PERLUASAN TEOREMA KONVERGENSI UNTUK DERET TAK NEGATIF KARYA ILMIAH OLEH INTAN SITI NURFATIMAH NIM

PERLUASAN TEOREMA KONVERGENSI UNTUK DERET TAK NEGATIF

KARYA ILMIAH

OLEH

INTAN SITI NURFATIMAH NIM. 1603114521

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU 2020

PERLUASAN TEOREMA KONVERGENSI UNTUK DERET TAK NEGATIF

Intan Siti Nurfatimah

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

intan.siti4521@student.unri.ac.id

ABSTRACT

This article discusses a decreasing sequence (an) of nonnegative terms, there exist subsequences (nk) of (n) such that P_∞

k=1(nk+1− n^k)ank andP_∞

n=1an have the same convergence. Then for P_∞

n=1an converges if and only if P_∞

k=1q^ka_q^k converges for 1 < q ∈ N. Using these results, an extension of the ratio test is formed.

Keywords: Sequence, series, convergency, divergency ABSTRAK

Artikel ini membahas bahwa untuk barisan menurun (an) tak negatif, terdapat barisan bagian (nk) sedemikian rupa sehingga P_∞

k=1(nk+1 − nk)ank dan P_∞

n=1an

memiliki konvergensi yang sama. Selanjutnya dibahas bahwa P_∞

n=1a_n konvergen jika dan hanya jika P_∞

k=1q^ka_q^k konvergen untuk 1 < q ∈ N. Dengan menggunakan hasil ini, dibentuk perluasan uji rasio.

Kata kunci: Barisan, deret, konvergensi, divergensi

1. PENDAHULUAN

Teori barisan bilangan real dikembangkan oleh matematikawan Jerman, George Cantor (1845–1918). George Cantor sangat terkenal sebagai pencipta teori him- punan yang merupakan dasar matematika modern. Adapun temuannya yaitu ten- tang barisan bilangan rasional. Masih banyak matematikawan lain yang memberikan sumbangan konsep dan teori mengenai barisan bilangan real yang terkenal, di- antaranya adalah Agustin-Louis Cauchy (1789–1857) yang terkenal dengan barisan Cauchy, Bernard Bolzano (1781–1848) dan Karl Weierstrass (1815–1897).

Pada buku teks [2–3, 5–11] telah diberikan macam-macam uji untuk menen- tukan konvergensi suatu deret. Diantaranya adalah teorema konvergensi monoton, teorema Bolzano-Weierstrass, kriteria Cauchy, uji banding limit, uji akar, uji rasio

dan bermacam teorema konvergensi lainnya. Beberapa jurnal juga telah memba- has pengembangan teorema dan uji konvergensi. Seperti pada [4] yang membahas tentang uji konvergensi baru yaitu uji rasio baru untuk deret monoton positif dan [1] yang membahas tentang uji rasio ke-m untuk menentukan konvergensi suatu deret. Meskipun telah diberikan macam-macam uji untuk menentukan konvergensi suatu deret seperti yang disebutkan di atas, ternyata masih terdapat deret yang tidak mudah ditentukan konvergensinya menggunakan teorema dan berbagai uji tersebut. Sebagai contoh yaitu deret P_∞

k=1(2k + 2) (k + 1)^k− 2k^k/6(k + 1)^2(k+1), P_∞

k=1(4^k+ 8^k)/5^2k dan P_∞

n=1

√n/(1 + n²).

Pada artikel ini diberikan beberapa kasus yang konvergensinya ekuivalen dengan P_∞

n=1a_n dan perluasan uji rasio untuk deret tak negatif. Artikel ini merupakan review dari artikel Wu [12]. Untuk penyajian, diberikan pada bagian kedua teorema ekuivalensi konvergensi dan bagian ketiga perluasan uji rasio

2. TEOREMA EKUIVALENSI KONVERGENSI

Pada bagian ini dibahas bahwa terdapat barisan bagian (nk) sedemikian rupa se- hingga P_∞

k=1(nk+1− nk) ank dan P_∞

n=1an memiliki konvergensi yang sama.

Teorema 1 Misalkan (a_n) memenuhi a_n ≥ an+1 ≥ 0 untuk semua n ∈ N. Oleh karena itu pernyataan berikut ini ekuivalen:

(i) P_∞

n=1an konvergen.

(ii) Untuk setiap barisan bagian (nk), P_∞

k=1(nk+1− n^k) ank+1 konvergen.

(iii) Untuk setiap M > 0, jika barisan bagian (nk) memenuhi

(n_k+1− nk) ≤ M (nk− nk−1) untuk semua 1 < k ∈ N, maka P_∞

k=1(nk+1− n^k) ank konvergen.

(iv) Untuk setiap M ≥ 1 terdapat barisan bagian (n^k) sehingga

1 < nk+1− n^k< (M + 1) (nk− nk−1) untuk semua 1 < k ∈ N dan P_∞

k=1(nk+1− nk) ank konvergen.

(v) Untuk setiap M ≥ 1, jika barisan bagian (n^k) memenuhi nk+1−nk≤ M untuk semua k ∈ N maka P_∞

k=1(nk+1− n^k) ank konvergen.

(vi) Jika n1 ∈ N dan d ∈ N maka P_∞

k=0an1+kd konvergen.

Bukti. Bukti dari Teorema ini dapat dilihat pada [12]. 

Contoh 1 Untuk menentukan konvergensi deret

∞

X

k=1

(2k + 2) (k + 1)^k− 2k^k 6(k + 1)^2(k+1) , misalkan k^k = nk, dengan demikian

∞

X

k=1

(2k + 2) (k + 1)^k− 2k^k 6(k + 1)^2(k+1) =

∞

X

k=1

2 (k + 1)^k+1− 2k^k 6(k + 1)^2(k+1)

= X∞ k=1

(nk+1− nk) 2 6nk+12. Oleh karena itu didapat bentuk deret P_∞

k=1(nk+1− n^k) ank+1 dengan an = 2/6n². KarenaP_∞

n=1anadalah deret konvergen maka berdasarkan implikasi (i) ⇒ (ii) pada Teorema 1, deret P_∞

k=1[(2k + 2) (k + 1)^k− 2k^k]/6(k + 1)^2(k+1) konvergen.

Berdasarkan ekuivalensi (i) ⇔ (ii) pada Teorema 1 dapat disimpulkan uji diver- gensi berikut:

Akibat 2 Untuk barisan menurun (an) tak negatif, jika terdapat barisan bagian (nk) sehingga (nk+1− nk) ank+1 6→ 0 dengan k → +∞ makaP_∞

n=1an divergen.

Bukti. Dari ekuivalensi (i) ⇔ (ii) pada Teorema 1 diketahui bahwa untuk barisan menurun (an) tak negatif, terdapat barisan bagian (nk) sedemikian rupa sehingga P_∞

k=1(nk+1− nk) ank+1 danP_∞

n=1an memiliki konvergensi yang sama. Karena dike- tahui (n_k+1− nk) a_nk+1 6→ 0 makaP_∞

k=1(n_k+1− nk) a_nk+1 divergen. Dengan demikian P_∞

n=1an divergen. 

Ternyata konvergensi dari P_∞

n=1an sepenuhnya menunjukkan sifat konvergensi dari deret P_∞

k=1q^ka_q^k untuk 1 < q ∈ N, sebagaimana Teorema 3 berikut.

Teorema 3 Misalkan (an) memenuhi an ≥ aⁿ⁺¹ ≥ 0 untuk semua n ∈ N. Untuk setiap 1 < q ∈ N maka pernyataan berikut ekuivalen:

(i) P_∞

n=1an konvergen.

(ii) P_∞

k=1q^ka_q^k konvergen.

(iii) Terdapat barisan bagian (nk) sehingga (nk+1− n^k) naik dan deretP_∞

k=1 1 nk+1−nk

dan P_∞

k=1(nk+1− n^k) ank keduanya konvergen.

(iv) Terdapat barisan bagian (nk) sehingga P_∞

k=1(nk+1− nk) ank konvergen.

Bukti. Bukti dari Teorema ini dapat dilihat pada [12].  Contoh 2 Untuk menentukan konvergensi deret

∞

X4^k+ 8^k 5^2k ,

dapat mengganti bentuk deret tersebut menjadi lebih sederhana sebagai berikut:

∞

X

k=1

4^k+ 8^k 5^2k =

∞

X

k=1

2^2k+ 2^3k 5^2k .

Oleh karena itu dengan q = 2 dan a_q^k = (q^k+ q^2k)/5^qk didapat bentuk deret P_∞

k=1q^ka_q^k. Dapat dilihat bahwa an = (n + n²)/5ⁿ. Berdasarakan uji rasio, deret P_∞

n=1an konvergen. Dengan demikian dari implikasi (i) ⇒ (ii) pada Teorema 3, deret P_∞

k=1(4^k+ 8^k)/5^2k konvergen.

Berdasarkan kondisi yang diperlukan untuk menentukan konvergensi suatu deret pada ekuivalensi (i) ⇔ (ii) Teorema 3 tersebut, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

Akibat 4 Untuk barisan menurun (an) tak negatif, jika q^ka_q^k 6→ 0 dengan k → +∞

maka P_∞

n=1an divergen.

Bukti. Dari ekuivalensi (i) ⇔ (ii) pada Teorema 3 diketahui bahwa untuk barisan menurun (an) tak negatif, P_∞

n=1an konvergen jika dan hanya jika P_∞

n=0qⁿaqⁿ kon- vergen untuk suatu 1 < q ∈ N. Karena q^ka_q^k 6→ 0 maka P_∞

n=0qⁿa_qⁿ divergen.

Dengan demikian P_∞

n=1an divergen. 

3. PERLUASAN UJI RASIO

Untuk barisan menurun (an) tak negatif. Dari implikasi (i) ⇒ (ii) pada Teorema 3, jikaP_∞

n=1an konvergen maka deretP_∞

k=1q^ka_q^k konvergen untuk 1 < q ∈ N. Dengan demikian dapat dibentuk perluasan uji rasio seperti Teorema 5 berikut.

Teorema 5 Misalkan 1 < q ∈ N dan an≥ an+1 ≥ 0 untuk semua n ∈ N.

(i) Jika lim

k→+∞

a_qk+1

a_qk < ¹_q maka P_∞

n=1an konvergen.

(ii) Jika lim

k→+∞

a_qk+1

a_qk > ¹_q maka P_∞

n=1an divergen.

Bukti. Untuk barisan menurun (an) tak negatif. Berdasarkan implikasi (i) ⇒ (ii) pada Teorema 3, jika P_∞

n=1an konvergen maka deret P_∞

k=1q^ka_q^k konvergen untuk 1 < q ∈ N. Dengan demikian uji rasio untuk untuk deret P_∞

k=1q^kaq^k menjadi

n→+∞lim an+1

an

= lim

k→+∞

q^k+1aq^k+1

q^ka_q^k = lim

k→+∞

qaq^k+1

a_q^k . Dari uji rasio diketahui jika

k→+∞lim qa_q^k+1

a_q^k < 1,

atau dapat juga ditulis

k→+∞lim a_q^k+1

a_q^k < 1 q, maka deret P_∞

k=1q^ka_q^k konvergen. Demikian juga, jika

k→+∞lim qa_q^k+1

a_q^k > 1, atau dapat juga ditulis

k→+∞lim a_q^k+1

a_q^k > 1 q, maka deret P_∞

k=1q^ka_q^k divergen. 

Teorema 5 ini dapat digunakan untuk memberi bukti dari uji rasio melalui propo- sisi berikut:

Proposisi 6 Misalkan an > 0 untuk semua n ∈ N dan ρ := lim

n→+∞an+1/an ada.

Jika ρ < 1 maka untuk 1 < q ∈ N, limit berikut berlaku.

k→+∞lim a_q^k+1

a_q^k = 0.

Bukti. Bukti dari Proposisi ini dapat dilihat pada [12].  Karena Teorema 5 didapatkan dari perluasan uji rasio, konvergensi deretP_∞

n=1an

yang ditentukan dengan menggunakan uji rasio juga dapat ditentukan konvergensinya dengan menggunakan Teorema 5. Namun tidak sebaliknya. Terdapat kasus dimana konvergensi suatu deret tidak dapat ditentukan menggunakan uji rasio tetapi dapat ditentukan konvergensinya menggunakan Teorema 5.

Contoh 3 Untuk memeriksa konvergensi deret

∞

X

n=1

√n 1 + n²,

dengan menggunakan uji rasio didapat hasil dari lim

n→∞a_n+1/a_n adalah 1 sehingga konvergensi deret P_∞

n=1

√n/1 + n² tidak dapat disimpulkan menggunakan uji rasio.

Selanjutnya konvergensi dari deret tersebut akan ditentukan menggunakan Teo- rema 5 (perluasan uji rasio). Dengan an =√

n/(1 + n²) maka a_q^k =pq^k/(1 + q^2k) dan a_q^k+1 =pq^k+1/(1 + q^2k+2) sehingga

k→+∞lim a_q^k+1

a_q^k = lim

k→+∞

√q^k+1 1+q^2k+2

√q^k 1+q^2k

k→+∞lim a_q^k+1

a_q^k = lim

k→+∞

pq^k+1(1 + q^2k) pq^k(1 + q^2k+2)

= lim

k→+∞

√q(1 + q^2k) 1 + q^2k+2

= lim

k→+∞

1 + q^2k

√q1 + q^2k+3/2

= lim

k→+∞

1 q^2k + 1

√q(q1^2k) + q^3/2

= 0 + 1 0 + q^3/2,

k→+∞lim a_q^k+1

aq^k

= 1 q^3/2. Didapat hasil dari lim

k→+∞a_q^k+1/a_q^k adalah 1/q^3/2 < 1/q. Dengan begitu dari Teorema 5 (perluasan uji rasio) deret P_∞

n=1

√n/(1 + n²) konvergen.

4. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil pembahasan dari bab-bab sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa untuk barisan menurun (a_n) tak negatif, terdapat barisan bagian (n_k) sedemikian rupa sehingga P_∞

k=1(nk+1− n^k)ank dan P_∞

n=1an memiliki konvergensi yang sama.

Dari pernyataan tersebut dapat dibuktikan bahwaP_∞

n=1ankonvergen jika dan hanya jika P_∞

k=1q^ka_q^k konvergen untuk 1 < q ∈ N.

Kemudian, karenaP_∞

n=1an konvergen jika dan hanya jikaP_∞

k=1q^ka_q^k konvergen untuk 1 < q ∈ N maka dapat dibentuk teorema perluasan uji rasio, yaitu, jika

k→+∞lim a_q^k+1/a_q^k < 1/q maka P_∞

n=1a_n konvergen. Begitu juga jika lim

k→+∞a_q^k+1/a_q^k >

1/q maka P_∞

n=1an divergen.

Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Prof. Dr.

Mashadi, M.Si. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] S. A. Ali, The mth ratio test: New convergence tests for series, The American Mathematical Monthly, 115 (2008), 514–524.

[2] R. G. Bartle dan D. R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, Fourth Edition, John Wiley and Sons, Hoboken, 2011.

[3] R. Carlson, A Concrete Introduction to Real Analysis, Second Edition, CRC Press, Boca Raton, 2018.

[4] H. Chen, A new ratio test for positive monotone series, The College Mathe- matics Journal, 44 (2013), 139–141.

[5] S. R. Ghorpade dan B. V. Limaye, A Course in Calculus and Real Analysis, Springer, New York, 2006.

[6] E. Grigorieva, Methods of Solving Sequence and Series Problems, Birkhauser, Switzerland, 2016.

[7] M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Volume 1, Oxford University Press, New York, 1972.

[8] Mashadi dan A. Hadi, Analisis I, UR Press, Pekanbaru, 2017.

[9] J. Rogawski dan C. Adams, Calculus: Early Transcendentals, Third Edition, W. H. Freeman and Company, New York, 2015.

[10] R. B. Schinazi, From Calculus to Analysis, Birkhauser, New York, 2012.

[11] J. Stewart, Calculus, Eighth Edition, Cengage Learning, Boston, 2016.

[12] Z. Wu, Two convergence theorems and an extension of the ratio test for a series, Mathematics Magazine, 92 (2019), 222–227.