Optimasi Rute Pengiriman Cash Cartridge Atm Menggunakan Integer Linear Programming

(1)

OPTIMASI RUTE PENGIRIMAN CASH CARTRIDGE ATM

MENGGUNAKAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING

MUHAMMAD DINAR MARDIANA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

(3)

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Optimasi Rute

Pengiriman

Cash Cartridge

ATM Menggunakan

Integer Linear Programming

adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum

diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber

informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak

diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam

Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, Agustus 2015

Muhammad Dinar Mardiana

(4)

ABSTRAK

MUHAMMAD DINAR MARDIANA. Optimasi Rute Pengiriman

Cash Cartridge

ATM Menggunakan

. Dibimbing oleh PRAPTO TRI

SUPRIYO dan SISWANDI.

Pengisian ulang

cash cartridge

pada ATM (

Automatic Teller Machine

) yang

berfungsi sebagai kotak penyimpanan uang tunai terkait erat dengan masalah

pendistribusiannya. Upaya untuk menentukan skenario pendistribusian

cash

cartridge

yang meminimumkan biaya operasional sangat diperlukan untuk

memaksimumkan keuntungan. Karya ilmiah ini memberikan model untuk

menentukan rute armada kendaraan guna mendistribusikan

cash cartridge

ke

beberapa ATM dengan biaya operasional yang minimum. Model diformulasikan

menggunakan

dengan kendala

time windows

pada

setiap ATM yang harus dikunjungi. Model selanjutnya diimplementasikan

menggunakan

software

LINGO 11.0 untuk menentukan skenario pendistribusian

cash cartridge

dari bank ke delapan ATM yang terpisah relatif jauh satu dengan

yang lain. Hasil implementasi menggunakan komputer dengan prosesor 1.5 GHz

dan RAM 4 GB diperoleh solusi optimal dalam waktu 3 jam 8 menit dan 47 detik.

Hasil ini menunjukan bahwa model ini cukup beralasan untuk diterapkan pada

situasi nyata.

Kata kunci: CVRPTW, pengiriman

cash cartridge

.

ABSTRACT

MUHAMMAD DINAR MARDIANA. Route Optimization of ATM Cash

Cartridge Replenishment Using Integer Linear Programming. Supervised by

PRAPTO TRI SUPRIYO and SISWANDI.

Cash cartridge replenishment of ATM (Automatic Teller Machine) that

serves as storage box for cash closely related to the problem of distribution. Efforts

to determine the distribution scenario of cash cartridges that minimizes the

operational costs are indispensable to maximize profits. This paper provides model

to determine the routes for a fleet of vehicles to distribute the cash cartridges to

several ATMs with the minimum operational costs. This model is formulated using

integer linear programming with regard to time windows constraints at ATMs

which must be visited. This model is then implemented using the software LINGO

11.0 to determine the distribution scenario of cash cartridges from the the bank to

eight ATMs which relatively far apart from each other. The implementation using

a computer with a 1.5 GHz processor and 4 GB of RAM provides optimal solution

within 3 hours 8 minutes and 47 seconds. These results indicate that the model is

reasonable to be applied in real situations.

(5)

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

OPTIMASI RUTE PENGIRIMAN CASH CARTRIDGE ATM

MENGGUNAKAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING

MUHAMMAD DINAR MARDIANA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(6)

(7)

Judul Skripsi : Optimasi Rute Pengiriman

Cash Cartridge

ATM Menggunakan

Nama

: Muhammad Dinar Mardiana

NIM

: G54110033

Disetujui oleh

Drs Prapto Tri Supriyo, MKom

Pembimbing I

Drs Siswandi, MSi

Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc

Ketua Departemen

(8)

PRAKATA

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya

sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Optimasi Rute

Pengiriman

Cash Cartridge

ATM Menggunakan

.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1.

Ibu, Bapak, Eki, Alan, Zalfa, dan seluruh keluarga tercinta yang sudah

memberikan dukungan, motivasi, dan doa-doanya kepada penulis,

2.

Bapak Drs Prapto Tri Supriyo MKom selaku dosen pembimbing 1, Bapak Drs

Siswandi MSi selaku dosen pembimbing 2, dan Bapak Dr Ir Bib Paruhum

Silalahi MKom selaku dosen penguji, terima kasih untuk bimbingan, ilmu,

saran, motivasi, dan bantuannya selama penyelesaian karya ilmiah ini,

3.

Semua dosen di Departemen Matematika, terima kasih untuk ilmu dan motivasi

yang telah diberikan,

4.

Staff

Departemen Matematika: Bu Susi, Pak Yono, Bu Ade, dan

staff

lainnya,

terima kasih untuk bantuannya,

5.

Intan Fitria Sari, terima kasih telah selalu menjadi pendengar keluh kesah

penulis, dan pembagi ilmu dalam mengerjakan karya ilmiah ini,

6.

Teman-teman Matematika angkatan 48 yang selalu saling memberi dukungan

dan semangat kepada penulis terutama yang sudah berbagi ilmu dan

bantuannya,

7.

Gilang, Jun, Adit, Agung, Rizki, Ical, terima kasih untuk hiburan kalian selama

penulis sedang jenuh dikontrakan,

8.

Semua pihak yang sudah membantu penulis dan tidak dapat disebutkan satu

per satu.

Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih memiliki kekurangan. Oleh

karena itu, penulis sangat menghargai kritik dan saran dari pembaca.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Agustus 2015

(9)

DAFTAR ISI

PRAKATA

iv

DAFTAR ISI

v

DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

1

TINJAUAN PUSTAKA

1

Linear Programming

1

Integer Programming

2

Vehicle Routing Problem

2

Capacitated Vehicle Routing Problem with Time Windows

2

DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH

3

Deskripsi Masalah Pengiriman

Cash Cartridge

3

Formulasi Masalah Pengiriman

Cash Cartridge

3

UJI MODEL

6

Deskripsi dan Uji Kasus Pertama

7

Deskripsi dan Uji Kasus Kedua

8

Deskripsi dan Uji Kasus Ketiga

9

IMPLEMENTASI MODEL

10

Deskripsi dan Formulasi Masalah Pengiriman

Cash Cartridge

10

Hasil dan Pembahasan

15

SIMPULAN DAN SARAN

15

Simpulan

15

Saran

16

DAFTAR PUSTAKA

16

LAMPIRAN

17

(10)

DAFTAR TABEL

1

Kecepatan, kapasitas dan biaya kendaraan dalam uji model

7

2

Jarak antar-

node

(dalam km) uji kasus pertama

7

3

Time windows

dan permintaan setiap

node

uji kasus pertama

7

4

Rute pengiriman hasil uji kasus pertama

8

5

Jarak antar-

node

(dalam km) uji kasus kedua

8

6

Time windows

node

uji kasus kedua

9

7

Rute pengiriman hasil uji kasus kedua

9

8

Jarak antar-

node

(dalam km) uji kasus ketiga

9

Time windows

node

uji kasus ketiga

10

Rute pengiriman hasil uji kasus ketiga

10

11

Jarak antar-

node

(dalam km)

11

12

Time windows

node

11

13

Kecepatan, kapasitas dan biaya kendaraan

12

14

Rute pengiriman hasil implementasi model

15

DAFTAR LAMPIRAN

(11)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Pendistribusian merupakan salah satu kegiatan penting dari sebuah

perusahaan. Beberapa permasalahan perusahaan dalam melakukan pendistribusian

antara lain menentukan banyaknya kendaraan yang dioperasikan, serta menentukan

rute kendaraan yang dapat mengoptimalkan jarak tempuh atau biaya perjalanan

yang bertujuan agar semua permintaan pelanggan dapat terlayani dengan baik dan

pada akhirnya keuntungan optimal akan diperoleh perusahaan.

ATM (

Automatic Teller Machine

) merupakan fasilitas di mana nasabah bisa

menarik tabungan atau gironya dengan kartu ATM melalui jaringan ATM bank dan

jaringan ATM yang terafiliasi dengan bank baik dalam maupun luar negeri (IBI

2015). Dalam mesin ATM terdapat salah satu komponen penting yaitu

cash

cartridge

yang berfungsi sebagai kotak penyimpanan uang tunai pada mesin ATM

yang harus diisi ulang secara rutin. Pengisian ulang

cash cartridge

ini terkait erat

dengan

masalah pendistribusiannya. Hal ini sangatlah penting karena mengingat

fungsi mesin ATM untuk melakukan transaksi agar lebih cepat dan efisien.

Sehingga tidak terjadi kekosongan uang tunai dalam mesin-mesin ATM. Upaya

menentukan rute pengiriman

cash cartridge

yang meminimumkan biaya

operasional tentu sangat diperlukan dalam upaya memaksimumkan keuntungan.

Tujuan Penelitian

Tujuan karya ilmiah ini adalah memformulasikan masalah optimasi rute

pengiriman

cash cartridge

ATM untuk meminimumkan total biaya pengiriman

dengan menggunakan ILP (

). Selanjutnya model

diimplementasikan pada suatu kasus dengan menggunakan bantuan

software

LINGO 11.0.

TINJAUAN PUSTAKA

Penentuan rute optimal pengiriman

cash cartridge

ATM dapat

diformulasikan sebagai model

(VRP) menggunakan

(ILP). Berikut ini diberikan beberapa teori dan

definisi yang digunakan terkait dengan ILP.

Linear Programming

Menurut Winston (2004),

Linear Programming

(LP) adalah suatu masalah

pengoptimuman yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut:

(12)

2

2.

nilai-nilai pada variabel keputusan harus memenuhi semua kendala yang ada.

Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertaksamaan linear, dan

3.

terdapat pembatasan tanda bergantung untuk setiap variabel. Untuk sembarang

variabel

�

, pembatasan tanda menentukan

�

harus taknegatif (

�

) atau

tandanya tidak dibatasi.

Integer Programming

(IP) adalah suatu masalah

Linear Progamming

dengan

sebagian atau semua variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (

integer

)

taknegatif. Masalah IP dengan semua variabel yang digunakan berupa bilangan

integer

disebut

pure integer programming

. IP dengan beberapa variabel yang

digunakan berupa bilangan

integer

disebut

mixed integer programming

. IP dengan

semua variabelnya bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP (Winston 2004).

(VRP) adalah model yang digunakan untuk

perencanaan dan proses pengambilan keputusan. Contoh masalah yang dapat

diselesaikan dengan VRP antara lain yakni pengiriman barang dan pengumpulan

sampah (Sarker dan Newton 2008).

Menurut (Sarker dan Newton 2008), VRP sederhana dapat digambarkan

sebagai berikut:

1

di depot terdapat kendaraan sejumlah

M

yang diketahui kapasitasnya,

2

terdapat pelanggan sejumlah

−

dengan masing-masing pelanggan memiliki

permintaan,

3

terdapat biaya perjalanan dari lokasi ke lokasi , dan

4

tujuannya untuk menemukan rute pengiriman barang ke (dari) pelanggan dengan

biaya minimum.

Rute kendaraan harus mengawali dan mengakhiri perjalanan di depot. Solusi dari

VRP adalah suatu himpunan rute yang dilakukan oleh satu kendaraan. Rute yang

dihasilkan harus memenuhi semua permintaan pelanggan dan semua kendala yang

diberikan untuk menghasilkan total biaya perjalanan yang minimum.

Capacitated Vehicle Routing Problem with Time Windows

(13)

3

DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH

Deskripsi Masalah Pengiriman

Cash Cartridge

Pengiriman

cash cartridge

merupakan salah satu bagian dari manajemen

operasional bank. Bank akan mengirimkan

cash cartridge

yang berisi uang tunai ke

beberapa ATM untuk mengisi ulang

cash cartridge

yang kosong pada mesin ATM,

dengan setiap ATM memiliki

time windows

, yaitu terdapat selang waktu untuk

melakukan pengisian ulang. Sistem pengisian ulang uang pada mesin ATM secara

rutin dan teratur akan membuat pengelolaan transaksi pada mesin ATM menjadi

baik. Perencanaan pada sistem pengisian perlu dilakukan. Penentuan rute

pengiriman

cash cartridge

yang optimal merupakan bagian dari perencanaan sistem

pengisian. Optimal pada pengiriman dapat ditinjau dari biaya yang minimum,

jumlah kendaraan yang digunakan minimum, dan jarak tempuh yang minimum.

Secara umum, dalam suatu mesin ATM berisi lima

cash cartridge

dan setiap

cash cartridge

berisi lembaran uang tunai kertas. Ketentuan mesin ATM yang harus

diisi ulang adalah ketika hanya tersisa satu

cash cartridge

yang masih terisi uang

tunai kertas, artinya setiap mesin ATM akan diisi ulang sebanyak empat

cash

cartridge

. Pengiriman

cash cartridge

dilakukan oleh pihak bank yang memantau

mesin-mesin ATM (server ATM) dalam satu wilayah. Pengiriman dilakukan dari

bank ke ATM menggunakan kendaraan yang mempunyai kapasitas angkut

cash

cartridge

tertentu. Setelah

cash cartridge

yang berisi uang tunai dalam kendaraan

habis, kendaraan harus kembali ke bank. Kendaraan yang sudah kembali ke bank

dapat mengunjungi ATM kembali apabila masih ada mesin ATM yang harus diisi

ulang. Dengan demikian, kendaraan dapat mengunjungi bank lebih dari satu kali

dalam satu periode untuk menukar

cash cartridge

kosong dengan

cash cartridge

berisi uang tunai. Frekuensi kendaraan berangkat dari bank disebut ritasi, dengan

satuan rit. Setelah semua mesin ATM diisi ulang, kendaraan kembali ke bank.

Formulasi Masalah Pengiriman

Cash Cartridge

Misalkan dalam masalah ini terdapat suatu bank yang memiliki beberapa

ATM.

Selanjutnya

depot

merepresentasikan

bank

dan

setiap

node

merepresentasikan keberadaan ATM.

Node

tersebut terbagi dalam dua tipe yaitu,

terdapat sejumlah

�

node

dengan permintaan

cash castridge

tidak melebihi

kapasitas maksimal kendaraan dan sejumlah

� +

node

dengan permintaan

cash

cartridge

melebihi kapasitas maksimal kendaraan. Depot menyediakan sejumlah

kendaraan yang mempunyai kapasitas angkut

cash cartridge

tertentu untuk

melakukan pegiriman. Untuk menyelesaikan masalah ini akan dibangun sebuah

model dengan asumsi-asumsi sebagai berikut:

1

laju setiap kendaraan konstan,

2

kendaraan yang tersedia tidak harus digunakan semua untuk mengirim

cash

cartridge

,

(14)

4

1, jika kendaraan

k

digunakan untuk mengantarkan

cash cartridge

0, lainnya.

1, jika kendaraan

k

mengunjungi

node j

setelah

node i

0, lainnya.

4

biaya pengiriman

cash cartridge

hanya dihitung dari total biaya tetap ditambah

total biaya perjalanan per km untuk setiap kendaraan yang digunakan,

5

setiap kendaraan yang digunakan dan sudah kembali ke depot dapat digunakan

kembali untuk mengirim

cash cartridge

dalam satu periode, dan

6

node

dapat dikunjungi lebih dari satu kali apabila

node

yang permintaannya

melebihi kapasitas maksimal kendaraan.

Masalah pengiriman

cash cartridge

ini

dapat diformulasikan sebagai berikut:

Himpunan

= himpunan semua kendaraan,

= { , , … , }

,

= himpunan

node

dengan permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas

maksimal kendaraan,

= { , , … , �}

,

= himpunan

node

dengan permintaan lebih dari kapasitas maksimal kendaraan,

= {� + , � + , … , � + }

,

= himpunan semua

node

,

= { , , … , �, � + , � + , … , � + , � + + }

,

dengan 1 dan

� + +

menyatakan depot yang sama.

Indeks

i,j,p

= indeks untuk menyatakan

node

,

k

= indeks untuk menyatakan kendaraan.

Parameter

= kapasitas pada kendaraan

k

,

= biaya perjalanan per km pada kendaraan

k

,

= biaya tetap untuk setiap kendaraan yang digunakan,

= kecepatan untuk setiap kendaraan

k

,

= lamanya pelayanan pada

node i

,

= batas awal waktu pelayanan pada

node i

,

= batas akhir waktu pelayanan pada

node i

,

= permintaan

cash cartridge

untuk setiap

node i

,

= jarak antara

node i

dan

node j

,

bigM

= konstanta positif yang nilainya relatif besar.

Variabel Keputusan

= total ritasi kendaraan

k

,

= waktu tempuh antara

node i

dan

node j

untuk kendaraan

k

,

= waktu

node

mulai dilayani oleh kendaraan ,

= banyaknya

cash cartridge

yang kosong pada kendaraan

k

setelah

meninggalkan

node i

,

= proporsi dari permintaan

cash cartridge

pada

node

yang diangkut

kendaraan ,

=

{

(15)

5

Fungsi Objektif

Fungsi objektif model ini adalah meminimumkan biaya perjalanan ditinjau

dari jumlah biaya tetap ditambah jumlah biaya per km untuk setiap kendaraan yang

digunakan, yakni:

min � = ∑

∈

+ ∑ ∑ ∑

∈� ∈� ∈

.

Kendala

Kendala yang harus dipenuhi untuk model ini adalah sebagai berikut:

1

Setiap kendaraan tidak harus digunakan,

∑

∈�∪

,

∀ ∈ .

2

Kendaraan yang meninggalkan depot dipastikan untuk mengantarkan

cash

cartridge

,

∑

∈�∪

= ,

∀ ∈ .

3

Tidak ada

node

yang dikunjungi oleh kendaraan yang tidak digunakan,

,

∀ , ∈ ; ∀ ∈ .

4

Kendaraan yang mengunjungi

node

harus meninggalkan

node

tersebut,

∑

�

∈� ≠�

− ∑

� ∈� �≠

= ,

∀� ∈ ; ∀ ∈ .

5

Node

yang memiliki permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas

maksimal kendaraan dikunjungi tepat satu kali,

∑ ∑

∈� ≠

=

∈

,

∀ ∈ .

6

Node

yang memiliki permintaan lebih dari kapasitas maksimal kendaraan

dikunjungi lebih dari satu kali,

∑

∈

= ,

∀ ∈ ,

∑

∈�

,

∀ ∈ ; ∀ ∈ .

7

Jumlah

cash cartridge

kosong kumulatif pada kendaraan yang meninggalkan

node

akan bertambah,

+

−

( −

)� � ,

∀ ∈ ; ∀ ∈ ; ∀ ∈ ,

+

−

( −

)� � ,

∀ ∈ ; ∀ ∈ ; ∀ ∈ .

8

Kendaraan yang digunakan harus kembali ke depot,

∑

∈�∪

= ,

∀ ∈ .

9

Jumlah

cash cartridge

kosong kumulatif tidak boleh melebihi kapasitas setiap

kendaraan,

(16)

6

10

Jumlah

cash cartridge

kosong kumulatif setiap kendaraan yang meninggalkan

depot adalah 0,

= ,

∀ ∈ ,

�+�+

= ,

∀ ∈ .

11

Banyaknya ritasi setiap kendaraan merupakan frekuensi setiap kendaraan

berangkat dari depot dalam satu periode,

∑

+

�+�+

∈�∪

=

,

∀ ∈ .

12

Tidak ada perjalanan ke

node

yang sama,

= ,

∀ ∈ ; ∀ ∈ ,

�+�+

= ,

∀ ∈ ; � + +

∈ .

13

Lama perjalanan dari

node i

ke

node j

untuk kendaraan

k,

=

,

∀ ∈ ; ∀ , ∈ .

14

Waktu mulai pelayanan pada

node j

,

+

+ − � � ( −

)

,

∀ ∈ ; ∀ ∈ ; ∀ ∈ .

15

Batas awal waktu pelayanan pada

node i

,

∀ ∈ ; ∀ ∈ .

16

Batas akhir waktu pelayanan pada

node i

,

+

,

∀ ∈ ; ∀ ∈ .

17

Kendala ketaknegatifan,

,

∀ ∈ ; ∀ ∈ ,

,

∀ ∈ ; ∀ ∈ .

18

Kendala biner.

∈ { , },

∀ ∈ ; ∀ , ∈ ,

∈ { , },

∀ ∈ .

UJI MODEL

Dalam membangun sebuah model matematika perlu dilakukan uji model

untuk meyakinkan bahwa model yang dibangun adalah benar dan dapat

diaplikasikan ke dalam masalah-masalah yang serupa atau kasus-kasus tertentu

sesuai tujuan. Pada karya ilmiah ini, model yang dibangun adalah untuk

menentukan rute pengiriman yang optimal dan telah dijelaskan secara terperinci

dalam deskripsi masalah. Selanjutnya dalam masalah ini diberikan tiga uji kasus,

yaitu kasus pertama adalah pendistribusian

cash cartridge

menggunakan satu

kendaraan dengan satu ritasi, kasus kedua adalah pendistribusian

cash cartridge

menggunakan satu kendaraan dengan dua ritasi, dan kasus ketiga adalah

pendistribusian

cash cartridge

menggunakan dua kendaraan dengan satu ritasi

untuk setiap kendaraan.

(17)

7

biaya per km sebesar Rp 7000. Biaya tetap untuk setiap kendaraan yang digunakan

sebesar Rp 200000, biaya tetap itu dikeluarkan untuk biaya pengawalan kendaraan

yang digunakan selama pengiriman. Data yang berkaitan dengan kendaraan untuk

semua kasus dalam uji model ini dapat dilihat pada Tabel 1 berikut:

Tabel 1 Kecepatan, kapasitas, dan biaya kendaraan dalam uji model

Kode

Kendaraan

Kecepatan

(km/jam)

Biaya

Tetap

Biaya

per km

Kapasitas

Cash Cartridge

1

40

200000

5000

12

2

40

200000

5000

12

3

40

200000

7000

16

Deskripsi dan Uji Kasus Pertama

Misalkan dalam uji kasus pertama, hasil yang diharapkan adalah

pendistribusikan menggunakan satu kendaraan dengan satu ritasi untuk memenuhi

semua permintaan setiap

node

. Terdapat tiga

node

yang akan dikunjungi yaitu

node

2,

node

3, dan

node

4. Jarak antar-

node

untuk uji kasus pertama diberikan oleh

Tabel 2 berikut, dengan

node

1 dan

node

5 menyatakan depot yang sama:

Tabel 2 Jarak antar-

node

(dalam km) uji kasus pertama

Node

1

2

3

4

5

1

0

1

2

0

2

1

0

1

3

1

0

1

4

2

1

0

2

5

0

1

2

0

Setiap

node

memiliki permintaan

cash cartridge

dan

time windows

masing-masing. Kendala permintaan dan

time windows

yang dimaksud untuk uji kasus

pertama dapat dilihat pada Tabel 3 berikut:

Tabel 3

Time windows

node

uji kasus pertama

Node

Lama Pelayanan

(dalam jam)

Time Windows

Permintaan

Cash Cartridge

1

00.00

–

24.00

0

2

1

00.00

–

24.00

4

3

1

00.00 – 24.00

4

1

00.00

–

24.00

4

(18)

8

Dari data-data yang digunakan dalam uji kasus pertama ini, setelah

diimplementasikan ke dalam model menghasilkan solusi sesuai dengan yang

diinginkan dengan nilai fungsi objektif atau biaya pengiriman sebesar Rp 220000.

Rute pengiriman yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 4 berikut:

Tabel 4 Rute pengiriman hasil uji kasus pertama

Kode

Kendaraan

Jenis

Kendaraan

Banyak

Ritasi

Rute Pengangkutan

1

12

cash cartridge

1

1 → 2

[4]

→ 4

[4]

→ 3

[4]

→ 1

2

12

cash cartridge

0

-

3

16

cash cartridge

0

-

a

Angka di dalam [ ] menunjukkan banyaknya

cash cartridge

yang diisi ulang untuk

setiap

node

.

Deskripsi dan Uji Kasus Kedua

Misalkan dalam uji kasus kedua, hasil yang diharapkan adalah

pendistribusikan menggunakan satu kendaraan dengan dua ritasi untuk memenuhi

semua permintaan setiap

node

. Terdapat empat

node

2,

node

3,

node

4, dan

node

5. Jarak antar-

node

untuk uji kasus kedua

diberikan oleh Tabel 5 berikut, dengan

node

1 dan

node

6 menyatakan depot yang

sama:

Tabel 5 Jarak antar-

node

(dalam km) uji kasus kedua

Node

1

2

3

4

5

6

1

0

1

2

3

0

2

1

0

1

3

1

0

1

4

2

1

0

1

2

5

3

1

0

3

6

0

1

2

3

0

(19)

9

Tabel 6

Time windows

node

uji kasus kedua

Node

Lama Pelayanan

(dalam jam)

Time Windows

Permintaan

Cash Cartridge

1

00.00

–

24.00

0

2

1

00.00

–

24.00

4

3

1

00.00

–

24.00

4

2

00.00 – 24.00

8

5

2

00.00

–

24.00

8

6

1

00.00

–

24.00

0

Dari data-data yang digunakan dalam uji kasus kedua ini, setelah

diinginkan dengan nilai fungsi objektif atau biaya pengiriman sebesar Rp 245000.

Rute pengiriman yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 7 berikut:

Tabel 7 Rute pengiriman hasil uji kasus kedua

Kode

Kendaraan

Jenis

Kendaraan

Banyak

Ritasi

Rute Pengangkutan

1

12

cash cartridge

2

1 → 2 [4] → 5 [8] → 6 → 4 [8] →

3 [4]

→ 1

2

12

cash cartridge

0

-

3

16

cash cartridge

0

-

a

cash cartridge

setiap

node

.

Deskripsi dan Uji Kasus Ketiga

Misalkan dalam uji kasus ketiga, hasil yang diharapkan adalah

pendistribusikan menggunakan dua kendaraan dengan satu ritasi untuk setiap

kendaraan untuk memenuhi semua permintaan setiap

node

. Terdapat empat

node

2,

node

3,

node

4, dan

node

5. Jarak antar-

node

untuk uji kasus ketiga diberikan oleh Tabel 8 berikut, dengan

node

1 dan

node

6

menyatakan depot yang sama:

node

(dalam km) uji kasus ketiga

(20)

10

Setiap

node

memiliki permintaan

cash cartridge

dan

time windows

yang dimaksud untuk uji kasus

ketiga dapat dilihat pada Tabel 9 berikut:

Tabel 9

Time windows

node

uji kasus ketiga

Node

Lama Pelayanan

(dalam jam)

Time Windows

Permintaan

Cash Cartridge

1

00.00

–

24.00

0

2

01.00

–

06.00

8

3

1

01.00 – 06.00

4

2

01.00 – 06.00

8

5

1

01.00

–

06.00

4

6

1

00.00

–

24.00

0

Dari data-data yang digunakan dalam uji kasus ketiga ini, setelah

diinginkan dengan nilai fungsi objektif atau biaya pengiriman sebesar Rp 445000.

Rute pengiriman yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 10 berikut:

Tabel 10 Rute pengiriman hasil uji kasus ketiga

Kode

Kendaraan

Jenis

Kendaraan

Banyak

Ritasi

Rute Pengangkutan

1

12

cash cartridge

1

1 → 3 [4] → 2

[8]

→ 1

2

12

cash cartridge

1

1 → 5 [4] → 4 [8] → 1

3

16

cash cartridge

0

-

a

cash cartridge

setiap

node

.

IMPLEMENTASI MODEL

Deskripsi dan Formulasi Masalah Pengiriman

Cash Cartridge

Misalkan dalam masalah pengiriman

cash cartridge

, suatu depot akan

mengirimkan ke beberapa

node

. Pada implementasi ini depot merepresentasikan

bank dan setiap

node

merepresentasikan keberadaan ATM. Terdapat delapan

node

(21)

11

node

(dalam km)

Node

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

0

1

2

3

6

7

0

2

1

0

1

2

5

9

1

3

1

0

1

5

9

1

4

2

1

0

1

3

5

7

2

5

3

1

0

1

4

6

7

3

6

3

2

1

3

1

0

5

7

8

3

7

3

5

1

5

4

5

0

3

5

3

8

6

5

6

7

3

0

2

6

9

7

8

9

7

8

5

2

0

7

10

0

1

2

3

6

7

0

Setiap

node

memiliki permintaan

cash cartridge

dan

time windows

yang dimaksud dapat dilihat pada

Tabel 12 berikut:

Tabel 12

Time windows

dan permintaan setiap

node

Node

Lama Pelayanan

(dalam jam)

Time Windows

Permintaan

Cash Cartridge

1

00.00

–

24.00

0

2

1

01.00 – 06.00

4

3

2

01.00

–

06.00

8

4

1

01.00

–

06.00

4

5

2

01.00

–

06.00

8

6

5

01.00 – 11.00

20

7

1

18.00

–

23.00

4

8

1

18.00

–

23.00

4

9

1

18.00

–

23.00

4

10

1

00.00 – 24.00

0

Depot memiliki lima kendaraan dengan dua tipe kendaraan, tipe pertama

berkapasitas dua belas

cash cartridge

berjumlah tiga kendaraan dengan biaya per

km sebesar Rp 5000 dan tipe kedua berkapasitas enam belas

cash cartridge

(22)

12

Tabel 13 Kecepatan, kapasitas, dan biaya kendaraan

Kode

Kendaraan

Kecepatan

(km/jam)

Biaya

Tetap

Biaya

per km

Kapasitas

Cash Cartridge

1

40

200000

5000

12

2

40

200000

5000

12

3

40

200000

5000

12

4

40

200000

7000

16

5

40

200000

7000

16

Data yang diberikan merupakan data hipotetik yang dapat digunakan untuk

keperluan simulasi. Masalah pengiriman dalam implementasi model ini dapat

diformulasikan sebagai berikut:

Himpunan

= himpunan semua kendaraan,

= { , , … , }

,

= himpunan

node

dengan permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas

maksimal kendaraan,

= { , , , , , , }

,

= himpunan

node

dengan permintaan lebih dari kapasitas maksimal kendaraan,

= { }

,

= himpunan semua

node

,

= { , , … , }

, dengan 1 dan 10 menyatakan

depot yang sama.

Indeks

i,j,p

= indeks untuk menyatakan

node

,

k

= indeks untuk menyatakan kendaraan.

Parameter

= kapasitas pada kendaraan

k

(Tabel 13),

= biaya perjalanan per km pada kendaraan

k

(Tabel 13),

= biaya tetap untuk setiap kendaraan yang digunakan (Tabel 13),

= kecepatan untuk setiap kendaraan

k

(Tabel 13),

= lamanya pelayanan pada

node i

(Tabel 12),

= batas awal waktu pelayanan pada

node i

(Tabel 12),

= batas akhir waktu pelayanan pada

node i

(Tabel 12),

= permintaan

cash cartridge

untuk setiap

node i

(Tabel 12),

= jarak antara

node i

dan

node j

(Tabel 11),

bigM

= 100000.

Variabel Keputusan

= banyaknya ritasi kendaraan

k

,

= waktu tempuh antara

node i

dan

node j

untuk kendaraan

k

,

= waktu

node

mulai dilayani oleh kendaraan ,

= banyaknya

cash cartridge

yang kosong pada kendaraan

k

setelah

meninggalkan

node i

,

(23)

13

1, jika kendaraan

k

mengunjungi

node j

setelah

node i

0, lainnya.

1, jika kendaraan

k

digunakan untuk mengantarkan

cash cartridge

0, lainnya.

=

{

=

{

Fungsi Objektif

Fungsi objektif model ini adalah meminimumkan biaya perjalanan ditinjau

dari jumlah biaya tetap ditambah jumlah biaya per km untuk setiap kendaraan yang

digunakan, yakni:

min � = ∑

5

=

+ ∑ ∑ ∑

= = 5

=

.

Kendala

Kendala yang harus dipenuhi untuk model ini adalah sebagai berikut:

1

Setiap kendaraan tidak harus digunakan,

∑

9

=

,

∀ = , , … , .

2

Kendaraan yang meninggalkan depot dipastikan untuk mengantarkan

cash

cartridge

,

∑

9

=

= ,

∀ = , , … , .

3

Tidak ada

node

yang dikunjungi oleh kendaraan yang tidak digunakan,

,

∀ , = , , … , ; ∀ = , , . . , .

4

Kendaraan yang mengunjungi

node

harus meninggalkan

node

tersebut,

∑

�

= ≠�

− ∑

� = �≠

= ,

∀� = , , … , ; ∀ = , , … , .

5

Node

yang memiliki permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas

maksimal kendaraan dikunjungi tepat satu kali,

∑ ∑

= ≠

=

5

=

,

∀ = , , , , , , .

6

Node

yang memiliki permintaan lebih dari kapasitas maksimal kendaraan

dikunjungi lebih dari satu kali,

∑

5

=

= ,

∀ = ,

∑

=

(24)

14

7

Jumlah

cash cartridge

kosong kumulatif pada kendaraan yang meninggalkan

node

akan bertambah,

+

−

( −

)� � ,

∀ = , , … , ; ∀ = , , … , ;

∀ = , , , , , , ,

+

−

( −

)� � ,

∀ = , , … , ;

∀ = , , … , ; ∀ = .

8

Kendaraan yang digunakan harus kembali ke depot,

∑

9

=

= ,

∀ = , , … , .

9

Jumlah

cash cartridge

kosong kumulatif tidak boleh melebihi kapasitas setiap

kendaraan,

,

∀ = , , … , ; ∀ = , , … , .

10

Jumlah

cash cartridge

kosong kumulatif setiap kendaraan yang meninggalkan

depot adalah 0,

= ,

∀ = , , … , ,

= ,

∀ = , , … , .

11

Banyaknya ritasi setiap kendaraan merupakan frekuensi setiap kendaraan

berangkat dari depot dalam satu periode,

∑

+

9

=

,

∀ = , , … , .

12

Tidak ada perjalanan ke

node

yang sama,

= ,

∀ = , , … , ; ∀ = , , … , ,

= ,

∀ = , , … , .

13

Lama perjalanan dari

node i

ke

node j

untuk kendaraan

k,

=

,

∀ = , , … , ; ∀ , = , , … , .

14

Waktu mulai pelayanan pada

node j

,

+

+ − � � ( −

)

,

∀ = , , … , ; ∀ = , , … , ; ∀ = , , … , .

15

Batas awal waktu pelayanan pada

node i

,

∀ = , , … , ; ∀ = , , … , .

16

Batas akhir waktu pelayanan pada

node i

,

+

,

∀ = , , … , ; ∀ = , , … , .

17

Kendala ketaknegatifan,

,

∀ = , , … , ; ∀ = , , … , ,

,

∀ = , , … , ; ∀ = .

18

Kendala biner.

(25)

15

Hasil dan Pembahasan

Formulasi masalah model ini diselesaikan menggunakan

software

LINGO

11.0. Solusi yang dihasilkan adalah minimum global, artinya rute yang dihasilkan

merupakan rute dengan biaya paling minimum. Nilai fungsi objektif atau biaya

pengiriman yang dihasilkan model yaitu Rp 617000. Dengan menggunakan

komputer berspesifikasi CPU 1.50 GHz dan RAM 4 GB waktu komputasi yang

diperlukan untuk menghasilkan solusi adalah selama 3 jam 8 menit 47 detik. Rute

pengiriman yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 14 berikut:

Tabel 14 Rute pengiriman hasil implementasi model

Kode

Kendaraan

Jenis

Kendaraan

Banyak

Ritasi

Rute Pengangkutan

1

12

cash cartridge

0

-

2

12

cash cartridge

0

-

3

12

cash cartridge

0

-

4

16

cash cartridge

2

1 → 4 [4] → 5 [8] → 6 [4] → 10

→

7 [4]

→ 8 [4] → 9 [4] → 1

5

16

cash cartridge

2

1 → 3 [8] → 2 [4] → 10 → 6 [16]

→ 1

a

Angka di dalam [ ] menunjukan banyaknya

cash cartridge

setiap

node

.

Kendaraan yang digunakan mengirim

cash cartridge

untuk menghasilkan

rute yang optimal pada model ini hanya kendaraan 4 dan 5 masing-masing

melakukan sebanyak 2 rit, sedangkan kendaraan 1, 2, dan 3 tidak digunakan.

Terlihat juga

node

6 dikunjungi dua kali sesuai dengan permintaan yang melebihi

kapastitas maksimal suatu kendaraan.

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Penentuan rute pengiriman

cash cartridge

dari bank ke ATM dapat

dimodelkan sebagai masalah

Capacitated Vehicle Routing Problem with Time

Windows

(CVRPTW) menggunakan ILP.

Node

yang memiliki sejumlah ATM

dengan permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas maksimal kendaraan

hanya dikunjungi tepat satu kali dan

node

yang memiliki sejumlah ATM dengan

permintaan melebihi kapasitas maksimal kendaraan membuat

node

tersebut harus

dikunjungi lebih dari satu kali.

(26)

16

Saran

Penelitian ini dapat dikembangkan dengan pengimplementasian pada data

primer dari suatu Bank secara nyata serta mempertimbangkan kendala yang

memungkinkan semua

node

dapat dikunjungi lebih dari satu kali.

DAFTAR PUSTAKA

Winston WL. 2004.

Operations Research: Applications and Algorithms

. Ed ke-4.

New York (US): Duxbury.

Sarker RA, Newton CS. 2008.

Optimization Modelling: A Practical Approach

.

Boca Raton (US): CRC Press Taylor & Francis Group.

Caric T, Gold H. 2008.

. France (FX): InTech

(27)

17

Lampiran 1 Waktu tempuh antar-

node

untuk setiap kendaraan (dalam jam)

(28)

18

Lampiran 2 Sintaks dan hasil LINGO 11.0 pada implementasi Model

model

:

sets

:

vehicle/1..5/:Y,B,C,F,E,R;

node/1..10/:D,L,W,Q;

noded/1..9/;

mix1(node,vehicle):G,M,H;

mix2(node,node):T;

mix3(node,node,vehicle):X,A;

endsets

data

:

!kecepatan untuk setiap kendaraan;

E=

@ole

('E:\DataSkripsi.xlsx','kecepatan');

!lamanya pelayanan di tempat i;

L=

@ole

('E:\DataSkripsi.xlsx','lamapelayanan');

!batas awal pelayanan;

W=

@ole

('E:\DataSkripsi.xlsx','batasawal');

!batas akhir pelayanan;

Q=

@ole

('E:\DataSkripsi.xlsx','batasakhir');

!kapasitas kendaraan;

B=

@ole

('E:\DataSkripsi.xlsx','kapasitas')

;

!fix cost;

F=

@ole

('E:\DataSkripsi.xlsx','biayatetap')

;

!biaya per km;

C=

@ole

('E:\DataSkripsi.xlsx','biayaperkm')

;

!demand setiap ATM;

D=

@ole

('E:\DataSkripsi.xlsx','permintaan')

;

!jarak antar node;

T=

@ole

('E:\DataSkripsi.xlsx','jarak')

; enddata

bigM=100000;

!fungsi objektif;

min

=

@sum

(vehicle(k):F(k)*Y(k))+

@sum

(vehicle(k):

@sum

(node(j):

@sum

(node(i)|i#NE#j:C(k)*T(i,j)

*X(i,j,k))));

!kendala-kendala;

!setiap kendaraan tidak harus meninggalkan depot ;

@for

(vehicle(k):

@sum

(noded(j)|j#GT#1:X(1,j,k))<=1);

!kendaraan

yang

meninggalkan

depot

dipastikan

untuk

mengantarkan uang;

@for

(vehicle(k):

@sum

(noded(j)|j#GT#1:X(1,j,k))=Y(k));

!tidak ada node yang dikunjungi oleh kendaraan yang tidak

digunakan;

@for

(vehicle(k):

@for

(node(j):

@for

(node(i)|i#NE#j:X(i,j,k)<=Y

(k))));

!kendaraan yang mengunjungi node harus meninggalkan node

tersebut;

@for

(vehicle(k):

@for

(node(p):

@sum

(node(i)|p#NE#i:X(i,p,k))-@sum

(node(j)|p#NE#j:X(p,j,k))=0));

(29)

19

@for

(noded(j)|j#GT#1#AND#j#NE#6:

@sum

(vehicle(k):

@sum

(node(i)

|j#NE#i:X(i,j,k)))=1);

!ATM yang memiliki permintaan lebih dari kapasitas

maksimal kendaraan dikunjungi lebih dari satu kali;

@sum

(vehicle(k):H(6,k))=1;

@for

(vehicle(k):

@sum

(node(j):X(j,6,k))>=H(6,k));

!jumlah kotak uang kosong kumulatif pada kendaraan yang

meninggalkan ATM akan bertambah;

@for

(vehicle(k):

@for

(node(i):

@for

(noded(j)|j#GT#1#AND#j#NE#6

#AND#i#NE#j:G(i,k)+D(j)-G(j,k)<=(1-X(i,j,k))*bigM)));

@for

(vehicle(k):

@for

(node(i):G(i,k)+H(6,k)*D(6)-G(6,k)<=(1-X(i,6,k))*bigM));

!kendaraan yang digunakan harus kembali ke depot;

@for

(vehicle(k):

@sum

(noded(i)|i#GT#1:X(i,1,k))=Y(k));

!jumlah kotak kosong kumulatif tidak boleh melebihi kapasitas

setiap kendaraan;

@for

(vehicle(k):

@for

(node(i):G(i,k)<=B(k)));

!jumlah kotak kosong kumulatif setiap kendaraan yang

meninggalkan depot adalah 0;

@for

(vehicle(k):G(1,k)=0);

@for

(vehicle(k):G(10,k)=0);

!banyaknya rotasi seriap kendaraan merupakan frekuensi setiap

kendaraan mengunjungi depot depot dalam satu periode;

@for

(vehicle(k):

@sum

(noded(i)|i#GT#1:X(1,i,k)+X(10,i,k))=R(k

));

!tidak ada perjalanan ke node yang sama;

@for

(vehicle(k):

@for

(node(i):X(i,i,k)=0));

@for

(vehicle(k):

@for

(node(i):X(1,10,k)=0));

!lama perjalanan dari tempat i ke tempat j untuk kendaraan k;

@for

(vehicle(k):

@for

(node(i):

@for

(node(j)|i#NE#j:A(i,j,k)=(T

(i,j)/E(k)))));

!waktu mulai pelayanan ATM (Pengisian uang) di tempat j;

@for

(vehicle(k):

@for

(node(i):

@for

(node(j)|i#NE#j#AND#j#GT#1:

M(i,k)+(T(i,j)/E(k))+L(i)-bigM*(1-(x(i,j,k)))<=M(j,k))));

!batas awal pelayanan di tempat i;

@for

(vehicle(k):

@for

(node(i):M(i,k)>=W(i)));

!batas akhir pelayanan di tempai i;

@for

(vehicle(k):

@for

(node(i):M(i,k)+L(i)<=Q(i)));

!ketaknegatifan;

@for

(vehicle(k):

@for

(node(i):G(i,k)>=0));

@for

(vehicle(k):G(6,k)>=0);

!kendala biner;

@for

(vehicle(k):

@for

(node(i):

@for

(node(j)|i#NE#j:

@bin

(X(i,j,

k)))));

@for

(vehicle(k):

@bin

(Y(k)));

Global optimal solution found.

(30)

20

Variable Value

BIGM 100000.0 Y( 1) 0.000000 Y( 2) 0.000000 Y( 3) 0.000000 Y( 4) 1.000000 Y( 5) 1.000000 B( 1) 12.00000 B( 2) 12.00000 B( 3) 12.00000 B( 4) 16.00000 B( 5) 16.00000 C( 1) 5000.000 C( 2) 5000.000 C( 3) 5000.000 C( 4) 7000.000 C( 5) 7000.000 F( 1) 200000.0 F( 2) 200000.0 F( 3) 200000.0 F( 4) 200000.0 F( 5) 200000.0 E( 1) 40.00000 E( 2) 40.00000 E( 3) 40.00000 E( 4) 40.00000 E( 5) 40.00000 R( 1) 0.000000 R( 2) 0.000000 R( 3) 0.000000 R( 4) 2.000000 R( 5) 2.000000 D( 1) 0.000000 D( 2) 4.000000 D( 3) 8.000000 D( 4) 4.000000 D( 5) 8.000000 D( 6) 20.00000 D( 7) 4.000000 D( 8) 4.000000 D( 9) 4.000000 D( 10) 0.000000 L( 1) 1.000000 L( 2) 1.000000 L( 3) 2.000000 L( 4) 1.000000 L( 5) 2.000000 L( 6) 5.000000 L( 7) 1.000000 L( 8) 1.000000

L( 9) 1.000000 L( 10) 1.000000 W( 1) 0.000000 W( 2) 1.000000 W( 3) 1.000000 W( 4) 1.000000 W( 5) 1.000000 W( 6) 1.000000 W( 7) 18.00000

W( 8) 18.00000 W( 9) 18.00000 W( 10) 0.000000 Q( 1) 24.00000 Q( 2) 6.000000 Q( 3) 6.000000 Q( 4) 6.000000 Q( 5) 6.000000 Q( 6) 11.00000 Q( 7) 23.00000 Q( 8) 23.00000 Q( 9) 23.00000 Q( 10) 24.00000 G( 1, 1) 0.000000 G( 1, 2) 0.000000 G( 1, 3) 0.000000

G( 1, 4) 0.000000 G( 1, 5) 0.000000 G( 2, 1) 12.00000 G( 2, 2) 0.000000 G( 2, 3) 0.000000 G( 2, 4) 0.000000 G( 2, 5) 12.00000 G( 3, 1) 0.000000 G( 3, 2) 12.00000 G( 3, 3) 0.000000 G( 3, 4) 0.000000 G( 3, 5) 8.000000 G( 4, 1) 12.00000 G( 4, 2) 0.000000 G( 4, 3) 0.000000 G( 4, 4) 4.000000 G( 4, 5) 0.000000 G( 5, 1) 12.00000 G( 5, 2) 12.00000 G( 5, 3) 0.000000 G( 5, 4) 12.00000 G( 5, 5) 0.000000 G( 6, 1) 12.00000 G( 6, 2) 12.00000 G( 6, 3) 12.00000 G( 6, 4) 16.00000 G( 6, 5) 16.00000 G( 7, 1) 12.00000 G( 7, 2) 12.00000 G( 7, 3) 12.00000 G( 7, 4) 8.000000 G( 7, 5) 0.000000 G( 8, 1) 0.000000 G( 8, 2) 0.000000 G( 8, 3) 12.00000 G( 8, 4) 12.00000 G( 8, 5) 0.000000 G( 9, 1) 12.00000 G( 9, 2) 12.00000

(31)

21

G( 9, 5) 0.000000 G( 10, 1) 0.000000 G( 10, 2) 0.000000 G( 10, 3) 0.000000 G( 10, 4) 0.000000 G( 10, 5) 0.000000 M( 1, 1) 0.000000 M( 1, 2) 0.000000 M( 1, 3) 0.000000 M( 1, 4) 0.000000 M( 1, 5) 0.000000 M( 2, 1) 1.000000 M( 2, 2) 1.000000 M( 2, 3) 5.000000 M( 2, 4) 1.000000 M( 2, 5) 3.050000 M( 3, 1) 1.000000 M( 3, 2) 1.000000 M( 3, 3) 1.000000 M( 3, 4) 1.000000 M( 3, 5) 1.025000 M( 4, 1) 1.000000 M( 4, 2) 5.000000 M( 4, 3) 5.000000 M( 4, 4) 1.050000 M( 4, 5) 1.000000 M( 5, 1) 4.000000 M( 5, 2) 4.000000 M( 5, 3) 4.000000 M( 5, 4) 2.075000 M( 5, 5) 1.000000 M( 6, 1) 1.000000 M( 6, 2) 1.000000 M( 6, 3) 1.000000 M( 6, 4) 6.000000 M( 6, 5) 5.150000 M( 7, 1) 22.00000 M( 7, 2) 18.00000 M( 7, 3) 18.00000 M( 7, 4) 18.00000 M( 7, 5) 22.00000 M( 8, 1) 22.00000 M( 8, 2) 22.00000 M( 8, 3) 18.00000 M( 8, 4) 19.07500 M( 8, 5) 18.00000 M( 9, 1) 22.00000 M( 9, 2) 18.00000 M( 9, 3) 22.00000 M( 9, 4) 20.12500 M( 9, 5) 18.00000 M( 10, 1) 0.000000 M( 10, 2) 23.00000 M( 10, 3) 23.00000 M( 10, 4) 11.07500

M( 10, 5) 4.075000 H( 1, 1) 0.000000 H( 1, 2) 0.000000 H( 1, 3) 0.000000

H( 1, 4) 0.000000 H( 1, 5) 0.000000 H( 2, 1) 0.000000 H( 2, 2) 0.000000 H( 2, 3) 0.000000 H( 2, 4) 0.000000 H( 2, 5) 0.000000 H( 3, 1) 0.000000 H( 3, 2) 0.000000 H( 3, 3) 0.000000 H( 3, 4) 0.000000 H( 3, 5) 0.000000 H( 4, 1) 0.000000 H( 4, 2) 0.000000 H( 4, 3) 0.000000 H( 4, 4) 0.000000 H( 4, 5) 0.000000 H( 5, 1) 0.000000 H( 5, 2) 0.000000 H( 5, 3) 0.000000 H( 5, 4) 0.000000 H( 5, 5) 0.000000 H( 6, 1) 0.000000 H( 6, 2) 0.000000 H( 6, 3) 0.000000 H( 6, 4) 0.2000000 H( 6, 5) 0.8000000 H( 7, 1) 0.000000 H( 7, 2) 0.000000 H( 7, 3) 0.000000 H( 7, 4) 0.000000 H( 7, 5) 0.000000 H( 8, 1) 0.000000 H( 8, 2) 0.000000 H( 8, 3) 0.000000 H( 8, 4) 0.000000 H( 8, 5) 0.000000 H( 9, 1) 0.000000 H( 9, 2) 0.000000 H( 9, 3) 0.000000 H( 9, 4) 0.000000 H( 9, 5) 0.000000 H( 10, 1) 0.000000 H( 10, 2) 0.000000 H( 10, 3) 0.000000 H( 10, 4) 0.000000 H( 10, 5) 0.000000 T( 1, 1) 0.000000 T( 1, 2) 1.000000 T( 1, 3) 1.000000 T( 1, 4) 2.000000 T( 1, 5) 3.000000 T( 1, 6) 3.000000 T( 1, 7) 3.000000 T( 1, 8) 6.000000 T( 1, 9) 7.000000 T( 1, 10) 0.000000 T( 2, 1) 1.000000

(32)

22

T( 2, 3) 1.000000 T( 2, 4) 1.000000 T( 2, 5) 1.000000 T( 2, 6) 2.000000 T( 2, 7) 5.000000 T( 2, 8) 5.000000 T( 2, 9) 9.000000 T( 2, 10) 1.000000 T( 3, 1) 1.000000 T( 3, 2) 1.000000 T( 3, 3) 0.000000 T( 3, 4) 1.000000 T( 3, 5) 1.000000 T( 3, 6) 1.000000 T( 3, 7) 1.000000 T( 3, 8) 5.000000 T( 3, 9) 9.000000 T( 3, 10) 1.000000 T( 4, 1) 2.000000 T( 4, 2) 1.000000 T( 4, 3) 1.000000 T( 4, 4) 0.000000 T( 4, 5) 1.000000 T( 4, 6) 3.000000 T( 4, 7) 5.000000 T( 4, 8) 5.000000 T( 4, 9) 7.000000 T( 4, 10) 2.000000 T( 5, 1) 3.000000 T( 5, 2) 1.000000 T( 5, 3) 1.000000 T( 5, 4) 1.000000 T( 5, 5) 0.000000 T( 5, 6) 1.000000 T( 5, 7) 4.000000 T( 5, 8) 6.000000 T( 5, 9) 7.000000 T( 5, 10) 3.000000 T( 6, 1) 3.000000 T( 6, 2) 2.000000 T( 6, 3) 1.000000 T( 6, 4) 3.000000 T( 6, 5) 1.000000 T( 6, 6) 0.000000 T( 6, 7) 5.000000 T( 6, 8) 7.000000 T( 6, 9) 8.000000 T( 6, 10) 3.000000 T( 7, 1) 3.000000 T( 7, 2) 5.000000 T( 7, 3) 1.000000 T( 7, 4) 5.000000 T( 7, 5) 4.000000 T( 7, 6) 5.000000 T( 7, 7) 0.000000 T( 7, 8) 3.000000 T( 7, 9) 5.000000 T( 7, 10) 3.000000 T( 8, 1) 6.000000

T( 8, 2) 5.000000 T( 8, 3) 5.000000 T( 8, 4) 5.000000 T( 8, 5) 6.000000 T( 8, 6) 7.000000 T( 8, 7) 3.000000 T( 8, 8) 0.000000 T( 8, 9) 2.000000 T( 8, 10) 6.000000 T( 9, 1) 7.000000 T( 9, 2) 8.000000 T( 9, 3) 9.000000 T( 9, 4) 7.000000 T( 9, 5) 7.000000 T( 9, 6) 8.000000 T( 9, 7) 5.000000 T( 9, 8) 2.000000 T( 9, 9) 0.000000 T( 9, 10) 7.000000 T( 10, 1) 0.000000 T( 10, 2) 1.000000 T( 10, 3) 1.000000 T( 10, 4) 2.000000 T( 10, 5) 3.000000 T( 10, 6) 3.000000 T( 10, 7) 3.000000 T( 10, 8) 6.000000 T( 10, 9) 7.000000 T( 10, 10) 0.000000

X( 1, 3, 5) 1.000000 X( 1, 4, 4) 1.000000 X( 2, 10, 5) 1.000000 X( 3, 2, 5) 1.000000 X( 4, 5, 4) 1.000000

X( 5, 6, 4) 1.000000 X( 6, 1, 5) 1.000000 X( 6, 10, 4) 1.000000 X( 7, 8, 4) 1.000000 X( 8, 9, 4) 1.000000 X( 9, 1, 4) 1.000000 X( 10, 6, 5) 1.000000 X( 10, 7, 4) 1.000000

A( 1, 1, 1) 0.000000 A( 1, 1, 2) 0.000000 A( 1, 1, 3) 0.000000 A( 1, 1, 4) 0.000000 A( 1, 1, 5) 0.000000 A( 1, 2, 1) 0.2500000E-01 A( 1, 2, 2) 0.2500000E-01 A( 1, 2, 3) 0.2500000E-01 A( 1, 2, 4) 0.2500000E-01 A( 1, 2, 5) 0.2500000E-01 A( 1, 3, 1) 0.2500000E-01 A( 1, 3, 2) 0.2500000E-01 A( 1, 3, 3) 0.2500000E-01 A( 1, 3, 4) 0.2500000E-01 A( 1, 3, 5) 0.2500000E-01 A( 1, 4, 1) 0.5000000E-01

(33)

23

A( 1, 4, 3) 0.5000000E-01 A( 1, 4, 4) 0.5000000E-01 A( 1, 4, 5) 0.5000000E-01 A( 1, 5, 1) 0.7500000E-01 A( 1, 5, 2) 0.7500000E-01 A( 1, 5, 3) 0.7500000E-01 A( 1, 5, 4) 0.7500000E-01 A( 1, 5, 5) 0.7500000E-01 A( 1, 6, 1) 0.7500000E-01 A( 1, 6, 2) 0.7500000E-01 A( 1, 6, 3) 0.7500000E-01 A( 1, 6, 4) 0.7500000E-01 A( 1, 6, 5) 0.7500000E-01 A( 1, 7, 1) 0.7500000E-01 A( 1, 7, 2) 0.7500000E-01 A( 1, 7, 3) 0.7500000E-01 A( 1, 7, 4) 0.7500000E-01 A( 1, 7, 5) 0.7500000E-01 A( 1, 8, 1) 0.1500000 A( 1, 8, 2) 0.1500000 A( 1, 8, 3) 0.1500000 A( 1, 8, 4) 0.1500000 A( 1, 8, 5) 0.1500000 A( 1, 9, 1) 0.1750000 A( 1, 9, 2) 0.1750000 A( 1, 9, 3) 0.1750000 A( 1, 9, 4) 0.1750000 A( 1, 9, 5) 0.1750000 A( 1, 10, 1) 0.000000 A( 1, 10, 2) 0.000000 A( 1, 10, 3) 0.000000 A( 1, 10, 4) 0.000000 A( 1, 10, 5) 0.000000 A( 2, 1, 1) 0.2500000E-01 A( 2, 1, 2) 0.2500000E-01 A( 2, 1, 3) 0.2500000E-01 A( 2, 1, 4) 0.2500000E-01 A( 2, 1, 5) 0.2500000E-01

A( 2, 2, 1) 0.000000 A( 2, 2, 2) 0.000000 A( 2, 2, 3) 0.000000 A( 2, 2, 4) 0.000000 A( 2, 2, 5) 0.000000 A( 2, 3, 1) 0.2500000E-01 A( 2, 3, 2) 0.2500000E-01 A( 2, 3, 3) 0.2500000E-01 A( 2, 3, 4) 0.2500000E-01 A( 2, 3, 5) 0.2500000E-01

A( 2, 4, 1) 0.2500000E-01 A( 2, 4, 2) 0.2500000E-01 A( 2, 4, 3) 0.2500000E-01 A( 2, 4, 4) 0.2500000E-01 A( 2, 4, 5) 0.2500000E-01 A( 2, 5, 1) 0.2500000E-01 A( 2, 5, 2) 0.2500000E-01 A( 2, 5, 3) 0.2500000E-01 A( 2, 5, 4) 0.2500000E-01 A( 2, 5, 5) 0.2500000E-01 A( 2, 6, 1) 0.5000000E-01

A( 2, 6, 2) 0.5000000E-01 A( 2, 6, 3) 0.5000000E-01 A( 2, 6, 4) 0.5000000E-01 A( 2, 6, 5) 0.5000000E-01 A( 2, 7, 1) 0.1250000 A( 2, 7, 2) 0.1250000 A( 2, 7, 3) 0.1250000 A( 2, 7, 4) 0.1250000 A( 2, 7, 5) 0.1250000 A( 2, 8, 1) 0.1250000 A( 2, 8, 2) 0.1250000 A( 2, 8, 3) 0.1250000 A( 2, 8, 4) 0.1250000 A( 2, 8, 5) 0.1250000 A( 2, 9, 1) 0.2250000 A( 2, 9, 2) 0.2250000 A( 2, 9, 3) 0.2250000 A( 2, 9, 4) 0.2250000 A( 2, 9, 5) 0.2250000 A( 2, 10, 1) 0.2500000E-01 A( 2, 10, 2) 0.2500000E-01 A( 2, 10, 3) 0.2500000E-01 A( 2, 10, 4) 0.2500000E-01 A( 2, 10, 5) 0.2500000E-01 A( 3, 1, 1) 0.2500000E-01 A( 3, 1, 2) 0.2500000E-01 A( 3, 1, 3) 0.2500000E-01 A( 3, 1, 4) 0.2500000E-01 A( 3, 1, 5) 0.2500000E-01 A( 3, 2, 1) 0.2500000E-01

A( 3, 2, 2) 0.2500000E-01 A( 3, 2, 3) 0.2500000E-01 A( 3, 2, 4) 0.2500000E-01

A( 3, 2, 5) 0.2500000E-01 A( 3, 3, 1) 0.000000 A( 3, 3, 2) 0.000000 A( 3, 3, 3) 0.000000 A( 3, 3, 4) 0.000000 A( 3, 3, 5) 0.000000 A( 3, 4, 1) 0.2500000E-01 A( 3, 4, 2) 0.2500000E-01 A( 3, 4, 3) 0.2500000E-01 A( 3, 4, 4) 0.2500000E-01 A( 3, 4, 5) 0.2500000E-01 A( 3, 5, 1) 0.2500000E-01 A( 3, 5, 2) 0.2500000E-01 A( 3, 5, 3) 0.2500000E-01 A( 3, 5, 4) 0.2500000E-01 A( 3, 5, 5) 0.2500000E-01 A( 3, 6, 1) 0.2500000E-01 A( 3, 6, 2) 0.2500000E-01

A( 3, 6, 3) 0.2500000E-01 A( 3, 6, 4) 0.2500000E-01 A( 3, 6, 5) 0.2500000E-01

(34)

24

A( 3, 8, 1) 0.1250000 A( 3, 8, 2) 0.1250000 A( 3, 8, 3) 0.1250000 A( 3, 8, 4) 0.1250000 A( 3, 8, 5) 0.1250000 A( 3, 9, 1) 0.2250000 A( 3, 9, 2) 0.2250000 A( 3, 9, 3) 0.2250000 A( 3, 9, 4) 0.2250000 A( 3, 9, 5) 0.2250000 A( 3, 10, 1) 0.2500000E-01 A( 3, 10, 2) 0.2500000E-01 A( 3, 10, 3) 0.2500000E-01 A( 3, 10, 4) 0.2500000E-01 A( 3, 10, 5) 0.2500000E-01 A( 4, 1, 1) 0.5000000E-01 A( 4, 1, 2) 0.5000000E-01 A( 4, 1, 3) 0.5000000E-01 A( 4, 1, 4) 0.5000000E-01 A( 4, 1, 5) 0.5000000E-01 A( 4, 2, 1) 0.2500000E-01 A( 4, 2, 2) 0.2500000E-01 A( 4, 2, 3) 0.2500000E-01 A( 4, 2, 4) 0.2500000E-01 A( 4, 2, 5) 0.2500000E-01 A( 4, 3, 1) 0.2500000E-01 A( 4, 3, 2) 0.2500000E-01 A( 4, 3, 3) 0.2500000E-01 A( 4, 3, 4) 0.2500000E-01 A( 4, 3, 5) 0.2500000E-01 A( 4, 4, 1) 0.000000 A( 4, 4, 2) 0.000000 A( 4, 4, 3) 0.000000 A( 4, 4, 4) 0.000000 A( 4, 4, 5) 0.000000 A( 4, 5, 1) 0.2500000E-01 A( 4, 5, 2) 0.2500000E-01 A( 4, 5, 3) 0.2500000E-01 A( 4, 5, 4) 0.2500000E-01 A( 4, 5, 5) 0.2500000E-01 A( 4, 6, 1) 0.7500000E-01 A( 4, 6, 2) 0.7500000E-01 A( 4, 6, 3) 0.7500000E-01 A( 4, 6, 4) 0.7500000E-01 A( 4, 6, 5) 0.7500000E-01

A( 4, 7, 1) 0.1250000 A( 4, 7, 2) 0.1250000 A( 4, 7, 3) 0.1250000 A( 4, 7, 4) 0.1250000 A( 4, 7, 5) 0.1250000 A( 4, 8, 1) 0.1250000 A( 4, 8, 2) 0.1250000 A( 4, 8, 3) 0.1250000 A( 4, 8, 4) 0.1250000 A( 4, 8, 5) 0.1250000 A( 4, 9, 1) 0.1750000 A( 4, 9, 2) 0.1750000 A( 4, 9, 3) 0.1750000 A( 4, 9, 4) 0.1750000

A( 4, 9, 5) 0.1750000 A( 4, 10, 1) 0.5000000E-01 A( 4, 10, 2) 0.5000000E-01 A( 4, 10, 3) 0.5000000E-01 A( 4, 10, 4) 0.5000000E-01 A( 4, 10, 5) 0.5000000E-01 A( 5, 1, 1) 0.7500000E-01 A( 5, 1, 2) 0.7500000E-01 A( 5, 1, 3) 0.7500000E-01 A( 5, 1, 4) 0.7500000E-01 A( 5, 1, 5) 0.7500000E-01 A( 5, 2, 1) 0.2500000E-01 A( 5, 2, 2) 0.2500000E-01 A( 5, 2, 3) 0.2500000E-01 A( 5, 2, 4) 0.2500000E-01 A( 5, 2, 5) 0.2500000E-01 A( 5, 3, 1) 0.2500000E-01 A( 5, 3, 2) 0.2500000E-01 A( 5, 3, 3) 0.2500000E-01 A( 5, 3, 4) 0.2500000E-01 A( 5, 3, 5) 0.2500000E-01 A( 5, 4, 1) 0.2500000E-01 A( 5, 4, 2) 0.2500000E-01 A( 5, 4, 3) 0.2500000E-01 A( 5, 4, 4) 0.2500000E-01 A( 5, 4, 5) 0.2500000E-01

A( 5, 5, 1) 0.000000 A( 5, 5, 2) 0.000000 A( 5, 5, 3) 0.000000 A( 5, 5, 4) 0.000000 A( 5, 5, 5) 0.000000 A( 5, 6, 1) 0.2500000E-01 A( 5, 6, 2) 0.2500000E-01 A( 5, 6, 3) 0.2500000E-01 A( 5, 6, 4) 0.2500000E-01 A( 5, 6, 5) 0.2500000E-01 A( 5, 7, 1) 0.1000000 A( 5, 7, 2) 0.1000000 A( 5, 7, 3) 0.1000000 A( 5, 7, 4) 0.1000000 A( 5, 7, 5) 0.1000000 A( 5, 8, 1) 0.1500000 A( 5, 8, 2) 0.1500000 A( 5, 8, 3) 0.1500000 A( 5, 8, 4) 0.1500000

A( 5, 8, 5) 0.1500000

A( 5, 9, 1) 0.1750000 A( 5, 9, 2) 0.1750000 A( 5, 9, 3) 0.1750000 A( 5, 9, 4) 0.1750000 A( 5, 9, 5) 0.1750000 A( 5, 10, 1) 0.7500000E-01 A( 5, 10, 2) 0.7500000E-01 A( 5, 10, 3) 0.7500000E-01 A( 5, 10, 4) 0.7500000E-01 A( 5, 10, 5) 0.7500000E-01 A( 6, 1, 1) 0.7500000E-01 A( 6, 1, 2) 0.7500000E-01

(35)

25

A( 6, 1, 4) 0.7500000E-01 A( 6, 1, 5) 0.7500000E-01 A( 6, 2, 1) 0.5000000E-01 A( 6, 2, 2) 0.5000000E-01 A( 6, 2, 3) 0.5000000E-01 A( 6, 2, 4) 0.5000000E-01 A( 6, 2, 5) 0.5000000E-01 A( 6, 3, 1) 0.2500000E-01 A( 6, 3, 2) 0.2500000E-01 A( 6, 3, 3) 0.2500000E-01 A( 6, 3, 4) 0.2500000E-01 A( 6, 3, 5) 0.2500000E-01 A( 6, 4, 1) 0.7500000E-01 A( 6, 4, 2) 0.7500000E-01 A( 6, 4, 3) 0.7500000E-01 A( 6, 4, 4) 0.7500000E-01 A( 6, 4, 5) 0.7500000E-01 A( 6, 5, 1) 0.2500000E-01 A( 6, 5, 2) 0.2500000E-01 A( 6, 5, 3) 0.2500000E-01 A( 6, 5, 4) 0.2500000E-01 A( 6, 5, 5) 0.2500000E-01 A( 6, 6, 1) 0.000000 A( 6, 6, 2) 0.000000 A( 6, 6, 3) 0.000000 A( 6, 6, 4) 0.000000 A( 6, 6, 5) 0.000000 A( 6, 7, 1) 0.1250000 A( 6, 7, 2) 0.1250000 A( 6, 7, 3) 0.1250000 A( 6, 7, 4) 0.1250000 A( 6, 7, 5) 0.1250000 A( 6, 8, 1) 0.1750000 A( 6, 8, 2) 0.1750000 A( 6, 8, 3) 0.1750000 A( 6, 8, 4) 0.1750000 A( 6, 8, 5) 0.1750000 A( 6, 9, 1) 0.2000000 A( 6, 9, 2) 0.2000000 A( 6, 9, 3) 0.2000000 A( 6, 9, 4) 0.2000000 A( 6, 9, 5) 0.2000000 A( 6, 10, 1) 0.7500000E-01 A( 6, 10, 2) 0.7500000E-01 A( 6, 10, 3) 0.7500000E-01 A( 6, 10, 4) 0.7500000E-01 A( 6, 10, 5) 0.7500000E-01

A( 7, 1, 1) 0.7500000E-01 A( 7, 1, 2) 0.7500000E-01 A( 7, 1, 3) 0.7500000E-01 A( 7, 1, 4) 0.7500000E-01 A( 7, 1, 5) 0.7500000E-01 A( 7, 2, 1) 0.1250000 A( 7, 2,