Penaksiran parameter
•
�
,
�
, ….,
�
�sampel acak ukuran n dari
populasi ukuran N
•
Rataan:
�
=
� ��
�
�•
Variansi:
=
� ��
�
�− �
**2
Penaksiran Parameter
•
Pendugaan parameter mean dan proporsi
untuk 1 populasi dan 2 populasi
•
Bila sampel ukuran n diambil dengan
pengembalian dari populasi berukuran N yang
mempunyai mean
μ
dan simpangan baku
σ
,
maka untuk n cukup besar rataan
�
mendekati distribusi normal dengan mean
μ
�=
μ
, dan simpangan baku
σ
�=
σ
/
�
Contoh
• Populasi: P � = = 3/10, P � = = 1/10,
P � = = 1/10, P � = = 1/10, P � = = 3/10, P � = = 1/10
• μ = , σ = 5
• n=36 sampel dengam pengembalian
• � → ~ N μ� , σ�
• μ� = μ = 4, σ� = / = 0,373
• P , < � ≤ , = Φ ,
, - Φ
,
, =
Contoh sampling dengan
pengembalian
X ~ f � = , x = 0,1,2,3, μ= = ,
σ = / / / / =5/
4
n = 2 dengan pengembalian
, , , , , / , , , , , , ,
, , , , , / , , , ,
, , , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , , ,
Sebaran rataan
� # P � = �
1 1 1/16
1/2 2 2/16
1 3 3/16
1 4 4/16
2 3 3/16
2 2 2/16
Sampling tanpa pengembalian
•
Sampel acak ukuran n diambil tanpa
pengembalian dari populasi ukuran N dengan
mean
μ
dan simpangan baku
σ
, maka rataan
sampel
�
memiliki distribusi hampiran normal
dengan mean
μ
�=
μ
dan simpangan baku
σ
�=
σ�
Sampel tanpa pengembalian
•
, , /
,
, ,
,
, ,
,
, ,
,
, ,
,
, ,
,
, ,
,
, ,
,
, ,
,
, ,
,
, ,
,
, ,
•
# = 12
Teorema Limit Pusat
• Bila suatu sampel acak ukuran n diambil dari populasi takhingga dengan nilai mean μ dan variansi σ , maka rataan sampel � akan
menghampiri distribusi normal dengan mean μ� = μ dan simpangan baku σ� = σ/ �;
• Z = � μ
σ/ � → ~ N ,
• X = umur bola lampu, X ~
N μ = jam, σ = jam . n = 16.
P � ≤ = Φ
/ = Φ = Φ − , =
Distribusi t
•
Variansi populasi
σ
tidak diketahui. Taksiran
σ
diberikan oleh
;
σ =
•
=
� ��
�
�− �
=
� � � � �
•
n ≥ 0,
� � μ�→ ~ N
,
•
n < 30,
berfluktuasi ,
� � μ�
→ ~
�
�Contoh
• P −�, < ≤ �, = 1 - ,05 - ,025 = ,925
• n=15, tentukan k sehingga P � < ≤ − , = 0,045.
Dari tabel � , ; = 1,761. -�, ; = -1,761. k terletak di kiri -�, ; = -1,761, misal k = -�α. Diperoleh ,045 = ,05 – α. α =,005. k = -�, ; = -2,977. P − , < ≤ − , = 0,045
• Produsen bohlam menyatakan umur rata-rata bohlam
produksinya 500 jam. Setiap bulan diuji n = 25 bohlam. Bila -�, ; < T < �, ; produksi in-control. Kesimpulan bila � = 518, S = 40. T = = 2,25 > �, ; = 1,711.
Distribusi selisih rataan
• Populasi 1: μ , σ , � , �
• Populasi 2: μ , σ , � , �
• Distribusi � - �
• Populasi 1: 3, 5, 7: μ = 5, σ = / , � = 2. Populasi 2: 0, 3: μ = 3/2, σ = / , � = 3
• Nilai rataan sampel populasi 1: , , , , , ,
, , , , , , , , , , , , , , ,
, , , , , . Populasi 2: , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , , , , , , ,
, , , , , , ,
�
� 3 4 5 4 5 6 5 6 7 0 3 4 5 4 5 6 5 6 7
1 2 3 4 3 4 5 4 5 6
1 2 3 4 3 4 5 4 5 6
1 2 3 4 3 4 5 4 5 6
2 1 2 3 2 3 4 3 4 5
2 1 2 3 2 3 4 3 4 5
2 1 2 3 2 3 4 3 4 5
� − � # P
0 1 1/72
1 5 5/72
2 12 12/72
3 18 18/72
4 18 18/72
5 12 12/72
6 5 5/72
Mean dan Variansi
•
μ
=
= 5, Var
�
=
=
Mean dan Variansi selisih rataan
•
μ
� �=
μ
�-
μ
�=
μ − μ
•
Var
� − �
= Var
� − �
= Var
�
+
Var
�
=
�� ��
+
�� � �
•
μ
� �= 5
–
1,5 = 3,5
Distribusi selisih rataan
•
Z =
� � μ μ�� � /� �� � /�
→ ~ N
,
•
Contoh
�
= 5, N
μ =
, σ =
;
�
=
4, N
μ =
, σ =
. Tentukan
P
� − � ≤ ,
.
μ
� �= 50
–
40 = 10,
Var
� − �
= + = 2,8,
σ
� �=
,
=
1,673. P
� − � ≤ ,
=
Φ
,,
=
Contoh
• Televisi merek A mempunyai nilai mean umur μ = 6,5 tahun dan simpangan baku σ = 0,9 tahun. Merek B mempunyai mean μ = 6 tahun,
simpangan baku σ = 0,8 tahun. Tentukan
peluang sebuah sampel 36 televisi A mempunyai rataan sekurang-kurangnya satu tahun lebih lama dari rataan umur 49 merek B. μ� � = 6,5 – 6 = 0,5, σ� � = , + , = 0,189.
P � − � > = 1 - Φ ,
, = 1 – 0,996 =
Latihan
1. Suatu mesin minuman diatur agar volume minuman yang dikeluarkan rata-rata 50 ml dan simpangan baku 15 ml. Secara periodik mesin diperiksa dengan mengambil
sampel 40 gelas kemudian dihitung rataannya. Bila rataan 40 gelas berada dalam selang μ� ± σ� mesin berkerja
dengan baik, bila tidak mesin diatur kembali. Kesimpuan apa yang diperoleh bila rataan 40 gelas adalah � = 236 ml. Berikan penjelasannya
2. Suatu baterai memcapai usia rata-rata 30 jam. 16 baterai diuji setiap bulan. Bila nilai t terletak antara -�, dan
Penaksiran parameter
• Satu populasi. Penaksiran mean. μ = � . Sebaran
� berpusat di μ. σ� = σ/ � → 0, n → ∞, rataan menghasilkan ragam yang kecil (akurat)
• P � − �� σ
� < μ < � + �� σ
� = 1 – α
• Selang konfidensi − α 100% untuk μ: �
± �α σ
�.
• n=36 > 30, � = 2,6, S = 0,3. σ ≅ = 0,3, �, = 1,96. 95% SK untuk μ: 2,6 ± 1,96× , =
Selisih dua mean
•
− α
100% selang konfidensi untuk
μ − μ
:
� − �
�
α �� ��
+
�� � �
•
�
= 50,
�
= 75,
� =
,
= 6,
� =
Variansi tidak diketahui
• � < 30, � < 30, sampel kecil, σ = σ = σ
• = � � � �
� �
• Selang konfidensi utk μ − μ : (� − � ) ±
�α,�
� + �
• � = 12, � = 10, � = , = 4, � = , = 5. Tentukan selang konfidensi 90% untuk selisih mean.
� − � = 85 – 81 = 4. = × × = , = 4,478,
α = 10%, �, ; = 1,725. SK : 4 ± , × , + →
Proporsi
• p proporsi sukses percobaan binomial. Penaksir
� = �
�, x menyatakan banyak sukses dari n
ulangan.
• Selang konfidensi − α 100% untuk parameter
p: � ± �α
�
• n=500, 160 menyukai seafood. Selang
konfidensi 95% untuk proporsi sesunguhnya yg
menyukai seafood: 0,32 ± , , × = 0,32 ±
Selisih proporsi
• Selang konfidensi − α 100% untuk � − � : � -
� ± �α
� +
�
• 2400 dari 5000 penduduk kota dan 1200 dari 2000 penduduk disekitar kota setuju dgn rencana
pembangunan gedung serba guna. Tentukan selang konfidensi 90% untuk selisih proporsi sebenarnya
� = = , , � = = , . � − � =
− , . �: − , ± , ×, + , ×, = − , ±
Latihan
1. Sistem peluncuran roket yg baru
dipertimbangkan utk digunakan. Sistem lama peluang keberhasilan 0,8. Sistem baru dari 40 peluncuran, 34 berhasil a. Selang konfidensi 95% utk p b. apakah sistem baru lebih baik
2. 52 dari 100 penduduk kota dan 34 dari 125
