TRIGONOMETRI. Untuk SMA dan Sederajat. Penerbit. Husein Tampomas

(1)

0

|

Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

TRIGONOMETRI

Untuk SMA dan Sederajat

Husein Tampomas

(2)

1

|

BAB 1

PENGANTAR KE FUNGSI TRIGONOMETRI

PENGERTIAN

Dalam bahasa Yunani, trigonometri terdiri dari dua kata, yaitu trigono yang artinya segitiga dan metro yang artinya ukuran.

Trigonometri adalah ilmu yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut dari segitiga.

1. PENAMAAN SISI DAN SUDUT PADA SEGITIGA

Dalam geometri dasar, segitiga ABC dinotasikan ABC mempunyai unsur-unsur yang meliputi sisi dan sudut. Penamaan sisinya adalah sisi BC a (di depan A ), sisiAC b (di depan B ) , dan sisi AB c (di depan C ). Tetapi kadang-kadang sisi-sisi suatu segitiga dapat dinotasikan dengan huruf kecil lainnya seperti x, y, z, h, dan sebagainya.

Sudut ABC dinotasikan ABC biasa juga menggunakan nama titik sudutnya B . Tetapi kadang-kadang hanya menggunakan huruf kapital dari titik sudutnya, misalnya A, B, P, W, X, dan sebagainya atau huruf kecil, misalnya p, t, x, y, z, dan sebagainya. Penamaan sudut tersebut juga kerapkali menggunakan huruf kapital atau kecil dari alphabet Yunani, misalnya BAC    ,A A 

ABC B B 

     , dan ACB   C C .

Tabel 1 Alphabet Yunani

Huruf Nama Huruf Nama Huruf Nama

Gambar 1 b

a c

A

(3)

2

|

2. PENGUKURAN SUDUT

Ukuran sudut yang dipergunakan di sini adalah derajat dan radian.

a. Ukuran Sudut dalam Derajat Definisi:

putaran 360

1 1 

O adalah pusat lingkaran r adalah jari-jari lingkaran OA = OB = r 1 = 1° = putaran 360 AOB  Sehingga,1putaran360

Ukuran sudut yang lebih kecil (halus) adalah menit dan detik. 1 60'

(menit)

1' 60"

(detik)

" 600 . 3 1  Contoh 1:

Nyatakan dalam ukuran derajat, menit, dan detik dari 65,37.

Solusi:

65,38   63 0,38   63 0,38 60' 63   22,8'63 22' 0,8'   63 22' 0,8 60"   63 22' 48"

Jadi, 63,38 63 22'48" .

Contoh 2:

Nyatakan dalam ukuran derajat dari 126 48'54" .

Solusi: 1 1 126 48'54" 126 48 54 60 3600        _  _ _  _     126 0,8 0,015 126,815  Contoh 3:

Diberikan 56,18. Nyatakan dalam derajat, menit, dan detik dari 4dan 7 8. Solusi: 4  4 56,18 224,72 224  0,72 224 0,72 60' 224   43, 2' 224 43' 0, 2' 224 43' 0, 2 60"  22443' 12" Jadi, 4224 43'12" 7 7 56,18 49,1575 8  8    49  0,1575 49 0,1575 60' 49   9, 45' 49  9' 0, 45 60"   49 9' 27"  r _r 1 A B O Gambar 2

(4)

3

|

Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018 Jadi, 7 49 9'27"

8  

Contoh 4:

Diberikan 43 48'27". Nyatakan dalam derajat dari 6 dan 5 18. Solusi: 6  6 43 48'27" 258 288'162"  258 288' 2 60 42 "



 



258 288'2'42"

258 290'42" 258 4 60 50 '42" 







258 4 50'42"  262 50'42" Jadi, 6262 50'42" . 5 5 _{43 48'27"} 5 ₄₃ 5 _48' 5 _27" 9   9     9 9  9 8 240 23 ' 15" 9 9     _  _ _ _    

23 8 60' 240 ' 15' 9 9       _ _   720 23 ' 15" 9     _ _    23 80' 15"

  23 1 20' 15"  24 20' 15" Jadi, 5 24 20'15" 9  

b. Ukuran Sudut dalam Radian Definisi:

Satu radian ditulis 1 rad, adalah besar sudut yang dihasilkan oleh perputaran sebesar jari-jari lingkaran.

O adalah pusat lingkaran r adalah jari-jari lingkaran Busur AB = OA = OB = r 180° 180 = 1rad = 57,3 π 3,14 AOB     

c. Konversi Ukuran Putaran, Derajat, dan Radian

 Konversi dari ukuran radian ke derajat:

π 180 rad 1  

 Konversi dari ukuran derajat ke radian:

rad 180

π 1 

 Konversi ukuran derajat ke putaran:

1

1 putaran 360  

 Konversi ukuran putaran ke derajat:

1putaran 360   r r r 1 rad A B O Gambar 3

(5)

4

|

 Konversi ukuran radian ke putaran:

1

1rad putaran 2 

 Konversi ukuran putaran ke radian:

1putaran2 rad dengan  3,14159...

Catatan:

Perhatikan bahwa dan22 7

 adalah dua bilangan yang berbeda, karena 3,14159...

  bilangan irrasional dan 22 3,142857143... 7

   bilangan

rasional. Kedua bilangan dan22 7

 sama senilai pada nilai 3,14.

Contoh 5:

Tentukan dalam ukuran derajat dari a. 1 putaran 12 b. 5 putaran 18 c. 3 2 putaran 4 d. nputaran Solusi: a. 1 putaran 1 360 30 12 12    c. 3 11 2 putaran 360 990 4  4    b. 5putaran 5 360 100 18 18    d. nputaran n 360 Contoh 6:

Tentukan dalam ukuran putaran dari

a. 60 b. 150 c. 270 d. n Solusi: a. 60 60 1 putaran 1putaran 360 6     c. 270 270 1 putaran 3putaran 360 4     b. 150 150 1 putaran 5 putaran 360 12     d. 1 putaran putaran 360 360 n n  n  Contoh 7:

Tentukan setiap sudut berikut ini dalam radian. a. 2putaran 3 b. 3 putaran 5 c. 1 1 putaran 4 d. nputaran Solusi:

a. 2putaran 2 2 rad 4 rad

3 3 3

 

   c. 1 putaran1 5 2 rad 5 rad

4 4 2

 

   b. 3putaran 3 2 rad 6 rad

5 5 3

 

   d. nputaran n 2 rad 2  nrad

(6)

5

|

Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018 Tentukan setiap sudut berikut ini dalam putaran.

a. 3 rad b. 3 rad 4 c. 4 1 rad 5 d. nrad Solusi:

a. 3 rad 3 1 putaran 3putaran

2 2

 



   c. 14 rad 9 1 putaran 9 putaran

5 52 10 b. 3 rad 3 1 putaran 3putaran

4 42 8 d.

1

rad putaran putaran

2 2 n n n     Contoh 9:

Tentukan setiap sudut berikut ini dalam derajat. a. 2 rad b. 3 rad 4 c. 5 1 rad 12 d. nrad Solusi: a. 2,7 rad 2,7 180° 2,7 180 154,8 π 3,14        c. 15 rad 17 180° 255 12 12 π   b. 3 rad 3 180° 135 4  4 π   d. 180° rad = n n   Contoh 10:

Tentukan setiap sudut berikut ini dalam

(radian).

a. 45 b. 210 c. 300 d. n Solusi: a. 45 45 rad 180 4       c. 300 300 5 rad 180 3       b. 210 210 7 rad 180 6       d. rad 180 180 n n  n    Contoh 11:

Jika jika  3,14

, tentukan setiap sudut berikut ini dalam radian.

a.

145

b.

72 54'

c.

38 36'45" Solusi:

a.

145 145 145 3,14 2,53rad 180 180       

b.

72 54' 72,9 72,9 72,9 3,14 0,13rad 180 180         

c.

38 36'45" 38,6125 38,6125 38,6125 3,14 0,67 rad 180 180         

SOAL-SOAL LATIHAN 1

Selesaikanlah setiap soal berikut ini.

(7)

6

|

a. 0, 49 b. 8,51 c. 54, 28 d. 108,355 2. Nyatakan dalam ukuran derajat dari

a. 9 30' b. 728 36" c. 25 36'54" d. 48 12'45" 3. Jika  15,36, nyatakan dalam derajat, menit, dan detik dari

a. 2 b. 1 4 c. 3 2 d. 5 2 8 4. Jika  65 18'30", nyatakan dalam derajat dari

a. 4 b. 1 5 c. 4 3 d. 8 2 15 5. Tentukan dalam ukuran derajat dari

a. 1putaran 9 b. 7 putaran 12 c. 7 putaran 2 d. 1 2 putaran 18

6. Tentukan dalam ukuran putaran dari

a. 75 b. 120 c. 240 d. 315 7. Tentukan setiap sudut berikut ini dalam radian.

a. 5 putaran 12 b. 3 putaran 2 c. 1 2 putaran 6 d. 1,6putaran 8. Tentukan setiap sudut berikut ini dalam putaran.

a. 2 rad 9 b. 0,6 rad c. 7 1 rad 12 d. 5 2 rad 18 9. Tentukan setiap sudut berikut ini dalam derajat.

a. 0,54rad b. 3,84rad c. 11 rad

18 d.

35

4 rad

36 10. Tentukan setiap sudut berikut ini dalam

(radian).

a. 50 b. 135 c. 255 d. 330

3. PENERAPAN PADA LINGKARAN

Pada lingkaran yang berpusat di O berjari-jari r dan diameternyad2r, dengan AOB 

  dan COD masing-masing adalah sudut pusat. 1. Keliling lingkaran: K2ratau K d

2. Luas lingkaran: _L___r2_atau 2

4

Ld

3.  Sudut pusat dalam derajat: Panjang busur AB: 2

360

PB   r

 atau

Panjang busur AB:

360

PB  d

  Sudut dalam radian:

Panjang busur AB: 2 2

PB  r r



   atau

Panjang busur AB: 1 2 PB d Gambar 4 r r r A B O r  C D 

(8)

7

|

Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018 4.  Sudut dalam derajat:

Luas juring AOB: 2

360

LJ   r

 atau

Luas juring AOB: 2

360 4

LJ  d

  Sudut dalam radian:

Luas juring AOB: 2 2

2 2

r

LJ  r 



   atau

Luas juring AOB: 1 2 2

2 4 8

d

LJ   d 

5. Hubungan Panjang Busur, Sudut Pusat, dan Luas Juring (sector)

Dalam suatu lingkaran, panjang busur sebanding dengan sudut pusatnya dan juga sebanding dengan luas juringnya.

Panjangbusur Besar Luasjuring Panjangbusur Besar Luasjuring

AB AOB AOB CD COD COD     Contoh 12:

Suatu lingkaran berjari-jari 12 cm. Hitunglah a. diameter lingkaran.

b. keliling lingkaran. c. luas lingkaran.

d. panjang busur lingkaran dihadapan sudut pusat 60 . e. luas juring lingkaran dihadapan sudut pusat

3  _.

Solusi:

a. Jari-jari lingkaran r 12cm

Diameter lingkaran: d2r 2 12cm 24cm

b. Keliling lingkaran: K2r 2 3,14 12 75,36cm  atau 3,14 24 75,36cm

Kd  

c. Luas lingkaran: _L___r2 __{3,14 12}_ 2__452,16cm2_atau 2 3,14 ₂₄2 _452,16cm2

4 4

L d   

d. Panjang busur lingkaran dihadapan sudut pusat 60 : 2 360 PB   r  60 2 3,14 12 12,56cm 360        atau PB 360 d  _    60 3,14 24 12,56cm 360       e. Luas juring lingkaran dihadapan sudut pusat

3

 _{: Luas juring AOB:}

2 2 2 2 12 _3,14 3 ₁₂ _{144 75,36cm} 2 2 6 6 r LJ            atau

(9)

8

|

Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018 2 2 2 2 24 ₂₄ _{3,14 576} 3 _75,36cm 8 8 24 24 d LJ           Contoh 13:

Perhatikan gambar 5. Titik O adalah pusat lingkaran, AD adalah diameter, 5 AOB    dan 4 9 COD 

  . Jika luas juring AOB adalah 70,65 cm2_{. Tentukan luas juring COD, jari-jari, luas lingkaran, dan jumlah}

panjang busur AB dan CD.

Solusi:



Luasjuring Besar Luasjuring Besar AOB AOB COD COD   

LuasjuringCOD COD LuasjuringAOB AOB     2 4 20 9 Luas juring 70, 65 70, 65 157 cm 9 5 COD         2 5 Luasjuring 70,65 2 r COD    2 70,65 10 r  _ 2 70,65 10 ₂₂₅ 3,14 r    15cm r 

Jadi, jari-jari lingkaran adalah 15 cm.  LuasJuring LuasLingkaran 2 AOB AOB   

LuasLingkaran 2 LuasJuring AOB

AOB     2 2 70,56 705,6cm 5     

Kita juga boleh mengerjakannya sebagai berikut. _{Luaslingkaran}___r2__{3,14 15}_ 2__706,5cm2 Gambar 5 A B O D C 4 9  5 

(10)

9

|

Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018  Panjang busur AB: 15 3,14 15 9, 42cm

5 5 r         Panjang busur CD: 4 15 4 3,14 15 20,93cm 9 9 r         

Kita dapat juga mengerjakannya sebagai berikut. Panjangbusur Besar Panjangbusur Besar AB AOB CD COD    4 20 9

Panjang busur Panjangbusur 9, 42 9, 42 20,93cm

9 5 COD CD AB AOB           

Jadi, jumlah panjang busur AB dan CD = 9,42 cm + 20,93 cm = 30,35 cm.

Contoh 14:

Juring OAB dari suatu lingkaran yang berpusat di O mempunyai keliling 16. Tentukan jari-jari lingkaran agar luas juring tersebut maksimum. Berapakah besar sudut pusat AOB?

Solusi:

Misalnya r adalah jari-jari,  adalah sudut pusat dalam radian, sehingga





Keliling juringAOB  r r r 2 r16

Keliling juringAOB OA OB  panjang busurAB r r  r16 16 2 r r    16 2 r   …. (1) 2 Luas juring 2 r AOB …. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh









2 2 2 2 16 2 Luas juring 8 8 16 4 2 r r AOB r r r r r  _              

Karenanya agar luas juring tersebut maksimum, maka r 4

dan

2

.

SOAL-SOAL LATIHAN 2

1. Suatu lingkaran berjari-jari 15 cm. Hitunglah a. diameter lingkaran.

b. keliling lingkaran. c. luas lingkaran.

d. panjang busur lingkaran dihadapan sudut pusat 150 . e. luas juring lingkaran dihadapan sudut pusat 5

4  _. Gambar 6 r r A B O  

(11)

10

|

Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018 2. Titik O adalah pusat lingkaran, AD adalah diameter,

3

AOB 

  dan

4

BOC 

  . Jika luas juring AOB adalah 54 cm2_{. Tentukan}

a. luas juring COD. d. luas lingkaran. b. luas juring BOC. e. keliling lingkaran.

c. jari-jari lingkaran. f. jumlah panjang busur AB dan CD.

3. Pada lingkaran yang berpusat di O terdapat juring AOB, dengan AOB 60 dan BC OA , sehingga luas daerah yang diarsir adalah



_{96 72 3 cm}_



2_.

Tentukan diameter dari lingkaran tersebut.

4. Juring OPQ dari suatu lingkaran yang berpusat di O mempunyai keliling 20. Tentukan jari-jari lingkaran agar luas juring tersebut maksimum. Berapakah besar sudut pusat POQ?

4. JENIS-JENIS SUDUT

Sekilas kita mengingat kembali pada pelajaran geometri dasar tentang definisi sudut lancip, sudut siku-siku, sudut tumpul, dan sudut lurus.

Definisi:

a. Sudut lancip adalah sudut yang besarnya antara 0°dan90. (Gambar 8 (a)) b. Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90 . (Gambar 8 (b))

c. Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya antara 90°dan180. (Gambar 8 (c))

d.

udut lurus adalah sudut yang besarnya 180 . (Gambar 8 (d))

Contoh 15:

Diberikan tiga buah sudut x, y, dan z. Jika x y z  180dan x y z : : 1: 5: 6. Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.

Solusi:

Misalnya x k y , 5 ,dank z6k, sehingga 180

x y z   

Gambar 8

(a) Sudut lancip (b) Sudut siku-siku (c) Sudut tumpul (d) Sudut lurus Gambar 7 C A B O 60 

(12)

11

|

Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018 5 6 180 k k k  12k 180 180 15 12 k   15 , 75 ,dan 90 x y z       

Jadi, x dan y adalah sudut lancip dan z adalah sudut siku-siku.

SOAL-SOAL LATIHAN 3

1. Jika a, b, dan c adalah tiga buah sudut, dengan 2a b c  180dan : : 5 : 9 :1

a b c  . Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.

2. Jika x, y, dan z adalah tiga buah sudut, dengan 3 2

x y z    , 2

3

x y  , dan : 3: 2

x z  . Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.

3. Jika p, q, dan r adalah tiga buah sudut, dengan 5 3 p q   , 7 3 q r   , dan 3 2

p r   . Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.

5. JENIS-JENIS PASANGAN SUDUT

Jenis-jenis pasangan sudut meliputi sudut komplemen (sudut yang berpenyiku), sudut suplemen (sudut yang berpelurus), dan sudut kojugat.

Definisi:

a. Sudut komplemen (sudut yang berpenyiku) adalah dua sudut lancip yang jumlahnya 90 . Dengan perkataan lain, andaikan 0 ,  90 maka sudut

dan

  saling berkomplemen jika    90 . Kita mengatakan bahwa sudut  adalah penyiku sudut  dan sebaliknya sudut  adalah penyiku sudut  . b. Sudut suplemen (sudut yang berpelurus) adalah dua sudut antara 0dan 90yang

jumlahnya 180 . Dengan perkataan lain, andaikan 0 , 180 maka sudut dan

  saling bersuplemen jika   180.Kita mengatakan bahwa sudut  adalah pelurus sudut  dan sebaliknya sudut  adalah pelurus sudut . c. Sudut konjugat adalah dua sudut antara 0dan 360 yang jumlahnya 360 .

Dengan perkataan lain, andaikan 0 , 360 maka sudut dan saling berkonjugat jika   360.

Gambar 9 (a) Sudut Komplemen

90       (b) Sudut Suplemen   180   (c) Sudut Konjugat 360      

(13)

12

|

Contoh 16:

Diketahui sudut-sudut    dan x 20 3x 10 . Jika sudut-sudut dansaling berkomplemen, tentukan nilai x.

Solusi:

Jika sudut-sudut dan saling berkomplemen, maka haruslah 90     20 3 10 90 x     x 4x  80 20 x   Contoh 17:

Diketahui sudut-sudut    dan 70 x 6x 40 . Jika sudut-sudut dan saling berpelurus, tentukan nilai x.

Solusi:

Jika sudut-sudut dan saling berpelurus, maka haruslah 180     70    x 6x 40 180 5x 150 30 x 

SOAL-SOAL LATIHAN 4

1. Diketahui sudut-sudut 2x  dan 40 3x 20 . Jika sudut-sudut dan saling berpelurus, tentukan nilai x, , dan.

2. Diketahui sudut-sudut 4 x    dan 5 15 x 

   . Jika sudut-sudut dan saling berkomplemen, tentukan nilai x, , dan.

3. Dua buah sudut saling berkomplemen. Selisih dua kali sudut dan sudut kedua adalah pertama 90 . Tentukan kedua sudut tersebut.

6. JENIS-JENIS SEGITIGA

Pada pelajaran geometri dasar telah didefinisikan bahwa: “Jumlah sudut-sudut pada suatu segitiga adalah 180 .” Di samping itu telah dikemukakan pula tentang jenis-jenis segitiga yang ditinjau dari sudut-sudutnya, jenis-jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya, serta jenis-jenis segitiga ditinjau dari besar sudut dan panjang sisinya.

1.

Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari Sudut-sudutnya

Ada 3 jenis segitiga ditinjau dari sudut-sudutnya, yaitu segitiga lancip (acute triangle), segitiga siku-siku (right triangle), dan segitiga tumpul (obtuse triangle).

(14)

13

|

a. Segitiga Lancip (Acute Triangle)

Segitiga lancip adalah segitiga yang besar setiap sudutnya lancip atau besar setiap sudutnya berkisar antara 0dan 90(acute angle).

Pada gambar 10: ABC adalah segitiga lancip,0     A B, , C 90

b. Segitiga Siku-siku (Right Triangle)

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku atau besar sudutnya 90 (right angle)

Pada gambar 11: ABC adalah segitiga siku-siku,    ( CC 90  siku-siku)

c. Segitiga Tumpul (Obtuse Triangle)

Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul atau besar sudutnya berkisar antara 90 dan180 (obtuse angle). Pada gambar 12: ABCadalah segitiga tumpul,0    A B, 90 dan

90   C 180_{ ( B} tumpul).

2.

Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi-sisinya

Ada 3 jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya, yaitu segitiga sembarang (scalene), segitiga sama kaki (isosceles), segitiga sama sisi (equilateral).

a. Segitiga Sembarang (Scalene)

Segitiga sembarang adalah segitiga yang besar ketiga sudutnya berbeda dan juga ketiga panjang sisinya berbeda.

Gambar 10 A B C A B C Gambar 11 Gambar 12 A C B

(15)

14

|

Pada gambar 13: ABC adalah segitiga sembarang,      dan A B C BC AC AB  _.

b. Segitiga Sama Sisi (Equilateral)

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Pada gambar 14: ABC adalah segitiga sama sisi,      dan A B C

BC AC AB  .

Karena ABC adalah segitiga sama sisi, maka     A B C 180 : 3 60  

c. Segitiga Sama Kaki (Isosceles)

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua sisi sama panjang. Pada gambar 15: ABC adalah segitiga sama kaki, AB AC .

Karena ABCadalah segitiga sama kaki, dengan AB AC , maka 180

2

A

B C   

    .

3. Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari besar sudut dan Panjang Sisinya

Ada 7 macam jenis-jenis segitiga ditinjau dari besar sudut dan panjang sisinya.

a. Segitiga Sembarang

Ada 3 jenis segitiga sembarang, yaitu segitiga lancip sembarang, segitiga siku-siku sembarang, dan segitiga tumpul sembarang.

Gambar 13 A B C Gambar 14 A B C Gambar 15 A B C

(16)

15

|

b. Segitiga Sama Kaki

Ada 3 segitiga sama kaki, yaitu segitiga lancip sama kaki, segitiga siku-siku sama kaki, dan segitiga tumpul sama kaki.

c. Segitiga Sama Sisi

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Segitiga sama sisi dapat dilihat gambar Gambar 14.

3.

Jenis-jenis Segitiga Istimewa

Segitiga istimewa atau khusus adalah segitiga yang mempunyai sifat-sifat istimewa atau khusus, yang berkaitan dengan panjang sisi-sisinya maupun besar sudut-sudutnya. Adapun yang tergolong ke dalam jenis-jenis segitiga istimewa tersebut adalah segitiga sama sisi (Gambar 14), segitiga sama kaki (Gambar 15), dan segitiga siku-siku (Gambar 16 (b)).

Contoh 18:

Diketahui ABC dengan sudut-sudut A, B, dan C berbanding sebagai 2: 7 : 9 . Tentukan sudut-sudut segitiga dan jenis segitiga tersebut.

Solusi:

Misalnya sudut-sudut A2 ,k B7 ,dank C9k.

Dalam ABC berlaku bahwa jumlah sudut-sudutnya adalah 180.

Gambar 16 (a)  ABC Lancip

Sembarang A

B C

(b)  ABC Siku-siku

Sembarang (c) Sembarang  ABC Tumpul A

C B

A

B C

(a)  ABC Lancip Sama Kaki, KakiAB AC dan   B C

A

B C

Gambar 17

(c) ABC Tumpul Sama Kaki, KakiAC BC ,   A B dan Ctumpul

A

C B

(b) ABCSiku-siku Sama Kaki, KakiAC BC ,

A B

   dan   C 90

A

(17)

16

|

Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018 180 A B C    2k7k9k180 18k 180 10 x   20 , 70 ,dan 90 A B  C 

Jadi, jenis ABC adalah segitiga siku-siku.

Contoh 19:

Diketahui ABC dengan sudut-sudutnya adalah     , A x 20  B 7x  , dan 10 110 5

C x

   . Tentukan jenis segitiga tersebut.

Solusi: 180 A B C      20 7 10 110 5 180 x  x   x  3x  60 20 x   20 20 20 40 A x          7 10 140 10 130 B x          110 100 10 C     

Jadi, jenis ABC adalah segitiga tumpul.

SOAL-SOAL LATIHAN 5

1. Diketahui ABC dengan sudut-sudutnya berbanding sebagai 1: 2 : 6 . Tentukan besar sudut-sudut segitiga dan jenis segi tiga tersebut.

2. Tentukan besar sudut-sudut dan jenis PQR yang sudut-sudutnya adalah 50

P x

    ,  Q 5x 30 , dan  R 1202x.

3. Tentukan jenis segitiga yang sudut-sudutnya berbanding sebagai 1: 2 : 3 .

7. TEOREMA PYTHAGORAS

Pada segitiga siku-siku, sisi yang terletak di depan sudut siku-siku disebut adalah hipotenusa (hypotenuse) atau sisi miring dan sisi-sisi yang lainnya disebut kaki-kaki atau sisi-sisi siku. Hipotenusa selalu lebih panjang dari sisi siku-sikunya. Pada gambar 14 ditunjukkan ABC dengan sudut siku-siku C , sehingga hipotenusanya adalah segmen garis AB yang panjangnya c, dan sisi-sisi

dan

AC BCadalah kaki-kakinya atau sisi siku-sikunya yang panjangnya masing-masing a dan b.

Gambar 18

A

B a C

(18)

17

|

Hubungan sisi-sisi pada segitiga siku-siku dapat ditentukan menggunakan Teorema Pythagoras yang dirumuskan sebagai berikut.

“Kuadrat panjang hipotenusa dari segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya”

Kita dapat menuliskan teorema Pythagoras dari gambar 14:

2 2 2

AB BC AC

2 2 2

c a b

Bukti:

Tarik garis tinggi CD.

Misalnya AD x , sehingga BD c x  . Perhatikan ADCdanACB

akibatnya 90 CAD BAC ACD ABC CDA BCA    _ _ _{ }     _{ }  ADC ACB Sehingga AC AB AD AC b c x b 2 cx b …. (1)

Perhatikan BDCdanBCA

akibatnya 90 CBD CBA BAC BCD BDC BCA             _{ }  BDC BCA Sehingga BC BA BD BC a c c x a _c2__{cx a}_ 2_{…. (2)}

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh _c2__b2 __a2

_c2 __a2__b2_(QED) Contoh 20:

Diketahui ABC siku-siku di A, dengan BC 15cm danAC 8cm. Tentukan panjang sisi AB.

Solusi: Menurut Pythagoras: 2 2 2 AB BC AC 2 ₁₅2 ₈2 _{225 64 289} AB      289 17cm AB   Gambar 20 A B a = 15 C c _{b = 8} Gambar 19 A B a C x b c x D

(19)

18

|

Contoh 21:

Diketahui ABC dengan BC 13cm, AC 14cm, dan AC 15cm. CD adalah garis tinggi yang ditarik dari titik C ke sisi AB. Tentukan panjang CD.

Solusi:

Misalnya BD x , sehingga AD  . 15 x Menurut Pythagoras dalam BCD :

2 2 2

CD BC BD

2 ₁₃2 2 ₁₆₉ 2

CD  x  x …. (1) Menurut Pythagoras dalam ACD .

2 2 2

CD AC AD





2

2 ₁₄2 ₁₅ _{196 225 30} 2 _{29 30} 2

CD   x    x x    x x …. (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

2 2 169x   29 30x x 30x 198 33 5 x  2 2 ₁₆₉ 33 ₁₆₉ 1089 3136 5 25 25 CD  _ _      3136 56 _{11, 2cm} 25 5 CD    Contoh 22:

Selembar kertas berbentuk persegi panjang yang berukuran panjang 8 cm dan lebar 6 cm dilipat dengan cara menghubungkan titik B dan D sepanjang garis lipatan EF. Tentukan EF.

Solusi:

Kertas dilipat dengan cara menghimpitkan titik B pada titik D, sehingga titik C menjadi C dan BCF DC F'

Misalnya G adalah titik tengah BD. Perhatikan DGFdanBGF. Gambar 21 C A 15  x B 15 b = 14 _{a = 13} D x Gambar 23 C A B F E D=B C x _{8  x} 6 G arah lipatan kertas Gambar 22 C A B F E D kertas

(20)

19

|

Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018 (S-S-S) BF DF BG DG DGF BGF FG FG     _     _ (S-Sd-Sd) AG CG GCF GAE GCF GAE GFC GEA              _ BE AB AE CD CF DF    

segi empat BEDF adalah belah ketupat Menurut Pythagoras dalam ABD :

2 2 2 ₆2 ₈2 ₁₀₀ BD AD AB    100 10 BD   10 5 2 DG   Misalnya AE CF x  , sehingga BE BF DF AD     8 x Menurut Pythagoras dalam ABE :

2 2 2 DE AD AE



₈__x



2 _₆2__x2 2 2 64 16 x x 36x 16x 64 36 28  28 7 16 4 x   7 25 8 8 4 4 DE    x

Menurut Pythagoras dalam DEG :

2 2 2 2 25 ₅2 625 ₂₅ 225 4 16 16 EG DE DG _ _       225 15 16 4 EG   15 15 1 2 2 7 cm 4 2 2 EF EG       

8. TRIPEL PYTHAGORAS

Perhatikan pasangan bilangan



3, 4,5



. Bilangan ini memenuhi hubungan

2 2 2

3 4 5 . Demikian pula pasangan bilangan



8,15,17



juga memenuhi

hubungan ₂₀2_₂₁2 _₂₉2_{. Pasangan-pasangan bilangan ini disebut Tripel}

Pythagoras. Karenanya, dikatakan bahwa Triple Pythagoras adalah tripel bilangan bulat positif a, b, dan c yang memenuhi persamaan _a2__b2__c2_{. Bilangan-bilangan}

ini berpadanan dengan sisi-sisi segitiga siku-siku, sehingga memenuhi teorema Pythagoras. Sebenarnya berlaku secara umum pada sembarang segitiga siku-siku

(21)

20

|

dengan sisi-sisi tegak a dan b dan hipotenusa (sisi miring) c dengan a, b, dan c tidak harus merupakan bilangan bulat, tetapi sembarang bilangan real positif. Untuk mendapatkan Triple Pythagoras digunakan rumus sebagai berikut ini.

Pada tabel 1 disajikan beberapa tripel Pythagoras. Tabel 1:

Contoh 23:

Tentukan nilai x dan y dari setiap pasangan tiga bilangan



88,105, x



dan



44,125, y



_{yang merupakan Tripel Pythagoras.} Solusi:

2 2 2

a b c , dengan a, b, dan c adalah Tripel Pythagoras Dasar, sehingga a genap, b ganjil, dan c ganjil atau a ganjil, b genap, dan c ganjil.



88,105, x



berarti a88,b105,c x ataua88,b x c , 105

_{x }2 ₈₈2_₁₀₅2 __{18769 137}_ 2

 x 137



44,125, y



berarti a44,b125,cyataua44,by c, 125 _{y }2 ₄₄2_₁₂₅2 _₁₇₅₆₁_{(bukan bilangan kuadrat sempurna)}

₁₂₅2_₄₄2__y2

_{y }2 ₁₂₅2_₄₄2 __{13689 117}_ 2

 y 117

SOAL-SOAL LATIHAN 6

1. Diberikan ABCsiku-siku di C. Lengkapilah table 2 berikut ini. Tabel 2: No. m n _{a m}_ 2__n2 _b_₂_mn _{c m}_ 2__n2 1. 2 1 3 4 5 2 3 2 5 12 13 3 4 1 15 8 17 4 4 3 7 24 25 5 5 2 21 20 29 6 5 4 7 40 41

Panjang Sisi Nomor Soal

(1) (2) (3) (4) (5) (6) a 12 …. 24 25 …. 43 b 35 84 …. 312 840 …. c …. 85 145 …. 841 925

Untuk m dan n anggota bilangan bulat positif, m dan n tidak mempunyai faktor sekutu selain 1, FPB = 1 dan m n , berlaku _{a m}_ 2__n2_,_b_₂_mn_{, dan}

2 2