juga dinyatakan sebagai a n atau a n n n 0,1, 2, 3,... Pada barisan dibagi menjadi barisan konvergen dan barisan divergen.



MATERI: a) Perbedaan barisan dan deret

b) Definisi dan teorema tentang deret

c) Deret suku positif dan uji konvergensinya d) Deret hiperharmonis

e) Deret ukur

f) Deret alternating dan uji konvergensinya g) Deret kuasa dan operasinya

h) Deret Taylor i) Deret Maclaurin

>> BARISAN

Suatu barisan dapat dibayangkan sebagai suatu daftar bilangan yang dituliskan dalam suatu urutan yang tertentu:

1, 2, 3, ..., n, ...

a a a a

Bilangan a disebut suku pertama, ₁ a disebut suku kedua, dan demikian seterusnya. Suku ₂ a _n disebut sebagai suku umum atau suku ke-n dari barisan tersebut.

Notasi: Barisan



a a a₁, ₂, ₃,...



juga dinyatakan sebagai

 

an atau

 

an n 1   Contoh 1: (a) 1 1 1 n n    _      1 1 n a n   ; n1 0, , , ,...1 2 3 2 3 4       (b)





3 3 n n    b_n  n3 ; n3



0,1, 2, 3,...



(c) 1 1 ( 1)n n n    _{ }      1 ( 1)n n c n    ; n1 0, ,3 2 5, , 4,... 2 3 4 5  _{ }      (d) 1 1 2 n         1 2 n d  ; n1 1 1 1, , ,... 2 2 2      

Pada barisan dibagi menjadi barisan konvergen dan barisan divergen. Suatu barisan

 

a_n yang konvergen menuju L dapat dituliskan sebagai:

lim _n

n a L

Sementara, suatu barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga dinamakan divergen.

TEOREMA 1

Misalkan

 

a_n dan

 

b adalah barisan-barisan konvergen serta k adalah suatu konstanta. _n Maka,

1) lim

n kk

2) lim n lim n n ka  k n a

3) lim



_{n n}



lim _n lim _n n a b n a n b 4) lim



_{n n}



lim _n lim _n

n a b n a n b 5) lim lim lim n n n n n n n a a b b   

 dengan syarat lim _n 0

n

b

 

TEOREMA 2 Teorema Apit (Squeeze Theorem)

Jika

 

a_n dan

 

c_n adalah barisan-barisan konvergen ke L sedemikian rupa sehingga

n n n

a b c untuk nK, maka

 

b juga konvergen ke L. Ini berarti juga bahwa jika _n

lim _n

n a L dan limn cn L, maka an bn cn mengakibatkan limnbn L. Contoh 2:

Tentukan apakah barisan

2 sin n n a n

 konvergen atau divergen! Jawab:

Untuk n1, dapat dilihat bahwa

2 sin 1 0 n n n   . Lalu, karena lim 0 0 n  dan 1 lim 0 n _n  maka dengan Teorema Apit diperoleh

2

sin 1

lim 0 lim lim

n n n n n n      → 2 sin 0 lim 0 n n n    2 sin lim 0 n n n  

Dengan demikian, barisan

2 sin n n a n

 merupakan suatu barisan yang konvergen ke 0.

TEOREMA 3 Jika lim n 0

n a  , maka limn an 0. Contoh 3:

Tentukan apakah barisan ( 1) n n

b n



 konvergen atau divergen! Jawab:

Karena lim ( 1) lim 1 0 n

n _n n _n

 _{ }

, maka berdasarkan Teorema 3 diperoleh ( 1)

lim 0

n n _n

 _

Dengan demikian, barisan ( 1) n n

b n



 merupakan suatu barisan yang konvergen ke 0.

_ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _

LATIHAN SOAL A

Tentukanlah lima suku pertama dari barisan a yang diberikan, lalu kemudian tentukan _n apakah barisan a konvergen atau divergen. Jika konvergen, tentukan limitnya. _n

1. 2 2 4 1 2 3 n n a n n     5. 2 n n n e a  2. 3 3 2 4 n n a n    6. 1 (0,9) n n a   3. 2 ₄ 5 5 1 n n a n    7. ( ) 4 n n n a   4. ( 1) 1 n n n a n    8.

 

0,5 2 n _n n a   >> DERET

Bila barisan adalah urutan bilangan yang mengikuti pola tertentu, maka deret merupakan penjumlahan suku-sukunya. Bila barisan dinyatakan dengan pola a a₁, ₂,a₃, ..., maka deret dinyatakan dengan pola sebagai berikut:

1 1

S a ; S₂  a₁ a₂ ; S₃   a₁ a₂ a₃ ; dan seterusnya Dan, dirumuskan menjadi:

1 2 3 1 ... n n n i i S a a a a a       



Suatu deret takhingga

1 i i a  



dikatakan konvergen dan memiliki jumlah S jika barisan dari jumlah parsial

 

S_n dengan

1 2 3 1 ... n n n i i S a a a a a       



konvergen ke S. Jika barisan jumlah parsial

 

S_n divergen, maka deret takhingga

1 i i a  



divergen. Suatu deret yang divergen tidak memiliki jumlah.

TEOREMA 4 Uji Divergensi

Jika lim n 0

n a  (atau limn an tidak ada), maka deret takhingga

1 n n a  



divergen. TEOREMA 5

Jika deret takhingga

1 n n a  



konvergen, maka lim _n 0

n a  . Contoh 4: Tunjukkan bahwa 3 3 2 13 2 n n n n   



merupakan deret divergen. Jawab: 3 3 2 1 lim lim 0 3 2 3 n n n n a n n      

Maka, berdasarkan Teorema 4, deret

3 3 2 13 2 n n n n   



merupakan deret divergen. TEOREMA 6 Kelinieran Deret Konvergen

Jika 1 n n a  



dan 1 n n b  



merupakan deret-deret konvergen, dan c suatu konstanta, maka: 1) 1 n n ca  



merupakan deret konvergen; dan

1 1 n n n n ca c a      





2)





1 n n n a b   



merupakan deret konvergen; dan





1 1 1 n n n n n n n a b a b         







TEOREMA 7

Jika deret takhingga

1 n n a  



divergen dan c0, maka

1 n n ca  



divergen. Deret Ukur

Suatu deret yang berbentuk

1 2 3 1 ... n n ar a ar ar ar        



dengan a0 disebut sebagai suatu deret ukur (deret geometri).

Deret ini: 1) konvergen jika r 1 dan memiliki jumlah









1 1 n n a r S r    dengan lim ; 1 n n a S S r     2) divergen jika r 1 .

Contoh 5:

Tunjukkan bahwa deret



 

1

 

1



8 3 1 3 n 5 n n   



konvergen, lalu hitunglah jumlahnya. Jawab:

 

 



1 1



 

 

1

 

 

1 8 3 8 3 1 1 1 3 n 5 n 3 n 5 n n n n         







Perhatikan bahwa

 

 

1 8 1 3 n n  



merupakan suatu deret ukur dengan 1 1

8 8 1 r   . Berarti, deret

 

 

1 8 1 3 n n  



konvergen. Begitu pula

 

 

1 3 1 5 n n  



, juga merupakan suatu deret ukur dengan 1 1

3 3 1 r   . Berarti, deret

 

 

1 3 1 5 n n  



konvergen.

Dengan demikian, berdasarkan Teorema 6 (2), deret



 

1

 

1



8 3 1 3 n 5 n n   



konvergen.

 

 





 

 

 

 

 

 

1 1 1 1 8 3 8 3 1 1 1 1 1 8 3 1 1 1 1 8 3 1 1 8 3 3 5 3 5 3 5 3 5 1 1 3 5 7 2 29 14 n n n n n n n n n n n                       











TEOREMA 8

Suatu deret ukur

1 n n a  



dikatakan konvergen jika dan hanya jika lim _n 0

n a  . Ini juga berarti bahwa lim _n 0

n a  (atau limn an tidak ada) jika dan hanya jika deret ukur

1 n n a  



divergen. Bandingkanlah Teorema 8 dengan Teorema 4 dan 5! Apakah perbedaannya?

Deret Harmonis

Suatu deret yang berbentuk

1 1 1 1 1 ... 2 3 n n      



Contoh 6:

Tunjukkan bahwa deret harmonis adalah deret yang divergen. Jawab: Misalkan 1 1 1 ... 1 2 3 n S n      . n S = 1 1 1 1 1 ... 1 2 3 4 5 n       = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 n        _  _{ }    _{ }   _        > 1 1 2 4 8 ... 1 2 4 8 16 n       = 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 2 2 n      

Jelas bahwa dengan mengambil nilai n yang sangat besar, maka penjumlahan 1

2-nya akan

semakin banyak dan tak terbatas. Oleh karena itu, jumlah dari deret ini juga semakin tak terbatas. Jadi,

 

S_n divergen. Dengan demikian, deret harmonis adalah deret yang divergen. Deret Hiperharmonis

Suatu deret yang berbentuk

1 1 1 1 1 1 ... 2 3 4 p p p p n n       



dengan p suatu konstanta disebut sebagai suatu deret hiperharmonis (deret-p). Deret ini: 1) konvergen jika p1;

2) divergen jika p1 . Contoh 7:

Tentukan apakah deret _1,001

1 1

n n

 



konvergen atau divergen. Jawab: Karena _1,001 1 1 n n  



merupakan suatu deret hiperharmonis dan 1,001 > 1, maka deret tersebut konvergen.

_ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _

LATIHAN SOAL B

Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen. Jika konvergen, tentukan jumlahnya. 1.

 

1 5 1 n n  



4.

 

1 1 3 1 n n  _  



7.



 

1

 

1



4 5 1 3 n 2 n n   



2.

 

4 3 1 n n  



5. 1 1 1 3 5 n n n    



8.



 

1

 

1



3 6 1 2 n 3 n n   



3. 1 2 n n  



6. 2 2 1 4 4 1 n n n n     



9. 1 1 ( 2)( 3) n n n    



>> DERET SUKU POSITIF

Selain beberapa teorema yang telah dibahas di atas, uji konvergensi untuk deret suku positif ada beberapa macam lagi, diantaranya:

a. uji integral, d. uji rasio, dan b. uji perbandingan, e. uji akar. c. uji perbandingan limit,

Uji Integral

Misalkan f fungsi yang kontinu, positif, tidak naik pada selang [1, ) , anggaplah a_n  f n( ) untuk semua n bilangan asli. Maka deret takhingga

1 n n a  



konvergen jika dan hanya jika integral tak wajar

1 f x dx( )





konvergen (nilai integralnya ada). Dengan kata lain: (i) Jika 1 f x dx( ) 



ada, maka 1 n n a  



konvergen. (ii) Jika 1 f x dx( ) 



tidak ada, maka

1 n n a  



divergen. Catatan:

Saat menggunakan uji integral, deret atau integral tidak harus dimulai dari n = 1. Misalnya, dalam menguji deret





2 4 1 3 n n   



, maka digunakanlah ₂ 4 1 (x 3) dx  



. Perlu diingat: 1 ( ) lim 1 ( ) t t f x dx f x dx   





. Contoh 8: Tentukan apakah 2 1 ln n n n  



merupakan deret konvergen atau divergen. Jawab:

Pertama, harus diperhatikan bahwa fungsi ( ) 1 ln f x

x x

 terdefinisi dan bernilai positif saat 2

x atau pada selang [2, ) , sehingga:





2

1

2 2 2 2

1 1 1 (ln ) 1

lim lim lim (ln ) lim ln ln

ln ln ln ln t t t _t t t t t x d x dx dx d x x x x x x x x x           









Oleh karena itu,

2 1 ln n n n  

Uji Perbandingan Misalkan 1 n n a  



dan 1 n n b  



adalah deret-deret suku positif, dan a_n b_n untuk semua n. (i) Jika 1 n n b  



konvergen, maka 1 n n a  



juga konvergen. (ii) Jika 1 n n a  



divergen, maka 1 n n b  



juga divergen. Catatan:

Saat menggunakan uji perbandingan, tentunya harus mengetahui suatu deret yang sudah diketahui kekonvergenan/kedivergenannya sebagai bahan perbandingan. Seringkali digunakan deret ukur, harmonis, atau hiperharmonis karena dapat dengan mudah menentukan konvergen/divergennya deret tersebut, seperti yang telah dijelaskan sebelumnya.

Contoh 9: Tentukan apakah ₂ 1 5 4 n n n   



merupakan deret konvergen atau divergen. Jawab:

Jelas bahwa semakin besar penyebutnya, maka nilainya akan semakin kecil, sehingga

2 2 5 4 5 n n n   n Perhatikan bahwa 2 1 1 1 5 5 5 n n  n n sehingga 2 1 1 5 4 5 n n   n

Pada Contoh 6, telah diketahui bahwa

1 1

n n

 



divergen, dan dengan menggunakan Teorema 7, maka 1 1 1 5 n n   



juga divergen sehingga deret ₂

1 5 n n n  



merupakan deret yang divergen. Jadi, dengan menggunakan uji perbandingan (poin (ii)), didapatlah ₂

1 5 4 n n n   



divergen. Uji Perbandingan Limit

Misalkan 1 n n a  



dan 1 n n b  



adalah deret-deret suku positif dan lim n n n a L b   .

(i) Jika 0  L , maka

1 n n a  



dan 1 n n b  



kedua-duanya konvergen atau divergen. (ii) Jika L = 0 dan diketahui

1 n n b  



konvergen, maka 1 n n a  



konvergen.

Contoh 10:

Ujilah apakah deret

1 1 2n 1 n   



konvergen atau divergen. Jawab: Misalkan 1 2 1 n n a   dan 1 2 n n

b  . Dengan menggunakan uji perbandingan limit, diperoleh

1 2

1 1

2 2

2 2 1

lim lim lim lim 1 0

2 1 2 1 1 n n n n n n n n n n n n n a b               _  _ 

Karena limit ini ada dan

1 1 2n n  



merupakan deret ukut yang konvergen (buktikan!), berdasarkan uji perbandingan lmit, maka deret

1 1 2n 1 n   



konvergen. Uji Rasio Misalkan 1 n n a  



adalah suatu deret suku positif, dan 1

lim n n n a L a    .

(i) Jika L < 1, maka deret tersebut konvergen. (ii) Jika L > 1, maka deret tersebut divergen.

(iii) Jika L = 1, maka uji ini tidak memberikan kesimpulan apa-apa. Contoh 11:

Ujilah apakah deret

1 2 ! n n n  



konvergen atau divergen. Jawab:

1 1

1 2 ( 1)! 2 ! 2

lim lim lim lim 0 1

2 ! ( 1)! 2 1 n n n n n n n n n n a n n L a n n n               _{ } _  _        

Dengan demikian, berdasarkan uji rasio (poin (i)), deret

1 2 ! n n n  



konvergen. Uji Akar Misalkan 1 n n a  



adalah suatu deret suku positif, dan lim

 

n 1n n a L. (i) Jika L < 1, maka deret tersebut konvergen.

(ii) Jika L > 1, maka deret tersebut divergen. Contoh 12:

Ujilah apakah deret

 

2 1 ln n n n  



konvergen atau divergen. Jawab:

   

1 1 1 ln ln ln n n n n n a n n n     _{  }   → 1 1 1 lim lim 0 1 ln ln n n n n L n n   _{ }   _{ } _       

Dengan demikian, berdasarkan uji akar (poin (i)), deret deret

 

2 1 ln n n n  



konvergen. _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ LATIHAN SOAL C

Ujilah apakah deret-deret berikut konvergen atau divergen.

1. 2 3 1 7 n n n e   



11. 1 1 2n n n n    



2. 2 3 1 7 n n n   



12. 2 1 ( !) (2 )! n n n  



3.





5 2 1 2 n n n   



13. ₂ 1 1 1 n n   



4.

 

3 1 ln n n n  



14. ₃ 1 3 7n n n   



5. ₂ 1 1 16 n n   



15. 1 ! 5n n n  



6. 1 2 3 1 n n n   



16. 1 1 1 2 n n n    _     



7. ₂ 1 5 2 4 3 n n n    



17.



1



1 1 n n e   



8. ₃ 2 1 n n n   



18. 1 ! (2 1)! n n n   



9. 3 5 3 1 1 4 3 n n n n     



19.





1 3 2 n n n n n   



10. 1 1 sin n n        



20.





2 1 2 1 n n n n    



>> DERET ALTERNATING Deret Alternating

Suatu deret yang berbentuk

1 2 3 4 5 6 ...

a      a a a a a

disebut sebagai suatu deret alternating (deret ganti tanda).

Deret ini konvergen saat memenuhi: (i) a_n a_n1 untuk semua nilai n; (ii) lim _n 0

n a  .

Pada Contoh 6 telah ditunjukkan bahwa deret harmonis itu divergen. Namun, deret harmonis alternating itu tidak divergen, melainkan konvergen (buktikan!).

Contoh 13: Tunjukkan bahwa 0 1 ( 1) ! n n n   



merupakan deret yang konvergen. Jawab: 0 1 ( 1) ! n n n   



adalah suatu deret alternating. Jelas bahwa n! ( n1)! untuk semua bilangan bulat non-negatif. Oleh sebab itu, 1 1

! ( 1)!

n  n . Jadi, terbuktilah bahwa an an1. Selanjutnya, jika nilai dari n menuju tak hingga, maka secara otomatis nilai dari n! juga pasti menuju tak hingga. Hal ini mengakibatkan lim 1 0

!

n _n  . Dengan demikian, deret tersebut merupakan deret yang konvergen.

TEOREMA 9 Uji Konvergensi Mutlak

Jika 1 n n a  



merupakan suatu deret yang konvergen, maka

1 n n a  



juga merupakan deret yang konvergen. Suatu deret 1 n n a  



dikatakan konvergen mutlak jika

1 n n a  



konvergen. Teorema 9 menjamin bahwa kekonvergenan mutlak menjamin kekonvergenan.

TEOREMA 10 Uji Rasio Mutlak

Misalkan 1 n n a  



adalah suatu deret suku taknol, dan lim n 1

n n a L a    .

(i) Jika L < 1, maka deret tersebut konvergen mutlak. (ii) Jika L > 1, maka deret tersebut divergen.

(iii) Jika L = 1, maka uji ini tidak memberikan kesimpulan apa-apa Contoh 14:

Ujilah apakah deret 1

1 3 ( 1) ! n n n n    



konvergen atau divergen. Jawab:

1

1 3 3 3

lim lim : lim 0 1

( 1)! ! 1 n n n n n n n a L a n n n            

Jadi, berdasarkan Teorema 10 (i), maka deret tersebut konvergen mutlak. Dan, Teorema 9 menjamin bahwa kekonvergenan mutlak menjamin kekonvergenan. Dengan demikian, deret tersebut konvergen. Suatu deret 1 n n a  



dikatakan konvergen bersyarat jika

1 n n a  



konvergen tetapi 1 n n a  



divergen.

Contoh 15:

Tunjukkan bahwa deret harmonis alternating itu merupakan suatu deret konvergen bersyarat. Jawab:

Ingat kembali bentuk deret harmonis alternating:

1 1 1 1 1

1 ...

2 3 4 5 6

     

Sebelumnya telah disebutkan bahwa deret harmonis alternating merupakan suatu deret yang konvergen karena a_n a_n1 untuk semua nilai n dan lim n 0

n a  . Namun, mutlak dari deret harmonis alternating adalah deret harmonis:

1 1 1 1 1

1 ...

2 3 4 5 6

     

Pada Contoh 6 telah ditunjukkan bahwa deret harmonis itu divergen. Jadi, oleh karena

1 n n a  



yang merupakan deret harmonis alternating itu konvergen dan

1 n n a  



yang merupakan deret harmonis itu divergen, maka deret harmonis alternating itu konvergen bersyarat.

_ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _

LATIHAN SOAL D

Tentukan apakah deret-deret berikut ini konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen. 1. 1 1 1 ( 1) 5 n n n    



6. 1 1 1 ( 1)n n n    



2. 1 1 ( 1) 10 1 n n n n     



7. 1 sin ( 1)n n n n n   



3. 4 1 1 ( 1) 2 n n n n    



8. 1 1 1 ( 1) ( 1) n n n n     



4. 1 2 1 ( 1) 1 n n n n     



9. 1 2 1 ( 3)n n n    



5. ₂ 1 cos( !) n n n  



10. 1 cos n n n   



>> DERET KUASA Deret Kuasa

Suatu deret yang berbentuk

3 0 1 2 2 3 0 ... n n n a x a a x a x a x       



TEOREMA 11 Misalkan 3 0 1 2 2 3 0 ( ) _n n ... n S x a x a a x a x a x  





     adalah jumlah dari suatu deret kuasa dalam selang I, maka apabila x ada dalam selang I, berlaku:

(i) 1 _{1 2 3} 2 0 1 ( ) _x( _{n n}) _n n 2 2 ... n n S x D a x na x a a x a x       







    (ii) 1 _{0 1} 2 ₂ 3 0 0 0 0 1 1 ( ) ... 1 2 3 x n n n n n n a S t dt a t dt x a x a x a x n             









Sebagai contoh awal, ingat kembali tentang jumlah suku takhingga dari deret ukur

1 a S

r

  _

dengan a adalah suku pertama deret dan r adalah rasio deret dimana r 1 atau  1 r 1. Sekarang misalkan suku pertama deret adalah 1 dan rasionya adalah x,

2 3 0 1 1 ... 1 n n x x x x x         



;   1 x 1

Dengan menggunakan Teorema 11, dapat diperoleh dua formula baru: - Turunkan kedua ruasnya;





2 2 3 1 1 1 1 2 3 4 ... 1 n n x x x nx x          



;   1 x 1

- Integralkan kedua ruasnya;

2 3 0 0 0 0 0 1 1 ... 1 x x x x x dt dt t dt t dt t dt t      











maka diperoleh 2 3 4 1 1 1 ln(1 ) ... 2 3 4 x x x x x        ;   1 x 1

Dan, jika x disubstitusikan oleh – x dan mengalikan kedua ruas dengan –1 maka diperoleh: 2 3 4 1 1 1 1 ( ) ln(1 ) ... 2 3 4 n n x x x x x x n           



; 1 x 1    Contoh 16:

Tentukan deret kuasa yang merepresentasikan 1 tan x. Jawab:

Ingat kembali bahwa 1 2 1 tan 1 x dx x c    



sehingga: 1 2 0 1 tan 1 x x dt t  _ 



Kemudian, dari jumlah suku takhingga 1

1 x dengan mensubstitusi x dengan 2 t  , maka didapat: 2 4 6 2 1 1 ... 1t     t t t Jadi,





1 2 4 6 2 0 0 1 tan 1 ... 1 x x x dt t t t dt t  _{     } 





Dengan demikian, 2 1 1 3 5 7 0 1 1 1 tan ... ( 1) 3 5 7 2 1 n n n x x x x x x n            



;   1 x 1 Contoh 17:

Tentukanlah suatu formula dari penjumlahan deret berikut

2 3 ( ) 1 ... 2! 3! x x S x   x   Jawab:

Jika deret tersebut diturunkan, maka didapat

2 3

( ) 1 ...

2! 3! x x S x   x  

Jadi, S x( )S x( ) untuk semua x. Selain itu, S(0)1. Satu-satunya fungsi yang memenuhi kedua kriteria ini adalah S x( )ex. Dengan demikian,

2 3 0 1 ... 2! 3! ! n x n x x x e x n        



; x

>> DERET TAYLOR & DERET MACLAURIN Deret Taylor

Deret Taylor dihubungkan dengan deret kuasa:

0 ( ) _n( )n n f x a x a   



 ; dengan ( ) ( ) ! n n f a a n  sehingga ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ! n n n f a f x x a n   



  Deret MacLaurin

Deret MacLaurin merupakan deret Taylor dengan a = 0, sehingga

( ) 0 (0) ( ) ( ) ! n n n f f x x n   



 Contoh 18:

Jawab: 0 sin 0 ( ) 0!  x → 0 1 (sin 0) ( ) 1! x   → cos 0 1! x → x 2 (sin 0) ( ) 2! x   → sin 0 2 2! x  _{ →} 0 3 (sin 0) ( ) 3! x   → cos 0 3 3! x  _{ →} 3 3! x  4 (sin 0) ( ) 4! x   → sin 0 4 4! x → 0 5 (sin 0) ( ) 5! x   → cos 0 5 5! x → 5 5! x 6 (sin 0) ( ) 6! x   → sin 0 6 6! x   → 0 7 (sin 0) ( ) 7! x   → cos 0 7 7! x  _{ →} 7 7! x  d a n s e t e r u s n y a Maka, didapatlah ( ) 0 sin (0) sin ( ) ! n n n x x n   



 0 1 2 3 4 5

sin 0 (sin 0) (sin 0) (sin 0) (sin 0) (sin 0)

sin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... 0! 1! 2! 3! 4! 5! x  x   x   x   x   x   x  3 5 7 sin 0 0 0 ... 3! 5! 7! x x x x   x _ _    _ _     3 5 7 2 1 0 sin ... ( 1) 3! 5! 7! (2 1)! n n n x x x x x x n           



; x Contoh 19:

Tentukan deret Taylor dari sin x yang berpusat di  3. Jawab:

Dengan menyusun perhitungan menjadi dua kolom, diperoleh:

( ) sin f x  x → 3 3 2 f   _{ }   ( ) cos f x  x → 1 3 2 f _{ }    ( ) sin f x   x → 3 3 2 f _{ }     ( ) cos f x   x → 1 3 2 f _{ }    

( ) 0 ( ) ( ) ( ) ! n n n f a f x x a n   



  ( ) 0 sin ( 3) sin ! 3 n n n x x n        _  _  





 







2





3 2 3

sin( 3) sin( 3) sin( 3)

sin sin 3 ... 1! 3 2! 3 3! 3 3 1 3 1 ... 2 2 1! 3 2 2! 3 2 3! 3 x x x x x x x            _{ }  _{ }  _{ }   _  _ _  _  _  _                _  _ _  _  _  _           2 2 1 0 0 ( 1) 3 ( 1) sin 2(2 )! 3 2(2 1)! 3 n n n n n n x x x n n               _  _  _  _     





_ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ LATIHAN SOAL E

1. Tentukan penyajian deret kuasa untuk: a. 1 2 x c. 1 1 x e. 3 1 1 x b. 3 2 x x d. 2 1 (1x) f. ln(5x)

2. Tentukan deret Taylor untuk f x( )ex yang berpusat di a = 2. 3. Jika diketahui f x( )cosx, maka:

a. tentukan deret Maclaurin dari f x( ), dan

b. tentukan deret Taylor dari f x( ) yang berpusat di  4. 4. Tentukan tiga suku taknol pertama dalam deret Maclaurin untuk:

a. exsinx

b. tan x

Petunjuk: a. Carilah terlebih dahulu deret Maclaurin untuk ex dan sin x, kemudian kalikanlah kedua deret tersebut.

b. tan sin

cos x x

x

 ; carilah terlebih dahulu deret Maclaurin untuk sin x dan cos x, kemudian bagilah deret sin x dengan deret