• Tidak ada hasil yang ditemukan

Teorema Apit (Squeeze Theorem)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Membagikan "Teorema Apit (Squeeze Theorem)"

Copied!
16
0
0

Teks penuh

(1)



MATERI: a) Perbedaan barisan dan deret

b) Definisi dan teorema tentang deret

c) Deret suku positif dan uji konvergensinya

d) Deret hiperharmonis

e) Deret ukur

f) Deret alternating dan uji konvergensinya

g) Deret kuasa dan operasinya

h) Deret Taylor

i) Deret Maclaurin

>> BARISAN

Suatu barisan dapat dibayangkan sebagai suatu daftar bilangan yang dituliskan dalam suatu urutan yang tertentu:

1, 2, 3, ..., n, ...

a a a a

Bilangan a1 disebut suku pertama, a2 disebut suku kedua, dan demikian seterusnya. Suku an

disebut sebagai suku umum atau suku ke-n dari barisan tersebut.

Notasi: Barisan

a a a1, 2, 3,...

juga dinyatakan sebagai

 

an atau

 

an n 1

 

Contoh 1:

(a)

1

1 1

n n

 

 

1 1

n a

n

  ; n1 0, , , ,...1 2 3 2 3 4

 

 

 

(b)

3

3

n

n

bnn3 ; n3

0,1, 2, 3,...

(c)

1

1 ( 1)n

n n

 

 

1 ( 1)n n

c

n

   ; n1 0, ,3 2 5, , 4,...

2 3 4 5

 

 

(d)

1

1

2 n

   

 

1 2

n

d  ; n1 1 1 1, , ,... 2 2 2

 

 

 

Pada barisan dibagi menjadi barisan konvergen dan barisan divergen.

Suatu barisan

 

an yang konvergen menuju L dapat dituliskan sebagai:

lim n

n aL

Sementara, suatu barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga dinamakan divergen.

(2)

TEOREMA 1

Misalkan

 

an dan

 

bn adalah barisan-barisan konvergen serta k adalah suatu konstanta. Maka,

1) lim

n kk

2) lim n lim n

n ka  k n a

3) lim

n n

lim n lim n

n abn an b

4) lim

n n

lim n lim n

n a b n an b

5)

lim lim

lim

n n n n

n n

n a a

b b

 



 dengan syarat lim n 0

n b



TEOREMA 2 Teorema Apit (Squeeze Theorem)

Jika

 

an dan

 

cn adalah barisan-barisan konvergen ke L sedemikian rupa sehingga

n n n

abc untuk nK, maka

 

bn juga konvergen ke L. Ini berarti juga bahwa jika lim n

n aL dan limn cnL, maka anbncn mengakibatkan limnbnL.

Contoh 2:

Tentukan apakah barisan

2

sin

n

n a

n

 konvergen atau divergen!

Jawab:

Untuk n1, dapat dilihat bahwa

2

sin 1

0 n

n n

  . Lalu, karena

lim 0 0

n  dan

1

lim 0

n n

maka dengan Teorema Apit diperoleh

2

sin 1

lim 0 lim lim

n n n

n

n n

     →

2

sin

0 lim 0

n

n n



 

2

sin

lim 0

n

n n

 

Dengan demikian, barisan

2

sin

n

n a

n

 merupakan suatu barisan yang konvergen ke 0.

TEOREMA 3

Jika lim n 0

n a  , maka limn an 0.

Contoh 3:

Tentukan apakah barisan ( 1)

n n

b n

 konvergen atau divergen!

(3)

Karena lim ( 1) lim 1 0

n

n n n n

, maka berdasarkan Teorema 3 diperoleh

( 1)

lim 0

n n n

Dengan demikian, barisan ( 1)

n n

b n

 merupakan suatu barisan yang konvergen ke 0.

_ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _

LATIHAN SOAL A

Tentukanlah lima suku pertama dari barisan an yang diberikan, lalu kemudian tentukan apakah barisan an konvergen atau divergen. Jika konvergen, tentukan limitnya.

1.

2 2

4 1

2 3

n

n a

n n  

  5. 2

n n n e a

2.

3

3 2

4

n n a

n  

 6. 1 (0,9)

n n

a  

3. 2 4 5

5 1

n n a

n

 

 7.

( )

4

n

n n

a  

4. ( 1)

1

n n

n a

n

 

 8.

 

0,5 2

n n n

a  

>> DERET

Bila barisan adalah urutan bilangan yang mengikuti pola tertentu, maka deret merupakan penjumlahan suku-sukunya. Bila barisan dinyatakan dengan pola a a1, 2,a3, ..., maka deret dinyatakan dengan pola sebagai berikut:

1 1

Sa ; S2  a1 a2 ; S3   a1 a2 a3 ; dan seterusnya Dan, dirumuskan menjadi:

1 2 3

1

...

n

n n i

i

S a a a a a

     

Suatu deret takhingga

1 i i

a

dikatakan konvergen dan memiliki jumlah S jika barisan dari jumlah parsial

 

Sn dengan

1 2 3

1

...

n

n n i

i

S a a a a a

     

konvergen ke S. Jika barisan jumlah parsial

 

Sn divergen, maka deret takhingga 1

i i

a

divergen. Suatu deret yang divergen tidak memiliki jumlah.

(4)

TEOREMA 4 Uji Divergensi

Jika deret takhingga

1

Tunjukkan bahwa

3

merupakan deret divergen.

Jawab:

Maka, berdasarkan Teorema 4, deret

3

merupakan deret divergen.

TEOREMA 6 Kelinieran Deret Konvergen

Jika

merupakan deret-deret konvergen, dan c suatu konstanta, maka:

1)

merupakan deret konvergen; dan

1 1

merupakan deret konvergen; dan

1 1 1

Jika deret takhingga

1

Deret Ukur

Suatu deret yang berbentuk

(5)

Contoh 5:

Tunjukkan bahwa deret

 

1

 

1

8 3

1

3 n 5 n

n

konvergen, lalu hitunglah jumlahnya.

Jawab:

 

 

1 1

 

 

1

 

 

1

8 3 8 3

1 1 1

3 n 5 n 3 n 5 n

n n n

  

  

  

Perhatikan bahwa

 

 

1 8 1

3 n

n

merupakan suatu deret ukur dengan 1 1

8 8 1

r   . Berarti,

deret

 

 

1 8 1

3 n

n

konvergen.

Begitu pula

 

 

1 3 1

5 n

n

, juga merupakan suatu deret ukur dengan 1 1

3 3 1

r   . Berarti,

deret

 

 

1 3 1

5 n

n

konvergen.

Dengan demikian, berdasarkan Teorema 6 (2), deret

 

1

 

1

8 3

1

3 n 5 n

n

konvergen.

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 1 1

8 3 8 3

1 1 1

1 1

8 3

1 1

1 1

8 3

1 1

8 3

3 5 3 5

3 5

3 5

1 1

3 5

7 2

29 14

n n n n

n n n

n n

n n

  

  

 

 

  

 

   

 

 

TEOREMA 8

Suatu deret ukur

1 n n

a

dikatakan konvergen jika dan hanya jika lim n 0

n a  . Ini juga berarti

bahwa lim n 0

n a  (atau limn an tidak ada) jika dan hanya jika deret ukur 1

n n

a

divergen.

Bandingkanlah Teorema 8 dengan Teorema 4 dan 5! Apakah perbedaannya?

Deret Harmonis

Suatu deret yang berbentuk

1

1 1 1

1 ...

2 3

n n

   

(6)

Contoh 6:

Tunjukkan bahwa deret harmonis adalah deret yang divergen.

Jawab: terbatas. Jadi,

 

Sn divergen. Dengan demikian, deret harmonis adalah deret yang divergen.

Deret Hiperharmonis Suatu deret yang berbentuk

1

dengan p suatu konstanta disebut sebagai suatu deret hiperharmonis (deret-p). Deret ini: 1) konvergen jika p1;

2) divergen jika p1 .

Contoh 7:

Tentukan apakah deret 1,001

1

1

n n

konvergen atau divergen.

Jawab:

Karena 1,001

1 konvergen.

_ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _

LATIHAN SOAL B

Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen. Jika konvergen, tentukan jumlahnya.

(7)

>> DERET SUKU POSITIF

Selain beberapa teorema yang telah dibahas di atas, uji konvergensi untuk deret suku positif ada beberapa macam lagi, diantaranya:

a. uji integral, d. uji rasio, dan

b. uji perbandingan, e. uji akar.

c. uji perbandingan limit,

Uji Integral

Misalkan f fungsi yang kontinu, positif, tidak naik pada selang [1, ) , anggaplah anf n( ) untuk semua n bilangan asli. Maka deret takhingga

1 n n

a

konvergen jika dan hanya jika integral tak wajar

1 f x dx( )

konvergen (nilai integralnya ada). Dengan kata lain:

(i) Jika

1 f x dx( )

ada, maka

1 n n

a

konvergen.

(ii) Jika

1 f x dx( )

tidak ada, maka

1 n n

a

divergen.

Catatan:

Saat menggunakan uji integral, deret atau integral tidak harus dimulai dari n = 1. Misalnya,

dalam menguji deret

2 4

1 3

n n

 

, maka digunakanlah 2

4

1

(x 3) dx

.

Perlu diingat:

1 ( ) lim 1 ( ) t t

f x dx f x dx



.

Contoh 8:

Tentukan apakah

2

1 ln

n n n

merupakan deret konvergen atau divergen.

Jawab:

Pertama, harus diperhatikan bahwa fungsi ( ) 1

ln

f x

x x

 terdefinisi dan bernilai positif saat

2

x atau pada selang [2, ) , sehingga:

2

1

2 2 2 2

1 1 1 (ln ) 1

lim lim lim (ln ) lim ln ln

ln ln ln ln

t t t t

t t t t

x d x

dx dx d x x

x x x x x x x

   

     

Oleh karena itu,

2

1 ln

n n n

(8)

Uji Perbandingan

Misalkan

1

Catatan:

Saat menggunakan uji perbandingan, tentunya harus mengetahui suatu deret yang sudah diketahui kekonvergenan/kedivergenannya sebagai bahan perbandingan. Seringkali digunakan deret ukur, harmonis, atau hiperharmonis karena dapat dengan mudah menentukan konvergen/divergennya deret tersebut, seperti yang telah dijelaskan sebelumnya.

Contoh 9:

Tentukan apakah 2

1 5 4

merupakan deret konvergen atau divergen.

Jawab:

Jelas bahwa semakin besar penyebutnya, maka nilainya akan semakin kecil, sehingga

2 2

5 4 5

n n

n   n

Perhatikan bahwa

2

Pada Contoh 6, telah diketahui bahwa

1

1

n n

divergen, dan dengan menggunakan Teorema 7,

maka

dengan menggunakan uji perbandingan (poin (ii)), didapatlah 2

1 5 4

Uji Perbandingan Limit

Misalkan

adalah deret-deret suku positif dan lim n n

kedua-duanya konvergen atau divergen.

(9)

Contoh 10:

Ujilah apakah deret

1

konvergen atau divergen.

Jawab:

Misalkan 1

2 1

b  . Dengan menggunakan uji perbandingan limit, diperoleh

1

berdasarkan uji perbandingan lmit, maka deret

1

Misalkan

1

adalah suatu deret suku positif, dan 1

lim n

(iii) Jika L = 1, maka uji ini tidak memberikan kesimpulan apa-apa.

Contoh 11:

Ujilah apakah deret

1

konvergen atau divergen.

Jawab:

Dengan demikian, berdasarkan uji rasio (poin (i)), deret

1

Misalkan

1

Ujilah apakah deret

 

konvergen atau divergen.

(10)

Dengan demikian, berdasarkan uji akar (poin (i)), deret deret

Ujilah apakah deret-deret berikut konvergen atau divergen.

1. 2 3

>> DERET ALTERNATING

Deret Alternating

Suatu deret yang berbentuk

1 2 3 4 5 6 ... a      a a a a a

disebut sebagai suatu deret alternating (deret ganti tanda).

Deret ini konvergen saat memenuhi: (i) anan1 untuk semua nilai n;

(ii) lim n 0

n a  .

(11)

Contoh 13:

Tunjukkan bahwa

0

merupakan deret yang konvergen.

Jawab:

Selanjutnya, jika nilai dari n menuju tak hingga, maka secara otomatis nilai dari n! juga pasti

menuju tak hingga. Hal ini mengakibatkan lim 1 0 !

n n  . Dengan demikian, deret tersebut

merupakan deret yang konvergen.

TEOREMA 9 Uji Konvergensi Mutlak

Jika

merupakan suatu deret yang konvergen, maka

1

juga merupakan deret yang

konvergen.

Suatu deret

1

dikatakan konvergen mutlak jika

1

konvergen. Teorema 9 menjamin

bahwa kekonvergenan mutlak menjamin kekonvergenan.

TEOREMA 10 Uji Rasio Mutlak

Misalkan

1

(i) Jika L < 1, maka deret tersebut konvergen mutlak. (ii) Jika L > 1, maka deret tersebut divergen.

(iii) Jika L = 1, maka uji ini tidak memberikan kesimpulan apa-apa

Contoh 14:

Ujilah apakah deret 1

1

konvergen atau divergen.

Jawab: menjamin bahwa kekonvergenan mutlak menjamin kekonvergenan. Dengan demikian, deret tersebut konvergen.

Suatu deret

(12)

Contoh 15:

Tunjukkan bahwa deret harmonis alternating itu merupakan suatu deret konvergen bersyarat.

Jawab:

Ingat kembali bentuk deret harmonis alternating:

1 1 1 1 1

1 ...

2 3 4 5 6

     

Sebelumnya telah disebutkan bahwa deret harmonis alternating merupakan suatu deret yang konvergen karena anan1 untuk semua nilai n dan lim n 0

n a  . Namun, mutlak dari deret

harmonis alternating adalah deret harmonis:

1 1 1 1 1

1 ...

2 3 4 5 6

     

Pada Contoh 6 telah ditunjukkan bahwa deret harmonis itu divergen. Jadi, oleh karena

1

yang merupakan deret harmonis alternating itu konvergen dan

1

yang merupakan deret

harmonis itu divergen, maka deret harmonis alternating itu konvergen bersyarat.

_ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _

LATIHAN SOAL D

Tentukan apakah deret-deret berikut ini konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen.

1. 1

Deret Kuasa

Suatu deret yang berbentuk

(13)

TEOREMA 11

Misalkan 3

0 1 2 2 3

Sebagai contoh awal, ingat kembali tentang jumlah suku takhingga dari deret ukur

1 Sekarang misalkan suku pertama deret adalah 1 dan rasionya adalah x,

2 3

Dengan menggunakan Teorema 11, dapat diperoleh dua formula baru:

- Turunkan kedua ruasnya;

2 2 3 1

- Integralkan kedua ruasnya;

2 3

maka diperoleh

2 3 4 diperoleh:

2 3 4

Tentukan deret kuasa yang merepresentasikan 1

tan x.

Jawab:

Ingat kembali bahwa 1

(14)

Kemudian, dari jumlah suku takhingga 1

1x dengan mensubstitusi x dengan 2 t

 , maka

didapat:

2 4 6 2

1

1 ...

1t     t t t

Jadi,

1 2 4 6

2

0 0

1

tan 1 ...

1

x x

x dt t t t dt

t

   

Dengan demikian,

2 1

1 3 5 7

0

1 1 1

tan ... ( 1)

3 5 7 2 1

n n n

x

x x x x x

n

 

      

;   1 x 1

Contoh 17:

Tentukanlah suatu formula dari penjumlahan deret berikut

2 3

( ) 1 ...

2! 3!

x x

S x   x  

Jawab:

Jika deret tersebut diturunkan, maka didapat

2 3

( ) 1 ...

2! 3!

x x

S x   x  

Jadi, S x( )S x( ) untuk semua x. Selain itu, S(0)1. Satu-satunya fungsi yang memenuhi kedua kriteria ini adalah S x( )ex. Dengan demikian,

2 3

0

1 ...

2! 3! !

n x

n

x x x

e x

n

     

; x

>> DERET TAYLOR & DERET MACLAURIN

Deret Taylor

Deret Taylor dihubungkan dengan deret kuasa:

0

( ) n( )n

n

f x a x a

 ; dengan

( )

( ) !

n n

f a a

n

sehingga

( )

0

( )

( ) ( )

!

n

n n

f a

f x x a

n

 

Deret MacLaurin

Deret MacLaurin merupakan deret Taylor dengan a = 0, sehingga

( )

0

(0)

( ) ( )

!

n

n n

f

f x x

n

Contoh 18:

(15)

Jawab:

Maka, didapatlah

( )

Dengan menyusun perhitungan menjadi dua kolom, diperoleh:

( ) sin

(16)

( )

0

( )

( ) ( )

!

n

n n

f a

f x x a

n

 

( )

0

sin ( 3) sin

! 3

n n

n

x x

n

 

     

 

2

3

2 3

sin( 3) sin( 3) sin( 3)

sin sin 3 ...

1! 3 2! 3 3! 3

3 1 3 1

...

2 2 1! 3 2 2! 3 2 3! 3

x x x x

x x x

     

  

 

     

     

     

     

        

2 2 1

0 0

( 1) 3 ( 1)

sin

2(2 )! 3 2(2 1)! 3

n n

n n

n n

x x x

n n

  

 

 

         

   

_ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _

LATIHAN SOAL E

1. Tentukan penyajian deret kuasa untuk:

a. 1

2

x c.

1

1x e. 3

1 1x

b.

3

2

x

x d. 2

1

(1x) f. ln(5x)

2. Tentukan deret Taylor untuk f x( )ex yang berpusat di a = 2.

3. Jika diketahui f x( )cosx, maka:

a. tentukan deret Maclaurin dari f x( ), dan

b. tentukan deret Taylor dari f x( ) yang berpusat di  4.

4. Tentukan tiga suku taknol pertama dalam deret Maclaurin untuk:

a. exsinx

b. tan x

Petunjuk: a. Carilah terlebih dahulu deret Maclaurin untuk ex dan sin x,

kemudian kalikanlah kedua deret tersebut.

b. tan sin

cos

x x

x

 ; carilah terlebih dahulu deret Maclaurin untuk

sin x dan cos x, kemudian bagilah deret sin x dengan deret

Referensi

Dokumen terkait

seperti yang dijelaskan di paragraf sebelumnya, penggunaan rangka atap kayu sudah jarang digunakan lagi, sekarang lebih banyak digunakan rangka atap baja ringan

Berdasarkan hasil analisa data yang telah dijelaskan sebelumnya, Konsep pesan yang digunakan adalah menggunakan bahasa yang mudah dimengerti dengan gaya informal

Seperti pada [4] yang membahas tentang uji konvergensi baru yaitu uji rasio baru untuk deret monoton positif dan [1] yang membahas tentang uji rasio ke-m untuk menentukan

Seperti sudah dijelaskan sebelumnya bahwa untuk menentukan layak tidaknya suatu investasi ditinjau dari aspek keuangan, perlu dilakukan atau diukur dengan beberapa

Seperti halnya pada metode analisis sebelumnya, model ARIMA dapat digunakan untuk analisis data deret waktu dan peramalan data. Pada model ARIMA diperlukan

Sehingga kekuatan pemain menentukan pengaruh yang akan diberikan terhadap pengambilan keputusan (Allison, 1969). Dalam hal ini seperti yang telah dijelaskan sebelumnya

Seperti yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, sistem terintegrasi yang dibangun pada penelitian ini terdiri dari alat ukur suhu pada kolom distilasi, PLC,

Seperti yang sudah dijelaskan di atas bahwa salah satu analisis deret waktu yang sering digunakan dalam kawasan waktu (time domain) adalah peramalan dengan