FAMILI METODE ITERASI DENGAN KEKONVERGENAN ORDE TIGA
Rahmawati
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
rahma.wati669963@yahoo.com
ABSTRACT
In this paper, a new iterative method for solving a nonlinear equation is derived. Using Taylor expansion and geometry series, it is shown that the method has a third-order of convergence. Numerical comparisons show that this method can be used as an alternative method for solving a nonlinear equation.
Keywords: Nonlinear equation, iterative method, order of convergence ABSTRAK
Pada artikel ini diturunkan sebuah metode iterasi dengan satu parameter untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Secara analitik, menggunakan ekspansi Taylor dan deret geometri ditunjukkan bahwa metode iterasi ini memiliki orde konver-gensi tiga. Perbandingan numerik dengan metode orde tiga yang sudah dikenal menunjukkan bahwa metode dan dapat dijadikan sebagai metode alternatif dalam menyelesaikan persamaan nonlinear.
Kata kunci: Persamaan nonlinear, metode iteratif, orde konvergensi
1. PENDAHULUAN
Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang mengalami perkembangan secara terus-menerus dari tahun ketahun. Berkembangnya ilmu pengetahuan matematika akan mempermudah dalam menyelesaikan suatu permasalahan pada bidang sains khususnya pada metode numerik.
Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan su-atu persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan menggunakan operasi perhitungan atau aritmatika biasa dan memiliki penerapan dalam semua bidang sains.
Penyelesaian secara numerik umumnya melibatkan proses iterasi, perhitungan berulang dari data numerik yang ada. Jika proses iterasi tersebut dilakukan se-cara manual, akan membutuhkan waktu yang relatif lama dan akan kemungkinan
munculnya nilai kesalahan (error). Pada keadaan demikian ini sangat dibutuhkan untuk mengurangi waktu penyelesaian.
Atkinson [1, h. 68-69] menjelaskan bahwa salah satu metode numerik yang sering digunakan untuk mencari akar hampiran dari suatu persamaan nonlinear adalah metode Newton dengan orde konvergensi dua, yang bentuk umumnya adalah
xn+1 =xn− f(xn) f′(xn) , n= 0,1,2, . . . , dengan f′(xn)̸= 0.
Selain metode Newton terdapat beberapa metode lain untuk menyelesaikan per-samaan nonlinear, diantaranya metode Ostrowski yang dijelaskan oleh Ostrowski [4, h.253] dan metode Traub yang dikembangkan oleh Traub [7, h.183].
Pembahasan ini merupakan review sebagian dari artikel Ermakov dan Kalitkin [3]. Pada artikel ini di bagian dua dibahas metode iterasi dua langkah dengan satu Parameter dan analisis kekonvergenannya. Kemudian uji komputasi yang dilakukan dibahas pada bagian tiga.
2. METODE ITERASI DUA LANGKAH DENGAN SATU PARAMETER
Pada bagian ini dibahas sebuah keluarga iterasi dua titik berparameter tunggal untuk menyelesaikan persamaan nonlinear f(x) = 0. Metode yang dibahas meng-gunakan modifikasi metode Newton pada langkah pertama dan didefinisikan sebagai skema bertipe Newton yang mana mempunyai tiga evaluasi fungsi. Secara khusus skema damped Newton disajikan oleh Emakov dan Kalitkin [3] dengan ben-tuk iterasinya sebagai berikut:
xn+1 =xn−βn f(xn) f′(xn) , n = 0,1, . . . , (1) dengan βn= | f(xn)|2 |f(xn)|2+f(xn− ff′((xxnn))) 2 .
Diketahui skema metode iterasi dua langkah yn =xn−α f(xn) f′(xn), n= 0,1, . . . , xn+1 =xn− f(xn)2 bf(xn)2+pf(yn)2 f(xn f′(xn) , (2)
denganα, bdan padalah parameter. Metode iterasi pada persamaan (2) dinamakan metode parameter (MP). Parameterb, danp dipilih pada metode parameter akan
ditentukan sedemikian hingga metode parameter memiliki konvergensi berorde setinggi mungkin.
Teorema 1 (Analisis kekonvergenan) Misalkan f : I ⊆ R → R dinotasikan sebagai interval terbuka yang didefinisikan pada I. Jika x0 adalah nilai awal yang
cukup dekat dengan akar sederhana x∗ dari f(x) maka f(x∗) = 0 dan f′(α) ̸= 0. Asumsikan bahwa f mempunyai turunan secukupnya pada I. Maka metode iterasi pada persamaan (2) mempunyai orde konvergensi tiga, dengan parameter b =
1−α+ 2α2 2α2 , p=
1
2α2(α−1), α /∈ {0,1}dan memenuhi persamaan error
en+1 = 2c3e3n+O(e
4
n).
Bukti: Misalkan en = xn − x∗ adalah error pada iterasi ke-n, x∗ adalah akar sederhana dari persamaan nonlinear f(x) = 0 sehingga f(x∗) = 0 dan f′(x∗) ̸= 0. Dengan melakukan ekspansi Taylor dari f(x) di sekitar x =x∗ sampai orde ketiga dan mengabaikan orde yang lebih tinggi dan mengevaluasi di titikx=xn diperoleh [2, h. 216-217] f(xn) =f(x∗) +f′(x∗)(xn−x∗) + 1 2!f ′′(x∗)(xn−x∗)2 + 1 3!f ′′′(x∗)(xn−x∗)3 +O((xn−x∗)4). (3) Kemudian dengan menggunakan ekspansi Taylor dari f(xn) dilakukan di sekitar x=x∗sampai orde ketiga dan mengabaikan orde yang lebih tinggi dan mengevaluasi di titik x=xn diperoleh [2, h. 216-217] f(xn) =f′(x∗)en+ 1 2!f ′′(x∗)e2 n+ 1 3!f ′′′(x∗)e3 n+O(e 4 n). (4) Selanjutnya dengan memfaktorkanf′(x∗) pada persamaan (4) diperoleh
f(xn) =f′(x∗) ( en+ 1 2! f′′(x∗) f′(x∗)e 2 n+ 1 3! f′′′(x∗) f′(x∗) e 3 n ) +O(e4n), atau f(xn) =f′(x∗) ( en+C2e2n+C3e3n+O(e 4 n) ) , (5) dengan C3 = j1!f (j)(x∗)
f′(x∗) , j = 2 dan 3. Selanjutnya dengan menggunakan persamaan
(5) diperoleh
f(xn)2 =f′(x∗)2(e2n+ 2C2e3n) +O(e
4
n). (6)
Dengan menggunakan ekspansi Taylor dari f′(x) dilakukan di sekitarx=x∗ sampai orde ketiga dan mengabaikan orde yang lebih tinggi dan mengevaluasi di titikx=xn diperoleh [2, h. 216-217]
f′(xn) = f′(x∗) +f′′(x∗)(xn−x∗) + 1 2!f ′′′(x∗)(x n−x∗)2+ 1 3!f (4)(x∗)(x n−x∗)3 +O(xn−x∗)4. (7)
Karena en=xn−x∗, persamaan (7) dapat ditulis menjadi
f′(xn) =f′(x∗) +f′′(x∗)en+ 1 2!f ′′′(x∗)e2 n+ 1 3!f (4)(x∗)e3 n+O(e 4 n). (8) Selanjutnya dengan memfaktorkanf′(x∗) pada persamaan (8) diperoleh
f′(xn) =f′(x∗) ( 1 + f ′′(x∗) f′(x∗)e + n 1 2! f′′′(x∗) f′(x∗)e 2 n+ 1 3! f(4)(x∗) f′(x∗) e 3 n ) +O(e4n), atau f′(xn) =f′(x∗) ( 1 + 2C2en+ 3C3e2n+ 4C4e3n+O(e 4 n) ) . (9)
Jika persamaan (6) dibagi dengan persamaan (9) diperoleh f(xn) f′(xn) = en+C2e 2 n+C3e3n+O(e4n) 1 + 2C2en+ 3C3e2n+ 4C4e3n+O(e4n) . (10)
Untuk menyederhanakan persamaan (10) digunakan deret geometri dengan r = 2C2en+ 3C3e2n+ 4C4e3n+O(e4n), sehingga diperoleh [6, h. 500]
f(xn) f′(xn) =f(xn)× 1 f′(xn), =f(xn)× 1 1 +r, =f(xn)×(1−r+r2−r3+O(r4)), f(xn) f′(xn) =en+C2e2n−(−2C3+ 2C22)e 3 n+O(e 4 n). (11) Dengan mengalikan parameter α pada persamaan (11) diperoleh
αf(xn) f′(xn)
=αen+C2αe2n−(−2C3+ 2C22)αe 3
n+O(e
4
n). (12) Selanjutnya persamaan (12) disubstitusikan ke langkah pertama dari persamaan (2) dengan xn=en+x∗ sehingga diperoleh
yn=x∗+ (1−α)en+C2αCn2 + (2αC3−2αC22)e3n+O(e4n). (13) Dengan cara yang sama seperti sebelumnya, dengan melakukan ekspansi Taylor dari f′(xn) dilakukan di sekitar x=x∗ sampai orde ketiga dan dievaluasi pada titik x=yn dan setelah disederhanakan diperoleh [2, h. 216-217]
f(yn) = f(x∗) +f′(x∗)(yn−x∗) + 1 2f ′′(x∗)(y n−x∗)2+ 1 6f ′′′(x∗)(y n−x∗)3 +O(yn−x∗)4. (14)
Karena f(x∗) = 0, maka persamaan (14) dapat ditulis menjadi f(yn) =f′(x∗) ( (1−α)en+ (C2+C2α2−C2α)e2n+ (C3+ 3C2 −C3α3 −αC3−2C22α 2)e3 n ) +O(en)4. (15) Kemudian dengan menggunakan persamaan (15) diperoleh
f(yn)2 =f′(x∗)2 ( (1−2α+α2)e2n+ (2C2−4C2α+ 4C−2α2 −2C2α3)e3n ) +O(e4n). (16)
Dengan mengalikan parameter b ke persamaan (6) dan p ke persamaan (16), kemudian dengan melakukan penjumlahan diperoleh
bf(xn)2+pf(yn)2 =f′(x∗)2(b+p(1−2x∗+ (x∗)2))e2n+(2bC2+C(2C2
−4C2x∗+ 4C2(x∗)2−2C2(x∗)3)
)
e3n+O(e4n). (17) Dengan membagi persamaan (6) dengan persamaan (17) menggunakan deret geometri diperoleh [6, h. 500] f(xn)2 bf(xn)2+pf(yn)2 = 1 (b+p−2pα+pα2)4 ( p3+b3−6b2pα+ 3b3pα2+ 3bp2α4 −12bp2α+ 18bp2α2−12bp2α3+ 3b2p+ 3bp2−6p3α5+ 15p3α2 −20p3α3+ 15p3α4+p3α6−6p3α) + 1 (b−p−2pα+pα2)4 ( −4p2c2α2b−10p3c2α6+ 10p3c2α3 −20p3c2α4+ 20p3c2α5+ 2pc2α3b2+ 4p2c2α5b+ 12p2c2α3b −12p2c2α4b−2pc2α2b2+ 2p3c2α7−2p3c2α2 ) en + 1 (b−p−2pα+pα2)4 ( −20c22p3α7−56c22p3α5 −16c22p2α5b + 28c22p2α4b+ 8c22p2α2b−4c22pα3b2+ 4c22p2α6b+ 44c22p3α6 + 4c22p3α8+ 4c22p3α2+ 4c22pα2b2+ 44c22p3α4−24c22p2α3b −20c22p3α3)e2n
+ 1 (b−p−2pα+pα2)4 ( 96p3c32α7+ 144p3c23α5−8p3c32α2 −40p3c32α8+ 40p3c32α3−96p3c32α4−144p3c32α6+ 8b2c32pα3 −64bc32p2α4−16bc32p2α6−8b2c32pα2+ 48bcp2α3+ 48bc32p2α5 + 8p3c32α9−16bc32p2α2)e3n+O(e4n). (18) Dengan mengalikan persamaan (11) dan persamaan (18) diperoleh
f(xn)2 bf(xn)2+pf(yn)2 f(xn) f′(xn) =− ( 1 −b−p+ 2pα−pα2 ) en + ( 2pc2 (−b−p+ 2pα−pα2)2 + c2 −b−p+ 2pα−pα2 + 4pc2α 2 (−b−p+ 2pα−pα2)2 − 4pc2α (−b−p+ 2pα−pα2)2 − 2pc2α3 (−b−p+ 2pα−pα2)2 + 2bc2 (−b−p+ 2pα−pα2)2 ) e2n + ( − 2c3 −b−p+ 2pα−pα2 − 16p2c22α5 (−b−p+ 2pα−pα2)3 + 4b 2c2 2 (−b−p+ 2pα−pα2)3 + 32p2c2 2α2 (−b−p+ 2pα−pα2)3 + 4p 2c2 2 (−b−p+ 2pα−pα2)3 − 40p2c2 2α3 (−b−p+ 2pα−pα2)3 − 16bc22pα (−b−p+ 2pα−pα2)3 + 2c2 2b (−b−p+ 2pα−pα2)2 + 16bc 2 2pα2 (−b−p+ 2pα−pα2)3 + 32p2c2 2α4 (−b−p+ 2pα−pα2)3 + 4p 2c2 2α6 (−b−p+ 2pα−pα2)3 + 4c22pα2 (−b−p+ 2pα−pα2)2 − 2c22pα3 (−b−p+ 2pα−pα2)2 − 16p2c22α (−b−p+ 2pα−pα2)3 + 2c 2 2p (−b−p+ 2pα−pα2)2 − 4c22pα (−b−p+ 2pα−pα2)2 + 8bc 2 2p (−b−p+ 2pα−pα2)3 − 8bc2 2pα3 (−b−p+ 2pα−pα2)3 ) en3 +O(e4n). (19)
Agar persamaan (19) memiliki orde tiga, dari koefisien en terbukti satu dan e2n terbukti nol sehingga
− ( 1 −b−p+ 2pα−pα2 ) en = 1 (20) dan 2pc2 (−b−p+ 2pα−pα2)2 + c2 −b−p+ 2pα−pα2 + 4pc2α2 (−b−p+ 2pα−pα2)2 − 4pc2α (−b−p+ 2pα−pα2)2 − 2pc2α3 (−b−p+ 2pα−pα2)2 + 2bc2 (−b−p+ 2pα−pα2)2 = 0. (21)
Dari persamaan (20) diperoleh − ( 1 −b−p+ 2pα−pα2 ) = 1 b=−p+ 2pα−pα2+ 1. (22) Selanjutnya persamaan (22) disubstitusikan ke persamaan (21) dengan diperoleh
c2 α2(α−1) ( − 1 2α2(α−1)+ 1 α(α−1)− 1 2(α−1) ) + 1 − c2 − 1 2α2(α−1)+ 1 α(α−1)− 1 2(α−1)+ 1 + 2c2 (α−1) ( − 1 2α2(α−1) + 1 α(α−1) − 1 2(α−1) + 1 ) − 2c2 α(α−1) ( − 1 2α2(α−1)+ 1 α(α−1)− 1 2(α−1)+ 1 ) − αc2 (α−1) ( − 1 2α2(α−1) + 1 α(α−1)− 1 2(α−1) + 1 ) + 2c2 = 0. (23) Selanjutnya nilai b = 1−α+ 2α 2 2α2 dan p = 1
2α2(α−1) , serta persamaan (20) dan
(22) disubstitusikan ke dalam persamaan (23) sehingga diperoleh f(xn)2
bf(xn)2+pf(yn)2 f(xn) f′(xn)
Selanjutnya persamaan (24) disubstitusikan ke langkah ke dua dari persamaan (2) dengan xn=en+x∗ sehingga diperoleh
xn+1 =en+x∗−en+ 2c3e3n+O(e
4
n). (25)
Karena xn+1−x∗ =en+1 maka persamaan (25) menjadi
en+1 = 2c3e3n+O(e
4
n), (26)
Persamaan (26) merupakan persamaanerror dari metode parameter. Berdasarkan definisi orde konvergensi [5], dapat disimpulkan bahwa metode parameter memiliki
orde konvergensi tiga.
3. UJI KOMPUTASI
Pada bagian ini, uji komputasi dilakukan untuk membandingkan metode-metode yang dibahas dalam menemukan akar persamaan nonlinear f(x) = 0 antara metode Newton (MN), metode Ostrowski (MO), metode Traub (MT) dan metode param-eter (MP). Persamaan nonlinear yang digunakan adalah
(i) f1(x) =x3−2,
(ii) f2(x) = (sin(x))2+x,
(iii) f3(x) = cos(x)−x.
Untuk mendapatkan solusi numerik dari ketiga contoh fungsi di atas, digunakan toleransi 1.0×10−25 serta kriteria pemberhentian jalannya program komputasi yang ditentukan untuk setiap metode yang dibandingkan, yaitu jika nilai|f(xn)|< toleransi, atau|xn−xn−1|< toleransiatau jika jumlah iterasi mencapai maksimum
Tabel 1: Perbandingan Uji komputasi untuk MN, MO, MT dan MP fi x0 Metode n |f(xn)| |xn−xn−1| COC f1 1.2 MN 5 7.80e−42 1.44e−21 2.00 MO 3 1.58e−87 1.78e−22 4.00 MT 3 4.17e−31 4.11e−11 3.00 MP 3 4.19e−28 3.45e−10 3.00 1.4 MN 5 1.71e−31 2.13e−16 2.00 MO 4 3.03e−266 3.72e−67 4.00 MT 4 3.15e−69 8.07e−24 3.00 MP 4 3.05e−60 6.68e−21 3.00 1.3 MN 5 3.69e−48 9.88e−25 2.00 MO 3 5.38e−100 1.36e−25 4.00 MT 3 7.17e−37 4.93e−13 3.00 MP 3 7.34e−34 4.15e−12 3.00 f2 1.9 MN 13 8.19e−30 2.86e−15 2.00 MO 6 2.08e−47 2.14e−12 4.00 MT 6 6.55e−36 1.49e−12 3.00 MP 5 1.37e−28 3.48e−10 3.00 3.4 MN 7 1.36e−39 3.69e−20 2.00 MO 6 1.34e−28 1.08e−07 4.00 MT 5 4.08e−42 1.27e−14 3.00 MP 5 4.97e−27 1.15e−09 3.00 3.2 MN 7 1.57e−40 1.25e−20 2.00 MO 4 1.13e−39 1.83e−10 4.00 MT 4 1.09e−28 3.79e−10 3.00 MP 4 8.21e−45 1.36e−15 3.00 f3 1.5 MN 5 5.34e−32 3.80e−16 2.00 MO 3 1.74e−50 7.98e−13 4.00 MT 4 6.53e−72 3.42e−24 3.00 MP 3 4.23e−34 1.27e−11 3.00 1.0 MN 8 1.87e−333 7.12e−167 2.00 MO 3 6.00e−74 1.09e−18 4.00 MT 3 1.54e−31 9.81e−11 3.00 MP 3 1.25e−30 1.81e−10 3.00 0.9 MN 5 1.89e−47 7.16e−24 3.00 MO 3 2.44e−86 8.69e−22 4.00 MT 3 2.26e−36 2.40e−12 3.00 MP 3 3.24e−35 5.37e−12 3.00
Pada Tabel 1 dapat dilihat bahwa dengan fungsi dan tebakan awal yang berbeda, semua metode yang dibandingkan berhasil mencapai akar hampiran yang
diharap-kan. Secara umum dari semua contoh persamaan nonlinear yang diberikan dengan tebakan awal yang berbeda, tidak terdapat perbedaan yang signifikan dari semua metode. Dapat disimpulkan bahwa metode Parameter terlihat lebih unggul dari metode Newton, tetapi metode Parameter sebanding dengan metode Ostrowski dan metode Traub dari segi jumlah iterasi. Jadi metode parameter dapat di-jadikan sebagai metode alternatif untuk menyelesaikan persamaan nonlinear berdasarkan simulasi numerik beberapa contoh fungsi nonlinear yang didiskusikan.
4. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan pada sebelumnya, dapat disim-pulkan bahwa proses untuk mendapatkan metode iterasi yang dibahas pada skripsi ini adalah dengan memodifikasi metode Newton. Selanjutnya dengan menggu-nakan ekspansi Taylor diperoleh sebuah metode baru yang disebut dengan metode parameter (MP).
Selanjutnya secara analitik dengan menggunakan ekspansi Taylor ditunjukkan bahwa metode parameter memiliki orde tiga. Pada simulasi numerik dilakukan uji komputasi untuk empat persamaan nonlinear dengan menggunakan program Maple. Metode yang diuji adalah metode parameter dengan metode pembanding yaitu metode Newton, metode Ostrowski, dan metode Traub. Tebakan awal yang diberikan berpengaruh untuk menentukan akar pendekatan yang dicari, sama dengan metode pembanding. Dapat dilihat melalui simulasi numerik untuk membandingkan keempat metode iterasi yang dibahas pada skripsi ini untuk mencari akar pendekatan suatu persamaan nonlinear.
Pada bagian ini terlihat bahwa metode parameter sebanding dengan metode Ostrowski dan metode Traub serta lebih unggul dari metode Newton dari segi jumlah iterasi. Jadi metode parameter dapat dijadikan alternatif dalam menyele-saikan persaman nonlinear.
Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Imran M., M.Sc. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] K. E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, Second Edition John Wiley & Son, New York, 1989
[2] R. G. Bartle dan R. D. Shebert,Introduction to Real Analysis, Second Edition., Jhon Wiley & Son, New York, 2001.
[3] V. V. Ermakov dan N. N. Kalitkin, The optimal step and regularization for newton’s method, USSR Computh. Math. Phys, 2 (1981), 235-242.
[4] A. M. Ostrowski, Solution of Equations and Systems of Equations. Academic Press, New York, 1966.
[5] J. R. Sharma, R. K. Guha dan R. Sharma, Some modified Newton’s meth-ods with fourth-order convergence, Advances in Applied Science Research, 2 (2011), 240-247.
[6] J. Stewart,Kalkulus Edisi 5 Buku 2. Terjemahan dari Calculus, Fifth Edition, oleh C. Sungkono, Salemba Teknika, Jakarta, 2010.
[7] J. F. Traub,Iterative Methods for the Solution of Equations, Prentice-Hall Inc, Englewood Cliffs, 1964.
