GEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT. sofyan mahfudy-iain Mataram 1

(1)

GEOMETRI ANALITIK

PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT

(2)

Sasaran kuliah hari ini

1. Mahasiwa dapat menjelaskan konsep kemiringan garis/gradien 2. Mahasiswa dapat menentukan gradient suatu garis

3. Mahasiswa dapat menentukan persamaan garis 4. Mahasiswa dapat mensketsa suatu garis

5. Mahasiswa dapat menentukan sudut antara dua garis

(3)

Mengingat kembali

Dalam geometri aksiomatik/Euclide konsep garis merupakan salah satu unsur yang “tak terdefinisikan” dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada suatu postulat yang berbunyi sebagai berikut:

“Melalui dua buah titik yang berbeda terdapat tepat satu dan hanya satu garis lurus”

“Melalui sebuah titik di luar garis yang diberikan ada satu dan hanya satu garis yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut”

Dua postulat di atas akan digunakan dalam menganalisis secara aljabar

(4)

Sudut Inklinasi

Sudut inklinasi dari garis lurus yang berpotongan dengan sumbu-x adalah ukuran sudut non-negatif terkecil yang terbentuk antara garis itu dengan sumbu-x dengan arah berlawanan jarum jam

Sudut inklinasi dari garis yang sejajar dengan sumbu-x adalah 0^o Kita gunakan simbol θ untuk menyatakan sudut inklinasi. Sudut

inklinasi sebuah garis selalu kurang dari 180°atau π radian dan setiap garis mempunyai sudut inklinasi. Jadi untuk sembarang garis berlaku 0° ≤ θ < 180°, atau 0 ≤ θ <π

(5)

Sudut Inklinasi

(6)

Kemiringan (slope) atau Gradien

Definisi: kemiringan/slope

(dinotasikan m) dari suatu garis adalah “nilai tangen dari sudut inklinasinya”. Oleh karenanya m

= tan 



(7)

Kemiringan (slope) atau Gradien

Garis dengan sudut inklinasi = 90 (vertikal), sebab tangen 90 tidak ada/tidak terdefinisi.

Jadi garis vertikal mempunyai sudut inklinasi 90 tetapi tidak mempunyai kemiringan. Kadang- kadang dikatakan bahwa

kemiringan garis vertikal adalah

“tak hingga” atau lambang “”



(8)

Kemiringan (slope) atau Gradien

Terlepas dari ketiadaan kemiringan garis vertikal, ada suatu hubungan yang sederhana antara kemiringan dengan pasangan koordinat titik pada suatu garis.

Kemiringan suatu garis dapat dinyatakan dalam bentuk dari koordinat sembarang dua titik pada garis itu, misalnya melalui titik P₁(x₁, y₁) dan P₂(x₂, y₂) seperti pada gambar disamping

(9)

Kemiringan (slope) atau Gradien

Maka kemiringan (m) garis yang melalui titik P₁dan titik P₂

diberikan oleh:

m = tan



= = di mana x₁  x₂

1 2

x x

y y



2 1

x x

y y



(10)

Latihan

Tentukan kemiringan (m) dari garis yang melalui titik-titik berikut:

a. A (2,4) dan B (−4,2)

b. P (−5, −7) dan Q (9,−1) c. C (7,8) dan (−2,8)

d. S (−2,5) dan T (−2,7)

(11)

Persamaan Garis

Pandanglah suatu garis yang melalui titik tetap P₁(x₁, y₁) dan mempunyai kemiringan m.

(perhatikan gambar). Jika diambil sembarang titik P(x, y) untuk x berbeda dengan x₁ maka dengan rumus kemiringan garis P₁P adalah

m = ¹

x x

y y



(12)

Persamaan Garis

Kemiringan garis akan sama

dengan m jika dan hanya jika titik P berada pada garis yang

diberikan. Jadi, jika P(x, y) berada pada garis yang diberikan maka harus dipenuhi kesamaan

m =

1 1

x x

y y



(13)

Persamaan Garis

Jika dilakukan penyederhanaan bentuk pembagian diperoleh

persamaan garis sebagai berikut:

∴ y – y₁ = m(x – x₁)

(14)

Latihan

Tentukan persamaan garis jika diberikan:

a. m = −2 dan melalui titik (−3, −2) b. m = − 2

3 dan melalui titik (5,−2) c. m = 2

5 dan melalui titik (0,0)

d. Melalui titik P (2,−5) dan Q (−1,3)

(15)

Tambahan: Mensketsa Garis

Untuk mensketsa suatu garis, maka paling tidak dibutuhkan dua titik pada garis tersebut. Dengan dua titik tersebut, maka dengan mudah kita dapat mensketsa garis yang dimaksud.

Oleh karena itu cara mensketsanya adalah:

a. Menentukan titik potong terhadap sumbu X dan sumbu Y

b. Atau jika garis tersebut melalui titik O(0,0), maka tentukan titik yang lain

(16)

Latihan

Sketsalah soal pada Latihan sebelumnya, yaitu pada soal: a, b, c, dan d

(17)

Sudut antara Dua Garis

Dua garis yang berpotongan, l₁ dan l₂, akan membentuk sudut yang

saling berpelurus (suplemen), salah satu darinya diambil sebagai sudut antara dua garis. Untuk menghindari arti ganda, kita definisikan :

“Sudut antara garis l₁ dan l₂ dilambangkan dengan (l₁, l₂) adalah sudut terkecil dalam arah berlawanan dengan arah putar jarum jam yang

diperlukan untuk memutar garis l₁ dengan pusat titik potongnya sehingga berimpit dengan garis l₂”

Lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

(18)

Sudut antara Dua Garis

saling berpelurus (suplemen), salah satu darinya diambil sebagai sudut antara dua garis. Untuk menghindari arti ganda, kita definisikan :

diperlukan untuk memutar garis l₁ dengan pusat titik potongnya sehingga berimpit dengan garis l₂”

(19)

Sudut antara Dua Garis

saling berpelurus (suplemen), salah satu darinya diambil sebagai sudut antara dua garis. Untuk menghindari arti ganda, kita definisikan:

diperlukan untuk memutar garis l₁ dengan pusat titik potongnya sehingga berimpit dengan garis l₂”

(20)

Sudut antara Dua Garis

Dari gambar disamping (l₁, l₂) =



Perhatikan bahwa posisi , l₁ dan l₂ berbeda

(21)

Sudut antara Dua Garis

Suatu rumus sederhana untuk tangen sudut antara dua garis dapat

diturunkan dalam bentuk kemiringan dari kedua garis pembentuk sudut

tersebut. Misalkan garis l₁ dan l₂ berturut-turut mempunyai sudut

inklinasi



₁ dan



₂ dan kemiringan m₁ dan m₂. Misalkan



adalah sudut

yang dibentuk oleh garis l₁ dan l₂ seperti pada gambar di samping

(22)

Sudut antara Dua Garis

Diperoleh sudut Antara 2 garis sebagai berikut (coba Anda tunjukkan)

atau

dengan θ = (l₁, l₂)

(23)

Latihan

1. Jika garis 𝑘: −2𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 dan 𝑙: 𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0, maka tentukanlah besar sudut antara garis 𝑘 dan 𝑙

2. Diketahui garis 𝑔: 3𝑥 − 𝑦 + 5 = 0 dan garis ℎ: 2𝑥 + 𝑦 + 4 = 0. Jika 𝜃 = ∠ 𝑔, ℎ , maka carilah nilai sin 𝜃

3. Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh garis yang melalui (2, 6) dan (4, -1) dan garis yang melalui (5, 2) dan (0, 3)

4. Tentukan besar sudut-sudut dalam segitiga yang mempunyai titik- titik sudut dengan koordinat A (–4, 2), B (12, –2), dan C (8, 6)

(24)

Garis-garis Sejajar dan Tegak Lurus

Dua garis yang mempunyai kemiringan m₁ dan m₂ adalah saling sejajar jika m₁ = m₂ atau kedua garis tidak mempunyai kemiringan (garis yang vertikal)

Dua garis yang mempunyai kemiringan m₁ dan m₂ adalah saling tegak lurus jika m₁ = − m¹₂

Coba Anda buktikan keduanya

(25)

Garis-garis Sejajar dan Tegak Lurus

Dua garis yang mempunyai kemiringan m₁ dan m₂ adalah saling sejajar jika m₁ = m₂ atau kedua garis tidak mempunyai kemiringan (garis yang vertikal)

Dua garis yang mempunyai kemiringan m₁ dan m₂ adalah saling tegak lurus jika m₁ = − m¹₂

Coba Anda tunjukkan bagaimana mendapatkan keduanya

(26)

Latihan

1. Diketahui sebuah garis yang melalui (a, 5) dan (4, 3) sejajar dengan garis yang mempunyai kemiringan . Tentukan nilai a

2. Tentukan persamaan garis yang melalui (1,-2) dan sejajar garis 𝑘:

− 4𝑥 + 𝑦 + 8 = 0

3. Tentukan persamaan garis yang melalui (-4,3) dan tegak lurus garis 𝑙: 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0

4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis 𝑔:

𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0 dan ℎ: −2𝑥 + 4𝑦 + 10 = 0 dan tegak lurus terhadap garis 𝑙: 2𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0

(27)

Persamaan umum garis

Persamaan sebarang garis lurus adalah berderajad satu dalam

koordinat tegak lurus x dan y (kartesius). Sebaliknya akan ditunjukkan bahwa sebarang persamaan berderajad satu dalam x dan y menyatakan sebuah garis lurus. (Hal ini merupakan jawaban mengapa sebuah

persamaan derajad satu disebut persamaan linier).

Persamaan umum derajad satu dalam x dan y adalah Ax + By + C = 0

A, B, dan C adalah bilangan tetap dan A dan B tidak keduanya nol

(28)

Persamaan umum garis

Jika ada dua buah persamaan garis A₁x + B₁y + C₁ = 0 dan A₂x + B₂y + C₂ = 0 Apabila:

 A₁

A₂ ≠ B₁

B₂ , maka kedua garis berpotongan

 A₁

A₂ = B₁

B₂ ≠ C₁

C₂ , maka kedua garis sejajar

 A₁

A₂ = B₁

B₂ = C₁

C₂ , maka kedua garis berimpit

(29)

Persamaan garis bentuk normal

Suatu garis dapat ditentukan dengan menentukan panjang p yang tegak lurus atau normal dari titik asal ke garis tersebut, dan sudut



yaitu sudut arah positif yang dibentuk oleh sumbu-x dengan garis

normalnya yang ditetapkan sebagai arah dari titik asal terhadap garis.

(lihat gambar)

(30)

Persamaan garis bentuk normal

Persamaan bentuk normal dari persamaan garis lurus yang panjang normalnya p dan besar sudut normalnya



adalah

x cos



+ y sin



– p = 0

Diskusikan bagaimana diperoleh persamaan bentuk normal tersebut