Simulasi Sebaran Waktu Antar Kedatangan Pada Model Antrian Tunggal

SIMULASI SEBARANWAI<TU ANTAR KEDATANGAN

PADA MODEL ANTRIAN TUNGGAL

IQBAL RIDZI FAHDRI EL YAZAR

•

U

JURUSAN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERT ANIAN BOGOR

RINGKASAN

IQBAL RIDZI FAHDRI ELYAZAR Simulasi Sebaran Waktu Antar Kedatangan Pada Model Antrian Tunggal (Simulation on InteraITival Time Distribution to Single Queueing Model).

Dibimbing oleh AHMAD ANSORI MATIJIK sebagai ketua serta ERFIANI dan MUHAMMAD SY AMSUN sebagai anggota.

Penelitian ini mensimulasikan sebaran waktu antar kedatangan pada model antrian (M/M/1) : (GD/oo/oo) dengan sebaran Gamma, Weibull dan Normal karena tidak selamanya proses kedatangan dan/ atau waktu pelayanan mengikuti sebaran Eksponensial. Simulasi dilakukan dengan program SLAM II. .

Perbedaan sebaran waktu antar kedatangan selain Eksponensial ternyata memberikan pengaruh terhadap penentuan nilai Lq. Pengguna model antrian harus terlebih dahulu menentukan sebaran waktu antar kedatangan. Apabila sebaran waktu antar kedatangan tidak menyebar Eksponensial maka pengguna tidak boleh memaksakan untuk menggunakan karakteristik antrian yang diperoleh dari pemodelan teoritik.

Pengasumsian Eksponensial memberikan pendugaan Lq yang lebih tinggi dibandingkan dengan simulasi sebaran Gamma (<1." 1,

P " 1), namun memberikan pendugaan Lq yang lebih

SIMULASISEBARANWAKTU ANTARKEDATANGAN

PADA MODEL ANTRIAN

TUNG GAL

IQBAL RIDZI FAHDRI ELYAZAR

Skripsi

Sebagai salah satu syarat memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Jurusan Statistika

JURUSAN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

ｾ＠

<>

1998 y' ［ＬＬ｜ｐｉＮｾａＢＬ＠

/" ｾＹ＠ ＯｾＬ＠

Judul

Nalna

NRP

Simulasi Sebaran Wakhl Antal' Kedatangan Pada Model AnlTian T1Ulggal

Iqbal Ridzi Fahdri Elyazar

G 30.1845

Menyetuju.i,

c

---Dr. IT. H. Ahmad

ａｮｳｯｲｾ＠

Pembi.mbing I

ｾｾａＭｦＭｾ＠

Dr. Ix. M u.hanunad Svams'lil K., Msc. Pembi.mbing III

RIWAYATHIDUP

Pentilis dUalrirkan di Padang, Sumatera Barat pada tanggaI12 Jull 1975 sebagai anak tunggal dari pasangan Amri Nurdin, SH dan Sri Soewartri Danamidjaja.

Tahun 1993 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Padang dan tahun yang sama diterima di lnstitut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Pada tahun 1994 pentilis masuk jurusan Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama perkullahan penulis aktif terlibat dalam kegiatan kemahasiswaan seperti menjadi Ketua Organisasi Mahasiswa Angkatan 30 IPB, Ketua I SM FMlP A periode 1995-1996, dan Presidium SM IPB periode 1996-1997.

PRAKATA

PUji syukur pentilis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Topik yang dipilih daIam tulisan ini adalah teori antrian, dengan judul Simulasi Sebaran Waktu Antar Kedatangan Pada Model Antrian Tunggal.

Terima kasih pentilis ucapkan kepada berbagai pihak yang telah membantu penyelesaian karya ilmiah ini, antara lain :

1. Papa dan Mama atas doa, puasa dan kasih sayang yang tiada terbatas daIam setiap aktivitas ananda.

2. Adinda Irene atas segala doa, kasih sayang, kelembutan dan keteguhan sampai detik ini.

3. Bapak Dr. Ir. H. Ahmad Ansori Mattjik, lbu Ir. Erfiani, MS., dan Bapak Dr. Ir. Muhammad Syamsun K., Msc. selaku pembimbing.

4. Bapak Dr. Ir. Amril Aman, Yuni Karlina, dan Cecep dari Jurusan Matematika FMIPA atas perangkat lunak Statfit dan SLAMnya. Andy Prabowo dan Lufie atas segala bantuan dan persahabatannya yang tulus.

5. Mas Yusuf, Mas Karebet, Mas Ivan dan saudara-saudara di FOKlP atas persaudaraan yang tulus.

6. Semua rekan-rekanku di DC-7 mulai dari tahun 1993 -1998

7. Sahabat-sahabat terbaik di Jurusan Statistika, terutama Yasmin dan Andriansyah

(Quantitative Analyst) atas pinjaman komputernya. Staf Tata Usaha dan Perpustakaan Jurusan yang telah berjasa banyak dalam perjalanan studi pentilis.

Pentilis berharap karya ilmiah ini dapat bermanfaat. Semoga.

Bogor, Agustus 1998

DAFTARISI

Halaman

DAFTAR TABEL ...

v

DAFT AR GAMBAR ... , ... , ... V DAFTARLAMPIRAN ... V PENDAHULUAN ... 1

T1NJAUAN PUST AKA Pemodelan Antrian (M/M/l): (GD/oo/oo) ... .... 1

Proses Kelahiran- Kematian ... 2

Proses Poisson ... _... ... 3

Sebaran Waktu Antar Kedatangan ... ... ... ... ... ... .... ... ... 4

Program Simulasi SLAM II ... ... 5

Pengujian Pembangkitan Bilangan Acak ... .... 6

Penentuan Kondisi Awal Simulasi ... 6

Penentuan Lama dan Banyak ｾ･ｰｬｩｫ｡ｳｩ＠ ... 6

Analisis Kepekaan ... 6

Prosedur Statistika untuk Membandingkan Data Teoritik dengan Data Hasil Simulasi ... 6

DATA DAN METODE Data ... 7

Metode ... 7

HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil Pengujian Pembangkitan Bilangan Acak untuk SLAM II ... 8

Hasil Pengujian Kesalingbebasan dan Kestasioneran Data... 8

Hasil Simulasi untuk Sebaran Gamma... 8

HasilSimulasi untukSebaran Weibull... 10

Hasil Simulasi untuk Sebaran Normal... ... ... ... ... ... .... 12

KESIMPULAN DAN SARAN ... ... ... ... ... ... 14

DAFT AR PUST AKA ... 14

LAMPIRAN ... 15

"'

ｾ

Ｇｾ＠

\pIKA'; "

.,<>

n-A "

ｾ

ｾｾ｜＼ｩｾＮｾＬＨ＠ .• \ I. ｉｖｉｾｩＧ＠

ｾｾＬ＠ " "',

'$-;r.':j",,"":

Ｍｾ＠

. Ｎ［ｾｾＮ＠ ' 0 ｾ＠ ,*

(J ,. /

J,,"" I i

,

.. IJ

, 9 ｾｬ＠

Ｇｾ＠ ａｬＡｬ＿ｰＢＢＢｾＬＬＬＧｬｬ＠ i"\' -J

ｾｾｾｾＭＭＧＯ＠

DAFTARTABEL

Halaman

1. Notasimodelantrian ... 1

2. Penjelasan darikarakteristik sistem antrian ... 2

3. Keterangan node SLAM II ... ... 7

4. Hasil Pengujian Pembangkitan Bilangan Acak untuk SLAM II ... ... ... 8

5. Proporsi pendugaan untuk sebaran Gamma ( a. 2: 1,

J3 "

1 ) ... ... ... ... ... 9

6. Rata-rata Lq Gamma ( a. 2: 1, J3 2: 1 ) dan pengasumsian Eksponensial ... ... ... 9

7. Faktor utilisasi Gamma ( a. 2: 1,

J3

2: 1 ) ... ... ... ... 9

8. Proporsi pendugaan untuk sebaran Gamma ( a. < 1,

J3

> 1 ) ... ,.. 9

9. Rata-rata Lq Gamma (a. < 1, J3 > 1) dan pengasumsian Eksponensial ... 10

10. Faktor utilisasi Gamma (a. < 1, J3 > 1) ... 10

11. Proporsi pendugaan untuk sebaran Weibull (a." 1, J3 " 1) ... 10

12. Rata-rata Lq Weibull (a. 2: 1, J3 2: 1) dan pengasumsian Eksponensial ... 11

13. Faktor utilisasi Weibull (a." 1, J3" 1) ... ... ... 11

14. Proporsi pendugaan untuk sebaran Weibull (a. < 1,

J3"

1 ) ...•... 11

15. Rata-rata Lq Weibull (a. < 1, J3" 1) danpengasumsian Eksponensial ... 12

16. Faktor utilisasi Weibull (a. < 1, J3" 1) ... ... 12

17. Proporsi pendugaan untuk sebaran Normal ... 13

18. Rata-rata Lq Normal dan pengasumsian Eksponensial ... 13

19. Faktor utilisasi Normal ... ... 13

DAFTARGAMBAR Halaman I. Node CREATE, QUEUE,jalur ACTN1TY, TERMINATE, COLCT ... 5

DAFTAR LAMPlRAN Halaman 1. Teladan diagram jaringan grafis, perintah eksekusi program untuk sebaran wak-tu antar kedatangan Normal (2,1) dan sebaran wakwak-tu pelayanan Eksponensial (1)... 15

2. Teladan keluaran SLAM II untuk sebaran waktu antar kedatangan Normal (2,1) dan sebaran waktu pelayanan Eksponensial (1) ... ... .... ... ... 16

3. Hasil pengujian kesalingbebasan data simulasi ... 17

4. A. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk sebaran Gamma ( a." 1, J3 " 1 ) ... 18

B. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk sebaran Gamma ( a. < 1, J3 "1) ... 18

C. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk sebaran Weibull (a." 1,

J3"

1) ... 18

D. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk sebaran Weibull ( a. < 1, J3 "1) ... 18

E. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk Normal ( J.1 > 1, (J > 1 ) ... ... ... 18

5. Plot analisis kepekaan untuk sebaran Gamma (a." 1, J3" 1 ) ... 19

6. A. Korelasi Gamma ( a. " 1, J3 " 1 ) dengan pengasumsian Eksponensial ... 21

B. Korelasi Gamma (a. < 1,

J3

> 1) dengan pengasumsian Eksponensial ... 21

C. Korelasi Weibull (a." 1, J3 2: 1) dengan pengasumsian Eksponensial ... 21

D. Korelasi Weibull (a. < 1, J3" 1) dengan pengasumsian Eksponensial ... 21

E. Korelasi Normal dengan pengasumsian Eksponensial ... 21

7. Plot analisis kepekaan untuk sebaran Gamma (a. < 1, J3 > 1 ) ... 22

8. Plot analisis kepekaan untuk sebaran Weibull (a. 2: 1, J3 "1) ... 24

9. Plot analisis kepekaan untuk sebaran Weibull (a. < 1, J3" 1) ... 26

PENDAHULUAN

Pemodelan antrian pada umumnya

menggunakan asumsi bahwa proses

kedatangan dan/ atau waktu pelayanan

mengikuti sebaran Eksponensial Asumsi ini

melandasi pembentukan proses kelahiran-kematian. Penurunan persamaan dati proses kelahiran-kematian ini menghasilkan berbagai

karakteristik sistem antrian. Namun

kenyataannya, proses kedatangan dan/ atau waktu pelayanan tidak selamanya mengikuti sebaran Eksponensial Hal ini menyebabkan analisis hasil pemodelan antrian menjadi semakin kompleks dan suut untuk dikerjakan (Hillier dan Lieberman, 1989). Solusi model ini

menurut WUlSton (1994) membutuhkan

formulasi model matematis tingkat lanjut

untuk memodifikasi proses

kelahiran-kematian (modified birth and death process).

Taha (1992) menyarankan untuk

menggtmakan silnulasi dalam mengatasi pel'masalahan ini

Apabila persamaan baku model antrian

yang menggunakan asumsi proses

kedatangan dan/ atau waktu pelayanan

menyebar Eksponensial tetap dipaksakan untuk digunakan maka akan dihasilkan kesilnpulan yang tidak valid. Kegagalan untuk menenhikan sebaran yang tepat dati proses-proses itu dapat juga mempengaruhi ketepatan hasil model antrian (Law dan Kelton, 1991).

Tujuan peneutian ini adalah untuk :

o

Memverifikasi pengaruh sebaran waktu antar kedatangan selain Eksponensial terhadap karakteristik antrian tunggal (M/M/1) dengan (a/M/1) dilnana a dapat mengikuti sebaran Gamma, Weibull dan Normal

l!l Menentukan apakah terdapat pola dati penetapan parameter sebaran terhadap salah satu karakteristik antrian yaitu rata-rata banyaknya unit kedatangan yang menunggu per unit waktu (Lq).

TINJAUANPUSTAKA

Pemodelan Anman (M/M/l) : (GD/co/co)

1

Antrian terjadi apabila unit-unit yang membutuhkan pelayanan tidak dapat dilayani

langsung (Trueman, 1974). Bentuk model

antrian distandarisasikan dengan notasi Kendall-Lee sebagai (a/b/c) : (d/e/f) seperti yang terlihat pada tabel1.

Tabel1. Notasimodel antrian

e Jumlah maksilnum yang masih

dapat diterilna oleh sistem (dalam antrian dan

Asumsi yang sering dipergunakan dalam pemodelan antrian adalah :

o

Sebaran waktu antar kedatangan dan

waktu pelayanan menyebar Eksponensial

l!l Disiplin antrian dinyatakan dengan

sembarang disiplin (GD = general

discipline).

4il Kapasitas antrian sangat besar (tak terbatas)

(I Populasi sumber input berukuran tak

terbatas dimana jumlah kedatangan

potensial tidak bergantung dati banyaknya unit yang sedang berada dalam sistem antrian (Trueman, 1974).

@ Unit kedatangan dianggap berperilaku

sabar selama menunggu untuk dilayani

(Trueman, 1974). Apabila pelayanan

sedang sibuk, maka hanya akan terjadi fenomena blocking. Fenomena jockeying,

｢｡ｬｾｩｮｧ＠ dan reneging seringkali diasumsikan

tidak terjadi dalam sis tem.

karakteristik antrian dan penjelasannya (lihat Tabe12) sebagai berikut:

Lim

j

ＮＺｎＺＢＺＨｃＺＺｾＺＮｌＩＮＺＺ､］Ｍ

u = L; t -> '"

o

Lim A (t) = A; t -> '"

t

• w.

LimL __ J ］ｗ［ｮｾ＠ co

j'" 1 n·

I

t N (u)du

Lim qt =Lq;t-).cc

o

n D

LimL - q =Wq;n-> co

o n

Lim! N ,(u)du = L,;t -> 0::

o t

n S. 1 1

LimI _J = - =-;n ---7 cc

o n J..l Ws

Karakteristik antrian untuk {M/M/1}

(GD

/00/

oo) selama kondisi stabil yaitu:

L = Lq+Ls

L = A' / (J.l (J.l-All + /..IJ.l

W= Wq+Ws W = Lq/A + LsjA

Hubungan umum antara banyaknya unit dengan waktu yang dipergunakan oleh unit itu dinyatakan oleh fonnula antrian Little (Winston, 1994) yaitu:

Untuk setiap sistem antrian pada kondis· stabil, terdapat hubungan berikut :

L = AW

Lq = AWq

L. = AWS

Tabe12 Penjelasan karakteristik sistem antrian

L

Ws

rata-rata

kedatangan yang menunggu per

rata-rata banyaknya unit

kedatangan yang sedang dilayani unitwaktu rata-rata kedatangan rata-rata antrian tmit

yang memasuki

waktu dalam

waktu berada dalam

antrian per unit

Proses Kelahiran-Kematian

2

Model dasar antrian menganggap bal1wa proses kedatangan dan keberangkatan terjadi menurut proses kelalriran-kematian (birlh and dealh process).

Misalkan ada sistem antrian (M/M/1) : (FCFS/

00/

oo). Jika slate (banyaknya orang yang telah ada dalam waktu t) adalm j, maka

sifat tak mempunyai ingatan dari

Eksponensia! mengimplikasikan bmwa

peluang satu kedatangan terjadi dalam interval [t, t+s] tidak akan tergantung kepada telah berapa lama j orang itu berada di dalam sistem dan dapat saja dinyatakan bmwa seolah-olah baru satu kedatangan yang te'jadi padawaktut

Jadi apabila waktu antar kedatangan tidak

menyebar Eksponensial maka proses

Proses Poisson

Proses Poisson berperanan penting dalam memodelkan unit kedatangan yang acak (Wolf,I989).

Misalkan interval waktu [O,t] diliagi atas n interval yang sarna panjangnya (llt). Untuk setiap interval asumsikan bahwa hanya satu kedatangan yang dapat tetjadi dan tidak pemah lebih dati satu. Peluang terdapatnya satu kedatangan dalam interval yang kecil itu mengikuti fungsi peluang Bernoulli (p). Peluang ini besamya sarna untuk setiap interval Misalkan A = np adalah banyaknya kedatangan harapan dalam interval [O,t]. Maka banyaknya kedatangan (k) dalam interval [O,t] itu dapat dinyatakan dalam fungsi peluang Binomial

P(k I n,p) = C(n,p) pk (I_p)n.k

Misalkan dilakukan perbandingan antara :

P(k+ll n,p) = C(n,p) pk+! (I-p)n·k.! P(k I n,p) C(n,p) pk(I_p)n.k

(n-k)(p /I-p)/ (k+ 1)

sehingga diperoleh persamaan :

P(k+I I n,p) = (n-k)(p/I-p)/(k+I) X P(k I n,p)

Untuk k

=

0, maka :

P(I I n,p) = (np /I-p) P(O I n,p)

(A/I- (')../n» e"

Apabila M dipilih sekecil mungkin

sehingga ')../ n = p juga semakin kecil, maka akan diperoleh untuk k kedatangan dalam satu unit waktu :

P(k I

n,p)

=

"k

e

-')k!

Terlihat bahwa P(N(I) = k) mengikuti sebaran Poisson. Kalau selama t unit waktu, maka P(N(t) = k) adalah:

P(k I n,p) = (At) k e -).'/k!

3

Misalkan kita merancang bahwa waktu kedatangan itu dimulai dati t = 0. Kemudian akan ditentukan sebaran dati peubah acak T

yang dinyatakan sebagai waktu dati

kedatangan sebelum ke waktu kedatangan yang berikutnya Sebaran itu dinamakan sebagai sebaran waktu antar kedatangan. Misalkan k = 0, maka poet) = e

.'t.

Maka P! (t)

= 1 - poet) = 1 - e

.'t.

Ternhat bahwa persamaan itu sarna dengan fungsi sebaran Eksponensial

Suatu proses stokastik {N(t), t <: O} dikatakan menjadi proses Poisson jika :

o

Hanya satu kedatangan yang tetjadi pada satu waktu.

$ N(t+s) - N(t) atau banyaknya kedatangan yang tetjadi dalam interval waktu (t,t+s) saling bebas terhadap {N(u), 0,; u'; t}.

$ Sebaran N(t+s) - N(t) bebas terhadap t untuk semua 1, s <: 0.

Pada kenyataannya persyaratan proses

Poisson dapat saja terlanggar apabila :

o

Unit datang secara bergerombol (batch). $ Suatu kedatangan yang cukup besar tetjadi

pada [O,t] sehingga unit yang datang pada (t,t+s] tidak jadimemasukisistem antrian.

$ Ada pengaruh waktu-waktu sfunk (peak time)

Dalam Law dan Kelton (1991) terdapat

teorema mengenai proses Poisson yaitu :

Teoremal

Jika {N(t), t <: O} adalah suatu proses Poisson, maka banyaknya kedatangan pada suatu interval waktu sepanjang s merupakan peubah acak Poisson dengan parameter f..s dimana ').. > 0, jadi :

P (N(/+s) -N(t)

=

k)

=

e .)., (k)kjk!

untuk k,1,s <:

°

Teorema2

SIMULASI SEBARANWAI<TU ANTAR KEDATANGAN

PADA MODEL ANTRIAN TUNGGAL

IQBAL RIDZI FAHDRI EL YAZAR

•

U

JURUSAN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERT ANIAN BOGOR

RINGKASAN

IQBAL RIDZI FAHDRI ELYAZAR Simulasi Sebaran Waktu Antar Kedatangan Pada Model Antrian Tunggal (Simulation on InteraITival Time Distribution to Single Queueing Model).

Dibimbing oleh AHMAD ANSORI MATIJIK sebagai ketua serta ERFIANI dan MUHAMMAD SY AMSUN sebagai anggota.

Penelitian ini mensimulasikan sebaran waktu antar kedatangan pada model antrian (M/M/1) : (GD/oo/oo) dengan sebaran Gamma, Weibull dan Normal karena tidak selamanya proses kedatangan dan/ atau waktu pelayanan mengikuti sebaran Eksponensial. Simulasi dilakukan dengan program SLAM II. .

Perbedaan sebaran waktu antar kedatangan selain Eksponensial ternyata memberikan pengaruh terhadap penentuan nilai Lq. Pengguna model antrian harus terlebih dahulu menentukan sebaran waktu antar kedatangan. Apabila sebaran waktu antar kedatangan tidak menyebar Eksponensial maka pengguna tidak boleh memaksakan untuk menggunakan karakteristik antrian yang diperoleh dari pemodelan teoritik.

Pengasumsian Eksponensial memberikan pendugaan Lq yang lebih tinggi dibandingkan dengan simulasi sebaran Gamma (<1." 1,

P " 1), namun memberikan pendugaan Lq yang lebih

SIMULASISEBARANWAKTU ANTARKEDATANGAN

PADA MODEL ANTRIAN

TUNG GAL

IQBAL RIDZI FAHDRI ELYAZAR

Skripsi

Sebagai salah satu syarat memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Jurusan Statistika

JURUSAN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

ｾ＠

<>

1998 y' ［ＬＬ｜ｐｉＮｾａＢＬ＠

/" ｾＹ＠ ＯｾＬ＠

Judul

Nalna

NRP

Simulasi Sebaran Wakhl Antal' Kedatangan Pada Model AnlTian T1Ulggal

Iqbal Ridzi Fahdri Elyazar

G 30.1845

Menyetuju.i,

c

---Dr. IT. H. Ahmad

ａｮｳｯｲｾ＠

Pembi.mbing I

ｾｾａＭｦＭｾ＠

Dr. Ix. M u.hanunad Svams'lil K., Msc. Pembi.mbing III

RIWAYATHIDUP

Pentilis dUalrirkan di Padang, Sumatera Barat pada tanggaI12 Jull 1975 sebagai anak tunggal dari pasangan Amri Nurdin, SH dan Sri Soewartri Danamidjaja.

Tahun 1993 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Padang dan tahun yang sama diterima di lnstitut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Pada tahun 1994 pentilis masuk jurusan Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama perkullahan penulis aktif terlibat dalam kegiatan kemahasiswaan seperti menjadi Ketua Organisasi Mahasiswa Angkatan 30 IPB, Ketua I SM FMlP A periode 1995-1996, dan Presidium SM IPB periode 1996-1997.

PRAKATA

PUji syukur pentilis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Topik yang dipilih daIam tulisan ini adalah teori antrian, dengan judul Simulasi Sebaran Waktu Antar Kedatangan Pada Model Antrian Tunggal.

Terima kasih pentilis ucapkan kepada berbagai pihak yang telah membantu penyelesaian karya ilmiah ini, antara lain :

1. Papa dan Mama atas doa, puasa dan kasih sayang yang tiada terbatas daIam setiap aktivitas ananda.

2. Adinda Irene atas segala doa, kasih sayang, kelembutan dan keteguhan sampai detik ini.

3. Bapak Dr. Ir. H. Ahmad Ansori Mattjik, lbu Ir. Erfiani, MS., dan Bapak Dr. Ir. Muhammad Syamsun K., Msc. selaku pembimbing.

4. Bapak Dr. Ir. Amril Aman, Yuni Karlina, dan Cecep dari Jurusan Matematika FMIPA atas perangkat lunak Statfit dan SLAMnya. Andy Prabowo dan Lufie atas segala bantuan dan persahabatannya yang tulus.

5. Mas Yusuf, Mas Karebet, Mas Ivan dan saudara-saudara di FOKlP atas persaudaraan yang tulus.

6. Semua rekan-rekanku di DC-7 mulai dari tahun 1993 -1998

7. Sahabat-sahabat terbaik di Jurusan Statistika, terutama Yasmin dan Andriansyah

(Quantitative Analyst) atas pinjaman komputernya. Staf Tata Usaha dan Perpustakaan Jurusan yang telah berjasa banyak dalam perjalanan studi pentilis.

Pentilis berharap karya ilmiah ini dapat bermanfaat. Semoga.

Bogor, Agustus 1998

DAFTARISI

Halaman

DAFTAR TABEL ...

v

DAFT AR GAMBAR ... , ... , ... V DAFTARLAMPIRAN ... V PENDAHULUAN ... 1

T1NJAUAN PUST AKA Pemodelan Antrian (M/M/l): (GD/oo/oo) ... .... 1

Proses Kelahiran- Kematian ... 2

Proses Poisson ... _... ... 3

Sebaran Waktu Antar Kedatangan ... ... ... ... ... ... .... ... ... 4

Program Simulasi SLAM II ... ... 5

Pengujian Pembangkitan Bilangan Acak ... .... 6

Penentuan Kondisi Awal Simulasi ... 6

Penentuan Lama dan Banyak ｾ･ｰｬｩｫ｡ｳｩ＠ ... 6

Analisis Kepekaan ... 6

Prosedur Statistika untuk Membandingkan Data Teoritik dengan Data Hasil Simulasi ... 6

DATA DAN METODE Data ... 7

Metode ... 7

HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil Pengujian Pembangkitan Bilangan Acak untuk SLAM II ... 8

Hasil Pengujian Kesalingbebasan dan Kestasioneran Data... 8

Hasil Simulasi untuk Sebaran Gamma... 8

HasilSimulasi untukSebaran Weibull... 10

Hasil Simulasi untuk Sebaran Normal... ... ... ... ... ... .... 12

KESIMPULAN DAN SARAN ... ... ... ... ... ... 14

DAFT AR PUST AKA ... 14

LAMPIRAN ... 15

"'

ｾ

Ｇｾ＠

\pIKA'; "

.,<>

n-A "

ｾ

ｾｾ｜＼ｩｾＮｾＬＨ＠ .• \ I. ｉｖｉｾｩＧ＠

ｾｾＬ＠ " "',

'$-;r.':j",,"":

Ｍｾ＠

. Ｎ［ｾｾＮ＠ ' 0 ｾ＠ ,*

(J ,. /

J,,"" I i

,

.. IJ

, 9 ｾｬ＠

Ｇｾ＠ ａｬＡｬ＿ｰＢＢＢｾＬＬＬＧｬｬ＠ i"\' -J

ｾｾｾｾＭＭＧＯ＠

DAFTARTABEL

Halaman

1. Notasimodelantrian ... 1

2. Penjelasan darikarakteristik sistem antrian ... 2

3. Keterangan node SLAM II ... ... 7

4. Hasil Pengujian Pembangkitan Bilangan Acak untuk SLAM II ... ... ... 8

5. Proporsi pendugaan untuk sebaran Gamma ( a. 2: 1,

J3 "

1 ) ... ... ... ... ... 9

6. Rata-rata Lq Gamma ( a. 2: 1, J3 2: 1 ) dan pengasumsian Eksponensial ... ... ... 9

7. Faktor utilisasi Gamma ( a. 2: 1,

J3

2: 1 ) ... ... ... ... 9

8. Proporsi pendugaan untuk sebaran Gamma ( a. < 1,

J3

> 1 ) ... ,.. 9

9. Rata-rata Lq Gamma (a. < 1, J3 > 1) dan pengasumsian Eksponensial ... 10

10. Faktor utilisasi Gamma (a. < 1, J3 > 1) ... 10

11. Proporsi pendugaan untuk sebaran Weibull (a." 1, J3 " 1) ... 10

12. Rata-rata Lq Weibull (a. 2: 1, J3 2: 1) dan pengasumsian Eksponensial ... 11

13. Faktor utilisasi Weibull (a." 1, J3" 1) ... ... ... 11

14. Proporsi pendugaan untuk sebaran Weibull (a. < 1,

J3"

1 ) ...•... 11

15. Rata-rata Lq Weibull (a. < 1, J3" 1) danpengasumsian Eksponensial ... 12

16. Faktor utilisasi Weibull (a. < 1, J3" 1) ... ... 12

17. Proporsi pendugaan untuk sebaran Normal ... 13

18. Rata-rata Lq Normal dan pengasumsian Eksponensial ... 13

19. Faktor utilisasi Normal ... ... 13

DAFTARGAMBAR Halaman I. Node CREATE, QUEUE,jalur ACTN1TY, TERMINATE, COLCT ... 5

DAFTAR LAMPlRAN Halaman 1. Teladan diagram jaringan grafis, perintah eksekusi program untuk sebaran wak-tu antar kedatangan Normal (2,1) dan sebaran wakwak-tu pelayanan Eksponensial (1)... 15

2. Teladan keluaran SLAM II untuk sebaran waktu antar kedatangan Normal (2,1) dan sebaran waktu pelayanan Eksponensial (1) ... ... .... ... ... 16

3. Hasil pengujian kesalingbebasan data simulasi ... 17

4. A. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk sebaran Gamma ( a." 1, J3 " 1 ) ... 18

B. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk sebaran Gamma ( a. < 1, J3 "1) ... 18

C. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk sebaran Weibull (a." 1,

J3"

1) ... 18

D. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk sebaran Weibull ( a. < 1, J3 "1) ... 18

E. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk Normal ( J.1 > 1, (J > 1 ) ... ... ... 18

5. Plot analisis kepekaan untuk sebaran Gamma (a." 1, J3" 1 ) ... 19

6. A. Korelasi Gamma ( a. " 1, J3 " 1 ) dengan pengasumsian Eksponensial ... 21

B. Korelasi Gamma (a. < 1,

J3

> 1) dengan pengasumsian Eksponensial ... 21

C. Korelasi Weibull (a." 1, J3 2: 1) dengan pengasumsian Eksponensial ... 21

D. Korelasi Weibull (a. < 1, J3" 1) dengan pengasumsian Eksponensial ... 21

E. Korelasi Normal dengan pengasumsian Eksponensial ... 21

7. Plot analisis kepekaan untuk sebaran Gamma (a. < 1, J3 > 1 ) ... 22

8. Plot analisis kepekaan untuk sebaran Weibull (a. 2: 1, J3 "1) ... 24

9. Plot analisis kepekaan untuk sebaran Weibull (a. < 1, J3" 1) ... 26

PENDAHULUAN

Pemodelan antrian pada umumnya

menggunakan asumsi bahwa proses

kedatangan dan/ atau waktu pelayanan

mengikuti sebaran Eksponensial Asumsi ini

melandasi pembentukan proses kelahiran-kematian. Penurunan persamaan dati proses kelahiran-kematian ini menghasilkan berbagai

karakteristik sistem antrian. Namun

kenyataannya, proses kedatangan dan/ atau waktu pelayanan tidak selamanya mengikuti sebaran Eksponensial Hal ini menyebabkan analisis hasil pemodelan antrian menjadi semakin kompleks dan suut untuk dikerjakan (Hillier dan Lieberman, 1989). Solusi model ini

menurut WUlSton (1994) membutuhkan

formulasi model matematis tingkat lanjut

untuk memodifikasi proses

kelahiran-kematian (modified birth and death process).

Taha (1992) menyarankan untuk

menggtmakan silnulasi dalam mengatasi pel'masalahan ini

Apabila persamaan baku model antrian

yang menggunakan asumsi proses

kedatangan dan/ atau waktu pelayanan

menyebar Eksponensial tetap dipaksakan untuk digunakan maka akan dihasilkan kesilnpulan yang tidak valid. Kegagalan untuk menenhikan sebaran yang tepat dati proses-proses itu dapat juga mempengaruhi ketepatan hasil model antrian (Law dan Kelton, 1991).

Tujuan peneutian ini adalah untuk :

o

Memverifikasi pengaruh sebaran waktu antar kedatangan selain Eksponensial terhadap karakteristik antrian tunggal (M/M/1) dengan (a/M/1) dilnana a dapat mengikuti sebaran Gamma, Weibull dan Normal

l!l Menentukan apakah terdapat pola dati penetapan parameter sebaran terhadap salah satu karakteristik antrian yaitu rata-rata banyaknya unit kedatangan yang menunggu per unit waktu (Lq).

TINJAUANPUSTAKA

Pemodelan Anman (M/M/l) : (GD/co/co)

1

Antrian terjadi apabila unit-unit yang membutuhkan pelayanan tidak dapat dilayani

langsung (Trueman, 1974). Bentuk model

antrian distandarisasikan dengan notasi Kendall-Lee sebagai (a/b/c) : (d/e/f) seperti yang terlihat pada tabel1.

Tabel1. Notasimodel antrian

e Jumlah maksilnum yang masih

dapat diterilna oleh sistem (dalam antrian dan

Asumsi yang sering dipergunakan dalam pemodelan antrian adalah :

o

Sebaran waktu antar kedatangan dan

waktu pelayanan menyebar Eksponensial

l!l Disiplin antrian dinyatakan dengan

sembarang disiplin (GD = general

discipline).

4il Kapasitas antrian sangat besar (tak terbatas)

(I Populasi sumber input berukuran tak

terbatas dimana jumlah kedatangan

potensial tidak bergantung dati banyaknya unit yang sedang berada dalam sistem antrian (Trueman, 1974).

@ Unit kedatangan dianggap berperilaku

sabar selama menunggu untuk dilayani

(Trueman, 1974). Apabila pelayanan

sedang sibuk, maka hanya akan terjadi fenomena blocking. Fenomena jockeying,

｢｡ｬｾｩｮｧ＠ dan reneging seringkali diasumsikan

tidak terjadi dalam sis tem.

karakteristik antrian dan penjelasannya (lihat Tabe12) sebagai berikut:

Lim

j

ＮＺｎＺＢＺＨｃＺＺｾＺＮｌＩＮＺＺ､］Ｍ

u = L; t -> '"

o

Lim A (t) = A; t -> '"

t

• w.

LimL __ J ］ｗ［ｮｾ＠ co

j'" 1 n·

I

t N (u)du

Lim qt =Lq;t-).cc

o

n D

LimL - q =Wq;n-> co

o n

Lim! N ,(u)du = L,;t -> 0::

o t

n S. 1 1

LimI _J = - =-;n ---7 cc

o n J..l Ws

Karakteristik antrian untuk {M/M/1}

(GD

/00/

oo) selama kondisi stabil yaitu:

L = Lq+Ls

L = A' / (J.l (J.l-All + /..IJ.l

W= Wq+Ws W = Lq/A + LsjA

Hubungan umum antara banyaknya unit dengan waktu yang dipergunakan oleh unit itu dinyatakan oleh fonnula antrian Little (Winston, 1994) yaitu:

Untuk setiap sistem antrian pada kondis· stabil, terdapat hubungan berikut :

L = AW

Lq = AWq

L. = AWS

Tabe12 Penjelasan karakteristik sistem antrian

L

Ws

rata-rata

kedatangan yang menunggu per

rata-rata banyaknya unit

kedatangan yang sedang dilayani unitwaktu rata-rata kedatangan rata-rata antrian tmit

yang memasuki

waktu dalam

waktu berada dalam

antrian per unit

Proses Kelahiran-Kematian

2

Model dasar antrian menganggap bal1wa proses kedatangan dan keberangkatan terjadi menurut proses kelalriran-kematian (birlh and dealh process).

Misalkan ada sistem antrian (M/M/1) : (FCFS/

00/

oo). Jika slate (banyaknya orang yang telah ada dalam waktu t) adalm j, maka

sifat tak mempunyai ingatan dari

Eksponensia! mengimplikasikan bmwa

peluang satu kedatangan terjadi dalam interval [t, t+s] tidak akan tergantung kepada telah berapa lama j orang itu berada di dalam sistem dan dapat saja dinyatakan bmwa seolah-olah baru satu kedatangan yang te'jadi padawaktut

Jadi apabila waktu antar kedatangan tidak

menyebar Eksponensial maka proses

Proses Poisson

Proses Poisson berperanan penting dalam memodelkan unit kedatangan yang acak (Wolf,I989).

Misalkan interval waktu [O,t] diliagi atas n interval yang sarna panjangnya (llt). Untuk setiap interval asumsikan bahwa hanya satu kedatangan yang dapat tetjadi dan tidak pemah lebih dati satu. Peluang terdapatnya satu kedatangan dalam interval yang kecil itu mengikuti fungsi peluang Bernoulli (p). Peluang ini besamya sarna untuk setiap interval Misalkan A = np adalah banyaknya kedatangan harapan dalam interval [O,t]. Maka banyaknya kedatangan (k) dalam interval [O,t] itu dapat dinyatakan dalam fungsi peluang Binomial

P(k I n,p) = C(n,p) pk (I_p)n.k

Misalkan dilakukan perbandingan antara :

P(k+ll n,p) = C(n,p) pk+! (I-p)n·k.! P(k I n,p) C(n,p) pk(I_p)n.k

(n-k)(p /I-p)/ (k+ 1)

sehingga diperoleh persamaan :

P(k+I I n,p) = (n-k)(p/I-p)/(k+I) X P(k I n,p)

Untuk k

=

0, maka :

P(I I n,p) = (np /I-p) P(O I n,p)

(A/I- (')../n» e"

Apabila M dipilih sekecil mungkin

sehingga ')../ n = p juga semakin kecil, maka akan diperoleh untuk k kedatangan dalam satu unit waktu :

P(k I

n,p)

=

"k

e

-')k!

Terlihat bahwa P(N(I) = k) mengikuti sebaran Poisson. Kalau selama t unit waktu, maka P(N(t) = k) adalah:

P(k I n,p) = (At) k e -).'/k!

3

Misalkan kita merancang bahwa waktu kedatangan itu dimulai dati t = 0. Kemudian akan ditentukan sebaran dati peubah acak T

yang dinyatakan sebagai waktu dati

kedatangan sebelum ke waktu kedatangan yang berikutnya Sebaran itu dinamakan sebagai sebaran waktu antar kedatangan. Misalkan k = 0, maka poet) = e

.'t.

Maka P! (t)

= 1 - poet) = 1 - e

.'t.

Ternhat bahwa persamaan itu sarna dengan fungsi sebaran Eksponensial

Suatu proses stokastik {N(t), t <: O} dikatakan menjadi proses Poisson jika :

o

Hanya satu kedatangan yang tetjadi pada satu waktu.

$ N(t+s) - N(t) atau banyaknya kedatangan yang tetjadi dalam interval waktu (t,t+s) saling bebas terhadap {N(u), 0,; u'; t}.

$ Sebaran N(t+s) - N(t) bebas terhadap t untuk semua 1, s <: 0.

Pada kenyataannya persyaratan proses

Poisson dapat saja terlanggar apabila :

o

Unit datang secara bergerombol (batch). $ Suatu kedatangan yang cukup besar tetjadi

pada [O,t] sehingga unit yang datang pada (t,t+s] tidak jadimemasukisistem antrian.

$ Ada pengaruh waktu-waktu sfunk (peak time)

Dalam Law dan Kelton (1991) terdapat

teorema mengenai proses Poisson yaitu :

Teoremal

Jika {N(t), t <: O} adalah suatu proses Poisson, maka banyaknya kedatangan pada suatu interval waktu sepanjang s merupakan peubah acak Poisson dengan parameter f..s dimana ').. > 0, jadi :

P (N(/+s) -N(t)

=

k)

=

e .)., (k)kjk!

untuk k,1,s <:

°

Teorema2