropa standar dan opsi call window reset dengan banyak periode 2 sampai 1024 , � dan window reset (0,0.5) maka diperoleh Gambar 13.

Gambar 13 Hubungan antara banyaknya periode terhadap harga opsi call dengan menggunakan metode binomial tree

Dari Gambar 13 terlihat bahwa harga opsi call Eropa dengan metode binomial tree akan semakin mendekati solusi analitik untuk yang semakin besar. Setelah dilakukan simulasi untuk penentuan harga opsi call window reset menggunakan metode binomial tree terlihat adanya perbedaaan nilai yang sangat signifikan, yaitu harga opsi call window reset Eropa cenderung lebih tinggi jika dibandingkan dengan nilai opsi call Eropa standar. Perbedaan harga ini dipengaruhi oleh level reset dan window reset. Untuk melihat pengaruh kedua faktor tersebut, dilakukan simulasi dengan menggunakan parameter yang sama. Hasil simulasi pengaruh level reset terhadap harga opsi call window reset dapat dilihat pada Gambar 14.

0 10 20 30 40 50

0 500 1000 1500

Har

g

a

Op

si

C

a

ll

Banyak Periode (n)

21

Gambar 14 Hubungan antara level reset dengan harga opsi call windows reset menggunakan metode binomial tree

Dari Gambar 14 terlihat bahwa semakin besar level reset maka semakin kecil harga opsi call window reset. Namun, dari grafik terlihat pula perbedaan yang sangat signifikan pada saat level reset-nya adalah nol. Level reset sebesar nol adalah harga opsi call Eropa standar. Dengan demikian, pengaruh level reset terhadap harga opsi call window reset sangat besar yaitu semakin kecil level reset maka semakin besar harga opsi call window reset.

Selanjutnya, hasil simulasi numerik pengaruh window reset terhadap harga opsi call window reset dapat dilihat pada Tabel 1. Adapun window reset yang digunakan masing-masing adalah (0,0.25), (0,0.5) dan (0,0.75).

Tabel 1 Hubungan window reset dan banyaknya periode terhadap harga opsi call window reset menggunakan metode binomial tree

n Harga Opsi Call Window Reset

Window (0,0.25) Window (0,0.5) Window(0,0.75) 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 - 18.3732 18.4922 18.4978 39.0759 39.1262 39.123 39.1202 39.122 39.1215 18.0148 18.3732 28.2908 35.7642 39.0759 39.1262 39.123 39.1202 39.122 39.1215 - 19.9161 28.2908 35.7642 39.0759 39.1262 39.123 39.1202 39.122 39.1215

Dari Tabel 1, panjang interval window reset tidak mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap penentuan harga opsi call window reset. Pada beberapa pembagian waktu (periode) awal, harga opsi call window reset berbeda pada masing-masing window yang berbeda. Pada saat n = 2 sampai n = 16 harga opsi call window reset pada masing-masing window berbeda mempunyai nilai yang terus meningkat seiring meningkatnya periode. Namun pada saat n = 32 harga opsi call window reset mulai konstan pada masing-masing window berbeda. Semakin diperbesar periodenya maka harga opsi pada masing-masing window

0 20 40 60 80 100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Har g a Op si C a ll W in d o w R eset

22

adalah sama. Terjadinya perbedaan harga opsi call reset pada awal-awal periode dipengaruhi oleh level reset.

Beberapa faktor lain yang memengaruhi harga opsi adalah volatilitas, suku bunga bebas risiko, harga strike dan waktu jatuh tempo. Volatilitas harga saham adalah ukuran ketidakpastian mengenai pergerakan harga saham dimasa yang akan datang. Adapun pengaruh volatilitas terhap harga opsi call window reset dapat dilihat pada Gambar 15.

Gambar 15 Harga opsi call window reset menggunakan beberapa volatilitas yang berbeda dengan menggunakan binomial tree

Gambar 15 merupakan hasil simulasi untuk beberapa volatilitas yang berbeda. Semakin tinggi nilai volatilitas maka semakin tinggi pula kemungkinan harga aset menjadi naik, akibatnya harga opsipun meningkat seiring dengan meningkatnya volatilitas. Kenaikan volatilitas ini akan menaikkan risiko saham. Hal ini memengaruhi investor untuk menjual saham tersebut dalam jangka waktu yang cepat.

Suku bunga menggambarkan keadaan perekonomian suatu negara. Suku bunga merupakan salah satu variabel yang senantiasa diamati karena berdampak luas bagi perekonomian. Suku bunga bebas risiko mempunyai pengaruh yang cukup besar dalam dunia pasar modal. Berikut adalah hasil simulasi pengaruh suku bunga terhadap harga opsi call window reset.

Gambar 16 Hubungan antara suku bunga bebas risiko terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan binomial tree

Dari Gambar 16, dapat dilihat bahwa suku bunga bebas risiko mempunyai hubungan yang linier terhadap harga opsi call window reset. Peningkatan suku bunga akan mengakibatkan penurunan nilai tunai dari harga strike, sehingga nilai opsi call window reset akan semakin meningkat.

38 40 42 44 46 48

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Har g a Op si C a ll W in d o w Reset

Volatilitas ( )

34 35 36 37 38 39 40

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Har g a Op si C a ll W in d o w R eset

23 Harga strike merupakan harga kesepakatan pada saat kontrak diberlakukan. Harga strike mempunyai pengaruh terhadap harga opsi. Untuk melihat pengaruh harga strike terhadap harga opsi call window reset dilakukan simulasi dan diperoleh Gambar 17.

Gambar 17 Hubungan antara harga strike terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan binomial tree

Dari Gambar 17 terlihat bahwa semakin besar harga strike maka semakin kecil harga opsi call window reset. Hal ini disebabkan oleh semakin tinggi harga strike maka semakin tinggi pula reset strike sehingga payoff pada saat jatuh tempo menjadi semakin kecil dan harga opsipun menjadi semakin kecil.

Waktu jatuh tempo merupakan jangka waktu suatu opsi dapat dieksekusi. lamanya waktu jatuh tempo akan menpengaruhi harga opsi. Hal ini terkait oleh semakin lama masa jatuh tempo maka semakin besar peluang berubahnya harga saham yang akhirnya juga akan memengaruhi harga opsi. Pada dasarnya, berbanding lurus dengan harga opsi. Hasil simulasi diberika pada Gambar 18.

Gambar 18 Hubungan antara waktu jatuh tempo ( ) dan harga opsi call window reset dengan menggunakan binomial tree

Pada Gambar 18 terlihat semakin lama waktu jatuh tempo maka semakin tinggi nilai opsi call window reset. Hal ini disebabkan oleh semakin lama waktu jatuh tempo maka nilai sekarang dari harga strike akan menurun sehingga harga opsipun semakin meningkat.

Dari semua hasil simulasi metode binomial di atas, dapat disimpulkan bahwa harga opsi call window reset cenderung lebih tinggi dibandingkan dengan

0 10 20 30 40 50 60

0 1 2 3 4 5

H ar ga Op si C a ll Wi n d o w Re s e t

Waktu Jatuh Tempo (T₎

0 20 40 60 80 100 120

0 100 200 300 400

H ar ga Op si C a ll Wi n d o w Re s e t

24

harga opsi call Eropa standar. Hal ini dikarenakan adanya pengaruh level reset yang menyebabkan harga strike di-reset menjadi � jika selama window reset

harga saham melewati nilai � sehingga berakibat pada meningkatnya harga opsi. Selain itu, harga opsi call window reset juga dipengaruhi oleh beberapa faktor lain, yakni tingkat suku bunga bebas risiko, volatilitas, harga strike dan waktu jatuh tempo. Volatilitas yang semakin meningkat, suku bunga bebas risiko yang semakin besar, dan waktu jatuh tempo yang panjang mengakibatkan harga opsi call window reset menjadi semakin meningkat, sedangkan harga strike yang terus menerus meningkat mengakibatkan harga opsi call window reset menjadi semakin kecil. Adapun untuk panjang interval window reset tidak berpengaruh besar terhadap harga opsi call window reset.

Penentuan Harga Opsi CallWindow Reset dengan Metode Trinomial Tree

Trinomial tree menyajikan gambaran diskret lain dari pergerakan harga saham. Trinomial tree dikonstruksi dengan cara yang serupa dengan binomial tree. Perbedaannya hanya terletak pada pergerakan harga sahamnya yaitu peluang harga saham naik dengan peluang , peluang harga saham turun dengan peluang dan peluang harga saham tetap . Misalkan dalam selang waktu harga saham dapat bergerak naik dengan faktor menjadi , harga saham tetap dan harga saham turun dengan faktor d menjadi . Dalam Hull (2006) ditentukan dengan √ dan √ . Adapun peluang pergerakan harga saham naik dan turun masing-masing adalah sebagai berikut.

√ , √

.

Misal suatu opsi call mempunyai waktu jatuh tempo 1 tahun dengan parameter

, , , , , � , window reset

.

Trinomial Tree Satu Periode

Seperti halnya binomial tree satu periode, trinomial tree satu periode juga tidak relevan digunakan untuk menghitung nilai opsi window reset karena pada trinomial satu periode ini, harga saham hanya dapat bergerak naik, tetap dan turun hanya satu kali yaitu pada saat jatuh tempo.

Trinomial Tree Dua Periode

Misalkan suatu opsi mempunyai masa hidup tahun, dalam selang waktu tersebut dibagi dalam dua subinterval dan yang masing-masing subinterval memiliki peluang untuk bergerak naik, tetap ataupun bergerak turun. Misalkan pula window reset opsi adalah . Dari parameter yang telah diberikan di atas maka diperoleh , , ,

25

69.2516 100

144.4009

100

208.5163

144.4009

100

2516 . 69

47.9579

1

t

2

t t

 t



0

t

Gambar 19 Pergerakan harga saham dengan trinomial tree dua periode Pada Gambar 19 terlihat bahwa window reset terletak pada selang

. Jika selama window reset tersebut harga saham lebih kecil dari reset strike maka harga strike akan di-reset menjadi harga strike yang baru sehingga pada saat jatuh tempo harga opsi adalah sebesar pengurangan harga saham dan harga strike baru. Jika harga saham lebih besar dari harga reset strike maka harga strike tidak akan di-reset sampai masa jatuh tempo dan harga opsi pada saat jatuh tempo adalah sebesar pengurangan harga saham dengan harga strike awal. Adapun pergerakan harga opsi diberikan pada Gambar 20.

0.9151 17.6866

53.1037

12.2436

113.5163

49.4009

5

0

0

26

Trinomial Tree Empat Periode

Misalkan suatu opsi mempunyai masa hidup tahun. Misalkan pula selama interval waktu dibagi menjadi empat subinterval

dengan .

Dari parameter yang diberikan diperoleh 1.2967, 0.7712 , dan

. 0.1835 , 0,6667 dan 0,1498 dengan window reset . Akibatnya pergerakan harga sahamnya diberikan pada Gambar 21 berikut.

77.1200 100

129.6681

100 100

45.8671

0

t

1

t t₂

218.0214 218.0214

100

3

t t₄

100

129.6681 129.6681

129.6681

168.1381 168.1381

168.1381

59.4749

282.7041

77.1200 77.1200

77.1200

59.4749 59.4749

45.8671

35.3727

27

14.8847 29.4799

47.1966

28.7766 29.6866

0

124.8941 _123.0214

5 . 33 28.6294

34.6681 40.7297

44.4680

75.0127 _73.1381 77.4648

3.5804

187.7041

12.9655 14.0929

1.9102

0 0

0 10.6200

Gambar 22 Pergerakan harga opsi dengan trinomial tree empat periode Dari Gambar 22, setelah pergerakan harga opsi call window reset dikontruksi mulai dari sampai maka diperoleh harga opsi call window reset adalah sebesar 29.4799.

Algoritme Opsi Call Window Reset Tipe Eropa dengan Menggunakan Metode Trinomial Tree untuk n Periode (Menggunakan Sintaks Matlab)

Misalkan adalah harga saham pada waktu .

1. Input harga saham awal , harga strike , nilai volatilitas saham , waktu jatuh tempo , banyak periode dan level reset � , window reset

2. Hitung nilai ,

3. Hitung peluang harga saham naik dan peluang harga saham turun . 4. Konstruksi harga saham pada masing-masing titik waktu dengan trinomial

tree

Dalam selang , harga saham dapat dibagi dalam subinterval (titik waktu) yang sama panjang dengan

Masing-masing subinterval memperlihatkan pergerakan harga saham naik dengan faktor pergerakan harga saham tetap dengan faktor pergerakan harga saham turun dengan faktor sehingga

Lakukan sampai kali pergerakan harga saham

5. Hitung payoff dari opsi call window reset pada saat jatuh tempo 5.1 Hitung nilai strike reset yaitu �

28

Jika � maka Jika � maka �

5.3 Payoff pada saat jatuh tempo adalah sebesar max

6. Hitung harga opsi call window reset pada waktu nol mengggunakan metode backward induction

7. Tampilkan harga opsi call window reset Hasil Simulasi Trinomial Tree

Sama halnya dengan binomial tree, ketika trinomial tree ini diperluas dengan periode maka sulit sekali untuk menentukan harga opsinya. Oleh karena itu, diperlukan simulasi numerik untuk menghitung harga opsi dengan periode tersebut. Simulasi dilakukan menggunakan software Matlab. Kondisi simulasi diatur dengan menggunakan parameter-parameter berikut: , ,

, , tahun, � .

Simulasi yang pertama dilakukan untuk melihat perbedaan harga antara opsi call Eropa standar dan opsi call window reset dengan menggunakan simulasi untuk trinomial tree. Hasil simulasi antara opsi call standar dan opsi call window reset diberikan pada Gambar 23.

Gambar 23 Hubungan antara banyaknya periode terhadap harga opsi call dengan menggunakan trinomial tree

Dari Gambar 23, terlihat bahwa semakin banyak periode maka harga opsi semakin konstan dan terlihat pula bahwa harga opsi call window reset cenderung lebih tinggi dibandingkan dengan harga opsi call Eropa standar. Hal ini disebabkan oleh adanya pengaruh level reset yang mengakibatkan harga strike di-reset menjadi nilai baru yaitu sebesar � dan menyebabkan harga opsi menjadi semakin besar. Adapun pengaruh dari level reset terhadap harga opsi call window reset dapat dilihat pada Gambar 24.

0 10 20 30 40 50

0 200 400 600 800 1000 1200

Har

g

a

Op

si

Banyak Periode (n)

Opsi Call Window Reset

29

Gambar 24 Hubungan antara level reset terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan trinomial tree

Gambar 24 menunjukkan bahwa level reset yang sangat kecil, dalam hal ini level reset sebesar nol maka harga opsi call window reset sama dengan harga opsi call Eropa standar, namun setelah level reset diperbesar 0.1 maka harga opsi call window reset meningkat secara signifikan dan setelah level reset diperbesar 0.1 kembali maka harga opsi call window reset lama kelamaan menjadi semakin kecil seiring dengan semakin besarnya level reset.

Perbedaan antara opsi call Eropa standar dan opsi call window reset terletak pada level reset dan window reset-nya. Adapun pengaruh window reset terhadap harga opsi call window reset diperlihatkan pada Tabel 2.

Tabel 2 Hubungan window reset dan banyaknya periode terhadap harga opsi call window reset dengan menggunakan trinomial tree

n Harga Opsi Call Window Reset

Window (0,0.25) Window (0,0.5) Window(0,0.75) 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 - 18.242 18.4185 39.098 39.1278 39.1218 39.1193 39.1224 39.1215 39.1212 17.6866 29.4799 37.1189 39.098 39.1278 39.1218 39.1193 39.1224 39.1215 39.1212 - 29.4799 37.1189 39.098 39.1278 39.1218 39.1193 39.1224 39.1215 39.1212

Pada Tabel 2 terlihat bahwa panjang interval window reset tidak begitu berpengaruh pada harga opsi call window reset. Hasil simulasi menunjukkan bahwa pada awal-awal periode waktu, yakni. pada saat n = 2 sampai n = 8 harga opsi call window reset mempunyai nilai yang berbeda pada masing-masing window berbeda. Adanya perbedaan harga opsi call window reset pada awal-awal periode tersebut disebabkan oleh level reset dan window reset, sehingga mengakibatkan harga strike selama window reset harus di-reset menjadi nilai yang baru. Sedangkan pada saat n = 16 dan seterusnya terlihat harga opsi call window reset mulai konstan untuk window yang berbeda dan periode yang sama.

Selain dipengaruhi oleh level reset dan window reset, harga opsi call window reset juga dipengaruhi oleh beberapa faktor lain yaitu, volatilitas, suku

0 20 40 60 80 100