METODE ITERASI BARU DENGAN ORDE KEKONVERGENAN EMPAT UNTUK
MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR
KARYA ILMIAH
OLEH
AHMAD SOBIRIN NIM. 1803110340
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU 2022
METODE ITERASI BARU DENGAN ORDE KEKONVERGENAN EMPAT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR
Ahmad Sobirin
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
ABSTRACT
This article project proposes a new iteration method to be formed by using Taylor expansion and derivative approximation for solving nonlinear equations with conver- gence order is four and efficiency index is 1.4142. This method succeeds in finding the expected nearly root with a known initial value, while the comparison method fails to find the nearly root even with the same convergence order. This method may be used as an alternative method for solving nonlinear equations.
Keywords: Order of convergence, Newton method, derivatives approximation, nonlinear equations
ABSTRAK
Artikel ini membahas sebuah metode iterasi baru yang dibentuk dengan menggu- nakan ekspansi Taylor dan aproksimasi turunan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear dengan orde kekonvergenan empat dan indeks efisiensi 1.4142. Metode ini berhasil menemukan akar pendekatan yang diharapkan dengan nilai awal yang dike- tahui, sementara metode pembanding gagal menemukan akar pendekatan walaupun dengan orde kekonvergenan yang sama. Metode ini dapat dijadikan sebagai metode alternatif untuk menyelesaikan persamaan nonlinear.
Kata kunci: Orde kekonvergenan, metode Newton, aproksimasi turunan, per- samaan nonlinear
1. PENDAHULUAN
Salah satu permasalahan dalam matematika yang sering dijumpai adalah mencari solusi persamaan nonlinear
f (x) = 0. (1)
Solusi dari persamaan (1) disebut dengan akar. Akar dapat ditemukan dengan menggunakan metode analitik dan metode numerik. Metode analitik menggunakan eliminasi dan substitusi untuk persamaan yang sederhana. Sementara metode numerik menggunakan operasi aritmatika yang dilakukan secara berulang sehingga terdapat selisih di antara nilai pendekatan yang dikenal dengan error.
Salah satu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan (1) adalah metode Newton [1, h.80][4, h.97][10, h.52]. Namun metode Newton memiliki orde kekonvergenan yang rendah yaitu kuadratik sehingga diperlukan metode yang memiliki orde kekonvergenan yang lebih tinggi supaya meminimalkan jumlah iterasi dan error. Seperti metode yang dikembangkan oleh Ghorbani dan Gachpazan yang memiliki orde kekonvergenan empat dan indeks efisiensi 41/4≈ 1.4142 dengan bentuk iterasi [5]
yn = xn− f (xn) f′(xn),
xn+1 = xn− [k1+ k2] , n = 0, 1, 2, . . . ,
(2) dengan
k1 = f (xn)2
f′(xn) (f (xn) − f (yn)), k2 = f (xn)f (xn− k1) f′(xn)(f (xn) − f (yn)).
Pada artikel ini, penulis tertarik meneliti suatu metode baru untuk menyelesaikan persamaan nonlinear dengan meminimalkan jumlah iterasi sehingga meningkatkan orde kekonvergenan. Adapun penelitian ini merupakan kajian ulang dari artikel yang dibuat oleh Ghorbani dan Gachpazan [5]. Untuk menjelaskan hal ini di bagian dua diberikan penurunan metode iterasi baru, dilanjutkan di bagian tiga dengan analisis kekonvergenan metode dan tulisan ini diakhiri dengan perbandingan numerik pada bagian empat.
2. PEMBENTUKAN METODE ITERASI
Pada bagian ini dibahas bagaimana cara memperoleh metode iterasi baru untuk menyelesaikan persamaan (1). Misalkan fungsi f (x) diekspansi menggunakan teorema Taylor [2, h. 189] disekitar x = x0 diperoleh
f (x) = f (x0) + f′(x0)(x − x0) + g(x). (3) dengan
g(x) = f′′(x0)(x − x0)2
2! +f′′′(x0)(x − x0)3
3! + · · · + f(m)(x0)(x − x0)m m!
+f(m+1)(ξ)(x − x0)m+1
(m + 1)! , m ≥ 2.
Selanjutnya, karena f (x) = 0 maka persamaan (3) dapat ditulis
0 = f (x0) + f′(x0)(x − x0) + g(x). (4) Jika kedua ruas dijumlahkan dengan −f′(x0)(x − x0) maka diperoleh
−f′(x0)(x − x0) = f (x0) + g(x), x − x0 = −f (x0)
f′(x0)− g(x)
f′(x0). (5)
Karena pada persamaan (5) masih memiliki bentuk implisit, misalkan x di- aproksimasi menggunakan metode Newton sehingga fungsi g(x) pada persamaan (3) dapat ditulis
g
x0− f (x0) f′(x0)
= f
x0− f (x0) f′(x0)
− f (x0) −
x0− f (x0) f′(x0) − x0
f′(x0), sehingga diperoleh
g
x0− f (x0) f′(x0)
= f
x0 − f (x0) f′(x0)
. (6)
Dengan menggunakan persamaan (6) diperoleh bentuk eksplisit dari persamaan (5) yaitu
x = x0− f (x0) f′(x0)−
f
x0− f (x0) f′(x0)
f′(x0) . (7)
Selanjutnya, menggunakan aproksimasi turunan f′(x) ≈ f (x + h) − f (x)
h dengan
h = −f (x)
f′(x) maka diperoleh
f′(x0) ≈
f (x0) − f
x0− f (x0) f′(x0)
f (x0)
f′(x0)
.
Untuk menyederhanakan penulisan, misalkan y0 = x0− f (x0)/f′(x0) sehingga dapat ditulis
f′(x0) ≈ f′(x0) (f (x0) − f (y0))
f (x0) . (8)
Kemudian dengan mensubstitusi persamaan (8) ke persamaan (7) sehingga diperoleh
x = x0 − f (x0)2
f′(x0)(f (x0) − f (y0))−
f (x0)f
x0− f (x0)2
f′(x0)(f (x0) − f (y0))
f′(x0) (f (x0) − f (y0)) . (9)
Misalkan ruas kiri dinyatakan dengan x = x1 sehingga diperoleh iterasi pertama akar pendekatan yaitu
x1 = x0− f (x0)2
f′(x0)(f (x0) − f (y0))−
f (x0)f
x0− f (x0)2
f′(x0)(f (x0) − f (y0))
f′(x0) (f (x0) − f (y0)) . (10) Jika proses ini dilakukan secara berulang dengan cara yang sama sehingga diperoleh bentuk umum dari metode iterasi yang baru yaitu
yn = xn− f (xn) f′(xn),
xn+1 = xn− f (xn)2
f′(xn) (f (xn) − f (yn))−
f (xn)f
xn− f (xn)2
f′(xn) (f (xn) − f (yn))
f′(xn)(f (xn) − f (yn)) .
Untuk menyederhanakan penulisan, bentuk metode iterasi dapat ditulis ulang menjadi
yn = xn− f (xn) f′(xn),
xn+1 = xn− [k1+ k2] , n = 0, 1, 2, . . . ,
(11) dengan
k1 = f (xn)2
f′(xn) (f (xn) − f (yn)), k2 = f (xn)f (xn− k1) f′(xn)(f (xn) − f (yn)).
Persamaan (11) merupakan bentuk umum metode iterasi untuk menyelesaikan persamaan (1) dengan empat kali evaluasi fungsi pada setiap iterasinya yaitu f (xn), f′(xn), f (yn) dan f (xn − k1). Selanjutnya, untuk melihat orde kekonvergenan dari metode iterasi diberikan Teorema 1 yang merupakan analisis konvergensi dari metode iterasi untuk menunjukkan orde kekonvergenan.
3. ANALISIS KONVERGENSI
Untuk menunjukkan orde kekonvergenan metode iterasi pada persamaan (11) diberikan Teorema 1 sebagai berikut.
Teorema 1 Jika f adalah fungsi yang terdeferensial secukupnya, maka metode iterasi persamaan (11) memiliki orde kekonvergenan empat dengan persamaan error:
en+1 = 3c2c3− c32 e4n+ O(e5n). (12) Bukti. Misalkan bahwa α adalah akar sebenarnya dari persamaan (1) sehingga f (α) = 0. Dengan melakukan ekspansi Taylor dari f (x) di sekitar x = α sampai orde empat dengan mengabaikan orde yang lebih tinggi diperoleh
f (x) = f (α) + f′(α)(x − α) + f′′(α)
2! (x − α)2+f′′′(α)
3! (x − α)3 + f(4)
4! (x − α)4+ O(x − α)5. (13)
Dengan mensubstitusikan x = xn, en = xn− α dan ck = f(k)(α)/(k!f′(α)) untuk k = 2, 3, 4 maka persamaan (13) dapat ditulis
f (xn) = f′(α) en+ c2e2n+ c3e3n+ c4e4n + O(e5n). (14) Misalkan f (xn) pada persamaan (14) dikuadratkan sehingga diperoleh
f (xn)2 = f′(α)2 e2n+ 2c2e3n+ (c22+ 2c3)e4n + O(e5n). (15) Selanjutnya dengan cara yang sama, misalkan g(x) = f′(x) diekspansi menggu- nakan teorema Taylor disekitar x = α sehingga diperoleh
g(x) = g(α) + g′(α)(x − α) + g′′(α)
2! (x − α)2+ g′′′(α)
3! (x − α)3 +g(4)(α)
4! (x − α)4+ O(x − α)5. (16)
Dengan mensubstitusikan x = xn dan en = xn− α sehingga persamaan (16) dapat ditulis
g(xn) = g(α) + g′(α)en+g′′(α)
2! e2n+ g′′′(α)
3! e3n+ g(4)(α)
4! e4n+ O(e5n). (17) Karena g(x) = f′(x) sehingga persamaan (17) dapat ditulis menjadi
f (xn) = f′(α) + f′′(α)en+ f′′′(α)
2! e2n+f(4)(α)
3! e3n+f(5)(α)
4! e4n+ O(e5n). (18) Misalkan ck = (kf(k)(α))/(k!f′(α)) untuk k = 2, 3, 4, 5 sehingga diperoleh
f′(xn) = f′(α)(1 + 2c2en+ 3c3e2n+ 4c4e3n+ 5c5e4n+ O(e5n). (19) Menggunakan persamaan (14) dan persamaan (19) diperoleh
f (xn)
f′(xn) = en+ c2e2n+ c3e3n+ c4e4n+ O(e5n)
1 + 2c2en+ 3c3e2n+ 4c4e3n+ 5c5e4n+ O(e5n). (20) Supaya menyederhanakan pembagian dua polinomial, dapat menggunakan formula deret geometri [3, h. 447] dengan a = en+ c2e2n+ c3e3n+ c4e4n + O(e5n) dan r = 2c2en+ 3c3e2n+ 4c4e3n+ 5c5e4n+ O(e5n) sehingga dihasilkan
f (xn)
f′(xn) = en− c2e2n− 2 c3− c22 e3n− 4c32+ 3c4− 7c2c3 e4n+ O(e5n). (21)
Misalkan persamaan (21) disubstitusikan ke persamaan (11) dengan xn = en + α sehingga diperoleh
yn= α + c2e2n+ 2 c3− c22 e3n+ 4c32+ 3c4− 7c2c3 e4n+ O(e5n). (22) Kemudian dengan menggunakan persamaan (13), misalkan f (x) dievaluasi di x = yn dengan yn= xn− f (xn)/f′(xn) sehingga diperoleh
f (yn) = f′(α) c2e2n− (2c22− 2c3)e3n− (7c2c3− 5c32− 3c4)e4n + O(e5n). (23) Menggunakan persamaan (14) dan persamaan (23) diperoleh
f (xn) − f (yn) = f′(α)(en− (c3− 2c22)e3n− (5c32− 2c4− 7c2c3)e4n) + O(e5n). (24) Selanjutnya, jika f′(xn) pada persamaan (17) dikalikan dengan f (xn) − f (yn) pada persamaan (24) maka dihasilkan
f′(xn) (f (xn) − f (yn)) = f′(α)2(en+ 2c2e2n+ (2c22+ 2c3)e3n+ (5c2c3− c32 + 2c4)e4n) + O(e5n). (25) Menggunakan persamaan (15) dan persamaan (25) diperoleh k1 pada persamaan (11) menggunakan deret geometri yaitu
k1 = en− c22e3n− (3c2c3− 3c32)e4n+ O(e5n). (26) Karena xn= en+ α sehingga xn− k1 dapat ditulis
xn− k1 = α + c22e3n+ (3c2c3− 3c32)e4n+ O(e5n). (27) Kemudian dengan menggunakan persamaan (13), misalkan f (x) dievaluasi di x = xn− k1 sehingga dihasilkan
f (xn− k1) = f′(α) c22e3n+ (3c2c3− 3c32)e4n + O(e5n). (28) Jika persamaan (28) dikalikan dengan persamaan (14) maka diperoleh
f (xn)f (xn− k1) = f′(α)2c22e4n+ O(e5n). (29) Selanjutnya, menggunakan persamaan (29) dan persamaan (25) diperoleh k2 pada persamaan (11) menggunakan deret geometri yaitu
k2 = c22e3n− 2c32e4n+ O(e5n). (30) Kemudian dengan mensubtitusikan persamaan (26) dan persamaan (30) ke dalam persamaan (11) sehingga diperoleh
xn+1 = α + 3c2c3− c32 e4n+ O(e5n). (31) Karena nilai xn+1 = en+1+ α, maka diperoleh persamaan error dari metode iterasi
pada persamaan (11) yaitu
en+1 = 3c2c3− c32 e4n+ O(e5n). (32) Berdasarkan definisi persamaan error terlihat bahwa metode pada persamaan (11)
memiliki orde kekonvergenan empat [5]. 2
4. PERBANDINGAN NUMERIK
Pada bab ini dilakukan uji komputasi beberapa metode pembanding menggunakan metode Newton (MN) [4, h.97], metode Maheshwari (MM) [7], metode Jisheng- Yitian-Xiuhua (JYX) [6], dan metode Newton dua langkah (MN2) [8] dengan metode pada persamaan (11) yang selanjutnya ditulis Metode Baru 4 (MB4). Fungsi yang digunakan dalam melakukan uji komputasi numerik adalah sebagai berikut:
i. f1(x) = x − cos(x) α = 0.73908513321516064166, ii. f2(x) = x − e−x− 2 α = 2.12002823898764122958, iii. f3(x) = x2− (1 − x)5 α = 0.34595481584824201795, iv. f4(x) = ln(x2− x) + ln(x) α = 1.46557123187676802666.
Selanjutnya ditunjukkan grafik dari setiap fungsi pada Gambar 1.
(a) (b)
(c) (d)
Gambar 1: Grafik (a) fungsi f1(x), (b) fungsi f2(x), (c) fungsi f3(x), dan (d) fungsi f4(x)
Untuk menemukan solusi komputasi dari empat fungsi di atas digunakan program Maple 13 dengan kriteria berhenti yang sama untuk semua metode, yaitu:
(i) jika |xn+1− xn| ≤ toleransi, (ii) jika |f (xn+1)| ≤ toleransi.
Dalam hal ini toleransi yang digunakan adalah 1.0e − 100 dengan maksimal 100 iterasi. Hasil uji perbandingan komputasi dari setiap metode ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1: Perbandingan Hasil Komputasi dari Beberapa Metode Iterasi fi(x) x0 Metode n + 1 |f (xn+1)| |xn+1− xn| ACOC
MN 9 7.95e−197 1.47e−98 2.00
MM 23 5.08e−312 2.69e−78 4.00
-2.2 JYX - - - -
MN2 5 0.00e+00 1.47e−98 4.00
MB4 5 1.24e−273 1.62e−68 4.00
f1(x)
MN 7 1.19e−166 1.80e−83 2.00
MM 4 1.93e−273 1.19e−68 4.00
1.0 JYX 4 3.18e−279 4.48e−70 4.00
MJ 4 1.87e−333 1.80e−83 4.00
MB4 4 4.89e−332 4.06e−83 4.00
MN - - - -
MM - - - -
4.0 JYX 10 1.66e−329 1.21e−82 3.99
MJ - - - -
MB4 4 1.74e−131 5.58e−33 3.99
MN 7 4.15e−179 2.63e−89 2.00
MM 4 0.00e+00 2.15e−90 4.00
1.5 JYX 4 1.82e−330 2.39e−82 4.00
MJ 4 0.00e+00 2.63e−89 4.00
MB4 4 0.00e+00 6.08e−89 4.00
f2(x)
MN 6 9.64e−139 4.01e−69 1.99
MM 3 1.85e−132 8.34e−33 4.00
2.0 JYX 3 1.24e−128 6.88e−32 4.00
MJ 3 9.64e−139 2.73e−34 4.01
MB4 3 1.08e−138 2.81e−34 4.01
MN 7 9.36e−156 1.25e−77 2.00
MM 4 2.64e−254 2.88e−63 4.00
4.0 JYX 4 3.85e−249 5.13e−62 4.00
MJ 4 4.19e−312 1.25e−77 4.00
MB4 4 6.48e−311 2.48e−77 4.00
fi(x) x0 Metode n + 1 |f (xn+1)| |xn+1− xn| ACOC
MN 9 1.92e−190 1.03e−95 2.00
MM 5 3.56e−291 1.70e−73 4.00
0.0 JYX 5 1.80e−331 1.74e−83 4.00
MJ 5 0.00e+00 1.03e−95 4.00
MB4 5 0.00e+00 6.20e−91 4.00
f3(x)
MN 8 1.95e−116 1.04e−58 2.00
MM 4 3.47e−139 1.69e−35 4.00
1.1 JYX 4 8.93e−150 4.62e−38 4.00
MM 4 1.95e−116 9.65e−30 4.01
MB4 4 1.43e−160 8.94e−41 4.00 MN 12 5.74e−144 1.79e−72 2.00
MM 7 2.00e−333 4.67e−84 4.00
3.00 JYX 6 1.01e−162 2.68e−41 4.00
MJ 6 5.74e−144 1.26e−36 4.00
MB4 6 1.62e−230 2.91e−58 4.00 MN 9 1.02e−199 1.92e−100 2.00
MM 5 2.74e−312 9.02e−79 4.00
1.1 JYX 5 8.50e−350 4.03e−92 4.00 MJ 5 8.00e−350 1.92e−100 4.00 MB4 5 8.50e−350 5.65e−96 4.00
f4(x)
MN 8 1.98e−132 8.46e−67 2.00
MM 5 2.80e−349 9.28e−91 4.00
1.9 JYX 4 2.26e−115 1.79e−29 4.00
MJ 4 1.98e−132 1.04e−33 4.00
MB4 4 6.94e−151 2.52e−38 4.00 MN 10 3.81e−144 1.17e−72 2.00
MM - - - -
2.4 JYX - - - -
MJ 5 3.81e−144 1.22e−36 4.00
MB4 5 7.15e−304 1.43e−76 4.00
Pada Tabel 1, fi(x) menyatakan fungsi yang digunakan, x0 menyatakan nilai awal, n + 1 menyatakan jumlah iterasi, f (xn+1) menyatakan nilai fungsi iterasi, xn+1−xnmenyatakan selisih akar pendekatan, ACOC menyatakan aproksimasi orde kekonvergenan, div menyatakan proses iterasi divergen dan tanda (-) menyatakan proses belum berhasil menemukan akar hingga batas iterasi.
Untuk fungsi pertama, seluruh metode berhasil menemukan akar dengan nilai awal x0 = 1.0. Namun untuk nilai awal x0 = −2.2 hanya metode JYX yang belum berhasil menemukan akar pendekatan hingga batas iterasi yang ditentukan. Semen- tara untuk nilai awal x0 = 4.0 seluruh metode divergen kecuali metode JYX dan MB4 dikarenakan nilai f′(xn) lebih kecil daripada f (xn) sehingga proses iterasi pada metode MM, MN, dan MN2 menjadi divergen.
Selanjutnya untuk fungsi kedua, seluruh metode berhasil menemukan akar dari persamaan nonlinear untuk nilai awal yang ditentukan. Seluruh metode unggul da- lam menemukan akar kecuali metode MN yang memiliki jumlah iterasi lebih banyak daripada metode yang lain dikarenakan orde kekonvergenan kuadratik.
Kemudian untuk fungsi ketiga, seluruh metode berhasil menemukan akar dengan nilai awal yang ditentukan. Namun jumlah iterasi dengan nilai awal x0 = 3.0 jauh lebih banyak daripada menggunakan nilai awal yang lain dikarenakan berada sangat jauh dari akar sehingga proses iterasi menjadi lebih lama. Sementara nilai awal x0 = 1.1 memiliki jumlah iterasi lebih sedikit daripada nilai awal x0 = 0.0 yang dekat dengan akar. Hal ini karena seluruh metode dipengaruhi oleh metode MN dengan hasil iterasi pertama untuk nilai awal x0 = 0.0 masih cukup jauh dari akar, sementara untuk nilai awal x0 = 1.1 sudah sangat dekat dengan akar sehingga jumlah iterasi menjadi lebih sedikit.
Untuk fungsi keempat, seluruh metode berhasil menemukan akar dengan nilai awal x0 = 1.1 dan x0 = 1.9. Sementara untuk nilai awal x0 = 2.4 metode JYX dan MM gagal menemukan akar hampiran yang diharapkan. Hal ini terjadi karena fungsi f4(x) = ln(x2 − x) + ln(x) hanya terdefinisi untuk x > 1 sementara hasil iterasi pertama dari metode MM dan JYX diperoleh x1 < 1 sehingga proses iterasi tidak dapat dilanjutkan.
Dari uraian tersebut terlihat bahwa nilai awal x0 memengaruhi proses iterasi sehingga menyebabkan metode berhasil menemukan akar atau tidak. Namun dari uji komputasi tersebut hanya metode MB4 yang berhasil menemukan akar untuk seluruh persamaan dengan nilai awal yang telah ditentukan. Hal ini dikarenakan metode MB4 memiliki kesensitifan yang lebih rendah terhadap nilai awal daripada metode yang lain. Dengan demikian metode MB4 dapat dijadikan sebagai metode alternatif untuk mencari akar persamaan nonlinear.
Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Supriadi Putra, M.Si dan anonymous reviewer yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan kertas kerja ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] K. E. Atkinson dan W. Han, Elementary Numerical Analysis, Third Edition, John Wiley & Sons, New York, 1993.
[2] R. G. Bartle dan D. R. Sherbert, Introduction To Real Analysis, Fourth Edition, John Wiley & Sons, New York, 2011.
[3] E. D. Bloch, The Real Numbers and Real Analysis, Springer, New York, 2010.
[4] J. F. Epperson, An Introduction to Numerical Methods and Analysis, Second Edition, Wiley, New Jersey, 2013.
[5] A. Ghorbani dan M. Gachpazan, A high-order algorithm for solving nonlin- ear algebraic equations, Iranian Journal of Numerical Analysis and Optimiza- tion, 11 (2021), 107-115.
[6] K. Jisheng, L. Yitian, dan W. Xiuhua, A composite fourth-order iterative method for solving nonlinear equations, Applied Mathematics and Computa- tion, 184 (2007), 471-475.
[7] A. K. Maheshwari, A fourth order iterative method for solving nonlinear equa- tions, Applied Mathematics and Computation, 211 (2009), 383-391.
[8] A. A. M. Ruiz dan I. K. Argyros, Two-step Newton method, Journal of Com- plexity, 30 (2014), 533-553.
[9] M. G. Sanchez, M. Noguera, dan J. M Gutierrez, On some computational orders of convergence, Applied Mathematics Letter, 23 (2010), 472-478.
[10] T. Sauer, Numerical Analysis, Second Edition, Pearson, New York, 2012.
[11] J. F. Traub, Iterative Methods for the Solution of Equations, Prentice-Hall, New Jersey, 1964.
[12] S. Weerakoon dan T. G. I. Fernando, A variant of Newton’s method with accelerated third-order convergence, Applied Mathematics Letter, 13 (2000), 87-93.
