Bab 3. Sistem Koordinat Ortogonal. 3.1 Sistem Koordinat Kartesian. cakul fi5080 by khbasar; sem

cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

Bab 3

Sistem Koordinat Ortogonal

Sistem koordinat merupakan cara pandang terhadap suatu masalah. Peng-gunaan sistem koordinat yang berbeda dalam menyelesaikan suatu masalah berarti melihat masalah tersebut dari sudut pandang yang berbeda. Dalam banyak persoalan, pemilihan sistem koordinat yang sesuai dapat memudah-kan dalam menganalisa persoalan tersebut. Demikian juga dalam menga-nalisa gerak suatu benda, penggunaan sistem koordinat yang sesuai dapat memudahkan dan menyederhanakan analisa yang dilakukan.

Dalam bagian ini akan dibahas 3 macam sistem koordinat yang banyak di-gunakan yaitu: sistem koordinat Kartesian (SKK), sistem koordinat silinder (SKS) dan sistem koordinat bola (SKB). Ketiga sistem koordinat ini me-rupakan sistem koordinat yang ortogonal karena vektor-vektor satuan pada masing-masing sistem koordinat tersebut saling tegak lurus.

3.1

Sistem Koordinat Kartesian

Sistem koordinat kartesian (SKK) merupakan sistem koordinat yang paling sering digunakan. SKK 3 dimensi berguna untuk menyatakan posisi suatu objek dalam ruang sedangkan SKK 2 dimensi untuk menyatakan posisi objek pada bidang (permukaan) datar tertentu. Dalam SKK posisi suatu titik atau objek dideskripsikan dengan 3 koordinat yaitu x, y dan z. Vektor suatu posisi objek yang terletak pada koordinat (x, y, z) dalam SKK dinyatakan dengan

r = xi + yj + zk (3.1)

Vektor-vektor satuan dalam SKK adalah i, j dan k yang masing-masing merupakan vektor-vektor satuan dalam arah x, y dan z.

Elemen luas dalam sistem koordinat kartesis dapat dituliskan sebagai 39

θ

z

r

(r,

θ

_,z

₎

Gambar 3.1: Sistem koordinat silinder.

berikut

dA = dx dy, atau dA = dx dz, atau dA = dy dz (3.2)

Sedangkan elemen volume dalam sistem koordinat kartesian adalah

dV = dx dy dz (3.3)

3.2

Sistem Koordinat Silinder

Sistem koordinat ini berguna untuk menganalisa gerak benda bila benda bergerak melingkar (dua dimensi) maupun gerak spiral (tiga dimensi). Dalam sistem koordinat silinder (SKS), posisi suatu titik P dalam ruang dinyatakan dengan 3 koordinat, yaitu r, θ, dan z. Dengan r menyatakan jarak proyeksi titik tersebut pada bidang horizontal dari pusat koordinat O, θ adalah sudut yang dibentuk proyeksi titik P pada bidang horizontal diukur berlawanan arah jarum jam dan z adalah ketinggian titik tersebut dari bidang horizontal, sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 3.1.

variabel-cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

3.3. VEKTOR-VEKTOR SATUAN DALAM SISTEM KOORDINAT SILINDER₄₁

variabel dalam SKK adalah sebagai berikut

r =px2_{+ y}2 θ = arctany x  z = z (3.4) atau x = r cos θ y = r sin θ z = z (3.5)

Misalkan suatu titik P dalam ruang yang dalam sistem koordinat kar-tesian posisinya dinyatakan dengan (x, y, z) maka titik P tersebut bila

di-nyatakan dalam sistem koordinat silinder adalah (px2_{+ y}2_{, arctan} y

x
, z).

Sistem koordinat silinder dengan z = 0 berubah menjadi sistem koordinat polar (2 dimensi).

Vektor posisi suatu titik dalam sistem koordinat silinder dinyatakan de-ngan

r= r ˆu_r+ z ˆu_z (3.6)

3.3

Vektor-vektor satuan dalam sistem

koo-rdinat silinder

Vektor satuan dalam suatu sistem koordinat dapat ditentukan dengan meli-hat arah perubahan positif dari variabel yang terkait dalam sistem koordinat tersebut. Sebagai misal dalam sistem koordinat kartesian, vektor satuan i,

j dan k masing-masing berarah sesuai dengan arah perubahan positif dari

variabel x, y dan z. Ketiga vektor satuan ini saling tegak lurus satu sama lainnya. Demikian juga untuk vektor-vektor satuan dalam koordinat silinder

yang melibatkan variabel r, θ dan z, maka vektor satuan ˆu_rmempunyai arah

sesuai dengan arah perubahan positif variabel r (yaitu berarah radial, keluar)

sedangkan vektor satuan ˆuθ mempunyai arah sesuai dengan arah

perubah-an positif variabel θ (yaitu berarah tperubah-angensial, atau seperti garis singgung

pada lingkaran) dan vektor satuan ˆu_z mempunyai arah sesuai dengan arah

perubahan positif variabel z.

Untuk mendapat gambaran lebih jelas tentang vektor-vektor satuan ˆu_r

dan ˆuθ, perhatikan Gambar 3.2. Berbeda dengan vektor-vektor satuan dalam

x y θ θ r u_ˆ θ uˆ

Gambar 3.2: Vektor-vektor satuan dalam koordinat silinder.

konstan melainkan bergantung pada besar θ. Dari Gambar 3.2, vektor satuan ˆ

u_r dapat dinyatakan dalam notasi vektor-vektor satuan i dan j, yaitu

ˆ

u_r(θ) = cos θi + sin θj

Karena vektor satuan ˆuθ selalu tegak lurus terhadap vektor satuan ˆur, maka

dapat dinyatakan ˆ

uθ(θ) = ˆur(θ + π/2)

= cos(θ + π/2)i + sin(θ + π/2)j = − sin θi + cos θj

Sedangkan vektor satuan ˆu_zarahnya selalu tetap (tidak bergantung pada θ)

yaitu searah sumbu z. Dengan demikian ˆ

u_z= k

Dengan demikian hubungan antara vektor-vektor satuan dalam SKS dan vektor-vektor satuan dalam SKK adalah sebagai berikut

ˆ

u_r = cos θi + sin θj

ˆ

uθ = − sin θi + cos θj

ˆ

u_z= k

cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

3.4. ELEMEN LUAS DAN ELEMEN VOLUME DALAM SISTEM KOORDINAT SILINDER₄₃

z y r dθθθθ dV=rdrdθθθθ_dz dr dz rdθθθθ dr x

Gambar 3.3: Elemen luas dan elemen volume dalam sistem koordinat silin-der.

3.4

Elemen luas dan elemen volume dalam

sistem koordinat silinder

Perhatikan Gambar 3.3. Dari Gambar 3.3 elemen luas dalam sistem koordi-nat silinder dinyatakan dalam bentuk

dA = r dr dθ, atau

dA = dr dz, atau

dA = r dθ dz

(3.8)

Sedangkan elemen volume dalam sistem koordinat silinder dinyatakan dalam bentuk

dV = rdrdθdz (3.9)

Pembahasan lebih lengkap cara memperoleh elemen luas dan elemen volume pada sistem koordinat silinder akan dibahas kembali pada BAB 4.

θ θ θ θ φ φ φ φ P(r,θθθθ,φφφφ) r

Gambar 3.4: Sistem koordinat bola.

3.5

Sistem Koordinat Bola

Dalam sistem koordinat bola, posisi suatu titik P dalam ruang dinyatakan dengan 3 koordinat, yaitu r, θ, dan φ. Dengan r menyatakan jarak titik tersebut ke titik pusat koordinat, θ adalah sudut yang dibentuk antara titik P-pusat koordinat-arah vertikal sedangkan φ adalah sudut yang dibentuk proyeksi titik P pada bidang horizontal diukur berlawanan arah jarum jam, sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 3.4. Hubungan antara variabel-variabel dalam SKB (yaitu r, θ,φ) dan variabel-variabel-variabel-variabel dalam SKK adalah sebagai berikut r =px2_{+ y}2_{+ z}2 θ = arctan p x2_{+ y}2 z ! φ = arctany x  (3.10) atau x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos φ (3.11)

cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

3.6. VEKTOR-VEKTOR SATUAN DALAM SISTEM KOORDINAT BOLA₄₅

Misalkan suatu titik P dalam ruang yang dalam sistem koordinat kar-tesian posisinya dinyatakan dengan (x, y, z) maka titik P tersebut bila di-nyatakan dalam sistem koordinat bola adalah

px2_{+ y}2_{+ z}2_{, arctan} p x2_{+ y}2 z ! , arctany x  ! .

Vektor posisi suatu titik dalam sistem koordinat bola dinyatakan dengan

r= r ˆu_r

=px2_{+ y}2_{+ z}2_uˆ

r

(3.12)

3.6

Vektor-vektor satuan dalam sistem

koor-dinat bola

Vektor-vektor satuan dalam sistem koordinat bola dinyatakan dengan ˆu_r,

ˆ

uθ dan ˆuφ. Vektor satuan ˆur berarah sesuai dengan arah perubahan positif

variabel r, yaitu arah radial (keluar). Vektor satuan ˆuθberarah sesuai dengan

arah perubahan positif variabel θ dan vektor satuan ˆuφberarah sesuai dengan

arah perubahan positif variabel φ. Ketiga vektor satuan ini saling tegak lurus satu sama lain, namun arahnya tidak konstan melainkan tergantung dari variabel-variabel θ dan φ. Perhatikan Gambar 3.5.

Vektor satuan ˆu_r dapat ditentukan dengan mudah sebagai berikut

ˆ

u_r(θ, φ) = sin θ cos φi + sin θ sin φj + cos θk (3.13)

Vektor satuan ˆuθdapat diperoleh dari vektor satuan ˆur dengan

menambahk-an sudut θ dengmenambahk-an π/2 sementara φ tetap, dengmenambahk-an demikimenambahk-an diperoleh ˆ

uθ(θ, φ) = ˆur(θ + π/2, φ)

= sin θ cos φi + sin θ sin φj + cos θk

= sin(θ + π/2) cos φi + sin(θ + π/2) sin φj + cos(θ + π/2)k = cos θ cos φi + cos θ sin φj − sin θk

(3.14)

Sedangkan vektor satuan ˆuφ adalah

ˆ

uφ(θ, φ) = − sin φi + cos φj (3.15)

Dengan demikian vektor-vektor satuan dalam sistem koordinat bola bila dinyatakan dengan vektor-vektor satuan i, j dan k adalah

ˆ

u_r = sin θ cos φi + sin θ sin φj + cos θk

ˆ

uθ = cos θ cos φi + cos θ sin φj − sin θk

ˆ

uφ = − sin φi + cos φj

θ θ θ θ φ φ φ φ r r

u

ˆ

θ

u

ˆ

φ

u

ˆ

Gambar 3.5: Vektor-vektor satuan dalam sistem koordinat bola.

3.7

Elemen luas dan elemen volume dalam

sistem koordinat bola

Perhatikan Gambar 3.6. Dari Gambar 3.6 elemen luas dalam sistem koordi-nat silinder dinyatakan dalam bentuk

dA = r sin θdrdφ, atau

dA = rdθdr, atau

dA = r2_{sin φdθdφ}

(3.17)

Sedangkan elemen volume dalam sistem koordinat bola dinyatakan dalam bentuk

dV = r2_{sin θdrdθdφ (3.18)}

Pembahasan lebih lengkap cara memperoleh elemen luas dan elemen volume pada sistem koordinat bola akan dibahas kembali pada BAB 4.

cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

3.8. KINEMATIKA BENDA TITIK DALAM SISTEM KOORDINAT SILINDER₄₇

x y z r θ θθ θ φ φ φ φ dθθθθ dφφφφ r sinθθθθ r sinθθθθ dφφφφ rdθθθθ dr r sinθθθθ dφφφφ dV=r2sin_{θθθθ drdθθθθdφφφφ}

Gambar 3.6: Elemen luas dan elemen volume dalam sistem koordinat bola.

3.8

Kinematika Benda Titik Dalam Sistem

Koordinat Silinder

Telah diuraikan bahwa vektor posisi suatu titik bila dinyatakan dalam sistem koordinat silinder adalah

r(t) = r ˆu_r+ z ˆu_z (3.19)

secara umum r, dan z adalah variabel yang berubah terhadap waktu dan

vektor satuan ˆu_r arahnya juga berubah terhadap waktu. Dengan demikian

laju perubahan posisi terhadap waktu dapat dinyatakan sebagai

dr dt = d dt(r ˆur+ z ˆuz) = dr dtuˆr+ r d ˆu_r dt + dz dtuˆz (3.20)

d ˆu_r

dt =

d

dt (cos θi + sin θj)

= − sin θdθ

dti+ cos θ

dθ

dtj

= (− sin θi + cos θj)dθ

dt

= ˆuθ

dθ dt

(3.21)

Dengan demikian diperoleh dr dt = v = dr dtuˆr+ r d ˆu_r dt + dz dtuˆz = dr dtuˆr+ r dθ dtuˆθ+ dz dtuˆz (3.22)

Suku pertama dalam persamaan 3.22 menyatakan kecepatan dalam arah ra-dial, sedangkan suku kedua menyatakan kecepatan benda dalam arah ta-ngensial.

Laju perubahan kecepatan menyatakan percepatan gerak benda, maka dapat dinyatakan dv dt = d dt  dr dtuˆr+ r dθ dtuˆθ+ dz dtuˆz  = d 2_r dt2uˆr+ dr dt d ˆu_r dt + dr dt dθ dtuˆθ+ r d2_θ dt2uˆθ+ r dθ dt d ˆuθ dt + d2_z dt2uˆz (3.23)

Telah diperoleh sebelumnya bahwa

d ˆu_r dt = ˆuθ dθ dt sedangkan d ˆuθ dt = d

dt(− sin θi + cos θj)

= − cos θdθ

dti − sin θ

dθ

dtj

= − (cos θi + sin θj)dθ

dt

= − ˆu_rdθ

dt

cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

3.9. KINEMATIKA BENDA TITIK DALAM SISTEM KOORDINAT BOLA₄₉

Maka persamaan 3.23 dituliskan kembali dalam bentuk dv dt = a = d2_r dt2uˆr− r dθ dt dθ dtuˆr+ 2 dr dt dθ dtuˆθ+ r d2_θ dt2uˆθ+ d2_z dt2uˆz = d 2_r dt2 − r  dθ dt 2! ˆ u_r+  2dr dt dθ dt + r d2_θ dt2  ˆ uθ+ d2_z dt2uˆz (3.25)

Suku pertama pada persamaan 3.25 menyatakan percepatan radial sedang-kan suku kedua menyatasedang-kan percepatan tangensial. Terlihat bahwa jika r konstan dan z = 0 yang berarti benda bergerak melingkar dengan jejari

kon-stan (gerak melingkar), maka percepatan radial benda adalah −r dθ

dt

2

ˆ

u_r

sedangkan percepatan tangensial benda adalah rd

2_θ

dt2uˆθ.

3.9

Kinematika Benda Titik Dalam Sistem

Koordinat Bola

Karena vektor posisi suatu titik dalam SKB adalah

r=px2_{+ y}2_{+ z}2_uˆ

r (3.26)

maka laju perubahan posisi dapat dinyatakan menjadi dr dt = d dt (r ˆur) = dr dtuˆr+ r d ˆu_r dt

Telah ditunjukkan sebelumnya bahwa vektor satuan ˆu_r bergantung pada

variabel θ dan φ. Jadi jika θ dan φ berubah terhadap waktu, maka berarti ˆ

u_r juga bergantung pada waktu. Dapat dinyatakan

d ˆu_r

dt =

d

dt(sin θ cos φi + sin θ sin φj + cos θk)

= cos θ cos φdθ dti − sin θ sin φ dφ dti+ cos θ sin φ dθ dtj + sin θ cos φdφ dtj − sin θ dθ dtk

= (cos θ cos φi + cos θ sin φj − sin θk)dθ

dt

+ (− sin θ sin φi + sin θ cos φj)dφ

dt

= dθ

dtuˆθ+ sin θ

dφ

v= dr dt = dr dtuˆr+ r d ˆu_r dt = dr dtuˆr+ r dθ dtuˆθ+ r sin θ dφ dtuˆφ (3.27)

Selanjutnya laju perubahan kecepatan berkaitan dengan percepatan ge-rak benda. Dalam hal ini percepatan gege-rak benda dalam sistem koordinat bola dapat diperoleh sebagai berikut:

dv dt = d dt  dr dtuˆr+ r dθ dtuˆθ+ r sin θ dφ dtuˆφ  = d 2_r dt2uˆr+ dr dt d ˆu_r dt + dr dt dθ dtuˆθ+ r d2_θ dt2uˆθ+ r dθ dt d ˆuθ dt + dr dt sin θ dφ dtuˆφ+ r cos θ dθ dt dφ dtuˆφ+ r sin θ d2_φ dt2uˆφ + r sin θdφ dt d ˆuφ dt Telah diperoleh bahwa

d ˆu_r dt = dθ dtuˆθ+ sin θ dφ dtuˆφ kemudian d ˆuθ dt = d

dt (cos θ cos φi + cos θ sin φj − sin θk)

= − sin θ cos φdθ dti − cos θ sin φ dφ dti − sin θ sin φ dθ dtj + cos θ cos φdφ dtj − cos θ dθ dtk

= − (sin θ cos φi + sin θ sin φj + cos θk)dθ

dt

+ (− cos θ sin φi + cos θ cos φj)dφ

dt

= −dθ

dtuˆr+ cos θ

dφ

cakul

fi5080

by

khbasar;

sem1

2010-2011

3.9. KINEMATIKA BENDA TITIK DALAM SISTEM KOORDINAT BOLA₅₁

sedangkan

d ˆuφ

dt =

d

dt(− sin φi + cos φj)

= − cos φdφ

dti − sin φ

dφ

dtj

= − (cos φi + sin φj)dφ

dt

= − (sin θ ˆu_r+ cos θ ˆuθ)

dφ dt

Dengan demikian dapat diperoleh ungkapan laju perubahan kecepatan (percepatan) benda dalam sistem koordinat bola yaitu:

a= dv dt = d2_r dt2uˆr+ dr dt d ˆu_r dt + dr dt dθ dtuˆθ+ r d2_θ dt2uˆθ+ r dθ dt d ˆuθ dt + dr dt sin θ dφ dtuˆφ+ r cos θ dθ dt dφ dtuˆφ+ r sin θ d2_φ dt2uˆφ + r sin θdφ dt d ˆuφ dt = d 2_r dt2uˆr+ dr dt  dθ dtuˆθ+ sin θ dφ dtuˆφ  + dr dt dθ dtuˆθ + rd 2_θ dt2uˆθ+ r dθ dt  − dθ dtuˆr+ cos θ dφ dtuˆφ  + dr dt sin θ dφ dtuˆφ+ r cos θ dθ dt dφ dtuˆφ+ r sin θ d2_φ dt2uˆφ − r sin θ  dφ dt 2 (sin θ ˆu_r+ cos θ ˆuθ) = d 2_r dt2 − r  dθ dt 2 − r sin2θ  dφ dt 2! ˆ u_r + 2dr dt dθ dt + r d2_θ dt2 − r sin θ cos θ  dφ dt 2! ˆ uθ +  2 sin θdr dt dφ dt + 2r cos θ dr dt dφ dt + r sin θ d2_φ dt2  ˆ uφ (3.28)