bab-3-mencari-akar-persamaan-non-linier-dengan-metode-newton-rhapson.docx

(1)

LAPORAN PRAKTIKUM KOMPUTASI PROSES

BAB III

MENCARI AKAR PERSAMAAN NON LINIER DENGAN

METODE NEWTON RHAPSON

DISUSUN OLEH

Nama

: Noni Ayu Rizka

NIM

: 12521004

Kelas

: A

Asisten

: 1. Heni Anggorowati

2. Agus Kurniawan

3. Andry Septian

4. Ria Ariani

LABORATORIUM KOMPUTASI PROSES

JURUSAN TEKNIK KIMIA

FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI

UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA

(2)

DAFTAR ISI

Daftar Isi... 1 BAB I

A. Tujuan... 2 B. Dasar Teori... 2 BAB II

C. Latihan Soal... 6 D. Tugas... 8 BAB III

(3)

BAB I

MENCARI AKAR PERSAMAAN NON LINIER DENGAN METODE

NEWTON RHAPSON

A. Tujuan

Agar mahasiswa dapat mencari akar persamaan non linear menggunakan penyelesaian numerik.

B. Dasar Teori

Persamaan adalah suatu pernyataan matematika dalam bentuk simbol yang menyatakan bahwa dua hal adalah persis atau sama. Terdapat dua macam persamaan, yaitu persamaan linier dan non linier. Persamaan linier adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam sistem koordinat kartesius.

Perbedaannya :

1. Bentuk Persamaan

 Persamaan linier  ax + b =0

 Persamaan non linier  ax2_{+ bx + c = 0}

2. Bentuk Grafik

 Persamaan linier  garis lurus

y

x Gambar 2.1. Grafik garis lurus

 Persamaan non linier  parabola

y y

x x

(4)

Penyelesaian persamaan Non Linear : Penyelesaian persamaan non linier

1. Metode Tertutup

 Mencari akar pada range (a,b) tertentu.

 Dalam range (a,b) dipastikan terdapat satu akar.

 Hasil selalu konvergen, disebut juga metode konvergen. 2. Metode Terbuka

 Diperlukan tebakan awal.

 xn dipakai untuk menghitung xn+1.

 Hasil dapat konvergen atau divergen. Metode Tertutup

 Metode tabel

 Metode Biseksi

 Metode Regula Falsi Metode Terbuka

 Metode iterasi sederhana

 Metode Newton – Rhapson

 Metode Secant.

Dalam bidang teknik sering didapatkan persamaan non linear : f(x) = 0. Ingin dicari hagra x yang memenuhi persamaan tersebut. Ada beberapa cara numeris yang dapat digunakan. Di sini akan dibahas cara Newton Rhapson.

Mula – mula diramal suatu harga x, (misal xold), yang kira – kira dapat

memenuhi. Berdasarkan harga tersebut dicari harga x yang lebih baik, yaitu xnew, yang didapatkan dengan persamaan :

x_new=x_old− f

(

xold

)

(5)

Selanjutnya harga xnew menjadi xold untuk mencari xnew berikutnya.

Demikian seterusnya hingga diperoleh harga x yang cukup baik. Hal ini ditandai dengan harga xnew mendekati xold atau harga : f(xnew) ≈ 0

Newton Rhapson

Metode newton raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut.

x  xold  xnew=xold− f

(

xold

)

f'

(

x_new

)

Iterasi dihentikan ketika

xold ≈ xnew

f(xold) ≈ 0

Algoritma

1. Menentukan nilai x dan ε 2. Menghitung nilai f(xold)

3. Menghitung nilai f ’(xold) dengan cara central

f'

(

x_old

₎

=f

(

xold+ε

)

−f

(

xold−ε

)

2ε

4. Menghitung xnew

x_new=x_old− f(xold)

(6)

BAB II

4.0000 20.8000 5.0000 -0.1600

-0.1600 3.4611 3.3360 -1.1975

-1.1975 0.2153 2.9210 -1.2712

-1.2712 0.0011 2.8915 -1.2716

-1.2716 0.0000 2.8914 -1.2716

Nomor 2

xold 8

ε 0.0004

xold f(xold) f''(xold) xnew

8.0000 2.6998 -0.5141 13.2512

13.2512 3.4564 0.3916 4.4243

4.4243 0.2706 0.5710 3.9504

3.9504 0.1002 0.1489 3.2778

3.2778 0.1736 -0.3213 3.8183

3.8183 0.0879 0.0371 1.4506

1.4506 0.1030 1.7837 1.3928

1.3928 -0.0105 2.1627 1.3977

1.3977 -0.0001 2.1271 1.3977

1.3977 0.0000 2.1268 1.3977

Nomor 3

xold 5

ε 0.0005

(7)

4.0354 50.3851 51.4924 3.0569

3.0569 19.0869 18.1470 2.0051

2.0051 7.4215 6.4165 0.8484

0.8484 2.1614 3.6391 0.2545

0.2545 -0.0115 3.7808 0.2575

0.2575 0.0000 3.7787 0.2575

Nomor 4

xold 9

ε 0.0002

9.0000 290.2201 107.6852 6.3049

6.3049 99.1415 37.1692 3.6376

3.6376 19.4273 12.5900 2.0945

2.0945 3.2504 -0.8951 5.7259

5.7259 74.0821 28.9486 3.1668

3.1668 11.0223 9.1240 1.9588

1.9588 3.1884 2.3249 0.5874

0.5874 0.3069 1.1677 0.3245

0.3245 -0.2097 2.3056 0.4155

0.4155 -0.0016 2.2209 0.4162

0.4162 0.0000 2.2190 0.4162

D. Tugas

xold 5

ε 0.0005

5.0000 52.1735 19.5647 2.3333

2.3333 20.0821 10.6388 0.4456

0.4456 -1.5907 3.8438 0.8595

0.8595 0.8794 8.5308 0.7564

0.7564 0.0704 7.1700 0.7466

0.7466 0.0006 7.0425 0.7465

0.7465 0.0000 7.0414 0.7465

(8)

BAB III

E. Kesimpulan dan Saran

Kualitatif

Dari latihan yang dilakukan diperoleh kesimpulan bahwa semakin besar nilai xold maka semakin banyak pula iterasi yang dilakukan. Hal ini

dikarenakan nilai tebak dari xold jauh dari nilai yang sebenarnya, sehingga

diperlukan beberapa kali iterasi agar mendapat nilai x yang sebenarnya. Selesainya iterasi ditandai dengan nilai xold dan xnew yang sama, dan f(xold)

bernilai 0. xold dan xnew pada f(xold) = 0 tersebut merupakan akar dari persamaan

yang dicari.

Metode Newton Rhapson merupakan metode terbuka yaitu diperlukan tebakan awal, xn dipakai untuk menghitung xn+1, hasil dapat konvergen atau

divergen. Metode Newton Rhapson memiliki kelebihan dan kekurangan, kelebihan metode ini antara lain adalah konvergensi yang dihasilkan lebih cepat. Beberapa kekurangannya adalah tidak selalu menemukan akar atau divergen karena tidak ditentukannya range dari akar – akar yang dicari, selain itu sulit untuk mencari f ’(xold) dan penetapan xold yang cukup sulit.

Kuantitatif

Pada soal latihan 1 dengan xold tebak sebesar 4 dan ε 0,0001 diperoleh

akar xold dan xnew pada f (xold) = 0 sebesar -1,2716 dengan f ’(xold) sebesar

2,8914.

akar xold dan xnew pada f (xold) = 0 sebesar 1,3977 dengan f ’(xold) sebesar

2,1268.

3,7787.

2,2190.

Pada tugas dengan xold tebak sebesar 5 dan ε 0,0005 diperoleh akar xold

(9)

Saran

Dalam penulisan rumus atau formula pada Microsoft Excel dibutuhkan ketelitian yang tinggi karena tanda kurung dan simbol – simbol matematika yang digunakan cukup banyak pada praktikum ini. Ketidaktelitian dalam membaca soal dapat berakibat hasil perhitungan yang tidak sesuai. Pada praktikum ini dibutuhkan ketelitian terutama dalam penulisan rumus f’(xold)

karena rumus yang digunakan cukup panjang sehingga kesalahan penulisan sangat mungkin dan sering terjadi pada saat melakukan praktikum.

F. Daftar Pustaka

Penyelesaian Persamaan Non Linier. Diakses 28 Oktober 2014 20:39 http://lecturer.eepis-its.edu/~alfaruqi/mnumerik/bab3tm.pdf

Persamaan. Diakses 28 Oktober 2014 19:52 http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan

Persamaan Linier. Diakses 28 Oktober 2014 19:57 http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_linear

Persamaan Non Linier. Diakses 28 Oktober 2014 20:31