BAB VIII
HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL
8.1
Pendahuluan
Pada sistem bilangan bulat, bentuk persamaan yang melibatkan perkalian belum tentu memiliki solusi. Keadaan ini juga ditemui pada kasus pembagian sebuah benda oleh sejumlah unsur yang lebih dari satu. Eksistensi elemen semesta pembicaraan yang menyatakan keadaan tersebut belum terwakili oleh keseluruhan himpunan semua bilangan bulat.
Topik ini sangat bermanfaat bagi mahasiswa untuk mengenal proses perlu-asan sebuah sistem bilangan (aljabar) ke dalam sistem bilangan lain yang memper-tahan operasi beserta sifat-sifat yang berlaku pada sistem semula. Metode perlu-asan ini merupakan metode yang sering dijumpai dalam sistem aljabar, khususnya Teori Ring.
Setelah mempelajari topik bahasan pada pertemuanminggu ke-13 dan 14 yang meliputi
1. Konstruksi sistem bilangan rasional 2. Sifat-sifat bilangan rasional
ini secara tuntas diharapkan memiliki learning Outcomesberupa:
1. Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian sistem bilangan rasional 2. Mahasiswa mampu membuktikan sifat-sifat bilangan rasional
3, Mahasiswa mampu menggunakan sifat-sifat bilangan rasional pada bidang matematika terkait
4. Mahasiswa mampu menjelaskan dasar pembentukan dalam lingkungan kelas secara terstruktur dan sistematis
8.2
Konstruksi Sistem Bilangan Rasional
Dalam bab sebelumnya telah dibahas tentang sistem bilangan bulat. Sebagai perluasan dari sistem bilangan bulat, dalam bab ini akan dibahas tentang kon-struksi himpunan (sistem) bilangan rasional beserta sifat-sifat yang muncul dari operasi-operasi yang berlaku pada himpunan bilangan rasional beserta relasi uru-tan yang terjadi.
Definisi 8.2.1 Diketahui Z sistem bilangan bulat beserta operasi biner ”+” dan ”·” pada Z dan didefinisikan himpunan
D=Z×(Z− {0}) ={(m, n)|m, n∈Z, n ̸= 0}.
Untuk sebarang (m, n),(k, l)∈D, dikatakan (m, n) = (k, l), jika m=k dan n=l. Dengan memanfaatkan operasi biner ”+” dan ”·” beserta sifat-sifat yang dimilikinya didefinisikan relasi ”α” padaD, yaitu untuk sebarang (m, n),(k, l)∈D, (m, n)α(k, l)⇔m·Zl =n·Zk. (1) Pada definisi ini (m, n)α(k, l) dapat ditulis (m, n),(k, l) ∈ α(k, l). Berdasarkan sistem bilangan bulat jelas berlaku n·Zk =k·Zn. Sebagai contoh
((−4,5),(24,−30))∈α, ((−4,5),(24,30))̸∈α
Lemma 8.1 Relasi α pada D merupakan relasi ekuivalensi, sehingga D terpartisi oleh α menjadi kelas-kelas ekuivalensi yang saling asing.
Bukti: Diambil sebarang (m, n),(k, l),(p, q)∈D. Karenam·Zn=nZmberakibat (m, n)α(m, n). Akibatnyaα refleksif.
Untuk menyederhanakan, notasi ”m·Zn” ditulis mn.
Selanjutnya, jika (m, n)α(k, l), makaml=nk, sehinggakn =nk =ml=lm. Jadi (k, l)α(m, n), sehingga ”α” simetris. Jika (m, n)α(k, l) dan (k, l)α(p, q), maka
ml=nk, kq =lp
sehingga
Karena l̸= 0, maka mq =np. Akibatnya (m, n)α(p, q). Jadi α transitif. Berdasarkan bukti di atas dapat disimpulkanDakan terpartisi menjadi kelas-kelas yang saling asing yang diberi simbol dengan
Q={(m, n)|(m, n)∈D}
dengan (m, n) = {(k, l) ∈ D|((m, n),(k, l) ∈ α}. Dalam hal ini untuk masing-masing (m, n),(k, l)∈D berlaku
(m, n) = (k, l) atau (m, n)∩(k, l) = ∅.
Contoh 8.2.2 Pada Q
(−3,4) = (6,−8) = (120,−160) dan (−3,4),(6,−8),(120,−160)∈(3,−4).
Pada himpunanQdapat didefinisikan dua buah operasi biner ”+Q” dan ”·Q” dari Q×Q→Q (m, n) +Q(k, l) = (m·Zl+Zk·Zn, n·Zl) (m, n)·Q(k, l) = (m·Zk, n·Zl) atau (m, n) + (k, l) = (ml+kn, nl) (m, n)·(k, l) = (mk, nl) untuk setiap (m, n),(k, l)∈Q.
Bukti: Hanya akan dibuktikan untuk ”+”. Jika (m, n) = (p, q) dan (k, l) = (u, v), maka
mq=np dan kv =lu
Karena sifat komutatif dan asosiatif operasi-operasi biner di Z, maka
(qv)(nk) = (qn)(kv) = (qn)(lu) = (nl)(uq), (qv)(ml) = (vl)(mq) = (vl)(np) = (nl)(pv) sehingga nl(pv+uq) =qv(ml+nk). Jadi (p, q) + (u, v) = (m, n) + (k, l) Latihan 8.1 Buktikan operasi ”·Q” merupakan operasi biner!
Dengan memperhatikan Teori Ring di bidang aljabar, dapat ditunjukkan, bahwa Q memiliki struktur ring. Untuk selanjutnya Q disebut sistem bilangan rasional. Kondisi tersebut dinyatakan dalam teorema berikut ini.
Teorema 8.2 Pada himpunan Q berlaku sifat: 1. Terhadap operasi ”+”: 1.1 (∀x, y, z∈Q)(x+y) +z =x+ (y+z) 1.2 (∃¯0∈Q)(∀y∈Q)¯0 +y=y=y+ ¯0 ¯ 0 = (0, m) untuk sebarang m∈Z− {0} 1.3 (∀x∈Q)(∃y∈Q)(x+y = ¯0 = y+x) Jika x= (p, q), maka y = (−p, q) = (p,−q) 1.4 (∀x, y ∈Q)(x+y=y+x) 2. Terhadap operasi ”·”: 2.1 (∀x, y, z∈Q)(xy)z =x(yz) 2.2 (∃¯1∈Q)(∀y∈Q)¯1y=y =y¯1 ¯ 1 = (m, m) untuk sebarang m∈Z− {0} 2.3 (∀x∈Q− {¯0})(∃y∈Q)(xy = ¯1 = yx)
Jika x= (p, q), berarti p̸= 0, sehingga y= (q, p).
2.4 (∀x, y ∈Q)(xy=yx)
3. Operasi ”+” dan ”·” bersifat distributif: 3.1 (∀x, y, z∈Q)(x+y)z =xz+yz
3.2 (∀x, y, z∈Q)x(y+z) =xy+xz
Bukti: Untuk latihan.
Sifat berikut menunjukkan, bahwa Q merupakan perluasan dari Z, dengan operasi ”+Z” merupakan pembatasan dari ”+Q” di Z; sedangkan ”·Z” merupakan pembatasan ”·Q” di ”Z”
1. (∃α)α:ZQ →Z pemetaan bijektif
2. Terhadap operasi ”+Q” dan ”·Q” memenuhi Teorema 8.2 kecuali 2.3. 3. (∀x, y ∈ZQ)(α(x+Qy) =α(x) +Zα(y)∧α(x·Qy) =α(x)·Zα(y))
Bukti: Diambil ZQ = {(m,1)|m ∈ Z}. Perlu dicatat, bahwa untuk sebarang
m ̸= 0 berlaku (m2, m) = (m,1).
1. Diambil pengaitan α : ZQ → Z, dengan α((m,1)) = m. Untuk sebarang (m,1) = (n,1) berakibat m = m·1 = 1 ·n = n. Akibatnya α((m,1)) =
α((n,1)). Jadiα pemetaan.
Jelas, bahwa jika m ∈ Z, maka (m,1) ∈ Q, dan α((m,1)) = m. Jadi α
surjektif. Selain itu untuk sebarang α((m,1)) =m=n=α((n,1)) berakibat (m,1) = (n,1); sehinggaα injektif.
2. Untuk latihan
3. Diambil sebarang (m,1),(n,1)∈ZQ)
α((m,1) +Q(n,1)) =α((m+n,1) = m+Zn =α((m,1)) +α((n,1)). α((m,1)·Q(n,1)) =α((m·n,1) = m·Zn=α((m,1))·α((n,1)).
Berdasarkan hubungan antaraZdanZQdi atas, dan eksisitensi elemen positif pada Z, maka dapat dihimpun ”elemen-elemen positif” bilangan rasional Q, yaitu
Q+={(m, n)|m, n∈Z+∨m, n∈Z−}
dan ”elemen-elemen negatif” bilangan rasional Q, yaitu
Q− ={(m, n)|(m, n)∈Z+×Z−∨(m, n)∈Z−×Z+}
Teorema 8.4 Pada himpunan Q berlaku:
1. (∀(m, n),(k, l)∈Q+)((m, n) + (k, l),(m, n)·(k, l)∈Q+)
2. (∀(m, n),(k, l)∈Q−)((m, n) + (k, l)∈Q−,(m, n)·(k, l)∈Q+)
4. Untuk sebarang (m, n)∈Q berlaku tepat satu
(m, n)∈Q ∨ (m, n) = 0 ∨ (m, n)∈Q−
Bukti: Hanya akan dibuktikan sebagian. Yang tidak ada buktinya dijadikan lati-han.
1. Diambil sebarang (m, n),(k, l) ∈ Q+. Tanpa mengurangi keumuman, jika
m, n, k, l ∈ Z+, maka ml, nk, kl ∈ Z+. Jadi ml+ nk, kl ∈ Z+, sehingga
(m, n) + (k, l)∈Q+.
Jika m, n∈Z+ dan k, l∈Z−, maka ml, nk, kl ∈Z−. Jadi ml−nk, kl∈Z+,
sehingga (m, n) + (k, l) ∈ Q+. Demikian juga jika m, n, k, l ∈ Z−, maka
ml, nk, kl∈Z+. Jadi (m, n) + (k, l)∈Q+.
2. Diambil sebarang (m, n),(k, l)∈Q−. Tanpa mengurangi keumuman dimisalkan
m, k ∈ Z+ dan n, l ∈ Z−. Akibatnya mk ∈ Z+ dan nl ∈ Z+. Jadi
(m, n)·(k, l) ∈ Q+. Selain itu, ml+nk ∈ Z− dan nl ∈ Z+. Akibatnya
(m, n) + (k, l)∈Q−.
4 Diambil sebarang (m, n)∈Q, dengan (m, n)̸= 0. Akibatnyam̸= 0. Kondisi ini berakibat berlaku tepat satum∈Z+ataum∈Z−. Demikian juga dengan
n, sehingga (m, n)∈Q+ atau (m, n)∈Q−; dan hanya berlaku salah satu.
Untuk mempermudah, sebagaimana yang dikenal luas oleh pengguna teori bilangan, elemen (m, n)∈Q biasa ditulis dengan
(m, n) = m
n.
Sebagai contoh dengan mudah diketahui bahwa sebagai invers dari (m, n) terhadap penjumlahan, −(m, n) = (−m, n) = −nm =−mn. Jadi
Q={m
n|m, n∈Z, n̸= 0}.
Dalam bentuknya yang paling sederhana untuk setiap x ∈ mathbbQ− {0} dapat ditemukan m, n∈Z yang memenuhi F P Bm, n= 1 dan x= mn.
Latihan 8.2 Dengan mengeksplorasi sifat-sifatZselesaikanlah beberapa pertanyaan berikut ini.
1. Buktikan bahwa Q=Q−∪ {0} ∪Q+, dan Q−∩Q+ =∅.
2. Buktikan sifat-sifat dalam Teorema 8.2.
3. Buktikan bahwa untuk setiap (m, n),(k, l)∈Q, persamaan (m, n)·(x, y) = (k, l)
selalu memiliki solusi di Q.
4. Buktikan bahwa untuk setiap (m, n),(k, l),(x, y)∈Q berlaku (m, n)(x, y) = (k, l)(x, y) dan (x, y)̸= 0⇒(m, n) = (k, l)
8.3
Relasi Urutan
Pada himpunan Qdidefinisikan relasi ”≤”: ∀u, v ∈Q
u≤v ⇔(∃ϵ∈Q+∪ {0})u+ϵ=v. (2) Relasi ini merupakan relasi urutan parsial, karena:
1. Refleksif:
Untuk sebarang x∈Qterdapat 0 sehingga x+ 0 =x. Jadi x≤x. 2. Anti simetris:
Untuk sebarang x, y ∈ Q, jika x ≤ y dan y ≤ x, maka dapat ditemukan
u, v ∈Q+∪ {0} yang memenuhi
x+u=y, y+v =x
Akibatnyax+ (u+v) = (x+u) +v =x, sehinggau+v = 0. Jikau, v ∈Q+, maka u+v ∈Q+. terjadi kontradiksi, sehingga u=v = 0. Jadi x=y. 3. Transitif
Untuk sebarang x, y, z ∈ Q, jika x ≤ y dan y ≤ z, maka dapat ditemukan
u, v ∈Q+∪ {0} yang memenuhi
x+u=y, y+v =z
Akibatnya z = (x+u) +v =x+ (u+v). Jika u =v = 0, maka u+v = 0. Jika u ∈ Q+ dan v = 0, maka u+v ∈ Q+. Demikian juga jika u, v ∈ Q+. Hal ini berakibat x≤z.
Sifat sederhana urutan ”≤” yang dapat diturunkan dari definisi dinyatakan sebagai berikut. Sifat ini sekaligus menyatakan, bahwa urutan ”≤” merupakan urutan total.
Teorema 8.5 Relasi ”≤” pada 2 merupakan urutan total dan untuk setiap x, y ∈
Q berlaku tepat satu
x=y ∨ x < y ∨ y < x.
Bukti: Untuk sebarang x, y ∈Q, berlaku tepat satu
x−y= 0 ∨ x−y∈Q+ ∨ x−y∈Q−
dan x=y+ (x−y) dany =x+ (y−x). Akibatnya jikax−y= 0 ataux−y∈Q+, maka x=y atau y < x. Jika x−y∈Q−, maka y−x∈Q+, sehingga x < y.
Pemetaanαpada Teorema 8.3compatibledua sisi terhadap urutan ”≤” dalam arti
(m,1)≤Q (n,1)⇔m ≤Zn.
Sebagai bukti, (m,1) ≤Q (n,1), jika dan hanya jika dapat ditemukan (k, l) ∈ Q+ ∪ {0}, sehingga m+k
1 = (m,1) + (k, l) = (n,1). Kondisi ini ekuivalen dengan
m+k =n; dan k ∈Z+∪ {0} jika dan hanya jika (k,1)∈Q+∪ {0}.
Lemma 8.6 Untuk setiap x, y, z, u∈Q berlaku sifat
1. x≤y jika dan hanya jika x+z ≤y+z, z+x≤z+y
2. x < y jika dan hanya x+z < y+z, z+x < z+y
3. x≤y dan z ∈Q+∪ {0}, maka xz ≤yz, zx≤zy
4. x < y dan z ∈Q+, maka xz < yz, zx < zy
5. Jika xz ≤yz dan z ∈Q+, maka x≤y
6. Jika xz < yz dan z ∈Q+, maka x < y
7. Jika x≤y dan z ≤u, maka x+z ≤y+u
8. Jika x≤y dan z < u, maka x+z < y+u
2. Karena x < y, maka terdapat u ∈ Q+ sehingga x +u = y. Akibatnya
(x+z) +u= (x+u) +z =y+z, sehinggax+z < y+z. Bukti analog untuk
z+x < z+y.
4. Karena x < y, maka dapat ditemukan y −x = u ∈ + yang memenuhi
x+ (y−x) = y. Akibatnya zy=z(x+ (y−x)) = zx+z(y−x). Di sisi lain
z, y−x∈Q+, sehingga z(y−x)∈Q+. Dengan kata lainzx < zy.
6. Karena xz < yz dan z ∈ Q+, maka terdapat 1z ∈ Q+ sehingga 1z = 1. Akibatnya, sesuai 4 x=x(z1 z) = (xz) 1 z <(yz) 1 z =y Akibatnya x < z.
Teorema 8.7 (Teorema nilai tengah) Untuk setiap x, y ∈Q, jikax < y, maka terdapat z ∈Q sehingga x < y < z.
Bukti: Karenax < y, maka terdapaty−x∈Q+sehinggax+ (y−x) =y. Karena
1 2 ∈Q +, akibatnya 1 2(y−x)∈Q + dan (x+1 2(y−x)) + 1 2(y−x) = x+ (y−x) = y sehingga jelas x < x+12(y−x)< y.
Akibat dari Teorema 8.7 diperoleh sifat berikut ini.
Teorema 8.8 Untuk sebarang0< x∈QterdapatN ∈Z+yang memenuhi 1
N < x.
Bukti: Karena 0< x∈Q, maka x= mn, dengan n ≤1. Akibatnya 1x = mn. Dapat diambil N =n, akan berakibat
0< 1 x < n m ≤ nm m =N sehingga 0< N1 < x.
Salah satu sifat lain yang dikenal baik dalam kalkulus atau analisis berhubun-gan erat denberhubun-gan konsep limit (konvergensi). Teorema berikut merupakan salah satu di antaranya.
Teorema 8.9 Diketahui x∈Qdan0≤x. Jika untuk setiapϵ >0diQ(ekuivalen dengan ϵ∈Q+) berlaku ϵ > x, maka x= 0.
Bukti: Andaikan x ̸= 0, berarti 0 < x. Menurut Teorema 8.8 dapat ditemukan
δ ∈Q+ sehingga 0< δ < x. kontradiksi dengan asumsi, bahwaϵ >0 diQ berlaku
ϵ > x
Dari uraian tentang konstruksi himpunan bilangan rasional di atas terlihat jelas, bahwa beberapa persoalan yang tidak bisa terjawab dalam sistem bilangan bulat, khususnya eksistensi solusi persamaan ax=b telah dapat diselesaikan. Na-mun begitu masih ditemukan beberapa masalah yang berada di luar sistem bilangan rasional. Masalah-masalah tersebut di antaranya:
1. Pada segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegak 1∈Qdan panjang sisi miring x, diperoleh x2 = 12 = 12 = 2. Solusi dari persamaan tersebut, yaitu
x bukan bilangan rasional.
2. Dalam konsep konvergensi atau limit, barisan {ai}i≤1 dengan suku ke-i, ai =
(1 + 1i)i merupakan barisan bilangan rasional. Meskipun a
n konvergen ke a,
namun dalam kenyataannya a∈Q.
3. Luas lingkaran dengan jari-jari r didekati dengan segi-n beraturan. Jika Ln
adalah luas masing-masing segi-n yang digunakan untuk pendekatan, maka
Ln =snr2 dengansn bilangan rasional. Luas lingkaran tertentu sebesar πr2,
yang berarti sn konvergen ke π. Dalam prakteknya tidak jarang π dianggap
sama dengan 227. Namun sesungguhnya π bukanlah bilangan rasional.
Kenyataan tersebut membutuhkan sistem perluasan dari himpunan bilangan rasional yang dapat menjawab persoalan-pesoalan di atas. Untuk itu perkemban-gan selanjutnya dari sistem bilanperkemban-gan rasional berupa sistem (himpunan0 bilanperkemban-gan real. Beberapa syarat yang menjadi acuangan perluasan adalah:
1. Himpunan bilangan rasional harus menjadi subhimpunannya
2. Semua operasi yang berlaku diQ harus merupakan pembatasan dari operasi himpunan perluasan Q
3. Relasi urutan diQharus merupakan pembatasan dari relasi urutan himpunan perluasan Q
4. Sifat-sifat yang melekat pada operasi dan relasi padaQharus tetap bertahan pada himpunan perluasan Q
Latihan 8.3
1. Buktikan sifat Lemma 8.6 yang belum dibuktikan.
2. Apakah benar, jika x ≤ y dan z ≤ u, maka xz ≤ yu ? Jelaskan jawaban anda! Jika tidak, berikan syarat cukup sifat tersebut dipenuhi!
3. Apakah benar, jika x ≤ y dan z < u, maka xz < yu ? Jelaskan jawaban anda! Jika tidak benar, berikan syarat cukup agar sifat tersebut dipenuhi! 4. Apakah benar untuk setiap x ∈ Q− {0} dapat ditemukan bilangan bulat z
yang memenuhi 0< 1z < xatau x < 1z <0 ? Jelaskan jawaban anda!
5. Buktikan bahwa jika x ≤ y dan untuk setiap ϵ >0 di Q berlaku x+ϵ > y, maka x=y!
Materi Pengayaan
1. Dapat di lihat pada website: http://www.imo-official.org
2. Untuk diskusi dengan anak-anak berbakat di bidang matematika silahkan akses http://www.olimpiade.org
MASALAH DAN SOAL
1. Diketahui semigrupSmemuat subgrup. Pada semigrupSdidefinisikan relasi R,L,D, danH. Jikaa∈S, didefinisikan klas yang memuatarelatif terhadap relasi tersebut berturut-turut adalahRa,La,Ha, danDa. DidefinisikanG(S)
adalah grup terluas yang termuat di S dan
V(a) ={b∈S | a=aba, b=bab}.
1.1 BenarkahG(S) merupakan gabungan semua subgrupS. Jelaskan. 1.2 Jika Gadalah gabungan semua subgrup S benarkah
G= ∪
e∈E(S)
He.
1.3 Untuk sebaranga, b∈S, ab∈Ra∩Lb jika dan hanya jika La∩Rb grup.
Benarkah ? Beri penjelasan.
1.4 Jika a, b ∈ S, apakah terdapat c ∈ S sehingga V(a) ∩V(b) = V(c), jelaskan!
2. Let S be a set with a binary operation ∗on S such that the following state-ments are satisfied:
i. e∈S ii. (∀s∈S)s∗e̸=e iii. (∀s, t∈S)(s∗e=t∗e⇒s=t) iv. (∀s, t∈S)(s∗t)∗e=s∗(t∗e) v. Ife ∈T ⊆S such that (∀t ∈S)(t ∈T ⇒t∗e∈T), then T =S.
2.1 Is S a commutative semigroup!? Prove it!
2.2 Construct a groupG such that S is a subsemigroup of G.
3. Buktikan Soal no 9, hal 121 Buku Number Systems of Analysis karangan Webber, G.C.
4. Diketahui IR himpunan semua bilangan real seperti yang anda kenal semasa SMA. Didefinisikan pengaitan ∗: IR × IR → IR yang memenuhi
4.1 (∀x, y ∈ IR )(∃!a∈ IR )x∗a=y
Untuk selanjutnya dinyatakan a= [y, x] 4.2 (∀x, y, z∈ IR )(x∗y)∗z =xz+yz
Selidiki sifat∗di IR (Apakah operasi biner, assosiatif, komutatif, distributif, dan hubungannya dengan bentuk [x, y]. Beri penjelasan)
5. Diketahui p adalah bilangan prima sehingga persamaan 7p = 8x2 −1 dan
p2 = 2y2 −1 mempunyai solusi x dan y berupa bilangan bulat. Tentukan
nilai p yang memenuhi!
6. Bilangan bulat n dikatakan berbentuk kuadrat jika terdapat bilangan bulat
k sedemikian hingga n = k2. Diketahui x, y, dan z adalah bilangan asli. Buktikan xy+ 1, xz+ 1, dan yz+ 1 berbentuk kuadrat jika dan hanya jika
(xy+ 1)(xz+ 1)(yz+ 1) berbentuk kuadrat.
7. Jelaskan konstruksi sistem himpunan bilangan rasional dari sistem himpunan bilangan bulat!
8. Didefinisikan himpunanHsebagai subhimpunan semua bilangan real dengan: 8.1 12 ∈H
8.2 x∈H ⇒( 1
x+1 ∈H ∧
x
x+1 ∈H)
Apakah benar untuk setiap G berlaku jika H ⊆G, maka (0,1)⊂G
(Catatan: (0,1) ={x | x real 0< x < 1})
9. Buktikan, bahwa √2 +√3 bukan bilangan rasional
10. DiketahuiH ={n+m√2|m, nbilangan bulat}. Apa yang anda ketahui ten-tang sistem H terhadap operasi bilangan penjumlahan dan perkalian bilan-gan, jika dibandingkan dengan sistem bilangan rasional dan bulat ? Jelaskan jawaban anda
12. Diketahuipi adalah bilangan prima ke-i pada himpunan semua bilangan asli.
Untuk setiap n ∈IN terdapat . . . , α2(n), α1(n)∈IN ∪ {0},
n=pα1(n)
1 p
α2(n)
2 · · · .
Didefinisikan relasiRpada himpunan semua bilangan asliIN , dengan definisi
nRm⇐⇒(∀i)α(n)i ≤α(m)i.
Selidiki semua jenis relasi yang dipenuhi oleh R.
13. Jelaskan sistem bilangan kompleks sebagai perluasan bilangan real.
14. Diketahui p adalah bilangan prima sehingga persamaan 7p = 8x2 −1 dan
p2 = 2y2 −1 mempunyai solusi x dan y berupa bilangan bulat. Tentukan
nilai p yang memenuhi!
15. Jelaskan latar belakang dan konstruksi bilangan real yang bukan bilangan rasional. (Tiga jenis berbeda)
16. Apakah terdapat fungsi f :IN →IN yang memenuhi
f(f(n)) =f(n+ 1)−f(n) untuk setiap n∈IN ? Jelaskan!
17. Diketahui p adalah bilangan prima sehingga persamaan 7p = 8x2 −1 dan
p2 = 2y2 −1 mempunyai solusi x dan y berupa bilangan bulat. Tentukan
nilai p yang memenuhi!
18. Bilangan bulat n dikatakan berbentuk kuadrat jika terdapat bilangan bulat
k sedemikian hingga n = k2. Diketahui x, y, dan z adalah bilangan asli.
Buktikan xy+ 1, xz+ 1, dan yz+ 1 berbentuk kuadrat jika dan hanya jika (xy+ 1)(xz+ 1)(yz+ 1)
berbentuk kuadrat.
19. Diketahuipi adalah bilangan prima ke-i pada himpunan semua bilangan asli.
Untuk setiap n ∈IN terdapat . . . , α2(n), α1(n)∈IN ∪ {0},
n=pα1(n)
1 p
α2(n)
Didefinisikan relasiRpada himpunan semua bilangan asliIN , dengan definisi
nRm⇐⇒(∀i)α(m)i−α(n)i ∈2IN0.
DAFTAR PUSTAKA
Webber, GC., 1966, Number System of Analysis, Addison-Wesley Pub. Company, Massachusetts
Soehakso, RMJT, 1990, Pengantar Matematika ModernFMIPA UGM
Titu, A., Dorin A., and Zuming F, 2007, 104 Number Theory Problems: From the Training of the USA IMO Team, Birkhauser
