RANCANGAN OPTIMAL SISTEM SUPLAI AIR MINUM
DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN
TESIS
Oleh
MAKMUR TARIGAN 087021017/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
RANCANGAN OPTIMAL SISTEM SUPLAI AIR MINUM
DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
MAKMUR TARIGAN 087021017/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Judul Tesis : RANCANGAN OPTIMAL SISTEM SUPLAI AIR MINUM DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN Nama Mahasiswa : Makmur Tarigan
Nomor Pokok : 087021017 Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Tulus. M.Si.) (Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc.)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi, Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Telah diuji pada
Tanggal 17 Pebruari 2011
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Tulus. M.Si
Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc 2. Dr Saib Suwilo, M.Sc
ABSTRAK
Permasalahan yang terjadi di dunia nyata, ada beberapa diantaranya mengandung ketidakpastian, membutuhkan pengamatan yang lebih kritis untuk memahaminya seperti persoalan perancangan suplai air minum. Adakalanya dalam perancangan suplai air minum dalam skala yang besar atau kompleks, pada kenyataannya secara umum memiliki korelasi dengan nilai ketidakpastian yang muncul dalam tahapan de-sain pengembangan perancangan sistem airminum yang akan dicari solusinya. Dalam tesis ini dibahas persediaan dan permintaan suplai air minum serta infrastruktur dan perluasan yang dimaksud dan kemudian ditentukan solusi optimalnya dengan meng-gunakan optimisasi. Teknik pendekatan yang dilakukana adalah dengan optimisasi Robust. Optimisasi Robust digunakan untuk menyelesaikan perancangan sistem sup-lai air minum.
ABSTRACT
Given the natural variability and uncertainties in long term predictions, reability is a critical factor for water supply systems. However, the large scale of the problem and the correlated nature of the involved uncertainties result in models that are often in water supply. In this paper, we consider a municipal water supply system over with initial infrastructure and possibility of construction and expansion during the periode of planning or the planning horizon. Correlated uncertainties in water demand and supply are applied on the form of the robust optimization approach to design a reliable water supply system. Robust optimization aims to find a solution that remain feasible under data uncertainly.
KATA PENGANTAR
Dengan rendah hati penulis ucapkan segala puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan studi Program Magister Matematika pada FMIPA USU. Tesis ini merupakan salah satu syarat penyelesaian studi pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H. M.Sc. (CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang memberi kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan di Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Penge-tahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Ir. A. Rahim Matondang, MSIE selaku Direktur Pascasar-jana Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Mate-matika FMIPA Universitas Sumatera Utara, dan sebagai pembanding tesis ini. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si sebagai Pembimbing I yang telah banyak memberi masukan-masukan yang bermanfaat dalam penulisan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc sebagai Pembimbing II yang penuh kesabaran membimbing dan mengarahkan penulis sehingga tesis ini dapat selesai. Bapak Drs. Open Darnius, M.Sc sebagai Pembanding yang juga banyak mem-berikan masukan dan arahan sehingga sempurnanya tesis ini.
FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan administrasi selama mengikuti pen-didikan.
Tak lupa rekan-rekan mahasiswa program studi Magister Matematika SPs USU tahun 2008. Khususnya rekan-rekan dari Politeknik Negeri Medan dan Jurusan Matematika FMIPA USU antara lain Bapak Ardianta, Bapak Benar Surbakti, Bapak Sa-triawan Taruna, Bapak Baihotma Sitompul, Bapak Gim Tarigan, Bapak Djakaria Sebayang, Ibu Rusmini Dewi, dan Ibu Sinek Malem Br. Pinem, semoga persahabatan kita tak lekang oleh waktu.
Ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis ucapkan kepada Istri tercinta dan tersayang Elisabet Br Simanjorang dan keluarga besar teristimewa untuk anak-anakku tercinta dan tersayang Ema Sepvina Tarigan / Rony J Saragih (menantu), Agripa Apriady Tarigan, Wenny Lydia Tarigan, dan cucu ter-sayangYosefa Saragih. Kiranya Allah Bapa di Surga selalu memberkati kita semua. Akhir kata penulis ucapkan, kiranya kekurangan yang ada pada penulisan tesis ini dapat disempurnakan bagi pihak yang memerlukan karena penulis sebagai manusia yang tidak sempurna memiliki keterbatasan dalam menyelesaikan tesis ini seperti kata pepatah tak ada gading yang tak retak.
Medan, 17 Pebruari 2011 Penulis,
RIWAYAT HIDUP
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK i
ABSTRACT ii
KATA PENGANTAR iii
RIWAYAT HIDUP v
DAFTAR ISI vi
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 4
1.4 Kontribusi Penelitian 4
1.5 Metodologi Penelitian 4
BAB 2 PEMROGRAMAN STOKASTIK 5
2.1 Program Stokastik Sebagai Suatu Ketidakpastian 5 2.2 Model Stokastik Dua Tahap Dan Penyelesaianya 7
2.3 Formulasi Deterministik Ekivalen 8
2.4 Proses Formulasi 8
BAB 3 MODEL SUPLAI AIR MINUM 10
3.1 Perancangan Model 10
3.2 Model Optimisasi 11
3.3 Optimisasi Robust 12
BAB 4 RANCANGAN SUPLAI AIR MINUM 17
4.2 Fungsi Objektif Robust 17
4.3 Batasan Keputusan 22
BAB 5 NILAI KETIDAKPASTIAN SUPLAY AIR MINUM 24
5.1 Korelasi Model dengan Data Ketidakpastian 24
BAB 6 KESIMPULAN 28
ABSTRAK
Permasalahan yang terjadi di dunia nyata, ada beberapa diantaranya mengandung ketidakpastian, membutuhkan pengamatan yang lebih kritis untuk memahaminya seperti persoalan perancangan suplai air minum. Adakalanya dalam perancangan suplai air minum dalam skala yang besar atau kompleks, pada kenyataannya secara umum memiliki korelasi dengan nilai ketidakpastian yang muncul dalam tahapan de-sain pengembangan perancangan sistem airminum yang akan dicari solusinya. Dalam tesis ini dibahas persediaan dan permintaan suplai air minum serta infrastruktur dan perluasan yang dimaksud dan kemudian ditentukan solusi optimalnya dengan meng-gunakan optimisasi. Teknik pendekatan yang dilakukana adalah dengan optimisasi Robust. Optimisasi Robust digunakan untuk menyelesaikan perancangan sistem sup-lai air minum.
ABSTRACT
Given the natural variability and uncertainties in long term predictions, reability is a critical factor for water supply systems. However, the large scale of the problem and the correlated nature of the involved uncertainties result in models that are often in water supply. In this paper, we consider a municipal water supply system over with initial infrastructure and possibility of construction and expansion during the periode of planning or the planning horizon. Correlated uncertainties in water demand and supply are applied on the form of the robust optimization approach to design a reliable water supply system. Robust optimization aims to find a solution that remain feasible under data uncertainly.
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sistem suplai air minum melibatkan beberapa sistem yang terkait seperti sumber air serta tujuan kemana suplai air minum tersebut akan dialirkan. Model rancangan suplai air minum dapat berlaku pada sistem pertanian, industri serta perdagangan. Komponen dari sistem suplai air minum adalah bagiamana mengoptimalkan sistem saluran air minum yang dimaksud dengan kualitas yang baik serta teknik mendis-tribusikan sistem suplai air dengan berbagai m ditentukan oleh sejauh mana kebu-tuhan dari rancangan suplai air minum yang dimaksud serta bagaimana kebukebu-tuhan dari rancangan yang dibuat. Perancangan sistem suplai air minum tentunya membu-tuhkan keputusan yang tepat dalam hal:
a. Ukuran pipa sehubungan dengan debit air b. Kebutuhan air oleh pelanggan
c. Jarak sumber air ke lokasi pelanggan d. Aliran air yang dituju
e. Efesiensi penggunaan pipa dazn besarnya debit air
2
kendala-kendala yang ditemukan dalam perancangan sistem suplai air minum yang dimaksud (Watkins dan McKinney, 1997).
Proses mengoptimalkan sistem suplai air minum melalui jaringan bisa bermula pada lebih dari satu simpul dan berakhir lebih dari satu simpul meskipun masalah ali-ran maksimum memperbolehkan hanya satu sumber dan satu sasaali-ran. Sebagai contoh rancangan optimal sistem air minum biasanya dimulai dari satu sumber dan berakhir pada banyak jaringan pipa. Perumusan aliran air minum diupayakan mengoptimalkan masalah aliran agar efisien dan tepat sasaran. Perumusan ulang melibatkan pengem-bangan jaringan yang asli dengan memasukkan sumber dummy, sasaran dummy dan beberapa busur baru. Sumber dummy digunakan sebagai sumber semua aliran, yang pada kenyataannya berasal dari simpul lain dimana kapasitas busur sama dengan aliran maksimum.
Proses stokastik banyak digunakan untuk memodelkan evolusi suatu sistem yang memuat suatu ketidakpastian atau sesuatu yang sulit diduga. Proses stokastik merupakan suatu barisan kejadian yang memenuhi hukum - hukum peluang. Beber-apa model optimalisasi suplai air minum merupakan penerBeber-apan bidang optimalisasi yang berhubungan dengan ketidakpastian. Pergerakan yang tidak diduga tersebut dapat dinyatakan sebagai sebuah proses stokastik. Secara formal proses stokastik
X =x(t);tεT didefinisikan sebagai sebuah barisan peubah acak, yaitu untuk setiap
t dari T mempunyai peubah acak X(t) , dimana t disebut indeks atau parameter ”waktu”. Semua kemungkinan harga yang terdapat pada variabel acak disebut ruang status ( state space ). Ruang status disebut diskrit jika terbatas disebut kontiniu jika memuat interval sepanjang garis bilangan riil. Dalam menentukan model stokastik suplai air minum maka pergerakan variabelnya mengikuti proses stokastik yang kon-tiniu berdasarkan waktu atau periode tertentu.
Misalkan T adalah periode waktu dari stokastik dan T ={0, t1, t2, . . . , tn=T}, dimanatn adalah n∆t merupakan pertambahan nilai proses periode dalam stokastik, kejadian pada setiap interval waktu (tn, tn+1) ditunjukkan variabel acak tn+1 yaitu
pertambahan peluang kemungkinan adanya nilai ketidakpastian. Kumpulan kejadian
εt1, εt2, εt3, . . . , εtn adalah kejadian yang tak terduga dengan asumsi bahwan εtn+1
3
xo sebagai nilai awal. Perubahan X dapat ditulis dengan:
Xtn+ 1 =µtn∆t+σtnσtnεtn+1
dimanaµ = (µt)tεT :σ = (σntεTdanEtn[Xtn+1]
=µtn∆t; Vartn[Xtn+1]
=σ2
n+1Var(εtn+1)
Proses stokastik dapat juga ditulis sebagai z = (zt)tεT dengan memisalkan
z0 = 0 dan ztn = εt1+εt2 +εt3+. . .+εtn diperoleh εtn−1 = ztn−1 −ztn = εztn+1
sehingga dapat disederhanakan menjadi :
∆xtn+1 =µtn∆t+µtn∆ztn+1
Perubahan X dalam proses stokastik dengan waktu kontinu dapat ditulis :
dxt =µtdt+σtdzt
Pendekatan model ketidakpastian untuk suplai air minum dapat dilakukan de-ngan proses Stokastik, jika sebuah variabel x(t) dimana t adalah paramerter dari T, maka x(t) adalah sebuah proses stokastik yang dapat ditulis {x(t), tεT}. Sebuah proses Stokastik {x(t), tεT}dapat dikembangkan dengan memasukkan sebuah ruang sampel Ω sehingga model proses Stokastik menjadi {x(t, w),: tεT, wεω}
Dimana t dan w adalah variabel random yang dapat menentukan jenis fungsi berdasarkan rentang waktu tertentu. Pendekatan Stokastik untuk rangangan opti-mal sistem suplai air minum dapat dilakukan dalam rentang waktut1, t2, . . . , tnyang terdiri dari n elemen dengan proses Stokastik.
1.2 Perumusan Masalah
4
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan suatu model opti-misasi aliran air minum dengan meminimumkan biaya, memperpendek lintasan pipa ke tujuan aliran yang diinginkan.
1.4 Kontribusi Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat pada masalah yang ber-hubungan dengan optimalisasi aliran maksimum terutama sistem suplai air minum yang memiliki nilai ketidakpastian aliran. Penelitian ini akan meningkatkan efisiensi serta optimalisasi tujuan aliran dengan satu sumber menuju sasaran tertentu.
1.5 Metodologi Penelitian
Penelitian ini bersifat studi literatur dan dilakukan dengan mengumpulkan in-formasi dari beberapa studi jurnal. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai beirkut :
1. Menjabarkan masalah yang berhubungan dengan optimalisasi.
2. Menjelaskan beberapa model tentang penerapan suplai aliran air minum. 3. Menjelaskan definisi tentang ketidakpastian yang berhubungan dengan suplai
air minum.
BAB 2
PEMROGRAMAN STOKASTIK
2.1 Program Stokastik Sebagai Suatu Ketidakpastian
Program stokastik adalah program matematika dimana semua data yang ter-gabung kedalam tujuan atau batasan berbentuk ketidakpastian [Holmes,.1990]. Ketidak-pastian ini biasanya dicarikan dengan distribusi probability pada parameter. Wa-laupun ketidakpastian terdefenisi secara tepat, namun dalam praktek harus disusun secara terperinci dengan beberapa skenario sebagai akibat yang mungkin dari data, dalam spesifikasi dan ketepatan distribusi gabungan peluang.
Ketidakpastian dapat ditandai dengan distribusi peluang untuk kejadian acak. Pada umumnya, perkiraan batasan diskrit distribusi peluang diberlakukan untuk masalah tractable. Tiap-tiap kejadian acak atau kombinasi beberapa kejadian acak yang tercakup dalam pembuatan model suatu skenario, dinotasikan w. Dimana masing-masing skenario yang mempunyai suatu kemungkinan tertentu untuk terjadi, dinotaasikan pw. karena hanya salah satu dari skenario yang terjadi, maka peluang skenario harus menuju. Untuk mengambil tiap-tiap skenario ke dalam pertimbangan maka masalah linier stokastik perlu dirumuskan.
Pada program stokastik, ide recourse dapat tercakup pada sasaran dengan me-minimumkan biaya untuk keputusan yang pertama dan konsekwensi biaya ekspek-tasi untuk keputusan dengan skenario berbeda. Dengan vektor x untuk pembuatan keputusan pertama dany pembuat perlakuan untuk skenario tertentu,maka masalah [Holmes, 2005] untuk hal demekian dinyatakan dengan :
Min cx+ewh(x, w)
Kendala Ax=b, x≥0
Dimana (x,w) = mingwy
6
Dari masalah stokasitik yang dinyatakan di atas dapat diperinci sebagai berikut. Program linier meminimumkan biaya keputusan pertama, cx, dan biaya ekspetasi untuk konsekwensi, biaya recourseh(x, w). biaya recourse tergantung pada keputusan
xdan bervariasi untuk masing-masing skenario. Kemudian program linier determinitk biaya recourse dengan temuan suatu tindakan optimalyuntuk bereaksi terhadap hasil kejadian acak tertentu. Untuk seperti itu,ada suatu tindakan yang berbeda untuk bereaksi terhadap hasil kejadian acak tertentu. Untuk seperti itu,ada suatu tindakan yang berbeda y untuk masing-masing skenario.
Perumusan untuk masalah yang mempunyai keputusan xmenjadi tidak terikat pada hasil kejadian acak. Ini menunjukkan arti bahwa keputusan tidaklah didasarkan pada keadaan yang akan datang, dengan implementasi keputusan yang riil. Ini dise-but property nonanticipativas. Jika skenario suatu masalah berkembang ke dalam skenario berbeda didalam periode waktu berurutan, maka batasan yang lebih rumit mungkin diperlukan untuk model yang bercabang. Namun untuk hal ini percaban-gan tidaklah dimanfaatkan dalam memecahkan permasalahan, dan nonanticipativas dijamin tanpa batasan tambahan.
Masalah skokastik dapat dimodelkan dalam suatu bentuk format deterministik lebih tradisional. Nilai yang diharapkan dapat dihitung dari peluang pw dan suatu variable berbedaywdapat diperkenalkan dengan tegas untuk masing-masing skenario. Perumusanya [Holmes, 2005] dinyatakan dengan:
Min cx+ Σpwgwyw Kendala Ax=b
TWYW =DW
X, YW ≤0 (2.2)
7
2.2 Model Stokastik Dua Tahap Dan Penyelesaianya
Model stokastik yang diuraikan pada bagian ini adalah model recourse, yaitu penggabungan antara model antisifatif dan model adaptif [Mawengkang,H.et.al,2006]. Persoalan stokastik dua tahap dengan rekursif dapat ditulis sebagai
Min f(x) +E[Q(X, W)] Kendala Ax =b
X ∈RM0 (2.3)
X adalah keputusan antisipatif tahap pertama yang diambil sebelum peubah acak teramati dan Q(x,w) merupakan nilai optimalnya, untuk sembarang Ω,dari pro-gram tak linier :
Min ε(y, w)
Kendala W(w)y =h(w)−T(w)x
X ∈RM1 (2.4)
Dengan ykeputusan adafitif tahap kedua yang tergantung pada realisasi vector acak tahap pertamaε(y, w)nmerupakan fungsi biaya tahap kedua dan{T(w), W(w), h(w)|wεΩ} adalah parameter model dengan dimensi tertentu. Parameter - parameter ini meru-pakan fungsi dari vektor acakwdank arena itu merupakan parameter acak. T adalah materiks teknologi yang mengandung koefisien teknologi yang mengubah keputusan tahap pertamaxmenjadi sumber daya untuk persoalan tahap kedua. W adalah mat-riks recourse dan h vektor sumber daya tahap kedua. Secara umum model recourse dua tahap dapat diformulasikan sebagai.
8
2.3 Formulasi Deterministik Ekivalen
Pandang model program stokastik linier berikut Min g0(x, ξ)
Kendala gi(x, ξ)≤0, i= 1, . . . , m,
xǫXcRn (2.5)
dengan ˜ξ vektor acak yang bervariasi pada himpunan Ξ ⊂ Rk . Lebih tepat lagi, diandaikan bahwa keluarga (family)F dari ”kejadian”, yaitu himpunan bagian dari Ξ , dan sebaran peluang P pada F diketahui. Jadi untuk setiap himpunan bagian
A ⊂ Ξ yang merupakan kejadian-kejadian, yaitu A ∈ F, peluang P(A) diketahui. Selanjutnya, diandaikan bahwa fungsi gi(xi) : Ξ → R∀x, i merupakan peubah acak dan sebaran peluang P adalah bebas.
Namun, problema diatas tidak ”well defined” karena pengertian ”min” dan juga kendala tidak jelas, jika yang diperhitungkan adalah nilai keputusanxsebelum menge-tahui realisasi dari ˜ξ. Karena itu revisi terhadap proses pemodelan perlu dilakukan, yang akan menghasilkan model deterministik ekivalen untuk model diatas
2.4 Proses Formulasi
Pembentukan model analogi terhadap program stokastik linier dengan recourse, untuk problema (2.5) dilakukan dengan cara berikut. Ambil
gi+(x, ξ) =
0 jikaqi(x, ξ)≤0,
gi(x, ξ) selainnya,
(2.6)
kendala ke i dari (2.5) dilanggar jika dan hanya jika gi+(x, ξ) > 0 untuk suatu keputusan x dan realisasi ξ dari ˜ξ . Di sini dapat diberikan untuk setiap kendala suatu recourse atau aktivitas tahap-keduayi(ξ) ,setelah mengamati realisasiξ, dipilih sehingga mengantisipasi pelanggaran kendala - jika ada - dengan memenuhigi(x, ξ)−
9
penalti qi per unit, jadi biaya tambahan ini (disebut fungsi recourse) berjumlah
Q(x, ξ) =min x
( m X
i=1
qiyi(ξ) |yi(ξ)≥ gi+(x, ξ),= 1, . . . , m
)
(2.7)
Yang menghasilkan biaya total - tahap pertama dan biaya recourse
f0(x, ξ) =g0(x, ξ) +Q(x, ξ) (2.8)
selain (2.7), dapat dipikirkan suatu program linier recourse yang lebih umum dengan suatu recourse vektory(ξ)∈Y ⊂Ψn , (Y himpunan polyhedral, seperti{y|y≥0}), suatu sembarang fixed m×n¯ matriks W ( matriks recourse ) dan vektor unit biaya
BAB 3
MODEL SUPLAI AIR MINUM
3.1 Perancangan Model
Kompleksitas dari persoalan sistem suplai air minum dan hubungannya dengan ketidakpastian membuat perusahaan korporat kembali memperhitungkan penggunaan biaya yang akan digunakan terhadap perancangan sebuah sistem air minum. Metode pendekatan dengan optimisasi stokastik sangat tepat digunakan dalam perancangan optimal sistem suplai air minum terutama menyangkut persoalan desain dan peng-operasiannya.
Kebanyakan persoalan perancangan air minum diselesaikan dengan menggu-nakan tahap ganda atau multi state linier atau non linier stokastik programming yang berasal dari sumber air tertentu. Tujuan utama dari persoalan ini adalah un-tuk meminimalisasi ekspektasi dari total biaya yang digunakan dalam sistem suplai air minum, dengan merancang sebaik mungkin sistem suplai air minum yang pendek tetapi akurat serta memperhitungkan kapasitas air (Jenkins dan Lund, 2000)
Masalah suplai air minum dapat dirumuskan dengan pemrograman linear yang menggunakan metode simpleks. Beberapa metode yang sudah dicoba dalam meru-muskan masalah supali air minum secara optimal adalah dengan menggunakan algo-ritma augmenting path. Algoalgo-ritma augmenting path didasarkan pada konsep intuisif yaitu jaringan residual dan augmenting path.
Augmenting path adalah lintasan terarah dari sumber kesasaran pada jaringan residual dimana setiap busur pada lintasan ini mempunyai kapasitas residual yang sangat positif. Jumlah minimum kapasitas residual ini disebut residual augmenting path karena kapasitas tersebut menunjukkan jumlah aliran yang dapat ditambah se-cara layak keseluruh jaringan. Algoritma augmenting path memberikan kesempatan untuk menambah aliran pada jaringan yang asli.
11
aliran dari sumber kesasaran tidak dapat ditingkatkan lebih lanjut. Kunci untuk mamastikan bahwa solusi akhir adalah solusi optimal yaitu terdapat pakta bahwa augmenting path bisa membatalkan aliran pada jaringan asli yang telah ditugaskan sebelumnya sehingga pemilihan jalur secara sembarangan untuk penugasan suplai aliran tidak berpengaruh terhadap kombinasi penugasan aliran yang optimal.
Istilah solusi yang berarti jawaban akhir dari suatu permasalahan , tanpa menghi-raukan apakah solusi tersebut merupakan pilihan yang diinginkan maupun yang di-bolehkan. Tipe solusi yang berbeda akan diidentifikasi dengan menggunakan sifat yang tepat. Solusi layak dapat diartikan sebagai sebuah solusi dimana semua kendala yang ada terpenuhi. Solusi tak layak adalah solusi dimana sedikitnya satu kendala tidak terpenuhi atau dengan kata lain dilanggar. Daerah layak adalah kumpulan se-mua solusi layak, sehingga solusi optimal dapat didefensikan sebagai solusi layak yang memiliki fungsi tujuan terbaik.
3.2 Model Optimisasi
Masalah aliran biaya minimum memegang peranan penting dalam persoalan optimalisasi jaringan. Hal tersebut berkaitan dengan kemampuan masalah ini untuk merangkul kelas aplikasi yang besar dan juga karena masalah ini bias diselesaikan dengan sangat efisien. Seperti halnya masalah aliran maksimum, masalah ini berhu-bungan dengan aliran yang melalui jaringan dengan kapasitas busur yang terbatas. Seperti masalah lintasan terpendek, masalah ini memperhatikan biaya atau jarak melalui busur. Masalah aliran air minum dengan adanya ketidakpastian tentu berhu-bungan dengan sumber yang mungkin lebih dari satu simpul dan tujuan yang lebih dari satu simpul pada satu aliran, yang sekali lagi berkaitan dengan biaya. Pada kenyataannya, permasalahan yang berhubungan dengan biaya air minum tentunya berhubungan dengan optimalisasi yang meminimumkan biaya. Alasan masalah bi-aya air minum dapat diselesaikan dengan sangat efisien adalah kemampuannya untuk dirumuskan sebagai masalah pemrograman linier sehingga dapat diselesaikan dengan metode simpleks efisien yang disebut dengan metode simpleks jaringan.
12
yang memiliki satu sumber dan banyak pelanggan sehingga diupayakan distribusi jaringan yang minimum sehingga mempermurah biaya operasional. Masalah suplai air minum melibatkan pengembangan jaringan yang asli dengan memasukkan sumber dummy dan sasaran dummy dan beebrapa busur baru. Sumber d Ummy diperlukan sebagai asal semua lairan, yang apad kenyataannya berasal dari simpul lain. Untuk setiap simpul lainya tersebut, sebuah busur baru dimasukkan yang mengarah dari sumber dummy kesimpul akhir, dimana kapasitas busur sama dengan aliran maksi-mum yang pada kenyataannya dapat berasal dari simpul dummy tersebut. Sasaran dummy diperlakukan sebagai simpul yang menyerap semua aliran, yang pada keny-ataannya berakhir pada simpul ini. Oleh karena itu semua simpul pada jaringan asli pada akhirnya akan berubah menjadi sebuah simpul pengiriman. Jaringan suplai air minum yang dikembangkan mempeunyai satu sumber tunggal yang diperlukan dan sasaran tunggal sehingga sesuai dengan masalah aliran maksimum.
3.3 Optimisasi Robust
Model deterministik matematika yang berhubungan dengan input data yang memiliki nilai ketidakpastian dan berhubungan dengan perancangan masa depan dapat diukur dengan menggunakan model Robust sebagai parameter yang dipakai. Model Robust yang dimaksud tentunya memiliki data ketidakpastian yang terukur dan merupakan konveks set yaitu :
Maksimumcx
A = matriks kendala
Kj = kolom ke -j dari matriks ketidakpastian K n = jumlah kolom keseluruhan
13
Kemudian nilai ketidakpastian dari persoalan yang muncul dapat diukur dengan menggunakan model acak dengan model:
˜
aij = ¯aij + ˜ηijε¯aij + ˜ηijˆaij (3.2)
keterangan:
˜
aij = nilai rata-rata ketidakpastian ˜
ηij = kendala ketidakpastian ˜
aij = nilai nominal ketidakpastian
Dengan menembahkan variabel y dan z (Ben-Tai dan Nemirovski, 2000)diper-oleh model selanjutnya:
aij = nilai nominal ketidakpastian
xj = desain kapasitas aliran pada kolom ke - j
Qi = penyaluran rata-rata aliran air pada baris ke - i
Zij = kendala dalam penyaluran aliran air
14
Model stokastik optimisasinya yaitu dengan memaksimumkan nilai cx: maksimumkancx
sehingga diperoleh model robust adalah: maksimumkancx
aij = nilai nominal ketidakpastian
xj = desain kapasitas aliran pada kolom kej
bi = kendala keseluruhan
Beberapa faktor ketidaksamaan dapat ditentukan dengan mensubsitusikannya kedalam model robust yang diperoleh menjadi:
15
keterangan :
˜
aij = nilai rata-rata ketidakpastian ˜
ηij = kendala ketidakpastian pada baris ke-i kolom ke-j ¯
gij = debet aliran air pada baris ke-k kolom ke-j
Model Robust yang memuat nilai ketidakpastian dengan beberapa variabel lain-nya, dapat disempurnakan dengan mensubstitusi seluruh koefisien menjadi : maksi-mumkancx
aij = nilai rata-rata ketidakpastian
xj = desain kapasitas aliran pada kolom ke-j
bi = kendala keseluruhan
B = total nilai peluang ketidakpastian
Ti = korespondensi peluang ketidakpastian pada baris ke-i.
Nilai peluang dari robust ditentukan dengan model:
16
dimanan=|Ki|, v= (Γi2+n), µ=v− |v|dan
C(n, I) =
1
2nif 1 = 0 or l =n
1
√g i
q n
(n−1) exp(nlog(
n
2(n−1))+Ilog(
n−1
I ))
BAB 4
RANCANGAN SUPLAI AIR MINUM
4.1 Sistem Suplai Air Minum
Model Optimisasi Robust menggunakan aplikasi yang realistis untuk peran-cangan jaringan suplai air minum dengan menggunakan sistem yang dipakai secara umum dengan metode menggunakan skema aliran berupa pipa yang melibatkan per-mukaan dari sistem suplai air minum, sumber air minum serta penggunaan sistem jaringan air minum yang akan dipakai atau luas lahan yang dapat digunakan sebagai aliran air minum.
Pada beberapa daerah aliran yang normal sebenarnya dapat dirancang dengan mudah tetapi adakalanya dalam pengembangan sistem aliran menggandung unsur ketidakpastian seperti sumber air dan arah tujuan kemana aliran air akan diten-tukan, tingkat efisiensi aliran pipa yang digunakan, simpul-simpul bantuan yang akan digunakan dan batas - batas aliran yang dapat dilalui.
4.2 Fungsi Objektif Robust
Perancangan model aliran air minum dapat ditentukan dengan model robust de-ngan cara meminimumkan aliran - aliran serta prasarana yang dimiliki agar rancade-ngan menjadi optimal :
minimumkanz =f1(kijt) +f2(dtij +f3(Xijt, Hijt) +f4(Wit)
+f5(qij0, W
0
i ) +f6(q
0
ij) (4.1)
keterangan :
f1 = total penggunaan pipa untuk aliran air
ktij = kebutuhan pipa untuk aliran pada periode t
f2 = total penggunaan kanal
dt
ij = kebutuhan kanal untuk aliran air pada periode t
18
Xijt = desain kebutuhan aliran air pada periodet
Ht
ij = jumlah tujuan aliran air pada periode t
f4 = besar debit aliran kapasitas pipa
Wt
i = jumlah aliran air pada periode t
f5 = total rata-rata aliran air
q0ij = jumlah keseluruhan debit aliran air
Tahap awal dengan memasukan faktor biaya yang berhubungan dengan diameter pipa yang dihubungkan dengan aliran air pada periodetmenurut Clarker et al (2002) diperoleh model:
total penggunaan kanal aliran air pada periode t dipengaruhi oleh diameter pipa(d) dengan panjang pipa yang dibutuhkan untuk aliran air keseluruhan, sehingga diper-oleh fungsi aliran (US. Army of Engineers, 1980):
f2(dtij =
ENR : parameter biaya aliran air yang dibutuhkan 1 tahun ENTt CITY =parameter biaya aliran air pada periode t
diperoleh ENR t adalah: ENRt= 7.7
19
nilai rata-rata pompa aliran (Ht
ij) berdasrkan tujuan aliran dengan tingkat perubahan desain(Xt
ij)mempengaruhi perhitungan biaya, dengan total fungsi biaya:
f3(Xijt, H
fasilitas kebutuhan aliran air juga diperoleh kapasitas debit aliran pipa (lebar pipa)Wt i dalam periode tertentu t yaitu:
f4(Wit) =
keseluruhan biaya yang dihitung dalam 1 tahun memiliki nilai perubahan ketidak-pastian yang dapat terjadi dalam 1 tahun perancangan suplai air minum.
Tingkat perubahan nilai ketidakpastian aliran dapat dihitung dengan rumus:
f5(q0ij, Wij0) =
20
periode aliran yang dihitung biayanya, diperoleh:
f5(q0ij) =
Kebutuhan air dalam sistem perancangan pada periode o( ¯D0
j) bertujuan untuk kepuasan pelanggan, sehingga diperoleh model sumber penyaluran air adalah:
X
i∈Ns
qij0 ≥D˜jO,∀j ∈N∪, ∀O ∈O (4.8)
Total debit aliran air dalam hubungannya dengan kapasitas debit aliran air pada pipa dan lebar pipa dengan satua Wji diperoleh :
X
i⊂N
q0ij ≤Wjt, ∀j ⊂NW T ∪NW W T, t≤ 0, ∀0⊂ o, ∀t⊂T (4.9)
Jumlah aliran air yang masuk dibatasi oleh sumber air yang tersedia (IWgo) dan dihitung berdasarkan banyaknya aliran air yang keluar dari sumber air pada simpul-simpul (NiW) yaitu :
X
j∈NU⊂Ns
qIW j0 ≤IWg0,∀o∈O (4.10)
Secara alami aliran air ¯P o yang berada pada kawasan Ab didistribusikan de-ngan aliran NRU dan besarnya perubahan aliranNSS. Volume aliran air yang didis-tribusikan adalah :
q0ij = 0.3 ¯P0Ab, i= aliran air,∀j ∈NRU,∀o∈O (4.11)
21
qij0 = 0.1 ¯P0Ab, i= aliran air,∀j ∈NSS,∀o∈O (4.12)
Adanya perubahan besar aliran dan lokasi tujuan aliran air maka harus diten-tukan fungsi minimum rancangan aliran air denan pipa agar memiliki nilai efisiensi, yaitu:
Jumlah air yang dialirkan tentunya harus sesuai dengan kebutuhan pelanggan dan tidak boleh lebih besar dari persediaan air yang dibutuhkan :
X
Jika nilai debit aliran air N So
i dihitung pada tahapan maka diperoleh:
W Sio ≥RSi, i∈ NSS,∀o∈O (4.15)
Aliran air yang berdasarkan pada hubungan hidraulik dimana setiap kompo-nen yang digunakan untuk aliran air memiliki kendala. Kapasitas kanal dihitung dengan persamaan yang memuat seluruh komponen aliran air yaitu jenis bahan (S), banyaknya kanal (2), panjang pipa (s), dan kedalaman alirandt
ij dengan kapasitas:
Untuk pembuatan aliran air lebih efisien dengan adanya kemungkinan perubahan-perubahan pada aliran yang tidak stabil maka total operasional aliran air:
22
Sumber air diasumsikan tidak terbatas dan berasal dari permukaan yang bebas namun memiliki tekanan terhadap pompa sebesar ∆0
ij . Kendala pipa dalam men-galirkan air adalah (f) sehingga jumlah tujuan aliran (Hij0) dan desain kebutuhan aliranXt
ij dari pipa diperoleh :
qio ≥0.5χtij,∀(i, j)∈AU, t≤0,∀o∈O,∀t∈T (4.18)
23
qijo ≤Mijtµtij,∀(i, j)∈Ap, t≤0,∀o ∈O, ∀t ∈T (4.25)
Persamaan (4.22) mengharuskan bahwa, aliran arc, rancangan pompa air, kedala-man kanal, kapasitas rancangan pompa, kapasitas pabrik pengolahan air dan air lim-bah haruslah non-negatif. Batas lim-bahwa untuk diameter pipa dan kapasitas pompa Persamaan (4.23) diberi nilai kecil (10−5) dan bukan 0 untuk menghindari
kesala-han numerik karena hubungan hidrolik yang diberikan dalam Persamaan (4.20) dan (4.21) tidak bisa dibagi dengan 0. Variabel biner dimasukkan untuk menotasikan pembangunan pipa baru (xt
BAB 5
NILAI KETIDAKPASTIAN SUPLAY AIR MINUM
5.1 Korelasi Model dengan Data Ketidakpastian
Masalah Rancangan optimal sistem suplai air minum dengan adanya ketidak-pastian adalah bagaimana mengoptimalkan sistem aliran air minum yang berasal dari satu sumber yang akan dialirkan ketujuan tertentu dengan adanya ketidakpastian aliran air minum yang membutuhkan keputusan yang tepat tentang penggunaan : ukuran, sumber air, lokasi, kapasitas pipa, biaya perancangan yang keseluruhannya memuat ketidakpastian.
Model asumsi ketidakpastian dengan variabel random dapat ditentukan dengan model:
˜
P0 = ¯P0+ ˜η01Pˆ0, ∀o∈O (5.1)
Keterangan :
¯
P0 = nilai nominal aliran air pada periode 0
ˆ
P0 = nilai rata-rata aliran air pada periode 0
˜
ηi = variasi acak untuk aliran air pada periode 0
Dengan menggunakan sumber air minum sebagai titik awal aliran, dengan batasan -batasan tertentu diperoleh model suplai permintaan sebagai berikut:
˜
D0 = ¯D0i + ˜ηi0Dˆi0−η˜i0ρiPˆ0Ai, ∀i∈NU, ∀o ∈O (5.2)
Untuk batasan kawasan tertentu dapat disederhanakan menjadi:
˜
25
˜
D06 = ¯D06+ ˜η3Dˆ60−η˜01ρ2Pˆ0AAG (daerah pertanian) (5.4)
Jika total rata-rata suplai aliran air untuk daerah tertentu dan daerah pertanian D dan D merupakan sumber aliran air maka periode aliran air dapat diperoleh pada pe-riode o. Faktor-faktor yang mempengaruhi suplai keseluruhan air minum berhubugan dengan volume air dengan lebar pipa tertentu (IWgo) yaitu:
g
IW0 =IW¯ 0+ ˜η4IWˆ0+ ˜η10ρ3Pˆ0A
′
b, ∀o∈O (5.5)
Nilai ketidakpastian sistem suplai air minum dengan model Robust secara ke-seluruhan dengan menghitung total kendala linier yang terjadi secara umum ditulis:
X
j
qijo ≥D¯i0+ ˜ηiDˆ0i −η˜10ρiPˆ0Ai, ∀i∈NU, ∀o∈O (5.6)
rancangan yang digunakan untuk lokasi aliran tertentu dan daerah kawasan tertentu yang masih dalam tahapan daerah rancangan aliran dapat ditentukan dengan model aplikasi sebagai berikut:
q450 +q250 +AD0 OU T
model Robust untuk daerah tertentu:
q0
model Robust untuk kawasan pertanian adalah: −q0
26
ADOOUTPˆ0
(1 +ρ1)≤0. (5.9)
Untuk menentukan kendala Robust pada sistem suplai air minum untuk kawasan tertentu, digunakan parameter Γ1 sebagai nilai peluang dengan batasan (0,2). Secara
sederhana model kendala Robust ditulis Γ1 ≥1:
−q045−q025+ ¯D05 −ADOOUTP¯0+ max{Dˆ05 + (Γ1−1|
−ADOOUTPˆ0(1+ρ1)|; (Γ1−1) ˆD50+| −ADOOUTPˆ0(1+ρ1)|} ≤0 (5.10)
dan jika Γ1 <1, maka model Robust (5.10) dapat didistribusikan menjadi:
−q0
45−q025+ ¯D05 −ADOOUTP¯0+ max{Γ1Dˆ05; Γ1 |
−ADOOUTPˆ0(1 +ρ1)|} ≤0. (5.11)
Nilai maksimum kendala Robuts dapat dihitung memuat sistem aliran suplai air minum pada parameter Γ2 untuk kawasan pertanian dengan kendala tertentu. Jika
Γ2 ≥1 model Robust menjadi:
−q0
16−q026−q360 −q760 + ¯D06 −AAGP¯0+ max{Dˆ06 + Γ2−1|
−AAGPˆ0(1 +ρ2)|}; (Γ2−1) ˆD06+| −AAGPˆ0(1 +ρ2)|} ≤0 (5.12)
Nilai maksimum kendala Robust dihitung jika Γ2 <1 dan nilai penambahan volume
aliran air secara keseluruhan menjadi:
q012+q140 q016≤IW¯ 0+ ˜η4IWˆ0+ ˜η10ρ3Pˆ0A
′
b, (5.13)
untuk aplikasi sistem penyediaan air. Dengan memasukkan parameter tingkat ketidak-pastian Γ3 ∈[0,2], batasan ini dikonversi menjadi bentuk kuat ekspilisit dengan cara
yang sama dengan batasan permintaan air bila Γ14 >1.
Model Robust dengan kendala:
27 Kendala aliran minimum model Robust didistribusikan dengan variabel randum se-hingga model aliran suplai air minimum dengan adanya nilai ketidakpastian:
0.3Ab( ¯P0 + ˜η10Pˆ0) +q780 −q340 −q360 −q320 ≥RQ8, ∀0 ∈O (5.15)
selanjutnya, model aliran air yang berdasarkan adanya ketidakpastian pada suplai air minimum dengan batasan sumber air tertentu dapat dihitung dengan aliran yang terdapat pada pipa, sehingga kendala minimum suplai air minimum dengan formula Robust:
jika IGS adalah sumber air minum yang tersedia, dengan korelasi 0,1 maka model perancangan sistem suplai air minum model Robust menjadi:
BAB 6 KESIMPULAN
Perancangan suplai air minum dapat dikatakan sebagai sebuah proses optimali-sasi jaringan yang dapat digunakan untuk mengevaluasi tingkat maksimum atau mini-mumnya aliran air melalui pipa dari sebuah sumber ke pelanggan menuju sasarn yang diinginkan. Perhitungan sederhana yang bisa dilakukan adalah bentuk pendekatan perhitungan secara manual terhadap jaringan pipa air minum yang digunakan sebagai sebuah nilai strategi untuk menentukan seberapa besar nilai ketidakpastian yang ber-hubungan dengan suplai air minum terutama dalam hal penggunaan stokastik untuk menyelesaikan optimalisasi yang berhubungan dengan meminimumkan biaya.
DAFTAR PUSTAKA
Ben-Tal, A.,Nemirovski,A., 2000.Robust solution of linear programming problems con-taminated with uncertain data. Mathematical Programming 88, 441-442.
Burt,C.M, A,J Clemens, T.S Strelkoff, K.H Solomon, R.D Bliesner, R.A Hardy, T.A Howel and D.E Einshenher (1997): irrigation performance measures, J irrig Drain Engg 123(6), 423 - 442
Cai, X.,2008.Implementation of holistic water resources-economic optimization models for river basin management-reflective experiences.Environmental Modelling & Software 23(1),2-18
Chung,G., Lansey K, Blowers,P., Ela W., Stewart, S., Wilson, P., (2008) A General water supplay Planning Model ; evaluation of decentralized treatment. Enviro-mental Modelling & Software Hal : 2-18.
Dantzig, G. B. (1956), Recent Advances in Linear Programming, Management Sci. 2, 131-144
Efimov, V. M. (1970), Optimal Estimations under Uncertainty, Econ. Math. Methods, 6, No. 3.
Eisner, M. J., Kaplan, R. S., dan Soden, J. V. (1971), Admissible Rules for the E-Model of Chance-Constrained Programming, Management Sci., No. 17.
Ermolyev, J. M. (1970), Stochastic Quasi-Gradient Methods And Applications, Ph.D. in the Institute of Cybernetics Ukrainian S.S.R. Academy of Science, Kiec. Holmes,D.(2005).What is Stochastic Programming.Northwestern,1.
Jamshidian, F, and Y. Zhu. (1997). Scenario Simulation: Theory and Methodology, Finance and Stochastics, pp. 43-67.
Jenkins, M.W., Lund, J.R., (2000), ” To manage water supply capacity under water shotage conditions, Environmental Modelling &Software.www.elsevier.com Makropolous, C.K., Natsis, K., Liu, S., Mittas, K., Butler, D., (2008), ” A Municipal
water supply system is defined as the physical infrastructure to treat , deliver water to and collect water from users. Environmental Modelling & Software, www.elsevier.com
Mawengkang, H., Susilo, S., Sitompul, O.S.(2006), Metode Pencarian Langsung Berba-sis Kendala untuk Menyelesaikan Problem Program Stokastik Cacah Campuran Tahap Ganda.Universitas Sumatera Utara,8-11
Mitchell,V.G., McCarthy, D.T., Deletic, A., Fletcher, T.D., (2008), ” The simulation of the water supply” Departement of systems and industrial Engineering, The University of Arizona,Tucson, USA
Sahinidis,NV.,(2004), Optimization Under Uncertainly:State-of-the-Art and Opportu-nities.Computer and Chemical Engineering,28,971-983.
