METODE BERTIPE SCHRODER ORDE TIGA UNTUK MENCARI AKAR GANDA DENGAN MULTIPLISITAS
TAK DIKETAHUI
KARYA ILMIAH
OLEH
DIANA EFFENDI NIM. 1403111165
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU 2019
METODE BERTIPE SCHRODER ORDE TIGA UNTUK MENCARI AKAR GANDA DENGAN MULTIPLISITAS TAK DIKETAHUI
Diana Effendi
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
dianaeff[email protected]
ABSTRACT
This article discusses a new Schroder-type method for finding a multiple root of nonlinear equations. The method has a third order convergence and requires four function evaluations per iteration. Through computational tests, it is shown that the method converges to the root of the nonlinear equations faster than those of the comparison methods.
Keywords: Schroder-type method, root finding, nonlinear equations, multiple roots, order of convergence
ABSTRAK
Artikel ini membahas sebuah metode bertipe Shroder untuk mencari akar ganda dari suatu persamaan nonlinear. Metode ini memiliki orde konvergensi tiga dan membutuhkan empat evaluasi fungsi per iterasi. Melalui uji komputasi ditunjukkan bahwa metode yang diusulkan lebih cepat konvergen ke akar yang dicari dibanding metode pembanding yang dipertimbangkan.
Kata kunci: Metode bertipe Schroder, menemukan akar, persamaan nonlinear, akar ganda, orde konvergensi
1. PENDAHULUAN
Dalam bidang sains, sering ditemukan masalah yang berkaitan dengan mencari solusi persamaan nonlinear yang berbentuk
f (x) = 0. (1)
Untuk mencari akar persamaan (1) pada umumnya tidak dapat digunakan metode analitik, sehingga diperlukan teori khusus untuk memudahkan perhitungan. Salah satu teori yang digunakan adalah metode numerik. Beberapa metode numerik
yang sering digunakan adalah metode Newton yang mempunyai orde konvergensi kuadratik jika tebakan awal x0 yang cukup dekat dengan akar [1, h. 58–59]. Kon- vergensi metode Newton lebih lambat jika digunakan untuk mencari akar ganda, sehingga diperlukan modifikasi metode Newton.
Modifikasi metode Newton dengan orde konvergensi kuadratik [7, 9] mempunyai bentuk iterasi
xn+1 = xn− mf (xn)
f′(xn), n = 0, 1, 2, . . .
dengan f′(xn)̸= 0 dan m adalah nilai multiplisitas akar. Dalam perkembangannya, terdapat banyak modifikasi metode Newton telah digunakan dalam menangani per- masalahan akar ganda ketika multiplisitas m diketahui, namun masih sedikit yang membahas akar ganda ketika multiplisitas m tak diketahui. Oleh karena itu, penulis tertarik untuk melakukan review metode bertipe Schroder [8] untuk mencari akar ganda dengan multiplisitas tak diketahui.
Untuk mendiskusikan hal ini, pada bagian dua diturunkan metode Schroder dan kekonvergenannya. Kemudian dilanjutkan pada bagian ketiga dengan melakukan uji komputasi numerik terhadap empat contoh fungsi.
2. METODE SCHRODER UNTUK MENCARI AKAR GANDA Proses penurunan metode Schroder untuk akar ganda dimulai dengan menggunakan langkah pertama dari metode modifikasi Newton [8], yaitu
xn+1 = xn− mf (xn)
f′(xn), (2)
dengan nilai m adalah
m = 2f′(x)3− f(xn)f′(xn)f′′(xn)
2f′(xn)3− 3f(xn)f′(xn)f′′(xn) + f′′′(xn)f (xn)2). (3) Persamaan (2) dapat ditulis sebagai
xn+1 = xn− 2(f′(xn))3− f(xn)f′(xn)f′′(xn)
2(f′(xn))3− 3f(xn)f′(xn)f′′(xn) + f′′′(xn)(f (xn))2
(f (xn) f′(xn)
) . (4)
Selanjutnya setelah persamaan (4) disederhanakan, diperoleh
xn+1 = xn− 2(f (xn)(f′(xn))2− (f(xn))2f′′(xn))
2(f′(xn))3− 3f(xn)f′(xn)f′′(xn) + f′′′(xn)(f (xn))2. (5) Persamaan (5) dapat ditulis dalam bentuk
xn+1 = xn− Q
W. (6)
dengan
Q = 2(f (xn)(f′(xn))2− (f(xn))2f′′(xn)), (7) dan
W = 2(f′(xn))3− 3f(xn)f′(xn)f′′(xn) + f′′′(xn)(f (xn))2, (8) Persamaan (6) merupakan metode iterasi bertipe Schroder untuk mencari akar dari persamaan nonlinear dengan taksiran multiplisitas m menggunakan formula (3) [6]. Berikut ini adalah teorema orde konvergensi dari metode bertipe Schoder dengan multiplisitas m diketahui.
Teorema 1 (Orde Konvergensi) [8] Misalkan α ∈ I adalah akar ganda dengan multiplisitas m dari persamaan f (x) = 0 dengan f : I ⊂ R → R yang terdiferen- sialkan secukupnya pada interval terbuka I. Jika x0 cukup dekat dengan α, maka metode iterasi pada persamaan (6) memiliki orde konvergensi tiga dengan memenuhi persamaan eror [10] yang ditulis dalam bentuk
en+1=
((2(m + 1)T2 + (m + 2)T12) m(m + 1)2(m + 2)
)
e3n+O(e4n) (9)
dengan en= xn− α dan
Tk = f(m+k)(α)
f(m)(α) , k = 1, 2, 3. (10) Bukti. Misalkan α adalah akar ganda dari f (x) = 0 dengan multiplisitas m. Asum- sikan en= xn−α, kemudian dengan menggunakan ekspansi deret Taylor dari f(x) di sekitar x = α dengan mengabaikan suku yang memuat (x− α)kuntuk k ≥ m+4 [2, h. 189] diperoleh
f (x) = f (α) + f′(α)(x− α) + · · · + f(m−1)(α)
(m− 1)! (x− α)m−1 + f(m)(α)
m! (x− α)m−f(m+1)(α)
(m + 1)! (x− α)m+1 + f(m+2)(α)
(m + 2)! (x− α)m+2+ f(m+3)(α)
(m + 3)! (x− α)m+3
+O((xn− α)m+4). (11)
Selanjutnya persamaan (11) dievaluasi di x = xn dan mengingat en = xn− α dan f (α) = 0, f′(α) = 0, . . . , f(m−1)(α) = 0 diperoleh [3]
f (xn) = f(m)(α) m! emn
(
1 + A1en+ A2e2n+ A3e3n+O(e4n) )
, (12)
dengan
Ak = Tkm!
(m + k)!, k = 1, 2, 3, (13)
Untuk mendapatkan f′(xn) persamaan (11) diturunkan terhadap x dan dievalu- asi di sekitar x = xn. Setelah penyederhanaan diperoleh
f′(xn) = f(m)(α) (m− 1)!emn−1
(
1 + B1en+ B2e2n+ B3e3n+O(e4n) )
, (14)
dengan
Bk= Tk(m− 1)!
(m + k− 1)!, k = 1, 2, 3. (15) Kemudian untuk mendapatkan f′′(xn) persamaan (11) diturunkan terhadap x dua kali dan dievaluasi di sekitar x = xn. Selanjutnya didapat
f′′(xn) = f(m)(α) (m− 2)!emn−2
(
1 + C1en+ C2e2n+ C3e3n+O(e4n) )
, (16)
dengan
Ck = (m− 2)!
(m + k− 2)!Tk, k = 1, 2, 3. (17) Selanjutnya dengan cara yang sama dihasilkan
f′′′(xn) = f(m)(α) (m− 3)!emn−3
(
1 + D1en+ D2e2n+ D3e3n+O(e4n) )
, (18)
dengan
Dj = Tk(m− 3)!
(m + k− 3)!, k = 1, 2, 3. (19) Selanjutnya persamaan (12), (14), (16), dan (18) disubstitusikan ke persamaan (7) dan (8), lalu dikali dengan 2mA3e3mn −3/(m!)3 dan disederhanakan diperoleh
Q = en+ (2A1− mA1 − mC1+ 2mB1+ C1)e2n
+ (2A2− 2mC1A1− mC2 + 2mA1B1+ mB12+ C2+ A21 + 2mB2
− mA21+ 2C1A1− mA2)e3n+O(e4n), (20)
dan
W = 1 + (
D1−3
2mA1+3
2m2B1 +1
2m2D1−3
2m2C1− 1
2m2+ A1
−3
2mD1+3
2mC1+ 2A1 )
en+ (3
2m2B2−3
2mD2+1
2m2A21+3 2m2C2 +1
2m2D2− 1
2m2A2− 3
2mA21+ D2+ 3
2mC2+ 3m2B12− 3
2m2B1C1
−3
2mA2−3
2m2A1B1− 3
2m2C1A1+3
2mA1B1+3
2mB2+ 2A2+ m2D1A1
+3
2mC1A1+ A21− 3mD1A1+ 2D1A1+ 3
2mB1C1 )
e2n− (3
2m2B1C2
−3
2m2B2C1−3
2mD1A21+ D3− 3mD2A1+ m2D1A2+ 1
2m2D1A21 + m2D2A1− 3mD1A2−3
2m2C2A1− 3mA2A1− 3
2m2C1A2−3
2m2A1B2
+ m2A2A1− 3
2m2A2B1+3
2mB1C2+ 3
2mB2C1−3
2mD3+1 2m2D3
−3
2mA3+3
2m2B3 + 2A3− 1
2m2A3− 3
2m2C3+ m2B13 +3
2mB3 +3
2mC3 + 3D1A2+ D1A21+ 2D2A1+ 2A2A1−3
2m2B1C1A1 +3
2mB1C1A1+ 6m2B2B1+ 3
2mC2A1+ 3
2mC1A2+3
2mA1B2 +3
2mA2B1 )
e3n+O(e4n). (21)
Selanjutnya Q/W dihitung menggunakan persamaan (20) dan (21), dan dengan bantuan deret geometri [5, h. 730] diperoleh
Q
W = en+ (−3
2 m2B1 +1
2m2A1+ 3
2m2C1+ 1
2mB1− 5
2mC1+ 3 2mD1 + D1− 3
2mA1+ 3
2m2B1+ 1
2m2D1− 3
2m2C1− 1
2m2 + A1 + 1
2mA1−1
2m2D1+ C1− D1
) e2n+
(
C2+ mB12+1
2m3A1D1
+9
2m3C1B1− D2− 6m3C12− 3D12m +13
4 D12m2+ 1 4m4D12
−3
2m3D21+ m3A21+9
4m4B21 +3
2m3A1B12+1 4m4A21 +9
4m4C12+21
4 m2C12+ D12− 2mD1A1+9
2m2A1B1− 11
2 m2C1A1
+3
2mD2 −1
2mA21+ 1
2mB2− 5
2mC2 −15
4 m2B12− 1 2m2D2
− C1D1− 3
2C12m− 1
2mA1B1+ 3mC1A1− 3mB1C1 +3
2D1m2B1
−19
2 D1m2C1+ D1mB1+ 11
2 D1mC1+3
2m4D1B1 −1
2m4D1A1
−3
2m4D1C1− 4m3D1B1+13
2 m3D1C1− 7
2m3A1B1+ m3A1C1
−3
2m4B1A1− 9
2m4B1C1+3
2m4A1C1 )
e3n+O(e4n). (22)
Langkah berikutnya adalah persamaan (22) disubstitusikan ke persamaan (6), dan mengingat en+1 = xn+1− α diperoleh
en+1 =− (−3
2 m2B1+1
2m2A1+ 3
2m2C1 +1
2mB1− 5
2mC1+3 2mD1 + D1− 3
2mA1+3
2m2B1+1
2m2D1− 3
2m2C1− 1
2m2+ A1 +1
2mA1− 1
2m2D1+ C1− D1
) e2n+
(
C2+ mB12+ 1
2m3A1D1
+9
2m3C1B1− D2− 6m3C12− 3D12m + 13
4 D12m2+ 1 4m4D21
−3
2m3D21 + m3A21+9
4m4B12+3
2m3A1B12+1
4m4A21+ 9 4m4C12 +21
4 m2C12+ D12− 2mD1A1+9
2m2A1B1−11
2 m2C1A1 + 3m2B1C1+1
2m2A2− 3
2m2B2− 3
4m2A21+ 3
2m2C2+1 2mA2 +3
2mD2−1
2mA21 +1
2mB2− 5
2mC2−15
4 m2B21 −1 2m2D2
− C1D1− 3
2C12m− 1
2mA1B1+ 3mC1A1− 3mB1C1+3
2D1m2B1
−19
2 D1m2C1+ D1mB1+11
2 D1mC1+3
2m4D1B1−1
2m4D1A1
− 3
2m4D1C1− 4m3D1B1+ 13
2 m3D1C1−7
2m3A1B1+ m3A1C1
− 3
2m4B1A1− 9
2m4B1C1+ 3
2m4A1C1 )
e3n+O(e4n). (23)
Selanjutnya persamaan (13), (15), (17), dan (19) disubstitusikan ke persamaan (23) sehingga diperoleh koefisien e2n = 0, dan erornya menjadi
en+1 =
(2(m + 1)T2+ (m + 2)T12 m(m + 1)2(m + 2)
)
e3n+O(e4n), atau
en+1 = ζe3n+O(e4n), dengan
ζ = 2(m + 1)T2+ (m + 2)T12 m(m + 1)2(m + 2) .
Oleh karena itu, metode pada persamaan (6) memiliki konvergensi berorde tiga dan
Teorema 1 terbukti. 2
3. CONTOH KOMPUTASI
Pada bagian ini dilakukan uji komputasi untuk membandingkan kecepatan dalam menemukan akar ganda persamaan nonlinear antara metode Schroder bertipe klasik orde dua, metode Noor-Shah orde dua [4] dan metode Schroder orde tiga [8]. Untuk mempermudah penyebutan metode Schroder bertipe klasik, metode Noor-Shah, dan metode bertipe Schroder order tiga secara berturut-turut disingkat menjadi metode SCH, MNS, dan SO3.
Persamaan nonlinear yang digunakan dalam melakukan uji komputasi yaitu (i) f1(x) = (sin(x)2− x2+ 1)6, α∈ [0.5, 1.5],
(ii) f2(x) = (ex+√
x− 7)4, α∈ [1.0, 2.0],
(iii) f3(x) = (ln(x) + x− 2)7, α ∈ [1.2, 2.0], (iv) f4(x) = ((x− 1)3− 1)5. α∈ [1.8, 2.3].
Keempat contoh fungsi di atas dibandingkan dengan menggunakan program Maple 13 dengan toleransi sebesar 1.0× 10−100. Hasil dari uji komputasi untuk keempat contoh fungsi di atas ditunjukkan pada Tabel 1, halaman 8. Berdasarkan Tabel 1 dapat dilihat bahwa semua metode yang digunakan dapat menemukan akar hampiran yang diharapkan untuk seluruh fungsi yang diberikan. Masing-masing metode memiliki keunggulan jumlah iterasi pada setiap fungsi yang berbeda untuk mendapatkan akar hampiran.
Tabel 1: Perbandingan hasil komputasi dari beberapa metode iterasi fn(x) x0 Metode n |f(xn)| |xn− xn−1| COC
SCH 8 3.02e− 117 1.39785e − 10 2.00 f1 0.5 MNS 7 1.96e− 119 9.18886e − 11 2.00 SO3 4 4.63e− 122 1.76548e − 07 3.00 SCH 5 1.02e− 122 3.37849e − 16 2.00 f2 1.4 MNS 6 6.89e− 130 4.07759e − 14 2.00 SO3 3 4.34e− 122 9.39211e − 09 3.00 SCH 3 9.80e− 121 5.89917e − 09 2.00 f3 1.6 MNS 3 9.80e− 121 5.89904e − 09 2.00 SO3 2 3.37e− 115 6.65129e − 06 3.00 SCH 5 4.34e− 115 2.11433e − 12 2.00 f4 2.2 MNS 6 5.93e− 112 3.07781e − 12 2.00 SO3 3 6.87e− 125 5.27816e − 09 3.00
Selanjutnya dari Tabel 1 diketahui bahwa SCH dan MNS memerlukan tiga sam- pai delapan iterasi, sedangkan SO3 memerlukan dua sampai empat iterasi untuk mendapatkan akar hampiran yang diharapkan. Hal ini berarti SO3 membutuhkan jumlah iterasi yang lebih sedikit dari kedua metode yang digunakan untuk kom- putasi. Jadi SO3 merupakan metode yang layak untuk dijadikan metode alternatif untuk mencari persamaan nonlinear.
Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Imran M., M.Sc. yang telah memberikan bimbingan, arahan, waktu, pikiran, dan nasehat kepada penulis dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] K. E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, Second Edition, John Wiley and Sons, New York, 1978.
[2] R. G. Bartle dan D. R. Shebert, Introduction to Real Analysis, Fourth Edition, John Wiley and Sons, New York, 1999.
[3] J. H. Mathews, Numerical Method for Mathematics Science and Engineering, Second Edition, New York, 1987.
[4] M. A. Noor dan F. A. Shah, A family of iterative schemes for finding zeros of nonlinear equations having unknown multiplicity, Applied Mathematics and Information Sciences, 8 (2014), 2367–2373.
[5] J. Stewart, Single Variable Calculus, Seventh Edition, New York, 2012.
[6] R. Thukral, New variants of the Schroder method for finding zeros of nonlinear equations having unknown multiplicity, Journal of Advances in Mathematics, 8 (2014), 1675–1683.
[7] R. Thukral, New modifications of Newton-type methods with eighth-order con- vergence for solving nonlinear equations, Journal of Advances in Mathematics, 10 (2015), 3362–3373.
[8] R. Thukral, New third-order Schroder-type method for finding zeros of non- linear equations having unknown multiplicity, American Journal of Computa- tional and Applied Mathematics, 5 (2015), 147–153.
[9] R. Thukral, Further acceleration of Thukral third order method for determining multiple zeros of nonlinear equation, American Journal of Computational and Applied Mathematics, 7 (2017), 123–128.
[10] J. F. Traub, Iterative Methods for the Solution of Equation, Chelsea Publishing Company, New York, 1977.
