Untuk SMA dan Sederajat

(1)

0

|

Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

TRIGONOMETRI

Untuk SMA dan Sederajat

Husein Tampomas

(2)

1

|

BAB 1

PENGANTAR KE FUNGSI TRIGONOMETRI

PENGERTIAN

Dalam bahasa Yunani, trigonometri terdiri dari dua kata, yaitu trigono yang artinya

segitiga dan metro yang artinya ukuran.

Trigonometri adalah ilmu yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut dari segitiga.

1. PENAMAAN SISI DAN SUDUT PADA SEGITIGA

Dalam geometri dasar, segitiga ABC dinotasikan ABC mempunyai unsur-unsur yang meliputi sisi dan sudut. Penamaan sisinya adalah sisi BCa (di depan A), sisiACb (di depan B) , dan sisiABc (di depan C). Tetapi kadang-kadang sisi-sisi suatu segitiga dapat dinotasikan dengan huruf kecil lainnya seperti

x, y, z, h, dan sebagainya.

Sudut ABC dinotasikan ABC biasa juga menggunakan nama titik sudutnya B. Tetapi kadang-kadang hanya menggunakan huruf kapital dari titik sudutnya, misalnya A, B, P, W, X, dan sebagainya atau huruf kecil, misalnya p, t, x, y, z, dan sebagainya. Penamaan sudut tersebut juga kerapkali menggunakan huruf kapital atau kecil dari alphabet Yunani, misalnya BAC   A A ,

ABC B B 

     , dan ACB   C C .

Tabel 1 Alphabet Yunani

Huruf Nama Huruf Nama Huruf Nama

Gambar 1 b

a c

A

(3)

2

|

2. PENGUKURAN SUDUT

Ukuran sudut yang dipergunakan di sini adalah derajat dan radian.

a. Ukuran Sudut dalam Derajat

Definisi:

putaran 360

1 1

O adalah pusat lingkaran

r adalah jari-jari lingkaran

OA = OB = r 1

= 1° = putaran 360

AOB



Sehingga,1putaran360

Ukuran sudut yang lebih kecil (halus) adalah menit dan detik. 1 60'

(menit)

1'60"

(detik)

" 600 . 3 1

Contoh 1:

Nyatakan dalam ukuran derajat, menit, dan detik dari 65,37.

Solusi:

65,38   63 0,38   63 0,38 60 '   63 22,8'63 22 ' 0,8'

  63 22 ' 0,8 60"   63 22' 48" Jadi, 63,38 63 22 ' 48" .

Contoh 2:

Nyatakan dalam ukuran derajat dari 126 48'54" .

Solusi:

1 1

126 48'54" 126 48 54

60 3600

       _  _ _  _

    126 0,8 0, 015 126,815

Contoh 3:

Diberikan 56,18. Nyatakan dalam derajat, menit, dan detik dari 4dan 7

8. Solusi:

4  4 56,18 224, 72 224 0, 72 224 0, 72 60 ' 224 43, 2 '

224 43' 0, 2 ' 224 43' 0, 2 60"  22443' 12" Jadi, 4224 43'12"

7 7

56,18 49,1575

8  8    49 0,1575 49 0,1575 60 ' 49 9, 45'

49  9 ' 0, 45 60"   49 9' 27"

 r _r 1

A

B O

(4)

3

|

b. Ukuran Sudut dalam Radian

Definisi:

Satu radian ditulis 1 rad, adalah besar sudut yang dihasilkan oleh perputaran sebesar jari-jari lingkaran.

O adalah pusat lingkaran

r adalah jari-jari lingkaran Busur AB = OA = OB = r

c. Konversi Ukuran Putaran, Derajat, dan Radian

 Konversi dari ukuran radian ke derajat:

π 180 rad

1  

 Konversi dari ukuran derajat ke radian:

rad 180

π 1

 Konversi ukuran derajat ke putaran:

1

1 putaran 360

 

 Konversi ukuran putaran ke derajat:

(5)

4

|

 Konversi ukuran radian ke putaran:

1

1rad putaran 2



 Konversi ukuran putaran ke radian:

1putaran2 rad dengan  3,14159...

Catatan:

Perhatikan bahwa dan22 7

rasional. Kedua bilangan dan22 7

 sama senilai pada nilai 3,14.

Contoh 5:

Tentukan dalam ukuran derajat dari a. 1 putaran

2 putaran 360 990

4  4   

b. 5putaran 5 360 100

18 18    d. nputaran n 360 Contoh 6:

Tentukan dalam ukuran putaran dari

a. 60 b. 150 c. 270 d. n

(6)

5

|

Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018 Tentukan setiap sudut berikut ini dalam putaran.

a. 3 rad b. 3 rad

Tentukan setiap sudut berikut ini dalam derajat. a. 2 rad b. 3 rad

Tentukan setiap sudut berikut ini dalam

(radian).

a. 45 b. 210 c. 300 d. n

Jika jika  3,14

, tentukan setiap sudut berikut ini dalam radian.

a.

145

b.

72 54'

c.

38 36'45"

Solusi:

a.

145 145 145 3,14 2,53rad

180 180

SOAL-SOAL LATIHAN 1

Selesaikanlah setiap soal berikut ini.

(7)

6

|

a. 0, 49 b. 8,51 c. 54, 28 d. 108,355

2. Nyatakan dalam ukuran derajat dari

a. 9 30' b. 728 36" c. 25 36'54" d. 48 12'45"

5. Tentukan dalam ukuran derajat dari a. 1putaran

6. Tentukan dalam ukuran putaran dari

a. 75 b. 120 c. 240 d. 315 7. Tentukan setiap sudut berikut ini dalam radian.

a. 5 putaran

8. Tentukan setiap sudut berikut ini dalam putaran. a. 2 rad 9. Tentukan setiap sudut berikut ini dalam derajat.

a. 0,54 rad b. 3,84 rad c. 11 rad

18 d. 35

4 rad

36 10. Tentukan setiap sudut berikut ini dalam

(radian).

a. 50 b. 135 c. 255 d. 330

3. PENERAPAN PADA LINGKARAN

Pada lingkaran yang berpusat di O berjari-jari r dan diameternyad2r, dengan

3.  Sudut pusat dalam derajat: Panjang busur AB: 2

 Sudut dalam radian:

(8)

7

|

Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018 4.  Sudut dalam derajat:

Luas juring AOB: 2

 Sudut dalam radian:

Luas juring AOB:

5. Hubungan Panjang Busur, Sudut Pusat, dan Luas Juring (sector)

Dalam suatu lingkaran, panjang busur sebanding dengan sudut pusatnya dan juga sebanding dengan luas juringnya.

Panjangbusur Besar Luas juring Panjangbusur Besar Luas juring

AB AOB AOB

Suatu lingkaran berjari-jari 12 cm. Hitunglah a. diameter lingkaran.

b. keliling lingkaran. c. luas lingkaran.

d. panjang busur lingkaran dihadapan sudut pusat 60. e. luas juring lingkaran dihadapan sudut pusat

3

2 3,14 12 12,56cm 360

e. Luas juring lingkaran dihadapan sudut pusat

(9)

8

|

Perhatikan gambar 5. Titik O adalah pusat lingkaran,

AD adalah diameter,

LuasjuringCOD COD LuasjuringAOB AOB

Jadi, jari-jari lingkaran adalah 15 cm.  Luas Juring

LuasLingkaran 2 Luas JuringAOB AOB

(10)

9

|

Kita dapat juga mengerjakannya sebagai berikut.

Panjang busur Panjangbusur 9, 42 9, 42 20, 93cm

9 Tentukan jari-jari lingkaran agar luas juring tersebut maksimum. Berapakah besar sudut pusat AOB?

Solusi:

Misalnya r adalah jari-jari,  adalah sudut pusat dalam radian, sehingga





Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh









SOAL-SOAL LATIHAN 2

1. Suatu lingkaran berjari-jari 15 cm. Hitunglah a. diameter lingkaran.

b. keliling lingkaran. c. luas lingkaran.

d. panjang busur lingkaran dihadapan sudut pusat 150. e. luas juring lingkaran dihadapan sudut pusat 5

(11)

10

|

Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018 2. Titik O adalah pusat lingkaran, AD adalah diameter,

3

AOB 

  dan

4

BOC 

  . Jika luas juring AOB adalah 54 cm2. Tentukan a. luas juring COD. d. luas lingkaran.

b. luas juring BOC. e. keliling lingkaran.

c. jari-jari lingkaran. f. jumlah panjang busur AB dan CD.

3. Pada lingkaran yang berpusat di O terdapat juring AOB, dengan AOB 60 dan BCOA, sehingga luas daerah yang diarsir adalah



96 72 3 cm



2. Tentukan diameter dari lingkaran tersebut.

4. Juring OPQ dari suatu lingkaran yang berpusat di O mempunyai keliling 20. Tentukan jari-jari lingkaran agar luas juring tersebut maksimum. Berapakah besar sudut pusat POQ?

4. JENIS-JENIS SUDUT

Sekilas kita mengingat kembali pada pelajaran geometri dasar tentang definisi sudut lancip, sudut siku-siku, sudut tumpul, dan sudut lurus.

Definisi:

a. Sudut lancip adalah sudut yang besarnya antara 0°dan90. (Gambar 8 (a)) b. Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90. (Gambar 8 (b))

c. Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya antara 90°dan180. (Gambar 8 (c))

d.

udut lurus adalah sudut yang besarnya 180. (Gambar 8 (d))

Contoh 15:

Diberikan tiga buah sudut x, y, dan z. Jika x  y z 180dan x y z: : 1: 5 : 6. Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.

Solusi:

Misalnya xk y, 5 , dank z6k, sehingga

180

x  y z 

Gambar 8

(a)Sudut lancip (b) Sudut siku-siku (c) Sudut tumpul (d) Sudut lurus Gambar 7

C A

B

O

60

(12)

11

|

SOAL-SOAL LATIHAN 3

1. Jika a, b, dan c adalah tiga buah sudut, dengan 2a b c  180dan

: : 5 : 9 :1

a b c . Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.

2. Jika x, y, dan z adalah tiga buah sudut, dengan 3

x z . Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.

3. Jika p, q, dan r adalah tiga buah sudut, dengan 5

p r  . Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.

5. JENIS-JENIS PASANGAN SUDUT

Jenis-jenis pasangan sudut meliputi sudut komplemen (sudut yang berpenyiku), sudut suplemen (sudut yang berpelurus), dan sudut kojugat.

Definisi: b. Sudut suplemen (sudut yang berpelurus) adalah dua sudut antara 0 dan 90yang

jumlahnya 180. Dengan perkataan lain, andaikan 0 , 180 maka sudut dan

  saling bersuplemen jika   180.Kita mengatakan bahwa sudut  adalah pelurus sudut  dan sebaliknya sudut  adalah pelurus sudut . c. Sudut konjugat adalah dua sudut antara 0 dan 360 yang jumlahnya 360.

Dengan perkataan lain, andaikan 0 , 360 maka sudut dan saling berkonjugat jika   360.

Gambar 9 (a)Sudut Komplemen

90

   

 

(b) Sudut Suplemen   180

 

(c) Sudut Konjugat

360

   

(13)

12

|

Contoh 16:

Diketahui sudut-sudut   x 20 dan 3x 10 . Jika sudut-sudut dansaling berkomplemen, tentukan nilai x.

Solusi:

Jika sudut-sudut dan saling berkomplemen, maka haruslah

90

   

20 3 10 90

x     x

4x 80 20

x 

Contoh 17:

Diketahui sudut-sudut   70 x dan 6x 40 . Jika sudut-sudut dan saling berpelurus, tentukan nilai x.

Solusi:

Jika sudut-sudut dan saling berpelurus, maka haruslah

180

   

70    x 6x 40 180 5x 150

30

x

SOAL-SOAL LATIHAN 4

1. Diketahui sudut-sudut 2x 40 dan 3x 20 . Jika sudut-sudut dan saling berpelurus, tentukan nilai x, , dan.

2. Diketahui sudut-sudut

4

x 

  dan 5 15

x 

   . Jika sudut-sudut dan saling berkomplemen, tentukan nilai x, , dan.

3. Dua buah sudut saling berkomplemen. Selisih dua kali sudut dan sudut kedua adalah pertama 90. Tentukan kedua sudut tersebut.

6. JENIS-JENIS SEGITIGA

Pada pelajaran geometri dasar telah didefinisikan bahwa: “Jumlah sudut-sudut pada suatu segitiga adalah 180.” Di samping itu telah dikemukakan pula tentang jenis-jenis segitiga yang ditinjau dari sudut-sudutnya, jenis-jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya, serta jenis-jenis segitiga ditinjau dari besar sudut dan panjang sisinya.

1.

Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari Sudut-sudutnya

(14)

13

|

a. Segitiga Lancip (Acute Triangle)

Segitiga lancip adalah segitiga yang besar setiap sudutnya lancip atau besar setiap sudutnya berkisar antara 0 dan 90(acute angle).

Pada gambar 10: ABCadalah segitiga lancip,0     A, B, C 90

b.

Segitiga Siku-siku (Right Triangle)

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku atau besar sudutnya 90(right angle)

Pada gambar 11: ABCadalah segitiga siku-siku,   C 90 (Csiku-siku)

c.

Segitiga Tumpul (Obtuse Triangle)

Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul atau besar sudutnya berkisar antara 90 dan180 (obtuse angle). Pada gambar 12: ABCadalah segitiga tumpul,0    A, B 90 dan

90   C 180₍Btumpul).

2.

Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi-sisinya

Ada 3 jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya, yaitu segitiga sembarang (scalene), segitiga sama kaki (isosceles), segitiga sama sisi (equilateral).

a. Segitiga Sembarang (Scalene)

Segitiga sembarang adalah segitiga yang besar ketiga sudutnya berbeda dan juga ketiga panjang sisinya berbeda.

Gambar 10

A

B C

A

B C

Gambar 11

Gambar 12

A

(15)

14

|

Pada gambar 13: ABCadalah segitiga sembarang,     A B Cdan

BCACAB_.

b. Segitiga Sama Sisi (Equilateral)

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Pada gambar 14: ABCadalah segitiga sama sisi,     A B Cdan

BCACAB.

Karena ABCadalah segitiga sama sisi, maka     A B C 180 : 3 60  

c. Segitiga Sama Kaki (Isosceles)

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua sisi sama panjang. Pada gambar 15: ABCadalah segitiga sama kaki, ABAC.

Karena ABCadalah segitiga sama kaki, dengan ABAC, maka 180

2

A

B C   

    .

3. Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari besar sudut dan Panjang Sisinya

Ada 7 macam jenis-jenis segitiga ditinjau dari besar sudut dan panjang sisinya.

a. Segitiga Sembarang

Ada 3 jenis segitiga sembarang, yaitu segitiga lancip sembarang, segitiga siku-siku sembarang, dan segitiga tumpul sembarang.

Gambar 13

A

B C

Gambar 14

A

B C

Gambar 15

A

(16)

15

|

b. Segitiga Sama Kaki

Ada 3 segitiga sama kaki, yaitu segitiga lancip sama kaki, segitiga siku-siku sama kaki, dan segitiga tumpul sama kaki.

c. Segitiga Sama Sisi

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Segitiga sama sisi dapat dilihat gambar Gambar 14.

3.

Jenis-jenis Segitiga Istimewa

Segitiga istimewa atau khusus adalah segitiga yang mempunyai sifat-sifat istimewa atau khusus, yang berkaitan dengan panjang sisi-sisinya maupun besar sudut-sudutnya. Adapun yang tergolong ke dalam jenis-jenis segitiga istimewa tersebut adalah segitiga sama sisi (Gambar 14), segitiga sama kaki (Gambar 15), dan segitiga siku-siku (Gambar 16 (b)).

Contoh 18:

Diketahui ABC dengan sudut-sudut A, B, dan C berbanding sebagai 2 : 7 : 9 . Tentukan sudut-sudut segitiga dan jenis segitiga tersebut.

Solusi:

Misalnya sudut-sudut A2 ,k B7 , dank C9k.

Dalam ABC berlaku bahwa jumlah sudut-sudutnya adalah 180. Gambar 16

(a)ABCLancip Sembarang

A

B C

(b)ABCSiku-siku Sembarang

(c) ABC Tumpul Sembarang A

C B

A

B C

(a) ABC Lancip Sama Kaki, KakiABAC

dan   B C A

B C

Gambar 17

(c) ABC Tumpul Sama Kaki, KakiACBC,   A B

dan Ctumpul

A

C B

(b) ABC Siku-siku Sama Kaki, KakiACBC,

A B

   dan   C 90

A

(17)

16

|

Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018 180

A B C   

2k7k9k180

18k180

10

x 

20 , 70 , dan 90

A   B C 

Jadi, jenis ABC adalah segitiga siku-siku.

Contoh 19:

Diketahui ABC dengan sudut-sudutnya adalah    A x 20 ,  B 7x 10 , dan 110 5

C x

   . Tentukan jenis segitiga tersebut.

Solusi:

180

A B C

    

20 7 10 110 5 180

x  x   x 

3x 60 20

x 

20 20 20 40

A x

        

7 10 140 10 130

B x

         110 100 10

C

    

Jadi, jenis ABC adalah segitiga tumpul.

SOAL-SOAL LATIHAN 5

1. Diketahui ABC dengan sudut-sudutnya berbanding sebagai 1: 2 : 6 . Tentukan besar sudut-sudut segitiga dan jenis segi tiga tersebut.

2. Tentukan besar sudut-sudut dan jenis PQR yang sudut-sudutnya adalah 50

P x

   ,  Q 5x 30 , dan  R 1202x.

3. Tentukan jenis segitiga yang sudut-sudutnya berbanding sebagai 1: 2 : 3 .

7. TEOREMA PYTHAGORAS

Pada segitiga siku-siku, sisi yang terletak di depan sudut siku-siku disebut adalah hipotenusa (hypotenuse) atau sisi miring dan sisi-sisi yang lainnya disebut kaki-kaki atau sisi-sisi siku. Hipotenusa selalu lebih panjang dari sisi siku-sikunya. Pada gambar 14 ditunjukkan ABC dengan sudut siku-siku C, sehingga hipotenusanya adalah segmen garis AB yang panjangnya c, dan sisi-sisi

dan

AC BCadalah kaki-kakinya atau sisi siku-sikunya yang panjangnya masing-masing a dan b.

Gambar 18

A

B a C

c

(18)

17

|

Hubungan sisi-sisi pada segitiga siku-siku dapat ditentukan menggunakan Teorema Pythagoras yang dirumuskan sebagai berikut.

“Kuadrat panjang hipotenusa dari segitiga siku-siku sama dengan jumlah

kuadrat panjang sisi siku-sikunya”

Kita dapat menuliskan teorema Pythagoras dari gambar 14:

(19)

18

|

Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018 Menurut Pythagoras dalam BCD:

2 2 2

CD BC BD

2 ₁₃2 2 ₁₆₉ 2

CD  x  x …. (1) Menurut Pythagoras dalam ACD.

2 2 2

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

2 2

(20)

19

|

GCF GAE GCF GAE GFC GEA

segi empat BEDF adalah belah ketupat Menurut Pythagoras dalam ABD:

2 2 2 2 2

Menurut Pythagoras dalam ABE:

2 2 2

Menurut Pythagoras dalam DEG: 2

8. TRIPEL PYTHAGORAS

Perhatikan pasangan bilangan



3, 4, 5



. Bilangan ini memenuhi hubungan

2 2 2

(21)

20

|

dengan sisi-sisi tegak a dan b dan hipotenusa (sisi miring) c dengan a, b, dan c

tidak harus merupakan bilangan bulat, tetapi sembarang bilangan real positif. Untuk mendapatkan Triple Pythagoras digunakan rumus sebagai berikut ini.

Pada tabel 1 disajikan beberapa tripel Pythagoras. Tabel 1:

Contoh 23:

Tentukan nilai x dan y dari setiap pasangan tiga bilangan



88,105,x



dan



44,125,y



_{yang merupakan Tripel Pythagoras.}

Solusi:

2 2 2

a b c , dengan a, b, dan c adalah Tripel Pythagoras Dasar, sehingga a genap,

b ganjil, dan c ganjil atau a ganjil, b genap, dan c ganjil.



88,105,x



berarti a88,b105,cxataua88,bx c, 105

2 2 2 2

88 105 18769 137

x    

 x 137



44,125,y



berarti a44,b125,cyataua44,by c, 125 _y2_₄₄2_₁₂₅2 _₁₇₅₆₁_{(bukan bilangan kuadrat sempurna)}

2 2 2

125 44 y

_y2_₁₂₅2_₄₄2 _₁₃₆₈₉_₁₁₇2

 y 117

SOAL-SOAL LATIHAN 6

1. Diberikan ABCsiku-siku di C. Lengkapilah table 2 berikut ini. Tabel 2:

No. m n _a__m2__n2 _b₂_mn _c__m2__n2

1. 2 1 3 4 5

2 3 2 5 12 13

3 4 1 15 8 17

4 4 3 7 24 25

5 5 2 21 20 29

6 5 4 7 40 41

Panjang Sisi Nomor Soal

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

a 12 …. 24 25 …. 43

b 35 84 …. 312 840 ….

c …. 85 145 …. 841 925

Untuk m dan n anggota bilangan bulat positif, m dan n tidakmempunyai faktor sekutu selain 1, FPB = 1 dan mn, berlaku _a__m2__n2_,

2

b mn, dan

2 2