Simulasi Sistem Kontrol Autopilot Pesawat Pada Gerak Longitudinal Dengan Menggunakan Metode Pembentukan Lup PID

SIMULASI SISTEM KONTROL AUTOPILOT PADA GERAK

LONGITUDINAL PESAWAT MENGGUNAKAN METODE PEMBENTUKAN LUP PID

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar sarjana sains

:

040801029

HANDRI YOGI LESTARI

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

PERSETUJUAN

Judul : Simulasi Sistem Kontrol Autopilot Pesawat

Pada Gerak Longitudinal Dengan Menggunakan Metode Pembentukan Lup PID

Kategori : Skripsi

Nama : Handri Yogi Lestari

Nim : 040801029

Program Studi : Sarjana (S1) Fisika Departemen : Fisika

Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara

Disetujui Oleh

Departemen Fisika FMIPA USU Pembimbing

Ketua

PERNYATAAN

DESAIN DAN SIMULASI SISTEM KONTROL AUTOPILOT PADA GERAK LONGITUDINAL PESAWAT DENGAN MENGGUNAKAN METODE

PEMBENTUKAN LUP PID SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa

kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,12 Januari 2010

Handri Yogi Lestari

Penghargaan

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SubhanahuWata'ala, Tuhan

sekalian alam yang maha perkasa, karena dengan kemurahanNya skripsi ini dapat saya

selesaikan . Tiada sesuatu yang terjadi di bumi ini tanpa izin-Mu ya Rabb.

Ucapan terimakasih yang sebesar-besarnya saya sampaikan kepada bapak

Drs,Luhut Sihombing.MS, yang telah dengan sabar membimbing saya, serta untuk

semua kebaikan yang diberikan selama saya menyelesaikan tugas akhir ini. Ucapan

terima kasih juga saya ucapkan kepada ketua departemen dan sekeretaris departemen

fisika bapak Dr.Marhaposan Situmorang dan ibu Dra Yustinon,M.Sc.Kepada Staf

LIDA dan Kepala Laboratorium Fisika Dasar bapak Achirudin,M.Sc, Dekan dan

Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh Staf pengajar dan pegawai Departemen.

Saya juga ingin mengucapkan terima kasih kepada rekan-rekan saya selama

kuliah, rekan saya sesama asisten Laboratorium Fisika Dasar dan Laboratorium

Pemrograman khususnya kepada teman dekat saya Toni , Jepri, Rio Tambunan, Alex,

Andi Zemba, Winston, Rocky, Glenn, Elyas,Eka, Maulina, Susi,D aniel, serta

teman-teman saya di fakultas teknik, pertanian, ekonomi, dan sastra dan banyak lagi yang

tidak bisa saya sebutkan disini satu persatu..

Akhirnya, penghargaan yang setinggi-tingginya saya berikan kepada keluarga

saya, yaitu bapak saya (Harianto) ,ibu saya (Nana Muskori), untuk semua dorongan,

kesabaran, ketabahan dan pengorbanan yang tidak terkira yang diberikan kepada saya,

kepada kakak dan adik saya satu-satunya (Hindri Winasari) dan (Rara Wulandari),

untuk semua semangat yang saya dapat.Kiranya tanpa doa dan dukungan kalian

semualah saya tidak akan mendapatkan pengalaman hidup yang berharga seperti yang

ABSTRAK

Kontroler PID adalah kontroler yang paling banyak digunakan di industri,

instrumentasi dan peralatan laboratorium termasuk bidang penerbangan. Kontroler ini

banyak digunakan karena mudah untuk dikombinasikan dengan kontroler lain. Pada

tugas akhir ini dilakukan penentuan nilai konstanta penguatan kontroler proporsional

p

K , kontroler integral K dan kontroler diferensial _i K untuk memenuhi spesifikasi _d

sistem yang diinginkan dari gerak longitudinal pesawat dengan menggunakan metode

pembentukan lup, dimana nilai konstanta kontroler ditentukan dengan menggunakan

analisis respons frekuensi dari plot bode dari plant. Keunggulan dari metode

pembentukan lup adalah tidak perlu lagi digunakan tuning untuk mencari nilai

Abstract

PID controllers is the commonly used in industry, in instruments and

laboratory equipment including aerospace subject. This controllers commonly used

because it is easy to combine with another controllers. In this papers the controllers

constants for Proportional controller K_p, Integral controller K and Diferential _i

controller K for obtain required systems for longitudinal motion of aircraft are _d

determine by using loop shaping method where is the controller constans determine

by analyze frequency respons of bode plot from plant. The advantage of loop shaping

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR PERSETUJUAN ... i

LEMBAR PERNYATAAN ... ii

PENGHARGAAN ... iii

ABSTRAK ... iv

ABSTRACT ... v

DAFTAR ISI ... vi

DAFTAR GAMBAR ... ix

BAB I PENDAHULUAN I.1. Latar Belakang Masalah ... 1

I.2. Tujuan Penelitian ... 2

I.3. Batasan Masalah ... 3

I.4. Manfaat Penelitian ... 4

I.5. Metode Penelitian ... 4

I.6. Sistematika Penulisan ... 5

BAB II LANDASAN TEORI II.1. Anatomi Pesawat...6

II.2. Pengertian gerak longitudinal pesawat... 10

II.3. Kriteria kestabilan Nyquist ... ..10

II.4. Diagram Logaritmik dan Grafik Bode ... ..11

II.5. Kontroler PID ... ..12

II.5.1. Kontroler Proporsional ... ..12

II.5.2. Kontroler integral ... ...12

II.5.2. Kontroler Diferensial...13

II.6. Metode Pembentuka Lup PID ... ....14

II.6.1.Kontroler Proporsional Plus Integral...15

II.6.2.Kontroler Proporsional Plus Diferensial ... ....16

BAB III Pemodelan dan Perancangan Sistem

III.1. Penurunan Persamaan Gerak ... 19

III.2. Penurunan dan Pemodelan Fungsi Alih ... 31

III.3. Fungsi alih dinamik pesawat untuk gerak longitudinal... 35

III.3.1. Pendekatan Osilasi Periode Pendek... 37

III.3.2. Pendekatan Phugoid ... 38

III.4. Spesifikasi sistem ... 39

BAB IV Desain dan Simulasi Sistem IV.1. Respon lup terbuka ... 48

IV.1.1. Respons lup terbuka mode gerak osilasi ... 48

IV.1.2. Respons lup terbuka mode gerak phugoid ... 50

IV.2. Respons lup tertutup ... 51

IV.2.2 Respons lup tertutup mode gerak osilasi………...51

IV.2.3 Respons lup tertutup mode geak phugoid…………...53

IV.3. Perancangan Kontroler P, I dan D dengan pembentukan LUP…....55

IV.3.1 Mode Gerak Osilasi………...55

IV.3.2 Mode Gerak Phugoid……….65

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN V.1. Kesimpulan ... 74

V.2. Saran ... 76

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Anatomi Pesawat ... 6

Gambar 2.2 Kontrol Permukaan pesawat ... 7

Gambar 2.3 Sumbu gerak dan titik pusat berat ... 8

Gambar 2.4.a Gerak mengguling pesawat ... 9

Gambar 2.4.b Gerak longitudinal pesawat ... 9

Gambar 2.4.c Gerak menggeleng pesawat ... 9

Gambar 2.5 Kontroller Diferensial ...13

Gambar 3.1 Sumbu kesetimbangan dan gangguan pesawat ... 26

Gambar 3.2 Gerak longitudinal pesawat ... 33

Gambar 3.3 Flowchart Untuk menentukan nilai konstanta kontroller PI... 45

Gambar 3.4 Flowchart Untuk menentukan nilai konstanta kontroller PD ... 46

Gambar 3.2 Flowchart Untuk menentukan nilai konstanta kontroller PID ... 47

Gambar 4.1 Diagram blok lup terbuka kontrol sudut serang ... 48

Gambar 4.2 Grafik simulasi kontrol sudut serang lup terbuka ... 49

Gambar 4.3 Diagram blok lup terbuka kontrol sudut ketinggian ... 50

Gambar 4.4 Grafik simulasi lup terbuka kontrol sudut ketinggian ... 50

Gambar 4.5.Diagram blok lup tertutup kontrol sudut serang ... 51

Gambar 4.6 Grafik simulasi lup tertutup kontrol sudut serang ... 52

Gambar 4.7 Diagram blok lup tertutup kontrol ketinggian ... 53

Gambar 4.8 Grafik simulasi lup tertutup kontrol ketinggian... 54

Gambar 4.9 Diagram blok lup tertutup kontrol sudut serang dengan kontroler ... 55

Gambar 4.10 Diagram blok kontrol sudut serang yang disederhanakan... 56

Gambar 4.11 Diagram bode plant kontrol sudut serang ... 56

Gambar 4.12 Grafik simulasi kontrol sudut serang dengan kontroler PI ... 58

Gambar 4.13 Diagram bode kontrol sudut serang dengan kontroler PI ... 59

Gambar 4.14 Grafik simulasi kontrol sudut serang dengan kontroler PD ... 60

Gambar 4.15 Diagram bode kontrol sudut serang dengan kontroler PD ... 61

Gambar 4.17 Diagram bode kontrol sudut serang dengan kontroler PID ... 64

Gambar 4.18 Diagram blok lup tertutup kontrol sudut ketinggian ... 65

Gambar 4.19 Diagram blok kontrol sudut ketinggian yang disederhanakan ... 66

Gambar 4.20 Diagram bode plant kontrol sudut ketinggian ... 66

Gambar 4.21 Grafik simulasi kontrol sudut ketinggian dengan kontroler PI ... 68

Gambar 4.22 Diagram bode kontrol sudut ketinggian dengan kontroler PI... 69

Gambar 4.23 Grafik simulasi kontrol sudut ketinggian dengan kontroler PD ... 70

Gambar 4.24 Diagram bode kontrol sudut ketinggian dengan kontroler PI... 71

Gambar 4.25 Grafik simlulasi kontrol sudut ketinggian dengan kontroler PID ... 73

ABSTRAK

Kontroler PID adalah kontroler yang paling banyak digunakan di industri,

instrumentasi dan peralatan laboratorium termasuk bidang penerbangan. Kontroler ini

banyak digunakan karena mudah untuk dikombinasikan dengan kontroler lain. Pada

tugas akhir ini dilakukan penentuan nilai konstanta penguatan kontroler proporsional

p

K , kontroler integral K dan kontroler diferensial _i K untuk memenuhi spesifikasi _d

sistem yang diinginkan dari gerak longitudinal pesawat dengan menggunakan metode

pembentukan lup, dimana nilai konstanta kontroler ditentukan dengan menggunakan

analisis respons frekuensi dari plot bode dari plant. Keunggulan dari metode

pembentukan lup adalah tidak perlu lagi digunakan tuning untuk mencari nilai

Abstract

PID controllers is the commonly used in industry, in instruments and

laboratory equipment including aerospace subject. This controllers commonly used

because it is easy to combine with another controllers. In this papers the controllers

constants for Proportional controller K_p, Integral controller K and Diferential _i

controller K for obtain required systems for longitudinal motion of aircraft are _d

determine by using loop shaping method where is the controller constans determine

by analyze frequency respons of bode plot from plant. The advantage of loop shaping

BAB I

PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang Masalah.

Rancangan pesawat yang kurang stabil namun lebih dapat bermanuver

diperkenalkan oleh wright bersaudara.Rancangan dari pesawat yang kurang stabil ini

mengakibatkan pekerjaan pilot menjadi lebih sulit dan lebih melelahkan,sehingga

muncul ide untuk membentuk suatu sistem pilot automatis atau sering disebut sebagai

autopilot. Tujuan awal dan utama dari perancangan sistem autopilot adalah untuk

mengembalikan perilaku pesawat setelah terjadi beberapa gangguan.

Automatic pilot yang disingkat sebagai AUTOPILOT adalah peralatan

otomatis yang terdiri dari peralatan mesin dan elektronik yang dapat menggerakkan

sendiri peluru kendali atau pesawat. Sistem fisik dari kontrol autopilot pesawat dapat

direpresentasikan dalam fungsi-fungsi matematis. Artinya karakteristik dari masukan

maupun keluaran sistem kontrol dapat dinyatakan sebagai sekumpulan persamaan

matematis. Dengan mendapatkan fungsi-fungsi masukan dan keluaran dapat dirancang

suatu sistem kontrol autopilot yang optimal dan stabil.

Pada sistem kontrol autopilot pesawat pada dasarnya terdiri atas dua sistem,

yaitu sistem lup terbuka dan sistem lup tertutup. Untuk merancang suatu sistem

kontrol yang optimal dapat digunakan metode pembentukan lup. Dimana metoda

pembentukan lup adalah suatu metoda dimana kita mencoba untuk memilih kontroller

sehingga fungsi transfer lup memenuhi dari bentuk yang diinginkan. Apabila lup yang

diinginkan telah sesuai maka kita dapat melihat dari plot kriteria Nyquist-nya.

Perancangan kontrol PID (Proporsional,Integral,Diferensial) dengan

menggunakan metoda pembentukan lup bertujuan untuk memenuhi stabilitas serta

mengantisipasi pengaruh gangguan yang mungkin terjadi pada kondisi nyata jika

Perancangan controller PID selama ini menggunakan metoda trial and error

dengan perhitungan yang memakan waktu lama, MATLAB yang dilengkapi kontrol

toolbox membantu perancang untuk melihat respon berbagai kombinasi konstanta

dengan variasi input yang berbeda.Penggunaan MATLAB sangat membantu

perancang dalam menentukan kombinasi di antara P (Proporsional) ,I (Integral) dan D

(Diferensial) kontroler untuk menghasilkan sistem pengaturan yang baik dan

sederhana.

I.2.Tujuan Penelitian

Adapun yang menjadi tujuan dari penelitian ini adalah sesuai dengan latar belakang

yang telah dinyatakan sebelumnya yaitu:

1. Mengetahui parameter-parameter yang mempengaruhi dalam

perancangan kontroler PID dengan menggunakan metode pembentukan

LUP.

2. Menganalisa kestabilan sistem pada sistem kontrol autopilot yang

dirancang.

3. Menggunakan metoda pembentukan lup PID (Proporsional Integral

Diferensial) untuk mendapatkan sistem kontrol yang stabil terhadap

gangguan perubahan.

4. Untuk mendapatkan nilai konstanta penguatan dengan menggunakan

I.3. Batasan Masalah

Batasan Masalah dalam penulisan tugas akhir yang saya buat adalah sebagai

berikut yaitu:

1. Pada Simulasi ini tidak membahas komponen penyusun pesawat.

2. Pada simulasi ini sistem kontrol yang didesain adalah sistem kontrol dinamik

didesain dengan menggunakan metoda pembentukan loop PID

3. Gerak pesawat yang dibahas hanyalah gerak longitudinal pesawat yang

meliputi :

a.kontrol sudut serang pada mode gerak osilasi periode pendek (short

period oscilation)

b.kontrol sudut ketinggian pada mode gerak phugoid.

4. Pada simulasi ini analisis kestabilan berdasarkan metoda respons frekuensi dan

metoda kestabilan Nyquist.

5. Massa pesawat dianggap konstan

6. Pesawat dianggap sebagai benda tegar

7. Bumi adalah kerangka acuan inersial

8. Tidak membahas mengenai aerodinamika pesawat

9. Tipe pesawat yang digunakan dalam simulasi adalah tipe pesawat tempur

I.4 Manfaat Penelitian

Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah :

1. Mengetahui analisis kestabilan sistem di desain dengan menggunakan

metoda pembentukan lup PID (Proporsional Integral Diferensial)

2. Meningkatkan pemahaman tentang kontrol autopilot pada pesawat

terbang khususnya pada gerak longitudinal pesawat

3. Meningkatkan pemahaman mengenai metoda pembantukan lup pada

sistem kontrol

I.5. Metode Penelitian

Adapun yang menjadi metodologi penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Melakukan studi literatur untuk mendapatkan persamaan gerak

pesawat.

2. Menurunkan fungsi transfer menggunakan data fisik dari pesawat dan

persamaan gerak.

3. Mendesain sistem dengan menggunakan metoda pembentukan lup PID.

4. Melakukan simulasi dan analisis respon dengan adanya kombinasi

I.6 Sistematika Penulisan

Penyusunan Tugas Akhir ini berurutan sesuai dengan penulisan sebagai berikut:

BAB I : PENDAHULUAN

Bab ini secara berturutan membahas tentang latar belakang,perumusan

masalah,tujuan penelitian dan sistematika penulisan.

BAB II: LANDASAN TEORI

Bagian ini menjelaskan tentang anatomi pesawat,kriteria kestabilan Nyquist

dan metode kedudukan akar,sistem kontrol lup terbuka dan sistem kontrol lup

tertutup,kontroller PID,metode pembentukan lup,dan dinamika gerak

longitudinal pesawat

BAB III: PEMODELAN SISTEM DAN PERANCANGAN

Bab ini menjelaskan tentang penurunan persamaan gerak longitudinal

pesawat,fungsi alih yang didapat dengan menggunakan prosedur

pembentukan lup PID

BAB IV: SIMULASI DAN ANALISIS

Pada bagian ini memberikan hasil simulasi serta analisa dan penjelasan dari

sistem kontrol untuk mendapatkan respon dari sistem

BAB V: KESIMPULAN

Bab ini memberikan kesimpulan dari hasil analisa dan simulasi desain

sistem kontrol gerak longitudinal pada pesawat terbang dengan

menggunakan metoda pembentukan lup

BAB II

LANDASAN TEORI

II.1.Anatomi Pesawat Terbang

Komponen utama dari pesawat terbang adalah ditunjukkan pada gambar 2.1.

Fuselage adalah badan pesawat,dimana bagian ini adalah bagian yang paling banyak

kegunaannya pada pesawat, fuselage membawa penumpang,barang bawaan dan

berbagai muatan,peralatan bahan bakar dan berbagai benda sesuai dengan rancangan

pesawat.Sayap adalah penghasil gaya angkat pada pesawat, volume internal dari

pesawat dapat digunakan untuk untuk menampung bahan bakar dan menyimpan

peralatan pendaratan (roda dan penopang (struts) pendukung) setelah pesawat lepas

landas. Penempatan dan penyesuaian ukuran stabilizer pada pesawat untuk

memberikan stabilitas pada pesawat selama melakukan penerbangan .

Flaps dan kontrol permukaan digambarkan pada gambar 2.2. Flaps digunakan

untuk menambah gaya angkat pesawat. Aileron adalah kontrol permukaaan yang

mengontrol gerak guling (rolling) pesawat,sebagai contoh, ketika aileron sebelah kiri

turun kebawah sedangkan aileron sebelah kanan naik ke atas, maka gaya angkat akan

bertambah pada sayap kiri sedangkan pada sayap kanan gaya angkatnya akan

berkurang yang akan menyebabkan pesawat akan berguling (roll) kearah

kanan.Elevator adalah kontrol permukaan yang mengatur gerak naik turun pesawat,

ketika elevator turun ke bawah maka gaya angkat pada ekor pesawat akan bertambah

dan menyebabkan ekor pesawat akan tertarik untuk naik sementara hidung pesawat

akan turun ke bawah. Rudder adalah kontrol permukaan yang dapat membelokkan

hidung pesawat ke kanan atau ke kiri.

Gambar 2.2 Kontrol Permukaan Pesawat (surface control)

Dengan meninjau pesawat pada gambar 2.3 dapat dilihat titik berat yang

dinotasikan sebagai cg. Sumbu orthogonal xyz adalah tetap; sumbu x disepanjang

fuselage, sumbu y disepanjang rentang sayap tegak lurus dengan dengan sumbu y, dan

sumbu z yang mengarah ke bawah yang tegak lurus dengan bidang xy. Gerak translasi

Gerak rotasi diberikan oleh komponen kecepatan angular P, Q, dan R.

Kecepatan rotasi ini menyebabkan momen L’, M dan N, pada sumbu x, y, dan z.

Gambar 2.3. Sumbu gerak dan titik pusat berat pesawat

Gerak rotasi di sepanjang sumbu x disebut sebagai gerak guling, L’ dan P

masing-masing disebut sebagai momen dan kecepatan. Gerak rotasi pada sumbu y

disebut gerak ketinggian (pitch); M dan Q masing-masing adalah momen dan

kecepatan. Gerak pada sumbu z disebut gerak geleng (yaw) dengan N dan R adalah

momen dan kecepatannya.

Tiga dasar kontrol pada gerak pesawat yaitu: aileron , elevator dan rudder

dimana ketiga komponen ini didsisain untuk mengubah kontrol dan momen pada

Gambar 2.4a.gerak mengguling (roll)

Gambar 2.4.b. gerak longitudinal

Gambar 2.4.c.kontrol gerak menggeleng (yawing)

Gambar 2.4

Mengacu pada gambar 2.2, dapat dilihat bahwa dari sini bahwa aileron

mengontrol gerak guling (roll) pesawat yang disebut sebagai disebut sebagai kontrol

lateral. Kemudian juga dapat dilihat bahwa dari sini elevator mengatur ketinggian

pesawat dan disebut sebagai kontrol longitudinal, dan dapat juga dilihat bahwa rudder

mengatur gerak geleng (yaw) dari pesawat,yang disebut sebagai kontrol langsung

II.2. Pengertian Gerak Longitudinal Pada Pesawat

Yang dimaksud sebagai gerak longitudinal pada pesawat adalah gerak yang

meliputi ekor sampai hidung pesawat, adapun yang termasuk pada gerak longitudinal

pesawat ini meliputi :

1. Kontrol elevator (kontrol sirip pengatur ketinggian)

2. Kontrol Sudut Serang

3. Kontrol kecepatan

Didalam gerak longitudinal pesawat terdapat dua mode gerak yang pertama

adalah mode gerak osilasi pendek dan yang kedua adalah mode gerak phugoid. Yang

dimaksud dengan mode gerak osilasi pendek adalah gerak yang teredam penuh (hal

ini dapat dilihat pada persamaan gerak 3.48). Yaitu gerak ini memiliki redaman yang

besar. Hal ini pada pesawat terbang mempengaruhi sudut serang α dan sudut

ketinggian pesawat θ. Sedangkan gerak dengan osilasi yang memiliki periode yang

panjang disebut sebagai mode gerak phugoid. Mode gerak phugoid mempengaruhi

dua parameter dalam gerak pesawat yaitu sudut ketinggian θ dan kecepatan u, pada

mode gerak phugoid ini sudut serang tidak berubah atau konstan.

II.3.Kriteria Kestabilan Nyquist

Dasar dari pemikiran analisis kestabilan Nyquist adalah untuk menyelidiki

kondisi sistem lup terbuka dengan yang berosilasi dengan osilasi yang dapat terjadi

apabila sistem memiliki umpan balik.

Respons frekuensi dari fungsi alih sistem dapat dinyatakan dengan memplot

) (jω

L kedalam diagram polar dimana L adalah: PC

L= ...(2.1)

Besar dari |L(jω)| disebut sebagai penguatan lup (loop gain) karena bagian ini menyatakan seberapa jauh sinyal dapat diperkuat. Keadaan osilasi dari sistem

diberikan oleh persamaan :

1 ) (jω₀ =−

L ...(2.2)

Persamaan 2.2 menyatakan bahwa kurva Nyquist dari fungsi alih lup akan

melalui titik L=-1, yang disebut titik kritis (critical point). Dan sistem akan stabil

apabila |L( j )|<1 , yang berarti kurva Nyquist pada titik kritis -1 ada pada sisi kiri ω

kurva Nyquist. Untuk sistem yang tidak memiliki pole pada sisi sebelah kanan bidang

kompleks maka kondisi kestabilan adalah apabila plot Nyquist tidak mengelilingi titik

kritis -1.

Teorema kestabilan Nyquist adalah : Jika L(s) adalah fungsi transfer dari lup

untuk sistem berumpan balik negatif dan tidak memiliki pole pada bagian sebelah

kanan bidang kompleks

(

Res≥0

)

maka sistem lup terttup akan stabil jika dan hanya jika kontur tertutup yang diberikan oleh Ω=

{

L

( )

jω :−∞<ω<∞

}

⊂Ctidak mengelilingi s =-1.

II.4. Diagram Logaritmik atau grafik Bode

Fungsi alih sinusoida dapat dinyatakan dalam dua diagram terpisah , satu

merupakan diagram besar terhadap frekuesin dan yang satunya lagi adalah diagram

sudut fasa terhadap ferkuensi. Diagram Bode terdiri dari dua buah grafik; satu

merupakan diagram dari logaritma besar fungsi alih sinusoida; satu merupakan

diagram sudut fasa ; keduanya digambar terhadap frekuensi dalam skala logaritmik.

Dala metode pembentukan lup diagram Bode digunakan untuk menentukan besar dari

fungsi alih sinusoida dari fungsi alih, dan frekuensi crossover (ω_gc) dari fungsi alih tersebut. Frekuensi crossover adalah frekuensi yag menyebabkan besar fungsi alih lup

II.5 Kontroller PID

Kontroler adalah komponen yang berfungsi meminimalisasi sinyal kesalahan.

Tipe kontroler yang paling banyak digunakan adalah controller PID. Elemen kontroler

P,I dan D masing-masing secara keseluruhan bertujuan untuk mendeteksi sinyal

kesalahan penggerak, mempercepat reaksi sistem dan menghasilkan perubahan awal

yang lain.

II.5.1 Kontroler Proporsional

Kontroler proporsional memiliki keluaran yang sebanding (proporsional)

dengan besarnya sinyal kesalahan, jika sinyal masukan dimisalkan sebagai m(t) dan

sinyal keluaran sebagai e(t) maka untuk kontroler proporsional, hubungan antara

keluaran kontroler m(t) dan sinyal kesalahan penggerak e(t) adalah

) ( )

(t K e t

m = _p …(2.3)

Atau dalam besaran transformasi laplace,

p K s E

s M

= ) (

) (

…(2.4)

Dimana Kp adalah kepekaan proporsional atau penguatan. Perubahan pada

kontroler proporsional akan mengakibatkan sistem secara langsung mengubah

keluarannya sebesar konstanta pengalinya.

II.5.2 Kontroler Integral

Kontroler integral berfungsi untuk menghasilkan sistem yang memiliki

kesalahan keadaan tunak yang kecil. Kalau sebuah plant tidak memiliki elemen

Kontroler ini dipengaruhi oleh perubahan yang sebanding dengan nilai sinyal

kesalahan. Keluaran kontroler ini merupakan penjumlahan yang terus menerus dari

perubahan masukannya.

Kalau sinyal kesalahan tidak mengalami perubahan, keluaran akan menjaga

keadaan seperti sebelum terjadinya perubahan masukan. Sinyal keluaran kontroler

integral merupakan luas bidang yang dibentuk oleh kurva kesalahan penggerak

Kontroler integral mempunyai karakteristik sebagai berikut:

1. Dapat menghilangkan error steady state, namun keluaran kontroler

membutuhkan selang waktu tertentu, sehingga respon sistem akan menjadi

lambat

2. Apabila sinyal kesalahan bernilai nol maka keluaran kontroler akan tetap

bertahan pada nilai sebelumnya

3. Jika sinyal kesalahan tidak berharga nol, maka keluaran akan menunjukkan

perubahan (kenaikan atau penurunan) yang dipengaruhi oleh besarnya nilai

kesalahan dan nilai K . _i

II.5.3 Kontroler diferensial

Kontroler diferensial mempunyai sifat seperti suatu operasi derivative.

Perubahan yang sesaat pada masukan kontroler akan mengakibatkan perubahan yang

sangat besar dan cepat.

TdS

-+

E(s) M(s)

Kontroler diferensial biasanya digunakan untuk mempercepat respon awal

system, tetapi tidak memperkecil kesalahan tunaknya (steady state error).

Adapun karakteristik dari suatu kontroler diferensial adalah:

1. Kontroler diferensial memberikan efek redaman pada sistem yang

berosilasi dan memperbaiki respon transient.

2. Jika sinyal kesalahan (error) berubah terhadap waktu, maka keluaran yang

dihasilkan kontroler tergantung pada nilai Td dan laju perubahan sinyal

kesalahan.

3. Kontroler diferensial mempunyai karakter untuk saling mendahului,

sehingga kontroler ini dapat menghasilkan koreksi yang signifikan sebelum

pembangkit kesalahan menjadi sangat besar. Oleh sebab itu kontroler

diferensial dapat mengantisipasi pembangkit kesalahan, memberikan aksi

yang bersifat korektif, sehingga sistem akan menjadi stabil.

II.6.Metode pembentukan lup PID (loop shaping PID)

Metode pembentukan lup adalah suatu metoda yang berdasarkan analisis

Nyquist. Dengan menggunakan kriteria kestabilan Nyquist kita memplot Nyquist

fungsi alih lup terbuka untuk menentukan kestabilan sistem lup tertutup. Metode ini

bertujuan untuk mencari nilai penguatan kontroler yang paling tepat dari fungsi alih

lup terbuka dengan menganalisa fungsi alih L(jω)lup terbuka sistem tersebut.

Ada tiga kombinasi kontroler (Proporsional, Integral, Diferensial) yaitu

kontroler proporsional plus integral (PI), kontroler proporsional plus diferensial (PD),

dan kontroler proporsional plus integral plus diferensial (PID). Bentuk fungsi alih dari

II.6.1 Kontroler Proporsional Plus Integral

Kontroler proporsional plus integral didefenisikan dengan persamaan berikut

ini :

= +

∫

t

i p

p e t dt

T K t e K t C

0 ) ( )

( )

( …(2.5)

dengan mentransformasikan laplace maka persamaan diatas akan menjadi :

s T K K s C

i p p + =

)

( …(2.6)

Jika fungsi alih adalah L(s)=P(s)C(s) dan frekuensi crossover gain adalah ω_gcmaka

fungsi alih L(s) dapat dituliskan dalam bentuk :

) ( ) ( )

(jω P jω C jω

L =

i gc

i gc

T T j

kP j

L

ω ω ω

ω

2 2

1 ) ( )

( = + …(2.7)

nilai konstanta penguatan proporsional dapat dihitung dengan menggunakan

persamaan :

( )

| |

1 2 2

gc i

gc i gc

p P j

T T

K ω

ω ω +

= …(2.8)

nilai dari |P

( )

jω_gc | dan ω_gcdapat dilihat secara langsung dari plot Bode . Satu-satunya nilai variabel yang tidak diketahui dari pesamaan 2.8 adalah konstanta waktu

integral T . Nilai konstanta ini dapat ditentukan dengan menggunakan persyaratan _i

II.6.2 Kontroler Proporsional Plus Diferensial

Dengan menggunakan diagram bode yang sama nilai penguatan K_pdapat ditentukan

dari persamaan yang mendefenisikan hubungan antara kontroler proporsional dan

diferensial yang dinyatakan sebagai:

dt t de T K K t

C( )= _p+ _{p d} ( ) ...(2.9)

dengan mentrasformasi lapalace persamaan diatas maka :

) 1 ( )

(s K T s

C = _p + _d ...(2.10)

karena fungsi alih adalah L(s)=P(s)C(s) dan frekuensi crossover gain adalah

gc

ω maka fungsi alih L(s) dapat dituliskan dalam bentuk :

) ( ) ( )

(jω P jω C jω

L =

2 2

1 ) ( )

(j K_pP j _gc T_d

L ω = ω +ω …(2.11)

nilai konstanta K_pdapat ditentukan dengan menggunakan persamaan :

2 2

1 | ) (

| _{gc d}

p P j T

K = ω +ω …(2.12)

sama seperti pada kontroler PI (Proporsional,Integral) nilai konstanta waktu T dapat _d

II.6.3 Kontroler Proporsional Plus Integral Plus Diferensial.

Perancangan dari kontroler proporsional plus integral plus diferensial sangat banyak digunakan untuk menutupi kekurangan serta menggabungkan kelebihan dari

masing-masing kontroler.

Dengan menggabungkannya maka elemen-elemen kontroler P, I, dan D akan

mempercepat reaksi sebuah sistem. Dengan e(t) adalah sinyal masukan kontroler

sedangkan m(t) adalah sinyal keluarannya maka secara matematis dapat dituliskan

sebagai berikut: dt t de K dt t e K t e K t

C( ) _p ( ) _i t ( ) _D ( )

0 +

+

=

∫

…(2.13)

Dengan mentransformasi laplace persamaan diatas maka persamaan 2.13 menjadi:

  

 _{+ +}

= T s

s T K s C _d i p 1 1 ) (     + + = s T s sT T s T K s C i d i i p 1 ) (         _{+ +} = s T s T T s T K s C i d i i p 1 ) ( 2 …(2.14)

Konstanta penguatan K_pdapat dicari dengan menggunakan hubungan antara

) ( ) ( )

(jω P jω C jω

L = sehigga:

) ( 1 ) ( ) ( ) ( 4 2 2 2 2 gc i gc gc d i i gc

p P j

T T T T K j C j P j L ω ω ω ω ω ω ω           _{− +} =

Maka nilai konstanta penguatanK_p adalah :

| ( )|

1

4 2 2 2 2

gc i

gc

gc d i i gc

p P j

T T T T

K ω

ω

ω ω

  

 

  



 _{− +}

= …(2.16)

nilai konstanta waktu T dan _i T didapat dari kombinasi masing-masing kontroler PI _d

dan PD. Pada metoda pembentukan lup nilai konstanta penguatan K_pakan berubah

sesuai dengan kombinasi kontroler yang digunakan. Akan tetapi nilai K dan _i K _d

tidak dapat dihitung secara langsung seperti pada kontroler PI dan PD, melainkan

melalui hubungan :

10 log log

logK_d = K_pT_d− …(2.17)

10 log log

log = −

i p i

T K

BAB III

PEMODELAN DAN PERANCANGAN SISTEM

Untuk memenuhi fungsi transfer dari pesawat hal pertama yang sangat penting

adalah menurunkan persamaan gerak dari pesawat. Persamaan gerak yang diturunkan

menerapkan hukum Newton tentang gerak yang menghubungkan antara penjumlahan

dari gaya-gaya luar serta memomentum linier dan angular serta percepatan dari

pesawat.

Pusat sumbu sistem didefenisikan sebagai pusat dari gravitasi pesawat.pada

umumnya, sumbu sistem dianggap tetap atau tidak bergerak.dan ikut berotasi terhadap

pesawat. Sebelum memulai proses penurunan terhadap persamaan gerak maka perlu

adanya asumsi-asumsi, diantaranya massa pesawat dianggap konstan, pesawat

dianggap sebagai benda tegar bumi dan atmosfir dianggap tidak bergerak dan sebagai

kerangka acuan inersial.

III.1. Penurunan Persamaan Gerak Pesawat

Persamaan gerak didapatkan dengan menerapkan hukum II Newton yang

menyatakan penjumlahan gaya luar (eksternal) pada sebuah benda haruslah sama

dengan laju perubahan momentum benda terhadap waktu dan penjumlahan momen

luar yang bekerja pada benda haruslah sama dengan laju perubahan momentum

angular. Pernyataan ini dapat ditulis dalam dua persamaan vektor.

∑

= mV_T

]

_I dt

d

F ( ) …(3.1)

Dan

∑

=

]

_I

dt dH

M …(3.2)

Dimana ]I menyatakan laju perubahan vektor terhadap kerangka acuan inersial.

momen total terdiri atas gaya dan momen pada saat setimbang dan pada saat terdapat

gangguan maka persamaan 3.1 dan 3.2 dapat ditulis kembali menjadi

∑ ∑ ∑

F = F0 + ∆F …(3.3) Dan

∑

M =

∑

M0 +

∑

∆M …(3.4) Persamaan 3.1 dapat juga diperluas untuk massa dan kecepatan yang berubah menjadi

∑

∆ = +

dt dV m V dt dm

F T T …(3.5)

Dengan menerapkan asumsi diatas yang menyatakan massa pesawat adalah konstan

maka persamaan 3.5 akan tereduksi menjadi

∑

∆ = dt dV m

F T

…(3.6)

Komponen vektor kecepatan pada pesawat dapat saja berotasi sementara besarnya

berubah, maka derivativ kecepatan pesawat dapat dituliskan sebagai

T t

T

dt dV dt

dV

V ω 1

T

V + ×

= …(3.7)

Dimana

dt dVT

T

V

1 adalah perubahan kecepatan linier, ω adalah total kecepatan

angular pesawat terhadap bumi. V dan _T ω dapat ditulis dalam bentuk komponennya masing-masing sebagai:

kW jV iU

dt dVT

T

V

1 =iU•+ jV•+kW• …(3.10)

ω×V_T =

W V U

R Q P

k j i

…(3.11)

Persamaan 3.11 dapat juga ditulis menjadi:

ω×V_T= i(WQ−VR)+ j(UR−WP)+k(VP−UQ) …(3.12)

∑

∆Fdapat ditulis untuk ketiga komponen sumbu X, Y dan Z, yaitu

∑

∆F_x =m(U•+WQ−VR)

∑

∆Fy =m(V•+UR−WP) )

(W VP UQ

m

F_Z = + −

∆ •

∑

…(3.13)

Untuk mendapatkan persamaan gerak angular, maka dengan mengingat persamaan 3.2

yaitu:

∑

=

]

_I dt dH

M …(3.14)

Dengan mendefinisikan bahwa H adalah momentum angular. Momentum dari

elemen massa dm dengan kecepatan sudut adalah ω akan sama dengan kecepatan tangensial dari elemen massa dm dari pusat rotasi. Kecepatan tangensial dapat

dinyatakan sebagai :

R

ω

V_tan = × …(3.15)

Dengan penambahan resultan momentum dari kecepatan tangensial dari elemen massa

dM=

(

ω×r

)

dm …(3.16)

Momentum angular dH dapat dinyatakan sebagai :

dH=r×

(

ω×r

)

dm …(3.17)

Tetapi H =

∫

dHmeliputi sejumlah massa dari pesawat sehingga :

(

)

dm

dH r ω r

H=

∫

=

∫

× × …(3.18) Dengan mengevaluasi untuk hasil kali silang, jika

R Q

P j k

i

ω= + +

z y x j k i

r= + + …(3.19) Kemudian perkalian silang antara ωdan r adalah :

ω× r = i(zQ− yR)+j(xR−zP)+k(yP−xQ) …(3.20)

Kemudian

[

+ − −

] [

+ + − −

]

+

= ×

×(ω r) i(y2 z2)P xyQ xzR j(z2 x2)Q yzR xyP r

k

[

(x2 + y2)R−xzP− yzQ

]

…(3.21)

Dengan mensubstitusikan persamaan 3.21 kedalam persamaan 3.18 maka

[

]

[

]

∫

+ − − +

∫

+ − −

= (y2 z2)P xyQ xzRdm (z2 x2)Q yzR xyPdm j

i H

didefinisikan serupa. Dengan menggunakan asumsi bahwa J_xy =J_yz =0, persamaan 3.22 dapat juga dituliskan menjadi

xz x

x PI RJ

H = −

y y QI

H =

xz z

z RI PJ

H = − …(3.23)

Akan tetapi persamaan 3.14 menghendaki adanya laju perubahan H terhadap waktu.

Karena H baik besar maupun arahnya maka persamaan 3.14 dapat ditulis menjadi :

H ω

M= + ×

∆

∑

dH_dt

H

1 …(3.24)

Komponen dari

dt dH H

1 adalah :

x PI_x RJ_xz dt

dH • •

− =

y

y I Q dt dH •

=

xz z

z

J P I R dt

dH • •

−

= …(3.25)

Karena telah diasumsikan bahwa pesawat adalah benda tegar dengan massa

yang konstan, laju perubahan momen terhadap waktu serta hasil kali inersia adalah

nol.maka

ω×H=(iP+jQ+kR)×(Hx +Hy +Hz)

ω×H=i(QH_z −RH_y)+j(RH_x −PH_z)+k(PH_y −QH_x) …(3.26)

∑

∆Mdapat juga ditulis sebagai:

Dengan menyamakan komponen-komponen dari persamaan 3.25, 3.26, dan 3.27 dan

mensubstitusikannya untuk H_x,H_y,dan H persamaan gerak angular adalah: _z

∑

∆

L

= P• I_x −R• J_xz +QR(I_z −I_y)−PQJ_xz

∑

∆

M

₌

• •

− + −

+ x z xz

y PR I I P R J

I

Q ( ) ( 2 2)

∑

∆

N

=

R• I_z −PJ_xz +PQ(I_y•−I_x)+QRJ_xz

...(3.28) Persamaan untuk gerak linier adalah :

∑

∆F_x =m(U•+WQ−VR)

∑

∆Fy =m(V•+UR−WP) )

(W VP UQ

m

F_Z = + −

∆ •

∑

…(3.29)

Persamaan 3.28 dan 3.29 adalah persamaan gerak yang lengkap untuk

menggambarkan gerak pesawat.

Linierisasi pada persamaan gerak 3.28 dan 3.29 dapat dilakukan untuk

menyederhanakan solusi. Keenam persamaan dapat dipecah menjadi dua set dari tiga

persamaan simultan. Untuk menyelesaikannya maka pesawat ditinjau terbang lurus

dan tidak dipercepat dan terdapat gangguan yaitu penyimpangan (defleksi) pada

(rolling) atau menggeleng (yawing) ; lalu P=R=V=0 dan

∑

∆F_y ,

∑

∆

L

,dan

∑

∆

N

pada persamaan dapat dieliminasi sehingga

∑

∆F_x =m(U•+WQ) ) (W UQ m

FZ = −

∆ •

∑

∑

∆

M

₌

_Q• _{Iy …(3.30)}

III.2 Persamaan gerak longitudinal

Komponen dari kecepatan linier dan kecepatan angular terhadap sumbu

pesawat dinotasikan sebagai U, V, W, P, Q, dan R. Suku-suku ini mengandung

harga-harga pada saat kesetimbangan dan perubahan pada keadaan steady state, sehingga

dapat dituliskan sebagai:

w W W

v V V

u U U

+ =

+ =

+ =

0 0

0

r R R

q Q Q

p P P

+ =

+ =

+ =

0 0 0

[image:38.595.138.467.62.360.2]

Gambar 3.1.Sumbu kesetimbangan dan gangguan pesawat

Pada gambar 3.1 dapat dilihat bahwa sumbu OX adalah sumbu longitudinal

dari pesawat dan segaris dengan arah vektor kecepatan dari pesawat, W₀ =0. Dalam gambar 3.1 sumbu X_E,Y_E,Z_E adalah sumbu acuan (referensi) terhadap bumi,

0 , 0 0,Y Z

X , adalah sumbu kesetimbangan pesawat dan X,Y,Zadalah sumbu gangguan pada pesawat. Seperti dapat dilihat pada gambar 3.1 Θ₀ dan γ₀ diukur dari horizontal

dari sumbu X . ₀

Sudut γ adalah sudut jalur penerbangan (flight path angle) dan didefenisikan

sebagai sudut yang diukur pada diantara bidang vertikal dan bidang horizontal dan

Perubahan dari Θadalah θ, perubahan kecepatan sudut yang disebabkan oleh

rotasi terhadap sumbu Y adalah q=θ• , dengan kondisi ini maka U =U0+u, W=w dan

0

U adalah konstan,

• •

=u

U dan W• =w• . Ketika pesawat pada awalnya terbang tanpa mempunyai percepatan maka Q =0 dan Q=q. ₀

Dengan mensubstitusikan ini ke persamaan gaya pada persamaan 3.30 maka

∑

∆F_x =m(u•+wq)

∑

∆F_z =m(w•−U₀q−uq) ...(3.31)

Dengan membatasi bahwa perubahan pada keadaan kesetimbangan akibat gangguan

adalah kecil, maka persamaaannya dapat ditulis sebagai :

∑

∆F_x =m(u•)

∑

∆F_z =m(w•−U₀q) =m(w•−U₀θ•)

∑

∆

M

=

θ••I_y …(3.32)

Dengan memperluas dan menerapkan gaya dan momen dan menyatakan

perubahan yang menyebabkan gangguan. Komponen gaya gravitasi sepanjang sumbu

X dan Z adalah fungsi dari sudut Θ, seperti ditunjukkan oleh gambar 3.2

Θ −

= mgsin

F

x

g Θ

=mgcos

F

z

Perubahan gaya ini terhadap Θadalah: Θ − = Θ ∂ ∂ cos mg F x g Θ − = Θ ∂ ∂ sin mg F z g ...(3.34)

Gaya pada arah sumbu X adalah fungsi dari U,W,W•,Θ, dan Θ• lalu total diferensial dari F dapat dituliskan sebagai _x

∑

• • • • Θ Θ ∂ ∂ + Θ Θ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

= dW F d F d

W F dW W F dU U F

dFx x x x x x ...(3.35)

Alasan karena tidak hadirnya suku ∂Fx /∂U• karena pesawat diasumsikan mengalami aliran quasisteady. Karena u,w, dan variabel-variabel lain adalah perubahan parameter

dan gangguan-gangguan dianggap kecil maka persamaan 3.35 dapat dituliskan sebagai

berikut:

∑

_• • _• • ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ θ θ θ

θx x

x x x x F F w w F w w F u u F

F ...(3.36)

Dengan mengalikan dan membagikan tiap suku dengan U maka persamaan 3.36 ₀

menjadi

∑

• • • • ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U F U U F U U w w F U U w w F U U u u F U

F x x x x x

x

θ θ θ

θ ...(3.37)

Rasio

U w U

u _{, dan} U

w• _{dan didefenisikan sebagai:}

Dengan mensubstitusikannya ke persamaan 3.37 maka akan didapat hasil

∑

_• • _• • ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ θ θ θ θ α

α x x x

x x x F F w F w F u u F U

F ' ' ' ...(3.38)

Dimana α α ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂

∂ x x Fx Fx U w F w F U '

/ dan 1

' ≡ ∂ ∂

αα

Maka dari persamaan 3.32 yang menyatakan bahwa :

• • • • = =       = = ∆

∑

mU u

U u mU U U u m u m

F_x ( ) '

Dengan mensubstitusi pernyataan untuk

∑

∆F_x pada persamaan 3.38, dengan

mengambil suku disebelah kanan dan membagikannya dengan Sq persamamaan untuk

gaya pada sumbu x menjadi:

Sq F F Sq F Sq F Sq F Sq u u F Sq U u Sq

mU x x x x x = xa

∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − _• • _• • θ θ α α α α 1 1 1 ' 1 '

' ...(3.39)

Dimana a

x

F adalah gaya aerodinamika yang berasal dari sumbu x. S adalah luas

sayap, q= 2 2 1

V

ρ tekanan dinamik danρ adalah massa jenis udara.

Substitusi untuk ∂Fx_{∂θ dari persamaan 3.33 dan mengalikan serta} membagikan suku keempat dan kelima dari persamaan 3.39 dengan c/2U , dimana c

adalah panjang busur aerodinamik maka persamaan 3.39 menjadi:

+ Θ − ∂ ∂           − ∂ ∂ − ∂ ∂ − _• • • θ α α α

α ' (cos )

2 1 2 ' 1 ' ' Sq mg F c U Sq U c F Sq u u F Sq U u Sq

mU x x x

a x a F x x C Sq F F c U Sq U c = = ∂ ∂           • • θ θ 2 1

Kadang-kadang

Sq mg

disimbolkan sebagai -C sehingga persamaan 3.40 _w

menjadi − Θ + − − − • • • α θ α α

α' ₂ ' (cos )

'

' x x Cx Cw

U c C u C u Sq mU

u Cxq CFxa

U c

=

•

θ

2 …(3.41)

Biasanya F dan _z

M

dapat diselesaikan. Pernyataan untuk F dinyatakan _z

dalam bentuk sebagai berikut:

• • • • ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ θ θ θ

θz z

z z z z F F w w F w w F u u F F …(3.42)

Dengan mengalikan dan membagikan setiap suku dengan U dan menggunakan

defenisi dari rasio yang telah didefenisikan sebelumnya maka persamaan 3.42 dapat

dituliskan menjadi :

• • • • ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆

∑

θ θ θ θ α α α

αz z z z

z z F F F F u u F U F ' …(3.43)

Dari persamaan 3.32

∑

∆F_z =m(w•−Uθ•)

∑

∆ = • U −Uθ• =mU α•−mUθ•

U w m

F_z ( ) ' ...(3.44)

Substitusi persamaan 3.44 ke persamaan 3.43 dan mengalikannnya dengan Sq akan

menghasilkan :

 

Dengan menggunakan koefisien yang terdapat pada tabel L.1 (terdapat pada lampiran)

maka persamaan 3.45 menjadi :

a z q

u z z z w F

x C C C

U c Sq mU C C U c Sq mU u

C − Θ =

   _{− −} + −     ₋ + − _• α• _α α θ• θ α ) (sin 2 ' ' 2 ' ...(3.46)

Persamaan untuk moment dapat dituliskan sebagai:

∑

∆

M

= _• • _• •

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ _θ θ M M M M w w w w u

u … (3.47)

Dengan mengalikan dan membagi tiga dari suku pertama dengan U dan

menggunakan defenisi yang telah ditetapkan sebelumnya maka persamaan 3.47 dapat

dituliskan kembali sebagai:

a m y C Sqc Sqc Sqc I Sqc Sqc u u Sqc u = = ∂ ∂ − + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂

− M M_• • M •• M_• • Ma

θ θ θ α α α α 1 ' 1 1 ' ...(3.48)

Dengan menggunakan koefisien yang terdapat pada table L.1 maka persamaan 3.48

menjadi :

a q

u m m

y m

m

m C C

U c Sqc I C C U c u

C − − + − =

− _• α• α α θ•• θ•

α 2

' '

2

' ...(3.49)

Persamaan 3.41, 3.46 dan 3.49 adalah persamaan untuk gerak longitudinal pada

a Fx w xq X x

xu C C C

U c C C U c u C u Sq mU =    _{− − Θ} +      _{− −} +     •₋ • • θ θ α α α

α (cos )

2 ' ' 2 ' ' α θ θ α α α

α z zq w Fz

zs

zu C C C

U c Sq mU C C U c Sq mU U

C =

     Θ −    _{− −} +       −     ₋ +

− • • • (sin )

2 ' ' 2 ) ' (

(

)

_   ₋ +      _{− −} + − _• α• _α α θ•• θ• α q u m y m m m C U c Sqc I C C U c u C 2 ' ' 2 ' = a m

C

...(3.40)

Persamaan ini mengasumsikan bahwa :

1. Sumbu X dan Z terletak pada bidang simetris dan ttitik asal sumbu sistem

terletak pusat berat dari pesawat (dapat dilihat pada gambar 3.2)

2. Massa pesawat adalah konstan

3. Pesawat adalah benda tegar

4. Bumi adalah kerangka acuan inersial

5. Gangguan pada pesawat dianggap kecil

6. Aliran udara adalah quasisteady

Dengan mentransformasikan persamaan 3.40 ke transformasi laplace maka persamaan

3.40 serta dengan mengabaikan suku-suku

• α x C , q x

C , dan u

m

C persamaan tersebut

akan menjadi :

0 = Θ − −   

 _{− ' ( ) ' ( ) (cos ) ( )} s C s C s u C s Sq mU w x

xu α α θ

( )

0

2

2 _ =

    Θ −    − ₋ +       −     ₋ +

− ' ( ) _• ' C s C (sin ) (s)

U c Sq mU s C s C U c Sq mU s u

C_{z z z z w}

q

u α α θ

[image:45.595.143.455.86.240.2]

Gambar 3.2.Gerak Longitudinal Pesawat

III.3 Permodelan dan penurunan fungsi alih

Data fisik pesawat F-16 yang mendukung analisa gerak longitudinal adalah :

Massa pesawat (m) = 9295.4 kg

Panjang sayap pesawat (B) = 9.144 m

Luas Sayap (S) = 27.87 m 2

Busur aerodinamik rata-rata ( c ) = 3.45 m

Momen inersia gerak mengguling

(roll) (I ) _x = 12874.8 kg.m2 Momen inersia ketinggian (pitch)

(I_y) = 75673.6 kg.m2

Momen inersia gerak menggeleng

(yaw) (I ) _z = 85552.1kg.m2 Produk momen inersia (I_xz) = 1331.4 Produk momen inersia (I_xy) = 0.0

Lokasi pusat titik berat pesawat

(x_cg) = 1.035 m

Kecepatan Jelajah Pesawat (U) = 1.2 Mach

Data Fisik pesawat berasal dari (Sonneveldt,Lars, Non-linier F-16 description ,Delft

University) .

F-16 beroperasi pada range ketinggian 9000-12000 m dan memiliki kecepatan

maksimum 2.2 mach (2.2 kecepatan suara) (sumber; penelitian ini, diasumsikan bahwa pesawat beroperasi pada ketinggian 10.000 m

dengan kecepatan jelajah 1.2 mach. untuk itu maka diperlukan menggunakan data

atmosfer data ini bersumber dari "Sonneveldt,Lars, Non-linier F-16 description ,Delft

University".

Data Atmosfer :

h T

T = ₀ −0.0065

h T g e 28705 0 .

− =ρ ρ

T

a= 1.4×287.05 ...(3.42) Dengan :

3 0 =1.225kg/m

ρ (massa jenis udara pada permukaan air laut)

K

T₀ =288.15 (Suhu Udara pada permukaan laut)

h< 11000 m

a= kecepatan suara

h T g e 28705 0 .

− =ρ ρ

= 1.225

000 10 15 223 05 287

8 9

. ) . ( .

.

− e

= 0.265275 kg/m3

T a= 1.4×287.05

= 1.4×287.05(223.15) = 299.46 m/s

Dengan demikian kecepatan pesawat adalah :

U = 1.2(299.46)

= 359.352 m/s

Koefisien-koefisien aerodinamika dari pesawat adalah :

Cx_u =

-

0.12

a

x

C = -2.3163

w

C = 0.33

u

z

C =-0.66

c I_t

= 2.89

•

α

Z

C = 0.04

α

z

C =0.4

q z

C = -9.28

•

α

m

C = 0.0327

q m

C =-7.051 C_mα=-0.0448

2

2 1

= 0265275 359352 2 2 1 ) . ( .

= 17128 kg/ms2

08762 12. = Sq mU 0002 0 2U CZ_α• = .

c

045 0 2U Czq =− .

c • α m C U c 2 =0.00015697 0337 0 2 Cmq =− .

U c 04594 0. = Sqc I_y

Koefisien-koefisien aerodinamika diatas didapatkan berdasarkan data fisik dari

pesawat.

− − Θ =0

  

 _{s−C 'u(s) C ' (s) C (cos ) (s)} Sq

mU

w x

xu α α θ

( )

0

2

2 _ =

    Θ −    − ₋ +       −     ₋ +

− ' ( ) _• ' C s C (sin ) (s)

U c Sq mU s C s C U c Sq mU s u

C_{z z z z w}

q

u α α θ

α

( )

( )

0

2 ' 2 2 ₌     − +         −

• _U C s s

c s Sqc I s C s C U c q m y m

m _α α θ

α

(12.08762s+0.12)'u(s) + 2.3163'α(s) - 0.33 θ(s)=0 )

( ' .66u s

0

− + (12.08742s-0.04)'α(s)-12.04262sθ(s) = 0

0+(0.00015697s+0.048)'α(s)+(0,046s +0.0337s)2 θ(s)=0 ...(3.43)

Persamaan 3.43 adalah persamaan linier simultan yang mempunyai variabel-variabel

sehingga persamaan 3.43 dapat ditulis dalam bentuk matriks, determinan dari matriks

tersebut harus sama dengan nol.

0 ) 0337 . 0 046 . 0 ( ) 0048 . 0 00015697 . 0 ( 0 04262 . 12 ) 04 . 0 08742 . 12 ( 66 . 0 33 . 0 31613 . 2 ) 12 . 0 08762 . 12 ( 2 = + + − − − − + = ∇ s s s s s s ...(3.44)

Determinan dari matriks pada persamaan 3.44 dapat dicari dengan aturan Crammer,

yaitu:

(

+

)(

{

−

)

+ − − +

}

−

=

∇ 12.08762s 0.12 12.08742s 0.04(0.046s2 0.0337s) ( 12.04262)(0.00015697s 0.048)

(

)

{

0.66(0.046 0.0337 )

}

(

0.33

) (

{

0.66

)

(0.00015697 0.048)

}

0 )

3663 . 2

( − s2 + s + − − s+ = _...(3.45)

0 105 . 0 583 . 0 089 . 7 997 . 4 72072 .

6 4 + 3+ 2 + + =

=

∇ s s s s ...(3.46)

dengan membagikan persamaan 3.46 maka dengan 6.72072 maka akan didapat :

015623 . 0 08675 . 0 055 . 1 744 .

0 3 2

4_{+ + + +}

=

∇ s s s s ...(3.47)

Dengan menyusun kembali akar-akar persamaan tersebut maka akan didapat

dua bentuk kuadratis dari persamaan 3.47 yaitu:

Akan tetapi bentuk kuadratik untuk mengindikasikan frekuensi natural ω_ndan rasio

redaman ζ adalah (s2 +2ζω_ns+ω_n2) dengan menggunakan defenisi ini pada persamaan 3.48 menjadi :

(s2+2ζ_sω_nss+ω_ns2)(s2+2ζ_sω_nps+ω_np2 ) ...(3.49) dengan

= p

ζ koefisien redaman phogoid =

s

ζ koefisien redaman osilasi periode pendek (short-period oscillation) =

ns

ω frekuensi natural osilasi periode pendek

=

np

ω frekuensi natural phugiod

Dari persamaan diatas maka dapat dilihat bahwa :

=

s

ζ 0.994 =

ns

ω 0.334

= p

ζ 0.126

=

np

koefisien-koefisien tersebut adalah untuk e m

C _δ =-0.2094 dan untuk e z

C _δ =-0.0725 dan

e

x

C _δ diabaikan. Dengan menggunakan persamaan 3.43 dan mensubstitusi

harga-harga koefisien dari e m

C _δ dan e z

C _δ maka akan didapatkan

(12.08762s+0.12)'u(s) + 2.3163'α(s) - 0.33 θ(s)=0 )

( ' .66u s

0

− + (12.08742s-0.04)'α(s)-12.04262sθ(s) = -0.0725δ_e(s)

(0.00015697s+0.048)'α(s)+(0,046s + 0.0337s)2 θ(s) =-0.2094 δ_e(s) ...(3.50)

dengan δ_e adalah defleksi dari elevator yang dinyatakan dalam radian.

Fungsi transfer dinamik dari kontrol kecepatan dari persamaan diatas dengan

e

δ sebagai input dan 'u(s) sebagai output didapat dengan menggunakan metode determinan yaitu :

∇ + + − − − − −

= s s s

s s s s u e 0337 . 0 046 . 0 048 . 0 00015697 . 0 2094 . 0 04262 . 12 04 . 0 08742 . 12 0725 . 0 33 . 0 3163 . 2 0 ) ( ) ( ' 2

δ ...(3.51)

dengan∇ adalah determinan dari matriks persamaan 3.44 dan hasilnya diberikan oleh

persamaan 3.46.

∇=6.72072

(

s2+0.6634s+0.9878

)(

s2+0.0772s+0.01582

)

...(3.52)

) 01582 . 0 0772 . 0 )( 9878 . 0 6634 . 0 ( 72072 . 6 ) 24 . 1 86 . 864 ( 00774 . 0 ) ( ) ( ' 2 2 2 + + + + + − = s s s s s s s s u e

δ ...(3.53)

atau dapat juga dituliskan sebagai :

) 01582 . 0 0772 . 0 )( 9878 . 0 6634 . 0 ( ) 0014 . 0 )( 86 . 864 ( 001152 . 0 ) ( ) ( ' 2

2 _{+ + + +}

− − = s s s s s s s s u e

δ ...(3.54)

Fungsi alih dinamik untuk kontrol sudut serang dengan fungsi masukan adalah

defleksi elevator adalah :

∇ + − − − − − +

= s s

s s s s e 037 . 0 096 . 0 2094 . 0 0 04262 . 12 0725 . 0 66 . 0 33 . 0 0 12 . 0 08762 . 12 ) ( ) ( ' 2

δα ...(3.55)

) 01582 . 0 0772 . 0 )( 9878 . 0 6634 . 0 ( ) 00845 . 0 184 . 0 )( 0793 . 362 ( 08413 . 0 ) ( ) ( ' 2 2 2 + + + + + + + − = s s s s s s s s s e

δα ...(3.56)

Untuk masukan δ_e dan keluaran θ maka fungsi alihnya adalah :

∇ − + − − − +

= 0 0.00015697 0.048 0.2094

0725 . 0 04 . 0 08742 . 12 66 . 0 0 31613 . 2 12 . 0 08762 . 12 ) ( ) ( s s s s s e

δθ ...(3.57)

) 01582 . 0 0772 . 0 )( 9878 . 0 6634 . 0 ( ) 1290 . 0 )( 1240 . 0 ( 58 . 4 ) ( ) ( 2

2 _{+ + + +}

+ − − = s s s s s s s s e

III.4.1.Pendekatan Osilasi Periode Pendek (Short – Period Approximation).

Pendekatan periode osilasi pendek digunakan dengan mengasumsikan

kecepatan pesawat konstan sehingga 'u = 0 pada persamaan gerak. Persamaan gerak

yang mengarah pada sumbu X dapat diabaikan karena tidak memiliki kontribusi yang

berarti pada osilasi periode pendek (short-period oscillation), karena gaya pada

sumbu X mempengaruhi laju dari pesawat. Dengan asumsi ini dan mengabaikan

• α z C dan q z

C dan menyisipkan nilai-nilai dari e m

C _δ dan e z

C _δ maka persamaan 3.41

menjadi :

( )

(sin ) ( ) 0

'

2 _ =

    _{− Θ}     − +         −        

− _• s C s

Sq mU s C s C U c Sq mU w z

z _α α θ

α

( )

( )

0

2 ' 2 2 ₌     − +         −

• _U C s s

c s Sqc I s C s C U c q m y m

m _α α θ

α

...(3.59)

lalu dengan menganggap Θ=0 dan menuliskan persamaan 3.59 ke dalam bentuk

matriks maka persamaan tersebut akan menjadi :