METODE UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH
m-RING STAR BERKAPASITAS
TESIS
Oleh
KHAIRUNISA SIREGAR 077021005/MT
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
METODE UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH
m-RING STAR BERKAPASITAS
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara
Oleh
KHAIRUNISA SIREGAR 077021005/MT
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Judul Tesis : METODE UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH m-RING STAR BERKAPASITAS
Nama Mahasiswa : Khairunisa Siregar Nomor Pokok : 077021015
Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Dr. Saib Suwilo, M.Sc) (Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Direktur
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)
Telah diuji pada Tanggal: 29 Mei 2009
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Dr. Saib Suwilo, M.Sc
Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang 2. Dr. Tulus, M.Si
ABSTRAK
Masalah m-Ring Star Dengan Kapasitas (m-RSK) adalah masalah desain jaringan, dengan merancang suatu himpunan ring yang lewat melalui pusat depot dan melalui beberapa titik transisi dan titik pelanggan. Digunakan Graph untuk mendesain srukturm-ring star. Banyaknya pelanggan pada ring atau terhubung pada ring dibatasi oleh banyaknya fiber dikabel. Jumlah total dari titik pelang-gan terkunjung atau dihubungkan ke ring terbatas (≤ Q). Tujuannya adalah untuk meminimalkan biaya pemindahan dan biaya rute jaringan. Tulisan ini mempresentasikan dan membahas dua formulasi matematika yaitu formulasi arus dua komoditas dan formulasi dua- indek. Dipaparkan pula metode yang lain un-tuk menyelesaikan masalah m-Ring Star yaitu dengan metode Branch and Price. Cara kerjanya dicoba atas sekelompok besar kasus, termasuk kasus dunia nyata dan kinerja yang baik dari pendekatan yang diajukan ternyata terbukti.
ABSTRACT
The Capacitated m-Ring Star Problem is the problem of network design, by de-signing a set of ring that pass trough a central depot and trough some transition point and customer point.Graph is used to design the m-Ring Star structure. The number of customers on the ring or connect to the ring is limited by the numberof the fiberin the cable. The total amount of customersis connected to the limited ring (≤ Q). It is used to minimize the finance route. The writing is presented and discussed two mathematics formulation,is two commoditas current formula and two indeksformula. It is also explain another method. To solve the m-Ring Star problem is by using Branch And Price method. The way of doing it by trying based a great cases group, include the real world case, and the good network from the approach that is tought, really approve.
Keywords : m-Ring Star, depot, customer, Branch and Price.
KATA PENGANTAR
Sebagai umat beragama tak bosan-bosannya penulis bersyukur kehadirat ALLAH SWT, sehingga dapat menyelesaikan tesis ini sebagai tugas akhir pada Sekolah Pascasarjana Program Studi Magister Matemetika Universitas Sumatera Utara dengan judul ”Metode untuk menyelesaikan masalah m-Ring Star Berka-pasitas”. Tesis ini merupakan persyaratan tugas akhir pada Program Studi Mate-matika SPs Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya ke-pada :
Kepala Bappeda Propinsi Sumatera Utarabeserta stafnya yang memberikan beasiswa kepada penulis,Kepala Dinas Pendidikan Kota Medan yang telah mem-beri izin mengikuti perkuliahan Program Pasca Sarjana di Universitas Sumatera utara.
Prof.dr.Chairuddin P.Lubis, DTM&H, Sp.A(K)selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa B, M.Sselaku Direktur Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara beserta stafnya yang memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti perkuliahan pada angkatan ke III Program Edukator Tahun 2007.
Dr. Saib Suwilo, M.Scselaku Sekretaris Program Studi Matematika SPs USU dan ketua komisi pembimbing, yang berkat bantuan dan motivasi beliau darima masa perkuliahan hingga sampai pada penyelesaian tesis ini.
Dr. Tulus, M.Si selaku pembanding yang banyak memberikan saran dan ma-sukan kepada penulis sehingga penulisan tesis ini menjadi lebih sempurna.
Drs. Sawaluddin, MIT selaku pembanding yang juga begitu banyak mem-berikan saran dan masukan selama penulisan tesis hingga tesis ini dapat disele-saikan.
Dra. Mardiningsih, M.Si, salah satu staf pengajar pada SPs Program Studi Matematika yang selalu meluangkan waktu dan tempatnya untuk membantu penulis dalam menyelasaikan tesis ini.
Prof. Dr.Iryanto, M.Si, Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Dr. Sutar-man, M.Sc, Drs. Marwan Harahap, M.Eng, Drs. Open Darnius, M.Sc, Drs.Suwarno Arismoyo, M.Si selaku staf pengajar pada SPs Program Studi Matematika atas bimbingan dan motivasi selama masa perkuliahan.
Bunda Dra. Hj. Rebekka Girsangselaku Kepala SMAN 1 Medan yang telah memberikan kesempatan dan semangat kepada penulis sejak awal perkuliahan hingga selesai masa perkuliahan.
Kepada orang tua penulis (Alm) H.Muhammad Ridwan Siregar dan Hj. Hindun; Mertua(Alm) H.Hamzah Nasution dan Hj.Sudihernaniatas dukungan serta doanya sehingga penulis dapat menyelesaikan studi pada Sekolah SPs USU.
Suami tercinta Irwansyahrial, S.Pd yang banyak menghabiskan waktu, tenaga, kesabaran dan memberikan semangat pada penulis hingga penulis da-pat menyelesaikan perkuliahan dan penulisan tesis ini. Putra tercinta Khairi Al-Maftuh yang selalu rela ditinggalkan ibundanya untuk menyelesaikan perku-liahan hingga penulisan tesis ini.
Dra. Roslinawati Harahap, sebagai kakak dan juga sahabat yang selalu bersama selama perkuliahan hingga penyelesaian tesis ini.
Khususnya kepda abang, kakak dan adik-adikku yang telah turut membantu perkuliahan dan penulisan tesis ini hingga selesai. Semoga kesehatan dan berkah dilimpahkan oleh ALLAH SWT kepada mereka.
Kiranya tesis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang telah turut mem-bantu perkuliahan dan penulisan tesis ini hingga selesai, amin.
Medan, Mei 2009 Penulis,
RIWAYAT HIDUP
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . i
ABSTRACT . . . ii
KATA PENGANTAR . . . iii
RIWAYAT HIDUP . . . vi
DAFTAR ISI . . . vii
DAFTAR TABEL . . . ix
DAFTAR GAMBAR . . . x
BAB 1 PENDAHULUAN . . . 1
1.1 Latar Belakang . . . 1
1.2 Rumusan Masalah . . . 2
1.3 Tujuan Penelitian . . . 3
1.4 Manfaat Penelitian . . . 3
1.5 Metodologi Penelitian . . . 3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . 4
BAB 3 PENGERTIAN PERSOALAN M-RING STAR BERKAPASITAS 6 3.1 Graph . . . 6
3.2 Definisi Graph . . . 6
3.3 Pengelompokan Graph . . . 7
3.3.1 Graph Sederhana . . . 7
3.3.2 Graph Tak Sederhana . . . 8
3.5 Program Integer . . . 14
BAB 4 PEMBAHASAN . . . 17
4.1 Formulasi Matematika . . . 17
4.2 Formulasi Dua-Indeks . . . 17
4.3 Formula Dua Arus Komoditas . . . 20
4.4 Metode Branch and Price (Generasi Kolom) . . . 25
4.5 Model Pemisahan . . . 29
4.6 Pembatasan yang Berbeda pada Himpunan Bagian . . . 30
4.7 Pembatasan yang Identik pada Himpunan Bagian . . . 31
4.8 Pencabangan . . . 32
4.9 Himpunan Problema Master Pemisahan . . . 32
4.10 Batasan yang Identik pada Himpunan Bagian . . . 34
4.11 Batasan yang Berbeda pada Himpunan Bagian . . . 35
BAB 5 KESIMPULAN . . . 37
DAFTAR PUSTAKA . . . 38
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
3.1 Simple Graph . . . 7
3.2 Representasi Grafis Undirected Graph . . . 8
3.3 Graph Tidak Sederhana . . . 8
3.4 Graph Berbobot . . . 9
3.5 Graph Berarah . . . 9
3.6 Adjacent Edge . . . 11
3.7 Graph Bipartisi . . . 12
3.8 m-Ring Star Berkapasitas . . . 14
4.1 m-Ring Star Berkapasitas dengan 5 Pelanggan . . . 21
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teknologi baru dibidang telekomunikasi memberikan tantangan masalah de-sain jaringan(Gourdin, Labbe dan Yaman, 2002). Tesis ini menampilkan masalah baru yang diberi nama m-Ring Star berkapasitas (mRSK) yang terdiri dari peran-cangan suatu himpunan cycle (ring) yang masing-masing mencakup pertukaran komunikasi (pusat depot), sejumlah tertentu pelanggan dan titik yang mungkin lainnya yang disebut titik transisi yang dapat digunakan untuk menghemat biaya routing.
Dengan menggunakan teknologi terkini, setiap ring disusun atas seutas kabel yang berisi sekumpulan kabel optik. Setiap pelanggan mendapat dua kabel, yang pertama digunakan untuk komunikasi yang searah jarum jam dan yang kedua untuk komunikasi yang berlawanan dengan arah jarum jam
2
lagi mengikuti ring tersebut. susunan atas beberapa gabungan ring yang masing-masing mengandung pertukaran komunikasi beberapa pelanggan dan beberapa titik transisi ditambah korelasi pendek dengan pelanggan diluar pelanggan dina-makan struktur ring star. Dalam hal ini , jumlah dari pengguna ring ke ring yang lain yang terhubung dibatasi oleh jumlah kabel yakni seratus kabel dapat melayani 50 pengguna. Perhitungan ini setara dengan masalah terkapasitasi di-mana kebanyakan struktur m-ring star harus di desain. Pada bagian selanjut-nya akan diberikan deskripsi tentang m-ring star berkapasitas dan hal-hal yang erat kaitannya dengan masalah m-ring star berkapasitas tersebut. Salah satu ca-bang Matematika yang cukup penting dan sangat luas penerapannya di banyak bidang ilmu adalah Teori Graph.Salah satunya adalah bidang jaringan telekomu-nikasi.Graph disini merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungannya de-ngan objek-objek tersebut.Pada pembicaraan Graph selanjutnya akan digunakan verteks sebagai titik dan edge atau arc sebagai potongan garis lurus atau garis lengkung.
Dipaparkan 2 formula matematika, yaitu formulasi dua indeks dan formulasi dua arus komoditas, perhitungan batas m-ring star berkapasitas dan dipaparkan pula Metode Branch And Price.
1.2 Rumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk meminimalkan biaya pe-mindahan dan biaya rute jaringan.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan secara teoritis khu-susnya pada perusahaan jaringan telekomunikasi dan umumnya pada bidang Ma-tematika.
1.5 Metodologi Penelitian
Dalam penelitian ini akan dibahas:
1. Penjelaskan defenisi formal dari m-RSK.
2. Dipaparkan dua formula matematika
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Beasley dan Nascimento [1996] mendefenisikan masalah Alokasi Routing Kendaraan (MARP).Masalah ini merupakan generalisasi dari m-RSK dimana pelanggan bisa tidak menerima layanan asalkan denda dibayar dalam fungsi tu-juan.
Lee at al [1998] mengkaji masalah lain yang berhubungan dengan m-RSK, yaitu masalah Ring Star Steiner. Ini terdiri dari penentuan biaya minimum ring dengan hanya menggunakan titik titik pelanggan dan sedemikian sehingga pelang-gan terhubung tepat denpelang-gan satu titik pada lingkaran.
Beberapa penulis mengkaji scenario dimana sebagai pengganti cycle, struk-tur seperti path atau tree haruslah diidentifikasi dan node-node yang tidak be-rada pada struktur ini haruslah dialokasikan pada struktur.Klasifikasi masalah ini bias ditemukan dalam Labbe et al [2002]. Referensi untuk lain yang mengkaji telekomunikasi dan aspek alokasi-alokasi dapat ditemukan dalam Labbe at al [2004,2005]. Masalah ”ring Star” diperkenalkan dimana mengandung desain dari sebuah cycle sederhana dengan meminimkan biaya secara objektif yang terdiri dari dua biaya yaitu biaya rute yang berhubungan dengan jarak dari cycle dan biaya pemindahan untuk setiap titik dalam cycle ke titik lain pada cycle. Masalah yang sama adalah masalah ”cycle median” yang terdiri dari penentuan simple cy-cle yang meminimkan biaya rute dengan memenuhi batas atas total biaya alokasi titik-titik yang tidak dikunjungi. Dalam model Integer Linier Programming untuk dua masalah dipresentasikan dengan ketaksamaan.
5
Lee et al [1998] memandang masalah lain yang berhubungan dengan mRSK yaitu masalah ”Steiner ring star”. Masalah ini terdiri dari biaya cycle minimal menggunakan titik yang tidak berpelanggan dan pelanggan hanya dihubungkan dengan satu titik pada cycle. Masalah ini muncul dalam desain jaringan pelayanan data digital dimana tujuannya adalah untuk menghubungkan terminal ke konektor titik per titik.
Dikembangkan logaritma ”Branch and Price” yang menyalesaikan contoh dengan |V|+|w| ≤100.
Xu at al [1999] mengusulkan algoritma tabu untuk masalah ini dan men-cobanya ke contoh lain dengan |V| ≤300 dan |W| ≤300.
Lucena [1986] menggunakan pendekatan dua arus homoditas untuk TSP mendapatkan formula baru untuk MRKK, dan batas bawah didasari oleh LP-relaxation. Sebelumnya Baldaci hadjicrustatinon dan Mingozzi [2003, 2004] meng-gunakan pendekatan dua arus komoditas, untuk mendesain algoritma.
BAB 3
PENGERTIAN PERSOALAN M-RING STAR BERKAPASITAS
Bagian ini menjelaskan defenisi formal darim-ring starberkapasitas sebagai suatu masalah optimisasi dalam teori graph. digunakan graph gabungan, dimana titik transisi dan pusat depot diasosiasikan dengan node, sementara sambungan antara node adalah edge atau arc berbobot.
Berikut akan diberikan tentang pengertian Graph, definisi Graph, pengelom-pokan Graph, graph Biparti dan Graph Berbobot.
3.1 Graph
Suatu graph terdiri dari dua bilangan yaitu titik dan garis. Titik pada suatu graph disebut verteks dan garis yang menghubungkan dua titik disebut edge atau arc (untuk garis berarah). Secara formal suatu graph G didefinisikan sebagai berikut:
3.2 Definisi Graph
Graph didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan dengan G = (V, E) dimana : V adalah himpunan titik, simpul, verteks ataupun node dari Gyaitu
V ={v1, v2, v3, . . . , vn}
7
E adalah himpunan rusuk, edges atau sisi dari G E ={e1, e2, e3, . . . , em}
3.3 Pengelompokan Graph
Graph dikelompokkan menurut ada tidaknya edgesnya yang parallel atau loop, jumlah verteksnya, berdasarkan ada tidaknya hubungannya dengan graph yang lain. Berdasarkan hal ini diperkenalkan beberapa graph antara lain:
3.3.1 Graph Sederhana
Graph yang tidak mempunyai parallel edges atau edge ganda dan atau loop dinamakan graph sederhana atau simple graph.
Contoh graph sederhana dapat dilihat pada Gambar 3.1 berikut ini.
t 1
t 2t
4 t 3
Gambar 3.1 Simple Graph
8
Andaikan V ={v−1, v2, v3, . . . , vn} dan
E ={(v1, v2),(v1, v3),(v2, v4),(v2, v3),(v2, v5),(v3, v4),(v4, v5)}.
Maka G= (V, E) adalah graph sederhana yang dinyatakan secara geometri pada Gambar 3.2.
Gambar 3.2 Representasi Grafis Undirected Graph
3.3.2 Graph Tak Sederhana
Graph yang mempunyai edge ganda dan atau loop dinamakan graph tak sederhana atau unsimple graph.
Gambar 3.3 Graph Tidak Sederhana
3.4 Graph Berbobot
9
tempuh antara dua tempat dan lain-lainnya. Berikut ini adalah contoh graph berbobot
Jika pada suatu semua edgenya diberikan arah maka graph seperti ini di-namakan Graph Berarah (Directed graph) atau lebih sering disebut Digraph dan diberi notasiD (pada graph biasa diberi notasi G). Pada Digraph edge atau sisinya disebut arc. Suatu Graph berarahD terdiri dari suatu himpunan verteks-verteks V dan s himpunan arc-arc A yang terdiri pasangan terurut dari vertek yang dinyatakan dengan (u, v) yang disebut dengan sisi berarah (arc). Suatu graph berarah atau digraph dituliskan dengan D = (V, A).
Berikut ini adalah gambar graph berarah.
10
Definisi 2 Suatu edge ek dimana k = 1,2,3, . . . , n dikatakan incident dengan
suau verteks vi dimana i = 1,2,3, . . . , m yaitu jika dan hanya jika ek adalah
penghubung antara vi dengan suatu verteks yang lain.
Dengan demikian berdasarkan definisi incident ini jelaslah bahwa suatu edge harus incident dengan dua buah verteks yang sama dan boleh juga berbeda. Dua buah verteks dikatakan adjacent,jika kedua verteks tersebut merupakan ujung dari sebuah edge yang sama,yang biasa disebut sebagai adjacent verteks.
Bila dua buah edge incident (non parallel) terhadap suatu verteks terikat,maka kedua edge yang demikian disebut sebagai adjacent edge.
Contoh Gambar 3.6 e2, e3, e1 adalah edge yang incident dengan v2, v3 dan
v4 adalah dua buah verteks yang adjacent. e2 dan e6 merupakan dua edge yang
adjacent.
d(v1) = 3
Definisi 3 Suatu graphH disebut subgraph dari graph G, jika semua verteks dan
11
t
t
t t
v3 v2
t
v4
e3
v1
e1
e4 e5
e6
e2
Gambar 3.6 Adjacent Edge
Definisi 4 Sebuah graph dikatakan bipartisi jika verteks V nya dapat dipartisi
kedalam dua himpunan bagian M dan N sedemikian sehingga setiap edge dari G menghubungkan sebuah verteks dari M ke sebuah verteks dari N.
Dengan sebuah graph bipartisi lengkap, dapat diartikan bahwa setiap verteks dari M dihubungkan ke setiap verteks dari N.Graph ini dinyatakan dengan Km,n
dimanamadalah jumlah verteks diM dan nadalah jumlah verteksN dan untuk standarisasi di asumsikan m≤n.
Sebagai contoh, Gambar 3.7. menggambarkan graph bipartisi lengkapK2,3.
12
t t
t t t
Gambar 3.7 Graph Bipartisi
m-ring starmendesain:
i. Susunan titik yang tidak teratur sebanyak m melewati pusat depot.
ii. Susunan hubungan langsung dari satu pelanggan dan satu titik. Jumlah pelanggan yang dihubungkan ke ring akan dibatasi oleh Q (kapasitas dari ring) lebih tepatnya : misalkan gabungan graph G = (V, E ∪A) dimana V ={0, n+ 1}∪ adalah susunan titik. Dimana V merupakan titik trasnsit dan pusat depot yang disebut m. Objeknya adalah meminimalkan biaya ring dan biaya pelanggan.
(min : cost ring + cost customer )
E ={(i, j) : i, j ∈V, i 6=j} adalah ujung dari garis dan A adalah susunan ring. Susunan titik dibatasi oleh dua subset dimana U mengandung sebuah titik untuk setiap pelanggan dan W mengandung sebuah titik untuk setiap titik transit, yang juga diberi nama titik steiner. Titik O mewakili depot dan titik n+ 1 adalah salinan dari titikO yang diperkenalkan untuk mem-permudah persentasi (disini akan dilambangkanringsebagai jarak dari titik O ke titik n + 1). Untuk setiap pelanggan i ∈ U misal Ci ⊂ V adalah
13
i∈Ci untuk semua pelangganU dan pelanggan itu akan terhubung dengan
sendirinya jika ia berada didalam ring.
SusunanAmewakili koneksi yang mungkin antara satu titik dengan pelang-gan sehingga A ={(i, j) : i∈ U, j ∈Ci}. Susunan E adalah susunan yang mungkin dari garis ring. Setiap garis e = {i, j} ∈ E dihubungkan de-ngan biaya rute yang tidak negatif, (i, j) ∈ A dihubungkan dengan biaya koneksi yag tidak negatif (dengan dij = 0 untuk setiap U diberikan bagan
E ⊂E, V(E′) ditandai sebagai susunan titik untuk paling tidak satu garis
pada E′. dapat dikatakan bahwa pelanggan i ditunjukan untuk ring R.
Apakah hal itu dihubungkan oleh rute simple atau dihubungkan dengan satu titik dari ring.
14
Gambar 3.8 m-Ring Star Berkapasitas
Gambar 3.8 menunjukkan solusi dari m-RSK yang sesuai dimana n = 25
dan m = 3.|V| = 12|W| = 13 dan Q = 6. Dari gambar tersebut titik transisi
di-lambangkan dengan ring kanan dan pelanggan dengan segitiga, pertukaran lokasi
pengiriman berita dilambangkan dengan dua persegi hitam, garis yang tidak
pu-tus dilambangkan untuk garis rute dan garis pupu-tus-pupu-tus sebagai ring koneksi.
3.5 Program Integer
Program Integer merupakan pengembangan dari Program Linier yang
menye-lesaikan problema dengan persyaratan bahwa peubah keputusan mengambil nilai
se-15
barang Program Integer dapat dicapai dengan mengabaikan persyaratan bilangan bulat dan memecahkan program liniernya dengan menggunakan berbagai teknik pemecahan program linier.
Bentuk umum dari Program Integer adalah Maks / Min z =cx
d.p Ax(≥,=,≤)b :b∈Rm x≥0 dan bulat; c, x∈Rm
dengan z adalah fungsi tujuan
cadalah vektor baris koefisien fungsi tujuan x adalah vektor kolom peubah keputusan
badalah vektor kolom konstanta kendala (right hand side) dan A adalah matriks koefisien teknologi berdimensi m×n
Terdapat tiga tipe Program Integer yaitu:
1. Problema Program Integer murni (pure), dimana semua peubah keputusan harus mengambil bilangan bulat.
2. Problema Program Integer campuran (mixed), dimana tidak semua peubah keputusan harus bernilai bulat.
16
Ada beberapa metode untuk menyelesaikan problema Program Integer:
1. Branch and Bound (Row Generation) disebut juga teknik Pencabangan dan Pembatasan dengan prosedur algoritmanya dilakukan penambahan baris.
2. Branch and Price (Column Generation) atau taknik pencabangan dan peng-hargaan merupakan pengembangan dari metode Branch and Bound yang akan menghasilkan penyelesaian bulat secara lebih cepat dan efisien.
3. Irisan Bidang.
4. Implisit Enumerasi,biasanya digunakan untuk menyelesaikan problema Pro-gram Integer 0-1.
5. Pencarian bilangan bulatn-titik terdekat, biasanya digunakan untuk menye-lesaikan problem Program Integer campuran.
BAB 4
PEMBAHASAN
4.1 Formulasi Matematika
Dua formulasi matematika untuk m-RSK dipresentasikan dalam bagian ini. Formulasi pertama didasarkan pada formulasi dua indeks, sementara formulasi kedua didasarkan pada formulasi aliran dua komoditas.
UntukS ⊆ V didefinisikan δ(S) = {{i, j} :∈ S, j 6∈}. Jika S = {i}, cukup ditulis δ(i) sebagai pengganti δ({i}). Selain itu, untuk S ⊆V, U(S) menotasikan himpunan pelanggan-pelanggan dalam himpunan node S (yaituU(S) =S∩U).
4.2 Formulasi Dua-Indeks
Bagian ini mempresentasikan formulasi programming matematik yang diil-hami oleh model untuk masalah routing standart [Toth dan vigo]. Untuk setiap e∈E, misalnyaxe adalah variabel biner bernilai 1 jika dan hanya jikaetermasuk
dalam ring yang membentuk penyelesaian. Untuk selanjutnya, jika e menghu-bungkan kedua node i dan j maka {i, j} dan e akan digunakan saling tertukar untuk menotasikan edge yang sama. Untuk setiap arc (i, j) ∈ A, misalkan Zi,j
adalah variable biner yang sama dengan 1 jika pelanggan i dialokasikan ke node j.
suku-18
suku yang dijumlahkan sama dengan nol. Jika pelanggan i dikunjungi oleh ring, maka ia dialokasikan ke dirinya sendiri,yaituzii= 1. Tambahan lagi untukj ∈W,
misalkan Wj adalah variable biner yang sama dengan 1 jika dan hanya jika node
steiner j berada pada ring. m-RSK dapat dirumuskan sebagai integer program berikut:
19
j ∈ ci. Untuk pengamatan terakhir, jika i dialokasikan kepada j maka batasan
(4.7) pada S={j} mengimplikasikan bahwax(δ(j))>0 dan karenanya j adalah suatu node ada suatu ring. Ketaksamaan (4.7) adalah batasan kapasitas ring pecahan.Batasan-batasan ini di dalam integralitas variablexdanz, meneteapkan bahwa untuk himpunan bagian node-node S tertentu, dibutuhkan setidaknya se-banyak|P
i∈u
P
j∈sZij/Q|ring untuk mengunjungi pelanggan-pelanggan yang
di-alokasikan kepada node-node dalamS. Batasan (4.7) serupa dengan ketaksamaan kapasitas pecahan dari masalah Routing Kendaraan Dengan Kapasitas(MRKK). Misalnya Naddef dan Rinaldi [1995] dimana permintaanqj dari pelangganj dalam
MRKK diganti dengan P
i∈uzij. Akan tetapi ada perbedaan kuat antara kedua
masalah karena pada MRKK ruas kanan ketaksamaan ini adalah konstanta. Lebih tepatnya, misalkanQadalah kapasitas kendaraan untuk MRKK.Ketaksamaan ka-pasitas pecahan adalah
Untuk suatu himpunan S tertentu bahwa jumlah genap edge dalam dan ruas kanan dari (4.11) adalah konstanta, sehingga dapat ditulis ketaksamaan yang lebih kuat yaitu batasan kapasitas bulat sebagai berikut:
X
Secara analog dapat diperoleh untuk m-RSK versi bulat dari ketaksamaan ring pecahan adalah:
20
Pada bagian 4 dipresentasikan aproksimasi linier untuk mengangkat ruas kanan ketaksamaan-ketaksamaan ini, dan untuk menguatkan pelonggaran linier. Bahwa penyelesaian layak dari (4.1)-(4.10) bisa memuat subtour biaya nol yang hanya terdiri dari node-node steiner. Sehingga bisa dengan mudah mencoretnya tanpa kehilangan persyaratan Mrsk. Sebagai alternatif, batasan-batasan berikut menghindari subtour sedemikian sehingga ditetapkan suatu sambungan dengan depot: P
e∈sigma(s)xe ≥ 2wk, ∀S ⊆ W dan ∀k ∈ S Rumus (4.1)-(4.10) dapat
diperluas untuk memodelkan VRAP. Misalkan wi untuk setiap i ∈ U, adalah
variabel baru yang bernilai 1 jika pelanggan i dilayani dan bernilai 0 jika tidak dilayani. Yang perlu diganti hanya ruas kanan dari (4.6) dengan wi dan
menam-bahkan pada fungsi tujuan sukuP
i∈Upiwi dimanapi adalah penalti karena tidak
melayani i. Perluasan ini tidak dibahas lebih lanjut dalam tulisan ini karena menyimpang dari masalah nyata. Tetapi bisa menjadi dasar dalam pengembangan algoritma untuk VRAP.
4.3 Formula Dua Arus Komoditas
Formulasi dua arus komoditas m-RSK menggunakan model graph yang mengasosiasikan setiap edge {i, j} ∈ E dengan dua arc yang berlawanan dan dengan dua variabel arus yang bersesuaian yij dan yji. Kedua Arc mempunyai
biaya yang sama cij ditetapkan bahwa dalam penyelesaian Mrsk layak total arus
pada setiap edge dari ring tepat sama dengan Q. Variabel y mengidentifikasi se-tiap ring melalui dua path arus. Pada path pertama yang bergerak dari node 0 ke node n+ 1, arus yij menyatakan jumlah pemakai yang dilayani oleh ring setelah
21
node 0, variable yij menyatakan jumlah potensial pelanggan yang dapat dilayani
pada path maju dari 0 ke j. Dengan demikian total arus yang keluar dari node n + 1 sama dengan mQ. Setiap node pada ring yang mempunyai v pelanggan yang dialokasikan menyerapvunit aliran yang datang dari node 0 dan unit aliran yang datang dari node n+ 1. Pada gambar 3.9 diperlihatkan lima pelanggan ring dalam gambar 3.8 dan kedua path arus (0, 22, 24, 17, 11, n+ 1) dan (n+ 1, 11, 17, 24, 22, 0).
Gambar 4.1 m-Ring Star Berkapasitas dengan 5 Pelanggan
22
Formulasi dua arus komoditas m-RSK adalah sebagai berikut :
23
Misalkan LP-F1 dan LP-F2 adalah relaksasi linier programming masing-masing dari formula F1 dn F2 (dengan batasan (4.24) disubstitusi dengan yij +
yji≤Q untuk semua {i, j} ∈E).
Teorema 1 Diberikan suatu penyelesaian layak (z∗, w∗, y∗) dari LP-F2 terdapat
vektor x∗ sedemikian sehingga (x∗, z∗, w∗) adalah penyelesaian layak dari LP-F1
terdapat vektor y∗ sedemikian sehingga (z∗, w∗, y∗) adalah penyelesaian dari
LP-F2. Kedua penyelesaian yang bersesuaian mempunyai nilai fungsi tujuan yang sama.
Bukti : diberikan suatu penyelesaian (z∗, w∗, y∗) dari LP-F2 vektorx∗
ij = (y∗ij +
y∗
ji)/Qadalah sedemikian rupa sehingga (z∗, w∗, y∗) adalah penyelesaian dari
LP-F1. Tentu saja dengan menjumlahkan persamaan (4.16) dan (4.19) diperoleh persamaan (4.2), sementara dengan menjumlahkan (4.17) dan (4.18) diperoleh (4.3). Persamaan (4.4) dan (4.5) segera diperoleh dari (4.20) dan (4.21), batasan kapasitas ring pecahan (4.7) dapat diperoleh dari (4.23) sebagai : diberikan him-punan bagian node S dimulai dengan menambahkan (4.23) untuk semua j ∈ S yang dengan demikian diperoleh rumus
X
Dengan mengamati bahwayij+yji ≥yij−yjidan dengan mengingat bahwa
variableyij danyji diasosiasikan dengan edge yang sama{i, j}. Persamaan diatas
menghasilkanP
Di lain pihak diberikan vector penyelesaian (x∗, z∗, w∗) dari LP-F1,
24
dan dengan menghitung arusy∗yang tepat sebagai berikut misalkanG∗ = (V∗, E∗)
adalah graph pendukung yang di asosiasikan dengan penyelesaian (x∗, z∗, w∗)
yaitu V∗ = {0, n+ 1} ∪Vˆ∗ dimana ˆV∗ = {i ∈ U : z∗
ii > 0} dan E∗ = {{i, j} ∈
E : x∗
i,j > 0}. Diasosiasikan setiap edge {i, j} dengan kapasitas Qx∗ij dan setiap
node j dengan permintaan arus P
i∈Uzij∗ > 0. Dicari arus min-biaya
katakan-lah y1 yang berasal dari source 0 dengan menetapkan setiap edge {i, j} ”slack”
y2
persamaan ini sama dengan 2P
i∈V zij∗, karenanya (4.23) berlaku arus memenuhi
(4.16) dengan konstruksi, karenanya (4.19) segera diperoleh menurut definisi dari y2. Bahwa tidak ada arus y1 masuk noden+1 dalam penyelesaian arus min biaya
optimal, tentu saja n+ 1 hanyalah merupakan copy dari node 0 dan setiap arus pada path dari 0 ke n + 1 dapat di eliminasi begitu saja tanpa mempengaruhi persyaratan arus pada node sink. Kesamaan kedua nilai fungsi tujuan segera diperoleh dengan konstruksi x∗.
Hasil serupa diperoleh Gouveia [1995] untuk VRP permintaan unit (dengan menggunakan formulasi arus dua komoditas) dan oleh Baladacci, Hadjiconstanti-nou dan Mingozzi [2004] MRKK. Letcford dan Salazar [18] membuktikan ekuiva-lensi antara formulasi satu komoditas dan formulasi dua komoditas untuk CVRP.
Akibat 1 MODEL F1 DAN F2 menyatakan penyelesaian yang sama dari
m-RSK
Bukti : ini segera diperoleh berdasarkan teorema 1 diatas, identitas Qx(i,j) =
25
Sebagai konsekuensi dari teorema 1 pengguna formulasi LP-F1 atau for-mulasi LP-F2 tidak memberikan keuntungan apapun (dalam hal kualitas batas bawah) pada algoritma berbasis linier programming. Akan tetapi karena kedua model berbeda dalam jumlah variable dan batasan, kinerja perhitungan mungkin berbeda. Khususnya LP-F1, mempunyai 2|U|+|W|+ 2 kesamaan plus jumlah eksponensial batasan (4.7), sementara LP-F2 hanya mempunyai 3|U|+ 2|W|+ 4 kesamaan, tetapi |E| lebih banyak variable daripada LP-F1.
4.4 Metode Branch and Price (Generasi Kolom)
Berikut ini akan direpresentasikan pula metode Branch and Price (Generasi Kolom) untuk masalah m-Ring Star Berkapasitas. Bentuk umum generasi kolom P dapat dituliskan:
maxc(x) Ax ≤b
x∈S, x bilangan bulat
(4.27)
fungsi c(x) tidak perlu linier, meskipun dalam saat perhitungan nantinya perlu melonggarkan masalah dengan mengabaikan Ax ≤ b secara relatif agar mudah untuk menyelesaikannya.
Ide dasar generasi kolom adalah himpunan
S∗ ={x∈S;x integer}
yang diwakilkan oleh vektor himpunan berhingga. Khususnya, jika S terbatas makaS∗juga merupakan himpunan titik-titik berhingga, yaituS∗ ={y
26
Selain itu, jika x biner, maka S∗ merupakan titik 1.246.614 dari kulit konveks
(convex hull), yang dinotasikan dengan conv(S∗).
JikaS tidak terbatas, hasil klasik Minkowski dan Weyl menetapkan bahwa conv(S∗) adalah suatu polyhedron dan diwakilkan oleh kombinasi konveks dari
himpunan titik-titik berhingga dan kombinasi linier dari himpunan sinar (rays) berhingga. Kemudian, generasi kolom untuk program bilangan bulat masih mung-kin saat S tidak terbatas, meskipun demikian, disini diasumsikan bahwa S ter-batas.
27
Kelinierannya dalam hal ini mungkin karena dalam persamaan:
y= X
Ini tidak dapat dilakukan jika S tidak terbatas, sehingga dalam keadaanini for-mula awal harus memiliki fungsi tujuan yang linier atau faktor lain harus digu-nakan untuk mencapai kelinierannya.
JikaS dapat disusun, misalnya S = S
1≤j≤n
Sj, maka setiap himpunan
Sj∗ ={xj ∈Sj :xj integer}
k ini menghasilkan bentuk generasi
kolom P dengan kendala konveksitas terpisah untuk setiapSj yaitu:
max X
Jika himpunan bagian dalam susunan tersebut identik, misalnya Sj = S = {y1, y2, . . . , yp} untuk j = 1, . . . , n maka ini dapat diwakilkan oleh suatu sub
himpunan S dengan λk = Pjλjk dan kendala konveksitas diganti oleh kendala
konveksitas tambahan P
1≤k≤p
28
Dalam beberapa rumusan, kendala konveksitas ditulis dalam bentuk pertidak-samaan
X
1≤k≤p
λk ≥1
Umumnya bila y = 0 ∈ S∗ dan C(0) = 0 maka y = 0 dapat dihilangkan dari
formulasinya. Dalam hal ini himpunan bagian kendala konveksitas tambahan yang identik dapat diabaikan secara bersamaan ketikantidak ditetapkan sebagai bagian dari input.
Perbedaan mendasar antara bentukP dan generasi kolom adalah bahwaS∗
telah diganti dengan himpunan dari titik-titik yang berhingga. Tampak bahwa penyelesaian pemecahan pada program linier yang dikendorkan dari bentuk gene-rasi kolom dengan jika dan hanya jika dapat diwakilkan oleh kombinasi konveks dari titik ekstrim conv(S∗). Secara khusus, Geoffrian [1974] telah menunjukkan
bahwa polyhedron conv(S) tidak memiliki semua titik ekstrim yang bulat, maka program linier dapat dikendorkan dari bentuk generasi kolom P akan diperketat dari P itu untuk beberapa fungsi tujuan.
29
yang hanya mengandung kolom himpunan bagian dan hanya menambah kolom tambahan yang sesuai yang dibutuhkan. Bentuk generasi kolom disebut problema master dan saat tidak mengandung kolom disebut problema master terbatas. Ge-nerasi kolom dilakukan dengan memecahkan masalah penghargaan dari bentuk max{dx : x ∈ S∗} atau max{dx : x ∈ conv(S∗)} dimana d ditentukan dari
variabel dual yang optimal pada program linier yang dikendorkan dari problema master terbatas.
4.5 Model Pemisahan
Banyak algoritma pencabangan dan penghargaan yang diketahui telah dikem-bangkan untuk formulasi dasar dari himpunan pemisahan. Dalam masalah him-punan pemisahan umumnya memiliki daerah himhim-punan dari elemen-elemen dan peraturan untuk menggenerasi himpunan bagian yang layak dan menguntungkan dan diharapkan dapat menemukan bagian dari keuntungan maksimum dari pemisa-han di sekitar himpunan ke dalam himpunan bagian yang layak. Misalkanzij = 1
jika elemen i dalam himpunan bagian j dan 0 untuk lainnya dan andaikan zj
dinotasikan sebagai vektor karakteristik dari himpunan bagian j, yaitu sebuah vektor dengan masuknya zij untuk setiap elemen i. Masalah pemisahan secara
umum berbentuk:
30
adalah jumlah himpunan bagian dan S adalah himpunan dari himpunan bagian yang layak.
4.6 Pembatasan yang Berbeda pada Himpunan Bagian
Pertama kali dianggap bahwa himpunan bagian yang layak mempunyai syarat yang berbeda yang diberikan oleh:
31
Maka dipilih suatu kendala konveksitas sebagai sebuah pertidaksamaan, dalam banyak aplikasi, sehingga tidak dapat memberikan anggota pada himpunan bagian yang diberikan.
4.7 Pembatasan yang Identik pada Himpunan Bagian
Jika diasumsikan bahwa himpunan bagian layak memiliki syarat yang sama maka persamaan diganti oleh himpunan bagian dari persamaan
S ={zj, Dzj ≤d, zj biner } (4.35)
Dan bentuk generasi kolom adalah
max X
dimanack =c(yk). Disini dipilih untuk mengabaikan kendala konveksitas
tamba-han karena biasanya dalam penerapannya n tidak ditetapkan.
32
kesimetrian P yang menyebabkan bentuk pencabangan dan pembatasan sangat sedikit. Ini berarti bahwa penyelesaian pada P atau program linier yang diken-dorkan memiliki sejumlah eksponensial dari perwakilannya sebagai fungsi dari sejumlah himpunan bagian. Oleh karena itu pencabangan pada variabel zij
me-mindahkan solusi pemecahan yang mungkin akan menghasilkan solusi pemecahan dengan zik sama dengan nilaizij yang lama. Dan sebaliknya, sekurang-kurangnya
zij adalah pemecahan untuk semua j. Rumusan penghilangan problema master
ini simetri dan oleh karena itu banyak diterima pada peraturan pencabangan yang berarti kemajuan dalam memperbaiki batasan program linier dalam tree/pohon.
4.8 Pencabangan
Program linier yang dikendorkan diselesaikan oleh generasi kolom tidak perlu bulat dan pemakaian prosedur standar pencabangan dan pembatasan pada prob-lema master terbatas dengan kolom yang ada tidak akan menjamin solusi akan optimal atau layak. Setelah pencabangan mungkin terdapat kol;om yang akan me-ngeluarkan harga yang baik tapi tidak terdapat dalam problema master. Karena itu, untuk menemukan solusi optimal, dilakukanlah penggenerasian kolom setelah pencabangan.
4.9 Himpunan Problema Master Pemisahan
33
prosedur pencabangan yang berguna untuk masalah ini.
Proposisi 1 Jika Y matriks 0-1 dan penyelesaian dasar pada Y λ = 1 adalah pecahan; yaitu sedikitnya 1 dari komponen λ adalah pecahan, maka terdapat 2 baris r dan s dari problema master sedemikian hingga
0< X
k:yrk=1,yrk=1
λk <1
Bukti :
Anggap variabel pecahan λk′. Andaikan baris r adalah sebarang baris dengan
yrk′ = 1. Karena
P
1≤k≤pyrkλk = 1 dan λk′ adalah pecahan, harus ada beberapa
kolom basis k” lainnya dengan o < λk” < 1 dan yrk” = 1, seperti yang
diilus-trasikan oleh submatriks pada tabel 1:
Tabel 4.1 Penyajian Submatriks dalam Pasangan Calon Pencabangan k′ k”
r 1 1
s 0 1
Karena tidak ada kolom duplikat dalam basis, maka harus ada sebuah baris s sehingga ysk′ = 1 atau ysk” = 1, tetapi tidak keduanya. hal ini membawa pada
beberapa deretan relasi/hubungan sebagai berikut:
1 = X
34
Pasangan r dan s memberikan kendala pada pasangan pencabangan:
X
yaitu baris r dan s harus dicakup oleh kolom yang sama pada pencabangan per-tama (kiri) dan oleh kolom yang berbeda pada pencabangan kedua (kanan).
Proposisi 4.1 menyatakan bahwa jika tidak ada pasangan pencabangan yang dapat diidentifikasi, maka penyelesaian pada problema master harus bilangan bu-lat. Algoritma pencabangan dan pembatasan harus berakhir setelah jumlah bi-langan berhingga pada pencabangan hanyalah sebuah bibi-langan berhingga pada barisan. Dengan catatan bahwa setiap pencabangan memutuskan penghilangan variabel bilangan yang besar dari pertimbangannya.
4.10 Batasan yang Identik pada Himpunan Bagian
Skema pencabangan diusulkan oleh Ryan dan Foster dengan syarat elemen r dan s memiliki himpunan bagian yang sama pada pencabangankiri dan him-punan bagian yang berbeda pada pencabangan kanan. Pada pencabangan kiri, semua kolom layak harus memiliki yrk = ysk = 0 atau yrk = ysk = 1, dimana
pada pencabangan kanan semua kolom yang layak harus memilikiyrk =ysk = 0
atau yrk = ysk = 1 atau yrk = 1, ysk = 0. Dengan menambah kendala
mas-35
ter yang lebih mudah karena himpunan masalah pemisahan dengan baris yang terputus-putus (himpunan) lebih memungkinkan menjadi bulat.
Biasanya pemaksaan kendala pencabangan dalam masalah penghargaan, misalnya pemaksaan 2 elemen menjadi himpunan bagian yang sama pada satu pencabangan dan pemaksaan 2 elemen menjadi himpunan bagian yang berbeda pada pencabangan lain, cukup mudah untuk diselesaikan. Meskipun demikian, masalah penghargaan mungkin lebih sulit daripada pencabangan lain.
4.11 Batasan yang Berbeda pada Himpunan Bagian
Pertimbangkan keadaan dimana himpunan bagian yang berbeda dapat memi-liki struktur diagonal blok yang dinyatakan dalam persamaan (4.34) dan meng-hubungkan bentuk generasi kolom secara eksplisit dengan kendala konveksitas terpisah untuk setiap himpunan bagian yang dinyatakan oleh persamaan (4.35).
Dalam keadaan ini, jika digunakan skema pencabangan yang disarankan oleh Ryan dan Foster tetapi selalu menyeleksi satu baris pemisah, katakan barisr dan satu bari konveksitas, katakan bariss, yang akan menghasilkan sebuah skema pencabangan khusus yang memiliki tafsiiran natural dalam rumusan yang natural dan beberapa sifat perhitungan yang baik. Pasangan kendala pencabangan yang dihasilkan dinyatakan sebagai:
penca-36
bangan ini memiliki interpretasi yang sangat alami. Ini sebelumnya berhubungan pada bentuk standar pencabangan dalam persamaan (4.34) yaitu:
X
1≤k≤ps:ysrk=1
λsk = 1 ⇒ X
1≤k≤ps
ysrkλsk = 1 ⇒zrs= 1 dan
X
1≤k≤ps:ysrk=1
λs
k = 0 ⇒
X
1≤k≤ps
ys
rkλsk = 0 ⇒zrs= 0
BAB 5
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
Augerat P.J.M, Belenguer, Benavent E., Corberan A., Naddef D., and Rinaldi G., 1995, Computational results with a branch and cut code for the capacitated vehicle routing problem, Technical Report RRR 949-M, Universite Joseph Fourier, Grenoble, France.
Baldacci R., and Dell’Amico M., 2004, Heuristic algorithms for the design of ur-ban optical network, Technical Report 63, DISMI, University of Modem and Reddio Emilia, Italy.
Baldacci R., Hadjiconstantinou E., and Mingozzi A., 2004, An exact algorithm for the capacitated vehicle vehicle routing problem based on a two-commodity network flow formulation, Oper. Res, 52:723-738.
Beasley J.E., and Nascomento E.M., 1996, The vehicle routing-allocation prob-lem:A unifying framework, Trabajos de Operativa, 4:65-68.
Gourdin E., Labbe M., and Yaman H., 2002, Telecommunication and location. In Drezner, Z., and Hamacher H.W., editor, Facility Location : Applications and Theory. Springer.
Labbe M., Laporte G., Rodriguez Martin I., and Salazer Gonzales J.J., 2005, Locating median cycles in networks. European J. Oper Res., 160:457-470. Lee Y.S.Y Chiu., and Sanches J., 1984, A branch and cut algorithm for the steiner
ring star problem, International Journal of hlanagenent Science, 4;21-34. Gouveia L., 1995,A result on projection for the vehicle routing problem. European
J. Oper. Res, 85:610-624.
Labbe M., Laporte G., and Rodriguez Martin I., 2002,Path, tree and cycle location. In Crainic T.G., and Laporte G., editors, Fleet Management and Logistic, pages 187-204. Kluwer.
Lucena A., 1986, Exact solution approaches for the vehicle routing problem. Ph.d. thesis, Department of Management Science, Imperial College, London. Toth P., and Vigo D., 2002, The Vehicle Routing Problem, volume 9. SIAM
Mono-graphs on Discrete Mathematics and Applications.
